Lygtys su galiomis yra sprendimų pavyzdžiai. Kas yra eksponentinė lygtis ir kaip ją išspręsti

Eksponentinių lygčių sprendimas. Pavyzdžiai.

Dėmesio!
Yra papildomų
555 specialiojo skyriaus medžiaga.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Kas nutiko eksponentinė lygtis? Tai lygtis, kurioje yra nežinomieji (x) ir išraiškos su jais rodikliai kai kurie laipsniai. Ir tik ten! Svarbu.

Štai kur tu eksponentinių lygčių pavyzdžiai:

3 x 2 x = 8 x + 3

Pastaba! Laipsnių pagrindu (žemiau) - tik skaičiai. IN rodikliai laipsniai (aukščiau) - daugybė išraiškų su x. Jei staiga lygtyje x atsiranda kur nors kitur nei indikatorius, pavyzdžiui:

tai bus mišraus tipo lygtis. Tokios lygtys neturi aiškių sprendimo taisyklių. Kol kas jų nesvarstysime. Čia mes susidorosime su eksponentinių lygčių sprendimas gryniausia forma.

Tiesą sakant, net grynos eksponentinės lygtys ne visada yra aiškiai išspręstos. Tačiau yra tam tikrų tipų eksponentinių lygčių, kurias galima ir reikia išspręsti. Tai yra rūšys, kurias mes apžvelgsime.

Paprasčiausių eksponentinių lygčių sprendimas.

Pradėkime nuo kažko labai paprasto. Pavyzdžiui:

Net ir be jokios teorijos, paprastu pasirinkimu aišku, kad x = 2. Nieko daugiau, tiesa!? Jokių kitų x vertės ritinių. O dabar pažvelkime į šios sudėtingos eksponentinės lygties sprendimą:

Ką mes padarėme? Mes, tiesą sakant, tiesiog išmetėme tas pačias apatines (trigubas). Visiškai išmestas. Ir, kas patinka, pataikykite!

Iš tiesų, jei eksponentinės lygties kairėje ir dešinėje yra tas pats skaičiai bet kokiu laipsniu, šie skaičiai gali būti pašalinti ir lygūs eksponentams. Matematika leidžia. Belieka išspręsti daug paprastesnę lygtį. Tai gerai, tiesa?)

Tačiau prisiminkime ironiškai: pagrindus galite nuimti tik tada, kai baziniai numeriai kairėje ir dešinėje yra puikiai atskirti! Be jokių kaimynų ir koeficientų. Tarkime lygtyse:

2 x +2 x + 1 = 2 3 arba

Jūs negalite pašalinti dvigubų!

Na, mes įvaldėme svarbiausią dalyką. Kaip pereiti nuo piktų eksponentinių išraiškų prie paprastesnių lygčių.

– Štai tie laikai! - sakai tu. "Kas duos tokį primityvą ant kontrolinio ir egzaminų!?"

Priverstas sutikti. Niekas to nepadarys. Tačiau dabar žinote, kur kreiptis sprendžiant painius pavyzdžius. Būtina tai atsiminti, kai tas pats bazinis numeris yra kairėje - dešinėje. Tada viskas bus lengviau. Tiesą sakant, tai yra matematikos klasika. Mes paimame originalų pavyzdį ir paverčiame jį norimu mus protas. Žinoma, pagal matematikos taisykles.

Apsvarstykite pavyzdžius, kuriems reikia šiek tiek papildomų pastangų, kad juos būtų galima padaryti paprasčiausius. Paskambinkime jiems paprastos eksponentinės lygtys.

Paprastų eksponentinių lygčių sprendimas. Pavyzdžiai.

Sprendžiant eksponentines lygtis, pagrindinės taisyklės yra veiksmai su galiomis. Nežinant apie šiuos veiksmus niekas neveiks.

Prie veiksmų su laipsniais reikia pridėti asmeninį stebėjimą ir išradingumą. Ar mums reikia tų pačių bazinių skaičių? Taigi pavyzdyje jų ieškome aiškia arba užšifruota forma.

Pažiūrėkime, kaip tai daroma praktiškai?

Pateiksime pavyzdį:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pirmas žvilgsnis į pagrindu. Jie... Jie skirtingi! Du ir aštuoni. Tačiau dar per anksti nusiminti. Laikas tai prisiminti

Du ir aštuoni yra laipsnio giminės.) Visiškai įmanoma užsirašyti:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jei prisiminsime formulę iš veiksmų su galiomis:

(a n) m = a nm ,

paprastai veikia puikiai:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Originalus pavyzdys atrodo taip:

2 2x - 2 3 (x+1) = 0

Perkeliame 2 3 (x+1)į dešinę (niekas neatšaukė elementarių matematikos veiksmų!), gauname:

2 2 x \u003d 2 3 (x + 1)

Tai praktiškai viskas. Pagrindo pašalinimas:

Mes išsprendžiame šį monstrą ir gauname

Tai teisingas atsakymas.

Šiame pavyzdyje mums padėjo dviejų galių žinojimas. Mes nustatyta aštuntoje – užšifruotas dvikovas. Ši technika (bendrų bazių kodavimas skirtingais skaičiais) yra labai populiarus eksponentinių lygčių triukas! Taip, net logaritmais. Skaičiuose reikia mokėti atpažinti kitų skaičių galias. Tai labai svarbu sprendžiant eksponenlines lygtis.

Faktas yra tai, kad bet kokį skaičių padidinti iki bet kokios galios nėra problema. Padauginkite, kad ir ant popieriaus lapo, ir viskas. Pavyzdžiui, kiekvienas gali pakelti 3 iki penktos laipsnio. 243 pasirodys, jei žinote daugybos lentelę.) Tačiau eksponentinėse lygtyse daug dažniau reikia kelti ne iki laipsnio, o atvirkščiai ... koks skaičius, kokiu mastu slepiasi už skaičiaus 243, arba, tarkim, 343... Joks skaičiuotuvas čia nepadės.

Kai kurių skaičių galias reikia žinoti iš matymo, taip... Ar pasitreniruosime?

Nustatykite, kokios galios ir kokie skaičiai yra skaičiai:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Atsakymai (žinoma, netvarkoje!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Atidžiau pažvelgę ​​pamatysite keistą faktą. Atsakymų yra daugiau nei klausimų! Na, būna... Pavyzdžiui, 2 6 , 4 3 , 8 2 yra visi 64.

Tarkime, kad atkreipėte dėmesį į informaciją apie pažintį su skaičiais.) Leiskite jums priminti, kad spręsdami eksponentines lygtis taikome visas matematinių žinių fondą. Įskaitant iš žemesnių ir vidurinių klasių. Tu ne iškart į vidurinę mokyklą, ar ne?

Pavyzdžiui, sprendžiant eksponentines lygtis labai dažnai padeda bendrojo koeficiento dėjimas iš skliaustų (sveiki 7 klasei!). Pažiūrėkime pavyzdį:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ir vėl pirmas žvilgsnis – aikštelėje! Skirtingi laipsnių pagrindai... Trys ir devyni. Ir mes norime, kad jie būtų vienodi. Na, šiuo atveju noras yra gana įgyvendinamas!) Nes:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Pagal tas pačias taisykles veiksmams su laipsniais:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Puiku, galite parašyti:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Dėl tų pačių priežasčių pateikėme pavyzdį. Taigi, kas toliau!? Trijų negalima išmesti ... Aklavietė?

Visai ne. Prisimenant universaliausią ir galingiausią sprendimo taisyklę visi matematikos užduotys:

Jei nežinai, ką daryti, daryk, ką gali!

Pažiūrėk, viskas susiformuoja).

Kas yra šioje eksponentinėje lygtyje Gali daryti? Taip, kairėje pusėje tiesiogiai prašoma skliaustų! Bendras koeficientas 3 2x aiškiai tai rodo. Pabandykime, tada pamatysime:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Pavyzdys vis gerėja ir gerėja!

Primename, kad norint pašalinti bazes, reikia gryno laipsnio, be jokių koeficientų. Skaičius 70 mus trikdo. Taigi abi lygties puses padaliname iš 70, gauname:

Op-pa! Viskas buvo gerai!

Tai yra galutinis atsakymas.

Tačiau pasitaiko, kad išvažiuojama tuo pačiu pagrindu, tačiau jų likvidavimas – ne. Tai atsitinka kito tipo eksponentinėse lygtyse. Paimkime šį tipą.

Kintamojo keitimas sprendžiant eksponentines lygtis. Pavyzdžiai.

Išspręskime lygtį:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Pirma – kaip įprasta. Pereikime prie bazės. Į dvikovą.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Gauname lygtį:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ir čia mes pakabinsime. Ankstesnės gudrybės neveiks, kad ir kaip pasuktumėte. Turėsime gauti iš kito galingo ir universalaus būdo arsenalo. Tai vadinama kintamasis pakeitimas.

Metodo esmė stebėtinai paprasta. Vietoj vienos sudėtingos piktogramos (mūsų atveju 2 x) rašome kitą, paprastesnę (pavyzdžiui, t). Toks, atrodytų, beprasmis pakeitimas veda prie nuostabių rezultatų!) Viskas tiesiog tampa aišku ir suprantama!

Taigi tegul

Tada 2 2x \u003d 2 x 2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Savo lygtyje visus laipsnius x pakeičiame t:

Na, išaušta?) Dar nepamiršote kvadratinių lygčių? Išsprendžiame per diskriminantą, gauname:

Čia svarbiausia nesustoti, kaip atsitinka... Tai dar ne atsakymas, mums reikia x, o ne t. Grįžtame prie Xs, t.y. darant pakaitalą. Pirmiausia t 1:

Tai yra,

Buvo rasta viena šaknis. Ieškome antrojo, nuo t 2:

Hm... Kairė 2 x, dešinė 1... Kabliukas? Taip, visai ne! Pakanka prisiminti (iš veiksmų su laipsniais, taip ...), kad vienybė yra bet koks skaičių iki nulio. Bet koks. Ko jums reikės, mes įdėsime. Mums reikia dviejų. Priemonės:

Dabar viskas. Turi 2 šaknis:

Tai yra atsakymas.

At sprendžiant eksponentines lygtis pabaigoje kartais gaunama kokia nors nepatogi išraiška. Tipas:

Nuo septyneto dvivietis per paprastą laipsnį neveikia. Jie nėra giminaičiai... Kaip aš galiu čia būti? Kažkas gali būti sumišęs ... Bet asmuo, kuris perskaitė šioje svetainėje temą "Kas yra logaritmas?" , tik taupiai nusišypsok ir tvirta ranka užsirašyk visiškai teisingą atsakymą:

Egzamino „B“ užduotyse tokio atsakymo negali būti. Reikalingas konkretus skaičius. Bet užduotyse „C“ – lengvai.

Šioje pamokoje pateikiami dažniausiai pasitaikančių eksponentinių lygčių sprendimo pavyzdžiai. Išskirkime pagrindinį.

Praktiniai patarimai:

1. Pirmiausia žiūrime pagrindu laipsnių. Pažiūrėkime, ar jų nepavyks padaryti tas pats. Pabandykime tai padaryti aktyviai naudodami veiksmai su galiomis. Nepamirškite, kad skaičiai be x taip pat gali būti paversti laipsniais!

2. Bandome įvesti eksponentinę lygtį į formą, kai kairė ir dešinė yra tas pats skaičiai bet kokiu laipsniu. Mes naudojame veiksmai su galiomis Ir faktorizavimas. Ką galima suskaičiuoti skaičiais – skaičiuojame.

3. Jei antrasis patarimas nepasiteisino, bandome taikyti kintamąjį pakeitimą. Rezultatas gali būti lengvai išsprendžiama lygtis. Dažniausiai – kvadratas. Arba trupmena, kuri taip pat sumažinama iki kvadrato.

4. Norint sėkmingai išspręsti eksponenlines lygtis, reikia žinoti kai kurių skaičių laipsnius „iš akies“.

Kaip įprasta, pamokos pabaigoje kviečiama šiek tiek išspręsti.) Savarankiškai. Nuo paprasto iki sudėtingo.

Išspręskite eksponentines lygtis:

Sunkiau:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x – 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Raskite šaknų produktą:

2 3-x + 2 x = 9

Įvyko?

Na, tada pats sudėtingiausias pavyzdys (vis dėlto jis išspręstas mintyse ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Kas įdomiau? Tada čia jums blogas pavyzdys. Gana traukiant padidintą sunkumą. Užsiminsiu, kad šiame pavyzdyje gelbsti išradingumas ir universaliausia visų matematinių užduočių sprendimo taisyklė.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Paprastesnis pavyzdys, skirtas atsipalaiduoti):

9 2 x - 4 3 x = 0

Ir desertui. Raskite lygties šaknų sumą:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Taip taip! Tai mišraus tipo lygtis! Į ką šioje pamokoje nesvarstėme. Ir ką jas laikyti, jas reikia išspręsti!) Šios pamokos visiškai pakanka lygčiai išspręsti. Na, reikia išradingumo... Ir taip, septinta klasė jums padės (tai užuomina!).

Atsakymai (netvarkingi, atskirti kabliataškiais):

1; 2; 3; 4; nėra sprendimų; 2; -2; -5; 4; 0.

Ar viskas pasisekė? Puiku.

Yra problema? Jokiu problemu! Specialiajame 555 skyriuje visos šios eksponentinės lygtys išspręstos su išsamiais paaiškinimais. Kas, kodėl ir kodėl. Ir, žinoma, yra papildomos vertingos informacijos apie darbą su visomis eksponentinėmis lygtimis. Ne tik su šiais.)

Paskutinis įdomus klausimas, kurį reikia apsvarstyti. Šioje pamokoje dirbome su eksponentinėmis lygtimis. Kodėl aš čia nepasakiau nė žodžio apie ODZ? Beje, lygtyse tai labai svarbus dalykas...

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Ši pamoka skirta tiems, kurie tik pradeda mokytis eksponentinių lygčių. Kaip visada, pradėkime nuo apibrėžimo ir paprastų pavyzdžių.

Jeigu skaitote šią pamoką, tai įtariu, kad jau bent minimaliai suprantate paprasčiausias lygtis – tiesinę ir kvadratinę: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ ir pan. Mokėti spręsti tokias konstrukcijas būtina, kad „neužsikabintume“ temoje, apie kurią dabar bus kalbama.

Taigi, eksponentinės lygtys. Pateiksiu porą pavyzdžių:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=-3\]

Kai kurie iš jų jums gali pasirodyti sudėtingesni, kai kurie, atvirkščiai, yra pernelyg paprasti. Tačiau juos visus vienija viena svarbi savybė: juose yra eksponentinė funkcija $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Taigi pateikiame apibrėžimą:

Eksponentine lygtimi vadinama bet kuri lygtis, kurioje yra eksponentinė funkcija, t.y. $((a)^(x))$ formos išraiška. Be nurodytos funkcijos, tokiose lygtyse gali būti bet kokių kitų algebrinių konstrukcijų – polinomų, šaknų, trigonometrijos, logaritmų ir kt.

Gerai tada. Suprato apibrėžimą. Dabar kyla klausimas: kaip išspręsti visą šitą nesąmonę? Atsakymas yra paprastas ir sudėtingas tuo pačiu metu.

Pradėkime nuo gerų naujienų: iš savo patirties su daugeliu studentų galiu pasakyti, kad daugumai jų eksponentinės lygtys yra daug lengvesnės nei tie patys logaritmai, o juo labiau trigonometrija.

Tačiau yra ir blogų naujienų: kartais visokių vadovėlių ir egzaminų užduočių rengėjus aplanko „įkvėpimas“, o jų nuo narkotikų užsidegusios smegenys ima gaminti tokias žiaurias lygtis, kad jas spręsti tampa problematiška ne tik mokiniams – net daugelis mokytojų užstringa ties tokiomis problemomis.

Tačiau nekalbėkime apie liūdnus dalykus. Ir grįžkime prie tų trijų lygčių, kurios buvo pateiktos pačioje istorijos pradžioje. Pabandykime išspręsti kiekvieną iš jų.

Pirmoji lygtis: $((2)^(x))=4$. Na, iki kokio laipsnio reikia pakelti skaičių 2, kad gautume skaičių 4? Galbūt antrasis? Juk $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — ir gavome teisingą skaitinę lygybę, t.y. tikrai $x=2$. Na, ačiū, kepurė, bet ši lygtis buvo tokia paprasta, kad net mano katė galėjo ją išspręsti. :)

Pažvelkime į tokią lygtį:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Bet čia yra šiek tiek sunkiau. Daugelis mokinių žino, kad $((5)^(2))=25$ yra daugybos lentelė. Kai kas taip pat įtaria, kad $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ iš esmės yra neigiamų galių apibrėžimas (panašus į formulę $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).

Galiausiai tik keli atrinkti spėja, kad šiuos faktus galima sujungti, o rezultatas yra toks:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Taigi, mūsų pradinė lygtis bus perrašyta taip:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ir dabar tai jau visiškai išspręsta! Kairėje lygties pusėje yra eksponentinė funkcija, dešinėje lygties pusėje yra eksponentinė funkcija, niekur kitur nėra nieko, išskyrus juos. Todėl galima „išmesti“ pagrindus ir kvailai sutapatinti rodiklius:

Gavome paprasčiausią tiesinę lygtį, kurią bet kuris mokinys gali išspręsti vos per kelias eilutes. Gerai, keturiomis eilutėmis:

\[\begin(lygiuoti)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(lygiuoti)\]

Jei nesuprantate, kas atsitiko paskutinėse keturiose eilutėse, būtinai grįžkite į temą „tiesinės lygtys“ ir pakartokite. Nes be aiškaus šios temos įsisavinimo dar per anksti imtis eksponentinių lygčių.

\[((9)^(x)) = -3\]

Na, kaip jūs nuspręsite? Pirma mintis: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, todėl pradinę lygtį galima perrašyti taip:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Tada primename, kad didinant laipsnį iki galios, rodikliai dauginami:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rodyklė dešinėn ((3)^(2x))=-((3)^(1))\]

\[\begin(lygiuoti)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(lygiuoti)\]

Ir už tokį sprendimą gauname sąžiningai pelnytą dvikovą. Nes mes, kaip pokemonas, nusiuntėme minuso ženklą priešais tris būtent šio trijulio galia. Ir tu negali to padaryti. Ir todėl. Pažvelkite į skirtingas trigubo galias:

1 (3) \\ ( (3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& ((3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrica)\]

Sudarydamas šią planšetę aš neiškrypau iš karto, kaip tai padariau: svarsčiau ir teigiamus laipsnius, ir neigiamus, ir net trupmeninius... na, kur čia bent vienas neigiamas skaičius? Jis nėra! Ir negali būti, nes eksponentinė funkcija $y=((a)^(x))$, pirma, visada ima tik teigiamas reikšmes (nesvarbu, kiek padauginsite vieną ar padalinsite iš dviejų, vis tiek bus teigiamas skaičius), ir, antra, tokios funkcijos pagrindas - skaičius $a$ - pagal apibrėžimą yra teigiamas skaičius!

Na, kaip tada išspręsti lygtį $((9)^(x))=-3$? Ne, šaknų nėra. Ir šia prasme eksponentinės lygtys labai panašios į kvadratines – šaknų taip pat gali nebūti. Bet jei kvadratinėse lygtyse šaknų skaičių lemia diskriminantas (diskriminantas teigiamas – 2 šaknys, neigiamas – šaknų nėra), tai eksponentinėse lygtyse viskas priklauso nuo to, kas yra į dešinę nuo lygybės ženklo.

Taigi suformuluojame pagrindinę išvadą: paprasčiausia formos $((a)^(x))=b$ eksponentinė lygtis turi šaknį tada ir tik tada, kai $b>0$. Žinodami šį paprastą faktą, galite lengvai nustatyti, ar jums pasiūlyta lygtis turi šaknis, ar ne. Tie. ar verta apskritai tai spręsti ar iš karto parašyti, kad šaknų nėra.

Šios žinios padės mums daug kartų, kai turėsime išspręsti sudėtingesnes problemas. Tuo tarpu užteks dainų tekstų – laikas išstudijuoti pagrindinį eksponentinių lygčių sprendimo algoritmą.

Kaip išspręsti eksponentines lygtis

Taigi, suformuluokime problemą. Būtina išspręsti eksponentinę lygtį:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Pagal „naivų“ algoritmą, kurį naudojome anksčiau, skaičių $b$ reikia pavaizduoti kaip skaičiaus $a$ laipsnį:

Be to, jei vietoj kintamojo $x$ yra kokia nors išraiška, gausime naują lygtį, kurią jau galima išspręsti. Pavyzdžiui:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rodyklė dešinėn ((2)^(x))=((2)^(3))\Rodyklė dešinėn x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rodyklė dešinėn ((3)^(-x))=((3)^(4))\RightArrow -x=4\RightArrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rodyklė dešinėn ((5)^(2x))=((5)^(3))\RightArrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)(2). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Ir kaip bebūtų keista, ši schema veikia maždaug 90% atvejų. O kaip tada su kitais 10%? Likę 10% yra šiek tiek „šizofreniškos“ formos eksponentinės lygtys:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Kokia galia reikia pakelti 2, kad gautum 3? Pirmajame? Bet ne: $((2)^(1))=2$ nepakanka. Antroje? Nė vienas: $((2)^(2))=4$ yra per daug. Kas tada?

Išmanantys studentai tikriausiai jau atspėjo: tokiais atvejais, kai neįmanoma išspręsti „gražiai“, prie bylos prijungiama „sunkioji artilerija“ - logaritmai. Leiskite jums priminti, kad naudojant logaritmus, bet kuris teigiamas skaičius gali būti pavaizduotas kaip bet kurio kito teigiamo skaičiaus laipsnis (išskyrus vieną):

Prisimeni šią formulę? Kai pasakoju savo mokiniams apie logaritmus, visada perspėju: ši formulė (tai yra ir pagrindinė logaritminė tapatybė arba, jei norite, logaritmo apibrėžimas) jus persekios labai ilgai ir „atsiras“ netikėčiausiose vietose. Na, ji pasirodė. Pažvelkime į mūsų lygtį ir šią formulę:

\[\begin(lygiuoti)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(lygiuoti)\]

Jei darysime prielaidą, kad $a=3$ yra mūsų pradinis skaičius dešinėje, o $b=2$ yra pats eksponentinės funkcijos, iki kurios norime sumažinti dešiniąją pusę, pagrindas, gausime:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rodyklė dešinėn 3=((2)^(((\log )_(2))3)); \\& ((2)^(x))=3\Rodyklė dešinėn ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rodyklė dešinėn x=((\log )_(2))3. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Gavome šiek tiek keistą atsakymą: $x=((\log )_(2))3$. Atliekant kokią nors kitą užduotį, su tokiu atsakymu, daugelis suabejotų ir imtų dar kartą tikrinti savo sprendimą: o jei kur nors būtų klaida? Skubu jus įtikti: čia nėra jokios klaidos, o logaritmai eksponentinių lygčių šaknyse yra gana tipiška situacija. Taigi pripraskite. :)

Dabar pagal analogiją išsprendžiame likusias dvi lygtis:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rodyklė dešinėn ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15))\Rightarrow x=((\log )_(5))15; ' \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tai viskas! Beje, paskutinį atsakymą galima parašyti kitaip:

Būtent mes įvedėme daugiklį į logaritmo argumentą. Tačiau niekas netrukdo mums pridėti šio faktoriaus į bazę:

Be to, visi trys variantai yra teisingi – tai tik skirtingos to paties skaičiaus rašymo formos. Kurį pasirinkti ir užsirašyti šiame sprendime, priklauso nuo jūsų.

Taigi mes išmokome išspręsti bet kokias formos $((a)^(x))=b$ eksponencines lygtis, kur skaičiai $a$ ir $b$ yra griežtai teigiami. Tačiau atšiauri mūsų pasaulio realybė yra ta, kad tokios paprastos užduotys sutiks labai labai retai. Dažniau susidursite su tokiais dalykais:

\[\begin(lygiuoti)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Na, kaip jūs nuspręsite? Ar tai apskritai galima išspręsti? Ir jei taip, kaip?

Jokios panikos. Visos šios lygtys greitai ir paprastai sumažinamos iki tų paprastų formulių, kurias jau svarstėme. Jums tereikia žinoti, kad prisimintumėte keletą gudrybių iš algebros kurso. Ir, žinoma, čia nėra jokių darbo su laipsniais taisyklių. Dabar apie visa tai papasakosiu. :)

Eksponentinių lygčių transformacija

Pirmiausia reikia atsiminti, kad bet kuri eksponentinė lygtis, kad ir kokia sudėtinga ji būtų, vienaip ar kitaip turi būti sumažinta iki paprasčiausių lygčių – tų, kurias jau svarstėme ir kurias žinome, kaip išspręsti. Kitaip tariant, bet kokios eksponentinės lygties sprendimo schema atrodo taip:

1. Užrašykite pradinę lygtį. Pavyzdžiui: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Padaryk kvailą šūdą. Ar net kažkoks mėšlas, vadinamas „pakeisk lygtį“;
3. Išvestyje gaukite paprasčiausias išraiškas, pvz., $((4)^(x))=4$ arba kažką panašaus. Be to, viena pradinė lygtis gali pateikti kelias tokias išraiškas vienu metu.

Su pirmu tašku viskas aišku – net mano katė gali užrašyti lygtį ant lapo. Atrodo, kad ir su trečiuoju punktu taip pat daugmaž aišku – aukščiau jau išsprendėme visą krūvą tokių lygčių.

Bet kaip su antruoju punktu? Kokios yra transformacijos? Ką konvertuoti į ką? Ir kaip?

Na, išsiaiškinkime. Pirmiausia norėčiau atkreipti dėmesį į šiuos dalykus. Visos eksponentinės lygtys skirstomos į du tipus:

1. Lygtis sudaryta iš eksponentinių funkcijų, turinčių tą pačią bazę. Pavyzdys: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formulėje yra eksponentinės funkcijos su skirtingais pagrindais. Pavyzdžiai: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ ir $((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 $.

Pradėkime nuo pirmojo tipo lygčių – jas lengviausia išspręsti. O jų sprendime mums padės tokia technika kaip stabilių posakių parinkimas.

Stabilios išraiškos paryškinimas

Dar kartą pažvelkime į šią lygtį:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ką mes matome? Keturi pakeliami skirtingais laipsniais. Bet visos šios galios yra paprastos kintamojo $x$ sumos su kitais skaičiais. Todėl būtina atsiminti darbo su laipsniais taisykles:

\[\begin(lygiuoti)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a)^(y))). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Paprasčiau tariant, eksponentų pridėjimas gali būti konvertuojamas į laipsnių sandaugą, o atimtis lengvai paverčiama padalijimu. Pabandykime pritaikyti šias formules mūsų lygties galioms:

\[\begin(lygiuoti)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^(x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\ctaškas 4. \\\end(lygiuoti)\]

Atsižvelgdami į šį faktą perrašome pradinę lygtį, tada surenkame visus terminus kairėje:

\[\begin(lygiuoti)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\ctaškas 4-11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Pirmuosiuose keturiuose terminuose yra elementas $((4)^(x))$ – išimkime jį iš skliausto:

\[\begin(lygiuoti)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Belieka abi lygties puses padalinti iš trupmenos $-\frac(11)(4)$, t.y. iš esmės padauginkite iš atvirkštinės trupmenos - $-\frac(4)(11)$. Mes gauname:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right)=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tai viskas! Pradinę lygtį sumažinome iki paprasčiausios ir gavome galutinį atsakymą.

Tuo pačiu metu, spręsdami, mes atradome (ir net išėmėme iš skliausto) bendrą koeficientą $((4)^(x))$ - tai yra stabili išraiška. Jis gali būti nurodytas kaip naujas kintamasis arba tiesiog tiksliai jį išreikšti ir gauti atsakymą. Bet kuriuo atveju pagrindinis sprendimo principas yra toks:

Pradinėje lygtyje suraskite stabilią išraišką, kurioje yra kintamasis, kurį lengva atskirti nuo visų eksponentinių funkcijų.

Geros naujienos yra tai, kad beveik kiekviena eksponentinė lygtis pripažįsta tokią stabilią išraišką.

Tačiau yra ir blogų naujienų: tokie posakiai gali būti labai keblūs, o atskirti juos gali būti gana sunku. Taigi pažvelkime į kitą problemą:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Galbūt dabar kam nors kils klausimas: „Paša, tu užmėtyta akmenimis? Čia yra skirtingos bazės - 5 ir 0,2. Bet pabandykime konvertuoti galią su baze 0.2. Pavyzdžiui, atsikratykime dešimtainės trupmenos, pakeisdami ją į įprastą:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5)\right()

Kaip matote, skaičius 5 vis tiek pasirodė, nors ir vardiklyje. Tuo pačiu metu rodiklis buvo perrašytas į neigiamą. Ir dabar primename vieną iš svarbiausių darbo su laipsniais taisyklių:

'

Čia, žinoma, šiek tiek apgavau. Kadangi norint visiškai suprasti, formulė, kaip atsikratyti neigiamų rodiklių, turėjo būti parašyta taip:

' =((5)^(x+1))\ ]

Kita vertus, niekas netrukdė mums dirbti tik su viena frakcija:

' x+1))\]

Bet šiuo atveju reikia mokėti pakelti laipsnį į kitą laipsnį (primenu: tokiu atveju rodikliai sumuojami). Bet man nereikėjo „vartyti“ trupmenų - galbūt kažkam bus lengviau. :)

Bet kokiu atveju pradinė eksponentinė lygtis bus perrašyta taip:

\[\begin(lygiuoti)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Taigi pasirodo, kad pradinę lygtį išspręsti yra dar lengviau nei anksčiau svarstytą: čia net nereikia išskirti stabilios išraiškos - viskas sumažėjo savaime. Belieka tik atsiminti, kad $1=((5)^(0))$, iš kur gauname:

\[\begin(lygiuoti)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Štai visas sprendimas! Gavome galutinį atsakymą: $x=-2$. Tuo pat metu norėčiau atkreipti dėmesį į vieną triuką, kuris mums labai supaprastino visus skaičiavimus:

Eksponentinėse lygtyse būtinai atsikratykite dešimtainių trupmenų, išverskite jas į įprastas. Tai leis matyti tuos pačius laipsnių pagrindus ir labai supaprastins sprendimą.

Dabar pereikime prie sudėtingesnių lygčių, kuriose yra skirtingos bazės, kurios paprastai nėra redukuojamos viena į kitą naudojant galias.

Naudojant eksponento ypatybę

Leiskite jums priminti, kad turime dvi ypač griežtas lygtis:

\[\begin(lygiuoti)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Pagrindinis sunkumas čia yra tas, kad neaišku, kuo ir kuo vadovautis. Kur yra fiksuotos išraiškos? Kur yra bendri pagrindai? Šito nėra.

Bet pabandykime eiti kitu keliu. Jei nėra paruoštų identiškų bazių, galite pabandyti jas surasti faktorinuodami turimas bazes.

Pradėkime nuo pirmosios lygties:

\[\begin(lygiuoti)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\cdot ((3)^(3x)). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Bet juk galima elgtis priešingai – iš skaičių 7 ir 3 sudaryti skaičių 21. Tai ypač lengva padaryti kairėje, nes abiejų laipsnių rodikliai yra vienodi:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+6))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tai viskas! Jūs ištraukėte eksponentą iš gaminio ir iškart gavote gražią lygtį, kurią galima išspręsti keliomis eilutėmis.

Dabar panagrinėkime antrąją lygtį. Čia viskas daug sudėtingiau:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Šiuo atveju trupmenos pasirodė nesumažinamos, bet jei ką nors pavyko sumažinti, būtinai sumažinkite. Dėl to dažnai atsiras įdomių priežasčių, su kuriomis jau galite dirbti.

Deja, nieko nesugalvojome. Bet matome, kad rodikliai kairėje produkto pusėje yra priešingi:

Leiskite jums priminti: norint atsikratyti minuso ženklo eksponente, tereikia „apversti“ trupmeną. Taigi perrašykime pradinę lygtį:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Antroje eilutėje mes tiesiog skliausteliuose suskirstėme sumą iš produkto pagal taisyklę $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right)))^(x))$, o paskutinėje eilutėje skaičių 100 tiesiog padauginome iš trupmenos.

Dabar atkreipkite dėmesį, kad skaičiai kairėje (apačioje) ir dešinėje yra šiek tiek panašūs. Kaip? Taip, aišku: tai to paties skaičiaus galios! Mes turime:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Taigi mūsų lygtis bus perrašyta taip:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))\]

'

Tuo pačiu metu, dešinėje, taip pat galite gauti laipsnį su ta pačia baze, kuriai pakanka tik „apversti“ trupmeną:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Galiausiai mūsų lygtis bus tokia:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tai yra visas sprendimas. Jo pagrindinė mintis susiveda į tai, kad net ir dėl skirtingų priežasčių mes stengiamės šias priežastis sumažinti iki tos pačios. Tam mums padeda elementarios lygčių transformacijos ir darbo su galiomis taisyklės.

Bet kokias taisykles ir kada naudoti? Kaip suprasti, kad vienoje lygtyje reikia iš kažkuo padalyti abi puses, o kitoje – išskaidyti eksponentinės funkcijos bazę į veiksnius?

Atsakymas į šį klausimą ateis su patirtimi. Iš pradžių išbandykite paprastas lygtis, o po to palaipsniui komplikuokite užduotis - ir labai greitai jūsų įgūdžių pakaks, kad išspręstumėte bet kokią eksponentinę lygtį iš to paties USE arba bet kokį nepriklausomą / bandomąjį darbą.

Ir kad padėtų jums atlikti šią sudėtingą užduotį, siūlau į savo svetainę atsisiųsti lygčių rinkinį, kad gautumėte nepriklausomą sprendimą. Visos lygtys turi atsakymus, todėl visada galite pasitikrinti patys.

Į mūsų svetainės „YouTube“ kanalą, kad sužinotumėte apie visas naujas vaizdo įrašų pamokas.

Pirmiausia prisiminkime pagrindines laipsnių formules ir jų savybes.

Skaičiaus sandauga a atsitinka n kartų, šią išraišką galime parašyti kaip a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Galios arba eksponentinės lygtys- tai lygtys, kuriose kintamieji yra laipsniais (arba laipsniais), o pagrindas yra skaičius.

Eksponentinių lygčių pavyzdžiai:

Šiame pavyzdyje skaičius 6 yra pagrindas, jis visada yra apačioje ir kintamasis x laipsnis ar matas.

Pateiksime daugiau eksponentinių lygčių pavyzdžių.
2 x *5=10
16x-4x-6 = 0

Dabar pažiūrėkime, kaip sprendžiamos eksponentinės lygtys?

Paimkime paprastą lygtį:

2 x = 2 3

Tokį pavyzdį galima išspręsti net mintyse. Matyti, kad x=3. Juk norint, kad kairė ir dešinė pusės būtų lygios, vietoj x reikia dėti skaičių 3.
Dabar pažiūrėkime, kaip šis sprendimas turėtų būti priimtas:

2 x = 2 3
x = 3

Norėdami išspręsti šią lygtį, pašalinome tuo pačiu pagrindu(tai yra deuces) ir surašė, kas liko, tai yra laipsniai. Gavome atsakymą, kurio ieškojome.

Dabar apibendrinkime savo sprendimą.

Eksponentinės lygties sprendimo algoritmas:
1. Reikia patikrinti tas pats ar lygties pagrindai dešinėje ir kairėje. Jei priežastys nėra vienodos, ieškome variantų, kaip išspręsti šį pavyzdį.
2. Kai pagrindai yra tokie patys, prilyginti laipsnį ir išspręskite gautą naują lygtį.

Dabar išspręskime keletą pavyzdžių:

Pradėkime nuo paprasto.

Kairėje ir dešinėje pusėse esantys pagrindai yra lygūs skaičiui 2, o tai reiškia, kad galime atmesti pagrindą ir sulyginti jų laipsnius.

x+2=4 Paaiškėjo paprasčiausia lygtis.
x = 4 - 2
x=2
Atsakymas: x=2

Toliau pateiktame pavyzdyje matote, kad bazės skiriasi, tai yra 3 ir 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Pirmiausia perkeliame devynis į dešinę pusę, gauname:

Dabar reikia padaryti tuos pačius pagrindus. Žinome, kad 9=3 2 . Naudokime laipsnio formulę (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Gauname 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 dabar aišku, kad kairėje ir dešinėje pusėse esantys pagrindai yra vienodi ir lygūs trims, o tai reiškia, kad galime juos atmesti ir sulyginti laipsnius.

3x=2x+16 gavo paprasčiausią lygtį
3x-2x=16
x=16
Atsakymas: x=16.

Pažvelkime į tokį pavyzdį:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Visų pirma, mes žiūrime į pagrindus, pagrindai yra skirtingi du ir keturi. Ir mes turime būti tokie patys. Keturkampį transformuojame pagal formulę (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Taip pat naudojame vieną formulę a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Pridėkite prie lygties:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Dėl tų pačių priežasčių pateikėme pavyzdį. Bet mums trukdo kiti skaičiai 10 ir 24. Ką su jais daryti? Atidžiau pažiūrėjus, matosi, kad kairėje pusėje kartojame 2 2x, štai atsakymas – iš skliaustų galime dėti 2 2x:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Apskaičiuokime išraišką skliausteliuose:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Visą lygtį padaliname iš 6:

Įsivaizduokite 4 = 2 2:

2 2x \u003d 2 2 bazės yra vienodos, išmeskite jas ir sulyginkite laipsnius.
2x \u003d 2 pasirodė pati paprasčiausia lygtis. Padaliname iš 2, gauname
x = 1
Atsakymas: x = 1.

Išspręskime lygtį:

9 x - 12*3 x +27 = 0

Transformuokime:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Gauname lygtį:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Mūsų pagrindai yra vienodi, lygūs trims Šiame pavyzdyje aišku, kad pirmasis trigubas turi laipsnį du kartus (2x) nei antrasis (tik x). Tokiu atveju galite nuspręsti pakeitimo metodas. Skaičius su mažiausiu laipsniu pakeičiamas taip:

Tada 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Lygtyje su t visus laipsnius pakeičiame x:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Gauname kvadratinę lygtį. Išsprendžiame per diskriminantą, gauname:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Atgal į kintamąjį x.

Mes priimame t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Tai yra,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Buvo rasta viena šaknis. Ieškome antrojo, nuo t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Atsakymas: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Svetainėje galite skiltyje PADĖTI SPRENDIMS užduoti dominančius klausimus, mes tikrai jums atsakysime.

Prisijunkite prie grupės

Įranga:

• kompiuteris,
• multimedijos projektorius,
• ekranas,
• 1 priedas(skaidrių pristatymas programoje „PowerPoint“) „Eksponentinių lygčių sprendimo metodai“
• 2 priedas(Lygties sprendimas, pvz., „Trys skirtingos laipsnių bazės“ programoje „Word“)
• 3 priedas(dalomoji medžiaga Word programoje praktiniam darbui).
• 4 priedas(namų darbams skirta dalomoji medžiaga Word programoje).

Per užsiėmimus

1. Organizacinis etapas

• pamokos temos žinutė (užrašyta lentoje),
• apibendrinamosios pamokos poreikis 10–11 klasėse:

Mokinių rengimo aktyviam žinių įsisavinimui etapas

Kartojimas

Apibrėžimas.

Eksponentinė lygtis – tai lygtis, kurios rodiklyje yra kintamasis (atsako studentas).

Mokytojo pastaba. Eksponentinės lygtys priklauso transcendentinių lygčių klasei. Šis sunkiai ištariamas pavadinimas rodo, kad tokios lygtys, paprastai kalbant, negali būti išspręstos formulių pavidalu.

Kompiuteriuose juos galima išspręsti tik apytiksliai skaitiniais metodais. Bet kaip su egzamino klausimais? Visa gudrybė yra ta, kad egzaminuotojas sukomponuoja problemą taip, kad ji tiesiog priimtų analitinį sprendimą. Kitaip tariant, jūs galite (ir turėtumėte!) atlikti tokias identiškas transformacijas, kurios sumažina pateiktą eksponentinę lygtį iki paprasčiausios eksponentinės lygties. Tai yra paprasčiausia lygtis ir vadinama: paprasčiausia eksponentinė lygtis. Tai išspręsta logaritmas.

Situacija su eksponentinės lygties sprendimu primena kelionę labirintu, kurią specialiai sugalvojo problemos sudarytojas. Iš šių labai bendrų svarstymų išplaukia gana konkrečios rekomendacijos.

Norėdami sėkmingai išspręsti eksponentines lygtis, turite:

1. Ne tik aktyviai žinokite visas eksponentines tapatybes, bet ir suraskite kintamojo, kuriame šios tapatybės yra apibrėžtos, reikšmių rinkinius, kad naudojant šias tapatybes neįgytumėte nereikalingų šaknų, o juo labiau neprarastumėte lygties sprendinių.

2. Aktyviai žinoti visas eksponentines tapatybes.

3. Aiškiai, detaliai ir be klaidų atlikti matematines lygčių transformacijas (perkelti terminus iš vienos lygties dalies į kitą, nepamirštant pakeisti ženklo, sumažinti trupmeną į bendrą vardiklį ir pan.). Tai vadinama matematine kultūra. Tuo pačiu metu patys skaičiavimai turėtų būti atliekami automatiškai rankomis, o galva turėtų galvoti apie bendrą sprendimo kreipiamąją giją. Būtina kuo kruopščiau ir detaliau atlikti transformacijas. Tik tai garantuos teisingą, be klaidų sprendimą. Ir atminkite: maža aritmetinė klaida gali tiesiog sukurti transcendentinę lygtį, kurios iš principo analitiškai išspręsti neįmanoma. Pasirodo, pasiklydote ir įlėkėte į labirinto sieną.

4. Žinoti uždavinių sprendimo būdus (tai yra žinoti visus sprendimo labirinto kelius). Norėdami teisingai orientuotis kiekviename etape, turėsite (sąmoningai arba intuityviai!):

• apibrėžti lygties tipas;
• prisiminti atitinkamą tipą sprendimo būdas užduotys.

Studijuojamos medžiagos apibendrinimo ir sisteminimo etapas.

Mokytojas kartu su mokiniais, naudodamas kompiuterį, atlieka apžvalginį visų tipų eksponentinių lygčių ir jų sprendimo metodų pakartojimą bei sudaro bendrą schemą. (Naudojama L.Ya. Borevskio mokomoji kompiuterinė programa „Matematikos kursas – 2000“, PowerPoint pristatymo autorė T.N.Kupcova.)

Ryžiai. 1. Paveiksle parodyta bendra visų tipų eksponentinių lygčių schema.

Kaip matyti iš šios diagramos, eksponentinių lygčių sprendimo strategija yra sumažinti šią eksponentinę lygtį iki lygties, visų pirma, su tais pačiais pagrindais , o tada - ir su tais pačiais rodikliais.

Gavę lygtį su tomis pačiomis bazėmis ir eksponentais, pakeisite šį laipsnį nauju kintamuoju ir gausite paprastą algebrinę lygtį (dažniausiai racionaliąją arba kvadratinę) šio naujo kintamojo atžvilgiu.

Išspręsdami šią lygtį ir atlikdami atvirkštinį pakaitalą, gausite paprastų eksponentinių lygčių rinkinį, kuris išsprendžiamas bendrai naudojant logaritmus.

Išsiskiria lygtys, kuriose atsiranda tik (privačių) galių produktai. Naudojant eksponentinę tapatybę, galima šias lygtis nedelsiant perkelti į vieną bazę, ypač į paprasčiausią eksponentinę lygtį.

Apsvarstykite, kaip sprendžiama eksponentinė lygtis su trimis skirtingomis laipsnių bazėmis.

(Jei mokytojas turi L.Ya. Borevskio mokymo kompiuterinę programą „Matematikos kursas - 2000“, tada natūraliai dirbame su disku, jei ne, galite iš jo išspausdinti tokio tipo lygtį kiekvienam stalui, pateikta žemiau.)

Ryžiai. 2. Lygčių sprendimo planas.

Ryžiai. 3. Pradedama spręsti lygtį

Ryžiai. 4. Lygties sprendinio pabaiga.

Dirba praktinius darbus

Nustatykite lygties tipą ir išspręskite.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Apibendrinant pamoką

Pamokos įvertinimas.

pamokos pabaiga

Dėl mokytojo

Praktinių darbų atsakymų schema.

Pratimas: iš lygčių sąrašo pasirinkite nurodyto tipo lygtis (atsakymo numerį įrašykite į lentelę):

1. Trys skirtingos bazės
2. Dvi skirtingos bazės – skirtingi eksponentai
3. Galių bazės – vieno skaičiaus laipsniai
4. Tos pačios bazės, skirtingi eksponentai
5. Tos pačios laipsnio bazės – tie patys rodikliai
6. Galių produktas
7. Du skirtingi laipsnių pagrindai – tie patys rodikliai
8. Paprasčiausios eksponentinės lygtys

1. (jėgų sandauga)

2. (tos pačios bazės - skirtingi eksponentai)

Pavyzdžiai:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Kaip išspręsti eksponentines lygtis

Sprendžiant bet kurią eksponentinę lygtį, mes stengiamės ją pateikti į formą \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), tada pereiname prie rodiklių lygybės, tai yra:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Pavyzdžiui:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Svarbu! Remiantis ta pačia logika, tokiam perėjimui keliami du reikalavimai:
- numeris in kairė ir dešinė turi būti vienodi;
- laipsniai į kairę ir į dešinę turi būti „gryni“, tai yra, neturi būti daugybos, dalybos ir pan.

Pavyzdžiui:

Norėdami pateikti lygtį į formą \(a^(f(x))=a^(g(x))\) ir naudojami.

Pavyzdys . Išspręskite eksponentinę lygtį \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Sprendimas:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Žinome, kad \(27 = 3^3\). Turėdami tai omenyje, mes transformuojame lygtį.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Pagal šakninę savybę \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) gauname, kad \(\sqrt(3^3)=((3^3))^(\frac(1)(2))\). Be to, naudojant laipsnio savybę \((a^b)^c=a^(bc)\, gauname \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^(3 \cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Taip pat žinome, kad \(a^b a^c=a^(b+c)\). Taikydami tai kairėje pusėje, gauname: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3^(1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Dabar atsiminkite, kad: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Ši formulė taip pat gali būti naudojama atvirkščiai: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Tada \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Pritaikę savybę \((a^b)^c=a^(bc)\) dešinėje pusėje, gauname: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x)=3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		O dabar mes turime lygias bazes ir nėra trukdančių koeficientų ir pan. Taigi galime pereiti.
		Pavyzdys . Išspręskite eksponentinę lygtį \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Sprendimas: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Vėlgi, mes naudojame laipsnio savybę \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) priešinga kryptimi. \(4^x4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Dabar atsiminkite, kad \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Naudodami laipsnio savybes transformuojame: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Atidžiai žiūrime į lygtį ir matome, kad pakeitimas \(t=2^x\) siūlo save čia. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Tačiau radome reikšmes \(t\) ir mums reikia \(x\). Grįžtame prie X, atlikdami atvirkštinį pakeitimą. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Transformuokite antrąją lygtį naudodami neigiamos galios savybę... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...ir spręskite iki atsakymo. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Atsakymas : \(-1; 1\). Lieka klausimas – kaip suprasti, kada kurį metodą taikyti? Tai ateina su patirtimi. Tuo tarpu jūs to neišsprendėte, naudokite bendrą rekomendaciją sudėtingoms problemoms spręsti – „jei nežinai, ką daryti – daryk, ką gali“. Tai yra, paieškokite, kaip iš principo galite transformuoti lygtį, ir pabandykite tai padaryti – o jei ji pasirodys? Svarbiausia yra atlikti tik matematiškai pagrįstas transformacijas. eksponentinės lygtys be sprendinių Pažvelkime į dar dvi situacijas, kurios dažnai glumina studentus: - teigiamas laipsnio skaičius lygus nuliui, pavyzdžiui, \(2^x=0\); - teigiamas laipsnio skaičius yra lygus neigiamam skaičiui, pavyzdžiui, \(2^x=-4\). Pabandykime tai išspręsti brutalia jėga. Jei x yra teigiamas skaičius, tada, kai x auga, visa galia \(2^x\) tik augs: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Taip pat praeityje. Yra neigiami x. Prisimindami savybę \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), patikriname: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Nepaisant to, kad su kiekvienu žingsniu skaičius mažėja, jis niekada nepasieks nulio. Taigi mūsų neišgelbėjo ir neigiamas laipsnis. Mes darome logišką išvadą: Teigiamas bet kurios laipsnio skaičius išliks teigiamu skaičiumi. Taigi abi aukščiau pateiktos lygtys neturi sprendinių. eksponentinės lygtys su skirtingais pagrindais Praktikoje kartais yra eksponentinės lygtys su skirtingais pagrindais, kurios nėra redukuojamos viena į kitą, ir tuo pačiu su tais pačiais eksponentais. Jie atrodo taip: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), kur \(a\) ir \(b\) yra teigiami skaičiai. Pavyzdžiui: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Tokias lygtis galima nesunkiai išspręsti dalijant iš bet kurios lygties dalies (dažniausiai dalijant iš dešinės pusės, tai yra iš \(b ^ (f (x)) \). Taigi galima dalyti, nes teigiamas skaičius yra teigiamas bet kokiu laipsniu (tai yra, mes neskirstome iš nulio). \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Pavyzdys . Išspręskite eksponentinę lygtį \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Sprendimas: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Čia mes negalime paversti penkių į tris arba atvirkščiai (bent jau nenaudodami). Taigi negalime pasiekti formos \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Tuo pačiu metu rodikliai yra vienodi. Padalinkime lygtį iš dešinės pusės, tai yra iš \(3^(x+7)\) (galime tai padaryti, nes žinome, kad trigubas jokiu laipsniu nebus lygus nuliui). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7))\) Dabar atsiminkite savybę \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) ir naudokite ją iš kairės priešinga kryptimi. Dešinėje mes tiesiog sumažiname trupmeną. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Atrodė, kad negerėjo. Tačiau atminkite kitą laipsnio savybę: \(a^0=1\), kitaip tariant: "bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus \(1\)". Taip pat yra priešingai: „vienetą galima pavaizduoti kaip bet kurį skaičių, padidintą iki nulio laipsnio“. Mes naudojame tai, kad pagrindas dešinėje būtų toks pat kaip ir kairėje. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Atsikratome pamatų. Rašome atsakymą. Atsakymas : \(-7\). Kartais rodiklių „vienodumas“ nėra akivaizdus, ​​tačiau sumaniai panaudojus laipsnio savybes ši problema išsprendžiama. Pavyzdys . Išspręskite eksponentinę lygtį \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Sprendimas: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Lygtis atrodo gan liūdnai... Ne tik bazių negalima redukuoti iki vienodo skaičiaus (septynios jokiu laipsniu neprilygs \(\frac(1)(3)\), bet ir rodikliai skiriasi... Tačiau kairiajame eksponente įdėkime du. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Turėdami omenyje savybę \((a^b)^c=a^(b c)\) , transformuokite kairėje: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Prisimindami neigiamos galios savybę \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformuojame iš dešinės: \((\frac(1)(3))^(-x+2)=(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleliuja! Taškai vienodi! Veikdami pagal mums jau pažįstamą schemą, nusprendžiame prieš atsakymą. Atsakymas : \(2\).