किसी फ़ंक्शन का अंतर एक अंतर का गुण है। फ़ंक्शन अंतर

अंतरबिंदु x पर फ़ंक्शन y = (x) को इसके वेतन वृद्धि का मुख्य भाग कहा जाता है, जो फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और तर्क की वृद्धि के उत्पाद के बराबर होता है, और इसे dу (या dƒ (x)) द्वारा दर्शाया जाता है: डाई = "(x) ∆x.

मुख्य अंतर:

किसी फ़ंक्शन के अंतर में व्युत्पन्न के समान गुण होते हैं।

1. लगातार अंतरशून्य के बराबर:
   डीसी = 0, सी = स्थिरांक।
2. अवकलनीय कार्यों के योग का विभेदकपदों के अंतरों के योग के बराबर है:

परिणाम। यदि दो अवकलनीय फलन एक स्थिर पद से भिन्न हों, तो उनके अवकल हैं

d(u+c) = du (c= const).

1. उत्पाद अंतरदो अलग-अलग कार्यों का योग पहले फ़ंक्शन के उत्पाद के बराबर है जो दूसरे के अंतर से है और दूसरे के उत्पाद के साथ पहले के अंतर के बराबर है:

डी(यूवी) = यूडीवी + वीडीयू।

परिणाम। अचर गुणनखंड को अंतर के चिह्न से निकाला जा सकता है

डी(सीयू) = सीडीयू (सी = स्थिरांक)।

1. भागफल अंतरदो भिन्न कार्यों के u/v u = u(x) और v = v(x) को सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है

1. एक स्वतंत्र चर की पसंद से अंतर के रूप की स्वतंत्रता की संपत्ति (अंतर के रूप की अपरिवर्तनीयता): किसी फ़ंक्शन का अंतर व्युत्पन्न के उत्पाद और तर्क के अंतर के बराबर है, भले ही यह तर्क एक स्वतंत्र चर या किसी अन्य स्वतंत्र चर का एक फलन है।

उच्च क्रम के डेरिवेटिव और अंतर।

मान लीजिए कि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है एफभिन्न करने योग्य. फिर इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का व्युत्पन्न कहा जाता है दूसरा व्युत्पन्नकार्य एफऔर निरूपित किया गया एफ". इस प्रकार,

एफ"(एक्स) = (एफ"(एक्स))" .

यदि अवकलनीय ( एन- 1)-फ़ंक्शन का वां व्युत्पन्न एफ, फिर उसका एन-वें व्युत्पन्नका व्युत्पन्न कहा जाता है ( एन- 1)फ़ंक्शन का वां व्युत्पन्न एफऔर निरूपित किया गया एफ(एन). इसलिए,

एफ(एन)(एक्स) = (एफ(एन-1)(एक्स))" , एन ϵ एन, च(0)(एक्स) = एफ(एक्स).

संख्या एनबुलाया व्युत्पन्न क्रम.

अंतर एन-वाँ क्रमकार्य एफअंतर से अंतर कहा जाता है ( एन- 1)-समान फ़ंक्शन का वां क्रम। इस प्रकार,

डी एन एफ(एक्स) = डी(डी एन -1 एफ(एक्स)), डी 0 एफ(एक्स) = एफ(एक्स), एन ϵ एन.

अगर एक्सतो, एक स्वतंत्र चर है

डीएक्स= स्थिरांक और डी 2 एक्स = डी 3 एक्स = ... = डी एन एक्स = 0.

इस मामले में, सूत्र मान्य है

डी एन एफ(एक्स) = एफ (एन) (एक्स)(डीएक्स)एन.

संजात एनबुनियादी प्राथमिक कार्यों से -वाँ क्रम

उचित सूत्र

कार्यों के अध्ययन के लिए व्युत्पन्नों का अनुप्रयोग।

कार्यों के लिए बुनियादी विभेदन प्रमेय:

रोले का प्रमेय

कार्य करने दो एफ: [ए, बी] → आरखंड पर निरंतर है [ ए, बी], और इस खंड के अंदर एक सीमित या अनंत व्युत्पन्न है। चलो, इसके अलावा, एफ(ए) = एफ(बी). फिर खंड के अंदर [ ए, बी] एक बात है ξ ऐसा है कि एफ"(ξ ) = 0.

लैग्रेंज का प्रमेय

यदि फ़ंक्शन एफ: [ए, बी] → आरखंड पर निरंतर है [ ए, बी] और इस खंड के आंतरिक बिंदुओं पर एक सीमित या अनंत व्युत्पन्न है, तो ऐसा है एफ(बी) - एफ(ए) = एफ"(ξ )(बी - ए).

कॉची का प्रमेय

यदि प्रत्येक कार्य एफऔर जीनिरंतर [ ए, बी] और इसका एक परिमित या अनंत व्युत्पन्न है] ए, बी[और यदि, इसके अतिरिक्त, व्युत्पन्न जी"(एक्स) ≠ 0 द्वारा ] ए, बी[, तो ऐसा है कि सूत्र

यदि यह अतिरिक्त रूप से आवश्यक है जी(ए) ≠ जी(बी), फिर स्थिति जी"(एक्स) ≠ 0 को कम कठोर से बदला जा सकता है:

1.डी सी = 0;

2.डी( सी यू(एक्स)) = सीडी यू(एक्स);

3.डी( यू(एक्स) ± वी(एक्स)) = डी यू( एक्स)±डी वी(एक्स);

4.डी( यू(एक्स) वी(एक्स)) = वी(एक्स) डी यू(एक्स) + यू(एक्स)डीवी( एक्स);

5. डी( यू(एक्स) / वी(एक्स)) = (वी(एक्स) डी यू(एक्स) - यू(एक्स) डी वी(एक्स)) / वी 2 (एक्स).

आइए हम एक और संपत्ति की ओर ध्यान दिलाएं जो अंतर में है, लेकिन व्युत्पन्न में नहीं है। फ़ंक्शन y = f(u) पर विचार करें, जहां u = φ(x), यानी, जटिल फ़ंक्शन y = f(φ(x)) पर विचार करें। यदि प्रत्येक फ़ंक्शन f और φ भिन्न हैं, तो प्रमेय के अनुसार जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, y" = f"(u) u" के बराबर है। फिर फ़ंक्शन का अंतर

डाई=एफ"(एक्स)डीएक्स=एफ"(यू)यू"डीएक्स = एफ"(यू)डु,

चूंकि आप "डीएक्स = डु। अर्थात्

डाई=एफ"(यू)दू.

(6)

अंतिम समानता का अर्थ है कि यदि x के फ़ंक्शन के बजाय, हम वेरिएबल u के फ़ंक्शन पर विचार करते हैं तो अंतर सूत्र नहीं बदलता है। विभेदक के इस गुण को कहा जाता है पहले अंतर के रूप का अपरिवर्तनीयता।

टिप्पणी।ध्यान दें कि सूत्र (5) में dx = ∆ x, और सूत्र (6) में du केवल फ़ंक्शन की वृद्धि का रैखिक भाग है यू.

पहले अंतर के लिए अभिव्यक्ति पर विचार करें

डाई=एफ"(एक्स)डीएक्स.

मान लीजिए कि दाईं ओर का फ़ंक्शन किसी दिए गए बिंदु x पर एक अवकलनीय फ़ंक्शन है। इसके लिए, यह पर्याप्त है कि y = f(x) किसी दिए गए बिंदु x पर दो बार भिन्न हो, और तर्क या तो एक स्वतंत्र चर है या दो बार भिन्न होने योग्य फ़ंक्शन है।

दूसरे क्रम का अंतर

परिभाषा 1 (दूसरे क्रम का अंतर)।मान δ(d य) δ के लिए पहले अंतर (5) का अंतर एक्स=डी एक्स, को फ़ंक्शन का दूसरा अंतर कहा जाता है y=f(एक्स) और d 2 से निरूपित किया जाता है य.

इस प्रकार,

डी 2 आप=δ ( डीवाई)| δ एक्स = डीएक्स .

विभेदक डी एन यप्रेरण द्वारा प्रस्तुत किया जा सकता है।

परिभाषा 7.मान δ(d n-1 य) से अंतर ( एन- 1) δ के लिए वां अंतर एक्स=डी एक्स, कहा जाता है एन-एम अंतर समारोह y=f(एक्स) और d n से निरूपित किया जाता है य.

d 2 के लिए एक व्यंजक ढूँढ़ें यआइए दो मामलों पर विचार करें जहां एक्स- स्वतंत्र चर और कब एक्स = φ( टी), यानी, वेरिएबल का एक फ़ंक्शन है टी.

1. होने देना एक्स = φ( टी), तब

डी 2 = δ( डीवाई)| δ एक्स = डीएक्स = δ( एफ"(एक्स)डीएक्स)| δ एक्स = डीएक्स =

= {δ( एफ"(एक्स))डीएक्स+एफ"(एक्स)δ( डीएक्स)} | δ एक्स = डीएक्स =f""(एक्स)(डीएक्स) 2 +च"(एक्स)डी 2 एक्स।

डी 2 y=f""(एक्स)(डीएक्स) 2 +च"(एक्स)डी 2 एक्स।

(7)

2. मान लीजिए कि x स्वतंत्र चर है

डी 2 y=f""(एक्स)(डीएक्स) 2 ,

चूँकि इस मामले में δ(dx) = (dx)"δ x = 0.

इसी प्रकार, प्रेरण द्वारा निम्नलिखित सूत्र प्राप्त करना आसान है यदि x स्वतंत्र चर है:

डी एन वाई = एफ (एन) (एक्स)(डीएक्स)एन।

इस सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि f (n) = d n y/(dx) n ।

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि दूसरे और उच्चतर क्रम के अंतरों में अपरिवर्तनीयता का गुण नहीं होता है, जो दूसरे क्रम के अंतर (7) के सूत्र से तुरंत स्पष्ट होता है।

एक चर के फ़ंक्शन का अभिन्न कलन

अनिश्चितकालीन अभिन्न.

किसी फ़ंक्शन को फ़ंक्शन के संबंध में एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है यदि यह भिन्न और स्थिति है

जाहिर है, जहां C कोई स्थिरांक है।

किसी फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग इस फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव्स का सेट है। अनिश्चितकालीन अभिन्न को निरूपित और बराबर किया जाता है

अटूट रूप से जुड़े होने के कारण, मानव वैज्ञानिक और तकनीकी गतिविधि की प्रक्रिया में उत्पन्न होने वाली लगभग सभी समस्याओं को हल करने में इन दोनों का कई शताब्दियों से सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता रहा है।

विभेद की अवधारणा का उद्भव

पहली बार उन्होंने बताया कि डिफरेंशियल क्या है, डिफरेंशियल कैलकुलस के संस्थापकों में से एक (आइजैक न्यूटन के साथ), प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ गॉटफ्रीड विल्हेम लाइबनिज। इससे पूर्व गणितज्ञ 17 कला. किसी भी ज्ञात फ़ंक्शन के कुछ असीम रूप से छोटे "अविभाज्य" भाग का एक बहुत ही अस्पष्ट और अस्पष्ट विचार का उपयोग किया गया था, जो एक बहुत छोटे स्थिर मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन शून्य के बराबर नहीं है, जिससे कम फ़ंक्शन का मान बस नहीं हो सकता है। यहां से कार्यों के तर्कों की अनंतिम वृद्धि की अवधारणा और स्वयं कार्यों के संबंधित वेतन वृद्धि की शुरुआत के लिए केवल एक कदम था, जो बाद के डेरिवेटिव के माध्यम से व्यक्त किया गया था। और यह कदम उपरोक्त दोनों महान वैज्ञानिकों द्वारा लगभग एक साथ उठाया गया था।

यांत्रिकी की तत्काल व्यावहारिक समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के आधार पर, जो तेजी से विकसित हो रहे उद्योग और प्रौद्योगिकी ने विज्ञान के सामने पेश की, न्यूटन और लाइबनिज ने कार्यों में परिवर्तन की दर (मुख्य रूप से गतिमान शरीर की यांत्रिक गति के संबंध में) का पता लगाने के लिए सामान्य तरीके बनाए। एक ज्ञात प्रक्षेपवक्र), जिसके परिणामस्वरूप एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और अंतर के रूप में ऐसी अवधारणाओं की शुरुआत हुई, और व्युत्क्रम समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम भी मिला, एक ज्ञात (परिवर्तनीय) गति से तय की गई दूरी का पता कैसे लगाया जाए, जिसके कारण एक अभिन्न की अवधारणा के उद्भव के लिए.

लीबनिज़ और न्यूटन के कार्यों में, पहली बार यह विचार सामने आया कि अंतर फ़ंक्शन Δy की वृद्धि के मुख्य भाग हैं, तर्क Δx की वृद्धि के आनुपातिक हैं, जिन्हें के मूल्यों की गणना करने के लिए सफलतापूर्वक लागू किया जा सकता है बाद वाला। दूसरे शब्दों में, उन्होंने पता लगाया कि किसी फ़ंक्शन की वृद्धि को किसी भी बिंदु पर (इसकी परिभाषा के क्षेत्र के भीतर) 0 के रूप में इसके व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो कि Δx से कहीं अधिक तेज़ है।

गणितीय विश्लेषण के संस्थापकों के अनुसार, किसी भी फ़ंक्शन की वृद्धि के लिए अभिव्यक्ति में अंतर केवल पहला पद है। अभी तक अनुक्रमों की सीमा की स्पष्ट रूप से तैयार की गई अवधारणा नहीं होने के कारण, उन्होंने सहजता से समझ लिया कि अंतर का मान फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की ओर Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x) के रूप में होता है।

न्यूटन के विपरीत, जो मुख्य रूप से एक भौतिक विज्ञानी थे और भौतिक समस्याओं के अध्ययन के लिए गणितीय उपकरण को एक सहायक उपकरण मानते थे, लीबनिज ने इस टूलकिट पर ही अधिक ध्यान दिया, जिसमें गणितीय मात्राओं के लिए दृश्य और समझने योग्य संकेतन की एक प्रणाली भी शामिल थी। यह वह था जिसने फ़ंक्शन dy \u003d y "(x) dx, तर्क dx और उनके अनुपात y" (x) \u003d dy / dx के रूप में फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के अंतर के लिए आम तौर पर स्वीकृत संकेतन का प्रस्ताव दिया था। .

आधुनिक परिभाषा

आधुनिक गणित के संदर्भ में अंतर क्या है? यह परिवर्तनीय वेतन वृद्धि की अवधारणा से निकटता से संबंधित है। यदि चर y पहले मान y = y 1 और फिर y = y 2 लेता है, तो अंतर y 2 ─ y 1 को y की वृद्धि कहा जाता है।

वृद्धि सकारात्मक हो सकती है. नकारात्मक और शून्य के बराबर. शब्द "वृद्धि" को Δ द्वारा दर्शाया जाता है, अंकन Δy ("डेल्टा y" पढ़ें) y की वृद्धि को दर्शाता है। तो Δу = y 2 ─ y 1 .

यदि एक मनमाना फ़ंक्शन y = f (x) का मान Δу को Δу = A Δх + α के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां A की Δх पर कोई निर्भरता नहीं है, यानी किसी दिए गए x के लिए A = स्थिरांक, और शब्द α इसकी ओर प्रवृत्त होता है Δx से भी तेज़, तो Δx के लिए आनुपातिक पहला ("मुख्य") शब्द y \u003d f (x) के लिए अंतर है, जिसे dy या df (x) द्वारा दर्शाया गया है ("de y", "x से de ef पढ़ें) "). इसलिए, अंतर Δx के संबंध में कार्यों की वृद्धि के "मुख्य" रैखिक घटक हैं।

यांत्रिक व्याख्या

मान लीजिए s = f(t) प्रारंभिक स्थिति से दूरी है (t यात्रा का समय है)। वृद्धि Δs समय अंतराल Δt में बिंदु का पथ है, और अंतर ds = f "(t) Δt वह पथ है जो बिंदु उसी समय Δt में यात्रा करता यदि उसने गति f रखी होती" (t) ) समय t तक पहुंच गया। एक असीम रूप से छोटे Δt के लिए, काल्पनिक पथ ds वास्तविक Δs से एक अनंत छोटे मान से भिन्न होता है, जिसका Δt के संबंध में उच्च क्रम होता है। यदि समय t पर गति शून्य के बराबर नहीं है, तो ds बिंदु के छोटे विस्थापन का अनुमानित मान देता है।

ज्यामितीय व्याख्या

माना रेखा L ग्राफ y = f(x) है। फिर Δ x = MQ, Δy = QM "(नीचे चित्र देखें)। स्पर्शरेखा MN खंड Δy को दो भागों, QN और NM में विभाजित करती है"। पहला Δх के समानुपाती है और QN = MQ∙tg (कोण QMN) = Δх f "(x) के बराबर है, यानी QN अंतर डाई है।

दूसरा भाग NM"अंतर Δу ─ dy देता है, Δх→0 पर NM की लंबाई" तर्क की वृद्धि से भी तेजी से घटती है, यानी इसकी लघुता का क्रम Δх से अधिक है। विचाराधीन मामले में, f "(x) ≠ 0 (स्पर्शरेखा OX के समानांतर नहीं है) के लिए, खंड QM" और QN समतुल्य हैं; दूसरे शब्दों में, NM" कुल वृद्धि Δу = QM की तुलना में तेजी से घटता है (इसकी लघुता का क्रम अधिक है)। इसे चित्र में देखा जा सकता है (जैसा कि एम "एम के पास पहुंचता है, खंड एनएम" खंड क्यूएम का एक छोटा प्रतिशत बनाता है)।

तो, ग्राफ़िक रूप से, एक मनमाना फ़ंक्शन का अंतर उसके स्पर्शरेखा की कोटि की वृद्धि के परिमाण के बराबर होता है।

व्युत्पन्न और विभेदक

फ़ंक्शन की वृद्धि के लिए अभिव्यक्ति के पहले पद में गुणांक A इसके व्युत्पन्न f "(x) के मान के बराबर है। इस प्रकार, निम्नलिखित संबंध होता है - dy \u003d f" (x) Δx, या df (एक्स) \u003d एफ "(एक्स) Δx।

यह ज्ञात है कि स्वतंत्र तर्क की वृद्धि इसके अंतर Δх = dx के बराबर है। तदनुसार, आप लिख सकते हैं: f "(x) dx \u003d dy।

अंतर ढूँढना (कभी-कभी "समाधान" कहा जाता है) डेरिवेटिव के समान नियमों के अनुसार किया जाता है। उनकी सूची नीचे दी गई है.

क्या अधिक सार्वभौमिक है: तर्क की वृद्धि या उसका अंतर

यहां कुछ स्पष्टीकरण करना जरूरी है. x को एक तर्क के रूप में मानने पर अंतर के मान f "(x) Δx द्वारा प्रतिनिधित्व संभव है। लेकिन फ़ंक्शन जटिल हो सकता है, जिसमें x कुछ तर्क t का एक फ़ंक्शन हो सकता है। फिर अभिव्यक्ति द्वारा अंतर का प्रतिनिधित्व f "(x) Δx, एक नियम के रूप में, असंभव है; रैखिक निर्भरता x = at + b के मामले को छोड़कर।

सूत्र f "(x) dx \u003d dy के लिए, फिर एक स्वतंत्र तर्क x (तब dx \u003d Δx) के मामले में, और t पर x की पैरामीट्रिक निर्भरता के मामले में, यह एक अंतर का प्रतिनिधित्व करता है।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 2 x Δx, y = x 2 के लिए इसके अंतर को दर्शाता है जब x एक तर्क है। आइए अब x= t 2 सेट करें और t को एक तर्क के रूप में लें। तब y = x 2 = t 4।

यह अभिव्यक्ति Δt के समानुपाती नहीं है और इसलिए अब 2xΔх एक अंतर नहीं है। इसे समीकरण y = x 2 = t 4 से पाया जा सकता है। यह dy=4t 3 Δt के बराबर निकला।

यदि हम अभिव्यक्ति 2xdx लेते हैं, तो यह किसी भी तर्क t के लिए अंतर y = x 2 का प्रतिनिधित्व करता है। दरअसल, x= t 2 पर हमें dx = 2tΔt मिलता है।

इसका मतलब यह है कि 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, यानी, दो अलग-अलग चर के संदर्भ में लिखे गए अंतरों के भाव मेल खाते हैं।

वेतन वृद्धियों को विभेदकों से बदलना

यदि f "(x) ≠ 0, तो Δу और dy समतुल्य हैं (Δх→0 के लिए); यदि f "(x) = 0 (जिसका अर्थ है dy = 0), तो वे समतुल्य नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, यदि y = x 2, तो Δy = (x + Δx) 2 ─ x 2 = 2xΔx + Δx 2, और dy = 2xΔx। यदि x=3, तो हमारे पास Δу = 6Δх + Δх 2 और dy = 6Δх है, जो Δх 2 →0 के कारण समतुल्य हैं, x=0 पर मान Δу = Δх 2 और dy=0 समतुल्य नहीं हैं।

यह तथ्य, अंतर की सरल संरचना (यानी Δx के संबंध में रैखिकता) के साथ, अक्सर अनुमानित गणना में उपयोग किया जाता है, यह मानते हुए कि छोटे Δx के लिए Δy ≈ dy। किसी फ़ंक्शन का अंतर ढूंढना आम तौर पर वृद्धि के सटीक मान की गणना करने से आसान होता है।

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक धातु का घन है जिसका किनारा x = 10.00 सेमी है। गर्म करने पर, किनारा Δx = 0.001 सेमी लंबा हो जाता है। घन का आयतन V कितना बढ़ गया? हमारे पास V \u003d x 2 है, ताकि dV \u003d 3x 2 Δx \u003d 3 10 2 0 / 01 \u003d 3 (सेमी 3)। आयतन ΔV में वृद्धि अंतर dV के बराबर है, इसलिए ΔV = 3 सेमी 3। एक पूर्ण गणना ΔV = 10.01 3 ─ 10 3 = 3.003001 देगी। लेकिन इस परिणाम में, पहले को छोड़कर सभी आंकड़े अविश्वसनीय हैं; तो, वैसे भी, आपको इसे 3 सेमी 3 तक गोल करने की आवश्यकता है।

यह स्पष्ट है कि ऐसा दृष्टिकोण तभी उपयोगी है जब शुरू की गई त्रुटि की भयावहता का अनुमान लगाना संभव हो।

फ़ंक्शन विभेदक: उदाहरण

आइए अवकलज ज्ञात किए बिना फलन y = x 3 का अंतर ज्ञात करने का प्रयास करें। आइए तर्क को बढ़ाएं और Δу को परिभाषित करें।

Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3)।

यहां गुणांक A= 3x 2 Δх पर निर्भर नहीं है, इसलिए पहला पद Δх के समानुपाती है, जबकि दूसरा पद 3xΔх 2 + Δх 3 Δх→0 पर तर्क की वृद्धि की तुलना में तेजी से घटता है। इसलिए, पद 3x 2 Δx अंतर y = x 3 है:

डाई = 3x 2 Δx = 3x 2 dx या d (x 3) = 3x 2 dx।

इस स्थिति में, d(x 3) / dx = 3x 2।

आइए अब हम फलन y = 1/x का व्युत्पन्न के रूप में dy ज्ञात करें। फिर d(1/x) / dx = ─1/x 2 . इसलिए, dy = ─ Δх/х 2।

बुनियादी बीजीय फलनों के अंतर नीचे दिये गये हैं।

अंतर का उपयोग करके अनुमानित गणना

x=a के लिए फ़ंक्शन f (x), साथ ही इसके व्युत्पन्न f "(x) की गणना करना अक्सर मुश्किल नहीं होता है, लेकिन बिंदु x=a के आसपास के क्षेत्र में भी ऐसा करना आसान नहीं होता है। फिर अनुमानित अभिव्यक्ति बचाव के लिए आती है

एफ (ए + Δх) ≈ एफ "(ए) Δх + एफ (ए)।

यह अपने अंतर f "(a)Δх के माध्यम से छोटे वेतन वृद्धि Δх पर फ़ंक्शन का अनुमानित मूल्य देता है।

इसलिए, यह सूत्र लंबाई Δx के एक खंड के अंतिम बिंदु पर फ़ंक्शन के लिए एक अनुमानित अभिव्यक्ति देता है, जो इस खंड के शुरुआती बिंदु (x=a) पर इसके मान और उसी शुरुआती बिंदु पर अंतर के योग के रूप में होता है। फ़ंक्शन का मान निर्धारित करने की इस पद्धति की त्रुटि नीचे दिए गए चित्र में दिखाई गई है।

हालाँकि, x=a+Δх के लिए फ़ंक्शन के मान की सटीक अभिव्यक्ति भी ज्ञात है, जो परिमित वृद्धि के सूत्र द्वारा दी गई है (या, दूसरे शब्दों में, लैग्रेंज सूत्र)

एफ (ए + Δх) ≈ एफ "(ξ) Δх + एफ (ए),

जहां बिंदु x = a + ξ, x = a से x = a + Δx तक के खंड पर है, हालांकि इसकी सटीक स्थिति अज्ञात है। सटीक सूत्र अनुमानित सूत्र की त्रुटि का अनुमान लगाना संभव बनाता है। यदि हम लैग्रेंज सूत्र में ξ = Δх /2 डालते हैं, तो यद्यपि यह सटीक होना बंद हो जाता है, यह आमतौर पर अंतर के माध्यम से मूल अभिव्यक्ति की तुलना में बहुत बेहतर सन्निकटन देता है।

अंतर लागू करके सूत्रों की त्रुटि का अनुमान लगाना

सिद्धांत रूप में, वे गलत हैं, और माप डेटा में संबंधित त्रुटियां पेश करते हैं। उन्हें सीमांत या, संक्षेप में, सीमांत त्रुटि की विशेषता है - एक सकारात्मक संख्या, स्पष्ट रूप से निरपेक्ष मूल्य में इस त्रुटि से अधिक (या कम से कम इसके बराबर)। सीमा को मापे गए मान के निरपेक्ष मान से उसके विभाजन का भागफल कहा जाता है।

मान लीजिए कि फ़ंक्शन y की गणना के लिए सटीक सूत्र y= f (x) का उपयोग किया जाता है, लेकिन x का मान माप का परिणाम है और इसलिए y में एक त्रुटि उत्पन्न करता है। फिर, फ़ंक्शन y की सीमित निरपेक्ष त्रुटि │‌‌Δу│ खोजने के लिए, सूत्र का उपयोग करें

│hΔу│≈│hdy│=│ f "(x)││Δх│,

जहां │Δх│ तर्क की सीमांत त्रुटि है। मान │‌‌Δу│ को पूर्णांकित किया जाना चाहिए, क्योंकि अंतर की गणना द्वारा वेतन वृद्धि की गणना का प्रतिस्थापन ही गलत है।

यदि फ़ंक्शन एक बिंदु पर भिन्न , तो इसकी वृद्धि को दो पदों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है

. ये पद इनके लिए अतिसूक्ष्म फलन हैं
.पहला पद इसके संबंध में रैखिक है
, दूसरे की तुलना में एक अतिसूक्ष्म उच्चतर क्रम है
।वास्तव में,

.

इस प्रकार, दूसरा पद
फ़ंक्शन की वृद्धि ज्ञात करते समय तेजी से शून्य हो जाता है
पहला पद मुख्य भूमिका निभाता है
या (क्योंकि
)
.

परिभाषा . फ़ंक्शन वृद्धि का मुख्य भाग
बिंदु पर , के संबंध में रैखिक
,विभेदक कहा जाता है कार्य इस बिंदु पर और निरूपितडीवाईयाडीएफ(एक्स)

. (2)

इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: एक स्वतंत्र चर का अंतर उसकी वृद्धि के साथ मेल खाता है, अर्थात
.

संबंध (2) अब रूप लेता है

(3)

टिप्पणी . संक्षिप्तता के लिए सूत्र (3) प्रायः रूप में लिखा जाता है

(4)

अंतर का ज्यामितीय अर्थ

एक अवकलनीय फलन के ग्राफ़ पर विचार करें
. अंक
और फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित हैं। बिंदु पर एमएक स्पर्शरेखा कोकिसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर जिसका कोण अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ है
द्वारा निरूपित करें
. आइए सीधे चित्र बनाएं एम.एन. अक्ष के समानांतर बैल और
अक्ष के समानांतर ओए. फ़ंक्शन की वृद्धि खंड की लंबाई के बराबर है
. एक समकोण त्रिभुज से
, जिसमें
, हम पाते हैं

उपरोक्त तर्क हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है:

फ़ंक्शन अंतर
बिंदु पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के संबंधित बिंदु पर स्पर्शरेखा की कोटि में वृद्धि द्वारा दर्शाया गया है
.

अंतर और व्युत्पन्न के बीच संबंध

सूत्र पर विचार करें (4)

.

हम इस समानता के दोनों पक्षों को विभाजित करते हैं डीएक्स, तब

.

इस प्रकार, किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उसके अंतर और स्वतंत्र चर के अंतर के अनुपात के बराबर होता है.

अक्सर यही रवैया इसे केवल एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दर्शाने वाले प्रतीक के रूप में माना जाता है परतर्क से एक्स.

व्युत्पन्न के लिए सुविधाजनक संकेतन भी है:

,
और इसी तरह।

प्रविष्टियों का भी उपयोग किया जाता है

,
,

विशेष रूप से तब सुविधाजनक होता है जब किसी जटिल अभिव्यक्ति का व्युत्पन्न लिया जाता है।

2. योग, गुणनफल और भागफल का अंतर।

चूँकि व्युत्पन्न से अंतर को एक स्वतंत्र चर के अंतर से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, तो, बुनियादी प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न, साथ ही व्युत्पन्न खोजने के नियमों को जानकर, कोई भी अंतर खोजने के लिए समान नियमों पर आ सकता है।

1 0 . एक स्थिरांक का अंतर शून्य है

.

2 0 . भिन्न-भिन्न कार्यों की एक सीमित संख्या के बीजगणितीय योग का अंतर इन कार्यों के अंतरों के बीजगणितीय योग के बराबर है

3 0 . दो भिन्न-भिन्न फलनों के गुणनफल का अंतर पहले फलन के गुणनफल और दूसरे तथा दूसरे फलन के गुणनफल और पहले फलन के अंतर के योग के बराबर होता है।

.

परिणाम. अचर गुणनखंड को अंतर के चिह्न से निकाला जा सकता है

.

उदाहरण. फ़ंक्शन का अंतर ज्ञात करें।

समाधान। हम इस फ़ंक्शन को फॉर्म में लिखते हैं

,

तो हम पाते हैं

.

4. पैरामीट्रिक रूप से दिए गए कार्य, उनका विभेदन।

परिभाषा . समारोह
यदि दोनों चर हों तो इसे पैरामीट्रिक रूप से दिया गया कहा जाता है एक्स और पर प्रत्येक को अलग-अलग एक ही सहायक चर - पैरामीटर के एकल-मूल्यवान कार्यों के रूप में परिभाषित किया गया हैटी:

कहाँटीभीतर भिन्न होता है
.

टिप्पणी . कार्यों का पैरामीट्रिक असाइनमेंट सैद्धांतिक यांत्रिकी में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जहां पैरामीटर टी समय और समीकरणों को दर्शाता है
किसी गतिमान बिंदु के प्रक्षेपण में परिवर्तन के नियम हैं
धुरी पर
और
.

टिप्पणी . हम एक वृत्त और एक दीर्घवृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण प्रस्तुत करते हैं।

a) मूल बिंदु और त्रिज्या पर केन्द्रित वृत्त आर पैरामीट्रिक समीकरण हैं:

कहाँ
.

बी) आइए दीर्घवृत्त के लिए पैरामीट्रिक समीकरण लिखें:

कहाँ
.

पैरामीटर को छोड़कर टी विचाराधीन रेखाओं के पैरामीट्रिक समीकरणों से, कोई उनके विहित समीकरणों पर पहुंच सकता है।

प्रमेय . यदि फ़ंक्शन य तर्क से x को समीकरणों द्वारा पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है
, कहाँ
और
द्वारा भिन्नटीकार्य और
, वह

.

उदाहरण. किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें परसे एक्सपैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दिया गया।

समाधान।
.