लघुगणक समीकरण सिद्धांत को उदाहरण सहित हल करना। लघुगणकीय समीकरणों को हल करना

लघुगणकीय समीकरण. हम गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग बी की समस्याओं पर विचार करना जारी रखते हैं। हम पहले ही लेख "", "" में कुछ समीकरणों के समाधान की जांच कर चुके हैं। इस लेख में हम लघुगणकीय समीकरणों को देखेंगे। मैं तुरंत कहूंगा कि एकीकृत राज्य परीक्षा में ऐसे समीकरणों को हल करते समय कोई जटिल परिवर्तन नहीं होगा। वे सरल हैं.

लघुगणक के गुणों को जानने के लिए, मूल लघुगणकीय पहचान को जानना और समझना पर्याप्त है। कृपया ध्यान दें कि इसे हल करने के बाद, आपको एक जांच अवश्य करनी चाहिए - परिणामी मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें और गणना करें, अंत में आपको सही समानता मिलनी चाहिए।

परिभाषा:

आधार b पर किसी संख्या का लघुगणक घातांक है।जिसे a प्राप्त करने के लिए b को ऊपर उठाया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए:

लॉग 3 9 = 2, चूँकि 3 2 = 9

लघुगणक के गुण:

लघुगणक के विशेष मामले:

आइए समस्याओं का समाधान करें. पहले उदाहरण में हम एक जाँच करेंगे. भविष्य में आप स्वयं इसकी जाँच करें।

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 (4-x) = 4

चूँकि log b a = x b x = a, तो

3 4 = 4 – एक्स

एक्स = 4 – 81

एक्स = – 77

इंतिहान:

लॉग 3 (4–(–77)) = 4

लॉग 3 81 = 4

3 4 = 81 सही।

उत्तर:-77

अपने लिए तय करें:

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 (4 – x) = 7

समीकरण लॉग 5 का मूल ज्ञात कीजिए(4 + एक्स) = 2

हम मूल लघुगणकीय पहचान का उपयोग करते हैं।

चूँकि log a b = x b x = a, तो

5 2 = 4 + एक्स

एक्स =5 2 – 4

एक्स = 21

इंतिहान:

लघुगणक 5 (4 + 21) = 2

लॉग 5 25 = 2

5 2 = 25 सही।

उत्तर: 21

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए log 3 (14 – x) = log 3 5.

निम्नलिखित गुण घटित होता है, इसका अर्थ इस प्रकार है: यदि समीकरण के बायीं और दायीं ओर समान आधार वाले लघुगणक हैं, तो हम लघुगणक के चिह्नों के अंतर्गत भावों को बराबर कर सकते हैं।

14 – एक्स = 5

एक्स=9

जांच करो.

उत्तर: 9

अपने लिए तय करें:

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए log 5 (5 – x) = log 5 3.

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए: लघुगणक 4 (x + 3) = लघुगणक 4 (4x – 15)।

यदि लॉग सी ए = लॉग सी बी, तो ए = बी

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

एक्स=6

जांच करो.

उत्तर: 6

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – एक्स

8 2 = 13 – एक्स

एक्स = 13 – 64

एक्स = – 51

जांच करो.

एक छोटा सा जोड़ - संपत्ति का उपयोग यहां किया जाता है

डिग्री ()।

उत्तर:-51

अपने लिए तय करें:

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए: लघुगणक 1/7 (7 – x) = – 2

समीकरण लॉग 2 (4 - x) = 2 लॉग 2 5 का मूल ज्ञात कीजिए।

आइये दाहिनी ओर परिवर्तन करें। आइए संपत्ति का उपयोग करें:

लॉग ए बी एम = एम∙लॉग ए बी

लॉग 2 (4 - एक्स) = लॉग 2 5 2

यदि लॉग सी ए = लॉग सी बी, तो ए = बी

4 – एक्स = 5 2

4 – एक्स = 25

एक्स = – 21

जांच करो.

उत्तर:- 21

अपने लिए तय करें:

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 (5 - x) = 2 लघुगणक 5 3

समीकरण को हल करें लॉग 5 (x 2 + 4x) = लॉग 5 (x 2 + 11)

यदि लॉग सी ए = लॉग सी बी, तो ए = बी

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

एक्स = 2.75

जांच करो.

उत्तर: 2.75

अपने लिए तय करें:

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए लॉग 5 (x 2 + x) = लॉग 5 (x 2 + 10)।

समीकरण लॉग 2 (2 - x) = लॉग 2 (2 - 3x) +1 को हल करें।

समीकरण के दाईं ओर प्रपत्र की अभिव्यक्ति प्राप्त करना आवश्यक है:

लॉग 2 (......)

हम 1 को आधार 2 लघुगणक के रूप में दर्शाते हैं:

1 = लॉग 2 2

लॉग सी (एबी) = लॉग सी ए + लॉग सी बी

लॉग 2 (2 - एक्स) = लॉग 2 (2 - 3x) + लॉग 2 2

हम पाते हैं:

लॉग 2 (2 - x) = लॉग 2 2 (2 - 3x)

यदि लॉग सी ए = लॉग सी बी, तो ए = बी, फिर

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

एक्स = 0.4

जांच करो.

उत्तर: 0.4

अपने लिए तय करें: इसके बाद आपको द्विघात समीकरण को हल करना होगा। वैसे,

जड़ें 6 और -4 हैं।

जड़ "-4" कोई समाधान नहीं है, क्योंकि लघुगणक का आधार शून्य से अधिक होना चाहिए, और " के साथ– 4" यह बराबर है" – 5'' समाधान जड़ 6 है.जांच करो.

उत्तर: 6.

आर स्वयं खाएं:

समीकरण लॉग x -5 49 = 2 को हल करें। यदि समीकरण में एक से अधिक मूल हैं, तो छोटे से उत्तर दें।

जैसा कि आपने देखा, लघुगणकीय समीकरणों में कोई जटिल परिवर्तन नहीं होतानहीं। लघुगणक के गुणों को जानना और उन्हें लागू करने में सक्षम होना ही पर्याप्त है। लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों के परिवर्तन से संबंधित यूएसई समस्याओं में, अधिक गंभीर परिवर्तन किए जाते हैं और हल करने में अधिक गहन कौशल की आवश्यकता होती है। हम ऐसे उदाहरण देखेंगे, उन्हें चूकें नहीं!मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!!!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

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बीजगणित 11वीं कक्षा

विषय: "लघुगणकीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ"

पाठ मकसद:

शैक्षिक: लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों के बारे में ज्ञान विकसित करना, उन्हें प्रत्येक विशिष्ट स्थिति में लागू करने और हल करने के लिए कोई भी विधि चुनने की क्षमता;

विकसित होना: निरीक्षण करने, तुलना करने, ज्ञान को नई स्थिति में लागू करने, पैटर्न की पहचान करने, सामान्यीकरण करने के कौशल का विकास; आपसी नियंत्रण और आत्म-नियंत्रण के कौशल विकसित करना;

शैक्षिक: शैक्षिक कार्य के प्रति एक जिम्मेदार दृष्टिकोण को बढ़ावा देना, पाठ में सामग्री की सावधानीपूर्वक धारणा और सावधानीपूर्वक नोट लेना।

पाठ का प्रकार : नई सामग्री पेश करने पर पाठ।

"लघुगणक के आविष्कार ने, खगोलशास्त्री के काम को कम करते हुए, उनके जीवन को बढ़ा दिया।"
फ्रांसीसी गणितज्ञ और खगोलशास्त्री पी.एस. लाप्लास

कक्षाओं के दौरान

I. पाठ का लक्ष्य निर्धारित करना

लघुगणक की अध्ययन की गई परिभाषा, लघुगणक के गुण और लघुगणकीय फ़ंक्शन हमें लघुगणक समीकरणों को हल करने की अनुमति देंगे। सभी लघुगणकीय समीकरण, चाहे वे कितने भी जटिल क्यों न हों, समान एल्गोरिदम का उपयोग करके हल किए जाते हैं। हम आज के पाठ में इन एल्गोरिदम को देखेंगे। उनमें से बहुत सारे नहीं हैं. यदि आप उनमें महारत हासिल कर लेते हैं, तो लघुगणक वाला कोई भी समीकरण आप में से प्रत्येक के लिए संभव होगा।

अपनी नोटबुक में पाठ का विषय लिखें: "लघुगणकीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ।" मैं सभी को सहयोग के लिए आमंत्रित करता हूं।'

द्वितीय. संदर्भ ज्ञान का अद्यतनीकरण

आइए पाठ के विषय का अध्ययन करने की तैयारी करें। आप प्रत्येक कार्य को हल करें और उत्तर लिखें; आपको शर्त लिखने की ज़रूरत नहीं है। जोड़े में काम।

1) x के किन मानों के लिए फ़ंक्शन का अर्थ है:

ए)

बी)

वी)

डी)

(प्रत्येक स्लाइड के उत्तरों की जाँच की जाती है और त्रुटियों को सुलझाया जाता है)

2) क्या फ़ंक्शंस के ग्राफ़ मेल खाते हैं?

ए) वाई = एक्स और

बी)और

3) समानताओं को लघुगणकीय समानताओं के रूप में फिर से लिखें:

4) संख्याओं को आधार 2 के साथ लघुगणक के रूप में लिखें:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) गणना करें :

6) इन समानताओं में लुप्त तत्वों को पुनर्स्थापित करने या पूरक करने का प्रयास करें।

तृतीय. नई सामग्री का परिचय

निम्नलिखित कथन स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है:

"समीकरण वह सुनहरी कुंजी है जो सभी गणितीय तिलों को खोलती है।"
आधुनिक पोलिश गणितज्ञ एस. कोवल

लघुगणकीय समीकरण की परिभाषा तैयार करने का प्रयास करें। (लघुगणक चिन्ह के नीचे अज्ञात युक्त समीकरण ).

चलो गौर करते हैंसबसे सरल लघुगणकीय समीकरण: लकड़ी का लट्ठा ए एक्स = बी (जहाँ a>0, a ≠ 1)। चूंकि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन सकारात्मक संख्याओं के सेट पर बढ़ता है (या घटता है) और सभी वास्तविक मान लेता है, तो मूल प्रमेय से यह पता चलता है कि किसी भी बी के लिए इस समीकरण में केवल एक, समाधान और एक सकारात्मक है।

लघुगणक की परिभाषा याद रखें. (किसी संख्या x का आधार a से लघुगणक उस शक्ति का सूचक है जिस तक संख्या x प्राप्त करने के लिए आधार a को ऊपर उठाया जाना चाहिए ). लघुगणक की परिभाषा से यह तुरंत अनुसरण करता हैए वी एक ऐसा समाधान है.

शीर्षक लिखें:लघुगणकीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ

1. लघुगणक की परिभाषा के अनुसार .

इस प्रकार फॉर्म के सबसे सरल समीकरण हल किए जाते हैं.

चलो गौर करते हैंक्रमांक 514(ए) ): प्रश्न हल करें

आप इसे कैसे हल करने का प्रस्ताव रखते हैं? (लघुगणक की परिभाषा के अनुसार )

समाधान . , अत: 2x – 4 = 4; एक्स = 4.

उत्तर - 4।

इस कार्य में 2x – 4 > 0, चूँकि> 0, इसलिए कोई बाहरी जड़ें प्रकट नहीं हो सकतीं, औरजाँच करने की कोई आवश्यकता नहीं है . इस कार्य में शर्त 2x – 4 > 0 लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है।

2. शक्तिकरण (किसी दिए गए व्यंजक के लघुगणक से स्वयं इस व्यंजक में संक्रमण)।

चलो गौर करते हैंक्रमांक 519(जी): लकड़ी का लट्ठा 5 ( एक्स 2 +8)- लकड़ी का लट्ठा 5 ( एक्स+1)=3 लकड़ी का लट्ठा 5 2

आपने कौन सी विशेषता नोटिस की?(आधार समान हैं और दोनों अभिव्यक्तियों के लघुगणक समान हैं) . क्या किया जा सकता है?(पोटेंटाइज़)।

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि कोई भी समाधान सभी x के बीच समाहित है जिसके लिए लघुगणकीय अभिव्यक्तियाँ सकारात्मक हैं।

समाधान: ओडीजेड:

एक्स 2 +8>0 अनावश्यक असमानता

लकड़ी का लट्ठा 5 ( एक्स 2 +8) = लकड़ी का लट्ठा 5 2 3 + लकड़ी का लट्ठा 5 ( एक्स+1)

लकड़ी का लट्ठा 5 ( एक्स 2 +8)= लकड़ी का लट्ठा 5 (8 एक्स+8)

आइए मूल समीकरण को प्रबल करें

एक्स 2 +8= 8 एक्स+8

हमें समीकरण मिलता हैएक्स 2 +8= 8 एक्स+8

आइए इसे हल करें:एक्स 2 -8 एक्स=0

x=0, x=8

उत्तर: 0; 8

सामान्य रूप मेंसमतुल्य प्रणाली में परिवर्तन :

समीकरण

(सिस्टम में एक अनावश्यक शर्त शामिल है - असमानताओं में से एक पर विचार करने की आवश्यकता नहीं है)।

कक्षा के लिए प्रश्न : आपको इन तीन समाधानों में से कौन सा समाधान सबसे अधिक पसंद आया? (तरीकों की चर्चा)।

आपको किसी भी तरह से निर्णय लेने का अधिकार है.

3. एक नये चर का परिचय .

चलो गौर करते हैंक्रमांक 520(जी) . .

आपने क्या नोटिस किया? (यह log3x के संबंध में एक द्विघात समीकरण है) आपके सुझाव? (एक नया वेरिएबल प्रस्तुत करें)

समाधान . ओडीजेड: एक्स > 0.

होने देना, तो समीकरण इस प्रकार बनेगा:. विवेचक डी > 0. विएटा के प्रमेय के अनुसार जड़ें:.

आइए प्रतिस्थापन पर वापस जाएँ:या.

सरलतम लघुगणकीय समीकरणों को हल करने पर, हमें मिलता है:

; .

उत्तर : 27;

4. समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक.

प्रश्न हल करें:.

समाधान : ODZ: x>0, आइए आधार 10 में समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक लें:

. आइए किसी घात के लघुगणक के गुण को लागू करें:

(एलजीएक्स + 3) एलजीएक्स =

(लॉगएक्स + 3) लॉगएक्स = 4

मान लीजिए logx = y, तो (y + 3)y = 4

, (डी > 0) विएटा के प्रमेय के अनुसार मूल: y1 = -4 और y2 = 1।

आइए प्रतिस्थापन पर वापस जाएं, हमें मिलता है: lgx = -4,; लॉगएक्स = 1,. . यह इस प्रकार है: यदि कार्यों में से एक वाई = एफ(एक्स) बढ़ता है, और दूसरा वाई = जी(एक्स) अंतराल X पर घटता है, फिर समीकरण एफ(एक्स)= जी(एक्स) अंतराल X पर अधिकतम एक जड़ होती है .

यदि कोई जड़ है तो इसका अनुमान लगाया जा सकता है। .

उत्तर : 2

"तरीकों का सही अनुप्रयोग किसके द्वारा सीखा जा सकता है
केवल उन्हें विभिन्न उदाहरणों पर लागू करके।”
गणित के डेनिश इतिहासकार जी.जी. ज़िटेन

मैं वी. होमवर्क

पी. 39 उदाहरण 3 पर विचार करें, संख्या 514(बी), संख्या 529(बी), संख्या 520(बी), संख्या 523(बी) को हल करें

वी. पाठ का सारांश

कक्षा में हमने लघुगणकीय समीकरणों को हल करने की कौन-सी विधियाँ देखीं?

अगले पाठों में हम और अधिक जटिल समीकरणों को देखेंगे। इन्हें हल करने के लिए अध्ययन की गई विधियां उपयोगी होंगी।

अंतिम स्लाइड दिखाई गई:

“दुनिया में किसी भी चीज़ से बढ़कर क्या है?
अंतरिक्ष।
सबसे बुद्धिमानी वाली बात क्या है?
समय।
सबसे अच्छा हिस्सा क्या है?
आप जो चाहते हैं उसे हासिल करें।"
थेल्स

मैं चाहता हूं कि हर कोई वह हासिल करे जो वह चाहता है। आपके सहयोग और समझ के लिए धन्यवाद।

लघुगणकीय समीकरण. सरल से जटिल तक.

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

लघुगणकीय समीकरण क्या है?

यह लघुगणक वाला एक समीकरण है. मैं आश्चर्यचकित हूं, ठीक है?) फिर मैं स्पष्ट करूंगा। यह एक समीकरण है जिसमें अज्ञात (x) और उनके साथ व्यंजक पाए जाते हैं लघुगणक के अंदर.और केवल वहाँ! क्या यह महत्वपूर्ण है।

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं लघुगणकीय समीकरण:

लॉग 3 x = लॉग 3 9

लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)

लॉग x+1 (x 2 +3x-7) = 2

एलजी 2 (x+1)+10 = 11एलजी(x+1)

अच्छा, आप समझते हैं... )

टिप्पणी! एक्स के साथ सबसे विविध अभिव्यक्तियाँ स्थित हैं विशेष रूप से लघुगणक के भीतर।यदि, अचानक, समीकरण में कहीं X प्रकट हो जाता है बाहर, उदाहरण के लिए:

लॉग 2 एक्स = 3+एक्स,

यह पहले से ही मिश्रित प्रकार का समीकरण होगा। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट नियम नहीं होते हैं। फिलहाल हम उन पर विचार नहीं करेंगे. वैसे, ऐसे समीकरण भी होते हैं जहां लघुगणक के अंदर केवल संख्याएँ. उदाहरण के लिए:

मुझे क्या कहना चाहिए? यदि आपको यह मिल जाए तो आप भाग्यशाली हैं! संख्याओं के साथ लघुगणक है कुछ संख्या.बस इतना ही। ऐसे समीकरण को हल करने के लिए लघुगणक के गुणों को जानना पर्याप्त है। समाधान के लिए विशेष रूप से अनुकूलित विशेष नियमों, तकनीकों का ज्ञान लघुगणकीय समीकरण,यहाँ आवश्यक नहीं है.

इसलिए, लघुगणकीय समीकरण क्या है- हमने इसका पता लगा लिया।

लघुगणकीय समीकरण कैसे हल करें?

समाधान लघुगणकीय समीकरण- दरअसल बात बहुत सरल नहीं है। तो हमारा अनुभाग चार है... सभी प्रकार के संबंधित विषयों पर पर्याप्त मात्रा में ज्ञान की आवश्यकता है। इसके अलावा इन समीकरणों में एक खास बात भी है. और यह सुविधा इतनी महत्वपूर्ण है कि इसे लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने में सुरक्षित रूप से मुख्य समस्या कहा जा सकता है। हम अगले पाठ में इस समस्या से विस्तार से निपटेंगे।

अभी के लिए, चिंता मत करो. हम सही रास्ते पर चलेंगे सरल से जटिल की ओर.विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करना। मुख्य बात यह है कि सरल चीजों में गहराई से जाएं और लिंक का अनुसरण करने में आलस्य न करें, मैंने उन्हें वहां एक कारण से रखा है... और सब कुछ आपके लिए काम करेगा। अनिवार्य रूप से।

आइए सबसे प्राथमिक, सरल समीकरणों से शुरुआत करें। उन्हें हल करने के लिए लघुगणक का अंदाजा होना उचित है, लेकिन इससे अधिक कुछ नहीं। बस कुछ पता नहीं लघुगणक,निर्णय लेना लघुगणकसमीकरण - कुछ हद तक अजीब भी... बहुत साहसिक, मैं कहूंगा)।

सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण.

ये इस प्रकार के समीकरण हैं:

1. लॉग 3 एक्स = लॉग 3 9

2. लॉग 7 (2x-3) = लॉग 7 x

3. लॉग 7 (50x-1) = 2

समाधान प्रक्रिया कोई लघुगणकीय समीकरणइसमें लघुगणक वाले समीकरण से उनके बिना समीकरण में संक्रमण शामिल है। सरलतम समीकरणों में यह परिवर्तन एक चरण में किया जाता है। इसलिए वे सबसे सरल हैं।)

और ऐसे लघुगणक समीकरणों को हल करना आश्चर्यजनक रूप से आसान है। अपने लिए देखलो।

आइए पहला उदाहरण हल करें:

लॉग 3 x = लॉग 3 9

इस उदाहरण को हल करने के लिए, आपको लगभग कुछ भी जानने की आवश्यकता नहीं है, हाँ... विशुद्ध रूप से अंतर्ज्ञान!) हमें क्या चाहिए विशेष रूप सेक्या आपको यह उदाहरण पसंद नहीं आया? क्या-क्या... मुझे लघुगणक पसंद नहीं है! सही। तो आइए इनसे छुटकारा पाएं। हम उदाहरण को करीब से देखते हैं, और हमारे अंदर एक स्वाभाविक इच्छा पैदा होती है... एकदम अप्रतिरोध्य! लघुगणक लें और पूरी तरह से बाहर फेंक दें। और जो अच्छा है वह है कर सकनाकरना! गणित अनुमति देता है. लघुगणक गायब हो जाते हैंजवाब है:

बहुत बढ़िया, है ना? यह हमेशा किया जा सकता है (और करना भी चाहिए)। इस तरीके से लघुगणक को हटाना लघुगणक समीकरणों और असमानताओं को हल करने के मुख्य तरीकों में से एक है। गणित में इस ऑपरेशन को कहा जाता है सामर्थ्य.बेशक, ऐसे परिसमापन के लिए नियम हैं, लेकिन वे कम हैं। याद करना:

आप बिना किसी डर के लघुगणक को समाप्त कर सकते हैं यदि उनके पास:

ए) समान संख्यात्मक आधार

ग) बाएं से दाएं लघुगणक शुद्ध हैं (बिना किसी गुणांक के) और शानदार अलगाव में हैं।

मैं अंतिम बिंदु स्पष्ट कर दूं। समीकरण में, मान लीजिए

लॉग 3 x = 2लॉग 3 (3x-1)

लघुगणक को हटाया नहीं जा सकता. दाईं ओर के दो इसकी अनुमति नहीं देते हैं। गुणांक, आप जानते हैं... उदाहरण में

लॉग 3 x+लॉग 3 (x+1) = लॉग 3 (3+x)

समीकरण को प्रबल बनाना भी असंभव है। बायीं ओर कोई अकेला लघुगणक नहीं है। उनमें से दो.

संक्षेप में, यदि समीकरण इस तरह और केवल इस तरह दिखता है तो आप लघुगणक हटा सकते हैं:

लॉग ए (...) = लॉग ए (...)

कोष्ठक में, जहाँ दीर्घवृत्त है, वहाँ हो सकता है कोई भी अभिव्यक्ति.सरल, अति जटिल, सभी प्रकार के। जो कुछ भी। महत्वपूर्ण बात यह है कि लघुगणक को समाप्त करने के बाद हमारे पास जो कुछ बचता है वह है सरल समीकरण.निस्संदेह, यह माना जाता है कि आप पहले से ही जानते हैं कि लघुगणक के बिना रैखिक, द्विघात, भिन्नात्मक, घातीय और अन्य समीकरणों को कैसे हल किया जाए।)

अब आप दूसरा उदाहरण आसानी से हल कर सकते हैं:

लॉग 7 (2x-3) = लॉग 7 x

दरअसल, ये मन में तय होता है. हम प्रबल होते हैं, हमें मिलता है:

अच्छा, क्या यह बहुत कठिन है?) जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणकसमीकरण के समाधान का भाग है केवल लघुगणक को ख़त्म करने में...और फिर उनके बिना शेष समीकरण का समाधान आता है। मामूली बात है.

आइए तीसरा उदाहरण हल करें:

लॉग 7 (50x-1) = 2

हम देखते हैं कि बाईं ओर एक लघुगणक है:

आइए याद रखें कि यह लघुगणक एक संख्या है जिसके लिए एक उप लघुगणकीय अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए आधार को ऊपर उठाया जाना चाहिए (यानी सात)। (50x-1).

लेकिन यह संख्या दो है! Eq के अनुसार. वह है:

मूलतः बस इतना ही। लोगारित्म गायब हुआ,जो बचता है वह एक हानिरहित समीकरण है:

हमने इस लघुगणकीय समीकरण को केवल लघुगणक के अर्थ के आधार पर हल किया। क्या लघुगणक को ख़त्म करना अब भी आसान है?) मैं सहमत हूँ। वैसे, यदि आप दो से लघुगणक बनाते हैं, तो आप इस उदाहरण को विलोपन के माध्यम से हल कर सकते हैं। किसी भी संख्या को लघुगणक में बनाया जा सकता है। इसके अलावा, जिस तरह से हमें इसकी आवश्यकता है। लघुगणकीय समीकरणों और (विशेषकर!) असमानताओं को हल करने में एक बहुत उपयोगी तकनीक।

नहीं जानते कि किसी संख्या से लघुगणक कैसे बनाया जाता है!? कोई बात नहीं। धारा 555 इस तकनीक का विस्तार से वर्णन करती है। आप इसमें महारत हासिल कर सकते हैं और इसका भरपूर उपयोग कर सकते हैं! यह त्रुटियों की संख्या को बहुत कम कर देता है।

चौथा समीकरण पूरी तरह से समान तरीके से हल किया गया है (परिभाषा के अनुसार):

इतना ही।

आइए इस पाठ को संक्षेप में प्रस्तुत करें। हमने उदाहरणों का उपयोग करके सरलतम लघुगणकीय समीकरणों के समाधान को देखा। बहुत जरुरी है। और केवल इसलिए नहीं कि ऐसे समीकरण परीक्षणों और परीक्षाओं में सामने आते हैं। सच तो यह है कि सबसे ख़राब और जटिल समीकरण भी आवश्यक रूप से सबसे सरल में तब्दील हो जाते हैं!

दरअसल, सबसे सरल समीकरण समाधान का अंतिम भाग होते हैं कोईसमीकरण. और इस अंतिम भाग को सख्ती से समझना होगा! और आगे। इस पेज को अंत तक अवश्य पढ़ें। वहाँ एक आश्चर्य है...)

अब हम स्वयं निर्णय लेते हैं। आइए बेहतर बनें, ऐसा कहें तो...)

समीकरणों का मूल (या यदि कई हैं तो मूलों का योग) ज्ञात करें:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

लॉग 2 (x 2 +32) = लॉग 2 (12x)

लॉग 16 (0.5x-1.5) = 0.25

लॉग 0.2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

लॉग 2 (14x) = लॉग 2 7 + 2

उत्तर (निश्चित रूप से अव्यवस्थित): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

क्या, सब कुछ काम नहीं करता? ह ाेती है। चिंता मत करो! धारा 555 इन सभी उदाहरणों का समाधान स्पष्ट और विस्तृत तरीके से बताती है। आप निश्चित रूप से इसे वहां समझ लेंगे। आप उपयोगी व्यावहारिक तकनीकें भी सीखेंगे।

सब कुछ ठीक हो गया!? "एक बचा" के सभी उदाहरण?) बधाई हो!

अब आपके सामने कड़वी सच्चाई उजागर करने का समय आ गया है। इन उदाहरणों को सफलतापूर्वक हल करना अन्य सभी लघुगणकीय समीकरणों को हल करने में सफलता की गारंटी नहीं देता है। यहां तक ​​कि सबसे सरल वाले भी इन्हें पसंद करते हैं। अफ़सोस.

तथ्य यह है कि किसी भी लघुगणकीय समीकरण (यहां तक ​​कि सबसे प्राथमिक!) के समाधान में शामिल हैं दो बराबर भाग.समीकरण को हल करना और ODZ के साथ कार्य करना। हमने एक भाग में महारत हासिल कर ली है - समीकरण को हल करना। इतना भी मुश्किल नहीं हैसही?

इस पाठ के लिए, मैंने विशेष रूप से ऐसे उदाहरणों का चयन किया है जिनमें डीएल किसी भी तरह से उत्तर को प्रभावित नहीं करता है। लेकिन हर कोई मेरे जैसा दयालु नहीं है, है ना?...)

इसलिए, दूसरे भाग में महारत हासिल करना जरूरी है। ओडीजेड. लघुगणकीय समीकरणों को हल करने में यह मुख्य समस्या है। और इसलिए नहीं कि यह कठिन है - यह भाग पहले से भी आसान है। लेकिन क्योंकि लोग ODZ के बारे में भूल जाते हैं। या फिर उन्हें पता नहीं. अथवा दोनों)। और वे अचानक गिर जाते हैं...

अगले पाठ में हम इस समस्या से निपटेंगे। तब आप आत्मविश्वास से निर्णय ले सकते हैं कोईसरल लघुगणकीय समीकरण और काफी ठोस कार्यों तक पहुँचना।

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

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गणित में अंतिम परीक्षा की तैयारी में एक महत्वपूर्ण खंड - "लघुगणक" शामिल है। इस विषय के कार्य आवश्यक रूप से एकीकृत राज्य परीक्षा में शामिल हैं। पिछले वर्षों के अनुभव से पता चलता है कि लघुगणकीय समीकरणों ने कई स्कूली बच्चों के लिए कठिनाइयाँ पैदा कीं। इसलिए, विभिन्न स्तरों के प्रशिक्षण वाले छात्रों को यह समझना चाहिए कि सही उत्तर कैसे खोजें और शीघ्रता से उनका सामना कैसे करें।

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एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी करते समय, हाई स्कूल स्नातकों को एक विश्वसनीय स्रोत की आवश्यकता होती है जो परीक्षण समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए सबसे पूर्ण और सटीक जानकारी प्रदान करता है। हालाँकि, एक पाठ्यपुस्तक हमेशा हाथ में नहीं होती है, और इंटरनेट पर आवश्यक नियमों और सूत्रों की खोज में अक्सर समय लगता है।

शकोल्कोवो शैक्षिक पोर्टल आपको किसी भी समय कहीं भी एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी करने की अनुमति देता है। हमारी वेबसाइट लघुगणक के साथ-साथ एक और कई अज्ञात के साथ बड़ी मात्रा में जानकारी को दोहराने और आत्मसात करने का सबसे सुविधाजनक तरीका प्रदान करती है। आसान समीकरणों से शुरुआत करें. यदि आप बिना किसी कठिनाई के उनका सामना करते हैं, तो अधिक जटिल समस्याओं की ओर बढ़ें। यदि आपको किसी विशेष असमानता को हल करने में परेशानी हो रही है, तो आप इसे अपने पसंदीदा में जोड़ सकते हैं ताकि आप बाद में इस पर वापस लौट सकें।

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