भिन्नों की तुलना एक सामान्य हर से कैसे करें। भिन्नों की तुलना करना: नियम, उदाहरण, समाधान

इस पाठ में हम सीखेंगे कि भिन्नों की एक दूसरे से तुलना कैसे करें। यह एक बहुत ही उपयोगी कौशल है जो अधिक जटिल समस्याओं की एक पूरी श्रेणी को हल करने के लिए आवश्यक है।

सबसे पहले, मैं आपको भिन्नों की समानता की परिभाषा याद दिला दूं:

यदि ad = bc हो तो भिन्न a/b और c/d को बराबर कहा जाता है।

1. 5/8 = 15/24, क्योंकि 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, चूँकि 3 18 = 2 27 = 54.

अन्य सभी मामलों में, भिन्न असमान हैं, और निम्नलिखित में से एक कथन उनके लिए सत्य है:

1. भिन्न a/b भिन्न c/d से बड़ा है;
2. भिन्न a/b भिन्न c/d से कम है।

भिन्न a /b को भिन्न c /d से बड़ा कहा जाता है यदि a /b − c /d > 0.

एक भिन्न x /y को भिन्न s /t से छोटा कहा जाता है यदि x /y − s /t< 0.

पद का नाम:

इस प्रकार, भिन्नों की तुलना करने से उन्हें घटाना संभव हो जाता है। प्रश्न: "से अधिक" (>) और "से कम" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. जैकडॉ का उभरा हुआ हिस्सा हमेशा बड़ी संख्या की ओर इशारा करता है;
2. जैकडॉ की तेज़ नाक हमेशा कम संख्या की ओर इशारा करती है।

अक्सर उन समस्याओं में जहां आपको संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता होती है, उनके बीच एक "∨" चिह्न लगाया जाता है। यह नीचे की ओर नाक वाला एक पंजा है, जो संकेत देता प्रतीत होता है: बड़ी संख्या अभी तक निर्धारित नहीं की गई है।

काम। संख्याओं की तुलना करें:

परिभाषा का पालन करते हुए, भिन्नों को एक दूसरे से घटाएँ:

प्रत्येक तुलना में, हमें भिन्नों को एक सामान्य हर तक कम करना था। विशेष रूप से, क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करना और लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना। मैंने जानबूझकर इन बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित नहीं किया, लेकिन अगर कुछ स्पष्ट नहीं है, तो "भिन्नों को जोड़ना और घटाना" पाठ पर एक नज़र डालें - यह बहुत आसान है।

दशमलव की तुलना

दशमलव भिन्नों के मामले में, सब कुछ बहुत सरल है। यहां कुछ भी घटाने की जरूरत नहीं है - बस अंकों की तुलना करें। यह याद रखना एक अच्छा विचार है कि किसी संख्या का महत्वपूर्ण भाग क्या है। जो लोग भूल गए हैं, उनके लिए मैं "दशमलवों को गुणा करना और विभाजित करना" पाठ दोहराने का सुझाव देता हूं - इसमें भी बस कुछ मिनट लगेंगे।

एक धनात्मक दशमलव X, धनात्मक दशमलव Y से बड़ा होता है यदि इसमें दशमलव स्थान इस प्रकार हो:

1. भिन्न X में इस अंक का अंक भिन्न Y में संगत अंक से बड़ा है;
2. भिन्न X और Y में दिए गए से पुराने सभी अंक समान हैं।

1. 12.25 > 12.16. पहले दो अंक समान हैं (12 = 12), और तीसरा बड़ा है (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

दूसरे शब्दों में, हम एक-एक करके दशमलव स्थानों पर जाते हैं और अंतर तलाशते हैं। इस मामले में, एक बड़ी संख्या एक बड़े भिन्न से मेल खाती है।

हालाँकि, इस परिभाषा को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, दशमलव स्थानों को कैसे लिखें और तुलना करें? याद रखें: दशमलव रूप में लिखी गई किसी भी संख्या में बायीं ओर कितनी भी संख्या में शून्य जोड़ा जा सकता है। यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2. 2300.5 > 0.0025, क्योंकि 0.0025 = 0000.0025 - बाईं ओर तीन शून्य जोड़े गए। अब आप देख सकते हैं कि अंतर पहले अंक से शुरू होता है: 2 > 0.

बेशक, शून्य के साथ दिए गए उदाहरणों में स्पष्ट रूप से अधिकता थी, लेकिन मुद्दा बिल्कुल यही है: बाईं ओर गायब बिट्स भरें, और फिर तुलना करें।

काम। भिन्नों की तुलना करें:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

1. 0.029 > 0.007. पहले दो अंक मेल खाते हैं (00 = 00), फिर अंतर शुरू होता है (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0.00003 > 0.0000099. यहां आपको शून्यों को सावधानीपूर्वक गिनने की जरूरत है। दोनों भिन्नों में पहले 5 अंक शून्य हैं, लेकिन फिर पहले भिन्न में 3 है, और दूसरे में - 0। जाहिर है, 3 > 0;
4. 1700.1 > 0.99501. आइए बाईं ओर 3 शून्य जोड़कर दूसरे अंश को 0000.99501 के रूप में फिर से लिखें। अब सब कुछ स्पष्ट है: 1 > 0 - अंतर पहले अंक में पता चला है।

दुर्भाग्य से, दशमलव भिन्नों की तुलना करने की दी गई योजना सार्वभौमिक नहीं है। यह विधि केवल तुलना ही कर सकती है सकारात्मक संख्या. सामान्य स्थिति में, ऑपरेटिंग एल्गोरिदम इस प्रकार है:

1. एक धनात्मक भिन्न सदैव ऋणात्मक भिन्न से बड़ा होता है;
2. उपरोक्त एल्गोरिथम का उपयोग करके दो सकारात्मक भिन्नों की तुलना की जाती है;
3. दो ऋणात्मक भिन्नों की तुलना इसी प्रकार की जाती है, लेकिन अंत में असमानता का चिह्न उलट जाता है।

अच्छा, बुरा नहीं? अब आइए विशिष्ट उदाहरण देखें - और सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा।

काम। भिन्नों की तुलना करें:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0.192 > −0.39. भिन्न ऋणात्मक हैं, दूसरा अंक भिन्न है। 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0.15 > −11.3. एक धनात्मक संख्या सदैव ऋणात्मक संख्या से बड़ी होती है;
4. 19.032 > 0.091. यह देखने के लिए कि अंतर पहले अंक में पहले से ही उत्पन्न होता है, दूसरे अंश को 00.091 के रूप में फिर से लिखना पर्याप्त है;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. अंतर पहली श्रेणी में है.

रोजमर्रा की जिंदगी में हमें अक्सर आंशिक मात्राओं की तुलना करनी पड़ती है। प्रायः इससे कोई कठिनाई नहीं होती। दरअसल, हर कोई समझता है कि आधा सेब एक चौथाई से बड़ा होता है। लेकिन जब इसे गणितीय अभिव्यक्ति के रूप में लिखने की बात आती है, तो यह भ्रमित हो सकता है। निम्नलिखित गणितीय नियमों को लागू करके आप इस समस्या को आसानी से हल कर सकते हैं।

समान हर वाले भिन्नों की तुलना कैसे करें

ऐसे भिन्नों की तुलना करना सबसे सुविधाजनक होता है। इस स्थिति में, नियम का उपयोग करें:

समान हर लेकिन अलग-अलग अंश वाली दो भिन्नों में से बड़ी वह होती है जिसका अंश बड़ा होता है और छोटी वह होती है जिसका अंश छोटा होता है।

उदाहरण के लिए, भिन्नों 3/8 और 5/8 की तुलना करें। इस उदाहरण में हर बराबर हैं, इसलिए हम इस नियम को लागू करते हैं। 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

दरअसल, अगर आप दो पिज्जा को 8 स्लाइस में काटते हैं, तो 3/8 स्लाइस हमेशा 5/8 से कम होते हैं।

भिन्नों की तुलना समान अंशों और असमान हरों से करना

इस मामले में, हर शेयर के आकार की तुलना की जाती है। लागू होने वाला नियम है:

यदि दो भिन्नों का अंश समान हो तो बड़ी भिन्न वह होती है जिसका हर छोटा होता है।

उदाहरण के लिए, भिन्नों 3/4 और 3/8 की तुलना करें। इस उदाहरण में, अंश बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम दूसरे नियम का उपयोग करते हैं। भिन्न 3/4 का हर भिन्न 3/8 से छोटा है। इसलिए 3/4>3/8

दरअसल, यदि आप पिज्जा के 3 स्लाइस को 4 भागों में बांटकर खाते हैं, तो आपका पेट 8 भागों में बांटकर खाए गए पिज्जा के 3 स्लाइस की तुलना में अधिक भरा होगा।

विभिन्न अंशों और हरों के साथ भिन्नों की तुलना करना

आइए तीसरा नियम लागू करें:

विभिन्न हर वाले भिन्नों की तुलना समान हर वाले भिन्नों से की जानी चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना होगा और पहले नियम का उपयोग करना होगा।

उदाहरण के लिए, आपको भिन्नों और की तुलना करने की आवश्यकता है। बड़े भिन्न को निर्धारित करने के लिए, हम इन दो भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं:

• अब आइए दूसरा अतिरिक्त कारक खोजें: 6:3=2. हम इसे दूसरे अंश के ऊपर लिखते हैं:

यह पता लगाने के लिए कि कौन सा भिन्न बड़ा है और कौन सा छोटा है, दो असमान भिन्नों की आगे तुलना की जाती है। दो भिन्नों की तुलना करने के लिए, भिन्नों की तुलना करने का एक नियम है, जिसे हम नीचे बनाएंगे, और हम समान और भिन्न हर वाले भिन्नों की तुलना करते समय इस नियम के अनुप्रयोग के उदाहरणों का भी विश्लेषण करेंगे। अंत में, हम दिखाएंगे कि भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाए बिना समान अंशों के साथ उनकी तुलना कैसे की जाए, और यह भी विचार करें कि एक साधारण भिन्न की तुलना एक प्राकृतिक संख्या से कैसे की जाए।

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समान हर वाले भिन्नों की तुलना करना

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करनामूलतः समान शेयरों की संख्या की तुलना है। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 3/7 3 भाग 1/7 निर्धारित करता है, और भिन्न 8/7 8 भाग 1/7 से मेल खाता है, इसलिए समान हर 3/7 और 8/7 के साथ भिन्नों की तुलना करने से संख्याओं की तुलना होती है 3 और 8, अर्थात् अंशों की तुलना करना।

इन विचारों से यह निष्कर्ष निकलता है भिन्नों की समान हर से तुलना करने का नियम: समान हर वाली दो भिन्नों में बड़ी भिन्न वह होती है जिसका अंश बड़ा होता है और छोटी वह भिन्न होती है जिसका अंश छोटा होता है।

बताया गया नियम बताता है कि समान हर वाले भिन्नों की तुलना कैसे करें। आइए भिन्नों की समान हर से तुलना करने के नियम को लागू करने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

कौन सा भिन्न बड़ा है: 65/126 या 87/126?

समाधान।

तुलना की गई साधारण भिन्नों के हर बराबर हैं, और भिन्न 87/126 का अंश 87 भिन्न 65/126 के अंश 65 से बड़ा है (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना देखें)। इसलिए, समान हर के साथ भिन्नों की तुलना करने के नियम के अनुसार, भिन्न 87/126, भिन्न 65/126 से बड़ा है।

उत्तर:

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करना

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करनासमान हर वाले भिन्नों की तुलना करने तक इसे कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको बस तुलना किए गए साधारण भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना होगा।

तो, विभिन्न हरों के साथ दो भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको इसकी आवश्यकता है

• भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएँ;
• परिणामी भिन्नों की तुलना समान हरों से करें।

आइए उदाहरण के समाधान पर नजर डालें।

उदाहरण।

भिन्न 5/12 की तुलना भिन्न 9/16 से करें।

समाधान।

सबसे पहले, आइए अलग-अलग हर वाले इन भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ (भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने का नियम और उदाहरण देखें)। एक सामान्य हर के रूप में, हम LCM(12, 16)=48 के बराबर सबसे कम सामान्य हर लेते हैं। तब भिन्न 5/12 का अतिरिक्त गुणनखंड संख्या 48:12=4 होगा, और भिन्न 9/16 का अतिरिक्त गुणनखंड संख्या 48:16=3 होगा। हम पाते हैं और .

परिणामी भिन्नों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है। इसलिए, भिन्न 5/12, भिन्न 9/16 से छोटा है। यह विभिन्न हर वाले भिन्नों की तुलना को पूरा करता है।

उत्तर:

आइए विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने का एक और तरीका जानें, जो आपको भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाए बिना और इस प्रक्रिया से जुड़ी सभी कठिनाइयों के बिना तुलना करने की अनुमति देगा।

भिन्नों ए/बी और सी/डी की तुलना करने के लिए, उन्हें एक सामान्य हर बी·डी में घटाया जा सकता है, जो तुलना किए जा रहे भिन्नों के हर के उत्पाद के बराबर है। इस मामले में, भिन्नों a/b और c/d के अतिरिक्त गुणनखंड क्रमशः संख्या d और b हैं, और मूल भिन्नों को एक सामान्य हर b·d वाले भिन्नों में घटा दिया जाता है। समान हर के साथ भिन्नों की तुलना करने के नियम को याद करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि मूल भिन्नों a/b और c/d की तुलना a d और c b के उत्पादों की तुलना करने तक कम हो जाती है।

इसका तात्पर्य निम्नलिखित है विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने का नियम: यदि a d>b c , तो , और यदि a d

आइए इस प्रकार विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना देखें।

उदाहरण।

सामान्य भिन्नों 5/18 और 23/86 की तुलना करें।

समाधान।

इस उदाहरण में, a=5 , b=18 , c=23 और d=86 । आइए उत्पादों विज्ञापन और बीसी की गणना करें। हमारे पास a·d=5·86=430 और b·c=18·23=414 है। चूँकि 430>414, तो भिन्न 5/18, भिन्न 23/86 से बड़ा है।

उत्तर:

समान अंश-गणकों से भिन्नों की तुलना करना

समान अंश और भिन्न हर वाले भिन्नों की तुलना निश्चित रूप से पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियमों का उपयोग करके की जा सकती है। हालाँकि, ऐसे भिन्नों की तुलना का परिणाम इन भिन्नों के हरों की तुलना करके प्राप्त करना आसान है।

ऐसी ही एक बात है समान अंशों के साथ भिन्नों की तुलना करने का नियम: समान अंश वाली दो भिन्नों में से जिसका हर छोटा हो वह बड़ी होती है और जिसका हर बड़ा हो वह छोटी होती है।

आइए उदाहरण समाधान देखें.

उदाहरण।

भिन्नों 54/19 और 54/31 की तुलना करें।

समाधान।

चूँकि तुलना की गई भिन्नों के अंश बराबर हैं, और भिन्न 54/19 का हर 19, भिन्न 54/31 के हर 31 से कम है, तो 54/19, 54/31 से बड़ा है।

यह आलेख भिन्नों की तुलना पर विचार करता है। यहां हम पता लगाएंगे कि कौन सा भिन्न बड़ा या छोटा है, नियम लागू करेंगे और समाधान के उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे। आइए भिन्नों की तुलना समान और असमान दोनों तरह के हरों से करें। आइए एक साधारण भिन्न की तुलना एक प्राकृतिक संख्या से करें।

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समान हर वाले भिन्नों की तुलना करना

समान हर के साथ भिन्नों की तुलना करते समय, हम केवल अंश के साथ काम करते हैं, जिसका अर्थ है कि हम किसी संख्या के भिन्नों की तुलना करते हैं। यदि कोई भिन्न 3 7 है, तो उसके 3 भाग 1 7 हैं, तो भिन्न 8 7 में ऐसे 8 भाग हैं। दूसरे शब्दों में, यदि हर समान है, तो इन भिन्नों के अंशों की तुलना की जाती है, अर्थात 3 7 और 8 7 संख्याओं 3 और 8 की तुलना की जाती है।

इसका तात्पर्य समान हर के साथ भिन्नों की तुलना करने के नियम से है: समान संकेतकों के साथ उपलब्ध भिन्नों में से, बड़ा वह माना जाता है जिसका अंश बड़ा होता है और इसके विपरीत।

इससे पता चलता है कि आपको अंशों पर ध्यान देना चाहिए। ऐसा करने के लिए, आइए एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

दिए गए भिन्नों 65 126 और 87 126 की तुलना करें।

समाधान

चूँकि भिन्नों के हर समान होते हैं, हम अंशों की ओर बढ़ते हैं। संख्या 87 और 65 से स्पष्ट है कि 65 कम है। समान हर वाले भिन्नों की तुलना करने के नियम के आधार पर, हमारे पास यह है कि 87,126, 65,126 से बड़ा है।

उत्तर: 87 126 > 65 126 .

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करना

ऐसे भिन्नों की तुलना को समान घातांक वाले भिन्नों की तुलना से सहसंबद्ध किया जा सकता है, लेकिन इसमें एक अंतर है। अब आपको भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने की आवश्यकता है।

यदि भिन्न हर वाली भिन्नें हैं, तो उनकी तुलना करने के लिए आपको यह करना होगा:

• एक सामान्य भाजक खोजें;
• भिन्नों की तुलना करें.

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके इन क्रियाओं को देखें।

उदाहरण 2

भिन्न 5 12 और 9 16 की तुलना करें।

समाधान

सबसे पहले, भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना आवश्यक है। यह इस प्रकार किया जाता है: एलसीएम पाया जाता है, यानी सबसे छोटा सामान्य भाजक, 12 और 16। यह संख्या 48 है. प्रथम भिन्न 5 12 में अतिरिक्त गुणनखंड अंकित करना आवश्यक है, यह संख्या भागफल 48 से पाई जाती है: 12 = 4, दूसरे भिन्न के लिए 9 16 - 48: 16 = 3। आइए परिणाम इस प्रकार लिखें: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 और 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48।

भिन्नों की तुलना करने पर हमें वह 20 48 प्राप्त होता है< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

उत्तर: 5 12 < 9 16 .

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने का एक और तरीका है। यह एक सामान्य भाजक में कमी किए बिना किया जाता है। आइए एक उदाहरण देखें. भिन्नों a b और c d की तुलना करने के लिए, हम उन्हें एक सामान्य हर में घटाते हैं, फिर b · d, अर्थात इन हरों का गुणनफल। तब भिन्नों के अतिरिक्त गुणनखंड पड़ोसी भिन्न के हर होंगे। इसे ए · डी बी · डी और सी · बी डी · बी के रूप में लिखा जाएगा। समान हर वाले नियम का उपयोग करते हुए, हमारे पास यह है कि भिन्नों की तुलना को उत्पादों ए · डी और सी · बी की तुलना में कम कर दिया गया है। यहां से हमें विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने का नियम मिलता है: यदि a d > b c, तो a b > c d, लेकिन यदि a d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

उदाहरण 3

भिन्न 5 18 और 23 86 की तुलना करें।

समाधान

इस उदाहरण में a = 5, b = 18, c = 23 और d = 86 है। फिर a·d और b·c की गणना करना आवश्यक है। इसका मतलब यह है कि ए · डी = 5 · 86 = 430 और बी · सी = 18 · 23 = 414। लेकिन 430 > 414, तो दिया गया भिन्न 5 18 23 86 से बड़ा है।

उत्तर: 5 18 > 23 86 .

समान अंश-गणकों से भिन्नों की तुलना करना

यदि भिन्नों के अंश समान और हर अलग-अलग हैं, तो आप पिछले पैराग्राफ के अनुसार तुलना कर सकते हैं। तुलना का परिणाम उनके हरों की तुलना करके संभव है।

भिन्नों की तुलना समान अंशों से करने का एक नियम है : समान अंश वाली दो भिन्नों में, बड़ी भिन्न वह होती है जिसका हर छोटा होता है, और इसके विपरीत।

आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 4

भिन्न 54 19 और 54 31 की तुलना करें।

समाधान

हमारे पास यह है कि अंश समान हैं, जिसका अर्थ है कि 19 के हर वाला भिन्न उस भिन्न से बड़ा है जिसका हर 31 है। यह नियम के आधार पर समझ में आता है।

उत्तर: 54 19 > 54 31 .

अन्यथा, हम एक उदाहरण देख सकते हैं. दो प्लेटें हैं जिन पर 1 2 पाई हैं, और दूसरी 1 16 आने हैं। यदि आप 1 2 पाई खाते हैं, तो आपका पेट 1 16 की तुलना में जल्दी भर जाएगा। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि भिन्नों की तुलना करते समय समान अंशों वाला सबसे बड़ा हर सबसे छोटा होता है।

किसी भिन्न की तुलना किसी प्राकृत संख्या से करना

एक साधारण भिन्न की तुलना किसी प्राकृत संख्या से करना, प्रपत्र 1 में लिखे हरों के साथ दो भिन्नों की तुलना के समान है। विस्तृत रूप से देखने के लिए, नीचे एक उदाहरण दिया गया है।

उदाहरण 4

63 8 और 9 के बीच तुलना करने की आवश्यकता है।

समाधान

संख्या 9 को भिन्न 91 के रूप में निरूपित करना आवश्यक है। फिर हमें भिन्नों 63 8 और 9 1 की तुलना करने की आवश्यकता है। इसके बाद अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढकर एक सामान्य हर में कमी की जाती है। इसके बाद हम देखते हैं कि हमें समान हर 63 8 और 72 8 वाली भिन्नों की तुलना करने की आवश्यकता है। तुलना नियम के आधार पर, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

उत्तर: 63 8 < 9 .

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न केवल अभाज्य संख्याओं की तुलना की जा सकती है, बल्कि भिन्नों की भी तुलना की जा सकती है। आख़िरकार, भिन्न वही संख्या है, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएँ। आपको केवल उन नियमों को जानना होगा जिनके द्वारा भिन्नों की तुलना की जाती है।

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करना।

यदि दो भिन्नों के हर समान हों तो ऐसे भिन्नों की तुलना करना आसान होता है।

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको उनके अंशों की तुलना करने की आवश्यकता है। जिस भिन्न का अंश बड़ा होता है वह भिन्न बड़ा होता है।

आइए एक उदाहरण देखें:

भिन्नों \(\frac(7)(26)\) और \(\frac(13)(26)\) की तुलना करें।

दोनों भिन्नों के हर समान हैं और 26 के बराबर हैं, इसलिए हम अंशों की तुलना करते हैं। संख्या 13, 7 से बड़ी है। हमें प्राप्त होता है:

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

समान अंश वाले भिन्नों की तुलना करना।

यदि किसी भिन्न के अंश समान हों, तो छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है।

इस नियम को जीवन से एक उदाहरण देकर समझा जा सकता है। हमारे पास केक है. 5 या 11 मेहमान हमसे मिलने आ सकते हैं। अगर 5 मेहमान आते हैं तो केक को 5 बराबर टुकड़ों में काट लेंगे और अगर 11 मेहमान आते हैं तो हम केक को 11 बराबर टुकड़ों में बांट लेंगे. अब सोचिए कि किस स्थिति में प्रति अतिथि केक का एक बड़ा टुकड़ा होगा? बेशक, जब 5 मेहमान आएंगे तो केक का टुकड़ा बड़ा होगा।

या कोई अन्य उदाहरण. हमारे पास 20 कैंडी हैं। हम कैंडी को 4 दोस्तों को बराबर-बराबर दे सकते हैं या कैंडी को 10 दोस्तों में बराबर-बराबर बाँट सकते हैं। किस स्थिति में प्रत्येक मित्र के पास अधिक मिठाइयाँ होंगी? बेशक, जब हम केवल 4 दोस्तों के बीच विभाजित होते हैं, तो प्रत्येक दोस्त के लिए कैंडी की संख्या अधिक होगी। आइए इस समस्या को गणितीय रूप से जांचें।

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

यदि हम पहले इन भिन्नों को हल करते हैं, तो हमें संख्याएँ \(\frac(20)(4) = 5\) और \(\frac(20)(10) = 2\) प्राप्त होती हैं। हमें वह 5 > 2 प्राप्त होता है

यह समान अंशों के साथ भिन्नों की तुलना करने का नियम है।

आइए एक और उदाहरण देखें.

समान अंश वाले भिन्नों की तुलना करें \(\frac(1)(17)\) और \(\frac(1)(15)\) .

चूँकि अंश समान होते हैं, छोटे हर वाला भिन्न बड़ा होता है।

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

विभिन्न हरों और अंशों के साथ भिन्नों की तुलना करना।

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको भिन्नों को घटाकर से करना होगा, और फिर अंशों की तुलना करनी होगी।

भिन्नों \(\frac(2)(3)\) और \(\frac(5)(7)\) की तुलना करें।

सबसे पहले, आइए भिन्नों का उभयनिष्ठ हर ज्ञात करें। यह संख्या 21 के बराबर होगी.

\(\begin(संरेखित)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \गुना 3)(7 \गुना 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(संरेखित)\)

फिर हम अंशों की तुलना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। समान हर वाले भिन्नों की तुलना करने का नियम।

\(\begin(संरेखित)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

तुलना।

एक अनुचित भिन्न सदैव उचित भिन्न से बड़ा होता है।क्योंकि एक अनुचित भिन्न 1 से बड़ी होती है, और एक उचित भिन्न 1 से कम होती है।

उदाहरण:
भिन्नों \(\frac(11)(13)\) और \(\frac(8)(7)\) की तुलना करें।

भिन्न \(\frac(8)(7)\) अनुचित है और 1 से बड़ा है।

\(1 < \frac{8}{7}\)

भिन्न \(\frac(11)(13)\) सही है और यह 1 से कम है। आइए तुलना करें:

\(1 > \frac(11)(13)\)

हमें मिलता है, \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)

संबंधित सवाल:
विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना कैसे करें?
उत्तर: आपको भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना होगा और फिर उनके अंशों की तुलना करनी होगी।

भिन्नों की तुलना कैसे करें?
उत्तर: सबसे पहले आपको यह तय करना होगा कि भिन्न किस श्रेणी से संबंधित हैं: उनके पास एक सामान्य हर है, उनके पास एक सामान्य अंश है, उनके पास एक सामान्य हर और अंश नहीं है, या आपके पास एक उचित और अनुचित भिन्न है। भिन्नों को वर्गीकृत करने के बाद उचित तुलना नियम लागू करें।

समान अंशों के साथ भिन्नों की तुलना करना क्या है?
उत्तर: यदि भिन्नों के अंश समान हों तो छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है।

उदाहरण 1:
भिन्नों \(\frac(11)(12)\) और \(\frac(13)(16)\) की तुलना करें।

समाधान:
चूंकि कोई समान अंश या हर नहीं हैं, इसलिए हम विभिन्न हर के साथ तुलना का नियम लागू करते हैं। हमें एक सामान्य विभाजक खोजने की जरूरत है। उभयनिष्ठ हर 96 होगा। आइए भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में घटाएँ। पहले भिन्न \(\frac(11)(12)\) को 8 के अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें, और दूसरे भिन्न \(\frac(13)(16)\) को 6 से गुणा करें।

\(\begin(ign)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \गुना 6)(16 \गुना 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(संरेखित)\)

हम भिन्नों की तुलना अंशों से करते हैं, बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होती है।

\(\begin(ign)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \\अंत(संरेखित करें)\)

उदाहरण #2:
एक उचित भिन्न की तुलना एक से करें?

समाधान:
कोई भी उचित भिन्न सदैव 1 से कम होता है।

कार्य 1:
बेटा और पिता फुटबॉल खेल रहे थे. बेटे ने 10 में से 5 बार गोल मारा। और पिताजी ने 5 दृष्टिकोणों में से 3 बार गोल मारा। किसका परिणाम बेहतर है?

समाधान:
बेटे ने 10 संभावित तरीकों में से 5 बार प्रहार किया। आइए इसे भिन्न \(\frac(5)(10)\) के रूप में लिखें।
पिताजी ने 5 संभावित दृष्टिकोणों में से 3 बार प्रहार किया। आइए इसे भिन्न \(\frac(3)(5)\) के रूप में लिखें।

आइए भिन्नों की तुलना करें. हमारे पास अलग-अलग अंश और हर हैं, आइए उन्हें घटाकर एक हर कर दें। उभयनिष्ठ हर 10 होगा.

\(\begin(ign)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

उत्तर: पिताजी का परिणाम बेहतर है।