Tema: “Polígonos. Tipos de polígonos”.
Noveno grado
SHL No. 20
Profesor: Kharitonovich T.I. Objetivo de la lección: estudiar tipos de polígonos.
Tarea de aprendizaje: actualizar, ampliar y generalizar los conocimientos de los estudiantes sobre polígonos; formarse una idea de las “partes componentes” de un polígono; realizar un estudio del número de elementos constituyentes de polígonos regulares (desde un triángulo hasta un n-gón);
Tarea de desarrollo: desarrollar la capacidad de analizar, comparar, sacar conclusiones, desarrollar habilidades computacionales, habla matemática oral y escrita, memoria, así como independencia en las actividades de pensamiento y aprendizaje, la capacidad de trabajar en parejas y grupos; desarrollar actividades de investigación y educación;
Tarea educativa: cultivar la independencia, la actividad, la responsabilidad por el trabajo asignado, la perseverancia en la consecución de la meta.
Equipo: pizarra interactiva (presentación)
durante las clases
Presentación que muestra: “Polígonos”
“La naturaleza habla el lenguaje de las matemáticas, las letras de este lenguaje... figuras matemáticas”. G.Galliley
Al comienzo de la lección, la clase se divide en grupos de trabajo (en nuestro caso, divididos en 3 grupos)
1.Etapa de llamada-
a) actualizar los conocimientos de los estudiantes sobre el tema;
b) despertar el interés por el tema que se estudia, motivando a cada alumno para las actividades educativas.
Técnica: Juego “¿Crees que…”, organización del trabajo con texto.
Formas de trabajo: frontal, grupal.
"Crees eso..."
1. ... ¿la palabra “polígono” indica que todas las figuras de esta familia tienen “muchos ángulos”?
2. ... ¿Pertenece un triángulo a una gran familia de polígonos, que se distinguen entre la variedad de diferentes formas geométricas en un plano?
3. ... ¿un cuadrado es un octágono regular (cuatro lados + cuatro esquinas)?
Hoy en la lección hablaremos de polígonos. Aprendemos que esta figura está limitada por una línea discontinua cerrada, que a su vez puede ser simple, cerrada. Hablemos del hecho de que los polígonos pueden ser planos, regulares o convexos. Uno de los polígonos planos es un triángulo, con el que usted está familiarizado desde hace mucho tiempo (puede mostrar a los estudiantes carteles que representan polígonos, una línea discontinua, mostrar sus diferentes tipos, también puede usar TSO).
2. Etapa de concepción
Objetivo: obtener nueva información, comprenderla, seleccionarla.
Técnica: zigzag.
Formas de trabajo: individual->pareja->grupo.
A cada miembro del grupo se le entrega un texto sobre el tema de la lección, y el texto se compila de tal manera que incluya tanto información ya conocida por los estudiantes como información completamente nueva. Junto con el texto, los estudiantes reciben preguntas cuyas respuestas deben encontrarse en este texto.
Polígonos. Tipos de polígonos.
¿Quién no ha oído hablar del misterioso Triángulo de las Bermudas, en el que barcos y aviones desaparecen sin dejar rastro? Pero el triángulo, que nos es familiar desde la infancia, está plagado de muchas cosas interesantes y misteriosas.
Además de los tipos de triángulos que ya conocemos, divididos por lados (escaleno, isósceles, equilátero) y ángulos (agudo, obtuso, rectangular), el triángulo pertenece a una gran familia de polígonos, que se distinguen entre muchas formas geométricas diferentes en el avión.
La palabra "polígono" indica que todas las figuras de esta familia tienen "muchos ángulos". Pero esto no basta para caracterizar la figura.
Una recta discontinua A1A2...An es una figura que consta de los puntos A1,A2,...An y los segmentos A1A2, A2A3,... que los conectan. Los puntos se denominan vértices de la polilínea y los segmentos se denominan enlaces de la polilínea. (FIGURA 1)
Una línea discontinua se llama simple si no tiene intersecciones (Fig. 2, 3).
Una polilínea se dice cerrada si sus extremos coinciden. La longitud de una línea discontinua es la suma de las longitudes de sus eslabones (Fig.4)
Una línea discontinua cerrada simple se llama polígono si sus enlaces vecinos no se encuentran en la misma línea recta (Fig. 5).
Sustituye un número específico, por ejemplo 3, en la palabra "polígono" en lugar de la parte "muchos". Obtendrás un triángulo. O 5. Entonces - un pentágono. Fíjate que, cuantos ángulos hay, tantos lados hay, por lo que estas figuras bien podrían denominarse poliláteras.
Los vértices de la línea discontinua se llaman vértices del polígono y los enlaces de la línea discontinua se llaman lados del polígono.
El polígono divide el plano en dos áreas: interna y externa (Fig. 6).
Un polígono plano o área poligonal es la parte finita de un plano delimitado por un polígono.
Dos vértices de un polígono que son extremos de un lado se llaman adyacentes. Los vértices que no son extremos de un lado no son vecinos.
Un polígono con n vértices y, por tanto, n lados, se llama n-gón.
Aunque el menor número de lados de un polígono es 3. Pero los triángulos, cuando se conectan entre sí, pueden formar otras figuras, que a su vez también son polígonos.
Los segmentos que conectan vértices no adyacentes de un polígono se llaman diagonales.
Un polígono se llama convexo si se encuentra en el mismo semiplano con respecto a cualquier recta que contenga su lado. En este caso, se considera que la propia recta pertenece al MEDIO PLANO.
El ángulo de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo formado por sus lados que convergen en este vértice.
Demostremos el teorema (sobre la suma de los ángulos de un n-gón convexo): La suma de los ángulos de un n-gón convexo es igual a 1800*(n - 2).
Prueba. En el caso n=3 el teorema es válido. Sea A1A2...A n un polígono convexo dado y n>3. Dibujemos diagonales en él (desde un vértice). Como el polígono es convexo, estas diagonales lo dividen en n – 2 triángulos. La suma de los ángulos de un polígono es la suma de los ángulos de todos estos triángulos. La suma de los ángulos de cada triángulo es 1800, y el número de estos triángulos n es 2. Por lo tanto, la suma de los ángulos del triángulo convexo n A1A2...A n es 1800* (n - 2). El teorema ha sido demostrado.
El ángulo exterior de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo adyacente al ángulo interior del polígono en este vértice.
Un polígono convexo se llama regular si todos sus lados son iguales y todos sus ángulos son iguales.
Entonces el cuadrado se puede llamar de otra manera: un cuadrilátero regular. Los triángulos equiláteros también son regulares. Estas figuras han despertado durante mucho tiempo el interés de los artesanos que decoraban los edificios. Hicieron bonitos diseños, por ejemplo sobre parquet. Pero no todos los polígonos regulares podrían utilizarse para fabricar parquet. El parquet no se puede fabricar a partir de octágonos regulares. El hecho es que cada ángulo es igual a 1350. Y si algún punto es el vértice de dos de esos octágonos, entonces su parte será 2700, y no hay ningún lugar donde quepa el tercer octágono: 3600 - 2700 = 900. Pero para un cuadrado esto es suficiente. Por lo tanto, puedes hacer parquet a partir de octágonos y cuadrados regulares.
Las estrellas también son correctas. Nuestra estrella de cinco puntas es una estrella pentagonal regular. Y si giras el cuadrado alrededor del centro 450, obtienes una estrella octogonal regular.
¿Qué es una línea discontinua? Explica qué son los vértices y enlaces de una polilínea.
¿Qué línea discontinua se llama simple?
¿Qué línea discontinua se llama cerrada?
¿Cómo se llama un polígono? ¿Cómo se llaman los vértices de un polígono? ¿Cómo se llaman los lados de un polígono?
¿Qué polígono se llama plano? Da ejemplos de polígonos.
¿Qué es n – cuadrado?
Explica qué vértices de un polígono son adyacentes y cuáles no.
¿Cuál es la diagonal de un polígono?
¿Qué polígono se llama convexo?
Explica qué ángulos de un polígono son externos y cuáles son internos.
¿Qué polígono se llama regular? Da ejemplos de polígonos regulares.
¿Cuál es la suma de los ángulos de un n-gón convexo? Pruébalo.
Los estudiantes trabajan con el texto, buscan respuestas a las preguntas planteadas, luego de lo cual se forman grupos de expertos, en los que se trabaja sobre los mismos temas: los estudiantes resaltan los puntos principales, elaboran un resumen de apoyo y presentan información en uno de las formas gráficas. Al finalizar el trabajo, los estudiantes regresan a sus grupos de trabajo.
3. Etapa de reflexión -
a) evaluación del propio conocimiento, desafío al siguiente paso de conocimiento;
b) comprensión y apropiación de la información recibida.
Recepción: trabajo de investigación.
Formas de trabajo: individual->pareja->grupo.
Los grupos de trabajo incluyen especialistas en responder cada apartado de las preguntas propuestas.
Al regresar al grupo de trabajo, el experto presenta las respuestas a sus preguntas a los demás miembros del grupo. El grupo intercambia información entre todos los miembros del grupo de trabajo. Así, en cada grupo de trabajo, gracias al trabajo de expertos, se forma una comprensión general del tema en estudio.
Trabajo de investigación de estudiantes.– completando la tabla.
Polígonos regulares Dibujo Número de lados Número de vértices Suma de todos los ángulos internos Medida en grados internos. ángulo Grados medida del ángulo externo Número de diagonales
Un triángulo
b) cuadrilátero
B) cinco hoyos
D) hexágono
D) n-gon
Resolver problemas interesantes sobre el tema de la lección.
1) ¿Cuántos lados tiene un polígono regular, cada uno de cuyos ángulos interiores mide 1350?
2) En un determinado polígono, todos los ángulos interiores son iguales entre sí. ¿La suma de los ángulos interiores de este polígono puede ser: 3600, 3800?
3) ¿Es posible construir un pentágono con ángulos de 100,103,110,110,116 grados?
Resumiendo la lección.
Grabación de tarea: PÁGINA 66-72 No. 15,17 Y TAREA: EN UN CUADRIÁGONO, DIBUJAR UNA LÍNEA RECTA PARA QUE LA DIVIDE EN TRES TRIÁNGULOS.
Reflexión en forma de pruebas (en la pizarra interactiva)
Materia, edad del estudiante: geometría, noveno grado.
Objetivo de la lección: estudiar tipos de polígonos.
Tarea educativa: actualizar, ampliar y generalizar los conocimientos de los estudiantes sobre los polígonos; formarse una idea de las “partes componentes” de un polígono; realizar un estudio del número de elementos constituyentes de polígonos regulares (desde un triángulo hasta un n-gón);
Tarea de desarrollo: desarrollar la capacidad de analizar, comparar, sacar conclusiones, desarrollar habilidades computacionales, habla matemática oral y escrita, memoria, así como independencia en las actividades de pensamiento y aprendizaje, la capacidad de trabajar en parejas y grupos; desarrollar actividades de investigación y educación;
Tarea educativa: cultivar la independencia, la actividad, la responsabilidad por el trabajo asignado, la perseverancia en la consecución de la meta.
Durante las clases: cita escrita en la pizarra
“La naturaleza habla el lenguaje de las matemáticas, las letras de este lenguaje... figuras matemáticas”. G.Galliley
Al comienzo de la lección, la clase se divide en grupos de trabajo (en nuestro caso, se divide en grupos de 4 personas cada uno; el número de miembros del grupo es igual al número de grupos de preguntas).
1.Etapa de llamada-
Objetivos:
a) actualizar los conocimientos de los estudiantes sobre el tema;
b) despertar el interés por el tema que se estudia, motivando a cada alumno para las actividades educativas.
Técnica: Juego “¿Crees que…”, organización del trabajo con texto.
Formas de trabajo: frontal, grupal.
"Crees eso..."
1. ... ¿la palabra “polígono” indica que todas las figuras de esta familia tienen “muchos ángulos”?
2. ... ¿pertenece un triángulo a una gran familia de polígonos, que se distinguen entre muchas formas geométricas diferentes en un plano?
3. ... ¿un cuadrado es un octágono regular (cuatro lados + cuatro esquinas)?
Hoy en la lección hablaremos de polígonos. Aprendemos que esta figura está limitada por una línea discontinua cerrada, que a su vez puede ser simple, cerrada. Hablemos del hecho de que los polígonos pueden ser planos, regulares o convexos. Uno de los polígonos planos es un triángulo, con el que usted está familiarizado desde hace mucho tiempo (puede mostrar a los estudiantes carteles que representan polígonos, una línea discontinua, mostrar sus diferentes tipos, también puede usar TSO).
2. Etapa de concepción
Objetivo: obtener nueva información, comprenderla, seleccionarla.
Técnica: zigzag.
Formas de trabajo: individual->pareja->grupo.
A cada miembro del grupo se le entrega un texto sobre el tema de la lección, y el texto se compila de tal manera que incluya tanto información ya conocida por los estudiantes como información completamente nueva. Junto con el texto, los estudiantes reciben preguntas cuyas respuestas deben encontrarse en este texto.
Polígonos. Tipos de polígonos.
¿Quién no ha oído hablar del misterioso Triángulo de las Bermudas, en el que barcos y aviones desaparecen sin dejar rastro? Pero el triángulo, que nos es familiar desde la infancia, está plagado de muchas cosas interesantes y misteriosas.
Además de los tipos de triángulos que ya conocemos, divididos por lados (escaleno, isósceles, equilátero) y ángulos (agudo, obtuso, rectangular), el triángulo pertenece a una gran familia de polígonos, que se distinguen entre muchas formas geométricas diferentes en el avión.
La palabra "polígono" indica que todas las figuras de esta familia tienen "muchos ángulos". Pero esto no basta para caracterizar la figura.
Una línea discontinua A 1 A 2 ...A n es una figura que consta de los puntos A 1, A 2, ...A n y los segmentos que los conectan A 1 A 2, A 2 A 3,.... Los puntos se denominan vértices de la polilínea y los segmentos se denominan enlaces de la polilínea. (Figura 1)
Una línea discontinua se llama simple si no tiene intersecciones (Fig. 2, 3).
Una polilínea se dice cerrada si sus extremos coinciden. La longitud de una línea discontinua es la suma de las longitudes de sus eslabones (Fig. 4).
Una línea discontinua cerrada simple se llama polígono si sus enlaces vecinos no se encuentran en la misma línea recta (Fig. 5).
Sustituye un número específico, por ejemplo 3, en la palabra "polígono" en lugar de la parte "muchos". Obtendrás un triángulo. O 5. Entonces - un pentágono. Fíjate que, cuantos ángulos hay, tantos lados hay, por lo que estas figuras bien podrían denominarse poliláteras.
Los vértices de la línea discontinua se llaman vértices del polígono y los enlaces de la línea discontinua se llaman lados del polígono.
El polígono divide el plano en dos áreas: interna y externa (Fig. 6).
Un polígono plano o área poligonal es la parte finita de un plano delimitado por un polígono.
Dos vértices de un polígono que son extremos de un lado se llaman adyacentes. Los vértices que no son extremos de un lado no son vecinos.
Un polígono con n vértices y, por tanto, n lados, se llama n-gón.
Aunque el menor número de lados de un polígono es 3. Pero los triángulos, cuando se conectan entre sí, pueden formar otras figuras, que a su vez también son polígonos.
Los segmentos que conectan vértices no adyacentes de un polígono se llaman diagonales.
Un polígono se llama convexo si se encuentra en el mismo semiplano con respecto a cualquier recta que contenga su lado. En este caso, se considera que la propia recta pertenece al semiplano.
El ángulo de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo formado por sus lados que convergen en este vértice.
Demostremos el teorema (sobre la suma de los ángulos de un n-gón convexo): La suma de los ángulos de un n-gón convexo es igual a 180 0 *(n - 2).
Prueba. En el caso n=3 el teorema es válido. Sea A 1 A 2 ...A n un polígono convexo dado y n>3. Dibujemos diagonales en él (desde un vértice). Como el polígono es convexo, estas diagonales lo dividen en n – 2 triángulos. La suma de los ángulos de un polígono es la suma de los ángulos de todos estos triángulos. La suma de los ángulos de cada triángulo es igual a 180 0, y el número de estos triángulos n es 2. Por lo tanto, la suma de los ángulos de un n-gón convexo A 1 A 2 ...A n es igual a 180 0 * (norte - 2). El teorema ha sido demostrado.
El ángulo exterior de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo adyacente al ángulo interior del polígono en este vértice.
Un polígono convexo se llama regular si todos sus lados son iguales y todos sus ángulos son iguales.
Entonces el cuadrado se puede llamar de otra manera: un cuadrilátero regular. Los triángulos equiláteros también son regulares. Estas figuras han despertado durante mucho tiempo el interés de los artesanos que decoraban los edificios. Hicieron bonitos diseños, por ejemplo sobre parquet. Pero no todos los polígonos regulares podrían utilizarse para fabricar parquet. El parquet no se puede fabricar a partir de octágonos regulares. El hecho es que cada ángulo es igual a 135 0. Y si algún punto es el vértice de dos de esos octágonos, entonces representarán 270 0, y no hay lugar para que quepa el tercer octágono allí: 360 0 - 270 0 = 90 0. Pero para un cuadrado esto es suficiente. Por lo tanto, puedes hacer parquet a partir de octágonos y cuadrados regulares.
Las estrellas también son correctas. Nuestra estrella de cinco puntas es una estrella pentagonal regular. Y si giras el cuadrado alrededor del centro 45 0, obtienes una estrella octogonal regular.
1 grupo
¿Qué es una línea discontinua? Explica qué son los vértices y enlaces de una polilínea.
¿Qué línea discontinua se llama simple?
¿Qué línea discontinua se llama cerrada?
¿Cómo se llama un polígono? ¿Cómo se llaman los vértices de un polígono? ¿Cómo se llaman los lados de un polígono?
2do grupo
¿Qué polígono se llama plano? Da ejemplos de polígonos.
¿Qué es n – cuadrado?
Explica qué vértices de un polígono son adyacentes y cuáles no.
¿Cuál es la diagonal de un polígono?
3 grupo
¿Qué polígono se llama convexo?
Explica qué ángulos de un polígono son externos y cuáles son internos.
¿Qué polígono se llama regular? Da ejemplos de polígonos regulares.
4 grupo
¿Cuál es la suma de los ángulos de un n-gón convexo? Pruébalo.
Los estudiantes trabajan con el texto, buscan respuestas a las preguntas planteadas, luego de lo cual se forman grupos de expertos, en los que se trabaja sobre los mismos temas: los estudiantes resaltan los puntos principales, elaboran un resumen de apoyo y presentan información en uno de las formas gráficas. Al finalizar el trabajo, los estudiantes regresan a sus grupos de trabajo.
3. Etapa de reflexión -
a) evaluación del propio conocimiento, desafío al siguiente paso de conocimiento;
b) comprensión y apropiación de la información recibida.
Recepción: trabajo de investigación.
Formas de trabajo: individual->pareja->grupo.
Los grupos de trabajo incluyen especialistas en responder cada apartado de las preguntas propuestas.
Al regresar al grupo de trabajo, el experto presenta las respuestas a sus preguntas a los demás miembros del grupo. El grupo intercambia información entre todos los miembros del grupo de trabajo. Así, en cada grupo de trabajo, gracias al trabajo de expertos, se forma una comprensión general del tema en estudio.
Trabajo de investigación de los estudiantes: completar la tabla.
| Polígonos regulares | Dibujo | Número de lados | Número de vértices | Suma de todos los ángulos interiores. | Medida de grado interna ángulo | Medida en grados del ángulo externo. | Número de diagonales |
| Un triángulo | |||||||
| b) cuadrilátero | |||||||
| B) cinco barras | |||||||
| D) hexágono | |||||||
| D) n-gon |
Resolver problemas interesantes sobre el tema de la lección.
- En un cuadrilátero, traza una línea recta que lo divida en tres triángulos.
- ¿Cuántos lados tiene un polígono regular, cada uno de cuyos ángulos interiores mide 135 0?
- En un determinado polígono, todos los ángulos interiores son iguales entre sí. ¿Puede la suma de los ángulos interiores de este polígono ser igual a: 360 0, 380 0?
Resumiendo la lección. Grabación de tareas.
Tipos de polígonos:
Cuadriláteros
Cuadriláteros, respectivamente, constan de 4 lados y ángulos.
Los lados y los ángulos opuestos se llaman opuesto.
Las diagonales dividen los cuadriláteros convexos en triángulos (ver imagen).
La suma de los ángulos de un cuadrilátero convexo es 360° (usando la fórmula: (4-2)*180°).
paralelogramos
Paralelogramo es un cuadrilátero convexo con lados paralelos opuestos (numerados en la figura 1).
Los lados y ángulos opuestos de un paralelogramo siempre son iguales.
Y las diagonales en el punto de intersección se dividen por la mitad.
Trapecio
trapezoide- esto también es un cuadrilátero, y en trapecios Sólo dos lados son paralelos, los cuales se llaman razones. Otros lados son lados.
El trapecio de la figura tiene los números 2 y 7.
Como en un triángulo:
Si los lados son iguales, entonces el trapezoide es isósceles;
Si uno de los ángulos es recto, entonces el trapezoide es rectangular.
La línea media del trapezoide es igual a la mitad de la suma de las bases y es paralela a ellas.
Rombo
Rombo es un paralelogramo en el que todos los lados son iguales.
Además de las propiedades de un paralelogramo, los rombos tienen su propia propiedad especial: Las diagonales de un rombo son perpendiculares. unos a otros y bisecar las esquinas de un rombo.
En la imagen hay un rombo número 5.
Rectángulos
Rectángulo es un paralelogramo en el que cada ángulo es recto (ver figura número 8).
Además de las propiedades de un paralelogramo, los rectángulos tienen su propia propiedad especial: las diagonales del rectángulo son iguales.
Cuadrícula
Cuadrado es un rectángulo con todos los lados iguales (No. 4).
Tiene las propiedades de un rectángulo y un rombo (ya que todos los lados son iguales).
La parte del plano delimitada por una línea discontinua cerrada se llama polígono.
Los segmentos de esta línea discontinua se llaman fiestas polígono. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) son los lados del polígono ABCDE. La suma de todos los lados de un polígono se llama perímetro.
El polígono se llama convexo, si está situado a un lado de cualquiera de sus lados, extendido indefinidamente más allá de ambos vértices.
El polígono MNPKO (Fig. 1) no será convexo, ya que está ubicado en más de un lado de la recta KR.
Sólo consideraremos polígonos convexos.
Los ángulos formados por dos lados adyacentes de un polígono se llaman interno esquinas, y sus cimas son vértices del polígono.
Un segmento de línea recta que conecta dos vértices no adyacentes de un polígono se llama diagonal del polígono.
AC, AD: diagonales del polígono (Fig. 2).
Los ángulos adyacentes a los ángulos interiores de un polígono se denominan ángulos exteriores del polígono (Fig. 3).
Dependiendo del número de ángulos (lados), el polígono se llama triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc.
Se dice que dos polígonos son congruentes si se pueden unir superponiéndolos.
Polígonos inscritos y circunscritos
Si todos los vértices de un polígono se encuentran en una circunferencia, entonces el polígono se llama inscrito en un círculo, y el círculo - descrito cerca del polígono (fig).
Si todos los lados de un polígono son tangentes a una circunferencia, entonces el polígono se llama descrito sobre un círculo, y el círculo se llama inscrito en un polígono (Fig.).
Similitud de polígonos
Dos polígonos del mismo nombre se llaman similares si los ángulos de uno de ellos son respectivamente iguales a los ángulos del otro y los lados similares de los polígonos son proporcionales.
Los polígonos con el mismo número de lados (ángulos) se llaman polígonos del mismo nombre.
Los lados de polígonos similares que conectan los vértices de ángulos correspondientemente iguales se llaman similares (Fig.).
Así, por ejemplo, para que el polígono ABCDE sea similar al polígono A'B'C'D'E', es necesario que: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' y, además, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .
Relación de perímetros de polígonos similares
Primero, considere la propiedad de una serie de razones iguales. Tengamos, por ejemplo, las siguientes razones: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 = 2.
Encontremos la suma de los términos anteriores de estas relaciones, luego la suma de sus términos posteriores y encontremos la razón de las sumas resultantes, obtenemos:
$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$
Obtenemos lo mismo si tomamos una serie de algunas otras relaciones, por ejemplo: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 2/3 Hallemos la suma de los términos anteriores de estas relaciones y la suma de las siguientes, y luego encontramos la razón de estas sumas, obtenemos:
$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$
En ambos casos, la suma de los miembros anteriores de una serie de relaciones iguales se relaciona con la suma de los miembros posteriores de la misma serie, así como el miembro anterior de cualquiera de estas relaciones se relaciona con el siguiente.
Derivamos esta propiedad considerando varios ejemplos numéricos. Puede derivarse de forma estricta y general.
Ahora considere la razón de los perímetros de polígonos similares.
Sea el polígono ABCDE similar al polígono A’B’C’D’E’ (Fig).
De la similitud de estos polígonos se deduce que
AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’
Con base en la propiedad que derivamos para una serie de razones iguales, podemos escribir:
La suma de los términos anteriores de las relaciones que hemos tomado representa el perímetro del primer polígono (P), y la suma de los términos posteriores de estas relaciones representa el perímetro del segundo polígono (P'), lo que significa P / P ' = AB/A'B'.
Por eso, Los perímetros de polígonos semejantes están relacionados con sus lados semejantes.
Relación de áreas de polígonos similares
Sean ABCDE y A'B'C'D'E' polígonos similares (Fig.
Se sabe que ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' y ΔADE ~ ΔA'D'E'.
Además,
Dado que las segundas razones de estas proporciones son iguales, lo que se desprende de la similitud de los polígonos, entonces
Usando la propiedad de una serie de razones iguales obtenemos:
donde S y S’ son las áreas de estos polígonos similares.
Por eso, Las áreas de polígonos semejantes se relacionan como los cuadrados de lados semejantes.
La fórmula resultante se puede convertir a esta forma: S / S’ = (AB / A’B’) 2
Área de un polígono arbitrario
Sea necesario calcular el área de un cuadrilátero arbitrario ABC (Fig.).
Dibujemos una diagonal en él, por ejemplo AD. Obtenemos dos triángulos ABD y ACD, cuyas áreas podemos calcular. Luego encontramos la suma de las áreas de estos triángulos. La suma resultante expresará el área de este cuadrilátero.
Si necesitas calcular el área de un pentágono, hacemos lo mismo: dibujamos diagonales desde uno de los vértices. Obtenemos tres triángulos, cuyas áreas podemos calcular. Esto significa que podemos encontrar el área de este pentágono. Hacemos lo mismo al calcular el área de cualquier polígono.
Área proyectada de un polígono
Recordemos que el ángulo entre una recta y un plano es el ángulo entre una recta dada y su proyección sobre el plano (Fig.).
Teorema. El área de la proyección ortogonal de un polígono sobre un plano es igual al área del polígono proyectado multiplicada por el coseno del ángulo formado por el plano del polígono y el plano de proyección.
Cada polígono se puede dividir en triángulos cuya suma de áreas sea igual al área del polígono. Por tanto, basta con demostrar el teorema de un triángulo.
Dejemos que ΔАВС se proyecte sobre el avión. R. Consideremos dos casos:
a) uno de los lados ΔABC es paralelo al plano R;
b) ninguno de los lados ΔABC es paralelo R.
Consideremos primer caso: sea [AB] || R.
Dibujemos un plano que pase por (AB) R 1 || R y proyectar ortogonalmente ΔАВС en R 1 y en adelante R(arroz.); obtenemos ΔАВС 1 y ΔА'В'С'.
Por la propiedad de proyección tenemos ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С', y por tanto
S Δ ABC1 = S Δ A'B'C'
Dibujemos ⊥ y el segmento D 1 C 1 . Entonces ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ es el valor del ángulo entre el plano ΔABC y el plano R 1 . Es por eso
S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C1D1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ
y por tanto S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.
Pasemos a considerar segundo caso. Dibujemos un avión R 1 || R a través de ese vértice ΔАВС, la distancia desde la cual al avión R el más pequeño (sea este el vértice A).
Proyectemos ΔАВС en el avión. R 1 y R(arroz.); sean sus proyecciones ΔАВ 1 С 1 y ΔА'В'С', respectivamente.
Sea (BC) ∩ pag 1 = D. Entonces
S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ
Otros materialesPropiedades de los polígonos
Un polígono es una figura geométrica, generalmente definida como una línea discontinua cerrada sin intersecciones (un polígono simple (Fig. 1a)), pero a veces se permiten intersecciones (entonces el polígono no es simple).
Los vértices del polígono se llaman vértices del polígono y los segmentos se llaman lados del polígono. Los vértices de un polígono se llaman adyacentes si son los extremos de uno de sus lados. Los segmentos que unen vértices no adyacentes de un polígono se llaman diagonales.
El ángulo (o ángulo interior) de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo formado por sus lados que convergen en este vértice, y el ángulo se calcula a partir del lado del polígono. En particular, el ángulo puede superar los 180° si el polígono no es convexo.
El ángulo exterior de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo adyacente al ángulo interior del polígono en este vértice. En general, un ángulo exterior es la diferencia entre 180° y un ángulo interior. Para > 3, cada vértice del -gón tiene 3 diagonales, por lo que el número total de diagonales del -gón es igual.
Un polígono con tres vértices se llama triángulo, con cuatro, cuadrilátero, con cinco, pentágono, etc.
Polígono con norte llamados vértices norte- cuadrado.
Un polígono plano es una figura que consta de un polígono y una parte finita del área limitada por él.
Un polígono se llama convexo si se cumple una de las siguientes condiciones (equivalentes):
- 1. se encuentra a un lado de cualquier línea recta que conecte sus vértices vecinos. (es decir, las extensiones de los lados del polígono no intersecan sus otros lados);
- 2. es la intersección (es decir, la parte común) de varios semiplanos;
- 3. cualquier segmento que termine en puntos pertenecientes al polígono pertenece íntegramente a éste.
Un polígono convexo se llama regular si todos los lados son iguales y todos los ángulos son iguales, por ejemplo, un triángulo equilátero, un cuadrado y un pentágono.
Se dice que un polígono convexo está circunscrito a un círculo si todos sus lados tocan algún círculo.
Un polígono regular es un polígono en el que todos los ángulos y todos los lados son iguales.
Propiedades de los polígonos:
1 Cada diagonal de un -gón convexo, donde >3, lo descompone en dos polígonos convexos.
2 La suma de todos los ángulos de un triángulo convexo es igual.
D-vo: Demostraremos el teorema mediante el método de inducción matemática. En = 3 es obvio. Supongamos que el teorema es verdadero para un -gón, donde <, y pruébalo para -gon.
Sea el polígono dado. Dibujemos la diagonal de este polígono. Según el teorema 3, un polígono se descompone en un triángulo y un triángulo convexo (Fig. 5). Por la hipótesis de la inducción. Por otro lado, . Sumando estas igualdades y teniendo en cuenta que (- haz de ángulo interno ) Y (- viga en ángulo interno ), obtenemos. Cuando obtenemos: .
3 Alrededor de cualquier polígono regular se puede describir un círculo, y sólo uno.
D-vo: Sea un polígono regular, y y las bisectrices de los ángulos, y (Fig. 150). Desde entonces, por lo tanto, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке ACERCA DE. Probemos que oh = OA 2 = ACERCA DE =… = OA PAG . Triángulo ACERCA DE isósceles, por lo tanto ACERCA DE= ACERCA DE. Según el segundo criterio para la igualdad de triángulos, por tanto, ACERCA DE = ACERCA DE. De la misma manera, se demuestra que ACERCA DE = ACERCA DE etc. Entonces el punto ACERCA DE es equidistante de todos los vértices del polígono, por lo que un círculo con centro ACERCA DE radio ACERCA DE está circunscrita al polígono.
Demostremos ahora que sólo existe un círculo circunscrito. Consideremos unos tres vértices de un polígono, por ejemplo, A 2 , . Dado que solo un círculo pasa por estos puntos, entonces alrededor del polígono … Es imposible describir más de un círculo.
- 4 Puedes inscribir un círculo en cualquier polígono regular, y solo uno.
- 5 Un círculo inscrito en un polígono regular toca los lados del polígono en sus puntos medios.
- 6 El centro de un círculo circunscrito a un polígono regular coincide con el centro de un círculo inscrito en el mismo polígono.
- 7 simetría:
Dicen que una figura tiene simetría (simétrica) si existe tal movimiento (no idéntico) que traduce esta figura en sí misma.
- 7.1. Un triángulo general no tiene ejes ni centros de simetría; es asimétrico. Un triángulo isósceles (pero no equilátero) tiene un eje de simetría: la bisectriz perpendicular a la base.
- 7.2. Un triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría (bisectrices perpendiculares a los lados) y simetría rotacional alrededor del centro con un ángulo de rotación de 120°.
7.3 Cualquier n-gón regular tiene n ejes de simetría y todos pasan por su centro. También tiene simetría rotacional con respecto al centro con un ángulo de rotación.
Incluso cuando norte Algunos ejes de simetría pasan por vértices opuestos, otros por los puntos medios de lados opuestos.
por extraño norte cada eje pasa por la parte superior y media del lado opuesto.
El centro de un polígono regular con un número par de lados es su centro de simetría. Un polígono regular con un número impar de lados no tiene centro de simetría.
8 Similitud:
Con semejanza y -gon entra en -gon, semiplano en semiplano, por lo tanto convexo norte-gon se vuelve convexo norte-gon.
Teorema: Si los lados y ángulos de polígonos convexos satisfacen las igualdades:
¿Dónde está el coeficiente del podio?
entonces estos polígonos son similares.
- 8.1 La relación de los perímetros de dos polígonos similares es igual al coeficiente de similitud.
- 8.2. La relación de las áreas de dos polígonos similares convexos es igual al cuadrado del coeficiente de similitud.
teorema del perímetro del triángulo polígono