בעזרת תוכנית מתמטית זו ניתן לפתור מערכת של שתי משוואות ליניאריות עם שני משתנים בשיטת ההחלפה ובשיטת החיבור.

התוכנית לא רק נותנת את המענה לבעיה, אלא גם נותנת מענה מפורט עם הסברים על שלבי הפתרון בשני אופנים: שיטת ההחלפה ושיטת ההוספה.

תוכנית זו יכולה להיות שימושית עבור תלמידי תיכון כהכנה למבחנים ומבחנים, בעת בדיקת ידע לפני בחינת המדינה המאוחדת, להורים לשלוט בפתרון בעיות רבות במתמטיקה ובאלגברה. או שאולי זה יקר מדי בשבילך לשכור מורה או לקנות ספרי לימוד חדשים? או שאתה פשוט רוצה לעשות את שיעורי הבית שלך במתמטיקה או אלגברה כמה שיותר מהר? במקרה זה, תוכל גם להשתמש בתוכנות שלנו עם פתרון מפורט.

כך תוכלו לערוך הכשרה משלכם ו/או הכשרה של אחיכם או אחיותיכם הקטנים, תוך עלייה ברמת ההשכלה בתחום המשימות לפתרון.

כללים להזנת משוואות

כל אות לטינית יכולה לפעול כמשתנה.
לדוגמה: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) וכו'.

בעת הזנת משוואות אתה יכול להשתמש בסוגריים. במקרה זה, המשוואות מפושטות תחילה. המשוואות לאחר הפשטות חייבות להיות ליניאריות, כלומר. מהצורה ax+by+c=0 עם דיוק סדר האלמנטים.
לדוגמה: 6x+1 = 5(x+y)+2

במשוואות, אתה יכול להשתמש לא רק במספרים שלמים, אלא גם במספרים שברים בצורה של שברים עשרוניים ושברים רגילים.

כללים להזנת שברים עשרוניים.
ניתן להפריד את החלקים השלמים והשברים בשברים עשרוניים באמצעות נקודה או פסיק.
לדוגמה: 2.1n + 3.5m = 55

כללים להזנת שברים רגילים.
רק מספר שלם יכול לשמש כחלק המונה, המכנה והמספר השלם של שבר.
המכנה לא יכול להיות שלילי.
בעת הזנת שבר מספרי, המונה מופרד מהמכנה בסימן חלוקה: /
החלק השלם מופרד מהשבר באמצעות אמפרסנד: &

דוגמאות.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

פתור מערכת משוואות

נמצא שחלק מהסקריפטים הדרושים לפתרון משימה זו לא נטענו, וייתכן שהתוכנית לא תעבוד.
ייתכן שהפעלת את AdBlock.
במקרה זה, השבת אותו ורענן את הדף.

השבתת JavaScript בדפדפן שלך.
יש להפעיל JavaScript כדי שהפתרון יופיע.
להלן הוראות כיצד להפעיל JavaScript בדפדפן שלך.

כי יש הרבה אנשים שרוצים לפתור את הבעיה, הבקשה שלך עומדת בתור.
לאחר מספר שניות, הפתרון יופיע למטה.
המתן בבקשה שניה...

אם אתה הבחין בשגיאה בפתרון, אז תוכל לכתוב על זה בטופס המשוב .
אל תשכח לציין איזו משימהאתה מחליט מה הזן בשדות.

המשחקים, הפאזלים, האמולטורים שלנו:

קצת תיאוריה.

פתרון מערכות משוואות ליניאריות. שיטת החלפה

רצף הפעולות בעת פתרון מערכת משוואות לינאריות בשיטת ההחלפה:
1) לבטא משתנה אחד מתוך משוואה כלשהי של המערכת במונחים של אחר;
2) החלף את הביטוי המתקבל במשוואה אחרת של המערכת במקום המשתנה הזה;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

בוא נביע מהמשוואה הראשונה y עד x: y = 7-3x. החלפת הביטוי 7-3x במקום y במשוואה השנייה, נקבל את המערכת:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

קל להראות שלמערכת הראשונה והשנייה יש את אותם פתרונות. במערכת השנייה, המשוואה השנייה מכילה רק משתנה אחד. בואו נפתור את המשוואה הזו:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

החלפת המספר 1 במקום x במשוואה y=7-3x, נמצא את הערך המתאים של y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

זוג (1;4) - פתרון המערכת

נקראות מערכות משוואות בשני משתנים בעלי אותם פתרונות שווה ערך. גם מערכות שאין להן פתרונות נחשבות שוות ערך.

פתרון מערכות של משוואות ליניאריות על ידי הוספה

שקול דרך נוספת לפתור מערכות של משוואות ליניאריות - שיטת החיבור. כאשר פותרים מערכות בצורה זו, כמו גם כאשר פותרים בשיטת ההחלפה, אנו עוברים ממערכת נתונה למערכת אחרת המקבילה לה, שבה אחת מהמשוואות מכילה רק משתנה אחד.

רצף הפעולות בעת פתרון מערכת משוואות לינאריות בשיטת החיבור:
1) הכפלו את משוואות המערכת במונח במונח, בבחירת גורמים כך שהמקדמים של אחד המשתנים יהפכו למספרים מנוגדים;
2) הוסף איבר אחר איבר את החלק השמאלי והימני של משוואות המערכת;
3) לפתור את המשוואה המתקבלת עם משתנה אחד;
4) מצא את הערך המתאים של המשתנה השני.

דוגמא. בואו נפתור את מערכת המשוואות:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

במשוואות של מערכת זו, המקדמים של y הם מספרים מנוגדים. הוספת איבר אחר איבר את החלק השמאלי והימני של המשוואות, נקבל משוואה עם משתנה אחד 3x=33. נחליף את אחת מהמשוואות של המערכת, למשל את הראשונה, במשוואה 3x=33. בואו נשיג את המערכת
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

מהמשוואה 3x=33 נמצא ש-x=11. החלפת ערך x זה במשוואה \(x-3y=38 \) נקבל משוואה עם המשתנה y: \(11-3y=38 \). בואו נפתור את המשוואה הזו:
\(-3y=27 \rightarrow y=-9 \)

לפיכך, מצאנו את הפתרון למערכת המשוואות על ידי הוספת: \(x=11; y=-9 \) או \((11; -9) \)

תוך ניצול העובדה שמקדמי y במשוואות המערכת הם מספרים מנוגדים, צמצמנו את הפתרון שלה לפתרון של מערכת שווה (על ידי סיכום שני החלקים של כל אחת מהמשוואות של הסיממה המקורית), שבה אחד מהמשוואות מכיל רק משתנה אחד.

ספרים (ספרי לימוד) תקצירים של בחינת המדינה המאוחדת ומבחני OGE מקוונים משחקים, חידות בניית גרפים של פונקציות איות מילון השפה הרוסית מילון סלנג לנוער מדריך של בתי ספר ברוסית קטלוג בתי ספר תיכוניים ברוסיה קטלוג של אוניברסיטאות רוסיות רשימת משימות

בשיטת החיבור, משוואות המערכת מתווספות מונח אחר איבר, בעוד שניתן להכפיל את 1 או את שתיהן (כמה) משוואות בכל מספר. כתוצאה מכך, הם מגיעים ל-SLE שווה ערך, כאשר לאחת מהמשוואות יש רק משתנה אחד.

כדי לפתור את המערכת חיבור מונח אחר מונח (חיסור)בצע את השלבים הבאים:

1. נבחר משתנה שעבורו ייעשו אותם מקדמים.

2. עכשיו צריך להוסיף או להחסיר את המשוואות ולקבל משוואה עם משתנה אחד.

פתרון מערכתהן נקודות החיתוך של הגרפים של הפונקציה.

בואו נסתכל על דוגמאות.

דוגמה 1

מערכת נתונה:

לאחר ניתוח מערכת זו, ניתן לראות כי המקדמים של המשתנה שווים בערכם המוחלט ושונים בסימן (-1 ו-1). במקרה זה, ניתן להוסיף בקלות את המשוואות מונח אחר מונח:

הפעולות שמוקפות באדום מתבצעות בתודעה.

התוצאה של תוספת מונחית הייתה היעלמות המשתנה y. זה בזה וזו, למעשה, המשמעות של השיטה - להיפטר מהראשון מבין המשתנים.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

כמערכת, הפתרון נראה כך:

תשובה: איקס = -4 , y = 1.

דוגמה 2

מערכת נתונה:

בדוגמה הזו אפשר להשתמש בשיטת "בית ספר", אבל יש לה מינוס די גדול - כשמבטאים כל משתנה מכל משוואה, תקבל פתרון בשברים רגילים. ופתרון שברים לוקח מספיק זמן והסבירות לטעות עולה.

לכן, עדיף להשתמש בחיבור (חיסור) מונח אחר מונח של משוואות. בואו ננתח את המקדמים של המשתנים המתאימים:

מצא מספר שניתן לחלק בו 3 והלאה 4 , בעוד שיש צורך שמספר זה יהיה קטן ככל האפשר. זֶה כפולה משותפת מינימאלית. אם קשה לך למצוא את המספר הנכון, תוכל להכפיל את המקדמים:.

השלב הבא:

הכפל את המשוואה הראשונה ב,

הכפל את המשוואה השלישית ב,

OGBOU "מרכז חינוך לילדים עם צרכים חינוכיים מיוחדים בסמולנסק"

מרכז חינוך מרחוק

שיעור אלגברה בכיתה ז'

נושא השיעור: שיטת החיבור האלגברי.

1. 1. סוג השיעור: שיעור ההצגה העיקרית של ידע חדש.

מטרת השיעור: שליטה ברמת הטמעת ידע ומיומנויות בפתרון מערכות משוואות על ידי החלפה; גיבוש מיומנויות ויכולות לפתרון מערכות משוואות בשיטת החיבור.

מטרות השיעור:

נושא: למד לפתור מערכות משוואות עם שני משתנים בשיטת החיבור.

מטא נושא: UUD קוגניטיבי: לנתח (להדגיש את העיקר), להגדיר מושגים, להכליל, להסיק מסקנות. UUD רגולטורי: לקבוע את המטרה, הבעיה בפעילויות חינוכיות. UUD תקשורתי: להביע את דעתך, להתווכח עליה. UUD אישי: וליצור מוטיבציה חיובית ללמידה, ליצור יחס רגשי חיובי של התלמיד לשיעור ולנושא.

צורת עבודה: פרטנית

שלבי השיעור:

1) שלב ארגוני.

לארגן את עבודת התלמיד בנושא באמצעות יצירת יחס לשלמות החשיבה וההבנה של נושא זה.

2. תשאול התלמיד על החומר שניתן בבית, עדכון הידע.

מטרה: לבדוק את הידע של התלמיד שהושג במהלך שיעורי הבית, לזהות טעויות, לעבוד על הטעויות. עיין בחומר מהשיעור הקודם.

3. לימוד חומר חדש.

1). ליצור את היכולת לפתור מערכות של משוואות לינאריות על ידי הוספה;

2). לפתח ולשפר ידע קיים במצבים חדשים;

3). לחנך את מיומנויות השליטה והשליטה העצמית, לפתח עצמאות.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

מטרה: שימור הראייה, הסרת עייפות מהעיניים תוך כדי עבודה בשיעור.

5. איחוד החומר הנלמד

מטרה: לבדוק את הידע, המיומנויות והיכולות שנרכשו בשיעור

6. תוצאת השיעור, מידע על שיעורי בית, רפלקציה.

התקדמות השיעור (עבודה במסמך אלקטרוני של Google):

1. היום רציתי להתחיל את השיעור בחידה הפילוסופית של וולטר.

מה הכי מהיר, אבל גם הכי איטי, הכי גדול אבל גם הכי קטן, הכי ארוך וקצר, הכי יקר אבל גם מוערך אצלנו?

זְמַן

הבה נזכיר את המושגים הבסיסיים בנושא:

יש לנו מערכת של שתי משוואות.

בואו נזכור איך פתרנו את מערכות המשוואות בשיעור האחרון.

שיטת החלפה

שוב שימו לב למערכת שנפתרה וספרו לי מדוע איננו יכולים לפתור כל משוואה של המערכת מבלי להיעזר בשיטת ההחלפה?

כי אלו משוואות של מערכת עם שני משתנים. אנחנו יכולים לפתור משוואה עם משתנה אחד בלבד.

רק על ידי קבלת משוואה עם משתנה אחד הצלחנו לפתור את מערכת המשוואות.

3. אנו ממשיכים לפתור את המערכת הבאה:

אנו בוחרים משוואה שבה נוח לבטא משתנה אחד במונחים של משתנה אחר.

אין משוואה כזו.

הָהֵן. במצב זה, השיטה שנלמדה בעבר אינה מתאימה לנו. מהי הדרך לצאת מהמצב הזה?

מצא שיטה חדשה.

בואו ננסה לנסח את מטרת השיעור.

למד לפתור מערכות בדרך חדשה.

מה עלינו לעשות כדי ללמוד כיצד לפתור מערכות בשיטה חדשה?

לדעת את הכללים (אלגוריתם) לפתרון מערכת משוואות, לבצע משימות מעשיות

בואו נתחיל לגזור שיטה חדשה.

שימו לב למסקנה שעשינו לאחר פתרון המערכת הראשונה. הצלחנו לפתור את המערכת רק לאחר שקיבלנו משוואה לינארית עם משתנה אחד.

הסתכלו על מערכת המשוואות וחשבו כיצד ניתן לקבל משוואה אחת עם משתנה אחד משתי המשוואות הנתונות.

הוסף משוואות.

מה זה אומר להוסיף משוואות?

בנפרד, הפוך את סכום החלקים השמאליים, את סכום החלקים הימניים של המשוואות ושווה את הסכומים המתקבלים.

בוא ננסה. אנחנו עובדים איתי.

13x+14x+17y-17y=43+11

קיבלנו משוואה לינארית עם משתנה אחד.

פתרת את מערכת המשוואות?

הפתרון של המערכת הוא זוג מספרים.

איך למצוא אותך?

החלף את הערך המצוי של x במשוואת המערכת.

האם זה משנה באיזו משוואה נשים את הערך של x?

אז ניתן להחליף את הערך שנמצא של x ב...

כל משוואה של המערכת.

התוודענו לשיטה חדשה - שיטת החיבור האלגברי.

בעת פתרון המערכת, דנו באלגוריתם לפתרון המערכת בשיטה זו.

בדקנו את האלגוריתם. עכשיו בואו ליישם את זה לפתרון בעיות.

היכולת לפתור מערכות משוואות יכולה להיות שימושית בפועל.

שקול את הבעיה:

בחווה יש תרנגולות וכבשים. כמה מאלה ואחרים אם יש להם 19 ראשים ו-46 רגליים ביחד?

בידיעה שיש 19 תרנגולות וכבשים בסך הכל, נרכיב את המשוואה הראשונה: x + y \u003d 19

פי 4 הוא מספר רגלי הכבשים

2y - מספר הרגליים בתרנגולות

בידיעה שיש רק 46 רגליים, אנו מרכיבים את המשוואה השנייה: 4x + 2y \u003d 46

בואו ניצור מערכת משוואות:

אנו פותרים את מערכת המשוואות באמצעות האלגוריתם לפתרון בשיטת החיבור.

בְּעָיָה! המקדמים מול x ו-y אינם שווים ואינם הפוכים! מה לעשות?

בואו נסתכל על דוגמה נוספת!

בואו נוסיף עוד שלב לאלגוריתם שלנו ונשים אותו במקום הראשון: אם המקדמים שלפני המשתנים אינם זהים ולא מנוגדים, אז צריך להשוות את המודולים עבור משתנה כלשהו! ואז נפעל לפי האלגוריתם.

4. חינוך גופני אלקטרוני לעיניים: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. אנחנו פותרים את הבעיה בשיטה של ​​תוספת אלגברית, תיקון החומר החדש ומבררים כמה תרנגולות וכבשים היו בחווה.

משימות נוספות:

6.

הִשׁתַקְפוּת.

אני נותן ציונים על העבודה שלי בכיתה...

6. משאבים משומשים-אינטרנט:

שירותי גוגל לחינוך

המורה למתמטיקה סוקולובה נ.נ.

מערכת של משוואות ליניאריות עם שני לא ידועים היא שתי משוואות ליניאריות או יותר שעבורן יש צורך למצוא את כל הפתרונות המשותפים להן. נשקול מערכות של שתי משוואות ליניאריות עם שני לא ידועים. תצוגה כללית של מערכת של שתי משוואות ליניאריות עם שני לא ידועים מוצגת באיור שלהלן:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

כאן x ו-y הם משתנים לא ידועים, a1, a2, b1, b2, c1, c2 הם כמה מספרים ממשיים. פתרון למערכת של שתי משוואות ליניאריות עם שני לא ידועים הוא זוג מספרים (x, y) כך שאם המספרים הללו מוחלפים במשוואות המערכת, אז כל אחת מהמשוואות של המערכת הופכת לשוויון אמיתי. ישנן מספר דרכים לפתור מערכת משוואות ליניאריות. שקול את אחת הדרכים לפתור מערכת של משוואות ליניאריות, כלומר שיטת החיבור.

אלגוריתם לפתרון בשיטת חיבור

אלגוריתם לפתרון מערכת משוואות ליניאריות עם שתי שיטות חיבור לא ידועות.

1. אם נדרש, באמצעות טרנספורמציות שוות, השווה את המקדמים עבור אחד המשתנים הלא ידועים בשתי המשוואות.

2. הוספה או חיסור של המשוואות שהתקבלו כדי לקבל משוואה לינארית עם אחד לא ידוע

3. פתרו את המשוואה המתקבלת עם אחד לא ידוע ומצאו את אחד המשתנים.

4. החליפו את הביטוי המתקבל בכל אחת משתי המשוואות של המערכת ופתרו את המשוואה הזו, וכך תקבלו את המשתנה השני.

5. בדוק את הפתרון.

דוגמה לפתרון בשיטת ההוספה

לבהירות רבה יותר, אנו פותרים את המערכת הבאה של משוואות לינאריות עם שני לא ידועים בשיטת החיבור:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

מכיוון שלאף אחד מהמשתנים אין אותם מקדמים, אנו משווים את המקדמים של המשתנה y. כדי לעשות זאת, הכפל את המשוואה הראשונה בשלוש, ואת המשוואה השנייה בשתיים.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

לקבל מערכת המשוואות הבאה:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

כעת נחסר את הראשון מהמשוואה השנייה. אנו מציגים מונחים דומים ופותרים את המשוואה הליניארית המתקבלת.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

אנו מחליפים את הערך המתקבל במשוואה הראשונה מהמערכת המקורית שלנו ונפתור את המשוואה המתקבלת.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

התוצאה היא זוג מספרים x=6 ו-y=14. אנחנו בודקים. אנחנו עושים תחליף.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

כפי שאתה יכול לראות, קיבלנו שני שיוויון אמיתיים, ולכן מצאנו את הפתרון הנכון.