समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की कोज्या क्या है। समकोण त्रिभुज: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोण की कोटिस्पर्श रेखा

गणित की एक शाखा जिसके साथ स्कूली बच्चे सबसे बड़ी कठिनाइयों का सामना करते हैं, वह त्रिकोणमिति है। कोई आश्चर्य नहीं: ज्ञान के इस क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से महारत हासिल करने के लिए, आपको स्थानिक सोच, सूत्रों का उपयोग करके ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंगेंट खोजने की क्षमता, अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और गणना में संख्या पाई का उपयोग करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। इसके अलावा, आपको प्रमेयों को सिद्ध करते समय त्रिकोणमिति को लागू करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, और इसके लिए या तो एक विकसित गणितीय स्मृति या जटिल तार्किक श्रृंखलाओं को निकालने की क्षमता की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमिति की उत्पत्ति

इस विज्ञान के साथ परिचित होना कोण की साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा के साथ शुरू होना चाहिए, लेकिन पहले आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि त्रिकोणमिति सामान्य रूप से क्या करती है।

ऐतिहासिक रूप से, गणितीय विज्ञान के इस खंड में समकोण त्रिभुज अध्ययन का मुख्य उद्देश्य रहा है। 90 डिग्री के कोण की उपस्थिति से विभिन्न कार्यों को करना संभव हो जाता है जो किसी व्यक्ति को दो पक्षों और एक कोण या दो कोणों और एक पक्ष का उपयोग करके विचाराधीन आकृति के सभी मापदंडों के मूल्यों को निर्धारित करने की अनुमति देता है। अतीत में, लोगों ने इस पैटर्न को देखा और इमारतों, नेविगेशन, खगोल विज्ञान और यहां तक ​​कि कला के निर्माण में इसका सक्रिय रूप से उपयोग करना शुरू कर दिया।

प्रथम चरण

प्रारंभ में, लोगों ने विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों के उदाहरण पर कोणों और भुजाओं के संबंध के बारे में बात की। तब विशेष सूत्र खोजे गए जिससे गणित के इस खंड के रोजमर्रा के जीवन में उपयोग की सीमाओं का विस्तार करना संभव हो गया।

स्कूल में आज त्रिकोणमिति का अध्ययन समकोण त्रिभुजों से शुरू होता है, जिसके बाद अर्जित ज्ञान का उपयोग छात्रों द्वारा भौतिकी और सार त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में किया जाता है, जिसके साथ हाई स्कूल में काम शुरू होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति

बाद में, जब विज्ञान विकास के अगले स्तर पर पहुंच गया, तो ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श वाले सूत्रों का उपयोग गोलाकार ज्यामिति में किया जाने लगा, जहां अन्य नियम लागू होते हैं, और त्रिकोण में कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है। इस खंड का अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन इसके अस्तित्व के बारे में जानना आवश्यक है, कम से कम क्योंकि पृथ्वी की सतह, और किसी अन्य ग्रह की सतह उत्तल है, जिसका अर्थ है कि किसी भी सतह का अंकन "चाप के आकार का" होगा त्रि-आयामी स्थान।

ग्लोब और धागा लें। धागे को ग्लोब पर किसी भी दो बिंदुओं से जोड़ दें ताकि यह तना हुआ हो। ध्यान दें - इसने एक चाप का आकार ले लिया है। यह इस तरह के रूपों के साथ है कि गोलाकार ज्यामिति, जिसका उपयोग भूगणित, खगोल विज्ञान और अन्य सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में किया जाता है, संबंधित है।

सही त्रिकोण

त्रिकोणमिति का उपयोग करने के तरीकों के बारे में थोड़ा जानने के बाद, आइए मूल त्रिकोणमिति पर लौटें ताकि यह समझ सकें कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा क्या हैं, उनकी मदद से क्या गणना की जा सकती है और किन सूत्रों का उपयोग करना है।

पहला कदम एक समकोण त्रिभुज से संबंधित अवधारणाओं को समझना है। सबसे पहले, कर्ण 90 डिग्री के कोण के विपरीत भुजा है। वह सबसे लंबी है। हमें याद है कि पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार, इसका संख्यात्मक मान अन्य दो पक्षों के वर्गों के योग के मूल के बराबर है।

उदाहरण के लिए, यदि दो भुजाएँ क्रमशः 3 और 4 सेंटीमीटर हैं, तो कर्ण की लंबाई 5 सेंटीमीटर होगी। वैसे तो प्राचीन मिस्रवासियों को इस बारे में करीब साढ़े चार हजार साल पहले पता चल गया था।

शेष दो भुजाएँ जो एक समकोण बनाती हैं, पाद कहलाती हैं। इसके अलावा, हमें यह याद रखना चाहिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

परिभाषा

अंत में, ज्यामितीय आधार की ठोस समझ के साथ, हम कोण की साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा की ओर मुड़ सकते हैं।

एक कोण की साइन कर्ण के विपरीत पैर (यानी, वांछित कोण के विपरीत पक्ष) का अनुपात है। एक कोण का कोज्या कर्ण के सन्निकट पैर का अनुपात है।

याद रखें कि न तो साइन और न ही कोसाइन एक से अधिक हो सकते हैं! क्यों? क्योंकि कर्ण डिफ़ॉल्ट रूप से सबसे लंबा होता है, पैर कितना भी लंबा क्यों न हो, वह कर्ण से छोटा होगा, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात हमेशा एक से कम होगा। इस प्रकार, यदि आपको समस्या के उत्तर में 1 से अधिक मान वाली साइन या कोसाइन मिलती है, तो गणना या तर्क में त्रुटि की तलाश करें। यह उत्तर स्पष्ट रूप से गलत है।

अंत में, एक कोण की स्पर्शरेखा, विपरीत भुजा का सन्निकट भुजा से अनुपात है। वही परिणाम कोसाइन द्वारा साइन का विभाजन देगा। देखिए: सूत्र के अनुसार, हम भुजा की लंबाई को कर्ण से विभाजित करते हैं, जिसके बाद हम दूसरी भुजा की लंबाई से विभाजित करते हैं और कर्ण से गुणा करते हैं। इस प्रकार, हम स्पर्शरेखा की परिभाषा के समान अनुपात प्राप्त करते हैं।

कॉटैंजेंट, क्रमशः, कोने से सटे पक्ष का अनुपात विपरीत दिशा में है। इकाई को स्पर्शरेखा से विभाजित करने पर हमें वही परिणाम मिलता है।

इसलिए, हमने साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाओं पर विचार किया है, और हम सूत्रों से निपट सकते हैं।

सबसे सरल सूत्र

त्रिकोणमिति में, सूत्रों के बिना कोई नहीं कर सकता है - उनके बिना साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कॉटैंगेंट कैसे खोजें? और समस्याओं को हल करते समय ठीक यही आवश्यक है।

त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करते समय आपको जो पहला सूत्र जानने की आवश्यकता है, वह कहता है कि कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग एक के बराबर है। यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है, लेकिन यदि आप कोण का मान जानना चाहते हैं, न कि भुजा का, तो इससे समय की बचत होती है।

कई छात्र दूसरे सूत्र को याद नहीं कर सकते हैं, जो स्कूल की समस्याओं को हल करते समय भी बहुत लोकप्रिय है: कोण के स्पर्शरेखा के एक और वर्ग का योग कोण के कोसाइन के वर्ग से विभाजित एक के बराबर होता है। करीब से देखें: आखिरकार, यह वही कथन है जो पहले सूत्र में था, केवल पहचान के दोनों पक्षों को कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित किया गया था। यह पता चला है कि एक साधारण गणितीय ऑपरेशन त्रिकोणमितीय सूत्र को पूरी तरह से पहचानने योग्य नहीं बनाता है। याद रखें: यह जानते हुए कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श क्या हैं, रूपांतरण नियम और कुछ बुनियादी सूत्र, आप किसी भी समय स्वतंत्र रूप से कागज की एक शीट पर आवश्यक अधिक जटिल सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

दोहरे कोण सूत्र और तर्कों का जोड़

दो और सूत्र जिन्हें आपको सीखने की आवश्यकता है, वे कोणों के योग और अंतर के लिए साइन और कोसाइन के मूल्यों से संबंधित हैं। उन्हें नीचे चित्र में दिखाया गया है। कृपया ध्यान दें कि पहले मामले में, साइन और कोसाइन को दोनों बार गुणा किया जाता है, और दूसरे में, साइन और कोसाइन का जोड़ीदार उत्पाद जोड़ा जाता है।

दोहरे कोण वाले तर्कों से जुड़े सूत्र भी हैं। वे पिछले वाले से पूरी तरह से व्युत्पन्न हैं - एक अभ्यास के रूप में, उन्हें स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें, अल्फा के कोण को बीटा के कोण के बराबर लेते हुए।

अंत में, ध्यान दें कि दोहरे कोण के सूत्रों को साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा अल्फा की निम्न डिग्री में परिवर्तित किया जा सकता है।

प्रमेयों

बुनियादी त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय साइन प्रमेय और कोसाइन प्रमेय हैं। इन प्रमेयों की मदद से, आप आसानी से समझ सकते हैं कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कैसे खोजें, और इसलिए आकृति का क्षेत्रफल, और प्रत्येक पक्ष का आकार, आदि।

साइन प्रमेय बताता है कि त्रिभुज के प्रत्येक पक्ष की लंबाई को विपरीत कोण के मान से विभाजित करने के परिणामस्वरूप, हमें समान संख्या मिलती है। इसके अलावा, यह संख्या परिबद्ध वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर होगी, अर्थात, दिए गए त्रिभुज के सभी बिंदुओं को समाहित करने वाला वृत्त।

कोसाइन प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय का सामान्यीकरण करता है, इसे किसी भी त्रिभुज पर प्रक्षेपित करता है। यह पता चला है कि दोनों पक्षों के वर्गों के योग से, उनके उत्पाद को उनके समीप के कोण के दोहरे कोसाइन से गुणा करके घटाया जाता है - परिणामी मूल्य तीसरे पक्ष के वर्ग के बराबर होगा। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला निकला।

असावधानी के कारण गलतियाँ

यह जानते हुए भी कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा क्या हैं, अनुपस्थित-मन या सरलतम गणनाओं में त्रुटि के कारण गलती करना आसान है। ऐसी गलतियों से बचने के लिए, आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय से परिचित हों।

सबसे पहले, आपको अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक सामान्य अंशों को दशमलव में परिवर्तित नहीं करना चाहिए - आप उत्तर को साधारण अंश के रूप में छोड़ सकते हैं, जब तक कि स्थिति अन्यथा न बताए। इस तरह के परिवर्तन को गलती नहीं कहा जा सकता है, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि समस्या के प्रत्येक चरण में नई जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जिन्हें लेखक के अनुसार कम किया जाना चाहिए। इस मामले में, आप अनावश्यक गणितीय परिचालनों पर समय बर्बाद करेंगे। यह तीन या दो की जड़ जैसे मूल्यों के लिए विशेष रूप से सच है, क्योंकि वे प्रत्येक चरण में कार्यों में होते हैं। "बदसूरत" संख्याओं को गोल करने पर भी यही बात लागू होती है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि कोज्या प्रमेय किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय पर नहीं! यदि आप गलती से उनके बीच के कोण के कोसाइन से गुणा किए गए पक्षों के उत्पाद को दो बार घटाना भूल जाते हैं, तो आपको न केवल पूरी तरह से गलत परिणाम मिलेगा, बल्कि विषय की पूरी गलतफहमी भी प्रदर्शित होगी। यह एक लापरवाह गलती से भी बदतर है।

तीसरा, ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श के लिए 30 और 60 डिग्री के कोणों के मानों को भ्रमित न करें। इन मूल्यों को याद रखें, क्योंकि 30 डिग्री की ज्या 60 की कोज्या के बराबर है, और इसके विपरीत। उन्हें मिलाना आसान है, जिसके परिणामस्वरूप आपको अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम मिलेगा।

आवेदन

बहुत से छात्र त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करने की जल्दी में नहीं हैं, क्योंकि वे इसके लागू अर्थ को नहीं समझते हैं। इंजीनियर या खगोलविद के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा क्या है? ये ऐसी अवधारणाएँ हैं जिनकी बदौलत आप दूर के तारों की दूरी की गणना कर सकते हैं, उल्कापिंड के गिरने की भविष्यवाणी कर सकते हैं, दूसरे ग्रह पर शोध जाँच भेज सकते हैं। उनके बिना, एक इमारत का निर्माण करना, एक कार को डिजाइन करना, सतह पर भार या किसी वस्तु के प्रक्षेपवक्र की गणना करना असंभव है। और ये केवल सबसे स्पष्ट उदाहरण हैं! आखिरकार, संगीत से लेकर चिकित्सा तक, हर जगह त्रिकोणमिति का एक या दूसरे रूप में उपयोग किया जाता है।

आखिरकार

तो आप साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा हैं। आप उन्हें गणना में उपयोग कर सकते हैं और स्कूल की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल कर सकते हैं।

त्रिकोणमिति का पूरा सार इस तथ्य पर निर्भर करता है कि अज्ञात मापदंडों की गणना त्रिभुज के ज्ञात मापदंडों से की जानी चाहिए। कुल छह पैरामीटर हैं: तीन भुजाओं की लंबाई और तीन कोणों का परिमाण। कार्यों में संपूर्ण अंतर इस तथ्य में निहित है कि विभिन्न इनपुट डेटा दिए गए हैं।

पैरों या कर्ण की ज्ञात लंबाई के आधार पर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा कैसे ज्ञात करें, अब आप जानते हैं। चूँकि इन शब्दों का मतलब एक अनुपात से ज्यादा कुछ नहीं है, और एक अनुपात एक अंश है, त्रिकोणमितीय समस्या का मुख्य लक्ष्य एक साधारण समीकरण या समीकरणों की प्रणाली की जड़ों को खोजना है। और यहाँ आपको सामान्य स्कूली गणित से मदद मिलेगी।

हम त्रिकोणमिति के अपने अध्ययन की शुरुआत एक समकोण त्रिभुज से करते हैं। आइए परिभाषित करें कि साइन और कोसाइन क्या हैं, साथ ही एक तीव्र कोण के स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श। ये त्रिकोणमिति की मूल बातें हैं।

याद करें कि समकोण 90 डिग्री के बराबर कोण है। दूसरे शब्दों में, अनफोल्डेड कॉर्नर का आधा।

तेज़ कोने- 90 डिग्री से कम।

अधिक कोण- 90 डिग्री से अधिक। ऐसे कोण के संबंध में, "कुंद" अपमान नहीं है, बल्कि एक गणितीय शब्द है :-)

आइए एक समकोण त्रिभुज बनाएँ। एक समकोण को आमतौर पर निरूपित किया जाता है। ध्यान दें कि कोने के विपरीत पक्ष को एक ही अक्षर से दर्शाया जाता है, केवल छोटा। तो, कोण A के विपरीत स्थित भुजा को निरूपित किया जाता है।

एक कोण को संबंधित ग्रीक अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है।

कर्णएक समकोण त्रिभुज समकोण के विपरीत भुजा है।

पैर- तेज कोनों के विपरीत पक्ष।

कोने के विपरीत पैर कहा जाता है विलोम(कोण के सापेक्ष)। दूसरा पैर, जो कोने के एक तरफ स्थित होता है, कहलाता है नज़दीक.

साइनसएक समकोण त्रिभुज में तीव्र कोण सम्मुख भुजा का कर्ण से अनुपात होता है:

कोज्याएक समकोण त्रिभुज में तीव्र कोण - कर्ण के निकटवर्ती पैर का अनुपात:

स्पर्शरेखाएक समकोण त्रिभुज में तीव्र कोण - विपरीत पैर के आसन्न का अनुपात:

एक अन्य (समतुल्य) परिभाषा: एक तीव्र कोण की स्पर्शरेखा एक कोण की ज्या का उसके कोज्या से अनुपात है:

स्पर्शरेखाएक समकोण त्रिभुज में तीव्र कोण - आसन्न पैर का अनुपात विपरीत (या, समतुल्य, कोसाइन से साइन का अनुपात):

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेन्जेंट के मूल अनुपातों पर ध्यान दें, जो नीचे दिए गए हैं। वे समस्याओं को हल करने में हमारे लिए उपयोगी होंगे।

आइए उनमें से कुछ को सिद्ध करें।

ठीक है, हमने परिभाषाएँ और लिखित सूत्र दिए हैं। लेकिन हमें साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटैंजेंट की आवश्यकता क्यों है?

हम वह जानते हैं किसी त्रिभुज के कोणों का योग होता है.

हम के बीच संबंध जानते हैं दलोंसही त्रिकोण। यह पाइथागोरस प्रमेय है: .

यह पता चला है कि एक त्रिभुज में दो कोणों को जानने के बाद, आप तीसरे का पता लगा सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज में दो भुजाएँ जानने पर आप तीसरी ज्ञात कर सकते हैं। तो, कोणों के लिए - उनका अनुपात, पक्षों के लिए - उनका अपना। लेकिन क्या करें यदि एक समकोण त्रिभुज में एक कोण (एक समकोण को छोड़कर) और एक भुजा ज्ञात हो, लेकिन आपको अन्य भुजाएँ खोजने की आवश्यकता हो?

अतीत में लोगों ने इसका सामना किया, क्षेत्र और तारों वाले आकाश के नक्शे बनाते हुए। आखिरकार, किसी त्रिभुज की सभी भुजाओं को सीधे मापना हमेशा संभव नहीं होता है।

साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा - इन्हें भी कहा जाता है कोण के त्रिकोणमितीय कार्य- के बीच अनुपात दें दलोंऔर कोनोंत्रिकोण। कोण को जानने के बाद, आप विशेष तालिकाओं का उपयोग करके इसके सभी त्रिकोणमितीय कार्यों को पा सकते हैं। और एक त्रिभुज के कोणों और उसकी एक भुजा की ज्या, कोसाइन और स्पर्शरेखा को जानकर, आप बाकी का पता लगा सकते हैं।

हम से "अच्छे" कोणों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट मानों की तालिका भी तैयार करेंगे।

तालिका में दो लाल डैश पर ध्यान दें। कोणों के संगत मानों के लिए, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श मौजूद नहीं हैं।

आइए बैंक ऑफ FIPI कार्यों से त्रिकोणमिति में कई समस्याओं का विश्लेषण करें।

1. एक त्रिभुज में, कोण , होता है। पाना ।

चार सेकंड में समस्या हल हो जाती है।

क्योंकि , ।

2. एक त्रिभुज में, कोण , , है। पाना ।

आइए पाइथागोरस प्रमेय द्वारा खोजें।

समस्या हल हो गई।

अक्सर समस्याओं में कोणों और या कोणों और के साथ त्रिभुज होते हैं। उनके लिए बुनियादी अनुपातों को दिल से याद करें!

कोण वाले त्रिभुज के लिए और कोण के विपरीत पैर के बराबर है कर्ण का आधा.

कोणों वाला एक त्रिभुज और समद्विबाहु है। इसमें कर्ण टाँग से कई गुना बड़ा होता है।

हमने समकोण त्रिभुजों को हल करने की समस्याओं पर विचार किया - अर्थात, अज्ञात भुजाओं या कोणों को खोजने के लिए। लेकिन वह सब नहीं है! गणित में परीक्षा के वेरिएंट में, ऐसे कई कार्य होते हैं जहाँ त्रिभुज के बाहरी कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा या कोटिस्पर्श प्रकट होते हैं। इस पर और अधिक अगले लेख में।

एक कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श क्या है, इससे आपको समकोण त्रिभुज को समझने में मदद मिलेगी।

समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित है (हमारे उदाहरण में, यह भुजा \ (AC \) है); पैर दो शेष भुजाएँ हैं \ (AB \) और \ (BC \) (जो समकोण के समीप हैं), इसके अलावा, यदि हम कोण \ (BC \) के संबंध में पैरों पर विचार करते हैं, तो पैर \ (AB \) आसन्न पैर है, और पैर \ (BC \) विपरीत है। तो, अब हम इस प्रश्न का उत्तर देते हैं: एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श क्या हैं?

एक कोण की ज्या- यह कर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

एक कोण की कोसाइन- यह कर्ण के निकटवर्ती (करीब) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

कोण स्पर्शरेखा- यह विपरीत (दूर) पैर के आसन्न (करीब) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

एक कोण की कोटिस्पर्शज्या- यह आसन्न (करीब) पैर के विपरीत (दूर) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

ये परिभाषाएँ आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किससे विभाजित करना है, आपको इसे स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है स्पर्शरेखाऔर स्पर्शरेखाकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसऔर कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह एक:

कोसाइन → स्पर्श → स्पर्श → आसन्न;

स्पर्शरेखा → स्पर्श → स्पर्श → आसन्न।

सबसे पहले, यह याद रखना आवश्यक है कि त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श इन भुजाओं की लंबाई (एक कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। विश्वास नहीं करते? तो यकीन मानिए तस्वीर देखकर:

उदाहरण के लिए, कोण \(\beta \) की कोसाइन पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, त्रिभुज \(ABC \) से : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), लेकिन हम त्रिभुज \(AHI \) से कोण \(\beta \) की कोसाइन की गणना कर सकते हैं: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). आप देखते हैं, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान होता है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मान केवल कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।

यदि आप परिभाषाओं को समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें ठीक करें!

त्रिभुज \(ABC \) के लिए, नीचे चित्र में दिखाया गया है, हम पाते हैं \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(सरणी) \)

अच्छा, क्या आपको मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएं: कोण \(\beta \) के लिए इसकी गणना करें।

उत्तर: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \\beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त

डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने \ (1 \) के बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त पर विचार किया। ऐसा घेरा कहलाता है अकेला. त्रिकोणमिति के अध्ययन में यह बहुत उपयोगी है। इसलिए, हम इस पर थोड़ा और विस्तार से ध्यान केन्द्रित करते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सर्कल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में बनाया गया है। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर है, जबकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित है, त्रिज्या सदिश की प्रारंभिक स्थिति \(x \) अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय की गई है (हमारे उदाहरण में, यह है त्रिज्या \(AB \) ).

सर्कल पर प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष के साथ समन्वय (x \) और अक्ष के साथ समन्वय \ (y \) । ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उन्हें विषय के साथ क्या करना है? ऐसा करने के लिए, माना समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखें। ऊपर की आकृति में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। त्रिभुज \(ACG \) पर विचार करें। यह आयताकार है क्योंकि \(CG \) \(x \) अक्ष के लंबवत है।

त्रिभुज \(ACG \) से \(\cos \ \alpha \) क्या है? यह सही है \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). इसके अलावा, हम जानते हैं कि \(AC \) इकाई वृत्त की त्रिज्या है, इसलिए \(AC=1 \) । इस मान को हमारे कोज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करें। यहाँ क्या होता है:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

और त्रिभुज \(ACG \) से \(\sin \ \alpha \) क्या है? बेशक, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! इस सूत्र में त्रिज्या \ (AC \) का मान रखें और प्राप्त करें:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

तो, क्या आप मुझे बता सकते हैं कि वृत्त के अंतर्गत आने वाले बिंदु \(C \) के निर्देशांक क्या हैं? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? लेकिन क्या होगा अगर आपको एहसास हो कि \(\cos \ \alpha \) और \(\sin \alpha \) सिर्फ संख्याएं हैं? \(\cos \alpha \) किस निर्देशांक से मेल खाता है? ठीक है, निश्चित रूप से, निर्देशांक \(x \) ! और \(\sin \alpha \) किस समन्वय से मेल खाता है? यह सही है, \(y \) निर्देशांक! तो बिंदु \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

तब \(tg \alpha \) और \(ctg \alpha \) क्या हैं? यह सही है, चलो स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की उपयुक्त परिभाषाओं का उपयोग करें और इसे प्राप्त करें \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), ए \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

क्या होगा अगर कोण बड़ा है? यहाँ, उदाहरण के लिए, जैसा कि इस चित्र में है:

इस उदाहरण में क्या बदला है? आइए इसका पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : एक कोण (कोण \(\beta \) के सन्निकट)। एक कोण के लिए ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श का मान क्या है \(((सी)_(1))((ए)_(1))जी=180()^\circ -\बीटा \\)? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय कार्यों की संबंधित परिभाषाओं का पालन करते हैं:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (ए)_(1))((सी)_(1)))=\dfrac(((सी)_(1))जी)(1)=((सी)_(1))जी=वाई; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((सी)_(1))=\dfrac(((ए)_(1))जी)(1)=((ए)_(1))जी=x;\\tg\angle ((सी )_(1))((ए)_(1))जी=\dfrac(((सी)_(1))जी)(((ए)_(1))जी)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((सी)_(1))((ए)_(1))जी=\dfrac(((ए)_(1))जी)(((सी)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(सरणी) \)

ठीक है, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक \ (y \) के अनुरूप है; कोण के कोज्या का मान - निर्देशांक \ (x \); और इसी अनुपात के लिए स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घुमाव पर लागू होते हैं।

यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या सदिश की प्रारंभिक स्थिति \(x \) अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ है। अब तक हमने इस सदिश को वामावर्त घुमाया है, लेकिन यदि हम इसे दक्षिणावर्त घुमाएँ तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित आकार का कोण भी मिलेगा, लेकिन वह केवल ऋणात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाने पर, हमें मिलता है सकारात्मक कोण, और दक्षिणावर्त घुमाने पर - नकारात्मक।

तो, हम जानते हैं कि सर्कल के चारों ओर त्रिज्या वेक्टर की पूरी क्रांति \(360()^\circ \) या \(2\pi \) है। क्या त्रिज्या वेक्टर को \(390()^\circ \) या \(-1140()^\circ \) द्वारा घुमाना संभव है? खैर, बिल्कुल आप कर सकते हैं! पहले मामले में, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), इसलिए रेडियस वेक्टर एक पूरा चक्कर लगाएगा और \(30()^\circ \) या \(\dfrac(\pi )(6) \) पर रुकेगा।

दूसरे मामले में, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), अर्थात, त्रिज्या सदिश तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और \(-60()^\circ \) या \(-\dfrac(\pi )(3) \) स्थिति पर रुकेगा।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जो कोण \(360()^\circ \cdot m \) या \(2\pi \cdot m \) से भिन्न होते हैं (जहाँ \(m \) कोई पूर्णांक है) त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप।

नीचे दिया गया चित्र कोण \(\beta =-60()^\circ \) दिखाता है। वही छवि कोने से मेल खाती है \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)वगैरह। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र से लिखा जा सकता है \(\बीटा +360()^\circ \cdot m\)या \(\beta +2\pi \cdot m \) (जहाँ \(m \) कोई पूर्णांक है)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(सरणी) \)

अब, मूल त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानने और यूनिट सर्कल का उपयोग करने का उत्तर देने का प्रयास करें कि मान किसके बराबर हैं:

\(\शुरू(सरणी)(एल)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(सरणी) \)

आपकी सहायता के लिए यहां एक यूनिट सर्कल है:

कोई कठिनाई? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(सरणी) \)

यहाँ से, हम कोण के कुछ मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, चलो क्रम में शुरू करते हैं: कोने में \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)निर्देशांक के साथ एक बिंदु से मेल खाती है \(\बाएं(0;1 \दाएं) \) , इसलिए:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \);

\(\cos 90()^\circ =x=0 \);

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- मौजूद नहीं होना;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने अंदर हैं \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप \(\बाएं(-1;0 \दाएं),\पाठ()\बाएं(0;-1 \दाएं),\पाठ()\बाएं(1;0 \दाएं),\पाठ() \बाएं(0 ;1 \दाहिना) \), क्रमश। यह जानकर, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को संबंधित बिंदुओं पर निर्धारित करना आसान है। पहले स्वयं प्रयास करें, फिर उत्तरों की जाँच करें।

उत्तर:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- मौजूद नहीं

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- मौजूद नहीं

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- मौजूद नहीं

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \बाएं(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- मौजूद नहीं

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

इस प्रकार, हम निम्न तालिका बना सकते हैं:

इन सभी मूल्यों को याद रखने की जरूरत नहीं है। यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:

\(\लेफ्ट। dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(याद रखने या आउटपुट करने में सक्षम होने की आवश्यकता है !! \) !}

और यहाँ कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान हैं और \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)नीचे दी गई तालिका में, आपको याद रखना चाहिए:

डरने की जरूरत नहीं है, अब हम संबंधित मूल्यों के काफी सरल संस्मरण के उदाहरणों में से एक दिखाएंगे:

इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, तीनों कोण उपायों के लिए साइन मानों को याद रखना महत्वपूर्ण है ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), साथ ही \(30()^\circ \) में कोण के स्पर्शरेखा का मान। इन \(4\) मानों को जानने के बाद, संपूर्ण तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी आसान है - कोज्या मानों को तीरों के अनुसार स्थानांतरित किया जाता है, अर्थात:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2) \ \ end (सरणी) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), यह जानकर, मूल्यों को पुनर्स्थापित करना संभव है \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). अंश "\(1 \)" \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) से मेल खाएगा, और भाजक "\(\sqrt(\text(3)) \)" \ से मेल खाएगा (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) । चित्र में दिखाए गए तीरों के अनुसार स्पर्शरेखा मूल्यों को स्थानांतरित किया जाता है। यदि आप इसे समझते हैं और तीर के साथ योजना को याद करते हैं, तो यह तालिका से केवल \(4\) मान याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।

एक वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक

क्या सर्कल के केंद्र के निर्देशांक, इसकी त्रिज्या और रोटेशन के कोण को जानते हुए, एक सर्कल पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है? खैर, बिल्कुल आप कर सकते हैं! आइए एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त करें। यहाँ, उदाहरण के लिए, हमारे पास ऐसा एक चक्र है:

हमें वह बिंदु दिया गया है \(के(((x)_(0));((y)_(0)))=के(3;2) \)वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या \(1,5 \) है। बिंदु \(O\) को \(\delta\) डिग्री घुमाकर प्राप्त बिंदु \(P\) के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु \ (P \) का निर्देशांक \ (x \) खंड \ (TP=UQ=UK+KQ \) की लंबाई से मेल खाता है। खंड \ (यूके \) की लंबाई सर्कल के केंद्र के समन्वय \ (x \) से मेल खाती है, अर्थात यह \ (3 \) के बराबर है। कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके खंड \ (KQ \) की लंबाई व्यक्त की जा सकती है:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

फिर हमारे पास बिंदु \(P \) के लिए निर्देशांक है \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

उसी तर्क से, हम बिंदु \(P\) के लिए y निर्देशांक का मान ज्ञात करते हैं। इस प्रकार,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

तो, सामान्य शब्दों में, बिंदुओं के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \ डेल्टा \ अंत (सरणी) \), कहाँ

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - वृत्त के केंद्र के निर्देशांक,

\(r\) - वृत्त की त्रिज्या,

\(\delta \) - सदिश त्रिज्या का घूर्णन कोण।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यूनिट सर्कल के लिए हम विचार कर रहे हैं, ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य हैं, और त्रिज्या एक के बराबर है:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =(((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(सरणी) \)

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इस लेख में, हम दिखाएंगे कि कैसे त्रिकोणमिति में कोण और संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाएँ. यहां हम अंकन के बारे में बात करेंगे, अभिलेखों के उदाहरण देंगे, ग्राफिक चित्रण देंगे। अंत में, हम त्रिकोणमिति और ज्यामिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाओं के बीच एक समानांतर रेखा खींचते हैं।

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ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषा

आइए देखें कि स्कूल के गणित पाठ्यक्रम में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की अवधारणा कैसे बनती है। ज्यामिति के पाठों में समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषा दी जाती है। और बाद में त्रिकोणमिति का अध्ययन किया जाता है, जो रोटेशन के कोण और संख्या के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श को संदर्भित करता है। हम ये सभी परिभाषाएँ देते हैं, उदाहरण देते हैं और आवश्यक टिप्पणियाँ देते हैं।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण

ज्यामिति के पाठ्यक्रम से, एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाएँ ज्ञात हैं। उन्हें एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में दिया जाता है। हम उनके सूत्र प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में तीव्र कोण की ज्याकर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है।

परिभाषा।

एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण का कोसाइनकर्ण के सन्निकट पैर का अनुपात है।

परिभाषा।

एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण की स्पर्शरेखाआसन्न पैर के विपरीत पैर का अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यूनकोण की कोटिस्पर्श रेखाआसन्न पैर का विपरीत पैर का अनुपात है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटैंगेंट का अंकन भी वहां पेश किया जाता है - क्रमशः पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी।

उदाहरण के लिए, यदि ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है, तो तीव्र कोण A की ज्या सम्मुख भुजा BC के कर्ण AB के अनुपात के बराबर है, अर्थात, sin∠A=BC/AB।

ये परिभाषाएँ आपको एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की ज्ञात लंबाई के साथ-साथ साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श रेखा और एक भुजा की लंबाई, अन्य भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए। उदाहरण के लिए, यदि हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में पाद AC 3 है और कर्ण AB 7 है, तो हम परिभाषा के द्वारा न्यून कोण A के कोसाइन की गणना कर सकते हैं: cos∠A=AC/AB=3/7।

घूर्णन का कोण

त्रिकोणमिति में, वे कोण को अधिक व्यापक रूप से देखना शुरू करते हैं - वे घूर्णन कोण की अवधारणा का परिचय देते हैं। रोटेशन का कोण, एक तीव्र कोण के विपरीत, फ्रेम द्वारा 0 से 90 डिग्री तक सीमित नहीं है, रोटेशन के कोण को डिग्री (और रेडियन में) में किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा -∞ से +∞ तक व्यक्त किया जा सकता है।

इस प्रकाश में, ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाएँ अब एक तीव्र कोण नहीं हैं, बल्कि मनमाना परिमाण का एक कोण है - रोटेशन का कोण। वे बिंदु A1 के x और y निर्देशांक के माध्यम से दिए गए हैं, जिसमें तथाकथित प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) बिंदु O के चारों ओर एक कोण α के माध्यम से घूमने के बाद गुजरता है - एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की शुरुआत और यूनिट सर्कल का केंद्र।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की ज्याα बिंदु A 1 की कोटि है, अर्थात, sinα=y ।

परिभाषा।

रोटेशन के कोण की कोसाइनα को बिंदु A 1 का भुज कहा जाता है, अर्थात, cosα=x ।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की स्पर्शरेखाα बिंदु A 1 की कोटि का इसके भुज से अनुपात है, अर्थात tgα=y/x ।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की कोटिस्पर्शज्याα बिंदु A 1 के भुज का इसके कोटि से अनुपात है, अर्थात, ctgα=x/y ।

साइन और कोसाइन को किसी भी कोण α के लिए परिभाषित किया गया है, क्योंकि हम हमेशा एक बिंदु के भुज और समन्वय को निर्धारित कर सकते हैं, जो प्रारंभिक बिंदु को कोण α के माध्यम से घुमाकर प्राप्त किया जाता है। और स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श किसी भी कोण के लिए परिभाषित नहीं हैं। स्पर्शरेखा ऐसे कोण α के लिए परिभाषित नहीं है जिस पर प्रारंभिक बिंदु शून्य भुज (0, 1) या (0, −1) के साथ एक बिंदु पर जाता है, और यह कोण 90°+180° k , k∈Z पर होता है (π /2+π k रेड)। दरअसल, घूर्णन के ऐसे कोणों पर, अभिव्यक्ति tgα=y/x का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। कोटिस्पर्श रेखा के लिए, यह ऐसे कोण α के लिए परिभाषित नहीं है जिस पर प्रारंभिक बिंदु शून्य कोटि (1, 0) या (−1, 0) के साथ एक बिंदु पर जाता है, और यह कोण 180° k के मामले में है, k ∈Z (π k रेड)।

तो, ज्या और कोसाइन किसी भी घूर्णन कोण के लिए परिभाषित हैं, स्पर्शरेखा 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित है, और कोटिस्पर्श 180 को छोड़कर सभी कोणों के लिए है। ° ·k , k∈Z (π·k रेड)।

हमारे लिए पहले से ही ज्ञात संकेतन पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी की परिभाषाओं में दिखाई देते हैं, उनका उपयोग रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिंजेंट को निरूपित करने के लिए भी किया जाता है (कभी-कभी आप नोटेशन टैन और कॉटस्पर्शी के अनुरूप पा सकते हैं और स्पर्शरेखा)। तो 30 डिग्री के घूर्णन कोण की ज्या को sin30° के रूप में लिखा जा सकता है, अभिलेख tg(−24°17′) और ctgα घूर्णन कोण −24 डिग्री 17 मिनट की स्पर्शरेखा और घूर्णन कोण α की कोटिस्पर्शी के अनुरूप हैं . याद रखें कि किसी कोण के रेडियन माप को लिखते समय, "रेड" अंकन को अक्सर छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन पाई रेड्स के घूर्णन कोण की कोसाइन को आमतौर पर cos3 π दर्शाया जाता है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, यह ध्यान देने योग्य है कि रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिजेंट के बारे में बात करते समय, वाक्यांश "रोटेशन का कोण" या "रोटेशन" शब्द अक्सर छोड़ा जाता है। यही है, वाक्यांश "अल्फा के कोण की साइन" वाक्यांश के बजाय, "अल्फा के कोण की साइन" वाक्यांश का आमतौर पर उपयोग किया जाता है, या इससे भी कम - "अल्फा की साइन"। वही कोज्या, और स्पर्शरेखा, और कोटिस्पर्श पर लागू होता है।

आइए यह भी कहते हैं कि समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण की ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाएँ 0 से 90 तक के रोटेशन कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के लिए दी गई परिभाषाओं के अनुरूप हैं। डिग्री। हम इसकी पुष्टि करेंगे।

नंबर

परिभाषा।

किसी संख्या की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्शटी क्रमशः टी रेडियन में रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के बराबर संख्या है।

उदाहरण के लिए, 8 π का ​​कोज्या, परिभाषा के अनुसार, 8 π रेड के कोण के कोज्या के बराबर संख्या है। और 8 π रेड में कोण का कोज्या एक के बराबर है, इसलिए, संख्या 8 π का ​​कोज्या 1 के बराबर है।

किसी संख्या की ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषा के लिए एक और दृष्टिकोण है। यह इस तथ्य में शामिल है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या टी को आयताकार समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति पर केंद्रित यूनिट सर्कल का एक बिंदु सौंपा गया है, और इस बिंदु के निर्देशांक के संदर्भ में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट निर्धारित किया जाता है। आइए इस पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

आइए हम दिखाते हैं कि वास्तविक संख्याओं और वृत्त के बिंदुओं के बीच पत्राचार कैसे स्थापित किया जाता है:

• संख्या 0 को प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) असाइन किया गया है;
• यूनिट सर्कल पर एक बिंदु के साथ एक सकारात्मक संख्या टी जुड़ा हुआ है, जिसे हम प्राप्त करेंगे यदि हम सर्कल के चारों ओर एक वामावर्त दिशा में शुरुआती बिंदु से घूमते हैं और लंबाई टी के पथ से गुजरते हैं;
• यूनिट सर्कल पर एक बिंदु के साथ एक ऋणात्मक संख्या t जुड़ा हुआ है, जिसे हम प्राप्त करेंगे यदि हम सर्कल के चारों ओर शुरुआती बिंदु से दक्षिणावर्त दिशा में घूमते हैं और लंबाई के पथ से गुजरते हैं |t| .

अब आइए संख्या t की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाओं पर चलते हैं। आइए मान लें कि संख्या टी सर्कल ए 1 (एक्स, वाई) के बिंदु से मेल खाती है (उदाहरण के लिए, संख्या &pi/2; बिंदु ए 1 (0, 1) से मेल खाती है)।

परिभाषा।

एक संख्या की ज्या t संख्या t के संगत इकाई वृत्त बिंदु की कोटि है, अर्थात, sint=y।

परिभाषा।

किसी संख्या का कोसाइन t को संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु का भुज कहा जाता है, अर्थात लागत = x।

परिभाषा।

किसी संख्या की स्पर्शरेखा t संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु के भुज के लिए कोटि का अनुपात है, अर्थात tgt=y/x। एक अन्य समतुल्य सूत्रीकरण में, संख्या t की स्पर्शरेखा इस संख्या की ज्या का कोज्या से अनुपात है, अर्थात, tgt=sint/cost ।

परिभाषा।

किसी संख्या की कोटिस्पर्श रेखा t संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु की कोटि के भुज का अनुपात है, अर्थात ctgt=x/y। एक अन्य सूत्रीकरण इस प्रकार है: संख्या t की स्पर्शरेखा संख्या t की कोज्या और संख्या t की ज्या का अनुपात है: ctgt=लागत/sint ।

यहां हम ध्यान दें कि अभी दी गई परिभाषाएं इस उपखंड की शुरुआत में दी गई परिभाषा से सहमत हैं। वास्तव में, संख्या t के संगत इकाई वृत्त का बिंदु t रेडियन के कोण से आरंभिक बिंदु को घुमाकर प्राप्त बिंदु से मेल खाता है।

यह बात भी स्पष्ट करने लायक है। मान लें कि हमारे पास sin3 प्रविष्टि है। कैसे समझें कि संख्या 3 की साइन या 3 रेडियंस के घूर्णन कोण की साइन प्रश्न में है? यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है, अन्यथा इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

पिछले पैराग्राफ में दी गई परिभाषाओं के अनुसार, प्रत्येक रोटेशन कोण α एक अच्छी तरह से परिभाषित मान sin α के साथ-साथ मूल्य cos α से मेल खाता है। इसके अलावा, 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) को छोड़कर सभी घूर्णन कोण tgα के मानों के अनुरूप होते हैं, और 180° k , k∈Z (π k rad ) के अलावा अन्य ctgα के मान हैं। इसलिए sinα, cosα, tgα और ctgα कोण α के कार्य हैं। दूसरे शब्दों में, ये कोणीय तर्क के कार्य हैं।

इसी तरह, हम एक संख्यात्मक तर्क के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के कार्यों के बारे में बात कर सकते हैं। दरअसल, प्रत्येक वास्तविक संख्या t sint के एक अच्छी तरह से परिभाषित मान के साथ-साथ लागत से मेल खाती है। इसके अलावा, π/2+π·k , k∈Z के अलावा सभी संख्याएँ tgt मानों के अनुरूप हैं, और संख्याएँ π·k , k∈Z ctgt मानों के अनुरूप हैं।

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट कार्यों को कहा जाता है बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्य.

यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट है कि हम कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्यों से निपट रहे हैं। अन्यथा, हम स्वतंत्र चर को कोण (कोण तर्क) और संख्यात्मक तर्क दोनों के माप के रूप में मान सकते हैं।

हालाँकि, स्कूल मुख्य रूप से संख्यात्मक कार्यों का अध्ययन करता है, अर्थात, ऐसे कार्य जिनके तर्क, साथ ही उनके संबंधित कार्य मान, संख्याएँ हैं। इसलिए, यदि हम कार्यों के बारे में बात कर रहे हैं, तो त्रिकोणमितीय कार्यों को संख्यात्मक तर्कों के कार्यों के रूप में मानने की सलाह दी जाती है।

ज्यामिति और त्रिकोणमिति से परिभाषाओं का संबंध

यदि हम रोटेशन के कोण α को 0 से 90 डिग्री तक मानते हैं, तो साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और रोटेशन के कोण की कोटिजेंट की परिभाषा के त्रिकोणमिति के संदर्भ में डेटा पूरी तरह से साइन, कोसाइन की परिभाषाओं के अनुरूप है। , समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा, जो ज्यामिति पाठ्यक्रम में दी गई हैं। आइए इसे प्रमाणित करें।

आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सी में एक यूनिट सर्कल बनाएं। शुरुआती बिंदु A(1, 0) पर ध्यान दें। आइए इसे 0 से 90 डिग्री तक के कोण α से घुमाएं, हमें बिंदु A 1 (x, y) मिलता है। आइए लंब A 1 H को बिंदु A 1 से ऑक्स अक्ष पर छोड़ दें।

यह देखना आसान है कि एक समकोण त्रिभुज में कोण A 1 OH, घूर्णन कोण α के बराबर है, इस कोण से सटे पैर OH की लंबाई बिंदु A 1 के भुज के बराबर है, अर्थात |OH |=x, कोण A 1 H के विपरीत पैर की लंबाई बिंदु A 1 के समन्वय के बराबर है, अर्थात, |A 1 H|=y , और कर्ण OA 1 की लंबाई एक के बराबर है , क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है। फिर, ज्यामिति से परिभाषा के अनुसार, समकोण त्रिभुज A 1 OH में एक तीव्र कोण α की ज्या कर्ण के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर है, अर्थात, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= वाई/1=वाई। और त्रिकोणमिति से परिभाषा के अनुसार, रोटेशन के कोण α की ज्या बिंदु A 1 की कोटि के बराबर है, अर्थात, sinα=y. इससे पता चलता है कि समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण की ज्या की परिभाषा 0 से 90 डिग्री तक α के लिए घूर्णन कोण α की परिभाषा के बराबर है।

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि एक न्यून कोण α की कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाएँ, रोटेशन α के कोण की कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाओं के अनुरूप हैं।

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अनुदेश

एक त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहा जाता है यदि इसका एक कोण 90 डिग्री का हो। इसमें दो पैर और एक कर्ण होता है। कर्ण इस त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है। यह एक समकोण के विरुद्ध स्थित है। पैर, क्रमशः, इसके छोटे पक्ष कहलाते हैं। वे या तो एक दूसरे के बराबर हो सकते हैं या अलग-अलग आकार के हो सकते हैं। पैरों की समानता जो आप एक समकोण त्रिभुज के साथ काम कर रहे हैं। इसकी सुंदरता यह है कि यह दो आकृतियों को जोड़ती है: एक समकोण त्रिभुज और एक समद्विबाहु त्रिभुज। यदि पैर समान नहीं हैं, तो त्रिभुज मनमाना है और मूल नियम के अनुसार: कोण जितना बड़ा होगा, उतना ही उसके विपरीत स्थित होगा।

कर्ण और कोण को खोजने के कई तरीके हैं। लेकिन उनमें से किसी एक का उपयोग करने से पहले, आपको यह निर्धारित करना चाहिए कि कौन सा और कौन सा कोण ज्ञात है। एक कोण और उससे सटे पैर को देखते हुए, कोण के कोसाइन द्वारा कर्ण को खोजना आसान होता है। एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण (cos a) का कोज्या कर्ण के सन्निकट पैर का अनुपात है। इसका तात्पर्य है कि कर्ण (सी) आसन्न पैर (बी) के कोण ए (कोस ए) के कोसाइन के अनुपात के बराबर होगा। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: cos a=b/c => c=b/cos a.

यदि एक कोण और एक विपरीत पैर दिया गया है, तो काम करना चाहिए। एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण (sin a) का साइन विपरीत पैर (a) का कर्ण (c) से अनुपात है। यहां सिद्धांत पिछले उदाहरण के समान ही है, कोसाइन फ़ंक्शन के बजाय केवल साइन लिया जाता है। sin a=a/c => c=a/sin a.

आप एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग भी कर सकते हैं जैसे . लेकिन वांछित मूल्य खोजना थोड़ा अधिक जटिल है। एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण (tg a) की स्पर्शरेखा विपरीत पैर (a) का आसन्न एक (b) से अनुपात है। दोनों पैरों को खोजने के बाद, पायथागॉरियन प्रमेय लागू करें (कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है) और बड़ा मिल जाएगा।

टिप्पणी

पायथागॉरियन प्रमेय के साथ काम करते समय, यह न भूलें कि आप डिग्री के साथ काम कर रहे हैं। पैरों के वर्गों का योग प्राप्त करने के बाद, अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए, आपको वर्गमूल लेना चाहिए।

स्रोत:

• पैर और कर्ण कैसे खोजें

कर्ण एक समकोण त्रिभुज में वह भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत होती है। इसकी लंबाई की गणना करने के लिए, किसी एक पैर की लंबाई और त्रिकोण के तीव्र कोणों में से एक का मान जानना पर्याप्त है।

अनुदेश

एक ज्ञात और तीव्र समकोण के साथ, कर्ण का आकार इस कोण के / के पैर का अनुपात है, यदि दिया गया कोण इसके विपरीत / आसन्न है:

h = C1(या C2)/sinα;

h = С1(या С2)/cosα।

उदाहरण: मान लीजिए कर्ण AB और C के साथ ABC दिया गया है। माना कोण B 60 डिग्री और कोण A 30 डिग्री है, भुजा BC की लंबाई 8 सेमी है। आपको कर्ण AB की लंबाई चाहिए। ऐसा करने के लिए, आप ऊपर सुझाए गए किसी भी तरीके का उपयोग कर सकते हैं:

AB=BC/cos60=8 सेमी.

AB = BC/sin30 = 8 सेमी.

शब्द " टांग" ग्रीक शब्द "लंबवत" या "ऊर्ध्वाधर" से आता है - यह बताता है कि एक समकोण त्रिभुज के दोनों पक्षों को, जो इसके नब्बे डिग्री कोण बनाते हैं, इस तरह से नाम दिया गया था। इनमें से किसी की लंबाई ज्ञात कीजिए टांग ov मुश्किल नहीं है अगर इसके निकटवर्ती कोण और किसी भी अन्य पैरामीटर का मान ज्ञात हो, क्योंकि इस मामले में सभी तीन कोणों के मान वास्तव में ज्ञात हो जाएंगे।

अनुदेश

यदि, आसन्न कोण (β) के मान के अतिरिक्त, दूसरे की लंबाई टांगए (बी), फिर लंबाई टांगऔर (ए) ज्ञात की लंबाई के भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है टांगऔर एक ज्ञात कोण पर: a=b/tg(β)। यह इस त्रिकोणमितीय की परिभाषा से आता है। यदि आप प्रमेय का उपयोग करते हैं तो आप स्पर्शरेखा के बिना कर सकते हैं। यह इस प्रकार है कि ज्ञात की लंबाई के अनुपात में विपरीत कोण की ज्या के लिए वांछित की लंबाई टांगलेकिन एक ज्ञात कोण की ज्या करने के लिए। वांछित के विपरीत टांगएक तीव्र कोण को एक ज्ञात कोण के रूप में 180°-90°-β = 90°-β के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि किसी भी त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होना चाहिए, और इसका एक कोण 90 के बराबर है। °। तो वांछित लंबाई टांगऔर सूत्र a=sin(90°-β)∗b/sin(β) द्वारा परिकलित किया जा सकता है।

यदि आसन्न कोण (β) का परिमाण और कर्ण (c) की लंबाई ज्ञात हो, तो लंबाई टांगऔर (ए) ज्ञात कोण के कर्ण की लंबाई और कोसाइन के उत्पाद के रूप में गणना की जा सकती है: a=c∗cos(β)। यह एक त्रिकोणमितीय फलन के रूप में कोज्या की परिभाषा से अनुसरण करता है। लेकिन आप उपयोग कर सकते हैं, जैसा कि पिछले चरण में, साइन प्रमेय और फिर वांछित लंबाई टांग a 90° के बीच ज्या के गुणनफल के बराबर होगा और कर्ण की लंबाई और समकोण की ज्या के अनुपात के ज्ञात कोण का गुणनफल होगा। और चूँकि 90° का ज्या एक के बराबर है, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: a=sin(90°-β)∗c।

व्यावहारिक गणनाएं की जा सकती हैं, उदाहरण के लिए, विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम में शामिल सॉफ्टवेयर कैलकुलेटर का उपयोग करना। इसे चलाने के लिए, आप "स्टार्ट" बटन पर मुख्य मेनू में "रन" आइटम का चयन कर सकते हैं, कैल्क कमांड टाइप करें और "ओके" बटन पर क्लिक करें। डिफ़ॉल्ट रूप से खुलने वाले इस प्रोग्राम के इंटरफ़ेस का सबसे सरल संस्करण त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस प्रदान नहीं करता है, इसलिए, इसे लॉन्च करने के बाद, आपको मेनू में "देखें" अनुभाग पर क्लिक करना होगा और "वैज्ञानिक" या "इंजीनियरिंग" लाइन का चयन करना होगा (आधार पर) आपके द्वारा उपयोग किए जा रहे ऑपरेटिंग सिस्टम के संस्करण पर)।

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शब्द "केटेट" ग्रीक से रूसी भाषा में आया। सटीक अनुवाद में, इसका अर्थ है एक साहुल रेखा, जो कि पृथ्वी की सतह के लंबवत है। गणित में, पैरों को भुजाएँ कहा जाता है जो एक समकोण त्रिभुज का समकोण बनाती हैं। इस कोण के सम्मुख भुजा कर्ण कहलाती है। "लेग" शब्द का उपयोग आर्किटेक्चर और वेल्डिंग तकनीक में भी किया जाता है।

एक समकोण त्रिभुज ACB खींचिए। इसके पैरों को a और b से लेबल करें, और इसके कर्ण c को लेबल करें। एक समकोण त्रिभुज की सभी भुजाएँ और कोण एक दूसरे से परिभाषित होते हैं। कर्ण के एक तीव्र कोण के विपरीत पैर के अनुपात को इस कोण की ज्या कहा जाता है। इस त्रिभुज में sinCAB=a/c. कोज्या आसन्न पैर के कर्ण का अनुपात है, यानी cosCAB=b/c। व्युत्क्रम संबंधों को छेदक और व्युत्क्रमज्या कहते हैं।

इस कोण का छेदक कर्ण को सन्निकट पाद से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात secCAB=c/b। यह कोसाइन के व्युत्क्रम को दर्शाता है, अर्थात, इसे सूत्र secCAB=1/cosSAB द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।
व्युत्क्रमज्या कर्ण को विपरीत पाद से विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है और ज्या का व्युत्क्रम होता है। इसकी गणना cosecCAB=1/sinCAB सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

दोनों पैर आपस में जुड़े हुए और स्पर्शरेखा हैं। इस मामले में, स्पर्शरेखा भुजा a से भुजा b का अनुपात होगा, अर्थात विपरीत पैर आसन्न पैर के लिए। यह अनुपात सूत्र tgCAB=a/b द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। तदनुसार, प्रतिलोम अनुपात कोटिस्पर्श होगा: ctgCAB=b/a।

कर्ण और दोनों पैरों के आकार के बीच का अनुपात प्राचीन यूनानी पाइथागोरस द्वारा निर्धारित किया गया था। प्रमेय, उसका नाम, लोग अभी भी उपयोग करते हैं। यह कहता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, अर्थात c2 \u003d a2 + b2। तदनुसार, प्रत्येक पैर कर्ण और दूसरे पैर के वर्गों के बीच के अंतर के वर्गमूल के बराबर होगा। यह सूत्र b=√(c2-a2) के रूप में लिखा जा सकता है।

पैर की लंबाई को आप जो संबंध जानते हैं, उसके द्वारा भी व्यक्त किया जा सकता है। साइन और कोसाइन के प्रमेय के अनुसार, पैर कर्ण के उत्पाद और इन कार्यों में से एक के बराबर है। आप इसे व्यक्त कर सकते हैं और या cotangent। पैर a पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सूत्र a \u003d b * tan CAB द्वारा। ठीक उसी तरह, दिए गए स्पर्शरेखा या के आधार पर, दूसरा पैर निर्धारित किया जाता है।

वास्तुकला में, "पैर" शब्द का भी प्रयोग किया जाता है। यह एक आयनिक राजधानी पर लगाया जाता है और इसकी पीठ के बीच से होकर निकलता है। अर्थात्, इस मामले में, इस पद के द्वारा, दी गई रेखा पर लंब।

वेल्डिंग तकनीक में, "लेग ऑफ़ ए फ़िलेट वेल्ड" होता है। अन्य मामलों की तरह, यह सबसे छोटी दूरी है। यहां हम दूसरे भाग की सतह पर स्थित सीम की सीमा तक वेल्ड किए जाने वाले भागों में से एक के बीच के अंतर के बारे में बात कर रहे हैं।

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स्रोत:

• 2019 में पैर और कर्ण क्या है