Raktiniai žodžiai:

• logikos algebra
• pareiškimas
• loginis veikimas
• jungtis
• disjunkcija
• neigimas
• loginė išraiška
• tiesos lentelė
• logikos dėsniai

1.3.1. pareiškimas

Algebra plačiąja šio žodžio prasme yra mokslas apie bendrąsias operacijas, panašias į sudėtį ir daugybą, kurias galima atlikti su įvairiais matematiniais objektais. Mokate daug matematinių objektų (sveikųjų ir racionaliųjų skaičių, polinomų, vektorių, aibių) mokykliniame algebros kurse, kuriame susipažįstate su tokiomis matematikos šakomis kaip skaičių algebra, polinomų algebra, aibių algebra ir kt.

Informatikos mokslams svarbi matematikos šaka, vadinama logine algebra; Logikos algebros objektai yra teiginiai.

Pavyzdžiui, dėl sakinių „Didysis rusų mokslininkas M. V. Lomonosovas gimė 1711 m.“ ir „Du plius šeši yra aštuoni“ tikrai galime pasakyti, kad jie yra teisingi. Sakinys „Žvirbliai žiemoja žiemą“ yra klaidingas. Todėl šie sakiniai yra teiginiai.

Pavyzdžiui, sakinys „Šis sakinys yra klaidingas“ nėra teiginys, nes negalima teigti, kad jis teisingas ar klaidingas, neįgijus prieštaravimo. Iš tiesų, jei pripažįstame, kad sakinys yra teisingas, tai prieštarauja tam, kas buvo pasakyta. Jei pripažįstame, kad sakinys yra klaidingas, tai reiškia, kad jis yra teisingas.

Dėl sakinio „Kompiuterinė grafika – įdomiausia mokyklos informatikos kurso tema“, taip pat neįmanoma vienareikšmiškai pasakyti, ar tai tiesa, ar klaidinga. Pats pagalvok kodėl.

Pavyzdžiui, tokie sakiniai: „Užsirašykite namų darbus“, „Kaip patekti į biblioteką?“, „Kas pas mus atėjo?“ nėra teiginiai. “

Teiginių pavyzdžiai gali būti:

1. „Na yra metalas“ (tikras teiginys);
2. „Antrasis Niutono dėsnis išreiškiamas formule F=m a“ (tikrasis teiginys);
3. „Stačiakampio, kurio kraštinių ilgis a u b, perimetras yra lygus a b“ (klaidingas teiginys).

Skaitinės išraiškos nėra teiginiai, tačiau iš dviejų skaitinių išraiškų galite sudaryti teiginį, susiejant jas lygybės ar nelygybės ženklais. Pavyzdžiui:

1. "34-5 = 2 4" (tikras teiginys);
2. „II4-VI > VIII“ (klaidingas teiginys).

Lygybės ir nelygybės, kuriose yra kintamųjų, taip pat nėra teiginiai. Pavyzdžiui, sakinys „X< 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.

Teiginių teisingumo ar klaidingumo pagrindimą sprendžia mokslai, kuriems jie priklauso. Logikos algebra yra abstrahuota iš teiginių semantinio turinio. Ją domina tik tai, ar pateiktas teiginys yra teisingas ar klaidingas. Loginėje algebroje teiginiai žymimi raidėmis ir vadinami loginiais kintamaisiais. Be to, jei teiginys teisingas, tai atitinkamo loginio kintamojo reikšmė žymima vienetu (A = 1), o jei klaidinga - nuliu (B = 0). 0 ir 1, žymintys Būlio kintamųjų reikšmes, vadinami Būlio reikšmėmis.

Operuojant su loginiais kintamaisiais, kurie gali būti lygūs tik 0 arba 1, logikos algebra leidžia sumažinti informacijos apdorojimą iki operacijų su dvejetainiais duomenimis. Tai loginės algebros aparatas, kuris sudaro kompiuterinių įrenginių, skirtų informacijai saugoti ir apdoroti, pagrindą. Jūs susidursite su loginės algebros elementais daugelyje kitų kompiuterių mokslo sričių.

1.3.2. Loginės operacijos

Teiginiai gali būti paprasti arba sudėtingi. Teiginys vadinamas paprastu, jei nė viena jo dalis nėra teiginys. Sudėtiniai (sudėtiniai) teiginiai sudaromi iš paprastų naudojant logines operacijas.

Panagrinėkime pagrindines logines operacijas, apibrėžtas teiginiuose. Visi jie atitinka natūralioje kalboje vartojamus jungiklius.

Jungtis

Apsvarstykite du teiginius: A = "Logikos algebros įkūrėjas yra George'as Boole'as", B = "Claude'o Shannono tyrimas leido pritaikyti logikos algebrą kompiuterinėse technologijose". Akivaizdu, kad naujasis teiginys „Logikos algebros įkūrėjas yra George'as Boole'as, o Claude'o Shannono tyrimai leido pritaikyti logikos algebrą kompiuterinėse technologijose“ yra teisingas tik tuo atveju, jei abu pirminiai teiginiai yra teisingi vienu metu.

Norint parašyti jungtuką, naudojami šie ženklai: , , И, &. Pavyzdžiui: A B, A B, A IR B, A&B.

Jungtį galima apibūdinti lentelės forma, kuri vadinama tiesos lentele:

Tiesos lentelėje pateikiamos visos galimos pradinių teiginių reikšmės (A ir B stulpeliai), o atitinkami dvejetainiai skaičiai paprastai išdėstomi didėjančia tvarka: 00, 01, 10, 11. Paskutiniame stulpelyje įrašomas loginės operacijos rezultatas. atitinkamiems operandams.

Kitu atveju jungtukas vadinamas loginiu daugyba. Pagalvokite, kodėl.

Disjunkcija

Apsvarstykite du teiginius: A = "Matematinės simbolikos naudojimo logikoje idėja priklauso Gottfriedui Wilhelmui Leibnizui", B = "Leibnicas yra dvejetainės aritmetikos įkūrėjas". Akivaizdu, kad naujas teiginys „Matematinės simbolikos panaudojimo logikoje idėja priklauso Gottfriedui Wilhelmui Leibnizui arba Leibnicui yra dvejetainės aritmetikos įkūrėjas“ yra klaidingas tik tuo atveju, jei abu pirminiai teiginiai yra klaidingi tuo pačiu metu.

Nepriklausomai nustatykite trijų svarstomų teiginių teisingumą ar klaidingumą.

Disjunkcijai parašyti naudojami šie ženklai: v, |, OR, +. Pavyzdžiui: AvB, A|B, A ARBA B, A+B.

Disjunkcija apibrėžiama pagal šią tiesos lentelę:

Priešingu atveju disjunkcija vadinama loginiu pridėjimu. Pagalvokite, kodėl.

Inversija

Inversijai rašyti naudojami šie ženklai: NOT, ¬, ‾. Pavyzdžiui: NE, ¬, ‾.

Inversija nustatoma pagal šią tiesos lentelę:

Inversija kitaip vadinama loginiu neigimu.

Teiginio „Namuose turiu kompiuterį“ neigimas bus teiginys „Netiesa, kad turiu namie kompiuterį“ arba, rusiškai tas pats, „Namuose kompiuterio neturiu“. Teiginio „Aš nemoku kinų kalbos“ paneigimas bus teiginys „Netiesa, kad aš nemoku kinų kalbos“ arba, kas yra tas pats rusiškai, „aš moku kinų kalbą“. Teiginio „Visi 9 klasės berniukai yra puikūs mokiniai“ neigimas yra teiginys „Netiesa, kad visi 9 klasės berniukai yra puikūs mokiniai“, kitaip tariant, „Ne visi 9 klasės berniukai yra puikūs mokiniai“. studentai“.

Taigi, konstruojant neigimą paprastam teiginiui, vartojama arba frazė „netiesa, kad...“, arba neigimas konstruojamas prie predikato, tada prie atitinkamo veiksmažodžio pridedama dalelė „ne“.

Bet koks sudėtingas teiginys gali būti parašytas kaip loginė išraiška - išraiška, kurioje yra loginių kintamųjų, loginių operatorių ženklų ir skliaustų. Loginės operacijos loginėje išraiškoje atliekamos tokia tvarka: inversija, konjunkcija, disjunkcija. Galite pakeisti operacijų tvarką naudodami skliaustus.

1 pavyzdys. Tegul A = "Žodis "kreiseris" pasirodo tinklalapyje", B = "Žodis "mūšio laivas" pasirodo tinklalapyje. Mes svarstome tam tikrą interneto segmentą, kuriame yra 5 000 000 tinklalapių. Jame teiginys A teisingas 4800 puslapių, B teiginys teisingas 4500 puslapių, o teiginys A v B teisingas 7000 puslapių. Kiek tinklalapių šiuo atveju bus teisingi šie posakiai ir teiginiai?

a) NE (A ARBA B);

c) Tinklalapyje pasirodo žodis „kreiseris“, bet žodžio „mūšio laivas“ nėra.

Sprendimas. Visų nagrinėjamo interneto sektoriaus tinklalapių aibę pavaizduokime kaip apskritimą, kurio viduje įdėsime du apskritimus: vienas iš jų atitinka tinklalapių aibę, kur teiginys A yra teisingas, antrasis – kur teiginys B. tiesa (1.3 pav.).

Ryžiai. 1.3.
Grafinis kelių tinklalapių vaizdavimas

Grafiškai pavaizduokime tinklalapių aibes, kurių a) - c) išraiškos ir teiginiai yra teisingi (1.4 pav.)

Ryžiai. 1.4.
Tinklalapių, kurių išraiškos ir teiginiai a) - c) yra teisingi, grafinis vaizdavimas

Sukonstruotos diagramos padės mums atsakyti į užduotyje pateiktus klausimus.

Išraiška A ARBA B tinka 7 000 tinklalapių, o iš viso puslapių yra 5 000 000. Todėl išraiška A OR B yra klaidinga 4 993 000 tinklalapių. Kitaip tariant, 4 993 000 tinklalapių išraiška NE (A OR B) yra teisinga.

Išraiška A v B tinka tiems tinklalapiams, kuriuose A (4800) yra teisinga, taip pat tiems tinklalapiams, kuriuose B (4500) yra teisinga. Jei visi tinklalapiai būtų skirtingi, išraiška A v B būtų teisinga 9300 (4800 + 4500) tinklalapių. Bet pagal sąlygą tokių tinklalapių yra tik 7000. Tai reiškia, kad 2300 (9300 - 7000) tinklalapių abu žodžiai pasirodo vienu metu. Todėl išraiška A ir B yra teisinga 2300 tinklalapių.

Norėdami sužinoti, kiek tinklalapių teiginys A yra teisingas ir tuo pačiu teiginys B yra klaidingas, iš 4800 atimkite 2300. Taigi teiginys „Žodis „kreiseris“ pasirodo tinklalapyje, o žodis „mūšio laivas“ – ne. pasirodo“ yra tiesa 2500 tinklalapių.

Užrašykite nagrinėjamą teiginį atitinkančią loginę išraišką.

Federalinio informacijos ir švietimo išteklių centro svetainėje (http://fcoir.edu.ru/) yra informacinis modulis „Pareiškimas. Paprasti ir sudėtingi teiginiai. Pagrindinės loginės operacijos“. Susipažinęs su šiuo šaltiniu galėsite išplėsti savo studijuojamos temos supratimą.

1.3.3. Tiesos lentelių loginėms išraiškoms konstravimas

Loginei išraiškai galite sukurti tiesos lentelę, rodančią, kokias vertes išraiška įgauna visoms į ją įtrauktų kintamųjų verčių rinkiniams. Norėdami sudaryti tiesos lentelę, turite:

1. count n - kintamųjų skaičius išraiškoje;
2. suskaičiuoti bendrą loginių operacijų skaičių išraiškoje;
3. nustatyti loginių operacijų seką, atsižvelgiant į skliaustus ir prioritetus;
4. nustatyti lentelės stulpelių skaičių: kintamųjų skaičius + operacijų skaičius;
5. užpildo lentelės antraštę, įtraukiant kintamuosius ir operacijas 3 dalyje nustatyta tvarka;
6. nustatyti lentelės eilučių skaičių (neskaičiuojant lentelės antraštės) m = 2n;
7. užsirašykite įvesties kintamųjų rinkinius, atsižvelgdami į tai, kad jie vaizduoja visą eilę n bitų dvejetainių skaičių nuo 0 iki 2 n - 1;
8. pildyti lentelės stulpelį po stulpelio, atliekant loginius veiksmus pagal nustatytą seką.

Sukurkime tiesos lentelę loginei išraiškai A v A ir B. Ją sudaro du kintamieji, dvi operacijos ir pirmiausia atliekama konjunkcija, o paskui – disjunkcija. Lentelėje iš viso bus keturi stulpeliai:

Įvesties kintamųjų rinkiniai yra sveikieji skaičiai nuo O iki 3, pateikiami dviženkliu dvejetainiu kodu: 00, 01, 10, 11. Užpildyta tiesos lentelė atrodo taip:

Atkreipkite dėmesį, kad paskutinis stulpelis (rezultatas) yra toks pat kaip A stulpelis. Šiuo atveju loginė išraiška A v A ir B yra lygiavertė loginei išraiškai A.

1.3.4. Loginių operacijų savybės

Panagrinėkime pagrindines logikos algebros savybes (dėsnius).

Loginės algebros dėsnius galima įrodyti naudojant tiesos lenteles.

Įrodykime loginio papildymo paskirstymo dėsnį:

A v (B ir C) = (A V B) & (A v C).

Stulpelių, atitinkančių logines išraiškas kairėje ir dešinėje lygybės pusėse, sutapimas įrodo skirstymo dėsnio pagrįstumą loginiam sudėjimui.

2 pavyzdys. Raskime loginės išraiškos reikšmę kai skaičius X = 0.

Sprendimas. Kai X = 0 gauname tokią loginę išraišką: . Kadangi loginės išraiškos yra 0< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. Loginių uždavinių sprendimas

Pažvelkime į kelis loginių uždavinių sprendimo būdus.

1 problema. Kolya, Vasya ir Seryozha vasarą lankydavosi pas močiutę. Vieną dieną vienas iš berniukų netyčia sulaužė savo močiutės mėgstamą vazą. Paklausti, kas sulaužė vazą, jie atsakė:

Seryozha: 1) Aš jo nesulaužiau. 2) Vasya jo nesulaužė.

Vasya: 3) Seryozha jo nesulaužė. 4) Kolya sudaužė vazą.

Kolya: 5) Aš jo nesulaužiau. 6) Seryozha sudaužė vazą.

Močiutė žinojo, kad vienas iš jos anūkų, pavadinkime jį teisuoliu, abu kartus sakė tiesą; antrasis, pavadinkime jį juokdariu, abu kartus melavo; trečias, pavadinkime jį gudriu, vieną kartą pasakė tiesą, o kitą kartą – melą. Įvardink teisingą, juokdarį ir gudrųjį. Kuris anūkas sulaužė vazą?

Sprendimas. Tegul K = „Kolya sudaužė vazą“, B = „Vasya sudaužė vazą“, C = „Seryozha sulaužė vazą“. Sukurkime tiesos lentelę, kurioje pateiksime kiekvieno berniuko teiginius 1.

1 Atsižvelgiant į tai, kad vazą sulaužė vienas anūkas, buvo galima sukurti ne visą lentelę, o tik jos fragmentą, kuriame yra šie įvesties kintamųjų rinkiniai: 001, 010, 100.

Remdamiesi tuo, ką močiutė žino apie savo anūkus, turėtumėte ieškoti lentelėje eilučių, kuriose tam tikra tvarka yra trys reikšmių deriniai: 00, 11, 01 (arba 10). Lentelėje buvo dvi tokios eilutės (jos pažymėtos varnelėmis). Pasak antrojo iš jų, vazą sulaužė Kolya ir Vasya, o tai prieštarauja sąlygai. Pagal pirmąją rastą eilutę Seryozha sudaužė vazą ir pasirodė esąs gudrus. Vasya pasirodė juokdarys. Tikro anūko vardas yra Kolya.

2 problema. Alla, Valya, Sima ir Dasha dalyvauja gimnastikos varžybose. Gerbėjai pateikė pasiūlymus dėl galimų nugalėtojų:

1. Pirmas bus Sima, antras Valya;
2. Antra bus Sima, trečia – Daša;
3. Alla bus antra, Daša – ketvirta.

Pasibaigus konkursui paaiškėjo, kad kiekvienoje iš prielaidų tik vienas iš teiginių yra teisingas, kitas – klaidingas. Kokią vietą konkurse užėmė kiekviena iš merginų, jei visos atsidūrė skirtingose ​​vietose?

Sprendimas. Pažvelkime į keletą paprastų teiginių:

C 1 = "Sima užėmė pirmąją vietą";

B 2 = „Valya užėmė antrąją vietą“;

C 2 = „Sima užėmė antrąją vietą“;

D 3 = „Daša užėmė trečią vietą“;

A 2 = „Alla užėmė antrąją vietą“;

D 4 = „Daša užėmė ketvirtą vietą“.

Kadangi kiekvienoje iš trijų prielaidų vienas iš teiginių yra teisingas, o kitas - klaidingas, galime daryti tokią išvadą:

1. C 1 + B 2 = 1, C 1 B 2 = 0;
2. C 2 + D 3 = 1, C 2 D 3 = 0;
3. A 2 + D 4 = 1, A 2 D 4 = 0.

Loginis teisingų teiginių produktas bus teisingas:

(C 1 + B 2) (C 2 + D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Remdamiesi paskirstymo dėsniu, transformuojame kairiąją šios išraiškos pusę:

(C 1 C 2 + C 1 D 3 + B 2 C 2 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Teiginys C 1 C 2 reiškia, kad Sima užėmė ir pirmąją, ir antrąją vietas. Pagal problemos sąlygas šis teiginys yra klaidingas. Teiginys B 2 C 2 taip pat klaidingas. Atsižvelgdami į operacijų su konstanta 0 dėsnį, rašome:

(C 1 D 3 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Tolesnė šios lygybės kairiosios pusės transformacija ir akivaizdžiai klaidingų teiginių pašalinimas duoda:

C 1 D 3 A 2 + C 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 = 1.

C 1 D 3 A 2 = 1.

Iš paskutinės lygybės išplaukia, kad C 1 = 1, D 3 = 1, A 2 = 1. Tai reiškia, kad Sima užėmė pirmąją vietą, Alla užėmė antrąją, Daša - trečią. Vadinasi, Valya užėmė ketvirtą vietą.

Svetainėje „Matematika moksleiviams“ (http://www.kenqyry.com/) galite susipažinti su kitais loginių uždavinių sprendimo būdais, taip pat dalyvauti internetinėse olimpiadose ir jų sprendimo konkursuose.

Svetainėje http://www.kaser.com/ galite atsisiųsti demonstracinę labai naudingo Šerloko logikos galvosūkio versiją, kuri lavina logiką ir samprotavimo įgūdžius.

1.3.6. Loginiai elementai

Logikos algebra yra matematikos šaka, kuri atlieka svarbų vaidmenį projektuojant automatinius įrenginius ir kuriant informacinių ir ryšių technologijų techninę ir programinę įrangą.

Jūs jau žinote, kad bet kokia informacija gali būti pateikiama atskira forma – kaip fiksuotas atskirų reikšmių rinkinys. Įrenginiai, apdorojantys tokias reikšmes (signalus), vadinami diskrečiais. Diskretusis keitiklis, kuris, apdorojęs dvejetainius signalus, sukuria vienos iš loginių operacijų reikšmę, vadinamas loginiu elementu.

Fig. 1.5 rodo loginių elementų simbolius (diagramas), įgyvendinančius loginį dauginimą, loginį sudėjimą ir inversiją.

1.5 pav.
Loginiai elementai

IR loginis elementas (jungiklis) įgyvendina loginio daugybos operaciją (1.5 pav., a). Šio elemento išvestyje esantis vienetas bus rodomas tik tada, kai visuose įėjimuose yra vienetų.

ARBA loginis elementas (disjunktoris) įgyvendina loginio sudėjimo operaciją (1.5 pav., b). Jei bent viena įvestis yra viena, tada elemento išvestis taip pat bus viena.

NOT loginis elementas (inverteris) įgyvendina neigimo operaciją (1.5 pav., c). Jei elemento įvestis yra O, tada išvestis yra 1 ir atvirkščiai.

Kompiuterių įrenginiai, atliekantys operacijas su dvejetainiais skaičiais ir langeliais, kuriuose saugomi duomenys, yra elektroninės grandinės, susidedančios iš atskirų loginių elementų. Plačiau šie klausimai bus nagrinėjami informatikos kurse 10-11 klasėms.

3 pavyzdys. Išanalizuokime elektroninę grandinę, tai yra, išsiaiškinkime, koks signalas turėtų būti kiekvieno galimo signalų rinkinio išvestyje.

Sprendimas. Į tiesos lentelę įvessime visas įmanomas signalų kombinacijas įėjimuose A iki B. Stebėkime kiekvienos signalų poros transformaciją, kai jie praeina per loginius elementus, ir parašykime rezultatą į lentelę. Užpildyta tiesos lentelė visiškai apibūdina nagrinėjamą elektroninę grandinę.

Tiesos lentelę taip pat galima sudaryti naudojant loginę išraišką, atitinkančią elektroninę grandinę. Paskutinis loginis elementas nagrinėjamoje grandinėje yra jungiklis. Jis priima signalus iš įvesties L ir iš keitiklio. Savo ruožtu keitiklis gauna signalą iš įėjimo B. Taigi,

Darbas su Logic simuliatoriumi (http://kpolyakov. narod. ru/prog/logic. htm) padės geriau suprasti loginius elementus ir elektronines grandines.

Svarbiausias

Pasisakymas yra sakinys bet kuria kalba, kurio turinys gali būti nedviprasmiškai nustatytas teisingas arba klaidingas.

Teiginiuose apibrėžtos pagrindinės loginės operacijos: inversija, konjunkcija, disjunkcija.

Tiesos lentelės pagrindinėms loginėms operacijoms:

Vertinant Būlio išraiškas, pirmiausia atliekami skliausteliuose nurodyti veiksmai. Loginių operacijų vykdymo prioritetas:

Klausimai ir užduotys

Skaičius 376 yra lyginis ir susideda iš trijų skaitmenų.

Skaičius dalijasi iš 3 tada ir tik tada, kai skaičiaus skaitmenų suma dalijasi iš 3

Simbolis F x , y , z F F ? 1)

2)

3)

4)

X

Y

Z

F

Savarankiškas darbas

2 variantas

Leisti P K

1)

2)

3)

4)

Tolesniuose teiginiuose paryškinkite paprastus, kiekvieną iš jų nurodydami raide; užrašykite kiekvieną sudėtinį teiginį naudodami raides ir loginių operacijų ženklus.

1. Žiemą vaikai čiuožia ar slidinėja.

   Jei natūraliojo skaičiaus skaitmenų suma dalijasi iš 3, tai skaičius dalijasi iš 3.

Simbolis F yra nurodyta viena iš šių loginių išraiškų iš trijų argumentų:x , y , z . Pateiktas išraiškos tiesos lentelės fragmentasF . Kuri išraiška atitinkaF ? 1)

2)

3)

4)

X

Y

Z

F

Savarankiškas darbas

3 variantas

Leisti P = (Anyai patinka matematikos pamokos) irK = (Anya mėgsta chemijos pamokas). Išreikškite šias formules natūralia kalba:

1)

2)

3)

4)

Tolesniuose teiginiuose paryškinkite paprastus, kiekvieną iš jų nurodydami raide; užrašykite kiekvieną sudėtinį teiginį naudodami raides ir loginių operacijų ženklus.

1. Netiesa, kad saulė juda aplink žemę.

   Jei vakar buvo sekmadienis, tai Dima vakar nebuvo mokykloje ir visą dieną vaikščiojo.

Simbolis F yra nurodyta viena iš šių loginių išraiškų iš trijų argumentų:x , y , z . Pateiktas išraiškos tiesos lentelės fragmentasF . Kuri išraiška atitinkaF ? 1)

2)

3)

4)

X

Y

Z

F

Savarankiškas darbas

4 variantas

Leisti P = (Anyai patinka matematikos pamokos) irK = (Anya mėgsta chemijos pamokas). Išreikškite šias formules natūralia kalba:

1)

2)

3)

4)

Tolesniuose teiginiuose paryškinkite paprastus, kiekvieną iš jų nurodydami raide; užrašykite kiekvieną sudėtinį teiginį naudodami raides ir loginių operacijų ženklus.

1. Per matematikos pamoką gimnazistai atsakinėjo į mokytojos klausimus, taip pat rašė savarankiškus darbus.

Simbolis F yra nurodyta viena iš šių loginių išraiškų iš trijų argumentų:x , y , z . Pateiktas išraiškos tiesos lentelės fragmentasF . Kuri išraiška atitinkaF ? 1)

2)

3)

4)

X

Y

Z

F

„Teismas kaip mąstymo forma“ – iš dalies neigiamas Kai kurie ne... Vertinimas kaip mąstymo forma. Kopūstų drugeliai yra balti arba geltoni. Sudėtingas. Jei bijai vilko, tai į mišką neisi. Iš dalies teigiama Kai kurie... Ne vienas studentas nenori būti nesėkmingas. Jie konstruojami naudojant jungtis „IR“ „ARBA“ „JEI..., TAI...“ „TAI NETIESA...“. Paprastų sprendimų rūšys.

„Rėmo analizė“ – Taksonomijos metodas. Motina. Kalbinis pasaulio vaizdas. Rėmas. Aleksandras Rodčenka. Pasirašyti. Kelias. Kelias neturi pabaigos. Žodis gali turėti kelis prototipinės struktūros lygius. Ar septynių dienų kalendorinis ciklas yra vienodas? Rėmų sistemos. Prototipas. Anos Wierzbickos knygos. Pasakojimo rėmas. Veiksmažodis SUPRASTI.

„Išvada“ – paradoksas. Išvada yra mąstymo forma. Išvadų rūšys. Tikri sprendimai. Sofizmas. Indukcija yra perėjimas nuo konkretaus prie bendro. Pagrindinis formalios logikos principas. Jei kažkas metalo, vadinasi, jis praleidžia elektrą. Dedukcija yra perėjimas nuo bendro prie konkretaus. Tiesioginė išvada (išvesta iš vienos prielaidos).

„Mąstymas psichologijoje“ - Psichologo tiriamoji veikla. Sunkumai tiriant metakognityvinius procesus. Hipotezių tikrinimo atlikimas. Testo rezultatų interpretavimas. Tyrimo modelių tarpusavio ryšys. S.L. Rubinšteina, M.K. Mamardašvilis, G.V.F. Hegelis. Žinios apie žinias. Hipotezės siūlymas. A. Brownas ir G. Wellmanas, tyrinėdami metamąstymą, atėjo į pagrindines jo funkcijas.

„Atmintis“ - 1. Eksperimentinė kritika: prezidentai 2. Metakognitijų analizė (Flavell). von Restorffo eksperimentas. KP: Paieškos strategijos. „Iš apačios į viršų“ metodas. Tulving Epizodinė atmintis. Trumpalaikė atmintis. Atminties dvilypumo problema Eksperimentiniai faktai Saugojimo ir valdymo procesai. Atkinsonas, Shifrinas, 1967 m.

"Mąstymo mokymas" - Bertrand Russell. Kritinis mąstymas. Kritinio mąstymo apibrėžimas. Ir jie miršta net nepradėję. Daugelis žmonių mieliau mirtų nei galvotų. Mokymų „Kritinis mąstymas ir bendradarbiavimas“ medžiaga. Reikalingi kritinio mąstymo įgūdžiai. Mūsų priimti sprendimai turės įtakos ateities kartų gyvenimui.

Iš viso yra 15 pristatymų

| § 1.3. Algebros logikos elementai

8–12 pamokos
§ 1.3. Algebros logikos elementai

Raktiniai žodžiai:

• logikos algebra
• pareiškimas
• loginis veikimas
• jungtis
• disjunkcija
• neigimas
• loginė išraiška
• tiesos lentelė
• logikos dėsniai

1.3.1. pareiškimas

Algebra plačiąja šio žodžio prasme yra mokslas apie bendrąsias operacijas, panašias į sudėtį ir daugybą, kurias galima atlikti su įvairiais matematiniais objektais. Mokate daug matematinių objektų (sveikųjų ir racionaliųjų skaičių, polinomų, vektorių, aibių) mokykliniame algebros kurse, kuriame susipažįstate su tokiomis matematikos šakomis kaip skaičių algebra, daugianarių algebra, aibių algebra ir kt.

Informatikos mokslams svarbi matematikos šaka, vadinama logine algebra; logikos algebros objektai yra pareiškimus.

Pasisakymas yra sakinys bet kuria kalba, kurio turinys gali būti nedviprasmiškai nustatytas teisingas arba klaidingas.

Pavyzdžiui, dėl sakinių „Didysis rusų mokslininkas M.V. Lomonosovas gimė 1711 m.“ ir „Du plius šeši yra aštuoni“ tikrai galime teigti, kad jie yra teisingi. Sakinys „Žvirbliai žiemoja žiemą“ yra klaidingas. Todėl šie sakiniai yra teiginiai.

Rusų kalba teiginiai išreiškiami deklaratyviais sakiniais. Tačiau ne kiekvienas deklaratyvus sakinys yra teiginys.

Pavyzdžiui, sakinys „Šis sakinys yra klaidingas“ nėra teiginys, nes apie jį negalima pasakyti, ar jis teisingas, ar klaidingas, negaunant prieštaravimo. Iš tiesų, jei pripažįstame, kad sakinys yra teisingas, tai prieštarauja tam, kas buvo pasakyta. Jei pripažįstame, kad sakinys yra klaidingas, tai reiškia, kad jis yra teisingas.

Dėl sakinio „Kompiuterinė grafika – įdomiausia mokyklos informatikos kurso tema“, taip pat neįmanoma vienareikšmiškai pasakyti, ar tai tiesa, ar klaidinga. Pats pagalvok kodėl.

Skatinamieji ir klausiamieji sakiniai nėra teiginiai.

Pavyzdžiui, tokie sakiniai kaip: „Užsirašykite namų darbus“, „Kaip patekti į biblioteką?“, „Kas pas mus atėjo?“ nėra teiginiai.

Teiginius galima sudaryti naudojant ženklus iš įvairių formalių kalbų – matematikos, fizikos, chemijos ir kt.

Teiginių pavyzdžiai gali būti:

1. „Na yra metalas“ (tikras teiginys);
2. „Antrasis Niutono dėsnis išreiškiamas formule F=m a“ (tikrasis teiginys);
3. „Stačiakampio, kurio kraštinių ilgiai a ir b, perimetras yra lygus a b“ (klaidingas teiginys).

Skaitinės išraiškos nėra teiginiai, tačiau iš dviejų skaitinių išraiškų galite sudaryti teiginį, susiejant jas lygybės ar nelygybės ženklais. Pavyzdžiui:

1. „3 + 5 = 2 4“ (tikras teiginys);
2. „II + VI > VIII“ (klaidingas teiginys).

Lygybės ir nelygybės, kuriose yra kintamųjų, taip pat nėra teiginiai. Pavyzdžiui, sakinys „X< 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.

Teiginių teisingumo ar klaidingumo pagrindimą sprendžia mokslai, kuriems jie priklauso. Logikos algebra yra abstrahuota iš teiginių semantinio turinio. Ją domina tik tai, ar pateiktas teiginys yra teisingas ar klaidingas. Loginėje algebroje teiginiai žymimi raidėmis ir vadinami loginiais kintamaisiais. Be to, jei teiginys teisingas, tai atitinkamo loginio kintamojo reikšmė žymima vienetu (A = 1), o jei klaidinga - nuliu (B = 0). 0 ir 1, žymintys Būlio kintamųjų reikšmes, vadinami Būlio reikšmėmis.

Logikos algebra apibrėžia teiginių rašymo, reikšmių skaičiavimo, supaprastinimo ir transformavimo taisykles.

Operuojant su loginiais kintamaisiais, kurie gali būti lygūs tik 0 arba 1, logikos algebra leidžia sumažinti informacijos apdorojimą iki operacijų su dvejetainiais duomenimis. Tai loginės algebros aparatas, kuris sudaro kompiuterinių įrenginių, skirtų informacijai saugoti ir apdoroti, pagrindą. Jūs susidursite su loginės algebros elementais daugelyje kitų kompiuterių mokslo sričių.

1.3.2. Loginės operacijos

Teiginiai gali būti paprasti arba sudėtingi. Teiginys vadinamas paprastu, jei nė viena jo dalis nėra teiginys. Sudėtiniai (sudėtiniai) teiginiai sudaromi iš paprastų naudojant logines operacijas.

Panagrinėkime pagrindines logines operacijas, apibrėžtas teiginiuose. Visi jie atitinka natūralioje kalboje vartojamus jungiklius.

Jungtis

Apsvarstykite du teiginius: A = "Logikos algebros įkūrėjas yra George'as Boole'as", B = "Claude'o Shannono tyrimas leido pritaikyti logikos algebrą kompiuterinėse technologijose". Akivaizdu, kad naujasis teiginys „Logikos algebros įkūrėjas yra George'as Boole'as, o Claude'o Shannono tyrimai leido pritaikyti logikos algebrą kompiuterinėse technologijose“ yra teisingas tik tuo atveju, jei abu pirminiai teiginiai yra teisingi vienu metu.

Jungtis yra loginė operacija, susiejanti kiekvieną du teiginius su nauju teiginiu, kuris yra teisingas tada ir tik tada, kai abu pirminiai teiginiai yra teisingi.

Norint parašyti jungtuką, naudojami šie ženklai: ∧, , И, &. Pavyzdžiui: A ∧ B, A B, A IR B, A ir B.

Jungtį galima apibūdinti lentelės forma, kuri vadinama tiesos lentele:

Tiesos lentelėje pateikiamos visos galimos pradinių teiginių reikšmės (A ir B stulpeliai), o atitinkami dvejetainiai skaičiai paprastai išdėstomi didėjančia tvarka: 00, 01, 10, 11. Paskutiniame stulpelyje įrašomas loginės operacijos rezultatas. atitinkamiems operandams.

Kitu atveju jungtukas vadinamas loginiu daugyba. Pagalvokite, kodėl.

Disjunkcija

Apsvarstykite du teiginius: A = "Matematinės simbolikos naudojimo logikoje idėja priklauso Gottfriedui Wilhelmui Leibnizui", B = "Leibnicas yra dvejetainės aritmetikos įkūrėjas". Akivaizdu, kad naujas teiginys „Matematinės simbolikos panaudojimo logikoje idėja priklauso Gottfriedui Wilhelmui Leibnizui arba Leibnicui yra dvejetainės aritmetikos įkūrėjas“ yra klaidingas tik tuo atveju, jei abu pirminiai teiginiai yra klaidingi tuo pačiu metu.

Nepriklausomai nustatykite trijų svarstomų teiginių teisingumą ar klaidingumą.

Disjunkcija yra loginė operacija, susiejanti kiekvieną du teiginius su nauju teiginiu, kuris yra klaidingas tada ir tik tada, kai abu pirminiai teiginiai yra klaidingi.

Disjunkcijai parašyti naudojami šie ženklai: ∨, |, OR, +. Pavyzdžiui: A∨B, A|B, A ARBA B, A+B.

Disjunkcija apibrėžiama pagal šią tiesos lentelę:

Priešingu atveju disjunkcija vadinama loginiu pridėjimu. Pagalvokite, kodėl.

Inversija

Inversija yra loginė operacija, kuri kiekvieną teiginį susieja su nauju teiginiu, kurio prasmė yra priešinga pirminiam.

Inversijai rašyti naudojami šie ženklai: NOT, ¬, ‾. Pavyzdžiui: NOT A, ¬A, .

Inversija nustatoma pagal šią tiesos lentelę:

Inversija kitaip vadinama loginiu neigimu.

Teiginio „Namuose turiu kompiuterį“ neigimas bus teiginys „Netiesa, kad turiu namie kompiuterį“ arba, rusiškai tas pats, „Namuose kompiuterio neturiu“. Teiginio „Aš nemoku kinų kalbos“ paneigimas bus teiginys „Netiesa, kad aš nemoku kinų kalbos“ arba, kas yra tas pats rusiškai, „aš moku kinų kalbą“. Teiginio „Visi 9 klasės berniukai yra puikūs mokiniai“ neigimas yra teiginys „Netiesa, kad visi 9 klasės berniukai yra puikūs mokiniai“, kitaip tariant, „Ne visi 9 klasės berniukai yra puikūs mokiniai“. studentai“.

Taigi, konstruojant neigimą paprastam teiginiui, vartojama arba frazė „netiesa, kad...“, arba neigimas konstruojamas prie predikato, tada prie atitinkamo veiksmažodžio pridedama dalelė „ne“.

Bet koks sudėtingas teiginys gali būti parašytas kaip loginė išraiška - išraiška, kurioje yra loginių kintamųjų, loginių operatorių ženklų ir skliaustų. Loginės operacijos loginėje išraiškoje atliekamos tokia tvarka: inversija, konjunkcija, disjunkcija. Galite pakeisti operacijų tvarką naudodami skliaustus.

Loginės operacijos turi tokį prioritetą: inversija, konjunkcija, disjunkcija.

1 pavyzdys . Tegul A = "Žodis "kreiseris" pasirodo tinklalapyje", B = "Žodis "mūšio laivas" pasirodo tinklalapyje. Mes svarstome tam tikrą interneto segmentą, kuriame yra 5 000 000 tinklalapių. Jame teiginys A teisingas 4800 puslapių, B teiginys teisingas 4500 puslapių, o teiginys A v B teisingas 7000 puslapių. Kiek tinklalapių šiuo atveju bus teisingi šie posakiai ir teiginiai?

a) NE (A ARBA B);

c) Tinklalapyje pasirodo žodis „kreiseris“, bet žodžio „mūšio laivas“ nėra.

Sprendimas . Visų nagrinėjamo interneto sektoriaus tinklalapių aibę pavaizduokime kaip apskritimą, kurio viduje įdėsime du apskritimus: vienas iš jų atitinka tinklalapių aibę, kur teiginys A yra teisingas, antrasis – kur teiginys B. tiesa (1.3 pav.).

Ryžiai. 1.3.
Grafinis kelių tinklalapių vaizdavimas

Grafiškai pavaizduokime tinklalapių aibes, kurių a) - c) išraiškos ir teiginiai yra teisingi (1.4 pav.)

Ryžiai. 1.4.
Tinklalapių, kurių išraiškos ir teiginiai a) - c) yra teisingi, grafinis vaizdavimas

Sukonstruotos diagramos padės mums atsakyti į užduotyje pateiktus klausimus.

Išraiška A ARBA B tinka 7 000 tinklalapių, o iš viso puslapių yra 5 000 000. Todėl išraiška A OR B yra klaidinga 4 993 000 tinklalapių. Kitaip tariant, 4 993 000 tinklalapių išraiška NE (A OR B) yra teisinga.

Išraiška A ∨ B yra teisinga tiems tinklalapiams, kuriuose A (4800) yra teisinga, taip pat tiems tinklalapiams, kuriuose B (4500) yra teisinga. Jei visi tinklalapiai būtų skirtingi, išraiška A v B būtų teisinga 9300 (4800 + 4500) tinklalapių. Bet pagal sąlygą tokių tinklalapių yra tik 7000. Tai reiškia, kad 2300 (9300 - 7000) tinklalapių abu žodžiai pasirodo vienu metu. Todėl išraiška A ir B yra teisinga 2300 tinklalapių.

Norėdami sužinoti, kiek tinklalapių teiginys A yra teisingas ir tuo pačiu teiginys B yra klaidingas, iš 4800 atimkite 2300. Taigi teiginys „Žodis „kreiseris“ pasirodo tinklalapyje, o žodis „mūšio laivas“ – ne. pasirodo“ yra tiesa 2500 tinklalapių.

Užrašykite nagrinėjamą teiginį atitinkančią loginę išraišką.

Federalinio informacijos ir švietimo išteklių centro svetainėje (http://fcoir.edu.ru/) yra informacinis modulis „Pareiškimas. Paprasti ir sudėtingi teiginiai. Pagrindinės loginės operacijos“. Susipažinęs su šiuo šaltiniu galėsite išplėsti savo studijuojamos temos supratimą.

1.3.3. Tiesos lentelių loginėms išraiškoms konstravimas

Loginei išraiškai galite sukurti tiesos lentelę, rodančią, kokias vertes išraiška įgauna visoms į ją įtrauktų kintamųjų verčių rinkiniams. Norėdami sudaryti tiesos lentelę, turite:

1. count n - kintamųjų skaičius išraiškoje;
2. suskaičiuoti bendrą loginių operacijų skaičių išraiškoje;
3. nustatyti loginių operacijų seką, atsižvelgiant į skliaustus ir prioritetus;
4. nustatyti lentelės stulpelių skaičių: kintamųjų skaičius + operacijų skaičius;
5. užpildo lentelės antraštę, įtraukiant kintamuosius ir operacijas 3 dalyje nustatyta tvarka;
6. nustatyti lentelės eilučių skaičių (neskaičiuojant lentelės antraštės) m = 2n;
7. užsirašykite įvesties kintamųjų rinkinius, atsižvelgdami į tai, kad jie vaizduoja visą eilę n bitų dvejetainių skaičių nuo 0 iki 2 n - 1;
8. pildyti lentelės stulpelį po stulpelio, atliekant loginius veiksmus pagal nustatytą seką.

Sukurkime tiesos lentelę loginei išraiškai A ∨ A & B. Ją sudaro du kintamieji, dvi operacijos ir pirmiausia atliekama konjunkcija, o tada disjunkcija. Lentelėje iš viso bus keturi stulpeliai:

Įvesties kintamųjų rinkiniai yra sveikieji skaičiai nuo O iki 3, pateikiami dviženkliu dvejetainiu kodu: 00, 01, 10, 11. Užpildyta tiesos lentelė atrodo taip:

Atkreipkite dėmesį, kad paskutinis stulpelis (rezultatas) yra toks pat kaip A stulpelis. Šiuo atveju loginė išraiška A ∨ A & B yra lygiavertė loginei išraiškai A.

1.3.4. Loginių operacijų savybės

Panagrinėkime pagrindines logikos algebros savybes (dėsnius).

1. Komutacinė (komutacinė) teisė

• loginiam dauginimui:

A ir B = B ir A;

• logiškam papildymui:

A ∨ B = B ∨ A.

Kombinacinė (asociacinė) teisė

• loginiam dauginimui:

(A & B) & C = A & (B ir C);

• logiškam papildymui:

(A ∨ B) ∨ C = A ∨(B ∨ C).

Jei operacijų ženklai yra vienodi, skliaustus galima dėti savavališkai arba iš viso jų praleisti.

Paskirstymo (paskirstymo) teisė

• loginiam dauginimui:

A & (B ∨ C) = (A & B) ∨ (A & C);

• logiškam papildymui:

A ∨ (B & C) = (A ∨ B) & (A ∨ C).

Dvigubo neigimo dėsnis

Vidurio išskyrimo dėsnis

Iš dviejų prieštaringų teiginių apie tą patį dalyką vienas visada teisingas, antrasis klaidingas, o trečiojo nėra.

Pasikartojimo dėsnis

• loginiam dauginimui:
• logiškam papildymui:

Veiksmų su 0 ir 1 dėsniai

• loginiam dauginimui:

A & 0 = 0; A & 1 = A;

• logiškam papildymui:

A ∨ O = A; A ∨ l = l.

Bendrosios inversijos dėsniai

Loginės algebros dėsnius galima įrodyti naudojant tiesos lenteles.

Įrodykime loginio papildymo paskirstymo dėsnį:

A ∨ (B & C) = (A ∨ B) & (A ∨ C).

Stulpelių, atitinkančių logines išraiškas kairėje ir dešinėje lygybės pusėse, sutapimas įrodo skirstymo dėsnio pagrįstumą loginiam sudėjimui.

2 pavyzdys . Raskime loginės išraiškos reikšmę kai skaičius X = 0.

Sprendimas . Kai X = 0 gauname tokią loginę išraišką: . Kadangi loginės išraiškos yra 0< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. Loginių uždavinių sprendimas

Pažvelkime į kelis loginių uždavinių sprendimo būdus.

1 problema . Kolya, Vasya ir Seryozha vasarą lankydavosi pas močiutę. Vieną dieną vienas iš berniukų netyčia sulaužė savo močiutės mėgstamą vazą. Paklausti, kas sulaužė vazą, jie atsakė:

Seryozha: 1) Aš jo nesulaužiau. 2) Vasya jo nesulaužė.

Vasya: 3) Seryozha jo nesulaužė. 4) Kolya sudaužė vazą.

Kolya: 5) Aš jo nesulaužiau. 6) Seryozha sudaužė vazą.

Močiutė žinojo, kad vienas iš jos anūkų, pavadinkime jį teisuoliu, abu kartus sakė tiesą; antrasis, pavadinkime jį juokdariu, abu kartus melavo; trečias, pavadinkime jį gudriu, vieną kartą pasakė tiesą, o kitą kartą – melą. Įvardink teisingą, juokdarį ir gudrųjį. Kuris anūkas sulaužė vazą?

Sprendimas. Tegul K = „Kolya sudaužė vazą“, B = „Vasya sudaužė vazą“, C = „Seryozha sulaužė vazą“. Padarykime tiesos lentelę, kurioje pateiksime kiekvieno berniuko teiginius 1 .

1 Atsižvelgiant į tai, kad vazą sulaužė vienas anūkas, buvo galima sukurti ne visą lentelę, o tik jos fragmentą, kuriame yra šie įvesties kintamųjų rinkiniai: 001, 010, 100.

Remdamiesi tuo, ką močiutė žino apie savo anūkus, turėtumėte ieškoti lentelėje eilučių, kuriose tam tikra tvarka yra trys reikšmių deriniai: 00, 11, 01 (arba 10). Lentelėje buvo dvi tokios eilutės (jos pažymėtos varnelėmis). Pasak antrojo iš jų, vazą sulaužė Kolya ir Vasya, o tai prieštarauja sąlygai. Pagal pirmąją rastą eilutę Seryozha sudaužė vazą ir pasirodė esąs gudrus. Vasya pasirodė juokdarys. Tikro anūko vardas yra Kolya.

2 problema . Alla, Valya, Sima ir Dasha dalyvauja gimnastikos varžybose. Gerbėjai pateikė pasiūlymus dėl galimų nugalėtojų:

1. Pirmas bus Sima, antras Valya;
2. Antra bus Sima, trečia – Daša;
3. Alla bus antra, Daša – ketvirta.

Pasibaigus konkursui paaiškėjo, kad kiekvienoje iš prielaidų tik vienas iš teiginių yra teisingas, kitas – klaidingas. Kokią vietą konkurse užėmė kiekviena iš merginų, jei visos atsidūrė skirtingose ​​vietose?

Sprendimas . Pažvelkime į keletą paprastų teiginių:

C 1 = "Sima užėmė pirmąją vietą";

B 2 = „Valya užėmė antrąją vietą“;

C 2 = „Sima užėmė antrąją vietą“;

D 3 = „Daša užėmė trečią vietą“;

A 2 = „Alla užėmė antrąją vietą“;

D 4 = „Daša užėmė ketvirtą vietą“.

Kadangi kiekvienoje iš trijų prielaidų vienas iš teiginių yra teisingas, o kitas - klaidingas, galime daryti tokią išvadą:

1. C 1 + B 2 = 1, C 1 B 2 = 0;
2. C 2 + D 3 = 1, C 2 D 3 = 0;
3. A 2 + D 4 = 1, A 2 D 4 = 0.

Loginis teisingų teiginių produktas bus teisingas:

(C 1 + B 2) (C 2 + D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Remdamiesi paskirstymo dėsniu, transformuojame kairiąją šios išraiškos pusę:

(C 1 C 2 + C 1 D 3 + B 2 C 2 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Teiginys C 1 C 2 reiškia, kad Sima užėmė ir pirmąją, ir antrąją vietas. Pagal problemos sąlygas šis teiginys yra klaidingas. Teiginys B 2 C 2 taip pat klaidingas. Atsižvelgdami į operacijų su konstanta 0 dėsnį, rašome:

(C 1 D 3 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Tolesnė šios lygybės kairiosios pusės transformacija ir akivaizdžiai klaidingų teiginių pašalinimas duoda:

C 1 D 3 A 2 + C 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 = 1.

C 1 D 3 A 2 = 1.

Iš paskutinės lygybės išplaukia, kad C 1 = 1, D 3 = 1, A 2 = 1. Tai reiškia, kad Sima užėmė pirmąją vietą, Alla užėmė antrąją, Daša - trečią. Vadinasi, Valya užėmė ketvirtą vietą.

Svetainėje „Matematika moksleiviams“ (http://www.kenqyry.com/) galite susipažinti su kitais loginių uždavinių sprendimo būdais, taip pat dalyvauti internetinėse olimpiadose ir jų sprendimo konkursuose..

Svetainėje http://www.kaser.com/ galite atsisiųsti demonstracinę labai naudingo Šerloko logikos galvosūkio versiją, kuri lavina logiką ir samprotavimo įgūdžius.

1.3.6. Loginiai elementai

Logikos algebra yra matematikos šaka, kuri atlieka svarbų vaidmenį projektuojant automatinius įrenginius ir kuriant informacinių ir ryšių technologijų techninę ir programinę įrangą.

Jūs jau žinote, kad bet kokia informacija gali būti pateikiama atskira forma – kaip fiksuotas atskirų reikšmių rinkinys. Įrenginiai, apdorojantys tokias reikšmes (signalus), vadinami diskrečiais. Diskretusis keitiklis, kuris, apdorojęs dvejetainius signalus, sukuria vienos iš loginių operacijų reikšmę, vadinamas loginiu elementu.

Fig. 1.5 rodo loginių elementų simbolius (diagramas), įgyvendinančius loginį dauginimą, loginį sudėjimą ir inversiją.

1.5 pav.
Loginiai elementai

IR loginis elementas (jungiklis) įgyvendina loginio daugybos operaciją (1.5 pav., a). Šio elemento išvestyje esantis vienetas bus rodomas tik tada, kai visuose įėjimuose yra vienetų.

ARBA loginis elementas (disjunktoris) įgyvendina loginio sudėjimo operaciją (1.5 pav., b). Jei bent viena įvestis yra viena, tada elemento išvestis taip pat bus viena.

NOT loginis elementas (inverteris) įgyvendina neigimo operaciją (1.5 pav., c). Jei elemento įvestis yra O, tada išvestis yra 1 ir atvirkščiai.

Kompiuterių įrenginiai, atliekantys operacijas su dvejetainiais skaičiais ir langeliais, kuriuose saugomi duomenys, yra elektroninės grandinės, susidedančios iš atskirų loginių elementų. Plačiau šie klausimai bus nagrinėjami informatikos kurse 10-11 klasėms.

3 pavyzdys. Išanalizuokime elektroninę grandinę, tai yra, išsiaiškinkime, koks signalas turėtų būti kiekvieno galimo signalų rinkinio išvestyje.

Sprendimas. Į tiesos lentelę įvessime visas įmanomas signalų kombinacijas įėjimuose A iki B. Stebėkime kiekvienos signalų poros transformaciją, kai jie praeina per loginius elementus, ir parašykime rezultatą į lentelę. Užpildyta tiesos lentelė visiškai apibūdina nagrinėjamą elektroninę grandinę.

Tiesos lentelę taip pat galima sudaryti naudojant loginę išraišką, atitinkančią elektroninę grandinę. Paskutinis loginis elementas nagrinėjamoje grandinėje yra jungiklis. Jis priima signalus iš įvesties L ir iš keitiklio. Savo ruožtu keitiklis gauna signalą iš įėjimo B. Taigi,

Darbas su Logic simuliatoriumi (http://kpolyakov. narod. ru/prog/logic. htm) padės geriau suprasti loginius elementus ir elektronines grandines.

Svarbiausias

pareiškimas– yra sakinys bet kuria kalba, kurio turinį galima vienareikšmiškai nustatyti kaip teisingą arba klaidingą.

Pagrindinės loginės operacijos, apibrėžtos teiginiuose: inversija, konjunkcija, disjunkcija.

Tiesos lentelės pagrindinėms loginėms operacijoms:

Vertinant Būlio išraiškas, pirmiausia atliekami skliausteliuose nurodyti veiksmai. Loginių operacijų vykdymo prioritetas:

Klausimai ir užduotys

1. Paaiškinkite, kodėl šie sakiniai nėra teiginiai.
1. Kokios spalvos šis namas?
2. Skaičius X neviršija vieneto.
3. 4x + 3.
4. Pažiūrėk pro langą.
5. Gerkite pomidorų sultis!
6. Ši tema nuobodi.
7. Ricky Martinas yra populiariausias dainininkas.
8. Ar buvai teatre?
2. Pateikite vieną teisingų ir klaidingų teiginių pavyzdį iš biologijos, geografijos, informatikos, istorijos, matematikos, literatūros.
3. Tolesniuose teiginiuose paryškinkite paprastus teiginius, kiekvieną iš jų pažymėdami raide; užrašykite kiekvieną sudėtinį teiginį naudodami raides ir loginių operacijų ženklus.
1. Skaičius 376 yra lyginis ir susideda iš trijų skaitmenų.
2. Žiemą vaikai čiuožia ar slidinėja.
3. Naujuosius metus sutiksime vasarnamyje arba Raudonojoje aikštėje.
4. Netiesa, kad Saulė juda aplink Žemę.
5. Žemė yra rutulio formos, kuri iš kosmoso atrodo mėlyna.
6. Per matematikos pamoką gimnazistai atsakinėjo į mokytojos klausimus, taip pat rašė savarankiškus darbus.
4. Sukurkite šių teiginių neigimą.
1. Šiandien teatre rodoma opera „Eugenijus Oneginas“.
2. Kiekvienas medžiotojas nori žinoti, kur sėdi fazanas.
3. Skaičius 1 yra pirminis skaičius.
4. Natūralūs skaičiai, kurie baigiasi 0, nėra pirminiai skaičiai.
5. Netiesa, kad skaičius 3 nėra skaičiaus 198 daliklis.
6. Kolya išsprendė visas testo užduotis.
7. Kiekvienoje mokykloje kai kurie mokiniai domisi sportu.
8. Kai kurie žinduoliai negyvena sausumoje.
5. Tegul A = „Anyai patinka matematikos pamokos“, o B = „Anyai patinka chemijos pamokos“. Įprastine kalba išreikškite šias formules:



6. Apsvarstykite paveikslėlyje parodytas elektros grandines:



Juose pavaizduotos lygiagrečios ir nuoseklios jungiklių jungtys, žinomos iš fizikos kurso. Pirmuoju atveju turi būti įjungti abu jungikliai, kad užsidegtų šviesa. Antruoju atveju pakanka, kad vienas iš jungiklių būtų įjungtas. Pabandykite patys nubrėžti analogiją tarp elektros grandinių elementų ir loginės algebros objektų bei operacijų:



7. Kai kuriuos interneto segmentus sudaro 1000 svetainių. Paieškos serveris automatiškai sudarė šio segmento svetainių raktinių žodžių lentelę. Štai jo fragmentas:






Užklausa šamas ir gupijos rasta 0 svetainių, užklausa šamas ir kardų uodegos rasta 20 svetainių, o užklausa swordtails & guppies rasta 10 svetainių.

Kiek svetainių bus rasta pagal užklausą šamas | kardų uodegos | gupijus?

Kiek svetainių nagrinėjamame segmente yra klaidingas teiginys „Šamas yra svetainės raktinis žodis ARBA kardų uodegos yra svetainės raktinis žodis ARBA gupijos yra svetainės raktinis žodis“?

8. Sukurkite tiesos lenteles šioms loginėms išraiškoms:



9. Atlikite pastraipoje aptartų loginių dėsnių įrodymą naudodami tiesos lenteles.
10. Duoti trys skaičiai dešimtainėje skaičių sistemoje: A = 23, B = 19, C = 26. Paverskite A, B ir C į dvejetainę skaičių sistemą ir atlikite bitines logines operacijas (A ∨ B) & C. Pateikite atsakymą dešimtainių skaičių sistema.
11. Raskite posakių reikšmes:



12. Raskite Būlio išraiškos reikšmę nurodytoms skaičiaus X reikšmėms:

1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 4

13. Tegu A = "Pirmoji vardo raidė yra balsė", B = "Ketvirtoji vardo raidė yra priebalsis". Raskite Būlio išraiškos reikšmę šiems pavadinimams:



4) FEDORAS


14. Johno, Browno ir Smitho byla nagrinėjama. Yra žinoma, kad vienas iš jų lobį rado ir paslėpė. Tyrimo metu kiekvienas iš įtariamųjų pasakė du pareiškimus:



Smithas: „Aš to nepadariau. Brownas tai padarė“.

Johnas: Brownas nekalta. Smithas tai padarė“.

Brownas: „Aš to nepadariau. Jonas to nepadarė“.

Teismas nustatė, kad vienas iš jų melavo du kartus, kitas – du kartus, trečias – kartą melavo ir kartą pasakė tiesą. Kuris įtariamasis turėtų būti išteisintas?


15. Alioša, Borja ir Griša žemėje rado senovinį indą. Nagrinėdami nuostabų radinį, kiekvienas padarė dvi prielaidas:
    
    
    1. Alioša: „Tai graikiškas indas, pagamintas 5 amžiuje“.
    2. Borya: „Tai finikiečių laivas, pagamintas III amžiuje.
    3. Grisha: „Šis indas nėra graikiškas ir buvo pagamintas IV amžiuje.
       Istorijos mokytoja vaikams pasakė, kad kiekvienas iš jų buvo teisus tik vienoje iš dviejų prielaidų. Kur ir kokiame amžiuje buvo pagamintas indas?
    
    
16. Išsiaiškinkite, koks signalas turi būti elektroninės grandinės išvestyje kiekvienam galimam signalų rinkiniui prie įėjimų. Padarykite lentelę, kaip veikia grandinė. Kokia loginė išraiška apibūdina grandinę?

Tiesos lentelių loginėms išraiškoms konstravimas

Apžiūra pagrindinės loginės operacijos.

53. Lentelėje pateikiamos užklausos ir jas naudojant rastų puslapių skaičius tam tikram interneto segmentui.

Prašymas	Rasti puslapiai (tūkstančiais)
ŠOKOLADAS | ZEFYRAS	15 000
ŠOKOLADAS IR ZEFYRAS	8 000
ZEFYRAS	12 000

Kiek puslapių (tūkstančiais) bus rasta pagal užklausą ŠOKOLADAS? Išspręskite problemą naudodami Eulerio apskritimus:

54. Lentelėje pateikiamos užklausos ir jas naudojant rastų puslapių skaičius tam tikram interneto segmentui.

Prašymas	Rasti puslapiai (tūkstančiais)
BISON & TOUR	5 000
stumbras	18 000
TURAS	12 000

Kiek puslapių (tūkstančiais) bus rasta pagal užklausą ZUBR | TURAS?Išspręskite problemą naudodami Eulerio apskritimus:

55. Lentelėje pateikiamos užklausos ir jas naudojant rastų puslapių skaičius tam tikram interneto segmentui.

Prašymas	Rasti puslapiai (tūkstančiais)
FUTBOLAS | REKIJAS	20 000
FUTBOLAS	14 000
REKIJAS	16 000

Kiek puslapių (tūkstančiais) bus rasta pagal užklausą FUTBOLIS IR LEDODUMAS? Išspręskite problemą naudodami Eulerio apskritimus:

Užduotys.

1. Paaiškinkite, kodėl šie sakiniai nėra teiginiai.

1)Kokios spalvos šis namas?

2) Skaičius X neviršija vieneto.

4) Pažiūrėk pro langą.

5) Gerkite pomidorų sultis!

6) Ši tema yra nuobodi.

7) Ricky Martin yra populiariausias dainininkas.

8) Ar buvai teatre?

3. Tolesniuose teiginiuose paryškinkite paprastus teiginius, kiekvieną iš jų pažymėdami raide; užrašykite kiekvieną sudėtinį teiginį naudodami raides ir loginių operacijų ženklus.

1) Skaičius 376 yra lyginis ir trijų skaitmenų.

2) Žiemą vaikai važinėja ant ledo ar slidinėja.

3) Naujuosius metus švęsime vasarnamyje arba Raudonojoje aikštėje.

4) Netiesa, kad Saulė juda aplink Žemę.

5) Žemė yra rutulio formos, kuri iš kosmoso atrodo mėlyna.

6) Per matematikos pamoką gimnazistai atsakinėjo į mokytojo klausimus, taip pat rašė savarankiškus darbus.

4.Sukonstruokite šių teiginių neiginius.

1)Šiandien teatre rodoma opera „Eugenijus Oneginas“.

2) Kiekvienas medžiotojas nori žinoti, kur sėdi fazanas.

3) Skaičius 1 yra pirminis skaičius.

4) Natūralūs skaičiai, kurie baigiasi O, nėra pirminiai skaičiai.

5) Netiesa, kad skaičius 3 nėra skaičiaus 198 daliklis.

6) Kolya išsprendė visas testo užduotis.

7) Kiekvienoje mokykloje kai kurie mokiniai domisi sportu.

8) Kai kurie žinduoliai negyvena sausumoje.

5. Tegul A = " Anyai patinka matematikos pamokos", ir B = " Bet neMan patinka chemijos pamokos“. Įprastine kalba išreikškite šias formules:

6. Apsvarstykite elektros grandines, parodytas paveikslėlyje:

Juose pavaizduotos lygiagrečios ir nuoseklios jungiklių jungtys, žinomos iš fizikos kurso. Pirmuoju atveju turi būti įjungti abu jungikliai, kad užsidegtų šviesa. Antruoju atveju pakanka, kad vienas iš jungiklių būtų įjungtas. Pabandykite patys nubrėžti analogiją tarp elektros grandinių elementų ir loginės algebros objektų bei operacijų:

Elektros schema	Logikos algebra
Jungiklis
Įjungti
Išjungti
Jungiklių serijinis pajungimas
Lygiagretus jungiklių sujungimas

7. Tam tikras interneto segmentas susideda iš 1000 svetainių. Paieškos serveris automatiškai sudarė šio segmento svetainių raktinių žodžių lentelę. Štai jo fragmentas:

raktinis žodis	Svetainių, kuriose šis žodis yra raktinis žodis, skaičius
šamas	250
kardo uodegos	200
guppy	500

Pageidaujant šamai ir gupijos Pagal jūsų užklausą rasta 0 svetainių šamas ir kardų uodegos- 20 aikštelių ir pagal pageidavimą kardo uodegos ir gupijos- 10 svetainių.Kiek svetainių bus rasta pagal užklausą? šamas | kardų uodegos | guppy?
Kiek svetainių nagrinėjamame segmente teiginys yra klaidingas?„Šamas – svetainės raktinis žodis ARBA kardo uodegos –svetainės raktinis žodis ARBA guppy - svetainės raktinis žodis“?
8. Sukurkite tiesos lenteles šioms loginėms išraiškoms:

9. Įrodykite pastraipoje aptartą logiką dėsniai naudojant tiesos lenteles.

Duoti trys skaičiai dešimtainėje skaičių sistemoje: A = 23, B = 19, C = 26. Paverskite A, B ir C į dvejetainę skaičių sistemą ir atlikite bitines logines operacijas (A v B) & C. Pateikite atsakymą dešimtainių skaičių sistema.
11. Raskite posakių reikšmes:
1) (1 prieš 1) prieš (1 prieš 0);
2) ((1 prieš 0) prieš 1) prieš 1);
3) (0 & 1) & 1;
4) 1 & (1 & 1) & 1;
5) ((1 prieš 0) & (1 ir 1)) & (0 prieš 1);
6) ((1 ir 1) prieš 0) & (0 prieš 1);
7) ((0 ir 0) v 0) & (1 prieš 1);
8) (A v 1) v (B v 0);
9) ((1 ir A) v (B ir 0)) v 1;
10) 1 prieš A ir 0.
12. Raskite Būlio išraiškos reikšmę

Dėl nurodytos skaičiaus X reikšmės: 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4