मैट्रिक्स निर्धारक एक संख्या है जो वर्ग मैट्रिक्स ए की विशेषता बताती है और रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान से निकटता से संबंधित है। मैट्रिक्स A के निर्धारक को या द्वारा दर्शाया जाता है। क्रम n के किसी भी वर्ग मैट्रिक्स A को, एक निश्चित कानून के अनुसार, एक गणना संख्या सौंपी जाती है, जिसे इस मैट्रिक्स के nवें क्रम का निर्धारक या निर्धारक कहा जाता है। दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों पर विचार करें।
चलो मैट्रिक्स
,
फिर इसके दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
.
उदाहरण।मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना करें:
उत्तर: -10.
तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
उदाहरण।मैट्रिक्स बी के निर्धारक की गणना करें
.
उत्तर: 83.
nवें क्रम निर्धारक की गणना निर्धारक के गुणों और निम्नलिखित लाप्लास प्रमेय पर आधारित है: सारणिक मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों और उनके बीजगणितीय पूरकों के उत्पादों के योग के बराबर है:
बीजगणितीय जोड़तत्व बराबर है 
, अवयव गौण कहां है, जो निर्धारक में आई-वें पंक्ति और जे-वें कॉलम को हटाकर प्राप्त किया जाता है।
नाबालिगमैट्रिक्स A के तत्व का क्रम मैट्रिक्स (n-1)-वें क्रम का निर्धारक है, जो i-वें पंक्ति और j-वें कॉलम को हटाकर मैट्रिक्स A से प्राप्त किया जाता है।
उदाहरण. मैट्रिक्स ए के सभी तत्वों के बीजगणितीय पूरक खोजें:
.
उत्तर: 
.
उदाहरण. त्रिकोणीय मैट्रिक्स के मैट्रिक्स निर्धारक की गणना करें:
उत्तर: -15.
निर्धारकों के गुण:
1. यदि मैट्रिक्स की किसी पंक्ति (स्तंभ) में केवल शून्य हैं, तो इसका निर्धारक 0 है।
2. यदि मैट्रिक्स की किसी पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों को एक संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके निर्धारक को इस संख्या से गुणा किया जाएगा।
3. मैट्रिक्स को स्थानांतरित करते समय, इसका निर्धारक नहीं बदलेगा।
4. जब किसी मैट्रिक्स की दो पंक्तियाँ (स्तंभ) आपस में बदल दी जाती हैं, तो इसका निर्धारक विपरीत दिशा में चिह्न बदल देता है।
5. यदि एक वर्ग मैट्रिक्स में दो समान पंक्तियाँ (स्तंभ) हैं, तो इसका निर्धारक 0 है।
6. यदि किसी मैट्रिक्स की दो पंक्तियों (स्तंभों) के तत्व आनुपातिक हैं, तो इसका सारणिक 0 है।
7. इस मैट्रिक्स की किसी अन्य पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों के बीजगणितीय पूरक द्वारा मैट्रिक्स की किसी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों के उत्पाद का योग 0 है।
8. यदि मैट्रिक्स की किसी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों को किसी अन्य पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों में जोड़ दिया जाए, जिसे पहले उसी संख्या से गुणा किया गया हो, तो मैट्रिक्स निर्धारक नहीं बदलेगा।
9. किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों के मनमानी संख्याओं और बीजगणितीय पूरकों के उत्पादों का योग इस पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों को संख्याओं के साथ प्रतिस्थापित करके दिए गए मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है।
10. दो वर्ग आव्यूहों के गुणनफल का सारणिक उनके सारणिक के गुणनफल के बराबर होता है।
उलटा मैट्रिक्स.
परिभाषा।एक मैट्रिक्स को वर्ग मैट्रिक्स ए का व्युत्क्रम कहा जाता है, यदि इस मैट्रिक्स को दाएं और बाएं दोनों तरफ दिए गए मैट्रिक्स से गुणा किया जाता है, तो पहचान मैट्रिक्स प्राप्त होता है:
.
परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि केवल एक वर्ग मैट्रिक्स में व्युत्क्रम होता है; इस स्थिति में, व्युत्क्रम मैट्रिक्स भी उसी क्रम का वर्ग है। यदि किसी मैट्रिक्स का निर्धारक अशून्य है, तो ऐसे वर्ग मैट्रिक्स को नॉनडीजेनरेट कहा जाता है।
व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त: एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है (और अद्वितीय है) यदि और केवल यदि मूल मैट्रिक्स नॉनसिंगुलर है।
व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए पहला एल्गोरिदम:
1. मूल मैट्रिक्स का निर्धारक ज्ञात करें। यदि सारणिक गैर-शून्य है, तो मूल मैट्रिक्स गैर-एकवचन है और व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है।
2. ए पर स्थानांतरित मैट्रिक्स का पता लगाएं।
3. हम ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स के तत्वों के बीजगणितीय पूरक ढूंढते हैं और उनसे सहायक मैट्रिक्स बनाते हैं।
4. सूत्र द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करें:।
5. हम इसकी परिभाषा के आधार पर व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना की शुद्धता की जांच करते हैं 
.
उदाहरण।
.
उत्तर: 
.
व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए दूसरा एल्गोरिदम:
व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना मैट्रिक्स की पंक्तियों पर निम्नलिखित प्रारंभिक परिवर्तनों के आधार पर की जा सकती है:
दो पंक्तियों की अदला-बदली;
किसी मैट्रिक्स पंक्ति को किसी गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;
मैट्रिक्स की एक पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ना, किसी गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।
मैट्रिक्स ए के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करने के लिए, मैट्रिक्स की रचना करना आवश्यक है, फिर प्रारंभिक परिवर्तनों द्वारा मैट्रिक्स ए को पहचान मैट्रिक्स ई के रूप में लाएं, फिर पहचान मैट्रिक्स के स्थान पर हमें मैट्रिक्स मिलता है।
उदाहरण।मैट्रिक्स A के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करें:
.
हम फॉर्म का एक मैट्रिक्स बी बनाते हैं:
.
तत्व = 1 और इस तत्व वाली पहली पंक्ति को गाइड कहा जाएगा। आइए प्रारंभिक परिवर्तन करें, जिसके परिणामस्वरूप पहला कॉलम पहली पंक्ति में एक इकाई के साथ एकल कॉलम में बदल जाता है। ऐसा करने के लिए, दूसरी और तीसरी पंक्तियों में, पहली पंक्ति को क्रमशः 1 और -2 से गुणा करके जोड़ें। इन परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
.
अंततः हम पाते हैं
.
कहाँ 
.
मैट्रिक्स रैंक.मैट्रिक्स A की रैंक इस मैट्रिक्स के गैर-शून्य अवयस्कों का उच्चतम क्रम है। मैट्रिक्स ए की रैंक को रंग (ए) या आर (ए) द्वारा दर्शाया गया है।
यह परिभाषा से निम्नानुसार है: ए) मैट्रिक्स की रैंक उसके सबसे छोटे आयामों से अधिक नहीं है, अर्थात। r(A) संख्याओं m या n के न्यूनतम से कम या उसके बराबर है; बी) r(A)=0 यदि और केवल यदि मैट्रिक्स A के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं; सी) nवें क्रम के एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए, r(A)=n यदि और केवल यदि मैट्रिक्स A गैर-एकवचन है।
उदाहरण: मैट्रिक्स की रैंक की गणना करें:
.
उत्तर: r(A)=1. उत्तर: r(A)=2.
हम निम्नलिखित मैट्रिक्स परिवर्तनों को प्राथमिक कहते हैं:
1) शून्य पंक्ति (स्तंभ) की अस्वीकृति।
2) मैट्रिक्स की एक पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों को एक ऐसी संख्या से गुणा करना जो शून्य के बराबर न हो।
3) मैट्रिक्स की पंक्तियों (स्तंभों) का क्रम बदलना।
4) एक पंक्ति (स्तंभ) के प्रत्येक तत्व में दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के संगत तत्वों को जोड़कर, किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है।
5) मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशन।
प्रारंभिक मैट्रिक्स परिवर्तनों के तहत मैट्रिक्स की रैंक नहीं बदलती है।
उदाहरण: मैट्रिक्स की गणना करें, कहां
; 
;
उत्तर: .
उदाहरण: मैट्रिक्स की गणना करें 
, कहाँ
; ; ; ई पहचान मैट्रिक्स है.
उत्तर: .
उदाहरण: मैट्रिक्स निर्धारक की गणना करें
.
उत्तर: 160.
उदाहरण: निर्धारित करें कि क्या मैट्रिक्स ए में व्युत्क्रम है, और यदि हां, तो इसकी गणना करें:
.
उत्तर: 
.
उदाहरण: मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें
.
उत्तर: 2.
2.4.2. रैखिक समीकरणों की प्रणाली.
n चर वाले m रैखिक समीकरणों की प्रणाली का रूप इस प्रकार है:
,
जहां, मनमानी संख्याएं हैं, जिन्हें क्रमशः चरों के गुणांक और समीकरणों के मुक्त पद कहा जाता है। समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान n संख्याओं () का एक ऐसा समूह है, जिसे प्रतिस्थापित करने पर प्रणाली का प्रत्येक समीकरण वास्तविक समानता में बदल जाता है।
समीकरणों की एक प्रणाली को सुसंगत कहा जाता है यदि इसमें कम से कम एक समाधान हो, और असंगत कहा जाता है यदि इसका कोई समाधान नहीं है। समीकरणों की एक संयुक्त प्रणाली को निश्चित कहा जाता है यदि इसका एक अद्वितीय समाधान हो, और अनिश्चित कहा जाता है यदि इसमें एक से अधिक समाधान हों।
क्रैमर का प्रमेय:मान लीजिए - मैट्रिक्स ए का निर्धारक, चर "x" के गुणांक से बना है, और - इस मैट्रिक्स के जे-वें कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर मैट्रिक्स ए से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक। फिर, यदि, तो सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है, जो सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है: (j=1, 2,…, n)। इन समीकरणों को क्रैमर सूत्र कहा जाता है।
उदाहरण।क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करें:
जवाब: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)
गॉस विधि- चरों के क्रमिक उन्मूलन की विधि में यह तथ्य शामिल है कि प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से समीकरणों की प्रणाली को एक चरणबद्ध (या त्रिकोणीय) रूप की समतुल्य प्रणाली में घटा दिया जाता है, जिसमें से शुरू करके अन्य सभी चर क्रमिक रूप से पाए जाते हैं। संख्या के अनुसार अंतिम चर.
उदाहरण: गॉसियन विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।
जवाब: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).
रैखिक समीकरणों की सुसंगत प्रणालियों के लिए, निम्नलिखित कथन सत्य हैं:
· यदि संयुक्त प्रणाली के मैट्रिक्स की रैंक चर की संख्या के बराबर है, अर्थात r = n, तो समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान होता है;
· यदि संयुक्त प्रणाली के मैट्रिक्स की रैंक चर की संख्या से कम है, अर्थात आर 2.4.3. EXCEL परिवेश में मैट्रिसेस पर संचालन करने की तकनीक। आइए एक्सेल स्प्रेडशीट प्रोसेसर के साथ काम करने के कुछ पहलुओं पर विचार करें, जो हमें अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक गणनाओं को सरल बनाने की अनुमति देता है। स्प्रेडशीट प्रोसेसर एक सॉफ्टवेयर उत्पाद है जिसे सारणीबद्ध रूप में डेटा के प्रसंस्करण को स्वचालित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। सूत्रों के साथ काम करना.स्प्रेडशीट प्रोग्राम में, कई अलग-अलग गणनाएँ करने के लिए फ़ार्मुलों का उपयोग किया जाता है। एक्सेल का उपयोग करके, आप जल्दी से एक फॉर्मूला बना सकते हैं। सूत्र के तीन मुख्य भाग हैं: बराबर चिह्न; संचालक। फ़ंक्शन सूत्रों में उपयोग करें. सूत्रों को दर्ज करना आसान बनाने के लिए, आप एक्सेल फ़ंक्शंस का उपयोग कर सकते हैं। फ़ंक्शंस एक्सेल में निर्मित सूत्र हैं। किसी विशेष सूत्र को सक्रिय करने के लिए, बटन दबाएँ डालना, कार्य.दिखाई देने वाली विंडो में फ़ंक्शन विज़ार्डबायीं ओर फ़ंक्शन प्रकारों की एक सूची है। प्रकार का चयन करने के बाद, कार्यों की एक सूची स्वयं दाईं ओर रखी जाएगी। फ़ंक्शन का चयन संबंधित नाम पर माउस बटन क्लिक करके किया जाता है। मैट्रिक्स पर संचालन करते समय, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, अनुकूलन समस्याओं को हल करते समय, आप निम्नलिखित एक्सेल फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं: एकाधिक - मैट्रिक्स गुणन; ट्रांसपोज़ - मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशन; MOPRED - मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना; MOBR - व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना। बटन टूलबार पर है. मैट्रिसेस के साथ संचालन करने के कार्य श्रेणी में हैं गणितीय. किसी फ़ंक्शन के साथ मैट्रिक्स गुणन मुमनोज
. MULTIP फ़ंक्शन मैट्रिसेस का उत्पाद लौटाता है (मैट्रिसेस को सारणी 1 और 2 में संग्रहीत किया जाता है)। परिणाम एक सरणी है जिसमें पंक्तियों की संख्या सरणी 1 के समान और स्तंभों की संख्या सरणी 2 के समान है। उदाहरण।एक्सेल में दो मैट्रिक्स ए और बी का उत्पाद खोजें (चित्र 2.9 देखें): सेल A2:C3 में मैट्रिक्स A और सेल E2:F4 में B दर्ज करें। गुणन परिणाम के लिए कक्षों की श्रेणी का चयन करें - H2:I2। मैट्रिक्स गुणन के लिए सूत्र दर्ज करें =MMULT(A2:C3, E2:F4). CTRL+SHIFT+ENTER दबाएँ. एनआईबीआर फ़ंक्शन का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स गणना. MIN फ़ंक्शन किसी सरणी में संग्रहीत मैट्रिक्स का व्युत्क्रम लौटाता है। सिंटैक्स: एनबीआर (सरणी)। अंजीर पर. 2.10 एक्सेल वातावरण में उदाहरण का समाधान दिखाता है। उदाहरण।दिए गए मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए: चित्र 2.9. मैट्रिक्स गुणन के लिए प्रारंभिक डेटा। प्रमेय:
सबूत:मान लीजिए कि क्रम n के वर्ग आव्यूह दिए गए हैं। सही निर्धारक को अर्ध-त्रिकोणीय रूप में लाने के लिए, आइए इसमें 1 और 1+ n कॉलम, 2 और 2+ n … n और 2 n कॉलम स्वैप करें। परिणामस्वरूप, हमें समानता मिलती है: टिप्पणी:यह स्पष्ट है कि प्रमेय आव्यूहों की किसी भी सीमित संख्या के लिए मान्य है। विशेष रूप से परिभाषा:अगर एक मनमाना वर्ग मैट्रिक्स ए पर विचार करें। इस मैट्रिक्स के तत्वों के बीजगणितीय पूरक से, हम एक मैट्रिक्स बनाते हैं और इसे स्थानांतरित करते हैं। हमें मैट्रिक्स C मिलता है: इस प्रकार, ए -1 का अस्तित्व मैट्रिक्स ए की गैर-विलक्षणता से होता है। दूसरी ओर, यदि A में A -1 है तो मैट्रिक्स समीकरण AX=E हल करने योग्य है। इस तरह प्रमेय:फ़ील्ड P पर एक वर्ग मैट्रिक्स का व्युत्क्रम होता है यदि और केवल यदि यह एकवचन नहीं है। यदि व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है, तो इसे सूत्र द्वारा पाया जाता है: टिप्पणी:
परिभाषा:मैट्रिक्स A का k-वें ऑर्डर माइनर, किसी भी k पंक्तियों और किसी भी k कॉलम के चौराहे पर स्थित तत्वों के साथ k-वें ऑर्डर निर्धारक है। परिभाषा:मैट्रिक्स A की रैंक इस मैट्रिक्स के 0 अवयस्कों के अलावा उच्चतम क्रम है। निरूपित आर(ए)। स्पष्ट 0<=r(A)<=min(m,n).
Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от
0, а все минорыr+1 порядка
и выше равны 0. परिभाषा: 0 के अलावा कोई भी मैट्रिक्स माइनर जिसका क्रम मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है, इस मैट्रिक्स का बेस माइनर कहलाता है। यह स्पष्ट है कि एक मैट्रिक्स में कई बेस माइनर हो सकते हैं। आधार माइनर बनाने वाले स्तंभों और पंक्तियों को आधार कहा जाता है। प्रमेय:व्युत्पन्न मैट्रिक्स A=(a i) m , n में, प्रत्येक स्तंभ आधार स्तंभों का एक रैखिक संयोजन है जिसमें आधार लघु स्थित है (पंक्तियों के लिए समान)। सबूत:माना r(A)=r. हम मैट्रिक्स से एक बुनियादी नाबालिग चुनते हैं। सरलता के लिए, मान लें कि बेस माइनर मैट्रिक्स के ऊपरी बाएँ कोने में स्थित है, अर्थात। पहली r पंक्तियों और पहले r स्तंभों पर। तब बेस माइनर मिस्टर इस तरह दिखेगा: आइए मूल माइनर को कुछ k-वें कॉलम और s-th पंक्ति निर्दिष्ट करें: स्तंभ निर्धारक के बाद मूल में से हैं परिणाम:यदि A एक वर्ग मैट्रिक्स है और निर्धारक A=0 है, तो मैट्रिक्स का एक स्तंभ शेष स्तंभों का एक रैखिक संयोजन है, और पंक्तियों में से एक शेष पंक्तियों का एक रैखिक संयोजन है। सबूत:यदि मैट्रिक्स निर्धारकA=0, तो इस मैट्रिक्स की रैंक<=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому,
по крайней мере одна строка или один
столбец не входят в число базисных. Эта
строка (столбец) линейно выраженная
через строки (столбцы) в которой расположен
базисный минор, а значит линейно
выраженная через остальные строки
(столбцы). [ए] =0 के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि कम से कम एक पंक्ति (स्तंभ) अपनी अन्य पंक्तियों (स्तंभों) का एक रैखिक संयोजन हो। प्रमेय.मान लीजिए कि A और B क्रम n के दो वर्ग आव्यूह हैं। तब उनके उत्पाद का निर्धारक निर्धारक के उत्पाद के बराबर होता है, यानी। | एबी | = | ए| | बी|. ¢ मान लीजिए A = (a ij) n x n , B = (b ij) n x n । क्रम 2n के निर्धारक d 2 n पर विचार करें डी 2एन = | ए | | बी | (-1) 1 + ... + एन + 1 + ... + एन = | ए | | बी|. यदि हम दिखाते हैं कि सारणिक d 2 n मैट्रिक्स C=AB के सारणिक के बराबर है, तो प्रमेय सिद्ध हो जाएगा। आइए d 2 n में निम्नलिखित परिवर्तन करें: पंक्ति 1 में (n+1) पंक्ति को 11 से गुणा करके जोड़ें; (n+2) स्ट्रिंग को 12 से गुणा किया गया, आदि। (2एन) स्ट्रिंग को 1 एन से गुणा किया गया। परिणामी निर्धारक में, पहली पंक्ति के पहले n तत्व शून्य होंगे, और अन्य n तत्व इस प्रकार बन जाएंगे: ए 11 बी 11 + ए 12 बी 21 + ... + ए 1एन बी एन1 = सी 11; ए 11 बी 12 + ए 12 बी 22 + ... + ए 1 एन बी एन2 = सी 12; ए 11 बी 1 एन + ए 12 बी 2 एन + ... + ए 1 एन बी एनएन = सी 1 एन। इसी प्रकार, हमें सारणिक d 2 n की 2, ..., n पंक्तियों में शून्य मिलते हैं, और इनमें से प्रत्येक पंक्ति में अंतिम n तत्व मैट्रिक्स C के संगत तत्व बन जाएंगे। परिणामस्वरूप, सारणिक d 2 n एक समान निर्धारक में परिवर्तित हो जाता है: डी 2एन = | सी | (-1) 1 + ... + एन + ... + 2एन = |एबी| £ परिणाम।वर्ग आव्यूहों की एक सीमित संख्या के गुणनफल का निर्धारक उनके सारणिकों के गुणनफल के बराबर होता है। ¢ प्रमाण प्रेरण द्वारा है: | ए 1 ... ए आई +1 | = | ए 1 ... ए आई | | ए आई +1 | = ... = = | ए 1 | ... | ए आई +1 | . समानता की यह श्रृंखला प्रमेय के अनुसार सत्य है। £ उलटा मैट्रिक्स. मान लीजिए A = (a ij) n x n फ़ील्ड Р पर एक वर्ग मैट्रिक्स है। परिभाषा 1.एक मैट्रिक्स ए को डीजेनरेट कहा जाएगा यदि इसका निर्धारक 0 के बराबर है। अन्यथा मैट्रिक्स ए को गैर-डीजनरेट कहा जाएगा। परिभाषा 2.मान लीजिए А н P n . एक मैट्रिक्स В О P n को А का व्युत्क्रम कहा जाएगा यदि АВ = ВА=Е। प्रमेय (मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीयता के लिए मानदंड)।मैट्रिक्स ए व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि यह गैर-विक्षिप्त है। ¢ मान लीजिए A के पास एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है। तब AA -1 = E और, सारणिकों के गुणन पर प्रमेय को लागू करने पर, हम | प्राप्त करते हैं ए | | ए -1 | = | ई | या | ए | | ए -1 | = 1. इसलिए, | ए | ¹0. चलो, वापस, | ए | ¹ 0. हमें यह दिखाना होगा कि एक मैट्रिक्स बी मौजूद है जैसे कि एबी = बीए = ई। बी के रूप में हम निम्नलिखित मैट्रिक्स लेते हैं: जहां A ij तत्व a ij का बीजगणितीय पूरक है। तब यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि परिणाम एक पहचान मैट्रिक्स होगा (यह लाप्लास के प्रमेय § 6 से कोरोलरीज़ 1 और 2 का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है), यानी। एबी = ई. इसी तरह, यह दिखाया गया है कि बीए = ई. £ उदाहरण।मैट्रिक्स ए के लिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें, या साबित करें कि इसका अस्तित्व नहीं है। det A = -3 व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है। अब हम बीजगणितीय योगों पर विचार करते हैं। ए 11 = -3 ए 21 = 0 ए 31 = 6 ए 12 = 0 ए 22 = 0 ए 32 = -3 ए 13 = 1 ए 23 = -1 ए 33 = -1 तो, उलटा मैट्रिक्स इस तरह दिखता है: बी = = मैट्रिक्स ए के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम। 1. पता ए की गणना करें. 2. यदि यह 0 के बराबर है, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है। यदि Det A 0 के बराबर नहीं है, तो हम बीजगणितीय योगों की गणना करते हैं। 3. हम बीजीय जोड़ को उचित स्थानों पर रखते हैं। 4. परिणामी मैट्रिक्स के सभी तत्वों को डेट ए से विभाजित करें। अभ्यास 1।पता लगाएं कि क्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स एकल-मूल्यवान है। व्यायाम 2.मान लीजिए कि मैट्रिक्स A के तत्व परिमेय पूर्णांक हैं। क्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स के तत्व पूर्णांक परिमेय संख्याएँ होंगे? रैखिक समीकरणों की प्रणाली. परिभाषा 1. a 1 x 1 + ....+a n x n =b के रूप का एक समीकरण, जहां a, ... ,a n संख्याएं हैं; x 1 , ... ,x n - अज्ञात, के साथ एक रैखिक समीकरण कहलाता है एनअज्ञात। एसके साथ समीकरण एनअज्ञात को सिस्टम कहा जाता है एसके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात, यानी सिस्टम (1) के अज्ञात के गुणांकों से बना मैट्रिक्स ए, सिस्टम (1) का मैट्रिक्स कहलाता है। एक्स = - अज्ञात का स्तंभ। निःशुल्क सदस्यों का स्तम्भ. मैट्रिक्स रूप में, सिस्टम का रूप है: AX=B (2)। सिस्टम (1) का समाधान क्रमित सेट है एनसंख्याएँ (α 1 ,…, α n) इस प्रकार हैं कि यदि हम (1) x 1 = α 1, x 2 = α 2,…, x n = α n में प्रतिस्थापन करते हैं, तो हमें संख्यात्मक सर्वसमिकाएँ प्राप्त होती हैं। परिभाषा 2.सिस्टम (1) को सुसंगत कहा जाता है यदि उसके पास समाधान हैं, और अन्यथा असंगत कहा जाता है। परिभाषा 3.दो प्रणालियों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनके समाधान सेट समान हों। सिस्टम (1) को हल करने का एक सार्वभौमिक तरीका है - गॉस विधि (अज्ञात को क्रमिक रूप से समाप्त करने की विधि), देखें, पृष्ठ 15। आइए इस मामले पर अधिक विस्तार से विचार करें एस = एन. ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए एक क्रैमर विधि है। मान लीजिए d = det , डी जे - निर्धारक डी, जिसमें जे-वें कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से बदल दिया जाता है। प्रमेय (क्रैमर का नियम)। यदि सिस्टम का निर्धारक d ¹ 0 है, तो सिस्टम के पास सूत्रों से प्राप्त एक अद्वितीय समाधान है: एक्स 1 = डी 1 / डी ... एक्स एन = डी एन / डी ¢प्रमाण का विचार सिस्टम (1) को मैट्रिक्स समीकरण के रूप में फिर से लिखना है। चलो रखो और अज्ञात कॉलम मैट्रिक्स X के साथ समीकरण AX = B (2) पर विचार करें। चूँकि A, X, B आयामों के मैट्रिक्स हैं एन एक्स एन, एन एक्स 1, एन एक्स 1तदनुसार, आयताकार मैट्रिक्स AX का उत्पाद परिभाषित किया गया है और मैट्रिक्स B के समान आयाम हैं। इस प्रकार, समीकरण (2) समझ में आता है। सिस्टम (1) और समीकरण (2) के बीच का संबंध ही इस सिस्टम का समाधान है यदि और केवल यदि स्तंभ समीकरण (2) का समाधान है। दरअसल, इस कथन का मतलब है कि समानता क्योंकि जहाँ A ij निर्धारक d में तत्व a ij का बीजगणितीय पूरक है = कहाँ से (4). समानता (4) में कोष्ठक में निर्धारक डी जे के जे-वें कॉलम के तत्वों द्वारा विस्तार है, जो इसमें प्रतिस्थापन के बाद निर्धारक डी से प्राप्त होता है मुक्त सदस्यों के एक कॉलम द्वारा जे-वें कॉलम। इसीलिए, एक्स जे = डी जे / डी।£ परिणाम।यदि n रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली एनअज्ञात का एक गैर-शून्य समाधान है, तो इस प्रणाली का निर्धारक शून्य के बराबर है। विषय 3.एक चर में बहुपद. प्रमेय. मान लीजिए कि A और B क्रम n के दो वर्ग आव्यूह हैं। तब उनके उत्पाद का निर्धारक निर्धारक के उत्पाद के बराबर होता है, यानी। | एबी | = | ए| | बी|. < Пусть A = (aij) (n x n), B = (bij) (n x n). Рассмотрим определитель (d) (2n) порядка 2n (डी) (2एन) = | ए | | बी | (-1)(^1+...+n+1+...+n) = | ए | | बी|. यदि हम दिखाते हैं कि सारणिक (d) (2n) मैट्रिक्स C=AB के सारणिक के बराबर है, तो प्रमेय सिद्ध हो जाएगा। (डी) (2एन) में हम निम्नलिखित परिवर्तन करेंगे: 1 पंक्ति में हम (एन + 1) पंक्ति को ए11 से गुणा करके जोड़ते हैं; (n+2) स्ट्रिंग को a12 आदि से गुणा किया गया। (2एन) स्ट्रिंग को (ए) (1एन) से गुणा किया जाता है। परिणामी निर्धारक में, पहली पंक्ति के पहले n तत्व शून्य होंगे, और अन्य n तत्व इस प्रकार बन जाएंगे: ए11* बी11 + ए12 * बी21 + ... + (ए) (1एन) * (डी) (1एन) = सी11 ; ए11* बी12 + ए12 * बी21 + ... + (ए) (1एन) * (डी) (2एन) = सी12; ए11* (डी) (1एन) + ए12 * (डी) (2एन) + ... + (ए) (1एन) * (डी) (एनएन) = (सी) (1एन) . इसी प्रकार, हमें सारणिक (d) (2n) की 2, ..., n पंक्तियों में शून्य मिलते हैं, और इनमें से प्रत्येक पंक्ति में अंतिम n तत्व मैट्रिक्स C के संगत तत्व बन जाएंगे। परिणामस्वरूप, सारणिक (डी) (2एन) एक समान निर्धारक में बदल जाता है: (डी) (2एन) = | सी | (-1))(^1+...+n+...+2n) = |AB|. > परिणाम। वर्ग आव्यूहों की एक सीमित संख्या के गुणनफल का निर्धारक उनके सारणिकों के गुणनफल के बराबर होता है। < Доказательство проводится индукцией: | A1 ... (A) (j+1) | = | A1... Aj | | (A) (j+1) | = ... = | A 1 | ... | A i +1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме.> व्युत्क्रम मैट्रिक्स। मान लीजिए A = (aij) (n x n) फ़ील्ड P पर एक वर्ग मैट्रिक्स है। परिभाषा 1. यदि मैट्रिक्स ए का निर्धारक 0 के बराबर है तो मैट्रिक्स ए को डीजेनरेट कहा जाएगा। अन्यथा मैट्रिक्स ए को नॉनडीजेनरेट कहा जाएगा। परिभाषा 2. मान लीजिए А н Pn. यदि AB = BA=E है तो एक मैट्रिक्स B Î Pn को A का व्युत्क्रम कहा जाएगा। प्रमेय (मैट्रिक्स व्युत्क्रमण के लिए मानदंड)। मैट्रिक्स ए व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि यह गैर-अपक्षयी है। < Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0. चलो, वापस, | ए | ¹ 0. हमें यह दिखाना होगा कि एक मैट्रिक्स बी मौजूद है जैसे कि एबी = बीए = ई। बी के रूप में हम निम्नलिखित मैट्रिक्स लेते हैं: जहां A ij तत्व a ij का बीजगणितीय पूरक है। तब यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि परिणाम एक पहचान मैट्रिक्स होगा (यह लाप्लास के प्रमेय से कोरोलरीज 1 और 2 का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है), यानी। एबी = ई। इसी प्रकार, यह दिखाया गया है कि बीए = ई। > उदाहरण। मैट्रिक्स ए के लिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें, या साबित करें कि इसका अस्तित्व नहीं है। det A = -3 Þ व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है। अब हम बीजगणितीय योगों पर विचार करते हैं। ए 11 = -3 ए 21 = 0 ए 31 = 6 ए 12 = 0 ए 22 = 0 ए 32 = -3 ए 13 = 1 ए 23 = -1 ए 33 = -1 तो, उलटा मैट्रिक्स इस तरह दिखता है: बी = = मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम 1. पता ए की गणना करें. 2. यदि यह 0 के बराबर है, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है। यदि डेट ए बराबर नहीं है 0, हम बीजगणितीय जोड़ पर विचार करते हैं। 3. हम बीजीय जोड़ को उचित स्थानों पर रखते हैं। 4. परिणामी मैट्रिक्स के सभी तत्वों को डेट ए से विभाजित करें। रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ. परिभाषा 1. a1x1+ ....+an xn=b रूप का एक समीकरण, जहां a, ...,an संख्याएं हैं; x1, ... ,xn अज्ञात हैं, इसे एक रैखिक समीकरण कहा जाता है एनअज्ञात। एसके साथ समीकरण एनअज्ञात को सिस्टम कहा जाता है एसके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात, यानी (1) यदि हम मैट्रिक्स ए में मुक्त पदों का एक कॉलम जोड़ते हैं, तो हमें सिस्टम (1) का विस्तारित मैट्रिक्स मिलता है। एक्स = - अज्ञात का स्तंभ। - निःशुल्क सदस्यों का कॉलम। मैट्रिक्स रूप में, सिस्टम का रूप है: AX=B (2)। सिस्टम (1) का समाधान क्रमित सेट है एनसंख्याएँ (α1 ,…, αn) इस प्रकार हैं कि यदि हम (1) x1 = α1, x2 = α2 ,…, xn = αn में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें संख्यात्मक सर्वसमिकाएँ प्राप्त होती हैं। परिभाषा 2. सिस्टम (1) को सुसंगत कहा जाता है यदि उसके पास समाधान हैं, और अन्यथा असंगत कहा जाता है। परिभाषा 3. दो प्रणालियों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनके समाधानों के सेट समान हों। सिस्टम को हल करने का एक सार्वभौमिक तरीका है (1) - गॉस विधि (अज्ञात को क्रमिक रूप से समाप्त करने की विधि) आइए इस मामले पर अधिक विस्तार से विचार करें एस = एन. ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए एक क्रैमर विधि है। मान लीजिए d = det , डीजे - डी का निर्धारक, जिसमें जेवें कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। क्रैमर का नियम प्रमेय (क्रैमर का नियम)। यदि सिस्टम का निर्धारक d ¹ 0 है, तो सिस्टम के पास सूत्रों से प्राप्त एक अद्वितीय समाधान है: X1 = d1 / d …xn = dn / d <Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим और अज्ञात कॉलम मैट्रिक्स X के साथ समीकरण AX = B (2) पर विचार करें। चूँकि A, X, B आयामों के मैट्रिक्स हैं एन एक्स एन, एन एक्स 1, एन एक्स 1तदनुसार, आयताकार मैट्रिक्स AX का उत्पाद परिभाषित किया गया है और मैट्रिक्स B के समान आयाम हैं। इस प्रकार, समीकरण (2) समझ में आता है। सिस्टम (1) और समीकरण (2) के बीच का संबंध ही इस सिस्टम का समाधान है यदि और केवल यदि स्तंभ समीकरण (2) का समाधान है। दरअसल, इस कथन का मतलब है कि समानता अंतिम समानता, मैट्रिक्स की समानता के रूप में, समानता की प्रणाली के बराबर है जिसका अर्थ है कि यह सिस्टम (1) का समाधान है। इस प्रकार, सिस्टम (1) का समाधान मैट्रिक्स समीकरण (2) के समाधान में कम हो जाता है। चूँकि मैट्रिक्स A का सारणिक d गैर-शून्य है, इसका व्युत्क्रम मैट्रिक्स A -1 है। फिर AX = B z A(^-1)(AX) = A(^-1)B z (A(^-1)A)X = A(^-1)B z EX = A(^-1) z X = A(^-1)B (3) में। इसलिए, यदि समीकरण (2) का कोई हल है, तो वह सूत्र (3) द्वारा दिया जाता है। दूसरी ओर, A(A(^-1)B) = (A A(^-1))B = EB = B. इसलिए, X = A (^-1) B समीकरण (2) का एकमात्र समाधान है। क्योंकि , जहाँ A ij निर्धारक d में तत्व a ij का बीजगणितीय पूरक है कहाँ से (4). समानता (4) में कोष्ठक में निर्धारक डीजे के जेवें कॉलम के तत्वों द्वारा विस्तार लिखा गया है, जो इसमें प्रतिस्थापन के बाद निर्धारक डी से प्राप्त होता है मुक्त सदस्यों के एक कॉलम द्वारा जे-वें कॉलम। इसीलिए, एक्सजे = डीजे/ डी.> परिणाम। यदि n रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली एनअज्ञात का एक गैर-शून्य समाधान है, तो इस प्रणाली का निर्धारक शून्य के बराबर है। मैट्रिक्स निर्धारक को दर्शाया गया है। दूसरे शब्दों में, मैट्रिक्स निर्धारक संबंधित प्रतिस्थापन के चिह्न द्वारा गुणा किए गए सेट से उत्पादों का योग है। दूसरे क्रम का निर्धारक मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद को घटाकर द्वितीयक पर के तत्वों के उत्पाद के बराबर है। हमें त्रिभुज नियम मिला: निर्धारकों के सबसे सरल गुण शून्य पंक्ति (स्तंभ) वाले मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है त्रिकोणीय मैट्रिक्स का निर्धारक मुख्य विकर्ण पर स्थित तत्वों के उत्पाद के बराबर है यदि मुख्य विकर्ण के नीचे के तत्व शून्य हैं तो यह एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स है। विकर्ण मैट्रिक्स का निर्धारक मुख्य विकर्ण पर स्थित तत्वों के उत्पाद के बराबर है। एक मैट्रिक्स विकर्ण है यदि मुख्य विकर्ण के बाहर के सभी तत्व शून्य हैं। निर्धारकों के मूल गुण अदिश क्षेत्र, सबूत: निरूपित करें। यदि पूरा सेट "चलता है", तो सब कुछ भी "चलता है" अर्थात जब किसी मैट्रिक्स के दो कॉलम (पंक्तियाँ) आपस में बदल दिए जाते हैं, तो इसका निर्धारक चिन्ह बदल जाता है। सबूत: I) कॉलम क्रमपरिवर्तन: आइए संख्याओं के साथ दो स्तंभों के क्रमपरिवर्तन से प्राप्त एक मैट्रिक्स है, जहां। एक स्थानान्तरण पर विचार करें: स्थानांतरण एक अजीब क्रमपरिवर्तन है, प्रमाण में हम समानता का उपयोग करेंगे: यदि यह मानों के पूरे सेट से चलता है, तो यह सभी मानों से भी चलता है II) स्ट्रिंग क्रमपरिवर्तन मान लीजिए दो पंक्तियों के क्रमपरिवर्तन से प्राप्त किया गया, फिर दो स्तंभों के क्रमपरिवर्तन से प्राप्त किया गया III) शून्य के बराबर दो समान पंक्तियों (स्तंभों) वाले मैट्रिक्स निर्धारक सबूत: आइए ऐसे क्षेत्र के लिए आगे बढ़ें, जहां टिप्पणी कुलिकोवा की पाठ्यपुस्तक बीजगणित और संख्या सिद्धांत में मामले का प्रमाण खोजें मान लीजिए कि संख्याओं के साथ दो समान पंक्तियाँ हैं और, जहाँ, पंक्तियों की अदला-बदली होती है और, हमें एक मैट्रिक्स मिलता है यदि दो कॉलम समान हैं, तो ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स में दो समान पंक्तियाँ हैं। IV) यदि मैट्रिक्स की किसी पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों को गुणा किया जाता है, तो निर्धारक को गुणा किया जाता है सबूत: इसे पंक्तियों से गुणा करके प्राप्त किया जाए के बाद से स्तंभों के लिए समान प्रमाण V) एक मैट्रिक्स का निर्धारक जिसकी दो पंक्तियाँ (स्तंभ) शून्य के समानुपाती होती हैं सबूत: मान लीजिए मैट्रिक्स में, पंक्तियाँ आनुपातिक हैं अर्थात -स्ट्रिंग -स्ट्रिंग द्वारा उत्पाद के बराबर है। होने देना स्तंभों के लिए: मान लीजिए, से प्राप्त किया गया। कॉलम और और के समानुपाती हैं VI) यदि वर्ग मैट्रिक्स की -पंक्ति (स्तंभ) का प्रत्येक तत्व दो तत्वों का योग है, तो निर्धारक दो निर्धारकों के योग के बराबर है। पंक्ति (स्तंभ) में पहले निर्धारक के मैट्रिक्स में, पहले पद लिखे जाते हैं, और दूसरे निर्धारक के मैट्रिक्स में, दूसरे पद लिखे जाते हैं। इन निर्धारकों के मैट्रिक्स के शेष तत्व मैट्रिक्स के समान ही हैं सबूत: VII) यदि हम सारणिक मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति (स्तंभ) से गुणा करके एक और पंक्ति (स्तंभ) जोड़ते हैं, तो सारणिक नहीं बदलेगा। सबूत: स्तंभों के लिए भी वही. VIII) यदि मैट्रिक्स की कोई पंक्ति (स्तंभ) अन्य पंक्तियों (स्तंभों) का रैखिक संयोजन है, तो निर्धारक सबूत: यदि कोई स्ट्रिंग अन्य स्ट्रिंग्स का एक रैखिक संयोजन है, तो स्केलर द्वारा गुणा की गई अन्य स्ट्रिंग्स को इसमें जोड़ा जा सकता है ताकि एक शून्य स्ट्रिंग प्राप्त हो। ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है। (पहले हम पहली पंक्ति को -2 से गुणा करते हैं और दूसरी में जोड़ते हैं, फिर -3 से जोड़ते हैं और तीसरी में जोड़ते हैं)। इस त्रिकोणीय न्यूनीकरण नियम का उपयोग निर्धारकों के लिए किया जाता है - क्रम: चूंकि त्रिकोणीय मैट्रिक्स का निर्धारक मुख्य विकर्ण पर स्थित तत्वों का उत्पाद है। यदि एक वर्ग मैट्रिक्स कुछ मैट्रिक्स (जो आयताकार हो सकता है) का उत्पाद है, तो कारकों के गुणों के संदर्भ में उत्पाद के निर्धारक को व्यक्त करने में सक्षम होना अक्सर महत्वपूर्ण होता है। निम्नलिखित प्रमेय इसका एक सशक्त प्रतिपादक है। लघु और बीजगणितीय जोड़. निर्धारकों के बारे में प्रमेय. अदिश क्षेत्र, हार। ऑर्डर निर्धारक का अवयव माइनर -पंक्ति और -कॉलम को हटाकर प्राप्त किया गया ऑर्डर निर्धारक है। निर्धारक के प्रमुख नाबालिग प्रमुख अवयस्कों के लिए निर्धारक होते हैं एक मैट्रिक्स पर विचार करें और उसके अवयस्कों की गणना करें परिभाषा। निरूपित तत्व के बीजगणितीय पूरक को संख्या कहा जाता है उदाहरण: आइए गणना करें, सबूत: (संक्षेप में, केवल वे पद अशून्य हैं, जहां) तब प्रतिस्थापन का रूप होता है: , कहाँ। आइए हम प्रतिस्थापन को असाइन करें यानी इस तरह के पत्राचार को क्रमपरिवर्तन के सेट से क्रमपरिवर्तन के सेट की एक-से-एक मैपिंग कहा जाता है। यह स्पष्ट है कि और में समान व्युत्क्रम हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें समानता और संकेत समान हैं यदि मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, एक तत्व के संभावित अपवाद के साथ, तो मैट्रिक्स निर्धारक इस तत्व और इसके बीजगणितीय पूरक के उत्पाद के बराबर है सबूत: मान लीजिए कि तत्व को छोड़कर सभी तत्व मैट्रिक्स की पंक्तियाँ हैं पंक्तियों और स्तंभों के क्रमपरिवर्तन से तत्व निचले दाएं कोने में चला गया, जिसका अर्थ है पंक्तियाँ और -स्तंभ। चिह्न एक बार बदल जाएगा, जिसके बाद एक मैट्रिक्स प्राप्त होगा जिसमें अंतिम पंक्ति को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर हो सकते हैं। लेम्मा 1 द्वारा, तब से लैग्रेंज का प्रमेय मैट्रिक्स के किसी भी स्तंभ (पंक्ति) के तत्वों और उनके बीजगणितीय पूरक के उत्पादों के योग के बराबर है। दूसरे शब्दों में: मैट्रिक्स-कॉलम अपघटन का रूप है:, और मैट्रिक्स-पंक्ति अपघटन: सबूत: मैट्रिक्स के -कॉलम पर विचार करें और इसे निर्धारकों की छठी संपत्ति के अनुसार: के रूप में लिखें: निर्धारक मैट्रिक्स लैग्रेंज गणितीय इसी प्रकार, मैट्रिक्स की -पंक्ति में विस्तार का सूत्र सिद्ध होता है। प्रमेय 2 वैध समानताएँ: एक मैट्रिक्स पर विचार करें जो निम्नलिखित तरीके से एक मैट्रिक्स से प्राप्त होता है: मैट्रिक्स के सभी कॉलम, वें को छोड़कर, मैट्रिक्स के समान हैं। मैट्रिक्स का -वां कॉलम -कॉलम के साथ मेल खाता है, फिर इसमें दो समान कॉलम होते हैं, इसलिए मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर होता है, हम -वें कॉलम में मैट्रिक्स के निर्धारक का विस्तार करते हैं। तब। सूत्र (2) इसी प्रकार दर्शाया गया है। परिणाम: मैट्रिक्स उत्पाद निर्धारक अदिश क्षेत्र, प्रारंभिक क्रम मैट्रिक्स दें, तो समानता सत्य है: 1) ., यानी एक -पंक्ति को एक अदिश राशि से गुणा करके एक मैट्रिक्स से प्राप्त किया जाता है। मैट्रिक्स निर्धारक. मैट्रिक्स एक -पंक्ति को एक अदिश से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, इसलिए निर्धारक -पंक्ति में जोड़ने से प्राप्त मैट्रिक्स 2) , शर्त के तहत दावे (1) से प्रमाण प्रमेय 1 दो आव्यूहों के गुणनफल का सारणिक उनके सारणिक के गुणनफल के बराबर होता है अर्थात् सबूत: मान लीजिए कि मैट्रिक्स पंक्तियाँ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो प्राथमिक परिवर्तनों की एक श्रृंखला होती है फिर लेम्मा 2 द्वारा यह उसका अनुसरण करता है। इस तथ्य से कि () हमारे पास है: , फिर 2) पंक्तियाँ रैखिक रूप से निर्भर होती हैं, फिर प्रारंभिक परिवर्तनों की एक श्रृंखला होती है जो एक चरण मैट्रिक्स में तब्दील हो जाती है जिसमें शून्य पंक्ति होती है। , . तब इस बात से कि, कार्य में, एक शून्य रेखा भी होती है, क्योंकि सारणिक की शून्य की समानता के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्तें अदिशों का क्षेत्र, - क्षेत्र पर मैट्रिक्स प्रमेय 1 मैट्रिक्स की पंक्तियाँ (स्तंभ) रैखिक रूप से निर्भर हैं पर्याप्तता: यदि मैट्रिक्स की पंक्तियाँ (स्तंभ) रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो कुछ पंक्ति अन्य पंक्तियों का एक रैखिक संयोजन है (निर्धारकों के 8 गुणों के अनुसार) आवश्यकता: रहने दो। आइए हम साबित करें कि तार रैखिक रूप से निर्भर हैं। मान लें कि तार रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो अनुवाद में प्राथमिक परिवर्तनों की एक श्रृंखला होती है। मद II में जो सिद्ध किया गया उससे यह निष्कर्ष निकलता है। हमें एक विरोधाभास मिला. आइए हम सिद्ध करें कि यदि मैट्रिक्स की -पंक्ति रैखिक रूप से निर्भर है, लेकिन (स्तंभ वैक्टर की संख्या) रैखिक रूप से निर्भर है। प्रमेय 2 निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं: सबूत: प्रमेय 1 में सिद्ध हुआ मैट्रिक्स विभाजन यदि मैट्रिक्स, मैट्रिक्स, मैट्रिक्स और मैट्रिक्स के रूप में लिखा जाता है फिर वे एक निश्चित मैट्रिक्स बनाते हैं। इस स्थिति में, उन्हें मैट्रिक्स ब्लॉक कहा जा सकता है। और तदनुसार लेबल किया गया। निरूपण (1) को मैट्रिक्स का विभाजन कहा जाता है। यदि मैट्रिक्स उत्पाद मौजूद है और ब्लॉकों में विभाजित है, और मैट्रिक्स के कॉलम द्वारा विभाजन मैट्रिक्स की पंक्तियों द्वारा विभाजन से मेल खाता है, तो हम उम्मीद कर सकते हैं कि इसमें सूत्र द्वारा दिए गए ब्लॉक हैं इस प्रकार, हम मानते हैं कि कारकों के संबंधित विभाजनों द्वारा प्राप्त ब्लॉकों के संदर्भ में आव्यूहों का उत्पाद औपचारिक रूप से अदिश तत्वों के संदर्भ में इन आव्यूहों के उत्पाद के साथ मेल खाता है। आइए इसे एक उदाहरण से दिखाएं: अभ्यास 1। होने देना इसे प्रत्यक्ष गणना द्वारा सत्यापित किया जाता है प्रमेय (1) मान लीजिए कि एक मैट्रिक्स में ब्लॉक हैं, जहां एक मैट्रिक्स है, और एक मैट्रिक्स जिसमें आकार के ब्लॉक हैं। फिर ब्लॉक हैं सबूत। ध्यान दें कि प्रत्येक उत्पाद मौजूद है और एक मैट्रिक्स है। इसलिए, एक मैट्रिक्स मौजूद है और रहेगा। फिक्स्ड के लिए, प्रत्येक में कॉलम होते हैं और फिक्स्ड के लिए, प्रत्येक में पंक्तियाँ होती हैं, जिसका अर्थ है कि ब्लॉक किसी मैट्रिक्स के हैं। मान लीजिए कि मैट्रिक्स का कुछ तत्व ब्लॉक के सेल में स्थित है। चूँकि, कोशिकाओं और आव्यूहों में तत्वों का योग होता है। लेकिन सेल में मैट्रिक्स तत्व मैट्रिक्स पंक्ति के तत्वों और मैट्रिक्स कॉलम के तत्वों के उत्पादों का योग है। इसके अलावा, मैट्रिक्स की पंक्ति के तत्व पंक्ति के कुछ तत्वों के साथ मेल खाते हैं, अर्थात्, जहां सूचकांक असमानताओं द्वारा निर्धारित किया जाता है मैट्रिक्स कॉलम तत्व तत्व होंगे। इस तरह, हमने निर्धारक के लिए ऑर्डर माइनर्स को परिभाषित किया है। सामान्य स्थिति में, यदि पंक्तियों को छोड़कर सभी पंक्तियों और स्तंभों को छोड़कर सभी स्तंभों को मैट्रिक्स से हटा दिया जाता है, तो परिणामी मैट्रिक्स के निर्धारक को ऑर्डर मैट्रिक्स का लघु कहा जाता है, फिर जिन अवयस्कों को मैट्रिक्स के लिए प्रिंसिपल कहा जाता है। यदि एक मैट्रिक्स है, तो उदाहरण के लिए, बीजगणितीय पूरक है यदि एक वर्ग मैट्रिक्स कुछ मैट्रिक्स (जो आयताकार हो सकता है) का उत्पाद है, तो कभी-कभी कारकों के गुणों के संदर्भ में उत्पाद के निर्धारक को व्यक्त करना महत्वपूर्ण होता है। निम्नलिखित प्रमेय इस प्रकार का एक शक्तिशाली परिणाम है।
; . .
14. आव्यूहों के गुणनफल के निर्धारक पर प्रमेय।
और 
. अर्ध-त्रिकोणीय मैट्रिक्स के निर्धारक पर प्रमेय के आधार पर ( 
) हमारे पास है: 
इस मैट्रिक्स का क्रम 2n है। निर्धारक को बदले बिना, हम क्रम 2n के मैट्रिक्स पर निम्नलिखित परिवर्तन करते हैं: पहली पंक्ति में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तन के परिणामस्वरूप, पहली पंक्ति की पहली n स्थिति सभी 0 होगी, और दूसरे (दूसरे ब्लॉक में) में मैट्रिक्स A की पहली पंक्ति और मैट्रिक्स के पहले कॉलम के उत्पादों का योग होगा बी. 2 ... एन पंक्तियों के साथ समान परिवर्तन करने पर, हमें निम्नलिखित समानता मिलती है: 
.15. व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व पर प्रमेय।
मैट्रिक्स को नॉन-नॉन-सिंगुलर (गैर-एकवचन) कहा जाता है। अगर 
तब मैट्रिक्स को पतित (विशेष) कहा जाता है।
मैट्रिक्स C को मैट्रिक्स A के संबंध में संलग्न कहा जाता है। A*C और B*C के उत्पाद की गणना करने पर, हमें मिलता है 
इस तरह 
, इस प्रकार 
अगर 
.
और। प्राप्त परिणामों को मिलाकर हमें कथन मिलता है:
, जहां C संबद्ध मैट्रिक्स है।
16. मैट्रिक्स की रैंक का निर्धारण। बुनियादी लघु प्रमेय और उसका परिणाम।
. हमें यह साबित करने की आवश्यकता है कि मैट्रिक्स ए का कोई भी कॉलम इस मैट्रिक्स के पहले कॉलम का एक रैखिक संयोजन है जिसमें आधार नाबालिग स्थित है, यानी, यह सिद्ध करना आवश्यक है कि संख्याएँ λ j ऐसी हैं कि मैट्रिक्स A के किसी भी k-वें कॉलम के लिए समानता होती है: जहाँ 
…
.
क्योंकि यदि जोड़ी गई पंक्ति या
, दो समान पंक्तियों (स्तंभों) के साथ एक निर्धारक के रूप में। यदि एक पंक्ति (कॉलम) जोड़ दी जाए तो 
मैट्रिक्स की रैंक की परिभाषा के अनुसार। निर्धारक का विस्तार करें 
निचली पंक्ति के तत्वों से, हमें मिलता है: यहाँ से हमें मिलता है: 
जहाँ λ 1 … λ r संख्या S पर निर्भर नहीं है, क्योंकि और एसजे जोड़े गए एस-वें पंक्ति के तत्वों पर निर्भर नहीं हैं। समानता (1) वह समानता है जिसकी हमें आवश्यकता है। (p.t.d.)
.
यदि हम मैट्रिक्स ए में मुक्त पदों का एक कॉलम जोड़ते हैं, तो हमें सिस्टम (1) का विस्तारित मैट्रिक्स मिलता है। 
=
,
,
सिस्टम (1) के अज्ञात के गुणांकों से बना मैट्रिक्स ए, सिस्टम (1) का मैट्रिक्स कहलाता है। .
