הגדר מקבילית וציין את תכונותיה. מקבילית ותכונותיה

משימה 4.

אחד מהאלכסונים של מקבילית באורך 4√6 יוצר זווית של 60° עם הבסיס, והאלכסון השני יוצר זווית של 45° עם אותו בסיס. מצא את האלכסון השני.

פִּתָרוֹן.

1. AO = 2√6.

2. אנו מיישמים את משפט הסינוס על משולש AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/חטא 45 o = OD/חטא 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

תשובה: 12.

משימה 5.

עבור מקבילית עם הצלעות 5√2 ו-7√2, הזווית הקטנה יותר בין האלכסונים שווה לזווית הקטנה יותר של המקבילית. מצא את סכום אורכי האלכסונים.

פִּתָרוֹן.

תן d 1, d 2 להיות האלכסונים של המקבילית, והזווית בין האלכסונים לזווית הקטנה יותר של המקבילית שווה ל-φ.

1. בואו נספור שניים שונים
דרכים השטח שלה.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

נקבל את השוויון 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f או

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. בעזרת היחס בין הצלעות והאלכסונים של המקבילית, נכתוב את השוויון

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. בואו ניצור מערכת:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

נכפיל את המשוואה השנייה של המערכת ב-2 ונוסיף אותה לראשונה.

נקבל (d 1 + d 2) 2 = 576. מכאן Id 1 + d 2 I = 24.

מכיוון ש-d 1, d 2 הם אורכי האלכסונים של המקבילית, אז d 1 + d 2 = 24.

תשובה: 24.

משימה 6.

צלעות המקבילה הן 4 ו-6. הזווית החדה בין האלכסונים היא 45 מעלות. מצא את השטח של המקבילית.

פִּתָרוֹן.

1. ממשולש AOB, בעזרת משפט הקוסינוס, נכתוב את הקשר בין הצלע של המקבילה לאלכסונים.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (ד 1 /2) 2 + (ד 2 /2) 2 – 2 · (ד 1/2) · (ד 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. באופן דומה, אנו כותבים את היחס למשולש AOD.

בואו ניקח את זה בחשבון<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

נקבל את המשוואה d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. יש לנו מערכת
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

בהפחתת הראשונה מהמשוואה השנייה, נקבל 2d 1 · d 2 √2 = 80 או

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

הערה:בבעיה זו ובבעיה הקודמת אין צורך לפתור את המערכת לחלוטין, מתוך הערכה שבבעיה זו אנו זקוקים למכפלת האלכסונים כדי לחשב את השטח.

תשובה: 10.

משימה 7.

שטח המקבילית הוא 96 והצלעות שלה הן 8 ו-15. מצא את הריבוע של האלכסון הקטן יותר.

פִּתָרוֹן.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. בוא נעשה החלפה בנוסחה.

נקבל 96 = 8 · 15 · sin ВAD. מכאן שחטא ВAD = 4/5.

2. בוא נמצא את cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

לפי תנאי הבעיה אנו מוצאים את אורך האלכסון הקטן יותר. האלכסון ВD יהיה קטן יותר אם הזווית ВАD חדה. אז cos VAD = 3/5.

3. מהמשולש ABD, בעזרת משפט הקוסינוס, נמצא את ריבוע האלכסון BD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

תשובה: 145.

עדיין יש לך שאלות? לא יודע איך לפתור בעיית גיאומטריה?
כדי לקבל עזרה ממורה, הירשם.
השיעור הראשון חינם!

באתר, בעת העתקת חומר במלואו או בחלקו, נדרש קישור למקור.

מקבילית היא מרובע שצלעותיו הנגדיות מקבילות, כלומר. לשכב על קווים מקבילים

מאפיינים של מקבילית:
משפט 22. הצלעות הנגדיות של מקבילית שוות.
הוכחה. במקבילית ABCD אנו מציירים AC אלכסוני. המשולשים ACD ו-ACB חופפים, כבעלי צלע AC משותפת ושני זוגות של זוויות שוות. סמוך לו: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (כזוויות צולבות עם קווים מקבילים AD ו-BC). זה אומר ש-AB = CD ו-BC = AD, בתור הצלעות המתאימות של משולשים שווים וכו'. מהשוויון של המשולשים הללו עולה גם שהזוויות המתאימות של המשולשים שוות:
משפט 23. הזוויות ההפוכות של המקבילית שוות: ∠ A=∠ C ו∠ B=∠ D.
השוויון של הזוג הראשון מגיע מהשוויון של המשולשים ABD ו-CBD, והשני - ABC ו-ACD.
משפט 24. זוויות סמוכות של מקבילית, כלומר. זוויות הסמוכות לצד אחד מסתכמות ב-180 מעלות.
זה כך מכיוון שהם זוויות פנים חד-צדדיות.
משפט 25. האלכסונים של מקבילית חוצים זה את זה בנקודת החיתוך שלהם.
הוכחה. שקול משולשים BOC ו-AOD. לפי התכונה הראשונה AD=BC ∠ OAD=∠ OCB ו∠ ODA=∠ OBC שוכבים לרוחב עבור קווים מקבילים AD ו-BC. לכן, משולשים BOC ו- AOD שווים בזוויות הצלע ובזוויות הסמוכות. זה אומר BO=OD ו-AO=OS, כמו הצלעות המתאימות של משולשים שווים וכו'.

סימנים של מקבילית
משפט 26. אם הצלעות הנגדיות של מרובע שוות בזוגות, אז זו מקבילה.
הוכחה. תן למרובע ABCD צלעות AD ו-BC, AB ו-CD שוות בהתאמה (איור 2). נצייר את האלכסון AC. משולשים ABC ו-ACD שווים בשלוש צלעות. אז זוויות BAC ו-DCA שוות, ולכן, AB מקביל ל-CD. ההקבלה של הצלעות BC ו-AD נובעת משוויון הזוויות CAD ו-ACB.
משפט 27. אם הזוויות ההפוכות של מרובע שוות בזוגות, אז זו מקבילה.
תנו ∠ A=∠ C ו∠ B=∠ D. כי ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, ואז ∠ A+∠ B=180 o והצלעות AD ו-BC מקבילות (על בסיס הקביליות של ישרים). נוכיח גם את ההקבלה של הצלעות AB ו-CD ונסיק ש-ABCD היא מקבילית בהגדרה.
משפט 28. אם פינות סמוכות של מרובע, כלומר. הזוויות הסמוכות לצד אחד מסתכמות ב-180 מעלות, ואז זו מקבילה.
אם הזוויות החד-צדדיות הפנימיות מסתכמות ב-180 מעלות, אז הקווים הישרים מקבילים. אז AB מקביל ל-CD ו-BC מקביל ל-AD. מרובע מתגלה כמקביל בהגדרתו.
משפט 29. אם האלכסונים של מרובע חוצים זה את זה בנקודת החיתוך, הרי שהמרובע הוא מקבילית.
הוכחה. אם AO = OC, BO = OD, אז המשולשים AOD ו-BOC שווים, כיוון שיש להם זוויות שוות (אנכיות) בקודקוד O, כלואים בין זוגות של צלעות שוות. משוויון המשולשים אנו מסיקים שAD ו-BC שווים. גם הצלעות AB ו-CD שוות, והמרובע מתברר כמקביל לפי קריטריון 1.
משפט 30. אם למרובע יש זוג צלעות שוות ומקבילות, אז זו מקבילה.
תנו לצלעות AB ו-CD של מרובע ABCD להיות מקבילות ושוות. נצייר אלכסונים AC ו-BD. מההקבלה של קווים אלו נובע שהזוויות הצולבות ABO = CDO ו-BAO = OCD שוות. משולשי ABO ו-CDO שווים בזוויות הצלע ובזוויות הסמוכות. לכן AO=OS, VO=ОD, כלומר. האלכסונים מחולקים לשניים על ידי נקודת החיתוך והמרובע מתברר כמקביל לפי קריטריון 4.

בגיאומטריה נחשבים מקרים מיוחדים של מקביליות.

סיכום שיעור.

אלגברה כיתה ח'

המורה סיסוי א.ק.

בית ספר 1828

נושא השיעור: "מקבילית ותכונותיה"

סוג השיעור: משולב

מטרות השיעור:

1) להבטיח הטמעת מושג חדש - מקבילית ותכונותיה

2) המשך לפתח את הכישורים והיכולות לפתרון בעיות גיאומטריות;

3) פיתוח תרבות של דיבור מתמטי

מערך שיעור:

1. רגע ארגוני

(שקופית 1)

השקף מציג הצהרה של לואיס קרול. התלמידים מקבלים מידע על מטרת השיעור. נבדקת מוכנות התלמידים לשיעור.

2. עדכון ידע

(שקופית 2)

על הלוח משימות לעבודה בעל פה. המורה מזמין את התלמידים לחשוב על הבעיות הללו ולהרים ידיים למי שמבין כיצד לפתור את הבעיה. לאחר פתרון שתי בעיות, תלמיד נקרא ללוח להוכיח את המשפט על סכום הזוויות, שעושה באופן עצמאי בניות נוספות על השרטוט ומוכיח את המשפט בעל פה.

התלמידים משתמשים בנוסחה לסכום הזוויות של מצולע:

3. חלק עיקרי

(שקופית 3)

הגדרה של מקבילית על הלוח. המורה מדבר על דמות חדשה ומגבש הגדרה, עושה את ההסברים הדרושים באמצעות ציור. לאחר מכן, בחלק המשובץ של המצגת, באמצעות סמן וסרגל, הוא מראה כיצד לצייר מקבילית (ייתכנו מספר מקרים)

(שקופית 4)

המורה מנסח את התכונה הראשונה של מקבילית. מזמין את התלמידים לספר מהציור מה ניתן ומה צריך להוכיח. לאחר מכן, המשימה הנתונה מופיעה על הלוח. התלמידים מנחשים (אולי בעזרת המורה) שיש להוכיח את השוויון הנדרש באמצעות השוויון של משולשים, אותם ניתן להשיג באמצעות ציור אלכסון (על הלוח מופיע אלכסון). לאחר מכן, התלמידים מנחשים מדוע המשולשים שווים ושמות את הסימן לכך שמשולשים שווים (הצורה המתאימה מופיעה). הם מעבירים מילולית את העובדות הדרושות כדי להפוך את המשולשים לשווים (כפי שהם קוראים להם, מופיעה הדמיה מתאימה). לאחר מכן, התלמידים מנסחים את התכונה של משולשים חופפים, היא מופיעה כנקודה 3 של ההוכחה, ולאחר מכן משלימים באופן עצמאי את הוכחת המשפט בעל פה.

(שקופית 5)

המורה מנסח את התכונה השנייה של מקבילית. על הלוח מופיע ציור של מקבילית. המורה מציע להשתמש בתמונה כדי לספר מה ניתן ומה צריך להוכיח. לאחר שהתלמידים מדווחים נכון מה ניתן ומה צריך להוכיח, מופיע מצב המשפט. תלמידים מנחשים שניתן להוכיח את השוויון של חלקי האלכסונים באמצעות שוויון המשולשיםAOBו בַּקָלָה.. באמצעות התכונה הקודמת של מקבילית, אפשר לנחש שהצלעות שוותא.בו CD. ואז הם מבינים שהם צריכים למצוא זוויות שוות, ובאמצעות מאפיינים של קווים מקבילים, להוכיח את השוויון של זוויות הסמוכות לצלעות שוות. שלבים אלה מוצגים בשקופית. אמיתות המשפט נובעת משוויון המשולשים - התלמידים אומרים זאת והדמיה מתאימה מופיעה בשקופית.

(שקופית 6)

המורה מנסח את התכונה השלישית של מקבילית. בהתאם לזמן שנותר עד לסיום השיעור, המורה יכול לתת לתלמידים אפשרות להוכיח תכונה זו בעצמם, או להגביל את עצמם לניסוחו, ולהשאיר את ההוכחה עצמה לתלמידים כשיעורי בית. ההוכחה יכולה להתבסס על סכום הזוויות של מצולע רשום, שחזר על עצמו בתחילת השיעור, או על סכום הזוויות החד-צדדיות הפנימיות של שני קווים מקביליםמוֹדָעָהו לִפנֵי הַסְפִירָה, וסקאנט, למשלא.ב.

4. תיקון החומר

בשלב זה, התלמידים משתמשים במשפטים שנלמדו בעבר כדי לפתור בעיות. התלמידים בוחרים רעיונות לפתרון הבעיה באופן עצמאי. מכיוון שקיימות אפשרויות עיצוב רבות וכולן תלויות כיצד יחפשו התלמידים פתרון לבעיה, אין הדמיה של פתרון הבעיות, והתלמידים מציירים באופן עצמאי כל שלב בפתרון על לוח נפרד. עם רישום הפתרון במחברת.

(שקופית 7)

תנאי המשימה מופיע. המורה מציע לנסח "נתון" בהתאם לתנאי. לאחר שהתלמידים רשמו כהלכה הצהרה קצרה של התנאי, מופיע "נתון" על הלוח. התהליך לפתרון הבעיה עשוי להיראות כך:

בואו נצייר את הגובה BH (מומחז)

משולש AHB הוא משולש ישר זווית. זווית A שווה לזווית C ושווה ל-30 0 (לפי התכונה של זוויות מנוגדות במקבילית). 2BH =AB (לפי המאפיין של הרגל השוכבת מול זווית 30 0 במשולש ישר זווית). אז AB = 13 ס"מ.

AB = CD, BC = AD (לפי התכונה של צלעות מנוגדות במקבילית) אז AB = CD = 13 ס"מ. מכיוון שהיקף המקבילית הוא 50 ס"מ, אז BC = AD = (50 - 26): 2 = 12 ס"מ.

תשובה: AB = CD = 13 ס"מ, BC = AD = 12 ס"מ.

(שקופית 8)

תנאי המשימה מופיע. המורה מציע לנסח "נתון" בהתאם לתנאי. ואז "נתון" מופיע על המסך. באמצעות קווים אדומים, מודגש מרובע, שעליו אתה צריך להוכיח שהוא מקבילית. התהליך לפתרון הבעיה עשוי להיראות כך:

כי BK ו-MD מאונכים לישר אחד, ואז הקווים BK ו-MD מקבילים.

דרך זוויות סמוכות ניתן להראות שסכום הזוויות החד-צדדיות הפנימיות בקווים ישרים BM ו-KD ו-MD החותך שווה ל-180 0. לכן, קווים אלה מקבילים.

מכיוון שלמרובע BMDK יש צלעות נגדיות מקבילות בזוגות, אז מרובע זה הוא מקבילית.

5. סוף השיעור. התנהגות התוצאות.

(שקופית 8)

בשקופית מופיעות שאלות בנושא החדש, עליהן עונים התלמידים.