וקטורים עבור בובות. פעולות עם וקטורים

הַגדָרָה

סקלר- ערך שניתן לאפיין במספר. למשל אורך, שטח, מסה, טמפרטורה וכו'.

וֶקטוֹרקטע מכוון נקרא $\overline(A B)$; נקודה $A$ - ההתחלה, נקודה $B$ - סוף הווקטור (איור 1).

וקטור מסומן בשתי אותיות גדולות - ההתחלה והסוף שלו: $\overline(A B)$ או באות קטנה אחת: $\overline(a)$.

הַגדָרָה

אם ההתחלה והסוף של וקטור זהים, אז וקטור כזה נקרא אֶפֶס. לרוב, וקטור האפס מסומן כ-$\overline(0)$.

הווקטורים נקראים קולינארי, אם הם שוכבים או על אותו קו או על קווים מקבילים (איור 2).

הַגדָרָה

שני וקטורים קולינאריים $\overline(a)$ ו-$\overline(b)$ נקראים משותף, אם הכיוונים שלהם זהים: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (איור 3, א). שני וקטורים קולינאריים $\overline(a)$ ו-$\overline(b)$ נקראים כיוונים הפוכים, אם הכיוונים שלהם הפוכים: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (איור 3b).

הַגדָרָה

הווקטורים נקראים coplanarאם הם מקבילים לאותו מישור או שוכבים באותו מישור (איור 4).

שני וקטורים הם תמיד קו מישוריים.

הַגדָרָה

אורך (מודול)וקטור $\overline(A B)$ הוא המרחק בין ההתחלה לסוף שלו: $|\overline(A B)|$

תיאוריה מפורטת לגבי אורך וקטור נמצאת בקישור.

אורכו של וקטור האפס הוא אפס.

הַגדָרָה

וקטור שאורכו שווה לאחד נקרא וקטור יחידהאוֹ אורטום.

הווקטורים נקראים שווהאם הם שוכבים על קו אחד או מקביל; הכיוונים שלהם עולים בקנה אחד והאורכים שווים.

במאמר זה, ניתן הגדרה של וקטור במונחים של גיאומטריה, כמו גם את המושגים העיקריים הקשורים אליו. במישור ובמרחב, הווקטור הוא עצם גיאומטרי מן המניין, כלומר יש לו קווי מתאר אמיתיים מאוד שתראו באיורים הגרפיים למעלה.

הַגדָרָה.

וֶקטוֹרהוא קטע קו מכוון.

כלומר, בתור וקטור, אנחנו לוקחים קטע במישור או במרחב, תוך התחשבות באחת מנקודות הגבול שלו כהתחלה, השנייה כסוף.

כדי לייעד וקטורים, נשתמש באותיות לטיניות קטנות עם חץ מעליהן, למשל. אם ניתנות נקודות הגבול של ההתחלה והסוף של הקטע, למשל A ו-B, אז הווקטור יסומן כ.

הַגדָרָה.

וקטור אפסהיא כל נקודה במישור או בחלל.

הַגדָרָה.

אורך וקטורהוא מספר לא שלילי השווה לאורך הקטע AB.

אורך הווקטור יסומן כ.

מכיוון שהסימון עבור אורך הווקטור זהה לחלוטין לסימן המודולוס, ניתן לשמוע שאורך הווקטור נקרא מודול הווקטור. אנו עדיין ממליצים להשתמש במונח "אורך וקטור". אורכו של וקטור האפס הוא אפס.

הַגדָרָה.

שני הוקטורים נקראים קולינאריאם הם שוכבים על אותו קו או על קווים מקבילים.

הַגדָרָה.

שני הוקטורים נקראים לא קולינאריאם הם לא שוכבים על אותו קו או קווים מקבילים.

וקטור האפס הוא קולינארי לכל וקטור אחר.

הַגדָרָה.

משותף, אם הכיוונים שלהם חופפים ומציינים .

הַגדָרָה.

שני וקטורים קולינאריים ונקראים כיוונים הפוכים, אם הכיוונים שלהם מנוגדים ומציינים .

הַגדָרָה.

שני הוקטורים נקראים שווהאם הם דוכיוניים ואורכם שווים.

הַגדָרָה.

שני הוקטורים נקראים מולאם הם מכוונים הפוך ואורכם שווים.

הרעיון של וקטורים שווים נותן לנו את האפשרות לשקול וקטורים ללא התייחסות לנקודות ספציפיות. במילים אחרות, יש לנו את היכולת להחליף וקטור בוקטור השווה לו, שנמשך מכל נקודה.

תנו ויהיו שני וקטורים שרירותיים במישור או במרחב. הבה נשים בצד וקטורים ומנקודה כלשהי O של המישור או המרחב. קרני OA ו-OB יוצרות זווית.

במאמר זה, אתה ואני נתחיל בדיון על "שרביט קסמים" אחד שיאפשר לך לצמצם בעיות רבות בגיאומטריה לאריתמטיקה פשוטה. "שרביט" זה יכול לעשות את החיים שלך הרבה יותר קלים, במיוחד כאשר אתה מרגיש חוסר ביטחון בבניית דמויות מרחביות, קטעים וכו'. כל זה דורש דמיון מסוים וכישורים פרקטיים. השיטה, אותה נתחיל לשקול כאן, תאפשר לכם להפשט כמעט לחלוטין מכל מיני קונסטרוקציות והיגיון גיאומטריים. השיטה נקראת "שיטת קואורדינטות". במאמר זה נשקול את השאלות הבאות:

1. מטוס קואורדינטות
2. נקודות ווקטורים במישור
3. בניית וקטור משתי נקודות
4. אורך וקטור (מרחק בין שתי נקודות).
5. קואורדינטות נקודת אמצע
6. מכפלת נקודה של וקטורים
7. זווית בין שני וקטורים

אני חושב שכבר ניחשתם למה שיטת הקואורדינטות נקראת כך? נכון שהוא קיבל שם כזה, שכן הוא לא פועל עם עצמים גיאומטריים, אלא עם המאפיינים המספריים שלהם (קואורדינטות). והטרנספורמציה עצמה, המאפשרת לעבור מגיאומטריה לאלגברה, מורכבת מהכנסת מערכת קואורדינטות. אם הדמות המקורית הייתה שטוחה, אז הקואורדינטות הן דו מימדיות, ואם הדמות היא תלת מימדית, אז הקואורדינטות הן תלת מימדיות. במאמר זה נשקול רק את המקרה הדו-ממדי. והמטרה העיקרית של המאמר היא ללמד אותך כיצד להשתמש בכמה טכניקות בסיסיות של שיטת הקואורדינטות (לפעמים הן מתבררות כמועילות בפתרון בעיות בפלנימטריה בחלק ב' של בחינת המדינה המאוחדת). שני הסעיפים הבאים בנושא זה מוקדשים לדיון בשיטות לפתרון בעיות C2 (בעיית הסטריאומטריה).

איפה יהיה הגיוני להתחיל לדון בשיטת הקואורדינטות? כנראה עם הרעיון של מערכת קואורדינטות. זכור מתי פגשת אותה לראשונה. נראה לי שבכיתה ז', כשלמדת על קיומה של פונקציה לינארית למשל. תן לי להזכיר לך שבנית את זה נקודה אחר נקודה. האם אתה זוכר? בחרת מספר שרירותי, החלפת אותו בנוסחה וחישבת בדרך זו. למשל, אם, אז, אם, אז וכו'. מה קיבלת כתוצאה מכך? וקיבלתם נקודות עם קואורדינטות: ו. לאחר מכן, ציירת "צלב" (מערכת קואורדינטות), בחרת עליו קנה מידה (כמה תאים יהיו לך כמקטע בודד) וסימנת עליו את הנקודות שקיבלת, שאותן חיברת עם קו ישר, וכתוצאה מכך. קו הוא הגרף של הפונקציה.

יש כמה דברים שצריך להסביר לך קצת יותר בפירוט:

1. אתה בוחר קטע בודד מטעמי נוחות, כדי שהכל ישתלב יפה וקומפקטי בתמונה

2. ההנחה היא שהציר הולך משמאל לימין, והציר הולך מלמטה למעלה

3. הם מצטלבים בזווית ישרה, ונקודת החיתוך שלהם נקראת המוצא. זה מסומן באות.

4. ברשומה של הקואורדינטה של ​​נקודה, למשל, משמאל בסוגריים נמצאת הקואורדינטה של ​​הנקודה לאורך הציר, ומימין, לאורך הציר. בפרט, פשוט אומר שהנקודה

5. על מנת להגדיר נקודה כלשהי על ציר הקואורדינטות, עליך לציין את הקואורדינטות שלה (2 מספרים)

6. לכל נקודה השוכבת על הציר,

7. לכל נקודה השוכבת על הציר,

8. הציר נקרא ציר ה-x

9. הציר נקרא ציר ה-y

עכשיו בואו ניקח איתך את הצעד הבא: סמן שתי נקודות. חבר את שתי הנקודות הללו עם קו. ובואו נשים את החץ כאילו אנחנו מציירים קטע מנקודה לנקודה: כלומר, נהפוך את הקטע שלנו למכוון!

זוכר מה זה שם אחר לקטע מכוון? זה נכון, זה נקרא וקטור!

לפיכך, אם נחבר נקודה לנקודה, וההתחלה תהיה נקודה א', והסוף תהיה נקודה ב',ואז נקבל וקטור. גם אתה עשית את הבנייה הזו בכיתה ח', זוכר?

מתברר כי וקטורים, כמו נקודות, יכולים להיות מסומנים בשני מספרים: המספרים הללו נקראים הקואורדינטות של הווקטור. שאלה: האם לדעתך מספיק שנדע את הקואורדינטות של ההתחלה והסוף של הווקטור כדי למצוא את הקואורדינטות שלו? מסתבר שכן! וזה מאוד קל לעשות:

לפיכך, מכיוון שבווקטור הנקודה היא ההתחלה והסוף, לוקטור יש את הקואורדינטות הבאות:

לדוגמה, אם, אז הקואורדינטות של הווקטור

עכשיו בואו נעשה את ההפך, נמצא את הקואורדינטות של הווקטור. מה אנחנו צריכים לשנות בשביל זה? כן, אתה צריך להחליף את ההתחלה והסוף: עכשיו ההתחלה של הווקטור תהיה בנקודה, והסוף בנקודה. לאחר מכן:

תסתכל היטב, מה ההבדל בין וקטורים לבין? ההבדל היחיד ביניהם הוא הסימנים בקואורדינטות. הם הפוכים. עובדה זו כתובה כך:

לפעמים, אם לא מצוין במפורש איזו נקודה היא ההתחלה של הווקטור, ומהו הסוף, אז הווקטורים מסומנים לא בשתי אותיות גדולות, אלא באות קטנה אחת, למשל: וכו'.

עכשיו קצת תרגולומצא את הקואורדינטות של הוקטורים הבאים:

בְּדִיקָה:

עכשיו פתור את הבעיה קצת יותר קשה:

לטורוס וקטור עם on-cha-scrap בנקודה יש ​​שיתוף או די-עליך. מצא-di-te abs-cis-su נקודות.

כל זאת פרוזאית למדי: תנו להיות הקואורדינטות של הנקודה. לאחר מכן

הרכבתי את המערכת על ידי קביעה מהן הקואורדינטות של וקטור. אז לנקודה יש ​​קואורדינטות. אנחנו מתעניינים באבשיסה. לאחר מכן

תשובה:

מה עוד אפשר לעשות עם וקטורים? כן, כמעט הכל זהה למספרים רגילים (חוץ מזה שאי אפשר לחלק, אבל אפשר להכפיל בשתי דרכים, על אחת מהן נדון כאן קצת מאוחר יותר)

1. וקטורים יכולים להיות מוערמים אחד עם השני
2. ניתן להחסיר וקטורים זה מזה
3. ניתן להכפיל (או לחלק) וקטורים במספר שרירותי שאינו אפס
4. ניתן להכפיל וקטורים אחד עם השני

לכל הפעולות הללו יש ייצוג גיאומטרי חזותי למדי. לדוגמה, כלל המשולש (או המקבילית) עבור חיבור וחיסור:

וקטור נמתח או מכווץ או משנה כיוון כאשר מכפלים או מחלקים במספר:

עם זאת, כאן נתעניין בשאלה מה קורה לקואורדינטות.

1. כאשר מוסיפים (חיסור) שני וקטורים, נוסיף (מחסיר) את הקואורדינטות שלהם אלמנט אחר אלמנט. זה:

2. כשמכפילים (מחלקים) וקטור במספר, כל הקואורדינטות שלו מוכפלות (מחלקים) במספר זה:

לדוגמה:

· מצא-די-הסכום של ko-or-di-nat מאה-to-ra.

תחילה נמצא את הקואורדינטות של כל אחד מהווקטורים. לשניהם מוצא זהה - נקודת המוצא. הקצוות שלהם שונים. לאחר מכן, . כעת אנו מחשבים את הקואורדינטות של הווקטור ואז סכום הקואורדינטות של הווקטור המתקבל שווה ל.

תשובה:

כעת פתור את הבעיה הבאה בעצמך:

· מצא את סכום הקואורדינטות של הווקטור

אנחנו בודקים:

הבה נשקול כעת את הבעיה הבאה: יש לנו שתי נקודות במישור הקואורדינטות. איך למצוא את המרחק ביניהם? תן לנקודה הראשונה להיות, והשנייה. הבה נסמן את המרחק ביניהם בתור . בואו נעשה את הציור הבא לבהירות:

מה אני עשיתי? אני, ראשית, חיברתי את הנקודות, וגם ציירתי קו מקביל לציר מהנקודה, וציירתי קו מקביל לציר מהנקודה. האם הם הצטלבו בנקודה מסוימת ויצרו דמות נפלאה? למה היא נפלאה? כן, אתה ואני כמעט יודעים הכל על משולש ישר זווית. ובכן, משפט פיתגורס, ללא ספק. הקטע הרצוי הוא התחתון של משולש זה, והקטעים הם הרגליים. מהן הקואורדינטות של הנקודה? כן, קל למצוא אותם מהתמונה: מכיוון שהקטעים מקבילים לצירים ובהתאמה קל למצוא את אורכם: אם נסמן את אורכי הקטעים, בהתאמה, דרך, אז

כעת נשתמש במשפט פיתגורס. אנחנו יודעים את אורכי הרגליים, נמצא את ההיפוטנוז:

לפיכך, המרחק בין שתי נקודות הוא סכום השורש של ההבדלים בריבוע מהקואורדינטות. או - המרחק בין שתי נקודות הוא אורך הקטע המחבר ביניהן. קל לראות שהמרחק בין הנקודות אינו תלוי בכיוון. לאחר מכן:

מכאן אנו מסיקים שלוש מסקנות:

בואו נתאמן קצת על חישוב המרחק בין שתי נקודות:

לדוגמה, אם, אז המרחק בין לבין הוא

או בוא נלך אחרת: מצא את הקואורדינטות של הווקטור

ומצא את אורך הווקטור:

כפי שאתה יכול לראות, זה אותו דבר!

עכשיו תתאמן קצת לבד:

משימה: מצא את המרחק בין הנקודות הנתונות:

אנחנו בודקים:

להלן עוד כמה בעיות עבור אותה נוסחה, אם כי הן נשמעות מעט שונות:

1. מצא-di-te את הריבוע של אורך העפעף-to-ra.

2. Nai-di-te ריבוע של עפעף אורך-to-ra

אני מנחש שאתה יכול להתמודד איתם בקלות? אנחנו בודקים:

1. וזה לשם תשומת לב) כבר מצאנו את הקואורדינטות של הוקטורים לפני: . אז לוקטור יש קואורדינטות. הריבוע של אורכו יהיה:

2. מצא את הקואורדינטות של הווקטור

אז הריבוע של אורכו הוא

שום דבר מסובך, נכון? חשבון פשוט, לא יותר.

לא ניתן לסווג באופן חד משמעי את החידות הבאות, הן מיועדות ללימוד כללי וליכולת לצייר תמונות פשוטות.

1. מצא-די-הסינוס של הזווית על-clo-on-from-cut, חבר-n-n-th-th point, עם ציר abscissa.

ו

איך נעשה את זה כאן? אתה צריך למצוא את הסינוס של הזווית בין הציר. והיכן נוכל לחפש את הסינוס? נכון, במשולש ישר זווית. אז מה אנחנו צריכים לעשות? בנה את המשולש הזה!

מאז הקואורדינטות של הנקודה ו, אז הקטע שווה, והקטע. אנחנו צריכים למצוא את הסינוס של הזווית. הרשו לי להזכיר לכם שהסינוס הוא היחס בין הרגל הנגדית לתחתית, אם כן

מה נשאר לנו לעשות? מצא את ההיפוטנוזה. ניתן לעשות זאת בשתי דרכים: באמצעות משפט פיתגורס (הרגליים ידועות!) או שימוש בנוסחה למרחק בין שתי נקודות (בעצם זהה לשיטה הראשונה!). אני אלך בדרך השנייה:

תשובה:

המשימה הבאה תיראה לך אפילו קלה יותר. היא - על הקואורדינטות של הנקודה.

משימה 2.מהנקודה, ה-per-pen-di-kular מורידים על ציר abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

בואו נעשה ציור:

הבסיס של הניצב הוא הנקודה בה הוא חותך את ציר ה-x (ציר) מבחינתי זו נקודה. האיור מראה שיש לו קואורדינטות: . אנו מעוניינים באבשיסה - כלומר, רכיב ה"X". היא שווה.

תשובה: .

משימה 3.בתנאים של הבעיה הקודמת, מצא את סכום המרחקים מהנקודה לצירי הקואורדינטות.

המשימה היא בדרך כלל יסודית אם אתה יודע מה המרחק מנקודה לצירים. אתה יודע? אני מקווה, אבל בכל זאת אני מזכיר לך:

אז, בציור שלי, הממוקם קצת יותר גבוה, כבר תיארתי אנך אחד כזה? באיזה ציר מדובר? אל הציר. ומה אורכו אם כן? היא שווה. כעת צייר בעצמך מאונך לציר ומצא את אורכו. זה יהיה שווה, נכון? אז הסכום שלהם שווה.

תשובה: .

משימה 4.בתנאים של בעיה 2, מצא את האידינטה של ​​הנקודה סימטרית לנקודה סביב ציר ה-x.

אני חושב שאתה מבין אינטואיטיבית מהי סימטריה? להרבה מאוד חפצים יש את זה: מבנים רבים, שולחנות, מישורים, צורות גיאומטריות רבות: כדור, גליל, ריבוע, מעוין וכו'. בגדול אפשר להבין את הסימטריה כך: דמות מורכבת משניים (או יותר) חצאים זהים. סימטריה זו נקראת צירית. מהו אם כן ציר? זה בדיוק הקו שלאורכו אפשר "לחתוך" את הדמות, יחסית, לחצאים זהים (בתמונה זו ציר הסימטריה ישר):

עכשיו בואו נחזור למשימה שלנו. אנחנו יודעים שאנחנו מחפשים נקודה שהיא סימטרית על הציר. אז הציר הזה הוא ציר הסימטריה. אז, אנחנו צריכים לסמן נקודה כך שהציר חותך את הקטע לשני חלקים שווים. נסו לסמן נקודה כזו בעצמכם. עכשיו השווה עם הפתרון שלי:

עשית אותו הדבר? בסדר גמור! בנקודה שנמצאה, אנו מעוניינים באורינטה. היא שווה

תשובה:

עכשיו תגיד לי, לאחר מחשבה שנייה, מה תהיה האבססיס של הנקודה הסימטרית לנקודה A על ציר ה-y? מה התשובה שלך? תשובה נכונה: .

באופן כללי, ניתן לכתוב את הכלל כך:

לנקודה סימטרית לנקודה סביב ציר ה-x יש את הקואורדינטות:

לנקודה סימטרית לנקודה סביב ציר ה-y יש קואורדינטות:

ובכן, עכשיו זה ממש מפחיד. מְשִׁימָה: מצא את הקואורדינטות של נקודה שהיא סימטרית לנקודה, ביחס למקור. תחשוב קודם בעצמך, ואז תסתכל על הציור שלי!

תשובה:

עַכשָׁיו בעיה מקבילית:

משימה 5: הנקודות הן ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te or-dee-on-tu נקודות.

אתה יכול לפתור בעיה זו בשתי דרכים: לוגיקה ושיטת הקואורדינטות. קודם כל אחיל את שיטת הקואורדינטות, ואחר כך אספר לך איך אתה יכול להחליט אחרת.

די ברור שהאבססיס של הנקודה שווה. (הוא שוכב על הניצב המצויר מהנקודה לציר ה-x). אנחנו צריכים למצוא את ה-ordinate. בואו ננצל את העובדה שהדמות שלנו היא מקבילית, כלומר. מצא את אורך הקטע באמצעות הנוסחה למרחק בין שתי נקודות:

אנו מורידים את הניצב המחבר את הנקודה עם הציר. נקודת ההצטלבות מסומנת באות.

אורך הקטע שווה. (מצא את הבעיה בעצמך, היכן שדנו ברגע זה), ואז נמצא את אורך הקטע באמצעות משפט פיתגורס:

אורכו של הקטע זהה לחלוטין לאשריטה שלו.

תשובה: .

פתרון נוסף (אני רק אביא תמונה שממחישה את זה)

התקדמות הפתרון:

1. להוציא

2. מצא קואורדינטות נקודות ואורך

3. תוכיח את זה.

עוד אחד בעיית אורך חיתוך:

הנקודות הן-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. מצא את אורך קו האמצע שלו, par-ral-lel-noy.

אתה זוכר מה הקו האמצעי של משולש? אז בשבילך המשימה הזו היא אלמנטרית. אם אינך זוכר, אזכיר לך: הקו האמצעי של משולש הוא קו המחבר בין נקודות האמצע של הצלעות הנגדיות. הוא מקביל לבסיס ושווה למחציתו.

הבסיס הוא קטע. היינו צריכים לחפש את האורך שלו מוקדם יותר, הוא שווה. אז אורך קו האמצע הוא חצי ארוך ושווה.

תשובה: .

הערה: ניתן לפתור בעיה זו בדרך אחרת, אליה נפנה מעט בהמשך.

בינתיים, הנה כמה משימות עבורכם, תתאמן עליהן, הן די פשוטות, אבל הן עוזרות "למלא את היד" בשיטת הקואורדינטות!

1. הנקודות מופיעות-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. מצא את אורך קו האמצע שלו.

2. נקודות ו-yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te or-dee-on-tu נקודות.

3. מצא את האורך מהחתך, חבר את הנקודה השנייה ו

4. מצא-די-te את האזור עבור-the-red-shen-noy fi-gu-ry במטוס ko-or-di-nat-noy.

5. עיגול שמרכזו ב-na-cha-le ko-or-di-nat עובר דרך נקודה. מצא-דה-טה שלה ra-di-שפם.

6. Nai-di-te ra-di-us מעגל-no-sti, תאר-san-noy ליד זווית ישרה-no-ka, העליון-shi-ny של משהו-ro-go יש שיתוף או - די-נה-אתה שותף מתשובה-אבל

פתרונות:

1. ידוע שקו האמצע של טרפז שווה למחצית מסכום הבסיסים שלו. הבסיס שווה, אבל הבסיס. לאחר מכן

תשובה:

2. הדרך הקלה ביותר לפתור בעיה זו היא לשים לב לכך (כלל המקבילה). חשב את הקואורדינטות של הוקטורים ולא קשה: . בעת הוספת וקטורים, הקואורדינטות מתווספות. ואז יש קואורדינטות. לנקודה יש ​​אותן קואורדינטות, שכן תחילת הווקטור היא נקודה עם קואורדינטות. אנחנו מעוניינים באורינטה. היא שווה.

תשובה:

3. אנו פועלים מיד לפי הנוסחה למרחק בין שתי נקודות:

תשובה:

4. הסתכלו בתמונה ותגידו, בין אילו שתי דמויות "נסחט" האזור המוצל? הוא דחוס בין שני ריבועים. ואז שטח הדמות הרצויה שווה לשטח הריבוע הגדול מינוס שטח הקטן. צלע הריבוע הקטן הוא קטע המחבר בין הנקודות ואורכו הוא

ואז שטח הריבוע הקטן הוא

כך נעשה עם ריבוע גדול: הצלע שלו היא קטע המחבר בין הנקודות ואורכו שווה ל

ואז שטח הריבוע הגדול הוא

השטח של הדמות הרצויה נמצא על ידי הנוסחה:

תשובה:

5. אם למעגל יש את המקור כמרכזו והוא עובר דרך נקודה, אז הרדיוס שלו יהיה שווה בדיוק לאורך הקטע (ערכו ציור ותבינו למה זה ברור). מצא את האורך של קטע זה:

תשובה:

6. ידוע שרדיוס מעגל המוקף סביב מלבן שווה למחצית מהאלכסון שלו. בואו נמצא את האורך של כל אחד משני האלכסונים (אחרי הכל, במלבן הם שווים!)

תשובה:

ובכן, הסתדרת הכל? זה לא היה כל כך קשה להבין את זה, נכון? יש כאן רק כלל אחד - להיות מסוגל ליצור תמונה ויזואלית ופשוט "לקרוא" את כל הנתונים ממנה.

נשאר לנו מעט מאוד. ישנן שתי נקודות נוספות שהייתי רוצה לדון בהן.

בואו ננסה לפתור את הבעיה הפשוטה הזו. תן שתי נקודות וניתן. מצא את הקואורדינטות של אמצע הקטע. הפתרון לבעיה זו הוא כדלקמן: תן לנקודה להיות האמצע הרצוי, אז יש לה קואורדינטות:

זה: קואורדינטות של אמצע הקטע = ממוצע אריתמטי של הקואורדינטות המתאימות של קצוות הקטע.

כלל זה פשוט מאוד ובדרך כלל אינו גורם לקשיים לתלמידים. בואו נראה באילו בעיות וכיצד משתמשים בו:

1. מצא-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point and

2. הנקודות הן yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. מצא-di-te or-di-na-tu נקודות של re-re-se-che-niya של dia-go-on-lei שלו.

3. מצא-di-te abs-cis-su של מרכז המעגל, תאר-san-noy ליד המלבן-no-ka, tops-shi-We have something-ro-go co-or-di- נא-אתה שותף מ-vet-stvenno-אבל.

פתרונות:

1. המשימה הראשונה היא פשוט קלאסיקה. אנו פועלים מיד על ידי קביעת נקודת האמצע של הקטע. יש לה קואורדינטות. הסמין שווה.

תשובה:

2. קל לראות שהמרובע הנתון הוא מקבילית (אפילו מעוין!). אתה יכול להוכיח זאת בעצמך על ידי חישוב אורכי הצלעות והשוואה ביניהן. מה אני יודע על מקבילית? האלכסונים שלו חצויים על ידי נקודת החיתוך! אהה! אז מה היא נקודת החיתוך של האלכסונים? זהו האמצע של כל אחד מהאלכסונים! אני אבחר, במיוחד, באלכסון. אז לנקודה יש ​​קואורדינטות.האורדינטה של ​​הנקודה שווה ל.

תשובה:

3. מהו מרכז המעגל המוקף סביב המלבן? זה עולה בקנה אחד עם נקודת החיתוך של האלכסונים שלו. מה אתה יודע על האלכסונים של מלבן? הם שווים ונקודת החיתוך מחולקת לשניים. המשימה צומצמה לקודמתה. קח, למשל, את האלכסון. אז אם הוא מרכז המעגל המוקף, אז הוא האמצע. אני מחפש קואורדינטות: האבשיסה שווה.

תשובה:

עכשיו תתאמן קצת לבד, אני אתן רק את התשובות לכל בעיה כדי שתוכל לבדוק את עצמך.

1. Nai-di-te ra-di-us מעגל-no-sti, תאר-san-noy ליד המשולש-no-ka, בחלק העליון של מישהו-ro-go יש ko-or-di-no misters

2. מצא-di-te or-di-na-tu מרכז המעגל-no-sti, תאר-san-noy ליד המשולש-no-ka, tops-shi-יש לנו קואורדינטות משהו-ro-go

3. איזה סוג של ra-di-y-sa צריך להיות עיגול עם מרכז בנקודה כך שהוא נוגע בציר האבס-סיס?

4. מצא-di-te or-di-on-the point of re-re-se-che-ing של הציר ומ-cut, connect-nya-yu-th-th point and

תשובות:

הכל הסתדר? אני ממש מקווה לזה! עכשיו - הדחיפה האחרונה. עכשיו היזהר במיוחד. החומר שאסביר כעת אינו רלוונטי רק לבעיות שיטת הקואורדינטות הפשוטות בחלק ב', אלא נמצא גם לאורך בעיה C2.

אילו מההבטחות שלי עדיין לא עמדתי? זוכר אילו פעולות על וקטורים הבטחתי להציג ואילו בסופו של דבר הצגתי? אני בטוח שלא שכחתי כלום? שכח! שכחתי להסביר מה המשמעות של כפל וקטורים.

ישנן שתי דרכים להכפיל וקטור בוקטור. בהתאם לשיטה שנבחרה, נקבל חפצים בעלי אופי שונה:

המוצר הווקטורי הוא די מסובך. איך לעשות את זה ולמה זה נחוץ, נדון איתך במאמר הבא. ובזה נתמקד במוצר הסקלרי.

יש כבר שתי דרכים שמאפשרות לנו לחשב אותו:

כפי שניחשתם, התוצאה צריכה להיות זהה! אז בואו נסתכל תחילה על הדרך הראשונה:

נקדו את המוצר דרך הקואורדינטות

מצא: - סימון נפוץ למוצר נקודה

הנוסחה לחישוב היא כדלקמן:

כלומר מכפלת הנקודה = סכום מכפלות הקואורדינטות של הוקטורים!

דוגמא:

מצא-די-טה

פִּתָרוֹן:

מצא את הקואורדינטות של כל אחד מהווקטורים:

אנו מחשבים את התוצר הסקלרי לפי הנוסחה:

תשובה:

אתה מבין, שום דבר לא מסובך!

ובכן, עכשיו נסה זאת בעצמך:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie מאה-to-dich and

הסתדרת? אולי הוא שם לב לטריק קטן? בוא נבדוק:

קואורדינטות וקטוריות, כמו במשימה הקודמת! תשובה: .

בנוסף לקואורדינטה, ישנה דרך נוספת לחשב את המכפלה הסקלרית, כלומר דרך אורכי הווקטורים והקוסינוס של הזווית ביניהם:

מציין את הזווית בין הוקטורים ו.

כלומר, המכפלה הסקלרית שווה למכפלת אורכי הווקטורים והקוסינוס של הזווית ביניהם.

למה אנחנו צריכים את הנוסחה השנייה הזו, אם יש לנו את הראשונה, שהיא הרבה יותר פשוטה, לפחות אין בה קוסינוסים. ואנחנו צריכים את זה כדי שמהנוסחה הראשונה והשנייה נוכל להסיק איך למצוא את הזווית בין וקטורים!

תן אז לזכור את הנוסחה לאורך של וקטור!

ואז אם אני מחבר את הנתונים האלה לנוסחת המוצר הנקודה, אני מקבל:

אבל בדרך אחרת:

אז מה יש לנו? כעת יש לנו נוסחה לחישוב הזווית בין שני וקטורים! לפעמים, למען הקיצור, נכתב גם כך:

כלומר, האלגוריתם לחישוב הזווית בין הוקטורים הוא כדלקמן:

1. אנו מחשבים את התוצר הסקלרי באמצעות הקואורדינטות
2. מצא את אורכי הוקטורים והכפל אותם
3. חלקו את התוצאה של נקודה 1 בתוצאה של נקודה 2

בואו נתאמן עם דוגמאות:

1. מצא את הזווית בין העפעפיים ל-ra-mi ו. תן את תשובתך במעלות.

2. בתנאים של הבעיה הקודמת, מצא את הקוסינוס בין הוקטורים

בוא נעשה זאת: אני אעזור לך לפתור את הבעיה הראשונה, ואנסה לעשות את השנייה בעצמך! לְהַסכִּים? אז בואו נתחיל!

1. הווקטורים האלה הם החברים הוותיקים שלנו. כבר שקלנו את המוצר הסקלרי שלהם והוא היה שווה. הקואורדינטות שלהם הן: , . ואז אנו מוצאים את האורכים שלהם:

אז אנחנו מחפשים את הקוסינוס בין הוקטורים:

מהו הקוסינוס של הזווית? זו הפינה.

תשובה:

ובכן, עכשיו פתור את הבעיה השנייה בעצמך, ואז השווה! אני רק אתן פתרון קצר מאוד:

2. יש קואורדינטות, יש קואורדינטות.

תן להיות הזווית בין הוקטורים ולאחר מכן

תשובה:

יש לציין שהמשימות ישירות על הוקטורים ושיטת הקואורדינטות בחלק ב' של עבודת הבחינה נדירות למדי. עם זאת, ניתן לפתור בקלות את הרוב המכריע של בעיות C2 על ידי הכנסת מערכת קואורדינטות. אז אתה יכול לשקול את המאמר הזה כבסיס, שעל בסיסו ניצור קונסטרוקציות מסובכות למדי שנצטרך לפתור בעיות מורכבות.

קואורדינאטות ווקטורים. רמת ביניים

אתה ואני ממשיכים ללמוד את שיטת הקואורדינטות. בחלק האחרון, הפקנו מספר נוסחאות חשובות המאפשרות:

1. מצא קואורדינטות וקטוריות
2. מצא את אורכו של וקטור (לחלופין: המרחק בין שתי נקודות)
3. הוסף, הורד וקטורים. הכפל אותם במספר ממשי
4. מצא את נקודת האמצע של קטע
5. חשב מכפלת נקודות של וקטורים
6. מצא את הזווית בין הוקטורים

כמובן שכל שיטת הקואורדינטות אינה מתאימה ל-6 הנקודות הללו. הוא עומד בבסיס מדע כמו גיאומטריה אנליטית, שתכירו באוניברסיטה. אני רק רוצה לבנות בסיס שיאפשר לך לפתור בעיות במצב אחד. מבחן. הבנו את המשימות של חלק ב' עכשיו הגיע הזמן לעבור לרמה חדשה מבחינה איכותית! מאמר זה יוקדש לשיטה לפתרון אותן בעיות C2 שבהן יהיה סביר לעבור לשיטת הקואורדינטות. סבירות זו נקבעת לפי מה צריך למצוא בבעיה, ואיזה נתון ניתן. אז, הייתי משתמש בשיטת הקואורדינטות אם השאלות הן:

1. מצא את הזווית בין שני מישורים
2. מצא את הזווית בין ישר למישור
3. מצא את הזווית בין שני קווים
4. מצא את המרחק מנקודה למישור
5. מצא את המרחק מנקודה לישר
6. מצא את המרחק מקו ישר למישור
7. מצא את המרחק בין שני קווים

אם הדמות שניתנה במצב הבעיה היא גוף מהפכה (כדור, צילינדר, חרוט...)

נתונים מתאימים לשיטת הקואורדינטות הם:

1. קוביד
2. פירמידה (משולש, מרובע, משושה)

גם מניסיוני זה לא מתאים להשתמש בשיטת הקואורדינטות עבור:

1. מציאת תחומי המדורים
2. חישובי נפחים של גופים

עם זאת, יש לציין מיד כי שלושה מצבים "לא נוחים" עבור שיטת הקואורדינטות הם די נדירים בפועל. ברוב המשימות, זה יכול להפוך למושיע שלך, במיוחד אם אתה לא חזק מאוד בקונסטרוקציות תלת מימדיות (שלפעמים הן די מורכבות).

מה הם כל הדמויות שרשמתי למעלה? הם כבר לא שטוחים, כמו ריבוע, משולש, עיגול, אלא נפחיים! בהתאם לכך, עלינו לשקול לא מערכת קואורדינטות דו-ממדית, אלא תלת-ממדית. הוא נבנה די בקלות: רק בנוסף לאבסקיסה והאורדינטות, נציג ציר נוסף, ציר היישום. האיור מציג באופן סכמטי את מיקומם היחסי:

כולם מאונכים זה לזה, מצטלבים בנקודה אחת, שאותה נקרא המקור. ציר האבססיס, כמו קודם, יסומן, ציר הסמיכה - , וציר היישום המובא - .

אם קודם לכן כל נקודה במישור אופיינה בשני מספרים - האבשיסה והאורדינטה, הרי שכל נקודה במרחב כבר מתוארת בשלושה מספרים - האבססיס, הסמטה, היישום. לדוגמה:

בהתאם לכך, האבססיס של הנקודה שווה, הסמין הוא , והיישום הוא .

לפעמים האבשיסה של נקודה נקראת גם השלכה של הנקודה על ציר האבשיסה, הסמטה היא הקרנה של הנקודה על ציר הסמטה, והאפליקט היא השלכה של הנקודה על ציר היישום. בהתאם לכך, אם ניתנת נקודה אז, נקודה עם קואורדינטות:

נקרא הקרנה של נקודה על מישור

נקרא הקרנה של נקודה על מישור

מתעוררת שאלה טבעית: האם כל הנוסחאות הנגזרות למקרה הדו-ממדי תקפות במרחב? התשובה היא כן, הם צודקים ויש להם אותו מראה. לפרט קטן. אני חושב שכבר ניחשתם איזה. בכל הנוסחאות, נצטרך להוסיף עוד מונח אחד האחראי על ציר היישום. כלומר.

1. אם ניתנות שתי נקודות: , אז:

• קואורדינטות וקטוריות:
• מרחק בין שתי נקודות (או אורך וקטור)
• באמצע הקטע יש קואורדינטות

2. אם ניתנים שני וקטורים: וכן, אז:

• מוצר הנקודה שלהם הוא:
• הקוסינוס של הזווית בין הוקטורים הוא:

עם זאת, החלל אינו כל כך פשוט. כפי שאתם מבינים, הוספת קואורדינטה אחת נוספת מציגה מגוון משמעותי בספקטרום הדמויות ה"חיות" בחלל הזה. ולקראות נוספת, אני צריך להציג קצת, באופן גס, "הכללה" של הקו הישר. ה"הכללה" הזו תהיה מטוס. מה אתה יודע על מטוס? נסו לענות על השאלה, מהו מטוס? קשה מאוד לומר. עם זאת, כולנו מדמיינים באופן אינטואיטיבי איך זה נראה:

באופן גס, זהו סוג של "עלה" אינסופי שנדחף לחלל. יש להבין את "אינסוף" שהמישור משתרע לכל הכיוונים, כלומר שטחו שווה לאינסוף. עם זאת, הסבר זה "על האצבעות" אינו נותן שמץ של מושג על מבנה המטוס. ואנחנו נתעניין בזה.

בואו נזכור את אחת האקסיומות הבסיסיות של הגיאומטריה:

• קו ישר עובר דרך שתי נקודות שונות במישור, יתר על כן, רק אחת:

או האנלוגי שלו בחלל:

כמובן, אתה זוכר איך לגזור את המשוואה של ישר משתי נקודות נתונות, זה בכלל לא קשה: אם לנקודה הראשונה יש קואורדינטות: והשנייה, אז המשוואה של הישר תהיה כדלקמן:

עברת את זה בכיתה ז'. במרחב, משוואת הישר נראית כך: תנו לנו שתי נקודות עם קואורדינטות: אז למשוואת הישר העובר דרכן יש את הצורה:

לדוגמה, קו עובר דרך נקודות:

כיצד יש להבין זאת? יש להבין זאת באופן הבא: נקודה שוכנת על קו אם הקואורדינטות שלה עומדות במערכת הבאה:

לא נתעניין מאוד במשוואה של קו ישר, אבל אנחנו צריכים לשים לב למושג החשוב מאוד של וקטור המכוון של קו ישר. - כל וקטור שאינו אפס השוכב על קו נתון או מקביל לו.

לדוגמה, שני הוקטורים הם וקטורי כיוון של קו ישר. בואו להיות נקודה השוכנת על קו ישר, ולהיות הווקטור המכוון שלה. אז ניתן לכתוב את המשוואה של קו ישר בצורה הבאה:

שוב, אני לא מאוד אתעניין במשוואה של קו ישר, אבל אני באמת צריך שתזכרו מהו וקטור כיוון! שוב: זה כל וקטור שאינו אפס השוכב על קו, או מקביל לו.

לָסֶגֶת משוואת שלוש נקודות של מישורכבר לא כל כך טריוויאלי, ובדרך כלל לא מכוסה בקורס בתיכון. אך לשווא! טכניקה זו חיונית כאשר אנו פונים לשיטת הקואורדינטות כדי לפתור בעיות מורכבות. עם זאת, אני מניח שאתה מלא ברצון ללמוד משהו חדש? יתרה מכך, תוכל להרשים את המורה שלך באוניברסיטה כאשר יתברר שאתה כבר יודע להשתמש בטכניקה שנלמדת בדרך כלל במסגרת הגיאומטריה האנליטית. אז בואו נתחיל.

המשוואה של מישור אינה שונה מדי מהמשוואה של קו ישר במישור, כלומר, יש לה את הצורה:

כמה מספרים (לא כולם שווים לאפס), אבל משתנים, למשל: וכו'. כפי שאתה יכול לראות, משוואת מישור אינה שונה מאוד מהמשוואה של ישר (פונקציה לינארית). עם זאת, זוכר מה התווכחנו איתך? אמרנו שאם יש לנו שלוש נקודות שאינן שוכנות על קו ישר אחד, אז משוואת המישור משוחזרת מהן באופן ייחודי. אבל איך? אני אנסה להסביר לך.

מכיוון שמשוואת המישור היא:

והנקודות שייכות למישור הזה, אז כאשר מחליפים את הקואורדינטות של כל נקודה במשוואת המישור, אנחנו צריכים לקבל את הזהות הנכונה:

לפיכך, יש צורך לפתור שלוש משוואות כבר עם לא ידועים! דִילֶמָה! עם זאת, אנחנו תמיד יכולים להניח את זה (בשביל זה אנחנו צריכים לחלק ב). לפיכך, נקבל שלוש משוואות עם שלושה לא ידועים:

עם זאת, לא נפתור מערכת כזו, אלא נכתוב את הביטוי הצפוי שנובע ממנה:

משוואת מישור העובר דרך שלוש נקודות נתונות

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(מערך)) \right| = 0\]

תפסיק! מה זה עוד? איזה מודול מאוד יוצא דופן! עם זאת, לאובייקט שאתה רואה מולך אין שום קשר למודול. אובייקט זה נקרא דטרמיננט מסדר שלישי. מעתה והלאה, כאשר אתה מתעסק בשיטת הקואורדינטות במישור, לעתים קרובות תתקל בגורמים הקובעים האלה. מהו קובע מסדר שלישי? באופן מוזר, זה רק מספר. נותר להבין איזה מספר ספציפי נשווה עם הקובע.

תחילה נכתוב את הקובע מסדר שלישי בצורה כללית יותר:

איפה יש מספרים. יתרה מכך, באינדקס הראשון אנו מתכוונים למספר השורה, ובאינדקס - מספר העמודה. לדוגמה, זה אומר שהמספר הנתון נמצא בצומת של השורה השנייה והעמודה השלישית. בואו נציב את השאלה הבאה: איך בדיוק אנחנו הולכים לחשב מדד כזה? כלומר, עם איזה מספר ספציפי נשווה אותו? עבור הקובע בדיוק מהסדר השלישי, יש כלל משולש היוריסטי (חזותי), זה נראה כך:

1. מכפלת מרכיבי האלכסון הראשי (משמאל למעלה לימין למטה) מכפלת היסודות היוצרים את המשולש הראשון "מאונך" לאלכסון הראשי מכפלת היסודות היוצרים את המשולש השני "מאונך" לראשי. אֲלַכסוֹנִי
2. מכפלת האלמנטים של האלכסון המשני (מהפינה הימנית העליונה לשמאל התחתונה) מכפלת היסודות היוצרים את המשולש הראשון "מאונך" של האלכסון המשני מכפלת היסודות היוצרים את המשולש השני "מאונך" של האלכסון המשני
3. אז הקובע שווה להפרש בין הערכים שהושגו בשלב ו

אם נכתוב את כל זה במספרים, נקבל את הביטוי הבא:

עם זאת, אתה לא צריך לשנן את שיטת החישוב בצורה זו, זה מספיק רק לשמור את המשולשים בראש שלך ואת עצם הרעיון של מה מתווסף למה ומה מופחת אז ממה).

בואו נמחיש את שיטת המשולש בדוגמה:

1. חשב את הקובע:

בואו נבין מה נוסיף ומה נחסר:

מונחים שמגיעים עם "פלוס":

זהו האלכסון העיקרי: מכפלת היסודות היא

המשולש הראשון, "מאונך לאלכסון הראשי: מכפלת היסודות היא

המשולש השני, "מאונך לאלכסון הראשי: מכפלת היסודות היא

נוסיף שלושה מספרים:

מונחים שמגיעים עם "מינוס"

זהו אלכסון צדדי: מכפלת היסודות היא

המשולש הראשון, "מאונך לאלכסון המשני: מכפלת היסודות היא

המשולש השני, "מאונך לאלכסון המשני: מכפלת היסודות היא

נוסיף שלושה מספרים:

כל מה שנותר לעשות הוא להחסיר מסכום מונחי הפלוס את סכום המונחים מינוס:

לכן,

כפי שאתה יכול לראות, אין שום דבר מסובך ועל טבעי בחישוב של דטרמיננטים מסדר שלישי. פשוט חשוב לזכור על משולשים ולא לעשות טעויות חשבון. עכשיו נסה לחשב את עצמך:

אנחנו בודקים:

1. המשולש הראשון בניצב לאלכסון הראשי:
2. המשולש השני בניצב לאלכסון הראשי:
3. סכום תנאי הפלוס:
4. משולש ראשון מאונך לאלכסון הצלע:
5. המשולש השני, מאונך לאלכסון הצלע:
6. סכום האיברים עם מינוס:
7. סכום של מונחי פלוס מינוס סכום של מינוס מונחים:

הנה עוד כמה גורמים קובעים עבורך, חשב את הערכים שלהם בעצמך והשווה עם התשובות:

תשובות:

ובכן, הכל תאם? מעולה, אז אתה יכול להמשיך הלאה! אם יש קשיים, אז העצה שלי היא כזו: באינטרנט יש חבורה של תוכנות לחישוב הקובע באינטרנט. כל מה שאתה צריך הוא להמציא את הקובע שלך, לחשב אותו בעצמך, ולאחר מכן להשוות אותו עם מה שהתוכנית מחשבת. וכך הלאה עד שהתוצאות מתחילות להתאים. אני בטוח שהרגע הזה לא יאחר לבוא!

כעת נחזור לקובע שכתבתי כשדיברתי על המשוואה של מישור שעובר דרך שלוש נקודות נתונות:

כל שעליכם לעשות הוא לחשב את ערכו ישירות (בשיטת המשולש) ולהגדיר את התוצאה שווה לאפס. באופן טבעי, מכיוון שהם משתנים, תקבל ביטוי כלשהו שתלוי בהם. הביטוי הזה הוא המשוואה של מישור שעובר דרך שלוש נקודות נתונות שאינן שוכנות על קו ישר אחד!

בואו נמחיש זאת בדוגמה פשוטה:

1. בנה את משוואת המישור העובר בנקודות

אנו מרכיבים קובע לשלוש הנקודות הללו:

מפשט:

כעת אנו מחשבים אותו ישירות לפי כלל המשולשים:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ ימין| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

לפיכך, משוואת המישור העובר דרך הנקודות היא:

עכשיו נסה לפתור בעיה אחת בעצמך, ואז נדון בה:

2. מצא את משוואת המישור העובר דרך הנקודות

ובכן, בואו נדון בפתרון כעת:

אנו קובעים:

וחשב את הערך שלו:

אז למשוואת המישור יש את הצורה:

או, בצמצום בשיעור, אנו מקבלים:

כעת שתי משימות לשליטה עצמית:

1. בנה את המשוואה של מישור העובר בשלוש נקודות:

תשובות:

הכל תאם? שוב, אם יש קשיים מסוימים, אז העצה שלי היא כזו: קח שלוש נקודות מהראש שלך (ברמת סבירות גבוהה שהן לא ישכבו על קו ישר אחד), בנה עליהן מטוס. ואז בדוק את עצמך באינטרנט. למשל באתר:

עם זאת, בעזרת דטרמיננטים, נבנה לא רק את משוואת המישור. זכור, אמרתי לך שעבור וקטורים, לא רק תוצר הנקודה מוגדר. יש גם וקטור, כמו גם מוצר מעורב. ואם המכפלה הסקלרית של שני וקטורים תהיה מספר, אז המכפלה הווקטורית של שני וקטורים תהיה וקטור, והווקטור הזה יהיה מאונך לאלו הנתונים:

יתר על כן, המודולוס שלו יהיה שווה לשטח המקבילית הבנויה על הוקטורים ו. נצטרך את הווקטור הזה כדי לחשב את המרחק מנקודה לישר. כיצד נוכל לחשב את מכפלת הצלב של וקטורים ואם ניתנות הקואורדינטות שלהם? הקובע של המסדר השלישי שוב בא לעזרתנו. עם זאת, לפני שאעבור לאלגוריתם לחישוב תוצר הצלב, אני צריך לעשות סטייה לירית קטנה.

סטייה זו נוגעת לוקטורי הבסיס.

באופן סכמטי הם מוצגים באיור:

למה אתה חושב שהם נקראים בסיסיים? העובדה היא :

או בתמונה:

התוקף של נוסחה זו ברור, כי:

מוצר וקטור

עכשיו אני יכול להתחיל להציג את המוצר המוצלב:

המכפלה הווקטורית של שני וקטורים היא וקטור שמחושב לפי הכלל הבא:

כעת ניתן כמה דוגמאות לחישוב המכפלה הצולבת:

דוגמה 1: מצא את המכפלה הצולבת של וקטורים:

פתרון: אני קובע:

ואני מחשב את זה:

כעת, מכתיבה דרך וקטורי בסיס, אחזור לסימון הווקטור הרגיל:

לכן:

עכשיו תנסה.

מוּכָן? אנחנו בודקים:

ובאופן מסורתי שניים משימות לשליטה:

1. מצא את מכפלת הצלב של הוקטורים הבאים:
2. מצא את מכפלת הצלב של הוקטורים הבאים:

תשובות:

מכפלה מעורבת של שלושה וקטורים

הבנייה האחרונה שאני צריך היא המכפלה המעורבת של שלושה וקטורים. זה, כמו סקלאר, הוא מספר. ישנן שתי דרכים לחשב זאת. - דרך הקובע, - דרך המוצר המעורב.

כלומר, נניח שיש לנו שלושה וקטורים:

לאחר מכן ניתן לחשב את המכפלה המעורבת של שלושה וקטורים, המסומנים ב:

1. - כלומר, המכפלה המעורבת היא המכפלה הסקלרית של וקטור והמכפלה הווקטורית של שני וקטורים אחרים

לדוגמה, המכפלה המעורבת של שלושה וקטורים היא:

נסו לחשב זאת בעצמכם באמצעות התוצר הווקטורי וודאו שהתוצאות תואמות!

ושוב - שתי דוגמאות להחלטה עצמאית:

תשובות:

בחירת מערכת קואורדינטות

ובכן, כעת יש לנו את כל הבסיס הדרוש לידע כדי לפתור בעיות סטריאומטריות מורכבות בגיאומטריה. עם זאת, לפני שנמשיך ישירות אל הדוגמאות והאלגוריתמים לפתרון אותם, אני מאמין שיהיה שימושי להתעכב על השאלה הבאה: איך בדיוק בחר מערכת קואורדינטות עבור דמות מסוימת.הרי הבחירה במיקום היחסי של מערכת הקואורדינטות והדמות במרחב היא שתקבע בסופו של דבר עד כמה יהיו החישובים מסורבלים.

אני מזכיר לך שבסעיף זה אנו שוקלים את הצורות הבאות:

1. קוביד
2. פריזמה ישרה (משולשת, משושה...)
3. פירמידה (משולש, מרובע)
4. טטרהדרון (זהה לפירמידה משולשת)

עבור קובייה או קובייה, אני ממליץ על המבנה הבא:

כלומר, אני אמקם את הדמות "בפינה". הקובייה והקופסה הם דמויות טובות מאוד. עבורם, אתה תמיד יכול למצוא בקלות את הקואורדינטות של הקודקודים שלו. לדוגמה, אם (כפי שמוצג בתמונה)

אז קואורדינטות הקודקוד הן:

כמובן, אינך צריך לזכור זאת, אך רצוי לזכור כיצד למקם קובייה או קופסה מלבנית.

פריזמה ישרה

פריזמה היא דמות מזיקה יותר. אתה יכול לסדר אותו בחלל בדרכים שונות. עם זאת, אני חושב שהאופציה הבאה היא הטובה ביותר:

מנסרה משולשת:

כלומר, שמנו את אחת מצלעות המשולש כולה על הציר, ואחד הקודקודים חופף למקור.

פריזמה משושה:

כלומר, אחד הקודקודים חופף למקור, ואחד הצדדים שוכן על הציר.

פירמידה מרובעת ומשושה:

מצב דומה לקובייה: אנו משלבים שתי צלעות של הבסיס עם צירי הקואורדינטות, אנו משלבים את אחד הקודקודים עם המוצא. הקושי הקטן היחיד יהיה לחשב את הקואורדינטות של הנקודה.

עבור פירמידה משושה - זהה לפריזמה משושה. המשימה העיקרית תהיה שוב במציאת הקואורדינטות של הקודקוד.

טטרהדרון (פירמידה משולשת)

המצב דומה מאוד לזה שנתתי לפריזמה המשולשת: קודקוד אחד חופף למקור, צד אחד שוכן על ציר הקואורדינטות.

ובכן, עכשיו אתה ואני סוף סוף קרובים להתחיל לפתור בעיות. ממה שאמרתי ממש בתחילת המאמר, אתה יכול להסיק את המסקנה הבאה: רוב בעיות C2 מתחלקות ל-2 קטגוריות: בעיות לזווית ובעיות למרחק. ראשית, נשקול בעיות למציאת זווית. הם, בתורם, מחולקים לקטגוריות הבאות (ככל שהמורכבות גדלה):

בעיות במציאת פינות

1. מציאת הזווית בין שני קווים
2. מציאת הזווית בין שני מישורים

הבה נשקול את הבעיות הללו ברצף: הבה נתחיל במציאת הזווית בין שני קווים ישרים. יאללה, תזכרו, האם אתה ואני פתרנו דוגמאות דומות בעבר? אתה זוכר, כי כבר היה לנו משהו דומה... חיפשנו זווית בין שני וקטורים. אני מזכיר לך, אם ניתנים שני וקטורים: ואז הזווית ביניהם נמצאת מהיחס:

כעת יש לנו מטרה - מציאת הזווית בין שני קווים ישרים. נעבור ל"תמונה השטוחה":

כמה זוויות נקבל כששני קווים מצטלבים? כבר דברים. נכון, רק שניים מהם אינם שווים, בעוד שאחרים אנכיים להם (ולכן חופפים להם). אז איזו זווית עלינו לשקול את הזווית בין שני קווים ישרים: או? הנה הכלל הוא: הזווית בין שני קווים ישרים היא תמיד לא יותר ממעלות. כלומר, משתי זוויות, תמיד נבחר את הזווית עם מידת המעלה הקטנה ביותר. כלומר, בתמונה זו הזווית בין שני הקווים שווה. כדי לא להתעסק בכל פעם במציאת הזוויות הקטנה מבין שתי, מתמטיקאים ערמומיים הציעו להשתמש במודול. לפיכך, הזווית בין שני קווים ישרים נקבעת על ידי הנוסחה:

לך, כקורא קשוב, הייתה צריכה להיות שאלה: מאיפה, בעצם, אנחנו מקבלים את המספרים האלה שאנחנו צריכים כדי לחשב את הקוסינוס של זווית? תשובה: ניקח אותם מקוקטורי הכיוון של הקווים! לפיכך, האלגוריתם למציאת הזווית בין שני קווים הוא כדלקמן:

1. אנו מיישמים נוסחה 1.

או ביתר פירוט:

1. אנו מחפשים את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של הישר הראשון
2. אנו מחפשים את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של הישר השני
3. חשב את מודול התוצר הסקלרי שלהם
4. אנו מחפשים את אורך הווקטור הראשון
5. אנו מחפשים את אורך הווקטור השני
6. הכפל את התוצאות של נקודה 4 בתוצאות של נקודה 5
7. נחלק את התוצאה של נקודה 3 בתוצאה של נקודה 6. נקבל את הקוסינוס של הזווית בין הקווים
8. אם תוצאה זו מאפשרת לנו לחשב את הזווית במדויק, נחפש אותה
9. אחרת, אנו כותבים דרך ה-arccosine

ובכן, עכשיו זה הזמן לעבור למשימות: אני אדגים את הפתרון של שתי הראשונות בפירוט, אציג בקצרה את הפתרון של עוד אחת, ואתן תשובות רק לשתי המשימות האחרונות, אתם חייבים עשה את כל החישובים עבורם בעצמך.

משימות:

1. ב-tet-ra-ed-re הימני, מצא-di-te את הזווית בין you-so-that tet-ra-ed-ra לבין הצד me-di-a-noy bo-ko-how.

2. בשש הפחם-פי-רא-מי-דה קדימה ימינה, המאה-רו-נה-אוס-נו-וניה שוות איכשהו, והצלעות הצדדיות שוות, מצא את הזווית בין הישר קווים ו.

3. האורכים של כל הקצוות של הארבעה-יו-רעך-פחם-נוי פי-רא-מי-די שווים זה לזה. מצא את הזווית בין הקווים הישרים ואם מ-re-zok - you-so-that נתון pi-ra-mi-dy, הנקודה היא se-re-di-על הצלע הבו-קו-th שלה.

4. על קצה הקובייה מ-me-che-לנקודה כך מצא-די-te את הזווית בין הקווים הישרים ל-

5. נקודה - se-re-di-על הקצוות של הקובייה Nai-di-te את הזווית בין הקווים הישרים ו.

זה לא מקרי שהצבתי את המשימות בסדר הזה. בעוד שעדיין לא הספקת להתחיל לנווט בשיטת הקואורדינטות, אני בעצמי אנתח את הדמויות ה"בעייתיות" ביותר, ואשאיר לך להתמודד עם הקובייה הפשוטה ביותר! לאט לאט צריך ללמוד איך לעבוד עם כל הדמויות, אני אגדיל את מורכבות המשימות מנושא לנושא.

בואו נתחיל לפתור בעיות:

1. צייר טטרהדרון, הנח אותו במערכת הקואורדינטות כפי שהצעתי קודם. מכיוון שהטטרהדרון רגיל, אז כל פניו (כולל הבסיס) הם משולשים רגילים. מכיוון שלא ניתן לנו את אורך הצלע, אני יכול לקחת אותו שווה. אני חושב שאתה מבין שהזווית לא באמת תהיה תלויה בכמה הטטרהדרון שלנו "יימתח"?. אצייר גם את הגובה והחציון בטטרהדרון. על הדרך אצייר את הבסיס שלו (זה גם יועיל לנו).

אני צריך למצוא את הזווית בין לבין. מה אנחנו יודעים? אנחנו יודעים רק את הקואורדינטה של ​​הנקודה. אז, אנחנו צריכים למצוא יותר קואורדינטות של הנקודות. כעת אנו חושבים: נקודה היא נקודת חיתוך של גבהים (או חצויים או חציונים) של משולש. נקודה היא נקודה מוגבהת. הנקודה היא נקודת האמצע של הקטע. ואז לבסוף אנחנו צריכים למצוא: את הקואורדינטות של הנקודות:.

נתחיל מהפשוט ביותר: קואורדינטות נקודות. תסתכל על האיור: ברור שהיישום של נקודה שווה לאפס (הנקודה שוכנת על מישור). הסמין שלו שווה (מכיוון שהוא החציון). קשה יותר למצוא את האבשיסה שלו. עם זאת, זה נעשה בקלות על בסיס משפט פיתגורס: שקול משולש. התחתון שלו שווה, ואחת מהרגליים שווה אז:

לבסוף יש לנו:

עכשיו בואו נמצא את הקואורדינטות של הנקודה. ברור שהיישום שלו שוב שווה לאפס, והאורדינאטה שלו זהה לזה של נקודה, כלומר. בואו נמצא את האבשיסה שלו. זה נעשה בצורה טריוויאלית למדי אם זוכרים את זה הגבהים של משולש שווה צלעות מחולקים בנקודת החיתוך בפרופורציהסופרים מלמעלה. מאז:, אז האבססיס הרצוי של הנקודה, שווה לאורך הקטע, שווה ל:. לפיכך, הקואורדינטות של הנקודה הן:

בוא נמצא את הקואורדינטות של הנקודה. ברור שהאבשיסה והאורד שלה חופפים לאבשיסה והאורדינטה של ​​הנקודה. והאפליקציה שווה לאורך הקטע. - זו אחת מרגלי המשולש. התחתון של משולש הוא קטע - רגל. מחפשים אותו מהסיבות שהדגשתי בהדגשה:

הנקודה היא נקודת האמצע של הקטע. אז עלינו לזכור את הנוסחה של הקואורדינטות של אמצע הקטע:

זהו, כעת נוכל לחפש את הקואורדינטות של וקטורי הכיוון:

ובכן, הכל מוכן: אנו מחליפים את כל הנתונים בנוסחה:

לכן,

תשובה:

אתה לא צריך לפחד מתשובות "איומות" כאלה: לבעיות C2 זה נוהג נפוץ. אני מעדיף להיות מופתע מהתשובה ה"יפה" בחלק הזה. כמו כן, כפי שציינת, למעשה לא נעזרתי בשום דבר מלבד משפט פיתגורס ותכונת הגבהים של משולש שווה צלעות. כלומר, כדי לפתור את הבעיה הסטריאומטרית, השתמשתי במינימום של סטריאומטריה. הרווח בכך "נכבה" בחלקו על ידי חישובים מסורבלים למדי. אבל הם די אלגוריתמיים!

2. צייר פירמידה משושה רגילה יחד עם מערכת הקואורדינטות, כמו גם הבסיס שלה:

אנחנו צריכים למצוא את הזווית בין הקווים ו. לפיכך, המשימה שלנו מצטמצמת למציאת הקואורדינטות של הנקודות: . נמצא את הקואורדינטות של שלוש האחרונות מהציור הקטן, ונמצא את קואורדינטת הקודקוד דרך קואורדינטת הנקודה. הרבה עבודה, אבל צריך להתחיל!

א) קואורדינטה: ברור שהיישום והאורדינטה שלה הם אפס. בוא נמצא את האבשיסה. כדי לעשות זאת, שקול משולש ישר זווית. למרבה הצער, בו אנו מכירים רק את היפוטנוזה, ששווה ל. ננסה למצוא את הרגל (כי ברור שכפול אורך הרגל ייתן לנו את האבשיסה של הנקודה). איך אנחנו יכולים לחפש את זה? בואו נזכור איזו דמות יש לנו בבסיס הפירמידה? זהו משושה רגיל. מה זה אומר? זה אומר שכל הצלעות וכל הזוויות שוות. אנחנו צריכים למצוא פינה אחת כזו. רעיונות כלשהם? יש הרבה רעיונות, אבל יש נוסחה:

סכום הזוויות של n-גון רגיל הוא .

לפיכך, סכום הזוויות של משושה רגיל הוא מעלות. אז כל אחת מהזוויות שווה ל:

בואו נסתכל שוב על התמונה. ברור שהקטע הוא חציו של הזווית. ואז הזווית היא מעלות. לאחר מכן:

אז איפה.

אז יש לזה קואורדינטות

ב) כעת נוכל למצוא בקלות את הקואורדינטה של ​​הנקודה: .

ג) מצא את הקואורדינטות של הנקודה. מכיוון שהאבססיס שלו חופף לאורך הקטע, הוא שווה. מציאת הסמין היא גם לא מאוד קשה: אם נחבר את הנקודות ווסמן את נקודת החיתוך של הישר, נניח עבור. (עשה זאת בעצמך בנייה פשוטה). אז לפיכך, הסמין של נקודה B שווה לסכום אורכי הקטעים. בואו נסתכל שוב על המשולש. לאחר מכן

ואז מאז ועד אז לנקודה יש ​​קואורדינטות

ד) כעת מצא את הקואורדינטות של הנקודה. שקול מלבן והוכיח כי לפיכך, הקואורדינטות של הנקודה הן:

ה) נותר למצוא את הקואורדינטות של הקודקוד. ברור שהאבשיסה והאורד שלה חופפים לאבשיסה והאורדינטה של ​​הנקודה. בוא נמצא אפליקציה. מאז. שקול משולש ישר זווית. לפי מצב הבעיה, הקצה לרוחב. זה התחתון של המשולש שלי. ואז גובה הפירמידה הוא הרגל.

אז לנקודה יש ​​קואורדינטות:

זהו, יש לי את הקואורדינטות של כל הנקודות שמעניין אותי. אני מחפש את הקואורדינטות של הווקטורים המכוונים של הקווים הישרים:

אנו מחפשים את הזווית בין הוקטורים הללו:

תשובה:

שוב, כשפתרתי את הבעיה הזו, לא השתמשתי באף תחבולה מתוחכמת, מלבד הנוסחה של סכום הזוויות של n-גון רגיל, כמו גם הגדרת הקוסינוס והסינוס של משולש ישר זווית.

3. מכיוון ששוב לא ניתן לנו את אורכי הקצוות בפירמידה, אראה אותם כשווים לאחד. לפיכך, מכיוון שכל הקצוות, ולא רק הצלעות, שווים זה לזה, אז בבסיס הפירמידה ואני שוכן ריבוע, ופני הצלעות הם משולשים רגילים. בואו נתאר פירמידה כזו, כמו גם את הבסיס שלה על מישור, מסמן את כל הנתונים הניתנים בטקסט של הבעיה:

אנחנו מחפשים את הזווית בין לבין. אעשה חישובים קצרים מאוד כאשר אני מחפש את הקואורדינטות של הנקודות. תצטרך "לפענח" אותם:

ב) - אמצע הקטע. הקואורדינטות שלה:

ג) אמצא את אורך הקטע באמצעות משפט פיתגורס במשולש. אמצא לפי משפט פיתגורס במשולש.

קואורדינטות:

ד) - אמצע הקטע. הקואורדינטות שלו הן

ה) קואורדינטות וקטוריות

ו) קואורדינטות וקטוריות

ז) מחפשים זווית:

הקובייה היא הדמות הפשוטה ביותר. אני בטוח שאתה יכול להבין את זה לבד. התשובות לבעיות 4 ו-5 הן כדלקמן:

מציאת הזווית בין קו למישור

ובכן, הזמן של חידות פשוטות נגמר! כעת הדוגמאות יהיו קשות עוד יותר. כדי למצוא את הזווית בין ישר למישור, נמשיך כך:

1. בעזרת שלוש נקודות, אנו בונים את משוואת המישור
   ,
   באמצעות קביעה מסדר שלישי.
2. לפי שתי נקודות אנו מחפשים את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של הישר:
3. אנו מיישמים את הנוסחה כדי לחשב את הזווית בין ישר למישור:

כפי שאתה יכול לראות, נוסחה זו דומה מאוד לזו שבה השתמשנו כדי למצוא את הזוויות בין שני קווים. המבנה של צד ימין זהה, ובצד שמאל אנחנו מחפשים עכשיו סינוס, ולא קוסינוס, כמו קודם. ובכן, נוספה פעולה מגעילה אחת - החיפוש אחר משוואת המטוס.

בואו לא נגנז פתרון דוגמאות:

1. Os-no-va-ni-em straight-my prize-we are-la-et-xia שווים-אבל-עני-ren-ny triangle-nick you-with-the-prize-אנחנו שווים. מצא את הזווית בין הקו הישר למישור

2. ב-pa-ral-le-le-pi-pe-de מלבני מהמערב Nai-di-te הזווית בין הקו הישר למישור

3. בפריזמת שש הפחם הימנית, כל הקצוות שווים. מצא את הזווית בין הקו הישר למישור.

4. במשולש הימני pi-ra-mi-de עם ה-os-but-va-ni-em ממערב זווית Nai-di-te, מישור ob-ra-zo-van-ny של ה-os. -נו-ו-נייה וישר-מי, עוברים דרך ה-se-re-di-na של הצלעות ו

5. אורכי כל הקצוות של pi-ra-mi-dy מרובע הימני עם החלק העליון שווים זה לזה. מצא את הזווית בין הקו הישר למישור, אם הנקודה היא se-re-di-בקצה bo-ko-in-th של pi-ra-mi-dy.

שוב, אני אפתור את שתי הבעיות הראשונות בפירוט, השלישית - בקצרה, ואת שתי האחרונות אני משאיר לך לפתור בעצמך. בנוסף, כבר היית צריך להתמודד עם פירמידות משולשות ומרובעות, אבל עדיין לא עם מנסרות.

פתרונות:

1. צייר פריזמה, כמו גם את הבסיס שלה. נשלב אותו עם מערכת הקואורדינטות ונסמן את כל הנתונים המופיעים בהצהרת הבעיה:

אני מתנצל על אי שמירה על פרופורציות, אבל על פתרון הבעיה זה, למעשה, לא כל כך חשוב. המטוס הוא רק ה"קיר האחורי" של הפריזמה שלי. זה מספיק פשוט לנחש שלמשוואה של מישור כזה יש את הצורה:

עם זאת, ניתן להציג זאת גם ישירות:

אנו בוחרים שלוש נקודות שרירותיות במישור הזה: למשל, .

בואו נעשה את המשוואה של המישור:

תרגיל בשבילך: חשב את הקובע הזה בעצמך. האם הצלחת? אז למשוואת המישור יש את הצורה:

או בפשטות

לכן,

כדי לפתור את הדוגמה, אני צריך למצוא את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של הישר. מכיוון שהנקודה חופפת למקור, הקואורדינטות של הווקטור פשוט יחפכו עם הקואורדינטות של הנקודה. לשם כך, נמצא תחילה את הקואורדינטות של הנקודה.

כדי לעשות זאת, שקול משולש. נצייר גובה (הוא גם חציון וחוצה) מלמעלה. מאז, אז הסמין של הנקודה שווה. על מנת למצוא את האבססיס של נקודה זו, עלינו לחשב את אורך הקטע. לפי משפט פיתגורס יש לנו:

אז לנקודה יש ​​קואורדינטות:

נקודה היא "מוגבה" על נקודה:

ואז הקואורדינטות של הווקטור:

תשובה:

כפי שאתה יכול לראות, אין שום דבר קשה ביסודו בפתרון בעיות כאלה. למעשה, ה"ישירות" של דמות כמו פריזמה מפשטת את התהליך קצת יותר. כעת נעבור לדוגמא הבאה:

2. אנו מציירים מקבילית, מציירים בו מישור וקו ישר, וגם מציירים בנפרד את הבסיס התחתון שלו:

ראשית, נמצא את משוואת המישור: הקואורדינטות של שלוש הנקודות המונחות בו:

(שתי הקואורדינטות הראשונות מתקבלות בצורה ברורה, וניתן למצוא בקלות את הקואורדינטה האחרונה מהתמונה מהנקודה). לאחר מכן נרכיב את משוואת המישור:

אנו מחשבים:

אנחנו מחפשים את הקואורדינטות של וקטור הכיוון: ברור שהקואורדינטות שלו חופפות את הקואורדינטות של הנקודה, לא? איך למצוא קואורדינטות? אלו הן הקואורדינטות של הנקודה, מורמות לאורך ציר היישום באחת! . אז אנחנו מחפשים את הזווית הרצויה:

תשובה:

3. צייר פירמידה משושה רגילה, ולאחר מכן צייר בתוכה מישור וקו ישר.

כאן זה אפילו בעייתי לצייר מישור, שלא לדבר על פתרון הבעיה הזו, אבל לשיטת הקואורדינטות לא אכפת! היתרון העיקרי שלו הוא הרבגוניות שלו!

המטוס עובר בשלוש נקודות:. אנחנו מחפשים את הקואורדינטות שלהם:

1) . הצג את הקואורדינטות עבור שתי הנקודות האחרונות בעצמך. תצטרך לפתור את הבעיה עם פירמידה משושה בשביל זה!

2) נבנה את משוואת המישור:

אנו מחפשים את הקואורדינטות של הווקטור: . (ראה שוב בעיית פירמידה משולשת!)

3) אנחנו מחפשים זווית:

תשובה:

כפי שאתה יכול לראות, אין שום דבר קשה באופן על טבעי במשימות האלה. אתה רק צריך להיות זהיר מאוד עם השורשים. לשתי הבעיות האחרונות אתן רק תשובות:

כפי שאתה יכול לראות, הטכניקה לפתרון בעיות זהה בכל מקום: המשימה העיקרית היא למצוא את הקואורדינטות של הקודקודים ולהחליף אותם בכמה נוסחאות. נותר לנו לשקול עוד סוג אחד של בעיות לחישוב זוויות, כלומר:

חישוב זוויות בין שני מישורים

אלגוריתם הפתרון יהיה כדלקמן:

1. עבור שלוש נקודות אנו מחפשים את המשוואה של המישור הראשון:
2. עבור שלוש הנקודות האחרות, אנו מחפשים את המשוואה של המישור השני:
3. אנו מיישמים את הנוסחה:

כפי שניתן לראות, הנוסחה דומה מאוד לשתי הקודמות, בעזרתן חיפשנו זוויות בין ישרים ובין ישר למישור. אז לזכור את זה לא יהיה לך קשה. בואו נקפוץ ישר לבעיה:

1. מאה-רו-על בסיס הפריזמה המשולשת הימנית שווה, והדיאלוג של פני הצד שווה. מצא את הזווית בין המטוס למישור בסיס הפרס.

2. ב-4you-re-coal-noy pi-ra-mi-de ימינה קדימה, כל הקצוות של מישהו שווים, מצא את הסינוס של הזווית בין המישור למישור קו-סטו, העובר דרכו הנקודה של פר-פן-די-קו-ליאר-אבל ישר-מי.

3. בפריזמה רגילה של ארבעה פחמים, צלעות ה-os-no-va-nia שוות, וקצוות הצד שווים. על הקצה מ-me-che-to the point כך. מצא את הזווית בין המישורים ו

4. בפריזמה המרובעת הימנית, צלעות הבסיסים שוות, וקצוות הצד שווים. על הקצה מ-me-che-לנקודה כך מצא את הזווית בין המישורים ו.

5. בקובייה, מצא את הקו-סי-נוס של הזווית בין המישורים ו

פתרונות לבעיות:

1. אני מצייר פריזמה משולשת רגילה (בבסיס - משולש שווה צלעות) ומסמן עליה את המישורים המופיעים במצב הבעיה:

אנחנו צריכים למצוא את המשוואות של שני מישורים: משוואת הבסיס מתקבלת באופן טריוויאלי: אתה יכול לעשות את הקובע המתאים לשלוש נקודות, אבל אני אעשה את המשוואה מיד:

כעת נמצא את המשוואה לנקודה יש ​​קואורדינטות הנקודה - מאחר - החציון וגובה המשולש, קל למצוא לפי משפט פיתגורס במשולש. אז לנקודה יש ​​קואורדינטות: מצא את היישום של הנקודה כדי לעשות זאת, שקול משולש ישר זווית

לאחר מכן נקבל את הקואורדינטות הבאות: אנו מרכיבים את משוואת המישור.

אנו מחשבים את הזווית בין המישורים:

תשובה:

2. יצירת ציור:

הדבר הקשה ביותר הוא להבין איזה סוג של מישור מסתורי זה, העובר דרך נקודה בניצב. ובכן, העיקר מה זה? העיקר תשומת לב! אכן, הקו מאונך. הקו הוא גם מאונך. אז המטוס העובר דרך שני הקווים הללו יהיה מאונך לקו, ודרך אגב, יעבור דרך הנקודה. מישור זה עובר גם בחלק העליון של הפירמידה. ואז המטוס הרצוי - והמטוס כבר ניתן לנו. אנחנו מחפשים קואורדינטות של נקודות.

אנו מוצאים את הקואורדינטה של ​​הנקודה דרך הנקודה. משרטוט קטן קל להסיק שהקואורדינטות של הנקודה יהיו כדלקמן: מה נותר למצוא כעת כדי למצוא את הקואורדינטות של ראש הפירמידה? עדיין צריך לחשב את הגובה שלו. זה נעשה באמצעות אותו משפט פיתגורס: ראשית, הוכיחו את זה (טריוויאלי ממשולשים קטנים היוצרים ריבוע בבסיס). מאז לפי תנאי, יש לנו:

עכשיו הכל מוכן: קואורדינטות קודקוד:

אנו מרכיבים את משוואת המישור:

אתה כבר מומחה בחישוב דטרמיננטים. בקלות תקבל:

או אחרת (אם נכפיל את שני החלקים בשורש של שניים)

עכשיו בואו נמצא את משוואת המישור:

(לא שכחת איך אנחנו מקבלים את משוואת המטוס, נכון? אם אתה לא מבין מאיפה הגיע המינוס הזה, אז תחזור להגדרה של משוואת המטוס! פשוט תמיד התברר שלי המטוס היה שייך למקור!)

אנו מחשבים את הקובע:

(ייתכן שתבחין שמשוואת המישור עולה בקנה אחד עם משוואת הישר העובר דרך הנקודות ו! תחשוב למה!)

כעת אנו מחשבים את הזווית:

אנחנו צריכים למצוא את הסינוס:

תשובה:

3. שאלה מסובכת: מהי פריזמה מלבנית, מה אתה חושב? זה פשוט מקבילה ידועה לך! ציור מיד! אתה אפילו לא יכול לתאר בנפרד את הבסיס, אין לו שימוש מועט כאן:

המישור, כפי שציינו קודם לכן, כתוב כמשוואה:

עכשיו אנחנו עושים מטוס

אנו מרכיבים מיד את משוואת המישור:

מחפש זווית

עכשיו התשובות לשתי הבעיות האחרונות:

ובכן, עכשיו זה הזמן לקחת הפסקה, כי אתה ואני נהדרים ועשינו עבודה נהדרת!

קואורדינטות ווקטורים. שלב מתקדם

במאמר זה נדון איתך בסוג נוסף של בעיות שניתן לפתור בשיטת הקואורדינטות: בעיות מרחק. כלומר, נשקול את המקרים הבאים:

1. חישוב המרחק בין קווי הטיה.

הזמנתי את המשימות הנתונות ככל שהמורכבות שלהן עולה. הכי קל זה למצוא מרחק נקודה למטוסוהחלק הכי קשה זה למצוא מרחק בין קווים מצטלבים. אם כי, כמובן, שום דבר אינו בלתי אפשרי! בואו לא נדחה ונמשיך מיד לבחינת הסוג הראשון של בעיות:

חישוב המרחק מנקודה למישור

מה אנחנו צריכים כדי לפתור את הבעיה הזו?

1. קואורדינטות נקודות

לכן, ברגע שנקבל את כל הנתונים הדרושים, אנו מיישמים את הנוסחה:

אתם אמורים כבר לדעת איך בונים את משוואת המישור מהבעיות הקודמות שניתחתי בחלק האחרון. בואו ניגש לעניינים מיד. הסכימה היא כדלקמן: 1, 2 - אני עוזר לך להחליט, ובפירוט מסוים, 3, 4 - רק התשובה, אתה מקבל את ההחלטה בעצמך ומשווה. התחיל!

משימות:

1. נתנו קובייה. אורך הקצה של הקוביה הוא Find-di-te מרחק מ-se-re-di-ny מחתך לשטוח

2. בהינתן הימין-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe edge מאה-ro-on the os-no-va-nia שווה. מצא-די-את המרחקים האלה מנקודה למישור שבו - se-re-di-על הקצוות.

3. במשולש הימני pi-ra-mi-de עם os-but-va-ni-em, הקצה השני שווה, ומאה-ro-on os-no-va-niya שווה. מצא את המרחקים האלה מהחלק העליון למטוס.

4. בפריזמת שש הפחם הימנית, כל הקצוות שווים. מצא את המרחקים האלה מנקודה למישור.

פתרונות:

1. צייר קובייה עם קצוות בודדים, בנה קטע ומישור, סמן את אמצע הקטע באות

.

ראשית, נתחיל עם אחד קל: למצוא את הקואורדינטות של נקודה. מאז (זכור את הקואורדינטות של אמצע הקטע!)

כעת אנו מרכיבים את משוואת המישור על שלוש נקודות

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

עכשיו אני יכול להתחיל למצוא את המרחק:

2. מתחילים שוב עם ציור, עליו נסמן את כל הנתונים!

עבור פירמידה, זה יהיה שימושי לצייר את הבסיס שלה בנפרד.

אפילו העובדה שאני מצייר כמו כפת עוף לא תמנע מאיתנו לפתור בקלות את הבעיה הזו!

עכשיו קל למצוא את הקואורדינטות של נקודה

מאז הקואורדינטות של הנקודה

2. מכיוון שהקואורדינטות של הנקודה a הן אמצע הקטע, אז

נוכל למצוא בקלות את הקואורדינטות של שתי נקודות נוספות במישור, אנו מרכיבים את משוואת המישור ומפשטים אותה:

\[\left| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(מערך)) \right|) \right| = 0\]

מכיוון שלנקודה יש ​​קואורדינטות: , אז אנו מחשבים את המרחק:

תשובה (נדיר מאוד!):

נו, הבנת? נראה לי שהכל כאן טכני בדיוק כמו בדוגמאות שחשבנו איתך בחלק הקודם. אז אני בטוח שאם שלטת בחומר הזה, אז לא יהיה לך קשה לפתור את שתי הבעיות הנותרות. אני רק אתן לך את התשובות:

חישוב המרחק מקו למטוס

למעשה, אין כאן שום דבר חדש. כיצד ניתן למקם קו ומישור ביחס זה לזה? יש להם את כל האפשרויות: להצטלב, או קו ישר מקביל למישור. מהו לדעתך המרחק מהקו למישור שבו נחתך הישר הנתון? נראה לי שברור שמרחק כזה שווה לאפס. מקרה לא מעניין.

המקרה השני מסובך יותר: כאן המרחק כבר לא אפס. עם זאת, מכיוון שהקו מקביל למישור, אז כל נקודה של הישר נמצאת במרחק שווה מהמישור הזה:

לכן:

וזה אומר שהמשימה שלי הצטמצמה לקודמתה: אנחנו מחפשים את הקואורדינטות של כל נקודה על הקו, אנחנו מחפשים את משוואת המישור, אנחנו מחשבים את המרחק מהנקודה למישור. למעשה, משימות כאלה בבחינה הן נדירות ביותר. הצלחתי למצוא רק בעיה אחת, והנתונים בה היו כאלה ששיטת הקואורדינטות לא ממש ישימה עליה!

כעת נעבור לסוג אחר, הרבה יותר חשוב של בעיות:

חישוב המרחק של נקודה לקו

מה נצטרך?

1. הקואורדינטות של הנקודה ממנה אנו מחפשים את המרחק:

2. קואורדינטות של כל נקודה השוכנת על קו ישר

3. קואורדינטות וקטוריות של הקו הישר

באיזו נוסחה אנו משתמשים?

מה אומר לכם המכנה של השבר הזה ולכן זה צריך להיות ברור: זהו אורך הווקטור המכוון של הקו הישר. הנה מונה מסובך מאוד! משמעות הביטוי היא המודול (אורך) המכפלה הווקטורית של הוקטורים וכיצד לחשב את המכפלה הווקטורית, למדנו בחלק הקודם של העבודה. רענן את הידע שלך, זה יהיה מאוד שימושי עבורנו עכשיו!

לפיכך, האלגוריתם לפתרון בעיות יהיה כדלקמן:

1. אנו מחפשים את הקואורדינטות של הנקודה ממנה אנו מחפשים את המרחק:

2. אנחנו מחפשים את הקואורדינטות של כל נקודה על הקו שאליה אנחנו מחפשים את המרחק:

3. בניית וקטור

4. אנו בונים את וקטור הכיוון של קו ישר

5. חשב את המוצר הצלב

6. אנו מחפשים את אורך הווקטור המתקבל:

7. חשב את המרחק:

יש לנו הרבה עבודה, והדוגמאות יהיו די מורכבות! אז עכשיו מקד את כל תשומת הלב שלך!

1. דנה היא פי-רה-מי-דה משולש ימני עם קודקוד. מאה-רו-על ה-os-no-va-niya pi-ra-mi-dy שווה, you-so-ta שווה. מצא את המרחקים האלה מה-se-re-di-ny של הקצה בו-ko-th ועד לקו הישר, כאשר הנקודות והן הם ה-se-re-di-ny של הצלעות ו-co-from-vet -סטבן-אבל.

2. אורכי הצלעות והזווית הישרה-no-para-ral-le-le-pi-pe-da שווים, בהתאמה, ומרחק Find-di-te מ-top-shi-ny עד ישר-my

3. בפריזמת שישה פחם הימנית, כל הקצוות של נחיל שווים מרחק מוצא-די-אלה מנקודה לישר.

פתרונות:

1. אנו יוצרים ציור מסודר, עליו אנו מסמנים את כל הנתונים:

יש לנו הרבה עבודה בשבילך! ראשית ברצוני לתאר במילים מה נחפש ובאיזה סדר:

1. קואורדינטות של נקודות ו

2. קואורדינטות נקודות

3. קואורדינטות של נקודות ו

4. קואורדינטות של וקטורים ו

5. תוצר הצלב שלהם

6. אורך וקטור

7. אורך התוצר הווקטורי

8. מרחק מ-to

ובכן, יש לנו הרבה עבודה לעשות! בואו להפשיל שרוולים!

1. כדי למצוא את הקואורדינטות של גובה הפירמידה, עלינו לדעת את הקואורדינטות של הנקודה, היישום שלה הוא אפס, והאורדינטה שווה לאבשיסה שלה. לבסוף, קיבלנו את הקואורדינטות:

קואורדינטות נקודות

2. - אמצע הקטע

3. - אמצע הקטע

נקודת אמצע

4. קואורדינטות

קואורדינטות וקטוריות

5. חשב את המכפלה הווקטורית:

6. אורך הווקטור: הדרך הקלה ביותר היא להחליף שהקטע הוא הקו האמצעי של המשולש, כלומר הוא שווה למחצית הבסיס. כך.

7. אנו רואים את אורך התוצר הווקטורי:

8. לבסוף, מצא את המרחק:

פי, זה הכל! בכנות, אני אגיד לך: פתרון בעיה זו בשיטות מסורתיות (באמצעות קונסטרוקציות) יהיה הרבה יותר מהיר. אבל כאן צמצמתי הכל לאלגוריתם מוכן! אני חושב שאלגוריתם הפתרון ברור לך? לכן, אבקש ממך לפתור את שתי הבעיות הנותרות בעצמך. להשוות תשובות?

שוב, אני חוזר: קל יותר (מהיר יותר) לפתור את הבעיות הללו באמצעות קונסטרוקציות, במקום להיעזר בשיטת הקואורדינטות. הדגמתי את דרך הפתרון הזו רק כדי להראות לכם שיטה אוניברסלית שמאפשרת לכם "לא לסיים כלום".

לבסוף, שקול את הסוג האחרון של בעיות:

חישוב המרחק בין קווי הטיה

כאן האלגוריתם לפתרון בעיות יהיה דומה לזה הקודם. מה יש לנו:

3. כל וקטור המחבר בין הנקודות של הקו הראשון והשני:

איך נמצא את המרחק בין הקווים?

הנוסחה היא:

המונה הוא המודול של המכפלה המעורבת (הצגנו אותו בחלק הקודם), והמכנה זהה לנוסחה הקודמת (המודול של המכפלה הווקטורית של הווקטורים המכוונים של הקווים, המרחק ביניהם אנו מחפשים).

אני אזכיר לך את זה

לאחר מכן ניתן לכתוב מחדש את נוסחת המרחק כ:

חלקו את הקובע הזה בדטרמיננט! למרות שלמען האמת, אני לא במצב רוח לבדיחות כאן! הנוסחה הזו, למעשה, מסורבלת מאוד ומובילה לחישובים מסובכים למדי. במקומך, הייתי משתמש בו רק כמוצא אחרון!

בואו ננסה לפתור כמה בעיות באמצעות השיטה לעיל:

1. בפריזמה המשולשת הימנית, כל הקצוות שווים איכשהו, מצא את המרחק בין הקווים הישרים ו.

2. בהינתן פריזמה משולשת בצורת ימין קדימה, כל הקצוות של ה-os-no-va-niya של מישהו שווים ל-Se-che-tion, העוברים דרך הצלע השנייה ו-se-re-di-nu הם. yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie בין סטרייט-we-mi ו

אני מחליט על הראשון, ועל פיו אתה מחליט על השני!

1. אני מצייר פריזמה ומסמן את הקווים ו

קואורדינטות נקודה C: אז

קואורדינטות נקודות

קואורדינטות וקטוריות

קואורדינטות נקודות

קואורדינטות וקטוריות

קואורדינטות וקטוריות

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

אנו רואים את מכפלת הצלב בין הוקטורים ו

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2)))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

כעת נשקול את אורכו:

תשובה:

כעת נסו להשלים בזהירות את המשימה השנייה. התשובה לכך תהיה:.

קואורדינטות ווקטורים. תיאור קצר ונוסחאות בסיסיות

וקטור הוא קטע מכוון. - תחילת הווקטור, - סוף הווקטור.
הווקטור מסומן על ידי או.

ערך מוחלטוקטור - אורך הקטע המייצג את הווקטור. מיועד כ.

קואורדינטות וקטוריות:

,
היכן נמצאים הקצוות של הווקטור \displaystyle a .

סכום הוקטורים: .

המכפלה של וקטורים:

מכפלת נקודה של וקטורים:

המכפלה הסקלרית של וקטורים שווה למכפלת הערכים המוחלטים שלהם ולקוסינוס הזווית שביניהם:

2/3 המאמרים הנותרים זמינים רק לתלמידים שלכם!

הפוך לתלמיד של YouClever,

התכוננו ל-OGE או USE במתמטיקה במחיר של "כוס קפה לחודש",

וקבל גם גישה בלתי מוגבלת לספר הלימוד "YouClever", תוכנית ההדרכה "100gia" (ספר פתרונות), USE ו-OGE לניסיון ללא הגבלה, 6000 משימות עם ניתוח פתרונות ושירותי YouClever ו-100gia אחרים.

זמן קריאה 8 דקות

הפסיכולוגיה והפסיכיאטריה המודרניות אינן מוגבלות עוד לתיאוריות מדעיות קלאסיות. מחלוקות ודיונים על האמת והאובייקטיביות של מושגים פופולריים נמשכים כבר מאות שנים, מחקר פסיכולוגי מתבצע ללא הרף, שמטרתו להגיע לתוצאה האמיתית היחידה. אבל חוץ מזה, זרמים אלטרנטיביים חדשים מופיעים יותר ויותר, תיאוריות ידועות משתנות, תורתו של מוחות העולם של הפסיכולוגיה והפסיכיאטריה עוברת שינוי, כמו הפסיכואנליטיקאי המקצועי זיגמונד פרויד או עמיתו המפורסם הלא פחות קרל גוסטב יונג. במאמר זה נתמקד בדיוק במגמה חדשה שכזו, שעשתה מהפכה של ממש בפסיכולוגיה הרוסית, נקראת פסיכולוגיית וקטור מערכת. תלמדו מה זה, מה הרעיון המרכזי של הכיוון הזה, ותוכלו גם להכיר בפירוט את כל אחד מ-8 הוקטורים המוצגים ואפילו לקבוע באופן עצמאי את סוג האישיות שלכם.

רעיונות של פסיכולוגיה של וקטור מערכת

מלכתחילה, ראוי לומר שפסיכולוגיה של מערכת-וקטור אינה מגמה מקובלת בדרך כלל בחוגים מדעיים מודרניים. כמה חסידים נלהבים במיוחד של רעיונות קלאסיים אפילו קוראים לכיוון הזה "פסאודו-מדע רשת". אבל, כמו כל תיאוריה אחרת, למושג הפסיכולוגי של שמונה וקטורים יש לא רק אפשרות של קיום, הוא אפילו הצליח לרכוש צבא משלו של חסידים. כפי שאמר מייסד תיאוריית וקטור המערכת V.K. Tolkachev:

היקום גדול מספיק ובלתי נדלה, מה שמאפשר למצוא בו אישור לכל תיאוריה. ©

פסיכולוגיית וקטור מערכת לא קמה מאפס. התיאוריות של זיגמונד פרויד נלקחו כבסיס, שעודנו מאוחר יותר על ידי ולדימיר גנזן והושלמו על ידי תלמידו ויקטור טולקצ'וב.

בשנת 1908 ראה את העולם במאמרו של הפסיכואנליטיקאי פרויד "אופי וארוטיקה אנאלית", בו הפסיכואנליטיקאי מגיע למסקנה שתכונות אופי קשורות ישירות לאזורים ארוגניים אנושיים. הפרסום עורר תהודה רחבה, חסידים רבים של הרעיון הפרוידיאני הופיעו. אחד מהם בסוף המאה ה-20 היה ויקטור קונסטנטינוביץ' טולקצ'וב, פסיכולוג מסנט פטרבורג. הוא פיתח טיפולוגיה של דמויות הקשורות לאזורים כמו העיניים, הפה, האף והאוזניים. לפי V. K. Tolkachev, הוא קיבל השראה לפתח ולחדד את התיאוריה של זיגמונד פרויד על ידי הספר "תיאורים מערכתיים בפסיכולוגיה" מאת האקדמאי ולדימיר אלכסנדרוביץ' גנזן.

מקור והתפתחות תורתו של ויקטור טולקצ'וב

V. K. Tolkachev פיתח מושג פסיכולוגי הוליסטי לקביעת סוג האישיות באמצעות וקטורים. בעזרת המושג "וקטור" וניתוח מפורט של 8 טיפוסים מאפיינים, נולדה תיאוריה בשם "פסיכואנליזה יישומית של מערכת-וקטור". במשך יותר מ-30 שנה טולקצ'וב מעביר הדרכות, סמינרים והרצאות שונות בנושא זה. הודות לאחד מתלמידיו הראשונים, מיכאיל בורודיאנסקי, פותח מבחן מיוחד שמעריך את הפוטנציאל האינדיבידואלי שיש לכל אחד מהווקטורים, ומאפשר לקבוע את סוג הדמות האישית ביחס לפסיכולוגיה מערכתית-וקטורית של שמונה וקטורים ( מבחן טולקצ'וב-בורודיאנסקי). כעת ישנם חסידים רבים של המערכת הווקטורית שממשיכים לערוך הדרכות וסמינרים פסיכולוגיים. מאמן האינטרנט המפורסם ביותר בתחום זה הוא יורי ברלן.

מהי מהות הפסיכולוגיה של מערכת וקטור

במהלך התפתחות הפסיכולוגיה כמדע, פותחו טיפולוגיות אישיות רבות ושונות. אלו טיפולוגיות לפי יונג או לפי גנושקין, אריך פרום הציע את הסיווג שלו. פותחו מבחנים מרובים הקובעים את הסוג הפסיכולוגי של אדם, למשל, מבחן Szondi או מבחן 16Personalities הנפוץ. למעשה, V. K. Tolkachev, כמו רבים מקודמיו, הציע גרסה משלו לזיהוי סוג אישיות.

פסיכולוגיית וקטור מערכת אינה ממוקמת כענף של פסיכולוגיה קלאסית או מגמה מסוימת, אלא כמדע נפרד של חקר טיפולוגיה של אישיות. וקטור הוא סימביוזה של איכויות פיזיולוגיות ופסיכולוגיות, כמו, למשל, אופי, מזג, בריאות, הרגלי הפרט ותכונות דומות אחרות. למעשה, הווקטור הוא מרכז ההנאה. הווקטורים קשורים לחור מסוים בגוף האדם, שהוא גם אזור ארוגני. לכל אישיות עשויים להיות מספר וקטורים (מ-1 עד 8, בפועל, המספר הגדול ביותר של וקטורים הקיים הוא המספר 5).

נוכחותו של וקטור קובעת את מספר ומידת השאיפות והצרכים האנושיים למימוש עצמי, שמטרתם להשיג הנאה. חוסר היכולת ליישם את הווקטור הקיים, על פי מפתחי התיאוריה, מוביל לדיכאון ולתחושת חוסר שביעות רצון, מה שלא מאפשר לאדם להגיע להרמוניה פנימית עם ה"אני" שלו.

צעדים וקטוריים (רבעים) של פיתוח אישיות

פסיכולוגיית וקטור מערכת מזהה 8 וקטורים עיקריים בטיפולוגיה של האישיות. כלומר: וקטורים חזותיים, עור, קול, שרירים, אוראלי, חוש הריח, השופכה ופי הטבעת. הם ממוקמים בארבעה רביעיות (מדרגות) עיקריות היוצרות את אורח חייו של אדם.

העיקרון של סידור הוקטורים:

• שלב המידע. הווקטורים הקוליים (החלק הפנימי של הקוורטל) והוקטורים החזותיים (החלק החיצוני) אחראים. בשלב זה מתרחש תהליך ההתפתחות והידע העצמי של הפרט.
• שלב אנרגיה. הווקטורים האוראליים (החלק החיצוני) וההרחה (החלק הפנימי) אחראים. מטרת שלב זה היא לקבוע מראש את מקומו של הפרט במערכת החברתית, בניית היררכיה ברורה.
• שלב זמן. הגיבו לוקטורים אנאליים (החלל הפנימי של הרבע) ושופכה (החלל החיצוני). חלוקה זמנית של החיים לשלבים: עבר ועתיד. בשלב זה יש רכישה ועיבוד של ניסיון מדורות עברו וכן הרצון להתקדמות והתפתחות החברה.
• צעד מרחבי. הווקטורים של השריר (החלק הפנימי) והעור (החלק החיצוני של מרחב הרבעון) אחראים. השלב האחראי על המעטפת הפיזית הוא מימוש עמל של אדם, שימוש בכוח פיזי וכו'.

אפיון וקטורים

מאפיין וקטור מפורט יותר נראה כך:

1. וקטור עור. אנשים עם ביטוי חי מסוג זה הם מוחצנים בולטים. הם מממשים את עצמם ברמה המרחבית. הכיוון העיקרי של קוז'ניקוב הוא הגנה על שטחים.
2. וקטור שריר. מופנמים. סוג החשיבה הוא מעשי ויזואלי-יעיל. הכיוון העיקרי הוא ציד, השתתפות בפעולות איבה.
3. וקטור אנאלי. מופנמים עם חשיבה מערכתית. עיסוקים אופייניים לבעלי הווקטור האנאלי הם הגנה על האח, הצטברות והעברת מידע מדורות קודמים.
4. וקטור השופכה. 100% מוחצנים. יש להם חשיבה מחוץ לקופסה. טקטיקות נולד. מטרת החיים של אנשים עם וקטור שופכה בולט היא להיות מנהיגים, מפקדים, מנהיגים.
5. וקטור ויזואלי. מוחצנים עם סוג פיגורטיבי של אינטליגנציה. הם נמצאים בשלב המידע של הפיתוח. פעילות עיקרית: הגנה על שטחים (במהלך היום).
6. וקטור קול. מופנמים מוחלטים עם סוג חשיבה מופשט. פעילות: הגנה על שטחים בחושך.
7. וקטור בעל פה. נציגים מהסוג הזה הם בעיקר מוחצנים. יש להם שיטת חשיבה מילולית אינהרנטית. עיסוק עיקרי: ארגון אירועים (בימי שלום), התרעת סכנה (בזמן פעולות איבה).
8. וקטור ריח. מופנמים, המאופיינים בסוג אינטואיטיבי של חשיבה, מעדיפים דרכים לא מילוליות להעברת מידע. הכיוון העיקרי: מודיעין, ניסוח אסטרטגיות.

הפסיכולוגיה של וקטור מערכת מחלקת וקטורים חשובים יותר, כביכול, בסיסיים יותר, וכאלה שערך פחות בהתפתחות האישיות. וקטורי הריח, השופכה והקול הם דומיננטיים, הם שולטים בוקטורים האחרים. שלושת הוקטורים הללו אינם חופפים עם זמינים אחרים, וגם לא ניתן למגר אותם על ידי גורמים חברתיים חיצוניים, כגון חינוך או מערכת חברתית.

כל פרט בעצמו קובע אילו וקטורים הם העיקריים בפסיכוטיפ של אישיותו. עבור כל וקטור, אפילו מאפיינים כמו נתונים חיצוניים מסוימים, פותחו תכונות נפשיות הטבועות בארכיטיפ וקטור מסוים. לכל אחד משמונת הוקטורים מוקצים צורה וצבע גיאומטריים ספציפיים.

הוקטורים מחולקים גם לתחתונים (שופכה, אנאלי, שרירי ועור) ועליונים (חזותיים, קוליים, חוש הריח ובעל פה). פסיכולוגיה מערכתית-וקטורית מראה שהווקטורים התחתונים אחראים על החשק המיני, התשוקות המיניות של האדם, בעוד שהווקטורים העליונים מחפשים חיבור עם העולם הרוחני. הווקטורים העליונים זמינים לחלוטין לכל אדם, בניגוד לתחתונים, שלא כל הארכיטיפים האישיים ניחנים בהם.

פסיכולוגיה של וקטור מערכת: מטרתה

אין אדם אחד שמסוגל לסרב להנאה; אפילו הדת עצמה צריכה להצדיק את הדרישה לוותר על תענוגות בעתיד הקרוב עם הבטחה לשמחות גדולות יותר ובעלות ערך רב יותר בעולם האחר. © זיגמונד פרויד

לשם מה מיועדת פסיכולוגיה וקטורית שמונה? מה תפקידו ותועלתו לבני אדם?

המטרה העיקרית של פסיכולוגיה וקטורית היא להכיר את עצמך וליהנות מהחיים באמצעות הוקטורים הפנימיים שלך. מערכת זו מכוונת להכרה עצמית של הפרט, קביעת תפקידו בחברה, על מנת למנוע חוסר שביעות רצון מוסרית מעצמו ומחייו. אם אדם אינו יכול לממש את עצמו בחברה, אינו יודע את צרכיו ורצונותיו האמיתיים, אזי תחושת אי שביעות רצון מתמדת עלולה להוביל למצב דיכאוני.

פסיכולוגיית וקטור מערכת מכוונת גם לחשוף את הרצונות והצרכים המיניים של האדם. יכול לשמש כמבחנים בעלי אוריינטציה מקצועית.

התיאוריה הפסיכולוגית, שפותחה על ידי ויקטור טולקצ'וב על בסיס ההנחות של פרויד, מאפשרת לך לגלות את סודות התת מודע, להבין מהו בדיוק הכוח המניע של האדם, הגורם השורשי לכל מעשיו ומעשיו. היתרון של לימוד הווקטורים של פסיכולוגיית מערכת-וקטור הוא גם בבניית קשרי תקשורת עם אנשים סביבך: עובדים, קרובי משפחה, חברים. אם לשני אנשים יש אותם וקטורים, אז לעתים קרובות זה המפתח ליחסים ידידותיים. ולהיפך - הניגוד של הוקטורים מסביר את חוסר ההתאמה בזוגות ואת העוינות של פרטים זה לזה. במילותיו של מייסד דוקטרינה זו, זיגמונד פרויד, שלא מדעת:

אנחנו לא בוחרים זה את זה במקרה... אנחנו פוגשים רק את אלה שכבר קיימים בתת המודע שלנו. ©

פסיכולוגיה של וקטור מערכת אינה מוכחת או נכונה לחלוטין. זוהי רק אחת המתודולוגיות לזיהוי סוג מסוים של אישיות. כמות הביקורת של מומחים מנוסים על תורתו של V. K. Tolkachev מוכיחה את חוסר השלמות של מושג פסיכולוגי זה. דיונים ומחלוקות אינם שוככים בין חסידי הפסיכולוגיה הקלאסית לבין תלמידיו של טולקצ'וב.

הראשונים נוטים להחשיב את הגישה הווקטורית לקביעת אישיות ככתתית והיפנוטית-אובססיבית (לכאורה, הכשרות על הוראת טכניקה זו מתבצעות אך ורק למטרות מסחריות). האחרונים מאמינים באמת ובתמים באובייקטיביות של פסיכולוגיה מערכת-וקטורית ומוכיחים את היתרונות שלה עבור יחידים והאנושות כולה. כדי ללמוד עוד על התזות והמושגים של דוקטרינה זו, ניתן לצפות בסרטון הרצאות המבוא של יורי ברלון על מערכת הוקטורים. רק על ידי חיבור תמונה מלאה של הדוקטרינה, כל אדם יוכל להסיק באופן עצמאי מסקנה לגבי אמיתות הרעיונות שהועלו.

1. מהו וקטור?

2. הוספת וקטורים.

3. שוויון וקטורים.

4. מכפלה סקלרית של שני וקטורים ותכונותיו.

5. מאפייני פעולות על וקטורים.

6. הוכחות ופתרון בעיות.

אחד ממושגי היסוד של המתמטיקה המודרנית הוא הווקטור וההכללה שלו - הטנזור. התפתחות המושג וקטור בוצעה עקב השימוש הרחב במושג זה בתחומים שונים של מתמטיקה, מכניקה וכן בטכנולוגיה.

סוף העבר ותחילת המאה הנוכחית היו בסימן הפיתוח הנרחב של חשבון וקטור ויישומיו. נוצרו אלגברה וקטורית וניתוח וקטור, תיאוריה כללית של מרחב וקטור. תיאוריות אלו שימשו בבניית תורת היחסות הפרטית והכללית, הממלאות תפקיד חשוב ביותר בפיזיקה המודרנית.

בהתאם לדרישות תכנית הלימודים החדשה במתמטיקה, המושג וקטור הפך לאחד המושגים המובילים בקורס המתמטיקה בבית הספר.

מהו וקטור? באופן מוזר, התשובה לשאלה זו מציגה קשיים מסוימים. קיימות גישות שונות להגדרת המושג וקטור; יתרה מכך, גם אם נסתפק בגישה הגיאומטרית האלמנטרית למושג וקטור, שהכי מעניין אותנו כאן, הרי שגם אז יהיו דעות שונות על מושג זה. כמובן, כל הגדרה שננקוט, וקטור - מנקודת מבט גיאומטרית אלמנטרית - הוא עצם גיאומטרי המאופיין בכיוון (כלומר, קו ישר שצוין עד מקביליות וכיוון עליו) ואורך. הגדרה כללית מדי, אינה גורמת לייצוגים גיאומטריים ספציפיים. לפי הגדרה כללית זו, תרגום מקביל יכול להיחשב וקטור. אכן, אפשר לקבל את ההגדרה הבאה: "וקטור הוא כל תרגום מקביל". הגדרה זו היא חסרת פגמים מבחינה לוגית, ועל בסיסה ניתן לבנות את כל תורת הפעולות על וקטורים ולפתח יישומים של תיאוריה זו. עם זאת, הגדרה זו, למרות הקונקרטיות המלאה שלה, לא יכולה לספק אותנו גם כאן, שכן הרעיון של וקטור כטרנספורמציה גיאומטרית נראה לנו לא ברור מספיק ורחוק מרעיונות פיזיקליים לגבי כמויות וקטוריות.

כך, וֶקטוֹר המכונה המשפחה של כולם מקבילים זה לזה, מכוונים שווה ובעל קטעי אורך זהים (איור 1).

הווקטור מתואר בציורים כקטע עם חץ (כלומר, לא כל משפחת הקטעים, שהיא וקטור, מתוארת, אלא רק אחד מהקטעים הללו). אותיות לטיניות מודגשות משמשות לייעוד וקטורים בספרים ובמאמרים. א ב גוכן הלאה, ובמחברות ובלוח - אותיות לטיניות עם מקף למעלה , אותה אות, אך לא מודגשת, אלא בהירה (ובמחברת ובלוח, אותה אות ללא מקף) מציינת את אורך הווקטור. האורך מצוין לפעמים גם בקווים אנכיים - כמודול (ערך מוחלט) של המספר. לפיכך, אורך הווקטור א מסומן על ידי אאו אני א אני, ובטקסט בכתב יד, אורך הווקטור א מסומן על ידי אאו אני א I. בהקשר לייצוג וקטורים בצורת קטעים (איור 2), יש לזכור כי קצוות הקטע המייצג את הווקטור אינם שווים: קצה אחד של הקטע לשני.

הבחנה בין התחלה לסוף של וקטור (ליתר דיוק, קטע המייצג וקטור).

לעתים קרובות, למושג וקטור ניתנת הגדרה נוספת: קטע מכוון נקרא וקטור.במקרה זה, וקטורים (כלומר קטעים מכוונים) בעלי אותו אורך ואותו כיוון (איור 3) מוסכם להיחשב שווים.

אומרים כי וקטורים מכוונים באופן שווה אם חצאי הקווים שלהם מכוונים באותה מידה.

הוספת וקטורים.

כל האמור לעיל עדיין לא הופך את המושג וקטור למשמעותי ושימושי מספיק. המושג וקטור מקבל יותר תוכן ואפשרות עשירה של יישומים כאשר אנו מציגים מעין "חשבון גיאומטרי" - אריתמטיקה של וקטורים, המאפשרת לנו להוסיף וקטורים, להחסיר אותם ולבצע עליהם עוד מספר פעולות. נציין בהקשר זה שאחרי הכל, מושג המספר הופך למעניין רק עם כניסתן של פעולות אריתמטיות, ולא בפני עצמו.

סכום הוקטורים א ו V עם קואורדינטות a 1, a 2 ו-1, a 2נקרא וקטור עם עם קואורדינטות 1+ ל-1, 2+ ל-2,הָהֵן. א(a 1; a 2) + V(ב-1; ב-2) = עם(א 1 + ב-1; a 2 + ב-2).
תוֹצָאָה:
כדי להוכיח את הקומוטטיביות של חיבור וקטור במישור, עלינו לשקול דוגמה. א ו V - וקטורים (איור 5).
לתת

1. אנו בונים מקבילית OASV: AM II OB, VN II OA.

כדי להוכיח את האסוציאטיביות, אנו מפרידים מנקודה שרירותית O את הווקטור OA = א, מנקודה A וקטור AB = in ומנקודה ל- וקטור שמש = ש. אז יש לנו: AB + BC = AC.
מאיפה בא השוויון + (ב + עם) = (a + b)+ עמ'. שימו לב שההוכחה לעיל אינה משתמשת בציור כלל. זה אופייני (עם מיומנות מסוימת) לפתרון בעיות באמצעות וקטורים. הבה נבחן כעת את המקרה כאשר הווקטורים א ו V מכוונים לכיוונים מנוגדים ובעלי אורכים שווים; וקטורים כאלה נקראים מוליכים. כלל חיבור הווקטור שלנו מוביל לכך שסכום שני וקטורים מנוגדים הוא "וקטור" בעל אורך אפס וללא כיוון; "וקטור" זה מיוצג על ידי "קטע באורך אפס", כלומר. נְקוּדָה. אבל זה גם וקטור, שנקרא אפס ומסומן בסמל 0.

שוויון וקטור.

אומרים ששני וקטורים שווים אם הם משולבים על ידי תרגום מקביל. זה אומר שיש תרגום מקביל שמעביר את ההתחלה והסוף של וקטור אחד להתחלה ולסוף של וקטור אחר, בהתאמה.

מהגדרה זו של שוויון וקטורים עולה כי וקטורים שונים מכוונים באופן שווה ושווים בערכם המוחלט.

ולהיפך: אם הוקטורים מכוונים באופן שווה ושווים בערכם המוחלט, אז הם שווים.

אכן, תן לוקטורים א.ב ו עם ד - וקטורים מכוונים זהים, שווים בערכם המוחלט (איור 6). העברה מקבילה שלוקחת את נקודה C לנקודה A משלבת את חצי הקו CD עם חצי הקו AB, מכיוון שהם מכוונים באותה מידה. ומכיוון שהקטעים AB ו-CD שווים, אז הנקודה D מיושרת עם הנקודה B, כלומר, ההעברה המקבילה מתרגמת את הווקטור CD לוקטור א.ב. אז הוקטורים א.ב ו עם ד שווים, מה שהיה צריך להוכיח.