Wektory dla manekinów. Akcje z wektorami

Definicja

Skalarny- wartość, którą można scharakteryzować liczbą. Na przykład długość, powierzchnia, masa, temperatura itp.

Wektor segment skierowany nazywa się $\overline(A B)$; punkt $A$ – początek, punkt $B$ – koniec wektora (rys. 1).

Wektor jest oznaczony albo dwoma dużymi literami - jego początek i koniec: $\overline(A B)$ albo jedną małą literą: $\overline(a)$.

Definicja

Jeśli początek i koniec wektora są takie same, to nazywa się taki wektor zero. Najczęściej wektor zerowy jest oznaczany jako $\overline(0)$.

Wektory są tzw współliniowy, jeśli leżą na tej samej linii lub na liniach równoległych (ryc. 2).

Definicja

Wywołane są dwa wektory współliniowe $\overline(a)$ i $\overline(b)$ współkierunkowy, jeśli ich kierunki są takie same: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (ryc. 3, a). Wywołane są dwa wektory współliniowe $\overline(a)$ i $\overline(b)$ przeciwne kierunki, jeśli ich kierunki są przeciwne: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (rys. 3b).

Definicja

Wektory są tzw współpłaszczyznowy jeśli są równoległe do tej samej płaszczyzny lub leżą w tej samej płaszczyźnie (ryc. 4).

Dwa wektory są zawsze współpłaszczyznowe.

Definicja

Długość (moduł) wektor $\overline(A B)$ to odległość między jego początkiem a końcem: $|\overline(A B)|$

Szczegółowa teoria dotycząca długości wektora znajduje się pod linkiem.

Długość wektora zerowego wynosi zero.

Definicja

Nazywa się wektor, którego długość jest równa jeden wektor jednostkowy Lub ortom.

Wektory są tzw równy jeśli leżą na jednej lub równoległych liniach; ich kierunki pokrywają się, a długości są równe.

W tym artykule podamy definicję wektora pod względem geometrii, a także główne powiązane pojęcia. Na płaszczyźnie iw przestrzeni wektor jest pełnoprawnym obiektem geometrycznym, to znaczy ma bardzo realistyczne kontury, które zobaczysz na powyższych ilustracjach graficznych.

Definicja.

Wektor jest skierowanym odcinkiem linii.

Oznacza to, że jako wektor bierzemy odcinek na płaszczyźnie lub w przestrzeni, uznając jeden z jego punktów granicznych za początek, a drugi za koniec.

Do oznaczenia wektorów użyjemy małych liter łacińskich ze strzałką nad nimi, na przykład . Jeżeli podane są punkty brzegowe początku i końca odcinka, np. A i B, to wektor będzie oznaczony jako .

Definicja.

Wektor zerowy jest dowolnym punktem na płaszczyźnie lub przestrzeni.

Definicja.

Długość wektora jest liczbą nieujemną równą długości odcinka AB.

Długość wektora będzie oznaczona jako .

Ponieważ zapis długości wektora jest dokładnie taki sam jak znak modułu, można usłyszeć, że długość wektora nazywa się modułem wektora. Nadal zalecamy używanie terminu „długość wektora”. Długość wektora zerowego wynosi zero.

Definicja.

Te dwa wektory są nazywane współliniowy jeśli leżą na tej samej linii lub na liniach równoległych.

Definicja.

Te dwa wektory są nazywane niewspółliniowe jeśli nie leżą na tej samej linii lub liniach równoległych.

Wektor zerowy jest współliniowy z dowolnym innym wektorem.

Definicja.

współkierunkowy, jeśli ich kierunki pokrywają się i oznaczają .

Definicja.

Dwa wektory współliniowe i są nazywane przeciwne kierunki, jeśli ich kierunki są przeciwne i oznaczają .

Definicja.

Te dwa wektory są nazywane równy jeśli są współkierunkowe i ich długości są równe.

Definicja.

Te dwa wektory są nazywane naprzeciwko jeśli są skierowane przeciwnie i ich długości są równe.

Koncepcja równych wektorów daje nam możliwość rozważenia wektorów bez odniesienia do określonych punktów. Innymi słowy, mamy możliwość zastąpienia wektora równym mu wektorem, narysowanym z dowolnego punktu.

Niech i będą dwoma dowolnymi wektorami na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Odłóżmy na bok wektory i od pewnego punktu O płaszczyzny lub przestrzeni. Promienie OA i OB tworzą kąt.

W tym artykule ty i ja rozpoczniemy dyskusję na temat jednej „magicznej różdżki”, która pozwoli ci zredukować wiele problemów w geometrii do prostej arytmetyki. Ta „różdżka” może znacznie ułatwić Ci życie, zwłaszcza gdy czujesz się niepewnie w budowaniu figur przestrzennych, przekrojów itp. Wszystko to wymaga pewnej wyobraźni i praktycznych umiejętności. Metoda, którą zaczniemy tutaj rozważać, pozwoli ci niemal całkowicie abstrahować od wszelkiego rodzaju konstrukcji geometrycznych i rozumowania. Metoda nazywa się „metoda współrzędnych”. W tym artykule rozważymy następujące pytania:

1. Płaszczyzna współrzędnych
2. Punkty i wektory na płaszczyźnie
3. Budowanie wektora z dwóch punktów
4. Długość wektora (odległość między dwoma punktami).
5. Współrzędne punktu środkowego
6. Iloczyn skalarny wektorów
7. Kąt między dwoma wektorami

Myślę, że już zgadłeś, dlaczego tak nazywa się metoda współrzędnych? Co prawda otrzymał taką nazwę, ponieważ operuje nie obiektami geometrycznymi, ale ich charakterystyką liczbową (współrzędnymi). A sama transformacja, która umożliwia przejście od geometrii do algebry, polega na wprowadzeniu układu współrzędnych. Jeśli oryginalna figura była płaska, to współrzędne są dwuwymiarowe, a jeśli figura jest trójwymiarowa, to współrzędne są trójwymiarowe. W tym artykule rozważymy tylko przypadek dwuwymiarowy. A głównym celem tego artykułu jest nauczenie Cię, jak korzystać z kilku podstawowych technik metody współrzędnych (niekiedy okazują się one przydatne przy rozwiązywaniu zadań z planimetrii w części B Jednolitego Egzaminu Państwowego). Kolejne dwa podrozdziały poświęcone temu tematowi poświęcono omówieniu metod rozwiązywania problemów C2 (zagadnienie stereometrii).

Od czego logiczne byłoby rozpoczęcie dyskusji na temat metody współrzędnych? Prawdopodobnie z koncepcją układu współrzędnych. Przypomnij sobie, kiedy pierwszy raz ją spotkałeś. Wydaje mi się, że w 7 klasie, kiedy dowiedziałeś się np. o istnieniu funkcji liniowej. Przypomnę, że zbudowałeś to punkt po punkcie. Pamiętasz? Wybrałeś dowolną liczbę, podstawiłeś ją do wzoru i obliczyłeś w ten sposób. Na przykład, jeśli, to, jeśli, to itd. Co otrzymałeś w rezultacie? I otrzymałeś punkty ze współrzędnymi: i. Następnie narysowałeś „krzyżyk” (układ współrzędnych), wybrałeś na nim skalę (ile komórek będziesz mieć jako jeden odcinek) i zaznaczyłeś otrzymane na nim punkty, które następnie połączyłeś linią prostą, w wyniku czego linia jest wykresem funkcji.

Jest kilka rzeczy, które należy ci wyjaśnić bardziej szczegółowo:

1. Wybierasz jeden segment ze względu na wygodę, aby wszystko ładnie i zwięźle pasowało do obrazu

2. Zakłada się, że oś biegnie od lewej do prawej, a oś od dołu do góry

3. Przecinają się pod kątem prostym, a punkt ich przecięcia nazywany jest początkiem. Jest oznaczony literą.

4. W zapisie współrzędnych punktu np. po lewej stronie w nawiasie jest współrzędna punktu wzdłuż osi, a po prawej wzdłuż osi. W szczególności, po prostu oznacza, że ​​punkt

5. Aby ustawić dowolny punkt na osi współrzędnych należy podać jego współrzędne (2 cyfry)

6. Dla dowolnego punktu leżącego na osi

7. Dla dowolnego punktu leżącego na osi

8. Oś nazywana jest osią x

9. Oś nazywa się osią y

Teraz zróbmy z tobą kolejny krok: zaznacz dwa punkty. Połącz te dwa punkty linią. I umieścimy strzałkę tak, jakbyśmy rysowali odcinek od punktu do punktu: to znaczy, że skierujemy nasz segment!

Pamiętasz, jaka jest inna nazwa segmentu skierowanego? Zgadza się, to się nazywa wektor!

Tak więc, jeśli połączymy kropkę z kropką, a początkiem będzie punkt A, a końcem będzie punkt B, wtedy otrzymamy wektor. Robiłeś też tę konstrukcję w 8 klasie, pamiętasz?

Okazuje się, że wektory, podobnie jak punkty, można oznaczyć dwiema liczbami: liczby te nazywane są współrzędnymi wektora. Pytanie: czy myślisz, że wystarczy nam znać współrzędne początku i końca wektora, aby znaleźć jego współrzędne? Okazuje się, że tak! I bardzo łatwo to zrobić:

Zatem skoro w wektorze punkt jest początkiem i końcem, wektor ma następujące współrzędne:

Na przykład, jeśli, to współrzędne wektora

Teraz zróbmy odwrotnie, znajdźmy współrzędne wektora. Co musimy w tym celu zmienić? Tak, musisz zamienić początek i koniec: teraz początek wektora będzie w punkcie, a koniec w punkcie. Następnie:

Przyjrzyj się uważnie, jaka jest różnica między wektorami a? Różnią się tylko znakami we współrzędnych. Są przeciwne. Ten fakt jest zapisany w następujący sposób:

Czasami, jeśli nie jest wyraźnie określone, który punkt jest początkiem wektora, a który końcem, wówczas wektory są oznaczane nie dwiema dużymi literami, ale jedną małą literą, na przykład: itd.

Teraz trochę ćwiczyć i znajdź współrzędne następujących wektorów:

Badanie:

Teraz rozwiąż problem nieco trudniej:

Torus wektorowy ze złomem w punkcie ma ko-or-di-na-ciebie. Znajdź punkty abs-cis-su.

Wszystko to samo jest dość prozaiczne: niech będzie współrzędnymi punktu. Następnie

Skompilowałem system, określając, jakie są współrzędne wektora. Wtedy punkt ma współrzędne. Interesuje nas odcięta. Następnie

Odpowiedź:

Co jeszcze można zrobić z wektorami? Tak, prawie wszystko jest takie samo jak w przypadku zwykłych liczb (z wyjątkiem tego, że nie można dzielić, ale można mnożyć na dwa sposoby, z których jeden omówimy tutaj nieco później)

1. Wektory można układać jeden na drugim
2. Wektory można od siebie odejmować
3. Wektory można mnożyć (lub dzielić) przez dowolną liczbę różną od zera
4. Wektory można mnożyć przez siebie

Wszystkie te operacje mają dość wizualną reprezentację geometryczną. Na przykład reguła trójkąta (lub równoległoboku) dodawania i odejmowania:

Wektor rozciąga się, kurczy lub zmienia kierunek po pomnożeniu lub podzieleniu przez liczbę:

Jednak tutaj będziemy zainteresowani pytaniem, co dzieje się ze współrzędnymi.

1. Podczas dodawania (odejmowania) dwóch wektorów dodajemy (odejmujemy) ich współrzędne element po elemencie. To jest:

2. Podczas mnożenia (dzielenia) wektora przez liczbę wszystkie jego współrzędne są mnożone (dzielone) przez tę liczbę:

Na przykład:

· Find-di-sumę ko-or-di-nat wieku-do-ra.

Najpierw znajdźmy współrzędne każdego z wektorów. Oba mają to samo pochodzenie - punkt początkowy. Ich końcówki są różne. Następnie, . Teraz obliczamy współrzędne wektora Wtedy suma współrzędnych wynikowego wektora jest równa.

Odpowiedź:

Teraz samodzielnie rozwiąż następujący problem:

· Znajdź sumę współrzędnych wektora

Sprawdzamy:

Rozważmy teraz następujący problem: mamy dwa punkty na płaszczyźnie współrzędnych. Jak znaleźć odległość między nimi? Niech pierwszy punkt będzie, a drugi. Oznaczmy odległość między nimi jako . Zróbmy następujący rysunek dla jasności:

Co ja zrobiłem? Najpierw połączyłem punkty, a także narysowałem linię równoległą do osi od punktu i narysowałem linię równoległą do osi od punktu. Czy przecięły się w jednym punkcie, tworząc cudowną figurę? Dlaczego jest cudowna? Tak, ty i ja wiemy prawie wszystko o trójkącie prostokątnym. Cóż, twierdzenie Pitagorasa, na pewno. Pożądanym odcinkiem jest przeciwprostokątna tego trójkąta, a segmenty to nogi. Jakie są współrzędne punktu? Tak, łatwo je znaleźć na rysunku: ponieważ odcinki są równoległe do osi i odpowiednio ich długości są łatwe do znalezienia: jeśli oznaczymy długości odcinków odpowiednio przez, to

Teraz skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Znamy długości nóg, znajdziemy przeciwprostokątną:

Zatem odległość między dwoma punktami jest pierwiastkiem sumy kwadratów różnic od współrzędnych. Lub - odległość między dwoma punktami to długość łączącego je odcinka. Łatwo zauważyć, że odległość między punktami nie zależy od kierunku. Następnie:

Wyciągamy z tego trzy wnioski:

Poćwiczmy trochę obliczanie odległości między dwoma punktami:

Na przykład, jeśli, to odległość między i jest

Albo chodźmy inaczej: znajdź współrzędne wektora

I znajdź długość wektora:

Jak widać, to samo!

Teraz poćwicz trochę samodzielnie:

Zadanie: znajdź odległość między podanymi punktami:

Sprawdzamy:

Oto kilka innych problemów dla tej samej formuły, choć brzmią one nieco inaczej:

1. Znajdź kwadrat długości powieki do ra.

2. Nai-di-te kwadrat długości powieki do-ra

Zgaduję, że bez problemu sobie z nimi poradzisz? Sprawdzamy:

1. A to dla uwagi) Już wcześniej znaleźliśmy współrzędne wektorów: . Wtedy wektor ma współrzędne. Kwadrat jego długości będzie wynosił:

2. Znajdź współrzędne wektora

Wtedy kwadrat jego długości wynosi

Nic skomplikowanego, prawda? Prosta arytmetyka, nic więcej.

Poniższych zagadek nie da się jednoznacznie sklasyfikować, służą one raczej ogólnej erudycji i umiejętności rysowania prostych obrazków.

1. Znajdź te sinusy kąta na-klo-na-od-cięcia, połącz-n-ty-ty punkt z osią odciętych.

I

Jak my to zrobimy tutaj? Musisz znaleźć sinus kąta między i osią. A gdzie możemy szukać sinusa? Zgadza się, w trójkącie prostokątnym. Więc co musimy zrobić? Zbuduj ten trójkąt!

Ponieważ współrzędne punktu i, to segment jest równy, a segment. Musimy znaleźć sinus kąta. Przypomnę, że sinus to stosunek przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej

Co nam zostało do zrobienia? Znajdź przeciwprostokątną. Można to zrobić na dwa sposoby: korzystając z twierdzenia Pitagorasa (nogi są znane!) lub korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami (właściwie to samo co pierwsza metoda!). Pójdę drugą drogą:

Odpowiedź:

Następne zadanie wyda ci się jeszcze łatwiejsze. Ona - na współrzędnych punktu.

Zadanie 2. Z punktu per-pen-di-ku-lar jest opuszczany na oś abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Zróbmy rysunek:

Podstawą prostopadłej jest punkt, w którym przecina ona oś x (oś), dla mnie jest to punkt. Z rysunku wynika, że ​​ma współrzędne: . Interesuje nas odcięta - czyli składowa "X". Ona jest równa.

Odpowiedź: .

Zadanie 3. W warunkach poprzedniego zadania znajdź sumę odległości od punktu do osi współrzędnych.

Zadanie jest na ogół elementarne, jeśli wiesz, jaka jest odległość od punktu do osi. Wiesz, że? Mam nadzieję, ale wciąż przypominam:

Czyli na moim rysunku, umieszczonym nieco wyżej, przedstawiłem już jedną taką prostopadłą? Która to oś? do osi. I jaka jest wtedy jego długość? Ona jest równa. Teraz sam narysuj prostopadłą do osi i znajdź jej długość. Będzie równo, prawda? Wtedy ich suma jest równa.

Odpowiedź: .

Zadanie 4. W warunkach zadania 2 znajdź rzędną punktu symetryczną do punktu względem osi x.

Myślę, że intuicyjnie rozumiesz, czym jest symetria? Ma ją bardzo wiele obiektów: wiele budynków, stołów, płaszczyzn, wiele kształtów geometrycznych: kula, walec, kwadrat, romb itp. Z grubsza mówiąc, symetrię można rozumieć w następujący sposób: figura składa się z dwóch (lub więcej) identyczne połówki. Ta symetria nazywana jest osiową. Czym w takim razie jest oś? To jest dokładnie linia, wzdłuż której figura może być, relatywnie rzecz biorąc, „pocięta” na identyczne połówki (na tym obrazie oś symetrii jest prosta):

Wróćmy teraz do naszego zadania. Wiemy, że szukamy punktu, który jest symetryczny względem osi. Wtedy ta oś jest osią symetrii. Musimy więc zaznaczyć punkt tak, aby oś przecięła odcinek na dwie równe części. Spróbuj sam zaznaczyć taki punkt. Teraz porównaj z moim rozwiązaniem:

Czy zrobiłeś to samo? Cienki! W znalezionym punkcie interesuje nas rzędna. Ona jest równa

Odpowiedź:

A teraz powiedz mi, po chwili zastanowienia, jaka będzie odcięta punktu symetrycznego do punktu A względem osi y? Jaka jest twoja odpowiedź? Poprawna odpowiedź: .

Ogólnie regułę można zapisać w następujący sposób:

Punkt symetryczny do punktu na osi x ma współrzędne:

Punkt symetryczny do punktu wokół osi y ma współrzędne:

Cóż, teraz to jest naprawdę przerażające. zadanie: Znajdź współrzędne punktu, który jest symetryczny względem punktu względem początku układu współrzędnych. Najpierw pomyśl samodzielnie, a potem spójrz na mój rysunek!

Odpowiedź:

Teraz problem z równoległobokiem:

Zadanie 5: Punkty to ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Punkty Find-dee-te lub-dee-on-tu.

Możesz rozwiązać ten problem na dwa sposoby: logicznie i metodą współrzędnych. Najpierw zastosuję metodę współrzędnych, a potem powiem ci, jak możesz zdecydować inaczej.

Jest całkiem jasne, że odcięta punktu jest równa. (leży na prostopadłej poprowadzonej od punktu do osi x). Musimy znaleźć rzędną. Skorzystajmy z faktu, że nasza figura jest równoległobokiem, co oznacza, że. Znajdź długość odcinka, korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami:

Obniżamy prostopadłą łączącą punkt z osią. Punkt przecięcia jest oznaczony literą.

Długość odcinka jest równa. (sam znajdź problem, gdzie omawialiśmy ten moment), wtedy obliczymy długość odcinka za pomocą twierdzenia Pitagorasa:

Długość odcinka jest dokładnie taka sama jak jego rzędna.

Odpowiedź: .

Inne rozwiązanie (dostarczę tylko obraz, który to ilustruje)

Postęp rozwiązania:

1. Wydawaj

2. Znajdź współrzędne i długość punktu

3. Udowodnij to.

Inny problem z długością cięcia:

Punkty to-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Znajdź długość jego linii środkowej, par-ral-lel-noy.

Czy pamiętasz, czym jest środkowa linia trójkąta? Zatem dla ciebie to zadanie jest elementarne. Jeśli nie pamiętasz, to ci przypomnę: linia środkowa trójkąta to linia łącząca środki przeciwległych boków. Jest równoległa do podstawy i równa jej połowie.

Podstawą jest odcinek. Musieliśmy wcześniej szukać jego długości, jest równa. Wtedy długość linii środkowej jest o połowę krótsza i równa.

Odpowiedź: .

Komentarz: Ten problem można rozwiązać w inny sposób, do którego przejdziemy nieco później.

W międzyczasie mamy dla Ciebie kilka zadań, poćwicz je, są dość proste, ale pomagają „wypełnić rękę” metodą współrzędnych!

1. Pojawiają się punkty-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Znajdź długość jego linii środkowej.

2. Punkty i yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Punkty Find-dee-te lub-dee-on-tu.

3. Znajdź długość od cięcia, połącz drugi punkt i

4. Znajdź-di-te obszar dla-czerwonego-shen-noy fi-gu-ry na płaszczyźnie ko-or-di-nat-noy.

5. Okrąg o środku w na-cha-le ko-or-di-nat przechodzi przez punkt. Znajdź-de-te jej ra-di-wąsy.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, opis-san-noy w pobliżu kąta prostego-no-ka, szczyty-shi-ny czegoś-ro-go mają co-lub - di-na-ty współ-z odpowiedzi-ale

Rozwiązania:

1. Wiadomo, że linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy jego podstaw. Podstawa jest równa, ale podstawa. Następnie

Odpowiedź:

2. Najprostszym sposobem rozwiązania tego problemu jest zauważenie tego (reguła równoległoboku). Oblicz współrzędne wektorów i nie jest to trudne: . Podczas dodawania wektorów dodawane są współrzędne. Następnie ma współrzędne. Punkt ma te same współrzędne, ponieważ początek wektora jest punktem o współrzędnych. Interesuje nas rzędna. Ona jest równa.

Odpowiedź:

3. Działamy natychmiast zgodnie ze wzorem na odległość między dwoma punktami:

Odpowiedź:

4. Popatrz na obrazek i powiedz, między którymi dwiema figurami „ściśnięto” zacieniony obszar? Jest umieszczony pomiędzy dwoma kwadratami. Wtedy obszar pożądanej figury jest równy polu dużego kwadratu minus obszar małego. Bok małego kwadratu to odcinek łączący punkty, a jego długość wynosi

Wtedy obszar małego kwadratu wynosi

To samo robimy z dużym kwadratem: jego bok jest odcinkiem łączącym punkty, a jego długość jest równa

Wtedy obszar dużego kwadratu wynosi

Obszar pożądanej figury znajduje się według wzoru:

Odpowiedź:

5. Jeśli okrąg ma początek jako środek i przechodzi przez punkt, to jego promień będzie dokładnie równy długości odcinka (zrób rysunek, a zrozumiesz, dlaczego jest to oczywiste). Znajdź długość tego odcinka:

Odpowiedź:

6. Wiadomo, że promień okręgu opisanego na prostokącie jest równy połowie jego przekątnej. Znajdźmy długość dowolnej z dwóch przekątnych (w końcu w prostokącie są równe!)

Odpowiedź:

Cóż, poradziłeś sobie ze wszystkim? Nie było trudno to rozgryźć, prawda? Jest tu tylko jedna zasada - aby móc zrobić obraz wizualny i po prostu „odczytać” z niego wszystkie dane.

Niewiele nam zostało. Są jeszcze dosłownie dwie kwestie, które chciałbym omówić.

Spróbujmy rozwiązać ten prosty problem. Niech dwa punkty i będą podane. Znajdź współrzędne środka odcinka. Rozwiązanie tego problemu jest następujące: niech punkt będzie pożądanym środkiem, wtedy ma współrzędne:

To jest: współrzędne środka odcinka = średnia arytmetyczna odpowiednich współrzędnych końców odcinka.

Zasada ta jest bardzo prosta i zazwyczaj nie sprawia uczniom trudności. Zobaczmy, w jakich problemach i jak jest używany:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point and

2. Punkty to yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Znajdź-di-te lub-di-na-tu punkty re-re-se-che-niya jego dia-go-on-lei.

3. Znajdź-di-te abs-cis-su środka koła, opisz-san-noy w pobliżu prostokąta-no-ka, szczyty-shi-mamy coś-ro-go co-or-di- na-you współ-z-vet-stvenno-ale.

Rozwiązania:

1. Pierwsze zadanie to już klasyka. Działamy natychmiast wyznaczając środek odcinka. Ma współrzędne. Rzędna jest równa.

Odpowiedź:

2. Łatwo zauważyć, że dany czworokąt jest równoległobokiem (nawet rombem!). Możesz to udowodnić samodzielnie, obliczając długości boków i porównując je ze sobą. Co wiem o równoległoboku? Jego przekątne są podzielone przez punkt przecięcia! Aha! Więc jaki jest punkt przecięcia przekątnych? To jest środek dowolnej z przekątnych! Wybiorę w szczególności przekątną. Wtedy punkt ma współrzędne.Rzędna punktu jest równa.

Odpowiedź:

3. Jaki jest środek okręgu opisanego na prostokącie? Pokrywa się z punktem przecięcia jego przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta? Są równe, a punkt przecięcia jest podzielony na pół. Zadanie zostało zredukowane do poprzedniego. Weźmy na przykład przekątną. Wtedy jeśli jest środkiem opisanego koła, to jest środkiem. Szukam współrzędnych: Odcięta jest równa.

Odpowiedź:

Teraz poćwicz trochę sam, podam tylko odpowiedzi do każdego problemu, abyś mógł sam się sprawdzić.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, opis-san-noy w pobliżu trójkąta-no-ka, wierzchołki kogoś-ro-go mają ko-or-di -no mgły

2. Znajdź-di-te lub-di-na-tu środek okręgu, opisz san-noy w pobliżu trójkąta-no-ka, szczyty-shi-mamy coś-ro-go współrzędne

3. Jakiego rodzaju pro-di-y-sa powinno być koło ze środkiem w punkcie tak, aby dotykało osi odciętych-ciss?

4. Znajdź-di-te lub-di-on-ten punkt ponownego se-che-ing osi i od-cut, connect-nya-yu-ty-ty punkt i

Odpowiedzi:

Czy wszystko się udało? Naprawdę na to liczę! Teraz - ostatnie pchnięcie. Teraz bądź szczególnie ostrożny. Materiał, który teraz wyjaśnię, dotyczy nie tylko prostych problemów z metodą współrzędnych w części B, ale można go również znaleźć w całym zadaniu C2.

Której z moich obietnic jeszcze nie dotrzymałem? Pamiętacie, jakie operacje na wektorach obiecałem wprowadzić, a jakie w końcu wprowadziłem? Czy na pewno o niczym nie zapomniałem? zapomniałem! Zapomniałem wyjaśnić, co oznacza mnożenie wektorów.

Istnieją dwa sposoby mnożenia wektora przez wektor. W zależności od wybranej metody otrzymamy obiekty o różnym charakterze:

Produkt wektorowy jest dość trudny. Jak to zrobić i dlaczego jest to potrzebne, omówimy z Tobą w następnym artykule. W tym skupimy się na iloczynie skalarnym.

Istnieją już dwa sposoby, które pozwalają nam to obliczyć:

Jak się domyślasz, wynik powinien być taki sam! Przyjrzyjmy się najpierw pierwszemu sposobowi:

Wytnij iloczyn przez współrzędne

Znajdź: - wspólny zapis dla iloczynu skalarnego

Wzór na obliczenie jest następujący:

Oznacza to, że iloczyn skalarny = suma iloczynów współrzędnych wektorów!

Przykład:

Znajdź-dee-te

Rozwiązanie:

Znajdź współrzędne każdego z wektorów:

Obliczamy iloczyn skalarny według wzoru:

Odpowiedź:

Widzisz, absolutnie nic skomplikowanego!

Cóż, teraz spróbuj sam:

Find-di-te skalar-noe pro-from-ve-de-nie stulecie do rowu i

Czy udało Ci się? Może zauważył małą sztuczkę? Sprawdźmy:

Współrzędne wektora, jak w poprzednim zadaniu! Odpowiedź: .

Oprócz współrzędnych istnieje inny sposób obliczenia iloczynu skalarnego, a mianowicie na podstawie długości wektorów i cosinusa kąta między nimi:

Oznacza kąt między wektorami i.

Oznacza to, że iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości wektorów i cosinusa kąta między nimi.

Po co nam ta druga formuła, skoro mamy pierwszą, która jest dużo prostsza, przynajmniej nie ma w niej cosinusów. I potrzebujemy go, abyśmy z pierwszego i drugiego wzoru mogli wywnioskować, jak znaleźć kąt między wektorami!

Zapamiętajmy więc wzór na długość wektora!

Następnie, jeśli podłączę te dane do formuły iloczynu skalarnego, otrzymam:

Ale w inny sposób:

Więc co mamy? Mamy teraz wzór na obliczenie kąta między dwoma wektorami! Czasami, dla zwięzłości, jest również napisane tak:

Oznacza to, że algorytm obliczania kąta między wektorami jest następujący:

1. Obliczamy iloczyn skalarny na podstawie współrzędnych
2. Znajdź długości wektorów i pomnóż je
3. Podziel wynik punktu 1 przez wynik punktu 2

Poćwiczmy na przykładach:

1. Znajdź kąt między powiekami-do-ra-mi i. Podaj odpowiedź w stopniach.

2. W warunkach poprzedniego zadania znajdź cosinus między wektorami

Zróbmy tak: pomogę ci rozwiązać pierwszy problem, a drugi spróbuj rozwiązać sam! Zgadzać się? Więc zaczynajmy!

1. Te wektory to nasi starzy przyjaciele. Rozważaliśmy już ich iloczyn skalarny i był równy. Ich współrzędne to: , . Następnie znajdujemy ich długości:

Następnie szukamy cosinusa między wektorami:

Ile wynosi cosinus kąta? To jest róg.

Odpowiedź:

Cóż, teraz sam rozwiąż drugi problem, a następnie porównaj! Podam tylko bardzo krótkie rozwiązanie:

2. ma współrzędne, ma współrzędne.

Niech będzie kątem między wektorami, a następnie

Odpowiedź:

Należy zauważyć, że zadania bezpośrednio na wektorach i metoda współrzędnych w części B arkusza egzaminacyjnego są dość rzadkie. Jednak zdecydowaną większość problemów C2 można łatwo rozwiązać, wprowadzając układ współrzędnych. Możesz więc potraktować ten artykuł jako fundament, na podstawie którego wykonamy dość skomplikowane konstrukcje, które będą nam potrzebne do rozwiązania złożonych problemów.

WSPÓŁRZĘDNE I WEKTORY. POZIOM ŚREDNIOZAAWANSOWANY

Ty i ja kontynuujemy naukę metody współrzędnych. W ostatniej części wyprowadziliśmy szereg ważnych wzorów, które pozwalają:

1. Znajdź współrzędne wektora
2. Znajdź długość wektora (alternatywnie: odległość między dwoma punktami)
3. Dodaj, odejmij wektory. Pomnóż je przez liczbę rzeczywistą
4. Znajdź środek odcinka
5. Oblicz iloczyn skalarny wektorów
6. Znajdź kąt między wektorami

Oczywiście cała metoda współrzędnych nie mieści się w tych 6 punktach. Leży u podstaw takiej nauki jak geometria analityczna, z którą zapoznasz się na uniwersytecie. Chcę po prostu zbudować fundament, który pozwoli Ci rozwiązywać problemy w jednym państwie. egzamin. Zadania części B odkryliśmy w Teraz czas przejść na jakościowo nowy poziom! Artykuł ten zostanie poświęcony metodzie rozwiązywania tych problemów C2, w których zasadne byłoby przejście na metodę współrzędnych. Ta racjonalność jest określona przez to, co należy znaleźć w problemie i jaka liczba jest podana. Więc użyłbym metody współrzędnych, jeśli pytania brzmią:

1. Znajdź kąt między dwiema płaszczyznami
2. Znajdź kąt między linią a płaszczyzną
3. Znajdź kąt między dwiema liniami
4. Znajdź odległość punktu od płaszczyzny
5. Znajdź odległość od punktu do prostej
6. Znajdź odległość od linii prostej do płaszczyzny
7. Znajdź odległość między dwiema liniami

Jeśli figura podana w warunku zadania jest ciałem obrotowym (kula, walec, stożek ...)

Liczby odpowiednie dla metody współrzędnych to:

1. prostopadłościan
2. Piramida (trójkątna, czworokątna, sześciokątna)

Również z mojego doświadczenia niewłaściwe jest stosowanie metody współrzędnych dla:

1. Znajdowanie obszarów przekrojów
2. Obliczenia objętości ciał

Należy jednak od razu zauważyć, że trzy „niesprzyjające” sytuacje dla metody współrzędnych są w praktyce dość rzadkie. W większości zadań może stać się Twoim wybawieniem, zwłaszcza jeśli nie jesteś zbyt mocny w konstrukcjach trójwymiarowych (które czasami są dość skomplikowane).

Jakie są wszystkie liczby, które wymieniłem powyżej? Nie są już płaskie, takie jak kwadrat, trójkąt, koło, ale obszerne! W związku z tym musimy wziąć pod uwagę nie dwuwymiarowy, ale trójwymiarowy układ współrzędnych. Buduje się ją dość łatwo: tylko oprócz odciętych i rzędnych wprowadzimy jeszcze jedną oś, oś aplikacyjną. Rysunek schematycznie pokazuje ich względne położenie:

Wszystkie są wzajemnie prostopadłe, przecinają się w jednym punkcie, który nazwiemy początkiem. Oś odciętych, jak poprzednio, oznaczymy, oś rzędnych - , a wprowadzoną oś aplikacyjną - .

Jeśli wcześniej każdy punkt na płaszczyźnie był charakteryzowany przez dwie liczby - odciętą i rzędną, to każdy punkt w przestrzeni jest już opisany trzema liczbami - odciętą, rzędną, aplikacją. Na przykład:

W związku z tym odcięta punktu jest równa, rzędna to , a aplikacja to .

Czasami odcięta punktu jest również nazywana rzutem punktu na oś odciętych, rzędna jest rzutem punktu na oś współrzędnych, a aplikacja jest rzutem punktu na oś aplikacji. W związku z tym, jeśli dany jest punkt, wówczas punkt o współrzędnych:

nazywamy rzutem punktu na płaszczyznę

nazywamy rzutem punktu na płaszczyznę

Powstaje naturalne pytanie: czy wszystkie wzory wyprowadzone dla przypadku dwuwymiarowego są poprawne w przestrzeni? Odpowiedź brzmi: tak, są po prostu i mają ten sam wygląd. Za mały szczegół. Myślę, że już zgadłeś, który. We wszystkich wzorach będziemy musieli dodać jeszcze jeden wyraz odpowiedzialny za oś aplikacyjną. Mianowicie.

1. Jeżeli podane są dwa punkty: , to:

• Współrzędne wektora:
• Odległość między dwoma punktami (lub długość wektora)
• Środek segmentu ma współrzędne

2. Jeżeli dane są dwa wektory: a, to:

• Ich iloczyn skalarny to:
• Cosinus kąta między wektorami wynosi:

Jednak przestrzeń nie jest taka prosta. Jak rozumiesz, dodanie jeszcze jednej współrzędnej wprowadza znaczne urozmaicenie w spektrum postaci „żyjących” w tej przestrzeni. A dla dalszej narracji muszę wprowadzić pewne, z grubsza mówiąc, „uogólnienie” linii prostej. To „uogólnienie” będzie płaszczyzną. Co ty wiesz o samolocie? Spróbuj odpowiedzieć na pytanie, co to jest samolot? bardzo trudno powiedzieć. Jednak wszyscy intuicyjnie wyobrażamy sobie, jak to wygląda:

Z grubsza mówiąc, jest to rodzaj niekończącego się „liścia” wyrzuconego w kosmos. Przez „nieskończoność” należy rozumieć, że płaszczyzna rozciąga się we wszystkich kierunkach, czyli jej pole jest równe nieskończoności. Jednak to wyjaśnienie „na palcach” nie daje najmniejszego pojęcia o budowie samolotu. I będziemy się tym interesować.

Przypomnijmy sobie jeden z podstawowych aksjomatów geometrii:

• Prosta przechodzi przez dwa różne punkty na płaszczyźnie, zresztą tylko jeden:

Lub jego odpowiednik w kosmosie:

Oczywiście pamiętasz, jak wyprowadzić równanie linii prostej z dwóch danych punktów, to wcale nie jest trudne: jeśli pierwszy punkt ma współrzędne: a drugi, to równanie linii prostej będzie następujące:

Przechodziłeś przez to w 7 klasie. W przestrzeni równanie prostej wygląda następująco: miejmy dwa punkty o współrzędnych: , to równanie prostej przechodzącej przez nie ma postać:

Na przykład linia przechodzi przez punkty:

Jak to należy rozumieć? Należy to rozumieć następująco: punkt leży na prostej, jeśli jego współrzędne spełniają następujący układ:

Nie będziemy zbytnio interesować się równaniem prostej, ale musimy zwrócić uwagę na bardzo ważne pojęcie wektora kierunkowego prostej. - dowolny niezerowy wektor leżący na danej prostej lub do niej równoległy.

Na przykład oba wektory są wektorami kierunkowymi linii prostej. Niech będzie punktem leżącym na linii prostej i będzie jego wektorem kierunkowym. Wówczas równanie prostej można zapisać w postaci:

Ponownie, nie będę zbytnio zainteresowany równaniem linii prostej, ale naprawdę potrzebuję, abyś pamiętał, czym jest wektor kierunkowy! Ponownie: jest to DOWOLNY niezerowy wektor leżący na linii lub równoległy do ​​niej.

Wycofać trzypunktowe równanie płaszczyzny nie jest już tak trywialne i zwykle nie jest omawiane na kursie w szkole średniej. Ale na próżno! Ta technika jest niezbędna, gdy uciekamy się do metody współrzędnych do rozwiązywania złożonych problemów. Zakładam jednak, że jesteś pełen chęci nauczenia się czegoś nowego? Co więcej, będziesz mógł zaimponować swojemu wykładowcy na uczelni, gdy okaże się, że umiesz już posługiwać się techniką, którą zwykle studiuje się na kursie geometrii analitycznej. Więc zacznijmy.

Równanie płaszczyzny nie różni się zbytnio od równania prostej na płaszczyźnie, mianowicie ma postać:

niektóre liczby (nie wszystkie równe zeru), ale zmienne, na przykład: itp. Jak widać równanie płaszczyzny niewiele różni się od równania prostej (funkcja liniowa). Pamiętasz jednak, o co się z tobą pokłóciliśmy? Powiedzieliśmy, że jeśli mamy trzy punkty, które nie leżą na jednej linii prostej, to równanie płaszczyzny jest z nich jednoznacznie przywracane. Ale jak? Spróbuję ci wytłumaczyć.

Ponieważ równanie płaszczyzny to:

A punkty należą do tej płaszczyzny, to podstawiając współrzędne każdego punktu do równania płaszczyzny, powinniśmy otrzymać poprawną tożsamość:

Trzeba więc rozwiązać trzy równania już z niewiadomymi! Dylemat! Jednak zawsze możemy założyć, że (w tym celu musimy podzielić przez). W ten sposób otrzymujemy trzy równania z trzema niewiadomymi:

Jednak nie rozwiążemy takiego systemu, ale napiszemy tajemnicze wyrażenie, które z niego wynika:

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty

\[\lewo| (\begin(tablica)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(tablica)) \right| = 0\]

Zatrzymywać się! Co to jeszcze jest? Jakiś bardzo nietypowy moduł! Jednak obiekt, który widzisz przed sobą, nie ma nic wspólnego z modułem. Obiekt ten nazywany jest wyznacznikiem trzeciego rzędu. Od teraz, gdy będziesz miał do czynienia z metodą współrzędnych na płaszczyźnie, często będziesz spotykał się właśnie z tymi wyznacznikami. Co to jest wyznacznik trzeciego rzędu? Co dziwne, to tylko liczba. Pozostaje zrozumieć, jaką konkretną liczbę porównamy z wyznacznikiem.

Najpierw napiszmy wyznacznik trzeciego rzędu w bardziej ogólnej postaci:

Gdzie są jakieś liczby. Ponadto przez pierwszy indeks rozumiemy numer wiersza, a przez indeks - numer kolumny. Na przykład oznacza to, że podana liczba znajduje się na przecięciu drugiego wiersza i trzeciej kolumny. Postawmy sobie pytanie: jak dokładnie obliczymy taki wyznacznik? To znaczy z jaką konkretną liczbą ją porównamy? Dla wyznacznika dokładnie trzeciego rzędu istnieje heurystyczna (wizualna) reguła trójkąta, która wygląda następująco:

1. Iloczyn elementów głównej przekątnej (od lewej górnej do prawej dolnej) iloczyn elementów tworzących pierwszy trójkąt „prostopadły” do głównej przekątnej iloczyn elementów tworzących drugi trójkąt „prostopadły” do głównej przekątna
2. Iloczyn elementów drugorzędnej przekątnej (od prawego górnego rogu do lewego dolnego) iloczyn elementów tworzących pierwszy trójkąt „prostopadły” do drugorzędnej przekątnej iloczyn elementów tworzących drugi trójkąt „prostopadły” do drugorzędna przekątna
3. Wtedy wyznacznik jest równy różnicy między wartościami uzyskanymi na etapie i

Jeśli zapiszemy to wszystko w liczbach, otrzymamy następujące wyrażenie:

Jednak nie musisz zapamiętywać metody obliczania w tej formie, wystarczy po prostu zachować trójkąty w głowie i sam pomysł, co jest dodawane do czego, a co jest następnie odejmowane od czego).

Zilustrujmy metodę trójkątów na przykładzie:

1. Oblicz wyznacznik:

Zastanówmy się, co dodajemy, a co odejmujemy:

Warunki z „plusem”:

To jest główna przekątna: iloczyn elementów jest

Pierwszy trójkąt „prostopadły do ​​głównej przekątnej: iloczyn elementów to

Drugi trójkąt, „prostopadły do ​​głównej przekątnej: iloczyn elementów to

Dodajemy trzy liczby:

Warunki z „minusem”

To jest przekątna boczna: iloczyn elementów to

Pierwszy trójkąt „prostopadły do ​​drugorzędnej przekątnej: iloczyn elementów to

Drugi trójkąt „prostopadły do ​​drugorzędnej przekątnej: iloczyn elementów to

Dodajemy trzy liczby:

Wszystko, co pozostaje do zrobienia, to odjąć od sumy wyrazów dodatnich sumę wyrazów ujemnych:

Zatem,

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego i nadprzyrodzonego w obliczaniu wyznaczników trzeciego rzędu. Po prostu ważne jest, aby pamiętać o trójkątach i nie popełniać błędów arytmetycznych. Teraz spróbuj sam obliczyć:

Sprawdzamy:

1. Pierwszy trójkąt prostopadły do ​​głównej przekątnej:
2. Drugi trójkąt prostopadły do ​​głównej przekątnej:
3. Suma warunków dodatnich:
4. Pierwszy trójkąt prostopadły do ​​przekątnej boku:
5. Drugi trójkąt prostopadły do ​​przekątnej boku:
6. Suma wyrazów z minusem:
7. Suma wyrazów dodatnich minus suma wyrazów ujemnych:

Oto jeszcze kilka wyznaczników dla Ciebie, sam oblicz ich wartości i porównaj z odpowiedziami:

Odpowiedzi:

No właśnie, czy wszystko się zgadzało? Świetnie, możesz przejść dalej! Jeśli występują trudności, moja rada jest następująca: w Internecie jest kilka programów do obliczania wyznacznika online. Wystarczy wymyślić własny wyznacznik, samodzielnie go obliczyć, a następnie porównać z tym, co oblicza program. I tak dalej, aż wyniki zaczną się zgadzać. Jestem pewien, że ta chwila nie potrwa długo!

Wróćmy teraz do wyznacznika, który wypisałem, gdy mówiłem o równaniu płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty:

Wystarczy bezpośrednio obliczyć jego wartość (metodą trójkątów) i ustawić wynik na zero. Oczywiście, ponieważ są to zmienne, otrzymasz pewne wyrażenie, które od nich zależy. To właśnie to wyrażenie będzie równaniem płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty, które nie leżą na jednej prostej!

Zilustrujmy to prostym przykładem:

1. Skonstruuj równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty

Tworzymy wyznacznik dla tych trzech punktów:

Upraszczając:

Teraz obliczamy to bezpośrednio zgodnie z regułą trójkątów:

\[(\lewo| (\begin(tablica)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(tablica)) \ prawo| = \lewo((x + 3) \prawo) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \prawo) + \left((y - 2) \prawo) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Zatem równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty jest następujące:

Teraz spróbuj samodzielnie rozwiązać jeden problem, a następnie omówimy go:

2. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty

Cóż, omówmy teraz rozwiązanie:

Robimy wyznacznik:

I oblicz jego wartość:

Wówczas równanie płaszczyzny ma postać:

Lub zmniejszając przez, otrzymujemy:

Teraz dwa zadania do samokontroli:

1. Skonstruuj równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty:

Odpowiedzi:

Czy wszystko się zgadzało? Ponownie, jeśli są pewne trudności, to moja rada jest taka: weź trzy punkty z głowy (z dużym prawdopodobieństwem nie będą leżeć na jednej linii prostej), zbuduj na nich płaszczyznę. A potem sprawdź się online. Na przykład na stronie:

Jednak za pomocą wyznaczników skonstruujemy nie tylko równanie płaszczyzny. Pamiętaj, mówiłem ci, że dla wektorów zdefiniowany jest nie tylko iloczyn skalarny. Istnieje również wektor, a także produkt mieszany. A jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów będzie liczbą, to iloczyn wektorowy dwóch wektorów będzie wektorem, a ten wektor będzie prostopadły do ​​podanych:

Co więcej, jego moduł będzie równy polu równoległoboku zbudowanego na wektorach i. Będziemy potrzebować tego wektora do obliczenia odległości od punktu do prostej. Jak możemy obliczyć iloczyn krzyżowy wektorów i czy są podane ich współrzędne? Z pomocą przychodzi nam znowu wyznacznik trzeciego rzędu. Zanim jednak przejdę do algorytmu obliczania iloczynu krzyżowego, muszę zrobić małą liryczną dygresję.

Ta dygresja dotyczy wektorów bazowych.

Schematycznie pokazano je na rysunku:

Jak myślisz, dlaczego nazywają się podstawowymi? Fakt jest taki :

Albo na zdjęciu:

Ważność tego wzoru jest oczywista, ponieważ:

produkt wektorowy

Teraz mogę zacząć wprowadzać iloczyn krzyżowy:

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów to wektor obliczany zgodnie z następującą regułą:

Teraz podajmy kilka przykładów obliczania iloczynu krzyżowego:

Przykład 1: Znajdź iloczyn krzyżowy wektorów:

Rozwiązanie: tworzę wyznacznik:

A ja to obliczam:

Teraz, od pisania poprzez wektory bazowe, powrócę do zwykłego zapisu wektorów:

Zatem:

Spróbuj teraz.

Gotowy? Sprawdzamy:

I tradycyjnie dwa zadania do kontrolowania:

1. Znajdź iloczyn krzyżowy następujących wektorów:
2. Znajdź iloczyn krzyżowy następujących wektorów:

Odpowiedzi:

Produkt mieszany trzech wektorów

Ostatnią konstrukcją, której potrzebuję, jest iloczyn mieszany trzech wektorów. To, podobnie jak skalar, jest liczbą. Można to obliczyć na dwa sposoby. - poprzez wyznacznik, - poprzez produkt mieszany.

Mianowicie, powiedzmy, że mamy trzy wektory:

Wtedy iloczyn mieszany trzech wektorów, oznaczony przez, można obliczyć jako:

1. - czyli iloczyn mieszany jest iloczynem skalarnym wektora i iloczynem wektorowym dwóch innych wektorów

Na przykład mieszany produkt trzech wektorów to:

Spróbuj obliczyć to sam za pomocą iloczynu wektorowego i upewnij się, że wyniki się zgadzają!

I znowu - dwa przykłady niezależnego rozwiązania:

Odpowiedzi:

Wybór układu współrzędnych

Cóż, teraz mamy wszystkie niezbędne podstawy wiedzy do rozwiązywania złożonych problemów stereometrycznych w geometrii. Jednak zanim przejdę bezpośrednio do przykładów i algorytmów ich rozwiązywania, uważam, że warto zastanowić się nad następującym pytaniem: jak dokładnie wybrać układ współrzędnych dla określonej figury. W końcu to wybór względnego położenia układu współrzędnych i figury w przestrzeni ostatecznie zadecyduje o tym, jak uciążliwe będą obliczenia.

Przypominam, że w tej sekcji rozważamy następujące kształty:

1. prostopadłościan
2. Pryzmat prosty (trójkątny, sześciokątny…)
3. Piramida (trójkątna, czworokątna)
4. Czworościan (taki sam jak trójkątna piramida)

Dla prostopadłościanu lub sześcianu polecam następującą konstrukcję:

Oznacza to, że umieszczę figurę „w rogu”. Kostka i pudełko to bardzo dobre figurki. Dla nich zawsze możesz łatwo znaleźć współrzędne jego wierzchołków. Na przykład, jeśli (jak pokazano na rysunku)

wtedy współrzędne wierzchołków to:

Oczywiście nie musisz o tym pamiętać, ale pamiętanie, jak najlepiej ustawić sześcian lub prostokątne pudełko, jest pożądane.

prosty pryzmat

Pryzmat jest bardziej szkodliwą postacią. Można go zaaranżować w przestrzeni na różne sposoby. Myślę jednak, że najlepszą opcją jest:

Trójkątny pryzmat:

Oznacza to, że umieszczamy jeden z boków trójkąta całkowicie na osi, a jeden z wierzchołków pokrywa się z początkiem.

Sześciokątny pryzmat:

Oznacza to, że jeden z wierzchołków pokrywa się z początkiem, a jeden z boków leży na osi.

Czworokątna i sześciokątna piramida:

Sytuacja podobna do sześcianu: łączymy dwa boki podstawy osiami współrzędnych, łączymy jeden z wierzchołków z początkiem. Jedyną niewielką trudnością będzie obliczenie współrzędnych punktu.

Dla piramidy sześciokątnej - tak samo jak dla graniastosłupa sześciokątnego. Głównym zadaniem będzie ponownie znalezienie współrzędnych wierzchołka.

Czworościan (trójkątna piramida)

Sytuacja jest bardzo podobna do tej, którą podałem dla graniastosłupa trójkątnego: jeden wierzchołek pokrywa się z początkiem, jeden bok leży na osi współrzędnych.

Cóż, teraz ty i ja jesteśmy wreszcie blisko rozpoczęcia rozwiązywania problemów. Z tego, co powiedziałem na samym początku artykułu, można wyciągnąć następujący wniosek: większość problemów C2 można podzielić na 2 kategorie: problemy dotyczące kąta i problemy dotyczące odległości. Najpierw rozważymy problemy związane ze znalezieniem kąta. Te z kolei dzielą się na następujące kategorie (w miarę wzrostu złożoności):

Problemy ze znalezieniem narożników

1. Znalezienie kąta między dwiema prostymi
2. Znalezienie kąta między dwiema płaszczyznami

Rozważmy te problemy po kolei: zaczniemy od znalezienia kąta między dwiema liniami prostymi. Daj spokój, pamiętaj, czy ty i ja rozwiązaliśmy już podobne przykłady? Pamiętasz, bo mieliśmy już coś podobnego… Szukaliśmy kąta między dwoma wektorami. Przypominam, jeśli dane są dwa wektory: i, to kąt między nimi znajduje się z zależności:

Teraz mamy cel - znalezienie kąta między dwiema prostymi. Przejdźmy do „płaskiego obrazu”:

Ile kątów otrzymamy, gdy przecinają się dwie proste? Już rzeczy. To prawda, że ​​\u200b\u200btylko dwa z nich nie są równe, podczas gdy inne są w stosunku do nich pionowe (a zatem pokrywają się z nimi). Więc jaki kąt powinniśmy rozważyć kąt między dwiema liniami prostymi: lub? Oto reguła: kąt między dwiema liniami prostymi jest zawsze nie większy niż stopnie. Oznacza to, że z dwóch kątów zawsze wybierzemy kąt o najmniejszej mierze stopnia. Oznacza to, że na tym obrazie kąt między dwiema liniami jest równy. Aby nie zawracać sobie głowy znajdowaniem za każdym razem najmniejszego z dwóch kątów, sprytni matematycy zasugerowali użycie modułu. Zatem kąt między dwiema liniami prostymi jest określony wzorem:

Ty, jako uważny czytelnik, powinieneś był zadać sobie pytanie: skąd właściwie bierzemy te liczby, których potrzebujemy do obliczenia cosinusa kąta? Odpowiedź: weźmiemy je z wektorów kierunkowych linii! Zatem algorytm znajdowania kąta między dwiema liniami jest następujący:

1. Stosujemy formułę 1.

Lub bardziej szczegółowo:

1. Szukamy współrzędnych wektora kierunkowego pierwszej prostej
2. Szukamy współrzędnych wektora kierunkowego drugiej linii
3. Oblicz moduł ich iloczynu skalarnego
4. Szukamy długości pierwszego wektora
5. Szukamy długości drugiego wektora
6. Pomnóż wyniki z punktu 4 przez wyniki z punktu 5
7. Wynik z punktu 3 dzielimy przez wynik z punktu 6. Otrzymujemy cosinus kąta między prostymi
8. Jeśli ten wynik pozwala nam dokładnie obliczyć kąt, to go szukamy
9. W przeciwnym razie piszemy przez arcus cosinus

No to teraz czas przejść do zadań: zademonstruję szczegółowo rozwiązanie pierwszych dwóch zadań, przedstawię pokrótce rozwiązanie kolejnego zadania i odpowiem tylko na dwa ostatnie zadania, musisz sam wykonaj dla nich wszystkie obliczenia.

Zadania:

1. W prawym tet-ra-ed-re znajdź kąt między tobą-tak-tym tet-ra-ed-ra a stroną me-di-a-noy bo-ko-how.

2. W prawym przednim sześciokątnym pi-ra-mi-de sto ro-na-os-no-va-niya są w jakiś sposób równe, a boczne żebra są równe, znajdź kąt między prostą linie i.

3. Długości wszystkich krawędzi prawoskrętnej pi-ra-mi-dy są sobie równe. Znajdź kąt między liniami prostymi i jeśli from-re-zok - you-so-that biorąc pod uwagę pi-ra-mi-dy, punkt jest se-re-di-na jej żebrze bo-ko-th

4. Na krawędzi sześcianu od-me-che-do punktu tak, aby Znajdź-di-te kąt między liniami prostymi i

5. Punkt - se-re-di-na krawędziach sześcianu Nai-di-te kąt między liniami prostymi i.

To nie przypadek, że ułożyłem zadania w takiej kolejności. Chociaż nie miałeś jeszcze czasu, aby zacząć nawigować po metodzie współrzędnych, ja sam przeanalizuję najbardziej „problematyczne” liczby i zostawię cię z najprostszą kostką! Stopniowo musisz nauczyć się pracować ze wszystkimi figurami, będę zwiększał złożoność zadań z tematu na temat.

Zacznijmy rozwiązywać problemy:

1. Narysuj czworościan, umieść go w układzie współrzędnych, jak sugerowałem wcześniej. Ponieważ czworościan jest regularny, wszystkie jego ściany (w tym podstawa) są regularnymi trójkątami. Ponieważ nie mamy podanej długości boku, mogę przyjąć, że jest równy. Myślę, że rozumiesz, że kąt tak naprawdę nie będzie zależał od tego, jak bardzo nasz czworościan zostanie „rozciągnięty”?. Narysuję również wysokość i medianę w czworościanie. Po drodze narysuję jego podstawę (nam też się przyda).

Muszę znaleźć kąt między i. Co wiemy? Znamy tylko współrzędne punktu. Musimy więc znaleźć więcej współrzędnych punktów. Teraz myślimy: punkt to punkt przecięcia wysokości (lub dwusiecznych lub środkowych) trójkąta. Kropka to wzniesiony punkt. Punkt jest środkiem odcinka. Następnie w końcu musimy znaleźć: współrzędne punktów: .

Zacznijmy od najprostszego: współrzędnych punktu. Spójrz na rysunek: Widać wyraźnie, że aplikat punktu jest równy zeru (punkt leży na płaszczyźnie). Jego rzędna jest równa (ponieważ jest medianą). Trudniej jest znaleźć jego odciętą. Można to jednak łatwo zrobić na podstawie twierdzenia Pitagorasa: Rozważmy trójkąt. Jego przeciwprostokątna jest równa, a jedna z nóg jest równa Wtedy:

Wreszcie mamy:

Teraz znajdźmy współrzędne punktu. Jest jasne, że jego aplikat jest znowu równy zeru, a jego rzędna jest taka sama jak rzędna punktu. Znajdźmy jego odciętą. Robi się to dość trywialnie, jeśli się o tym pamięta wysokości trójkąta równobocznego są podzielone przez punkt przecięcia w proporcji licząc od góry. Ponieważ:, to żądana odcięta punktu, równa długości odcinka, jest równa:. Zatem współrzędne punktu to:

Znajdźmy współrzędne punktu. Oczywiste jest, że jego odcięta i rzędna pokrywają się z odciętą i rzędną punktu. A aplikacja jest równa długości segmentu. - to jest jedna z nóg trójkąta. Przeciwprostokątna trójkąta to odcinek - noga. Jest wyszukiwany z powodów, które podkreśliłem pogrubioną czcionką:

Punkt jest środkiem odcinka. Następnie musimy zapamiętać wzór na współrzędne środka odcinka:

To wszystko, teraz możemy szukać współrzędnych wektorów kierunkowych:

Cóż, wszystko gotowe: podstawiamy wszystkie dane do wzoru:

Zatem,

Odpowiedź:

Nie należy bać się takich „okropnych” odpowiedzi: w przypadku zadań C2 jest to powszechna praktyka. Wolałbym być zaskoczony „piękną” odpowiedzią w tej części. Ponadto, jak zauważyłeś, praktycznie nie uciekałem się do niczego innego niż twierdzenie Pitagorasa i własność wysokości trójkąta równobocznego. To znaczy, aby rozwiązać problem stereometryczny, użyłem minimum stereometrii. Zysk z tego jest częściowo „gaszony” przez dość kłopotliwe obliczenia. Ale są dość algorytmiczne!

2. Narysuj regularną sześciokątną piramidę wraz z układem współrzędnych, a także jej podstawą:

Musimy znaleźć kąt między liniami i. Zatem nasze zadanie sprowadza się do znalezienia współrzędnych punktów: . Znajdziemy współrzędne ostatnich trzech z małego rysunku i znajdziemy współrzędną wierzchołka przez współrzędną punktu. Dużo pracy, ale trzeba zacząć!

a) Współrzędna: jasne jest, że jej aplikat i rzędna są zerowe. Znajdźmy odciętą. Aby to zrobić, rozważ trójkąt prostokątny. Niestety, w nim znamy tylko przeciwprostokątną, która jest równa. Spróbujemy znaleźć nogę (bo jasne jest, że podwójna długość nogi da nam odciętą punktu). Jak możemy jej szukać? Przypomnijmy sobie, jaką figurę mamy u podstawy piramidy? To jest zwykły sześciokąt. Co to znaczy? Oznacza to, że wszystkie boki i wszystkie kąty są równe. Musimy znaleźć jeden taki kąt. Jakieś pomysły? Pomysłów jest wiele, ale jest wzór:

Suma kątów n-kąta foremnego wynosi .

Zatem suma kątów sześciokąta foremnego wynosi stopnie. Wtedy każdy z kątów jest równy:

Spójrzmy jeszcze raz na zdjęcie. Oczywiste jest, że odcinek jest dwusieczną kąta. Wtedy kąt ma stopnie. Następnie:

Więc gdzie.

Ma więc współrzędne

b) Teraz możemy łatwo znaleźć współrzędne punktu: .

c) Znajdź współrzędne punktu. Ponieważ jego odcięta pokrywa się z długością odcinka, jest równa. Znalezienie rzędnej również nie jest bardzo trudne: jeśli połączymy punkty i oznaczymy punkt przecięcia linii, powiedzmy dla. (zrób to sam prosta konstrukcja). Zatem rzędna punktu B jest równa sumie długości odcinków. Spójrzmy jeszcze raz na trójkąt. Następnie

Wtedy od Wtedy punkt ma współrzędne

d) Teraz znajdź współrzędne punktu. Rozważmy prostokąt i udowodnijmy, że współrzędne punktu to:

e) Pozostaje znaleźć współrzędne wierzchołka. Oczywiste jest, że jego odcięta i rzędna pokrywają się z odciętą i rzędną punktu. Znajdźmy aplikację. Od tego czasu. Rozważ trójkąt prostokątny. Według stanu problemu, krawędź boczna. To jest przeciwprostokątna mojego trójkąta. Wtedy wysokość piramidy to noga.

Wtedy punkt ma współrzędne:

To wszystko, mam współrzędne wszystkich interesujących mnie punktów. Szukam współrzędnych wektorów kierujących liniami prostymi:

Szukamy kąta między tymi wektorami:

Odpowiedź:

Ponownie, rozwiązując to zadanie, nie stosowałem żadnych wyrafinowanych sztuczek, z wyjątkiem wzoru na sumę kątów n-kąta foremnego oraz definicji cosinusa i sinusa trójkąta prostokątnego.

3. Ponieważ ponownie nie podano nam długości krawędzi w piramidzie, uznam je za równe jeden. Skoro więc WSZYSTKIE krawędzie, a nie tylko boczne, są sobie równe, to u podstawy piramidy i mnie leży kwadrat, a ściany boczne są foremnymi trójkątami. Przedstawmy taką piramidę, a także jej podstawę na płaszczyźnie, zaznaczając wszystkie dane podane w tekście zadania:

Szukamy kąta między a. Dokonuję bardzo krótkich obliczeń, gdy szukam współrzędnych punktów. Będziesz musiał je „odszyfrować”:

b) - środek segmentu. Jej współrzędne:

c) Znajdę długość odcinka korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie. Znajdę z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie.

Współrzędne:

d) - środek segmentu. Jego współrzędne to

e) Współrzędne wektora

f) Współrzędne wektora

g) Szukam kąta:

Sześcian to najprostsza figura. Jestem pewien, że możesz sam to rozgryźć. Odpowiedzi na zadania 4 i 5 są następujące:

Znalezienie kąta między prostą a płaszczyzną

Cóż, czas prostych zagadek się skończył! Teraz przykłady będą jeszcze trudniejsze. Aby znaleźć kąt między prostą a płaszczyzną, postępujemy w następujący sposób:

1. Korzystając z trzech punktów, budujemy równanie płaszczyzny
   ,
   przy użyciu wyznacznika trzeciego rzędu.
2. Przez dwa punkty szukamy współrzędnych wektora kierunkowego prostej:
3. Stosujemy wzór do obliczenia kąta między linią prostą a płaszczyzną:

Jak widać, ten wzór jest bardzo podobny do tego, którego użyliśmy do znalezienia kątów między dwiema prostymi. Struktura prawej strony jest taka sama, a po lewej stronie szukamy teraz sinusa, a nie cosinusa, jak poprzednio. Cóż, dodano jedną paskudną akcję - poszukiwanie równania płaszczyzny.

Nie odkładajmy na półkę przykłady rozwiązań:

1. Os-no-va-ni-em prosto-moja nagroda-jesteśmy-la-et-xia równi-ale-biedni-ren-ny trójkąt-nick ty-z-tą nagrodą-jesteśmy równi. Znajdź kąt między linią prostą a płaszczyzną

2. W prostokątnym pa-ral-le-le-pi-pe-de z West Nai-di-te kąt między linią prostą a płaszczyzną

3. W prawoskrętnym graniastosłupie sześciowęglowym wszystkie krawędzie są równe. Znajdź kąt między linią prostą a płaszczyzną.

4. W prawym trójkątnym pi-ra-mi-de z os-but-va-ni-em od zachodu kąta żebra Nai-di-te, płaszczyzna ob-ra-zo-van -ny os -no-va-niya i straight-my, przechodząc przez se-re-di-na żeber i

5. Długości wszystkich krawędzi prawego czworokątnego pi-ra-mi-dy z wierzchołkiem są sobie równe. Znajdź kąt między linią prostą a płaszczyzną, jeśli punkt jest se-re-di-na bo-ko-w-tej krawędzi pi-ra-mi-dy.

Ponownie szczegółowo rozwiążę dwa pierwsze problemy, trzeci pokrótce, a dwa ostatnie pozostawiam do samodzielnego rozwiązania. Ponadto miałeś już do czynienia z trójkątnymi i czworokątnymi piramidami, ale jeszcze nie z graniastosłupami.

Rozwiązania:

1. Narysuj pryzmat, a także jego podstawę. Połączmy to z układem współrzędnych i zaznaczmy wszystkie dane, które są podane w zadaniu:

Przepraszam za pewne niezgodności z proporcjami, ale dla rozwiązania problemu to w rzeczywistości nie jest tak ważne. Płaszczyzna jest po prostu „tylną ścianą” mojego pryzmatu. Wystarczy po prostu zgadnąć, że równanie takiej płaszczyzny ma postać:

Można to jednak również pokazać bezpośrednio:

Wybieramy dowolne trzy punkty na tej płaszczyźnie: na przykład .

Zróbmy równanie płaszczyzny:

Ćwiczenie dla ciebie: sam oblicz ten wyznacznik. Udało Ci się? Wówczas równanie płaszczyzny ma postać:

Lub po prostu

Zatem,

Aby rozwiązać przykład, muszę znaleźć współrzędne wektora kierunkowego prostej. Ponieważ punkt pokrywa się z początkiem, współrzędne wektora będą po prostu pokrywać się ze współrzędnymi punktu.Aby to zrobić, najpierw znajdujemy współrzędne punktu.

Aby to zrobić, rozważ trójkąt. Narysujmy wysokość (jest to również mediana i dwusieczna) od góry. Skoro więc rzędna punktu jest równa. Aby znaleźć odciętą tego punktu, musimy obliczyć długość odcinka. Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

Wtedy punkt ma współrzędne:

Kropka to „podniesiona” na kropce:

Następnie współrzędne wektora:

Odpowiedź:

Jak widać, nie ma nic zasadniczo trudnego w rozwiązywaniu takich problemów. W rzeczywistości „prostość” figury, takiej jak pryzmat, nieco upraszcza ten proces. Przejdźmy teraz do następnego przykładu:

2. Rysujemy równoległościan, rysujemy w nim płaszczyznę i linię prostą, a także osobno rysujemy jego dolną podstawę:

Najpierw znajdujemy równanie płaszczyzny: Współrzędne trzech leżących na niej punktów:

(dwie pierwsze współrzędne uzyskuje się w oczywisty sposób, a ostatnią współrzędną z obrazka można łatwo znaleźć z punktu). Następnie układamy równanie płaszczyzny:

obliczamy:

Szukamy współrzędnych wektora kierunkowego: Jasne jest, że jego współrzędne pokrywają się ze współrzędnymi punktu, prawda? Jak znaleźć współrzędne? To są współrzędne punktu, podniesione wzdłuż osi aplikacyjnej o jeden! . Następnie szukamy pożądanego kąta:

Odpowiedź:

3. Narysuj regularną sześciokątną piramidę, a następnie narysuj w niej płaszczyznę i linię prostą.

Tutaj nawet problematyczne jest narysowanie płaszczyzny, nie mówiąc już o rozwiązaniu tego problemu, ale metoda współrzędnych nie obchodzi! To właśnie w jego wszechstronności tkwi jego główna zaleta!

Płaszczyzna przechodzi przez trzy punkty: . Szukamy ich współrzędnych:

1) . Sam wyświetl współrzędne dwóch ostatnich punktów. W tym celu musisz rozwiązać problem z sześciokątną piramidą!

2) Budujemy równanie płaszczyzny:

Szukamy współrzędnych wektora: . (Zobacz ponownie problem trójkątnej piramidy!)

3) Szukamy kąta:

Odpowiedź:

Jak widać, nie ma w tych zadaniach nic nadnaturalnie trudnego. Trzeba tylko bardzo uważać na korzenie. Na dwa ostatnie problemy podam tylko odpowiedzi:

Jak widać, technika rozwiązywania problemów jest wszędzie taka sama: głównym zadaniem jest znalezienie współrzędnych wierzchołków i podstawienie ich do pewnych wzorów. Pozostaje nam rozważyć jeszcze jedną klasę problemów do obliczania kątów, a mianowicie:

Obliczanie kątów między dwiema płaszczyznami

Algorytm rozwiązania będzie wyglądał następująco:

1. Dla trzech punktów szukamy równania pierwszej płaszczyzny:
2. Dla pozostałych trzech punktów szukamy równania drugiej płaszczyzny:
3. Stosujemy formułę:

Jak widać, wzór jest bardzo podobny do dwóch poprzednich, za pomocą których szukaliśmy kątów między prostymi oraz między prostą a płaszczyzną. Więc zapamiętanie tego nie będzie dla ciebie trudne. Przejdźmy od razu do problemu:

1. Sto ro na podstawie prawego graniastosłupa trójkątnego jest równe, a przekątna ściany bocznej jest równa. Znajdź kąt między płaszczyzną a płaszczyzną podstawy nagrody.

2. W prawym do przodu cztery-ty-re-węgiel-noy pi-ra-mi-de, wszystkie krawędzie kogoś są równe, znajdź sinus kąta między płaszczyzną a płaszczyzną Ko-Stu, przechodzącą przez punkt per-pen-di-ku-lyar-ale prosto-my.

3. W regularnym pryzmacie czterowęglowym boki os-no-va-nia są równe, a krawędzie boczne są równe. Na krawędzi od-mnie-che-do punktu tak, że. Znajdź kąt między płaszczyznami a

4. W prawym czworokątnym pryzmacie boki podstaw są równe, a krawędzie boczne są równe. Na krawędzi od-mnie-che-do punktu tak, że Znajdź kąt między płaszczyznami i.

5. W sześcianie znajdź co-sinus kąta między płaszczyznami a

Rozwiązania problemów:

1. Rysuję regularny (u podstawy trójkąt równoboczny) graniastosłup trójkątny i zaznaczam na nim płaszczyzny, które pojawiają się w stanie zadania:

Musimy znaleźć równania dwóch płaszczyzn: Równanie bazowe uzyskuje się trywialnie: możesz zrobić odpowiedni wyznacznik dla trzech punktów, ale równanie zrobię od razu:

Teraz znajdźmy równanie Punkt ma współrzędne Punkt - Ponieważ - mediana i wysokość trójkąta, łatwo jest znaleźć według twierdzenia Pitagorasa w trójkącie. Wtedy punkt ma współrzędne: Znajdź aplikację punktu Aby to zrobić, rozważmy trójkąt prostokątny

Otrzymujemy wtedy następujące współrzędne: Układamy równanie płaszczyzny.

Obliczamy kąt między płaszczyznami:

Odpowiedź:

2. Wykonanie rysunku:

Najtrudniej jest zrozumieć, co to za tajemnicza płaszczyzna, przechodząca przez punkt prostopadle. Cóż, najważniejsze jest to, co to jest? Najważniejsze jest uważność! Rzeczywiście, linia jest prostopadła. Linia jest również prostopadła. Wtedy płaszczyzna przechodząca przez te dwie proste będzie prostopadła do prostej i, nawiasem mówiąc, przejdzie przez punkt. Ta płaszczyzna przechodzi również przez szczyt piramidy. Następnie pożądany samolot - A samolot jest już nam dany. Szukamy współrzędnych punktów.

Znajdujemy współrzędną punktu przez punkt. Z małego rysunku łatwo wywnioskować, że współrzędne punktu będą następujące: Co jeszcze pozostaje do znalezienia, aby znaleźć współrzędne wierzchołka piramidy? Nadal musisz obliczyć jego wysokość. Odbywa się to za pomocą tego samego twierdzenia Pitagorasa: najpierw udowodnij, że (trywialnie z małych trójkątów tworzących kwadrat u podstawy). Ponieważ z warunku mamy:

Teraz wszystko jest gotowe: współrzędne wierzchołków:

Tworzymy równanie płaszczyzny:

Jesteś już ekspertem w obliczaniu wyznaczników. Z łatwością otrzymasz:

Lub inaczej (jeśli pomnożymy obie części przez pierwiastek z dwóch)

Teraz znajdźmy równanie płaszczyzny:

(Nie zapomniałeś, jak otrzymujemy równanie płaszczyzny, prawda? Jeśli nie rozumiesz, skąd wziął się ten minus jeden, to wróć do definicji równania płaszczyzny! Po prostu zawsze okazywało się, że moje samolot należał do pochodzenia!)

Obliczamy wyznacznik:

(Możesz zauważyć, że równanie płaszczyzny pokrywało się z równaniem prostej przechodzącej przez punkty i! Pomyśl dlaczego!)

Teraz obliczamy kąt:

Musimy znaleźć sinus:

Odpowiedź:

3. Podchwytliwe pytanie: co to jest prostopadłościan, jak myślisz? To po prostu dobrze znany ci równoległościan! Rysowanie od zaraz! Nie możesz nawet osobno zobrazować podstawy, tutaj nie ma z niej pożytku:

Płaszczyzna, jak zauważyliśmy wcześniej, jest zapisana jako równanie:

Teraz robimy samolot

Natychmiast tworzymy równanie płaszczyzny:

Szukasz kąta

Teraz odpowiedzi na dwa ostatnie problemy:

Cóż, teraz jest czas na przerwę, ponieważ ty i ja jesteśmy wspaniali i wykonaliśmy świetną robotę!

Współrzędne i wektory. Poziom zaawansowany

W tym artykule omówimy z Tobą inną klasę problemów, które można rozwiązać za pomocą metody współrzędnych: problemy z odległością. Mianowicie rozważymy następujące przypadki:

1. Obliczanie odległości między liniami skośnymi.

Porządkowałem podane zadania w miarę wzrostu ich złożoności. Najprościej jest znaleźć wskazać odległość płaszczyzny a najtrudniejsze jest znalezienie odległość między przecinającymi się liniami. Chociaż oczywiście nie ma rzeczy niemożliwych! Nie zwlekajmy i od razu przejdźmy do rozważenia pierwszej klasy problemów:

Obliczanie odległości punktu od płaszczyzny

Czego potrzebujemy, aby rozwiązać ten problem?

1. Współrzędne punktu

Tak więc, gdy tylko uzyskamy wszystkie niezbędne dane, stosujemy formułę:

Powinieneś już wiedzieć, jak budujemy równanie płaszczyzny z poprzednich problemów, które analizowałem w ostatniej części. Przejdźmy od razu do interesów. Schemat jest następujący: 1, 2 - pomogę ci zdecydować, i trochę szczegółowo, 3, 4 - tylko odpowiedź, sam podejmujesz decyzję i porównujesz. Rozpoczęty!

Zadania:

1. Dany sześcian. Długość krawędzi sześcianu wynosi Znajdź odległość od se-re-di-ny od cięcia do mieszkania

2. Biorąc pod uwagę prawą-vil-naya cztery-you-rekh-węgiel-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe krawędź sto-ro-na os-no-va-nia jest równa. Znajdź-di-te odległości od punktu do płaszczyzny, gdzie - se-re-di-na krawędziach.

3. W prawym trójkątnym pi-ra-mi-de z os-but-va-ni-em druga krawędź jest równa, a sto-ro-on os-no-vaniya jest równe. Znajdź te odległości od góry do płaszczyzny.

4. W prawoskrętnym graniastosłupie sześciowęglowym wszystkie krawędzie są równe. Znajdź te odległości od punktu do płaszczyzny.

Rozwiązania:

1. Narysuj sześcian z pojedynczymi krawędziami, zbuduj odcinek i płaszczyznę, literą oznacz środek odcinka

.

Najpierw zacznijmy od łatwego: znajdź współrzędne punktu. Od tego czasu (pamiętaj o współrzędnych środka odcinka!)

Teraz układamy równanie płaszczyzny w trzech punktach

\[\lewo| (\begin(tablica)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(tablica)) \right| = 0\]

Teraz mogę zacząć szukać odległości:

2. Ponownie zaczynamy od rysunku, na którym zaznaczamy wszystkie dane!

W przypadku piramidy przydatne byłoby osobne narysowanie jej podstawy.

Nawet to, że rysuję jak kurza łapa, nie przeszkodzi nam w łatwym rozwiązaniu tego problemu!

Teraz łatwo jest znaleźć współrzędne punktu

Ponieważ współrzędne punktu

2. Skoro współrzędne punktu a są środkiem odcinka, to

Łatwo znajdujemy współrzędne dwóch kolejnych punktów na płaszczyźnie, układamy równanie płaszczyzny i upraszczamy je:

\[\lewo| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Ponieważ punkt ma współrzędne: , to obliczamy odległość:

Odpowiedź (bardzo rzadko!):

Cóż, zrozumiałeś? Wydaje mi się, że wszystko tutaj jest tak samo techniczne, jak w przykładach, które rozważaliśmy z tobą w poprzedniej części. Jestem więc pewien, że jeśli opanowałeś ten materiał, to rozwiązanie pozostałych dwóch problemów nie będzie dla Ciebie trudne. Po prostu dam ci odpowiedzi:

Obliczanie odległości od linii do płaszczyzny

Właściwie nie ma tu nic nowego. W jaki sposób linia i płaszczyzna mogą znajdować się względem siebie? Mają wszelkie możliwości: przecinają się, czyli prosta jest równoległa do płaszczyzny. Jak myślisz, jaka jest odległość od prostej do płaszczyzny, z którą przecina się dana prosta? Wydaje mi się, że jest jasne, że taka odległość jest równa zeru. Nieciekawy przypadek.

Drugi przypadek jest trudniejszy: tutaj odległość jest już niezerowa. Jednakże, ponieważ linia jest równoległa do płaszczyzny, to każdy punkt linii jest w równej odległości od tej płaszczyzny:

Zatem:

A to oznacza, że ​​moje zadanie zostało sprowadzone do poprzedniego: szukamy współrzędnych dowolnego punktu na prostej, szukamy równania płaszczyzny, obliczamy odległość od punktu do płaszczyzny. W rzeczywistości takie zadania na egzaminie są niezwykle rzadkie. Udało mi się znaleźć tylko jeden problem, a dane w nim zawarte były takie, że metoda współrzędnych nie bardzo się do niego stosowała!

Przejdźmy teraz do innej, znacznie ważniejszej klasy problemów:

Obliczanie odległości punktu od prostej

Czego będziemy potrzebować?

1. Współrzędne punktu, od którego szukamy odległości:

2. Współrzędne dowolnego punktu leżącego na linii prostej

3. Współrzędne wektora kierunku prostej

Jakiej formuły używamy?

Co oznacza dla ciebie mianownik tego ułamka i powinno być jasne: jest to długość wektora kierującego prostej. Oto bardzo trudny licznik! Wyrażenie oznacza moduł (długość) iloczynu wektorowego wektorów i Jak obliczyć iloczyn wektorowy, omówiliśmy w poprzedniej części pracy. Odśwież swoją wiedzę, bardzo nam się teraz przyda!

Zatem algorytm rozwiązywania problemów będzie następujący:

1. Szukamy współrzędnych punktu, od którego szukamy odległości:

2. Szukamy współrzędnych dowolnego punktu na linii, do którego szukamy odległości:

3. Budowanie wektora

4. Budujemy wektor kierunkowy linii prostej

5. Oblicz iloczyn krzyżowy

6. Szukamy długości otrzymanego wektora:

7. Oblicz odległość:

Mamy dużo pracy, a przykłady będą dość złożone! Więc teraz skup całą swoją uwagę!

1. Dana jest prawoskrętnym trójkątnym pi-ra-mi-da z wierzchołkiem. Sto ro-na os-no-va-niya pi-ra-mi-dy jest równe, ty-tak-ta jest równe. Znajdź-di-te odległości od pierwszej krawędzi bo-ko-tej do linii prostej, gdzie punkty i są se-re-di-ny żeber i co-od-vet -stven-ale.

2. Długości żeber i kąt prosty-no-para-ral-le-le-pi-pe-da są odpowiednio równe, a odległość Find-di-te od top-shi-ny do straight-my

3. W prawym graniastosłupie sześciowęglowym wszystkie krawędzie roju są równe – znajdź odległość od punktu do linii prostej

Rozwiązania:

1. Wykonujemy zgrabny rysunek, na którym zaznaczamy wszystkie dane:

Mamy dla Ciebie dużo pracy! Najpierw chciałbym opisać słowami czego będziemy szukać iw jakiej kolejności:

1. Współrzędne punktów i

2. Współrzędne punktu

3. Współrzędne punktów i

4. Współrzędne wektorów i

5. Ich iloczyn krzyżowy

6. Długość wektora

7. Długość iloczynu wektorowego

8. Odległość od do

Cóż, czeka nas dużo pracy! Podwińmy rękawy!

1. Aby znaleźć współrzędne wysokości ostrosłupa, musimy znać współrzędne punktu, którego aplikat wynosi zero, a rzędna jest równa jego odciętej. W końcu otrzymaliśmy współrzędne:

Współrzędne punktu

2. - środek segmentu

3. - środek segmentu

punkt środkowy

4. Współrzędne

Współrzędne wektora

5. Oblicz iloczyn wektorowy:

6. Długość wektora: najłatwiej zamienić odcinek na środkową linię trójkąta, czyli jest równy połowie podstawy. Więc.

7. Rozważamy długość iloczynu wektorowego:

8. Na koniec znajdź odległość:

Uff, to wszystko! Powiem szczerze: rozwiązanie tego problemu tradycyjnymi metodami (poprzez konstrukcje) byłoby znacznie szybsze. Ale tutaj zredukowałem wszystko do gotowego algorytmu! Myślę, że algorytm rozwiązania jest dla Ciebie jasny? Dlatego poproszę o samodzielne rozwiązanie pozostałych dwóch problemów. Porównaj odpowiedzi?

Ponownie powtarzam: łatwiej (szybciej) rozwiązać te problemy za pomocą konstrukcji, niż uciekać się do metody współrzędnych. Pokazałem ten sposób rozwiązywania tylko po to, aby pokazać uniwersalną metodę, która pozwala „nic nie kończyć”.

Na koniec rozważ ostatnią klasę problemów:

Obliczanie odległości między liniami skośnymi

Tutaj algorytm rozwiązywania problemów będzie podobny do poprzedniego. Co mamy:

3. Dowolny wektor łączący punkty pierwszej i drugiej linii:

Jak znaleźć odległość między liniami?

Formuła to:

Licznik jest modułem iloczynu mieszanego (wprowadziliśmy go w poprzedniej części), a mianownik jest taki sam jak w poprzednim wzorze (moduł iloczynu wektorów wektorów kierujących prostych, odległość, między którą szuka).

Przypomnę ci to

Następnie wzór na odległość można przepisać jako:

Podziel ten wyznacznik przez wyznacznik! Chociaż, szczerze mówiąc, nie jestem w nastroju do żartów! Ta formuła jest w rzeczywistości bardzo nieporęczna i prowadzi do dość skomplikowanych obliczeń. Gdybym był tobą, używałbym go tylko w ostateczności!

Spróbujmy rozwiązać kilka problemów za pomocą powyższej metody:

1. W prawym trójkątnym pryzmacie wszystkie krawędzie są w jakiś sposób równe, znajdź odległość między liniami prostymi i.

2. Biorąc pod uwagę trójkątny graniastosłup o kształcie skierowanym w prawo, wszystkie krawędzie czyjegoś os-no-va-niya są równe Se-che-tion, przechodząc przez drugie żebro i żebra se-re-di-nu są yav-la-et-sya kwadrat-ra-tom. Znajdź-di-te dis-sto-I-nie między prostym-my-mi a

Ja decyduję o pierwszym, a na jego podstawie Ty decydujesz o drugim!

1. Rysuję pryzmat i zaznaczam linie oraz

Współrzędne punktu C: wtedy

Współrzędne punktu

Współrzędne wektora

Współrzędne punktu

Współrzędne wektora

Współrzędne wektora

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(tablica)(*(20)(l))(\begin(tablica)(*(20)(c))0&1&0\end(tablica))\\(\begin(tablica)(*(20) (c))0&0&1\end(tablica))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(tablica))\end(tablica)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Rozważamy iloczyn krzyżowy między wektorami i

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(tablica)(l)\begin(tablica)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(tablica)\\\begin(tablica)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(tablica)\end(tablica) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Teraz rozważymy jego długość:

Odpowiedź:

Teraz postaraj się dokładnie wykonać drugie zadanie. Odpowiedzią na nie będzie:.

Współrzędne i wektory. Krótki opis i podstawowe wzory

Wektor jest skierowanym odcinkiem. - początek wektora, - koniec wektora.
Wektor jest oznaczony przez lub.

Całkowita wartość vector - długość odcinka reprezentującego wektor. Oznaczony jako.

Współrzędne wektora:

,
gdzie są końce wektora \displaystyle a .

Suma wektorów: .

Iloczyn wektorów:

Iloczyn skalarny wektorów:

Iloczyn skalarny wektorów jest równy iloczynowi ich wartości bezwzględnych i cosinusa kąta między nimi:

POZOSTAŁE 2/3 ARTYKUŁÓW SĄ DOSTĘPNE TYLKO DLA STUDENTÓW YOUCLEVER!

Zostań uczniem YouClever,

Przygotuj się do OGE lub USE z matematyki w cenie „filiżanki kawy miesięcznie”,

A także uzyskaj nieograniczony dostęp do podręcznika „YouClever”, programu szkoleniowego „100gia” (książka rozwiązań), nieograniczonego okresu próbnego USE i OGE, 6000 zadań z analizą rozwiązań i innych usług YouClever i 100gia.

Czas czytania 8 minut

Współczesna psychologia i psychiatria nie ograniczają się już do klasycznych teorii naukowych. Spory i dyskusje o prawdziwości i obiektywności popularnych koncepcji toczą się od wieków, nieustannie prowadzone są badania psychologiczne, których celem jest dojście do jedynego prawdziwego wyniku. Ale poza tym coraz częściej pojawiają się nowe nurty alternatywne, modyfikuje się dobrze znane teorie, przekształca się nauczanie światowych umysłów psychologii i psychiatrii, takich jak zawodowy psychoanalityk Zygmunt Freud czy jego nie mniej znany kolega Carl Gustaw Jung. W tym artykule skupimy się właśnie na takim nowym nurcie, który dokonał prawdziwej rewolucji w rosyjskiej psychologii, nazywa się psychologia systemowo-wektorowa. Dowiesz się co to jest, jaka jest główna idea tego kierunku, a także będziesz mógł szczegółowo zapoznać się z każdym z 8 prezentowanych wektorów, a nawet samodzielnie określić swój własny typ osobowości.

Idee psychologii systemowo-wektorowej

Na początek warto powiedzieć, że psychologia systemowo-wektorowa nie jest ogólnie przyjętym trendem we współczesnych kręgach naukowych. Niektórzy szczególnie zagorzali zwolennicy klasycznych idei nazywają ten kierunek nawet „sieciową pseudonauką”. Ale, jak każda inna teoria, psychologiczna koncepcja ośmiu wektorów nie tylko ma możliwość istnienia, ale nawet zdobyła własną armię zwolenników. Jak powiedział twórca teorii systemowo-wektorowej V.K. Tolkachev:

Wszechświat jest wystarczająco duży i niewyczerpany, co pozwala znaleźć w nim potwierdzenie dowolnej teorii. ©

Psychologia systemowo-wektorowa nie powstała od zera. Za podstawę przyjęto teorie Zygmunta Freuda, później udoskonalone przez Władimira Ganzena i uzupełnione przez jego ucznia Wiktora Tolkaczowa.

W 1908 roku ukazał się światu artykuł psychoanalityka Freuda „Character and Anal Erotica”, w którym psychoanalityk dochodzi do wniosku, że cechy charakteru są bezpośrednio związane ze strefami erogennymi człowieka. Publikacja wywołała szeroki oddźwięk, pojawiło się wielu zwolenników idei freudowskiej. Jednym z nich pod koniec XX wieku był Wiktor Konstantynowicz Tołkaczow, psycholog z Petersburga. Opracował typologię znaków związanych z takimi obszarami jak oczy, usta, nos i uszy. Według V. K. Tolkacheva do rozwinięcia i udoskonalenia teorii Zygmunta Freuda zainspirowała go książka „Opisy systemowe w psychologii” akademika Władimira Aleksandrowicza Ganzena.

Geneza i rozwój nauk Wiktora Tolkaczowa

VK Tolkachev opracował holistyczną koncepcję psychologiczną do określania typu osobowości za pomocą wektorów. Z pomocą koncepcji „wektora” i szczegółowej analizy 8 charakterystycznych typów narodziła się teoria zwana „Psychoanalizą stosowaną systemowo-wektorową”. Tołkaczow od ponad 30 lat prowadzi różne szkolenia, seminaria i wykłady na ten temat. Dzięki jednemu z jego pierwszych uczniów, Michaiłowi Borodyanskiemu, opracowano specjalny test, który ocenia indywidualny potencjał każdego z wektorów i pozwala określić osobisty typ postaci w odniesieniu do psychologii systemowo-wektorowej ośmiu wektorów ( test Tolkaczowa-Borodyanskiego). Teraz jest wielu zwolenników systemu wektorowego, którzy nadal prowadzą szkolenia i seminaria psychologiczne. Najbardziej znanym trenerem internetowym w tej dziedzinie jest Yuri Burlan.

Jaka jest istota psychologii systemowo-wektorowej

Podczas rozwoju psychologii jako nauki opracowano wiele różnych typologii osobowości. Są to typologie według Junga lub według Gannushkina, jego klasyfikację zaproponował Erich Fromm. Opracowano wiele testów, które określają typ psychologiczny jednostki, na przykład test Szondi lub powszechny test 16 osobowości. W rzeczywistości V. K. Tolkachev, podobnie jak wielu jego poprzedników, zaproponował własną wersję identyfikacji typu osobowości.

Psychologia systemowo-wektorowa nie jest pozycjonowana jako gałąź psychologii klasycznej lub pewien nurt, ale jako odrębna nauka zajmująca się badaniem typologii osobowości. Wektor to symbioza cech fizjologicznych i psychicznych, takich jak na przykład charakter, temperament, zdrowie, nawyki jednostki i inne podobne właściwości. W rzeczywistości wektor jest centrum przyjemności. Wektory są związane z pewnym otworem na ciele człowieka, który jest również strefą erogenną. Każda osobowość może mieć kilka wektorów (od 1 do 8, w praktyce największą liczbą obecnych wektorów jest liczba 5).

Obecność wektora determinuje liczbę i stopień dążeń i potrzeb człowieka do samorealizacji, ukierunkowanych na uzyskanie przyjemności. Brak możliwości realizacji istniejącego wektora, zdaniem twórców teorii, prowadzi do depresji i poczucia niezadowolenia, co uniemożliwia człowiekowi osiągnięcie wewnętrznej harmonii ze swoim „ja”.

Kroki wektorowe (ćwiartki) rozwoju osobowości

Psychologia systemowo-wektorowa identyfikuje 8 głównych wektorów w typologii osobowości. Mianowicie: wektory wizualne, skórne, dźwiękowe, mięśniowe, ustne, węchowe, cewkowe i analne. Znajdują się one w czterech głównych kwaterach (stopniach), które tworzą sposób życia człowieka.

Zasada ułożenia wektorów:

• Faza informacyjna. Odpowiadają wektory dźwiękowe (wewnętrzna część kwartelu) i wizualne (część zewnętrzna). Na tym etapie następuje proces rozwoju i samopoznania jednostki.
• Etap energetyczny. Odpowiedzialne są wektory ustne (część zewnętrzna) i węchowe (część wewnętrzna). Celem tego etapu jest z góry ustalenie miejsca jednostki w systemie społecznym, zbudowanie czytelnej hierarchii.
• Krok czasu. Odpowiedz na wektory odbytu (wewnętrzna przestrzeń kwartału) i cewki moczowej (przestrzeń zewnętrzna). Tymczasowy podział życia na etapy: przeszłość i przyszłość. Na tym etapie następuje nabywanie i przetwarzanie doświadczeń poprzednich pokoleń, a także dążenie do postępu i rozwoju społeczeństwa.
• Krok przestrzenny. Odpowiedzialne są za to wektory mięśni (wewnętrzna część) i skóry (zewnętrzna część przestrzeni kwartelu). Etapem odpowiedzialnym za fizyczną powłokę jest realizacja pracy osoby, użycie siły fizycznej itp.

Charakterystyka wektorów

Bardziej szczegółowa charakterystyka wektora wygląda następująco:

1. wektor skóry. Ludzie z żywą manifestacją tego typu są wyraźnymi ekstrawertykami. Realizują się na poziomie przestrzennym. Głównym kierunkiem Kozhnikova jest ochrona terytoriów.
2. wektor mięśni. Introwertycy. Typ myślenia jest praktyczny i wizualny. Głównym kierunkiem jest polowanie, udział w działaniach wojennych.
3. wektor analny. Introwertycy z myśleniem systemowym. Typowe zajęcia dla właścicieli wektora analnego to ochrona ogniska domowego, gromadzenie i przekazywanie informacji z poprzednich pokoleń.
4. wektor cewki moczowej. 100% ekstrawertyków. Mają nieszablonowe myślenie. Urodzona taktyka. Celem życiowym osób z wyraźnym wektorem cewki moczowej jest bycie przywódcami, naczelnymi dowódcami, przywódcami.
5. wektor wizualny. Ekstrawertycy o symbolicznym typie inteligencji. Są na informacyjnym etapie rozwoju. Główna działalność: ochrona terytoriów (w ciągu dnia).
6. Wektor dźwięku. Absolutni introwertycy z abstrakcyjnym typem myślenia. Czynność: ochrona terytoriów w ciemności.
7. ustny wektor. Przedstawiciele tego typu to w większości ekstrawertycy. Mają wrodzoną werbalną metodę myślenia. Główne zajęcie: organizacja imprez (w czasie pokoju), ostrzeganie przed niebezpieczeństwem (w czasie działań wojennych).
8. Węchowy wektor. Introwertycy, charakteryzujący się intuicyjnym typem myślenia, preferują niewerbalne sposoby przekazywania informacji. Główny kierunek: wywiad, opracowywanie strategii.

Psychologia systemowo-wektorowa dzieli wektory na ważniejsze, by tak rzec, podstawowe i te, które mają mniejszą wartość w rozwoju osobowości. Wektory węchowy, cewkowy i dźwiękowy są dominujące, dominują nad pozostałymi wektorami. Te trzy wektory nie nakładają się na inne dostępne, a także nie mogą być wyeliminowane przez zewnętrzne czynniki społeczne, takie jak wychowanie czy system społeczny.

Każda osoba sama określa, które wektory są główne w psychotypie jego osobowości. Dla każdego wektora opracowano nawet takie cechy, jak pewne dane zewnętrzne, cechy psychiczne właściwe dla określonego archetypu wektora. Każdemu z ośmiu wektorów przypisany jest określony kształt geometryczny i kolor.

Wektory dzielą się również na dolne (cewkowe, odbytowe, mięśniowe i skórne) oraz górne (wzrokowe, dźwiękowe, węchowe i ustne). Psychologia systemowo-wektorowa pokazuje, że dolne wektory są odpowiedzialne za libido, pragnienia seksualne człowieka, podczas gdy górne wektory szukają połączenia ze światem duchowym. Górne wektory są dostępne dla absolutnie każdej osoby, w przeciwieństwie do niższych, w które nie wszystkie osobiste archetypy są wyposażone.

Psychologia systemowo-wektorowa: jej cel

Nie ma ani jednej osoby, która byłaby w stanie odmówić przyjemności; nawet sama religia musi uzasadniać żądanie rezygnacji z przyjemności w niedalekiej przyszłości obietnicą nieporównanie większych i cenniejszych radości na tamtym świecie. © Zygmunt Freud

Do czego służy psychologia ośmiu wektorów? Jaka jest jego funkcja i korzyści dla ludzi?

Głównym celem psychologii wektorowej jest poznanie siebie i cieszenie się życiem za pomocą wewnętrznych wektorów. System ten ma na celu samopoznanie jednostki, określenie jej roli w społeczeństwie, aby uniknąć moralnego niezadowolenia z siebie i swojego życia. Jeśli dana osoba nie może realizować się w społeczeństwie, nie zna swoich prawdziwych potrzeb i pragnień, to ciągłe poczucie niezadowolenia może prowadzić do stanu depresyjnego.

Psychologia systemowo-wektorowa ma również na celu ujawnienie pragnień i potrzeb seksualnych danej osoby. Może być używany jako testy zorientowane zawodowo.

Teoria psychologiczna, opracowana przez Wiktora Tolkaczowa na podstawie postulatów Freuda, pozwala odkryć tajemnice podświadomości, uświadomić sobie, jaka dokładnie jest siła napędowa człowieka, podstawowa przyczyna wszystkich jego działań i czynów. Korzyść z studiowania wektorów psychologii systemowo-wektorowej polega również na budowaniu więzi komunikacyjnych z ludźmi wokół ciebie: pracownikami, krewnymi, przyjaciółmi. Jeśli dwie osoby mają te same wektory, często jest to klucz do przyjaznych relacji. I odwrotnie - kontrast wektorów wyjaśnia niezgodność w parach i wrogość jednostek do siebie. Słowami nieświadomego założyciela tej doktryny, Zygmunta Freuda:

Nie wybieramy się przypadkowo... Spotykamy tylko tych, którzy już istnieją w naszej podświadomości. ©

Psychologia systemowo-wektorowa nie jest udowodniona ani absolutnie prawdziwa. To tylko jedna z metod identyfikacji określonego typu osobowości. Skala krytyki ze strony doświadczonych specjalistów w stosunku do nauk WK Tolkaczowa świadczy o niedoskonałości tej koncepcji psychologicznej. Nie cichną dyskusje i spory między zwolennikami psychologii klasycznej a uczniami Tolkaczowa.

Ci pierwsi mają skłonność do uznawania wektorowego podejścia do określania osobowości za sekciarskie i hipnotyczno-obsesyjne (podobno szkolenia z nauczania tej techniki prowadzone są wyłącznie w celach komercyjnych). Ci ostatni szczerze wierzą w obiektywność psychologii systemowo-wektorowej i dowodzą jej korzyści dla jednostek i ludzkości jako całości. Aby dowiedzieć się więcej o tezach i koncepcjach tej doktryny, możesz obejrzeć wideo wykładów wprowadzających Jurija Burluna na temat systemu wektorów. Tylko gromadząc pełny obraz doktryny, każda osoba będzie mogła samodzielnie wyciągnąć wniosek o prawdziwości przedstawionych idei.

1. Co to jest wektor?

2. Dodawanie wektorów.

3. Równość wektorów.

4. Iloczyn skalarny dwóch wektorów i jego własności.

5. Własności działań na wektorach.

6. Dowody i rozwiązywanie problemów.

Jednym z podstawowych pojęć współczesnej matematyki jest wektor i jego uogólnienie - tensor. Ewolucja pojęcia wektora została przeprowadzona ze względu na szerokie zastosowanie tego pojęcia w różnych dziedzinach matematyki, mechaniki, a także w technice.

Koniec przeszłości i początek obecnego stulecia upłynął pod znakiem intensywnego rozwoju rachunku wektorowego i jego zastosowań. Powstała algebra wektorów i analiza wektorowa, ogólna teoria przestrzeni wektorowej. Teorie te zostały wykorzystane w konstrukcji szczególnej i ogólnej teorii względności, które odgrywają niezwykle ważną rolę we współczesnej fizyce.

Zgodnie z wymogami nowej podstawy programowej matematyki, pojęcie wektora stało się jednym z wiodących pojęć na szkolnym toku matematyki.

Co to jest wektor? Co dziwne, odpowiedź na to pytanie nastręcza pewne trudności. Istnieją różne podejścia do definicji pojęcia wektora; Co więcej, nawet jeśli ograniczymy się do elementarnego, geometrycznego podejścia do pojęcia wektora, które jest tutaj dla nas najciekawsze, to i tak będą różne poglądy na to pojęcie. Oczywiście, bez względu na to, jaką przyjmiemy definicję, wektor – z elementarnego geometrycznego punktu widzenia – jest obiektem geometrycznym charakteryzującym się kierunkiem (tj. linią prostą określoną aż do równoległości i kierunkiem na niej) oraz długością. definicja jest zbyt ogólna, nie powodująca określonych reprezentacji geometrycznych. Zgodnie z tą ogólną definicją translację równoległą można uznać za wektor. Rzeczywiście, można by przyjąć następującą definicję: „Wektor to dowolna translacja równoległa”. Definicja ta jest logicznie bezbłędna i na jej podstawie można zbudować całą teorię oddziaływań na wektory i opracować zastosowania tej teorii. Jednak ta definicja, pomimo swojej całkowitej konkretności, również tutaj nie może nas zadowolić, ponieważ idea wektora jako transformacji geometrycznej wydaje nam się niewystarczająco jasna i daleka od fizycznych wyobrażeń o wielkościach wektorowych.

Więc, wektor zwana rodziną wszystkich równoległych do siebie, jednakowo skierowanych i mających tę samą długość segmentów (ryc. 1).

Wektor jest przedstawiony na rysunkach jako odcinek ze strzałką (tj. nie jest przedstawiona cała rodzina segmentów, która jest wektorem, ale tylko jeden z tych segmentów). Pogrubione litery łacińskie są używane do oznaczania wektorów w książkach i artykułach. a, b, c i tak dalej, aw zeszytach i na tablicy - litery łacińskie z myślnikiem na górze , Ta sama litera, ale nie pogrubiona, ale jasna (w zeszycie i na tablicy ta sama litera bez myślnika) oznacza długość wektora. Długość jest czasami wskazywana również przez pionowe linie - jako moduł (wartość bezwzględna) liczby. Zatem długość wektora A oznaczony przez A lub ja A I, a w tekście odręcznym długość wektora A oznaczony przez A lub ja A I. W związku z reprezentacją wektorów w postaci odcinków (rys. 2) należy pamiętać, że końce odcinka reprezentującego wektor są nierówne: jeden koniec odcinka do drugiego.

Rozróżnij początek i koniec wektora (dokładniej segment reprezentujący wektor).

Dość często pojęcie wektora ma inną definicję: skierowany odcinek nazywamy wektorem. W tym przypadku wektory (tj. skierowane odcinki) mające tę samą długość i ten sam kierunek (ryc. 3) uznaje się za równe.

Mówimy, że wektory są jednakowo skierowane, jeśli ich półproste są jednakowo skierowane.

Dodawanie wektorów.

Wszystko to nie czyni jeszcze pojęcia wektora wystarczająco sensownym i użytecznym. Pojęcie wektora nabiera większej treści i bogatych możliwości zastosowań, gdy wprowadzamy swoistą „arytmetykę geometryczną” – arytmetykę wektorów, która pozwala dodawać wektory, odejmować je i wykonywać na nich szereg innych operacji. Zauważmy w związku z tym, że ostatecznie pojęcie liczby staje się interesujące dopiero po wprowadzeniu działań arytmetycznych, a nie samo w sobie.

Suma wektorów A I V ze współrzędnymi 1, 2 i 1, 2 zwany wektorem Z ze współrzędnymi 1 + w 1, 2 + w 2, te. A(za 1; za 2) + V(w 1; w 2) = Z(1 + w 1; 2 + w 2).
Konsekwencja:
Aby udowodnić przemienność dodawania wektorów na płaszczyźnie, musimy rozważyć przykład. A I V - wektory (ryc. 5).
Pozwalać

1. Budujemy równoległobok OASV: AM II OB, VN II OA.

Aby udowodnić łączność, odkładamy od dowolnego punktu O wektor OA = a, od punktu A wektora AB = w i od punktu do - wektora słońce = r. Następnie mamy: AB + BC = AC.
skąd wynika równość + (w + z) = (a + b)+ str. Zauważ, że powyższy dowód w ogóle nie wykorzystuje rysunku. Jest to typowe (przy pewnych umiejętnościach) przy rozwiązywaniu problemów za pomocą wektorów. Rozważmy teraz przypadek, gdy wektory A I V skierowane w przeciwnych kierunkach i mają równe długości; takie wektory nazywane są przeciwnymi. Nasza zasada dodawania wektorów prowadzi do tego, że suma dwóch przeciwnych wektorów jest „wektorem”, który ma zerową długość i nie ma kierunku; ten „wektor” jest reprezentowany przez „odcinek o zerowej długości”, tj. kropka. Ale jest to również wektor, który nazywa się zerem i jest oznaczony symbolem 0.

Równość wektorów.

Mówimy, że dwa wektory są równe, jeśli są połączone translacją równoległą. Oznacza to, że istnieje translacja równoległa, która przesuwa początek i koniec jednego wektora odpowiednio na początek i koniec innego wektora.

Z tej definicji równości wektorów wynika, że ​​różne wektory są jednakowo skierowane i mają taką samą wartość bezwzględną.

I odwrotnie: jeśli wektory są jednakowo skierowane i równe pod względem wartości bezwzględnej, to są równe.

Rzeczywiście, niech wektory AB I Z D - identycznie skierowane wektory, równe w wartości bezwzględnej (ryc. 6). Równoległy transfer, który przenosi punkt C do punktu A, łączy półprostą CD z półprostą AB, ponieważ są one równo skierowane. A ponieważ odcinki AB i CD są równe, punkt D jest wyrównany z punktem B, to znaczy przeniesienie równoległe tłumaczy wektor płyta CD do wektora AB. Więc wektory AB I Z D są równe, co należało udowodnić.