स्थिर संख्या एबुलाया आप LIMIT दृश्यों(x n ) यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या के लिएε > 0 एक संख्या N ऐसी है जो सभी मानों को दर्शाती है एक्स एन, जिसके लिए n>N, असमानता को संतुष्ट करता है
|एक्स एन - ए|< ε. (6.1)
इसे इस प्रकार लिखें: या x n →एक।
असमानता (6.1) दोहरी असमानता के बराबर है
ए-ε< x n < a + ε, (6.2)
जिसका मतलब है कि अंक एक्स एन, कुछ संख्या n>N से शुरू करके, अंतराल के अंदर स्थित है (a-ε, ए + ε ), अर्थात। किसी भी छोटे में गिरनाε -बिंदु का पड़ोस ए.
वह अनुक्रम जिसकी एक सीमा होती है, कहलाता है अभिसारी, अन्यथा - विभिन्न.
किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा किसी अनुक्रम की सीमा की अवधारणा का सामान्यीकरण है, क्योंकि किसी अनुक्रम की सीमा को पूर्णांक तर्क के फ़ंक्शन x n = f(n) की सीमा के रूप में माना जा सकता है एन.
मान लीजिए कि एक फलन f(x) दिया गया है और मान लीजिए ए - सीमा बिंदुइस फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन D(f), अर्थात ऐसा बिंदु, जिसके किसी पड़ोस में समुच्चय D(f) से भिन्न बिंदु हों ए. डॉट एसेट D(f) से संबंधित हो भी सकता है और नहीं भी।
परिभाषा 1.अचर संख्या A कहलाती है आप LIMIT कार्यएफ(एक्स) परएक्स→a if तर्क मानों के किसी अनुक्रम (x n ) के लिए ए, संगत अनुक्रम (f(x n)) की सीमा A समान है।
इस परिभाषा को कहा जाता है हेइन के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा को परिभाषित करना,या " अनुक्रम की भाषा में”.
परिभाषा 2. अचर संख्या A कहलाती है आप LIMIT कार्यएफ(एक्स) परएक्स→ए यदि, एक मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या ε दी गई है, कोई ऐसा δ पा सकता है>0 (ε पर निर्भर करता है), जो सभी के लिए है एक्समें लेटा हुआε-किसी संख्या का पड़ोस ए, अर्थात। के लिए एक्सअसमानता को संतुष्ट करना
0 <
एक्स-ए< ε
, फ़ंक्शन f(x) के मान निहित होंगेε-संख्या A का पड़ोस, अर्थात्।|एफ(एक्स)-ए|<
ε.
इस परिभाषा को कहा जाता है कॉची के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा को परिभाषित करना,या “भाषा में ε - δ “.
परिभाषाएँ 1 और 2 समतुल्य हैं। यदि फ़ंक्शन f(x) x → के रूप में हैएक है आप LIMITए के बराबर, इसे इस प्रकार लिखा जाता है
. (6.3)
इस घटना में कि अनुक्रम (f(x n)) सन्निकटन की किसी भी विधि के लिए अनिश्चित काल तक बढ़ता (या घटता) है एक्सआपकी सीमा तक ए, तो हम कहेंगे कि फलन f(x) है अनंत सीमा,और इसे इस प्रकार लिखें:
एक वेरिएबल (अर्थात एक अनुक्रम या फ़ंक्शन) जिसकी सीमा शून्य है, कहलाता है असीम रूप से छोटा.
वह चर जिसकी सीमा अनन्त के बराबर हो, कहलाता है असीम रूप से बड़ा.
व्यवहार में सीमा ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित प्रमेयों का उपयोग करें।
प्रमेय 1 . यदि हर सीमा मौजूद है
(6.4)
(6.5)
(6.6)
टिप्पणी. 0/0 जैसे भाव, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - अनिश्चित हैं, उदाहरण के लिए, दो अतिसूक्ष्म या अपरिमित रूप से बड़ी मात्राओं का अनुपात, और इस प्रकार की सीमा खोजने को "अनिश्चितता प्रकटीकरण" कहा जाता है।
प्रमेय 2. (6.7)
वे। विशेष रूप से, एक स्थिर घातांक पर डिग्री के आधार पर सीमा को पार करना संभव है, 
;
(6.8)
(6.9)
प्रमेय 3.
(6.10)
(6.11)
कहाँ इ » 2.7 प्राकृतिक लघुगणक का आधार है। सूत्र (6.10) और (6.11) को प्रथम कहा जाता है अद्भुत सीमाऔर दूसरी उल्लेखनीय सीमा.
सूत्र (6.11) के परिणाम व्यवहार में भी उपयोग किए जाते हैं:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
विशेष रूप से सीमा
यदि एक्स → a और एक ही समय में x > a, फिर x लिखें→a + 0. यदि, विशेष रूप से, a = 0, तो प्रतीक 0+0 के स्थान पर +0 लिखा जाता है। इसी प्रकार, यदि x→ए और एक ही समय में एक्स 
और तदनुसार नाम दिए गए हैं। सही सीमाऔर बाईं सीमा कार्यएफ(एक्स) बिंदु पर ए. फ़ंक्शन f(x) की सीमा x→ के रूप में मौजूद होने के लिएa के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त है 
. फ़ंक्शन f(x) कहा जाता है निरंतर बिंदु पर x 0 यदि सीमा
. (6.15)
शर्त (6.15) को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
,
अर्थात्, किसी फ़ंक्शन के चिह्न के नीचे की सीमा तक जाना संभव है यदि यह किसी दिए गए बिंदु पर निरंतर है।
यदि समानता (6.15) का उल्लंघन होता है, तो हम ऐसा कहते हैं परएक्स = एक्सओ समारोहएफ(एक्स) यह है अंतर।फ़ंक्शन y = 1/x पर विचार करें। इस फ़ंक्शन का डोमेन सेट है आर, x = 0 को छोड़कर। बिंदु x = 0 समुच्चय D(f) का एक सीमा बिंदु है, क्योंकि इसके किसी भी पड़ोस में, अर्थात, बिंदु 0 वाले किसी भी खुले अंतराल में D(f) से बिंदु शामिल हैं, लेकिन यह स्वयं इस सेट से संबंधित नहीं है। मान f(x o)= f(0) परिभाषित नहीं है, इसलिए फ़ंक्शन में बिंदु x o = 0 पर एक असंततता है।
फ़ंक्शन f(x) कहा जाता है एक बिंदु पर दाईं ओर निरंतर x हे यदि सीमा
,
और एक बिंदु पर बाईं ओर निरंतर x हे यदि सीमा
.
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता एक्स ओइस बिंदु पर दाएं और बाएं दोनों तरफ इसकी निरंतरता के बराबर है।
किसी फ़ंक्शन के लिए एक बिंदु पर निरंतर होना एक्स ओउदाहरण के लिए, दाईं ओर, यह आवश्यक है, सबसे पहले, कि एक सीमित सीमा हो, और दूसरी बात, कि यह सीमा f(x o) के बराबर हो। इसलिए, यदि इन दो शर्तों में से कम से कम एक भी पूरी नहीं होती है, तो फ़ंक्शन में अंतराल होगा।
1. यदि सीमा मौजूद है और f(x o) के बराबर नहीं है, तो वे ऐसा कहते हैं समारोहएफ(एक्स) बिंदु परएक्सओ के पास है पहली तरह का ब्रेक,या कूदना.
2. यदि सीमा है+∞ या -∞ या अस्तित्व में नहीं है, तो हम कहते हैं कि में बिंदुएक्स ओ फ़ंक्शन में ब्रेक है दूसरे प्रकार का.
उदाहरण के लिए, x पर फ़ंक्शन y = ctg x→ +0 की सीमा +∞ के बराबर होती है, इसलिए, बिंदु x=0 पर इसमें दूसरी तरह की असंततता है। फलन y = E(x) (पूर्णांक भाग)। एक्स) पूर्णांक एब्सिस्सा वाले बिंदुओं पर पहली तरह की विसंगतियां, या छलांग होती हैं।
वह फ़ंक्शन जो अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है, कहलाता है निरंतरवी. एक सतत फलन को एक ठोस वक्र द्वारा दर्शाया जाता है।
कुछ मात्रा की निरंतर वृद्धि से जुड़ी कई समस्याएं दूसरी उल्लेखनीय सीमा तक ले जाती हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे कार्यों में शामिल हैं: चक्रवृद्धि ब्याज के नियम के अनुसार योगदान में वृद्धि, देश की जनसंख्या में वृद्धि, रेडियोधर्मी पदार्थ का क्षय, बैक्टीरिया का गुणन आदि।
विचार करना हां. आई. पेरेलमैन का उदाहरण, जो संख्या की व्याख्या देता है इचक्रवृद्धि ब्याज समस्या में. संख्या इएक सीमा है 
. बचत बैंकों में, ब्याज का पैसा सालाना निश्चित पूंजी में जोड़ा जाता है। यदि कनेक्शन अधिक बार किया जाता है, तो पूंजी तेजी से बढ़ती है, क्योंकि ब्याज के निर्माण में एक बड़ी राशि शामिल होती है। आइए एक विशुद्ध सैद्धांतिक, अत्यधिक सरलीकृत उदाहरण लें। बैंक को 100 डेन लगाने दीजिए. इकाइयां 100% प्रति वर्ष की दर से। यदि एक वर्ष के बाद ही ब्याज वाला धन स्थिर पूँजी में जोड़ दिया जाये तो इस समय तक 100 डेन. इकाइयां 200 मांद में बदल जाएगा। अब देखते हैं कि 100 मांद क्या रूप लेंगी। इकाइयां, यदि ब्याज का पैसा हर छह महीने में स्थिर पूंजी में जोड़ा जाता है। आधे साल के बाद 100 डेन. इकाइयां 100 तक बढ़ो×
1.5 = 150, और अगले छह महीने के बाद - 150 पर×
1.5 = 225 (डेन यूनिट)। यदि परिग्रहण प्रत्येक 1/3 वर्ष में किया जाता है, तो एक वर्ष के बाद 100 डेन। इकाइयां 100 में बदलो× (1 +1/3) 3 » 237 (डेन. इकाइयाँ)। हम ब्याज राशि जोड़ने की समय सीमा को 0.1 वर्ष, 0.01 वर्ष, 0.001 वर्ष इत्यादि तक बढ़ा देंगे। फिर 100 डेन में से. इकाइयां एक वर्ष बाद:
100 × (1 +1/10) 10 »259 (डेन यूनिट),
100 × (1+1/100) 100 »270 (डेन यूनिट),
100 × (1+1/1000) 1000 »271 (डेन यूनिट)।
ब्याज में शामिल होने की शर्तों में असीमित कमी के साथ, अर्जित पूंजी अनिश्चित काल तक नहीं बढ़ती है, बल्कि लगभग 271 के बराबर एक निश्चित सीमा तक पहुंचती है। 100% प्रति वर्ष पर रखी गई पूंजी 2.71 गुना से अधिक नहीं बढ़ सकती है, भले ही अर्जित ब्याज हो सीमा के कारण हर सेकंड पूंजी में जोड़ा गया
उदाहरण 3.1.किसी संख्या अनुक्रम की सीमा की परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध करें कि अनुक्रम x n =(n-1)/n की सीमा 1 के बराबर है।
समाधान।हमें यह साबित करना होगा जो भी होε > 0 हम लेते हैं, इसके लिए एक प्राकृतिक संख्या N है जैसे कि सभी n N के लिए असमानता|xn-1|< ε.
कोई भी e > 0 लें। चूँकि ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, तो N खोजने के लिए असमानता को हल करना पर्याप्त है 1/n< इ। अत: n>1/ e और, इसलिए, N को 1/ के पूर्णांक भाग के रूप में लिया जा सकता हैई , एन = ई(1/ई ). इस प्रकार हमने सिद्ध कर दिया कि सीमा।
उदाहरण 3.2
. किसी सामान्य पद द्वारा दिए गए अनुक्रम की सीमा ज्ञात कीजिए 
.
समाधान।सीमा योग प्रमेय लागू करें और प्रत्येक पद की सीमा ज्ञात करें। एन के लिए→ ∞ प्रत्येक पद का अंश और हर अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, और हम भागफल सीमा प्रमेय को सीधे लागू नहीं कर सकते। इसलिए, हम पहले परिवर्तन करते हैं एक्स एन, पहले पद के अंश और हर को विभाजित करना एन 2, और दूसरा एन. फिर, भागफल सीमा प्रमेय और योग सीमा प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं:
.
उदाहरण 3.3. 
. खोजो ।
समाधान। 
.
यहां हमने डिग्री सीमा प्रमेय का उपयोग किया है: डिग्री की सीमा आधार की सीमा की डिग्री के बराबर है।
उदाहरण 3.4
. खोजो ( 
).
समाधान।अंतर सीमा प्रमेय को लागू करना असंभव है, क्योंकि हमारे पास फॉर्म की अनिश्चितता है ∞-∞ . आइए सामान्य पद के सूत्र को रूपांतरित करें:
.
उदाहरण 3.5 . एक फलन f(x)=2 1/x दिया गया है। साबित करें कि सीमा मौजूद नहीं है।
समाधान।हम अनुक्रम के संदर्भ में किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा 1 का उपयोग करते हैं। 0 पर अभिसरण करने वाला एक अनुक्रम (x n) लें, अर्थात। आइए हम दिखाते हैं कि मान f(x n)= अलग-अलग अनुक्रमों के लिए अलग-अलग व्यवहार करता है। माना x n = 1/n. जाहिर है, फिर तो हद हो गई 
आइए अब इस रूप में चुनें एक्स एनएक सामान्य पद x n = -1/n वाला अनुक्रम, जो शून्य की ओर भी प्रवृत्त है। 
इसलिए, कोई सीमा नहीं है.
उदाहरण 3.6 . साबित करें कि सीमा मौजूद नहीं है।
समाधान।मान लीजिए x 1 , x 2 ,..., x n ,... एक अनुक्रम है जिसके लिए
. अनुक्रम (f(x n)) = (sin x n ) विभिन्न x n → ∞ के लिए कैसे व्यवहार करता है
यदि x n = p n, तो पाप x n = पाप p सभी के लिए n = 0 एनऔर सीमा यदि
xn=2 p n+ p /2, फिर पाप x n = पाप(2 p n+ p /2) = पाप पी /2 = 1 सभी के लिए एनऔर इसलिए सीमा. इस प्रकार अस्तित्व में नहीं है.
ऑनलाइन सीमा की गणना के लिए विजेट
शीर्ष बॉक्स में, पाप(x)/x के बजाय, वह फ़ंक्शन दर्ज करें जिसकी सीमा आप खोजना चाहते हैं। निचले बॉक्स में, वह संख्या दर्ज करें जिसकी ओर x की प्रवृत्ति होती है और कैलकुलर बटन पर क्लिक करें, वांछित सीमा प्राप्त करें। और यदि आप परिणाम विंडो में ऊपरी दाएं कोने में शो स्टेप्स पर क्लिक करते हैं, तो आपको एक विस्तृत समाधान मिलेगा।
फ़ंक्शन इनपुट नियम: sqrt(x) - वर्गमूल, cbrt(x) - घनमूल, exp(x) - घातांक, ln(x) - प्राकृतिक लघुगणक, पाप(x) - साइन, cos(x) - कोसाइन, टैन (x) - स्पर्शरेखा, cot(x) - कोटैंजेंट, आर्कसिन(x) - आर्कसाइन, आर्ककोस(x) - आर्ककोसाइन, आर्कटैन(x) - आर्कटेंजेंट। संकेत: * गुणन, / विभाजन, ^ घातांक, के बजाय अनंतअनंत। उदाहरण: फ़ंक्शन को sqrt(tan(x/2)) के रूप में दर्ज किया गया है।
समाधान ऑनलाइन फ़ंक्शन सीमाएँ. किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन या फ़ंक्शनल अनुक्रम का सीमा मान ज्ञात करें, गणना करें सीमितअनंत पर फ़ंक्शन मान. किसी संख्या श्रृंखला के अभिसरण का निर्धारण करें और हमारी ऑनलाइन सेवा की बदौलत बहुत कुछ किया जा सकता है -। हम आपको त्वरित और सटीक रूप से ऑनलाइन फ़ंक्शन सीमाएं खोजने की अनुमति देते हैं। आप स्वयं फ़ंक्शन के वेरिएबल और उस सीमा तक प्रवेश करते हैं जिसकी वह अपेक्षा करता है, हमारी सेवा सटीक और सरल उत्तर देते हुए आपके लिए सभी गणना करती है। और के लिए ऑनलाइन सीमा ज्ञात करनाआप शाब्दिक अभिव्यक्ति में स्थिरांक वाले संख्यात्मक श्रृंखला और विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन दोनों दर्ज कर सकते हैं। इस मामले में, पाई गई फ़ंक्शन सीमा में अभिव्यक्ति में निरंतर तर्क के रूप में ये स्थिरांक शामिल होंगे। हमारी सेवा खोजने की किसी भी जटिल समस्या का समाधान करती है ऑनलाइन सीमाएं, यह फ़ंक्शन और उस बिंदु को निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है जिस पर गणना करना आवश्यक है कार्य सीमा. कम्प्यूटिंग ऑनलाइन सीमाएं, आप परिणाम की तुलना करते हुए, उन्हें हल करने के लिए विभिन्न तरीकों और नियमों का उपयोग कर सकते हैं समाधान ऑनलाइन सीमित करें www.site पर, जिससे कार्य सफलतापूर्वक पूरा होगा - आप अपनी गलतियों और टाइपो से बचेंगे। या आप हम पर पूरा भरोसा कर सकते हैं और फ़ंक्शन सीमा की स्वतंत्र गणना पर अतिरिक्त प्रयास और समय खर्च किए बिना, हमारे परिणाम का उपयोग अपने काम में कर सकते हैं। हम अनंत जैसे सीमा मानों के इनपुट की अनुमति देते हैं। आपको संख्यात्मक अनुक्रम का एक सामान्य पद दर्ज करना होगा और www.साइटमूल्य की गणना करेगा ऑनलाइन सीमित करेंप्लस या माइनस अनंत तक।
गणितीय विश्लेषण की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है कार्य सीमाऔर अनुक्रम सीमाएक बिंदु पर और अनंत पर, सही ढंग से हल करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है सीमा. हमारी सेवा से यह कठिन नहीं होगा. एक निर्णय लिया जा रहा है ऑनलाइन सीमाएंकुछ ही सेकंड में, उत्तर सटीक और पूर्ण हो जाता है। कैलकुलस का अध्ययन प्रारंभ होता है सीमा तक जाना, सीमाउच्च गणित के लगभग सभी अनुभागों में उपयोग किया जाता है, इसलिए हाथ में सर्वर रखना उपयोगी होता है समाधान ऑनलाइन सीमित करेंकौन सी साइट है.
समारोह y=f (एक्स)उस नियम (नियम) को कहा जाता है, जिसके अनुसार समुच्चय X का प्रत्येक अवयव x समुच्चय Y के एक और केवल एक अवयव y से संबद्ध होता है।
तत्व एक्स ∈ एक्सबुलाया फ़ंक्शन तर्कया स्वतंत्र चर.
y तत्व ∈ वाईबुलाया फ़ंक्शन मानया निर्भर चर.
समुच्चय X को कहा जाता है कार्य क्षेत्र.
तत्वों का सेट y ∈ वाई, जिसमें सेट एक्स में प्रीइमेज हैं, कहा जाता है फ़ंक्शन मानों का क्षेत्र या सेट.
वास्तविक फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है ऊपर से सीमित (नीचे से), यदि ऐसी कोई संख्या M है जो सभी के लिए निम्नलिखित असमानता रखती है:
.
संख्या फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है सीमित, यदि कोई ऐसी संख्या M मौजूद है जो सभी के लिए है:
.
शीर्ष चेहराया सटीक ऊपरी सीमावास्तविक फ़ंक्शन संख्याओं में से सबसे छोटी संख्या कहलाती है जो ऊपर से इसके मानों की सीमा को सीमित करती है। अर्थात्, यह एक संख्या s है जिसके लिए, सभी के लिए और किसी के लिए, एक ऐसा तर्क है, जिसके फ़ंक्शन का मान s' से अधिक है:।
फ़ंक्शन की ऊपरी सीमा को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
.
क्रमश निचला चेहराया सटीक निचली सीमावास्तविक फ़ंक्शन को संख्याओं में सबसे बड़ी संख्या कहा जाता है जो नीचे से इसके मानों की सीमा को सीमित करती है। यानी यह एक संख्या है i जिसके लिए सभी के लिए और किसी के लिए, एक ऐसा तर्क है, जिससे फ़ंक्शन का मान i′ से कम है:।
किसी फ़ंक्शन की निचली सीमा को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
.
किसी फ़ंक्शन की सीमा निर्धारित करना
किसी फ़ंक्शन की कॉची सीमा की परिभाषा
अंतिम बिंदुओं पर परिमित कार्य सीमाएँ
मान लीजिए कि फ़ंक्शन को अंतिम बिंदु के किसी पड़ोस में परिभाषित किया गया है, शायद, बिंदु को छोड़कर। बिंदु पर, यदि किसी के लिए ऐसा मौजूद है, तो इस पर निर्भर करता है कि सभी x के लिए, जिसके लिए असमानता है
.
किसी फ़ंक्शन की सीमा को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.
या कि ।
अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा इस प्रकार लिखी जा सकती है:
.
एकतरफ़ा सीमा.
बिंदु पर बायीं ओर की सीमा (बायीं ओर की सीमा):
.
एक बिंदु पर दाहिनी सीमा (दाहिनी ओर की सीमा):
.
बाएँ और दाएँ की सीमाएँ अक्सर इस प्रकार दर्शायी जाती हैं:
;
.
अनंत बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन की परिमित सीमाएँ
अनंत दूर बिंदुओं पर सीमाएं इसी तरह परिभाषित की जाती हैं।
.
.
.
इन्हें अक्सर कहा जाता है:
;
;
.
एक बिंदु के पड़ोस की अवधारणा का उपयोग करना
यदि हम किसी बिंदु के छिद्रित पड़ोस की अवधारणा का परिचय देते हैं, तो हम परिमित और अनंत बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन की परिमित सीमा की एकीकृत परिभाषा दे सकते हैं:
.
यहां समापन बिंदुओं के लिए
;
;
.
अनंत पर बिंदुओं का कोई भी पड़ोस छिद्रित है:
;
;
.
अनंत कार्य सीमाएँ
परिभाषा
मान लीजिए कि फ़ंक्शन को किसी बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस (परिमित या अनंत पर) में परिभाषित किया गया है। फ़ंक्शन की सीमा एफ (एक्स) x → x के रूप में 0
अनंत के बराबर है, यदि किसी मनमाने ढंग से बड़ी संख्या के लिए एम > 0
, वहाँ एक संख्या δ M मौजूद है > 0
, एम पर निर्भर करते हुए, कि एक छिद्रित δ एम से संबंधित सभी एक्स के लिए - बिंदु का पड़ोस:, निम्नलिखित असमानता रखती है:
.
अनंत सीमा को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
.
या कि ।
अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन की अनंत सीमा की परिभाषा इस प्रकार लिखी जा सकती है:
.
इसके समान कुछ चिह्नों की अनंत सीमाओं की परिभाषाएँ प्रस्तुत करना भी संभव है :
.
.
किसी फ़ंक्शन की सीमा की सार्वभौमिक परिभाषा
किसी बिंदु के पड़ोस की अवधारणा का उपयोग करके, कोई किसी फ़ंक्शन की परिमित और अनंत सीमा की एक सार्वभौमिक परिभाषा दे सकता है, जो परिमित (दो तरफा और एक तरफा) और असीम रूप से दूर के बिंदुओं दोनों पर लागू होती है:
.
हेइन के अनुसार किसी फलन की सीमा की परिभाषा
मान लीजिए कि फ़ंक्शन को किसी सेट X : पर परिभाषित किया गया है।
संख्या a को फलन की सीमा कहा जाता हैबिंदु पर:
,
यदि x में परिवर्तित होने वाले किसी अनुक्रम के लिए 0
:
,
जिनके तत्व समुच्चय X से संबंधित हैं: ,
.
हम यह परिभाषा अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करके लिखते हैं:
.
यदि हम समुच्चय X के रूप में बिंदु x के बाएँ हाथ के पड़ोस को लेते हैं 0 , तो हमें बाईं सीमा की परिभाषा मिलती है। यदि यह दाएं हाथ का है तो हमें सही सीमा की परिभाषा मिलती है। यदि हम अनंत पर एक बिंदु के पड़ोस को सेट एक्स के रूप में लेते हैं, तो हमें अनंत पर एक फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा प्राप्त होती है।
प्रमेय
किसी फ़ंक्शन की सीमा की कॉची और हेइन परिभाषाएँ समतुल्य हैं।
सबूत
किसी फ़ंक्शन की सीमा के गुण और प्रमेय
इसके अलावा, हम मानते हैं कि विचाराधीन कार्यों को बिंदु के संबंधित पड़ोस में परिभाषित किया गया है, जो एक सीमित संख्या या प्रतीकों में से एक है:। यह एक तरफा सीमा बिंदु भी हो सकता है, यानी इसका रूप या हो सकता है। पड़ोस दो-तरफ़ा सीमा के लिए दो-तरफ़ा है और एक-तरफ़ा के लिए एक-तरफ़ा है।
बुनियादी गुण
यदि फ़ंक्शन के मान f (एक्स) x बिंदुओं की एक सीमित संख्या पर बदलें (या अपरिभाषित करें)। 1 , x 2 , x 3 , ... x n, तो यह परिवर्तन किसी मनमाने बिंदु x पर फ़ंक्शन की सीमा के अस्तित्व और मूल्य को प्रभावित नहीं करेगा 0 .
यदि कोई परिमित सीमा है, तो बिंदु x का ऐसा छिद्रित पड़ोस है 0
, जिस पर फ़ंक्शन एफ (एक्स)सीमित:
.
मान लीजिए कि फलन बिंदु x पर है 0
शून्य के अलावा अंतिम सीमा:
.
फिर, अंतराल से किसी भी संख्या c के लिए, बिंदु x का ऐसा छिद्रित पड़ोस मौजूद होता है 0
किस लिए,
, अगर ;
, अगर ।
यदि, बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर, एक स्थिरांक है, तो।
यदि बिंदु x के कुछ छिद्रित पड़ोस पर सीमित सीमाएं हैं 0
,
वह ।
यदि , और बिंदु के कुछ पड़ोस पर
,
वह ।
विशेष रूप से, यदि किसी बिंदु के किसी पड़ोस पर
,
तब यदि , तब और ;
यदि , तब और .
यदि बिंदु x के कुछ छिद्रित पड़ोस पर 0
:
,
और समान सीमाएँ परिमित (या किसी निश्चित चिन्ह की अनंत) होती हैं:
, वह
.
मुख्य गुणों के प्रमाण पृष्ठ पर दिये गये हैं
"किसी फ़ंक्शन की सीमाओं के मूल गुण"।
किसी फ़ंक्शन की सीमा के अंकगणितीय गुण
आइए कार्यों को बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस में परिभाषित करें। और सीमित सीमाएँ होने दें:
और ।
और मान लीजिए कि C एक स्थिरांक है, अर्थात एक दी गई संख्या है। तब
;
;
;
, अगर ।
तो अगर ।
पृष्ठ पर अंकगणितीय गुणों के प्रमाण दिये गये हैं
"किसी फ़ंक्शन की सीमाओं के अंकगणितीय गुण"।
किसी फ़ंक्शन की सीमा के अस्तित्व के लिए कॉची मानदंड
प्रमेय
किसी परिमित के कुछ छिद्रित पड़ोस या अनंत बिंदु x पर परिभाषित फ़ंक्शन के लिए 0
, इस बिंदु पर एक सीमित सीमा थी, यह किसी भी ε के लिए आवश्यक और पर्याप्त है > 0
बिंदु x का एक ऐसा छिद्रित पड़ोस था 0
, कि किसी भी बिंदु और इस पड़ोस से, निम्नलिखित असमानता कायम है:
.
जटिल कार्य सीमा
जटिल कार्य सीमा प्रमेय
फ़ंक्शन की एक सीमा होने दें और बिंदु के छिद्रित पड़ोस को बिंदु के छिद्रित पड़ोस पर मैप करें। मान लीजिए कि फ़ंक्शन को इस पड़ोस पर परिभाषित किया गया है और इसकी एक सीमा है।
यहाँ - अंतिम या असीम रूप से दूर के बिंदु:। पड़ोस और उनकी संगत सीमाएँ दो-तरफ़ा या एक-तरफ़ा हो सकती हैं।
फिर जटिल फ़ंक्शन की एक सीमा होती है और यह इसके बराबर होती है:
.
जटिल फ़ंक्शन सीमा प्रमेय तब लागू होता है जब फ़ंक्शन को किसी बिंदु पर परिभाषित नहीं किया जाता है या सीमा मान के अलावा कोई अन्य मान होता है। इस प्रमेय को लागू करने के लिए, उस बिंदु का एक छिद्रित पड़ोस होना चाहिए जिस पर फ़ंक्शन के मानों के सेट में बिंदु शामिल नहीं है:
.
यदि फ़ंक्शन बिंदु पर निरंतर है, तो सीमा चिह्न को निरंतर फ़ंक्शन के तर्क पर लागू किया जा सकता है:
.
निम्नलिखित इस मामले से संबंधित एक प्रमेय है।
किसी फलन के सतत फलन की सीमा पर प्रमेय
मान लीजिए कि फलन g की एक सीमा है (टी)जैसे t → t 0
, और यह x के बराबर है 0
:
.
यहाँ बिंदु टी 0
परिमित या अनंत हो सकता है: .
और फ़ंक्शन को f दें (एक्स) x पर निरंतर 0
.
तब संयुक्त फलन f की एक सीमा होती है (जी(टी)), और यह f के बराबर है (x0):
.
प्रमेयों के प्रमाण पृष्ठ पर दिए गए हैं
"एक जटिल कार्य की सीमा और निरंतरता"।
अनंत और अनंत रूप से बड़े कार्य
असीम रूप से छोटे कार्य
परिभाषा
यदि के लिए किसी फ़ंक्शन को इनफिनिटसिमल कहा जाता है
.
योग, अंतर और उत्पादके लिए अपरिमित रूप से छोटे फलनों की एक सीमित संख्या एक अतिसूक्ष्म फलन है।
किसी फ़ंक्शन का उत्पाद परिबद्ध हैबिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर, एक अतिसूक्ष्म के लिए के लिए का एक अतिसूक्ष्म कार्य है।
किसी फ़ंक्शन की एक सीमित सीमा होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है
,
के लिए एक अतिसूक्ष्म फलन कहां है।
"अतिसूक्ष्म कार्यों के गुण"।
असीम रूप से बड़े कार्य
परिभाषा
यदि के लिए फ़ंक्शन को अपरिमित रूप से बड़ा कहा जाता है
.
बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर एक बंधे हुए फ़ंक्शन का योग या अंतर, और एक असीम रूप से बड़े फ़ंक्शन पर एक असीम रूप से बड़ा फ़ंक्शन है।
यदि फ़ंक्शन असीम रूप से बड़ा है, और फ़ंक्शन बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर घिरा हुआ है, तो
.
यदि फ़ंक्शन, बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर, असमानता को संतुष्ट करता है:
,
और फ़ंक्शन इसके लिए असीम रूप से छोटा है:
, और (बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर), फिर
.
संपत्तियों के प्रमाण अनुभाग में दिए गए हैं
"असीम रूप से बड़े कार्यों के गुण"।
असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे कार्यों के बीच संबंध
असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे कार्यों के बीच संबंध पिछले दो गुणों से होता है।
यदि फ़ंक्शन अपरिमित रूप से बड़ा है, तो फ़ंक्शन अपरिमित रूप से छोटा है।
यदि फ़ंक्शन, और के लिए असीम रूप से छोटा है, तो फ़ंक्शन, और के लिए असीम रूप से बड़ा है।
एक अतिसूक्ष्म और एक अपरिमित रूप से बड़े फलन के बीच संबंध को प्रतीकात्मक रूप से व्यक्त किया जा सकता है:
,
.
यदि किसी अतिसूक्ष्म फलन का एक निश्चित चिह्न है, अर्थात्, यह बिंदु के किसी छिद्रित पड़ोस पर धनात्मक (या ऋणात्मक) है, तो इस तथ्य को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
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उसी प्रकार, यदि किसी अपरिमित रूप से बड़े फ़ंक्शन पर एक निश्चित चिह्न है, तो वे लिखते हैं:
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फिर असीम रूप से छोटे और असीम रूप से बड़े कार्यों के बीच प्रतीकात्मक संबंध को निम्नलिखित संबंधों द्वारा पूरक किया जा सकता है:
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अनंत प्रतीकों से संबंधित अतिरिक्त सूत्र पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं
"अनंत पर बिंदु और उनके गुण"।
मोनोटोनिक कार्यों की सीमाएँ
परिभाषा
वास्तविक संख्याओं के कुछ सेट पर परिभाषित फ़ंक्शन X को कहा जाता है सख्ती से बढ़ रहा है, यदि ऐसे सभी के लिए निम्नलिखित असमानता कायम है:
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तदनुसार, के लिए सख्ती से घट रही हैफ़ंक्शन, निम्नलिखित असमानता रखती है:
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के लिए गैर घटते:
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के लिए गैर बढ़ती:
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इसका तात्पर्य यह है कि सख्ती से बढ़ने वाला फलन भी घटता नहीं है। सख्ती से घटने वाला फलन भी गैर-बढ़ने वाला होता है।
फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है नीरसयदि यह घट नहीं रहा है या बढ़ नहीं रहा है।
प्रमेय
अंतराल पर फ़ंक्शन कम न होने दें, जहां।
यदि यह ऊपर से संख्या M: से घिरा है, तो इसकी एक सीमित सीमा है। यदि ऊपर सीमाबद्ध नहीं है, तो।
यदि यह नीचे से संख्या m: से घिरा है, तो एक सीमित सीमा है। यदि नीचे सीमाबद्ध नहीं है, तो।
यदि बिंदु ए और बी अनंत पर हैं, तो अभिव्यक्ति में सीमा चिह्न का मतलब है कि।
इस प्रमेय को अधिक संक्षिप्त रूप से तैयार किया जा सकता है।
अंतराल पर फ़ंक्शन कम न होने दें, जहां। फिर बिंदु ए और बी पर एकतरफा सीमाएं हैं:
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गैर-बढ़ते फ़ंक्शन के लिए एक समान प्रमेय।
मान लीजिए अंतराल पर फलन नहीं बढ़ता, जहां। फिर एकतरफ़ा सीमाएँ हैं:
;
.
प्रमेय का प्रमाण पृष्ठ पर बताया गया है
"मोनोटोनिक कार्यों की सीमाएँ"।
सन्दर्भ:
एल.डी. Kudryavtsev। गणितीय विश्लेषण का कोर्स. खंड 1. मॉस्को, 2003।
सेमी। निकोल्स्की। गणितीय विश्लेषण का कोर्स. खंड 1. मॉस्को, 1983।
गणित वह विज्ञान है जो संसार का निर्माण करता है। वैज्ञानिक और आम आदमी दोनों - कोई भी इसके बिना नहीं रह सकता। सबसे पहले, छोटे बच्चों को गिनना सिखाया जाता है, फिर जोड़ना, घटाना, गुणा करना और भाग देना सिखाया जाता है, मध्य विद्यालय तक, अक्षर पदनाम चलन में आ जाते हैं, और बड़े बच्चों में अब उनसे दूर नहीं रहा जा सकता है।
लेकिन आज हम बात करेंगे कि सारा ज्ञात गणित किस पर आधारित है। संख्याओं के समुदाय के बारे में जिसे "अनुक्रम सीमाएँ" कहा जाता है।
अनुक्रम क्या हैं और उनकी सीमा कहाँ है?
"अनुक्रम" शब्द का अर्थ समझना कठिन नहीं है। यह चीजों का ऐसा निर्माण है, जहां कोई व्यक्ति या वस्तु एक निश्चित क्रम या कतार में स्थित होती है। उदाहरण के लिए, चिड़ियाघर के टिकटों के लिए कतार एक क्रम है। और केवल एक ही हो सकता है! यदि, उदाहरण के लिए, आप स्टोर की कतार को देखें, तो यह एक क्रम है। और यदि एक व्यक्ति अचानक इस कतार को छोड़ देता है, तो यह एक अलग कतार है, एक अलग क्रम है।
"सीमा" शब्द की व्याख्या भी आसानी से की जा सकती है - यह किसी चीज़ का अंत है। हालाँकि, गणित में, अनुक्रमों की सीमाएँ संख्या रेखा पर वे मान हैं जिनकी ओर संख्याओं का अनुक्रम प्रवृत्त होता है। प्रयास क्यों करता है और समाप्त नहीं होता? यह सरल है, संख्या रेखा का कोई अंत नहीं है, और अधिकांश अनुक्रम, किरणों की तरह, केवल एक शुरुआत है और इस तरह दिखते हैं:
एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3, ... एक्स एन ...
इसलिए अनुक्रम की परिभाषा प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है। सरल शब्दों में कहें तो यह किसी समुच्चय के सदस्यों की एक श्रृंखला है।
संख्या अनुक्रम कैसे बनाया जाता है?
किसी संख्या अनुक्रम का सबसे सरल उदाहरण इस तरह दिख सकता है: 1, 2, 3, 4, ...n...
ज्यादातर मामलों में, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, अनुक्रम संख्याओं से बनाए जाते हैं, और श्रृंखला के प्रत्येक अगले सदस्य, आइए इसे एक्स द्वारा निरूपित करें, का अपना नाम है। उदाहरण के लिए:
x 1 - अनुक्रम का पहला सदस्य;
x 2 - अनुक्रम का दूसरा सदस्य;
x 3 - तीसरा सदस्य;
x n nवाँ सदस्य है।
व्यावहारिक विधियों में अनुक्रम एक सामान्य सूत्र द्वारा दिया जाता है जिसमें कुछ चर होते हैं। उदाहरण के लिए:
X n = 3n, तो संख्याओं की श्रृंखला स्वयं इस प्रकार दिखाई देगी:
यह याद रखने योग्य है कि अनुक्रमों के सामान्य अंकन में, आप किसी भी लैटिन अक्षर का उपयोग कर सकते हैं, न कि केवल X का। उदाहरण के लिए: y, z, k, आदि।
अनुक्रमों के भाग के रूप में अंकगणितीय प्रगति
अनुक्रमों की सीमाओं की तलाश करने से पहले, ऐसी संख्या श्रृंखला की अवधारणा में गहराई से उतरने की सलाह दी जाती है, जिसका सामना हर किसी को तब करना पड़ा जब वे मध्यम वर्ग में थे। अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें आसन्न पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है।
कार्य: “मान लीजिए a 1 = 15, और संख्या श्रृंखला की प्रगति का चरण d = 4। इस पंक्ति के पहले 4 सदस्य बनाएँ"
समाधान: a 1 = 15 (शर्त के अनुसार) प्रगति (संख्या श्रृंखला) का पहला सदस्य है।
और 2 = 15+4=19 प्रगति का दूसरा सदस्य है।
और 3 = 19 + 4 = 23 तीसरा पद है।
और 4 = 23 + 4 = 27 चौथा पद है।
हालाँकि, इस पद्धति से बड़े मूल्यों तक पहुँचना मुश्किल है, उदाहरण के लिए, 125 तक। विशेष रूप से ऐसे मामलों के लिए, अभ्यास के लिए सुविधाजनक एक सूत्र निकाला गया: a n = a 1 + d (n-1)। इस मामले में, एक 125 = 15 + 4 (125-1) = 511।
अनुक्रम प्रकार
अधिकांश अनुक्रम अंतहीन हैं, यह जीवन भर याद रखने लायक है। संख्या श्रृंखला के दो दिलचस्प प्रकार हैं। पहला सूत्र a n =(-1) n द्वारा दिया गया है। गणितज्ञ अक्सर इस फ्लैशर अनुक्रम का उल्लेख करते हैं। क्यों? चलिए इसके नंबर चेक करते हैं.
1, 1, -1, 1, -1, 1, आदि। इस उदाहरण से, यह स्पष्ट हो जाता है कि अनुक्रमों में संख्याओं को आसानी से दोहराया जा सकता है।
भाज्य अनुक्रम. यह अनुमान लगाना आसान है कि सूत्र में एक फैक्टोरियल है जो अनुक्रम को परिभाषित करता है। उदाहरण के लिए: और n = (n+1)!
फिर क्रम इस प्रकार दिखेगा:
और 2 = 1x2x3 = 6;
और 3 = 1x2x3x4 = 24, आदि।
अंकगणितीय प्रगति द्वारा दिए गए अनुक्रम को असीम रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि असमानता -1 इसके सभी सदस्यों के लिए देखी जाती है और 3 = - 1/8, आदि। यहाँ तक कि एक क्रम भी है जिसमें समान संख्याएँ शामिल हैं। तो, और n \u003d 6 में अनंत संख्या में छक्के शामिल हैं। गणित में अनुक्रम सीमाएँ लंबे समय से मौजूद हैं। निःसंदेह, वे अपने स्वयं के सक्षम डिज़ाइन के पात्र हैं। तो, अनुक्रम सीमा की परिभाषा सीखने का समय आ गया है। सबसे पहले, एक रैखिक फलन की सीमा पर विस्तार से विचार करें: यह समझना आसान है कि किसी अनुक्रम की सीमा की परिभाषा इस प्रकार तैयार की जा सकती है: यह एक निश्चित संख्या है, जिस तक अनुक्रम के सभी सदस्य असीमित रूप से पहुंचते हैं। सरल उदाहरण: और x = 4x+1. फिर अनुक्रम स्वयं इस तरह दिखेगा। 5, 9, 13, 17, 21...x... इस प्रकार, यह क्रम अनिश्चित काल तक बढ़ता जाएगा, जिसका अर्थ है कि इसकी सीमा x→∞ के रूप में अनंत के बराबर है, और इसे इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: यदि हम एक समान क्रम लेते हैं, लेकिन x 1 की ओर प्रवृत्त होता है, तो हमें मिलता है: और संख्याओं की श्रृंखला इस प्रकार होगी: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, आदि। हर बार आपको संख्या को एक (0.1, 0.2, 0.9, 0.986) के करीब अधिक से अधिक प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता होगी। इस श्रृंखला से यह देखा जा सकता है कि फलन की सीमा पाँच है। इस भाग से यह याद रखने योग्य है कि संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा क्या है, सरल कार्यों को हल करने की परिभाषा और विधि क्या है। संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा, इसकी परिभाषा और उदाहरणों का विश्लेषण करने के बाद, हम अधिक जटिल विषय पर आगे बढ़ सकते हैं। अनुक्रमों की बिल्कुल सभी सीमाएँ एक सूत्र द्वारा तैयार की जा सकती हैं, जिसका विश्लेषण आमतौर पर पहले सेमेस्टर में किया जाता है। तो, अक्षरों, मॉड्यूल और असमानता संकेतों के इस सेट का क्या मतलब है? ∀ एक सार्वभौमिक परिमाणक है, जो "सभी के लिए", "हर चीज के लिए", आदि वाक्यांशों का स्थान लेता है। ∃ एक अस्तित्व परिमाणक है, इस मामले में इसका मतलब है कि प्राकृतिक संख्याओं के सेट से संबंधित कुछ मान N है। N के पीछे एक लंबी ऊर्ध्वाधर छड़ी का अर्थ है कि दिया गया सेट N "ऐसा है"। व्यवहार में, इसका अर्थ "ऐसा वैसा", "ऐसा वैसा", आदि हो सकता है। सामग्री को समेकित करने के लिए, सूत्र को ज़ोर से पढ़ें। अनुक्रमों की सीमा ज्ञात करने की विधि, जिसकी ऊपर चर्चा की गई थी, यद्यपि उपयोग में सरल है, व्यवहार में इतनी तर्कसंगत नहीं है। इस फ़ंक्शन के लिए सीमा खोजने का प्रयास करें: यदि हम अलग-अलग x मानों को प्रतिस्थापित करते हैं (हर बार बढ़ते हुए: 10, 100, 1000, आदि), तो हमें अंश में ∞ मिलता है, लेकिन हर में भी ∞ मिलता है। यह एक अजीब अंश निकला: लेकिन क्या सच में ऐसा है? इस मामले में संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा की गणना करना काफी आसान लगता है। सब कुछ वैसे ही छोड़ना संभव होगा, क्योंकि उत्तर तैयार है, और यह उचित शर्तों पर प्राप्त हुआ था, लेकिन ऐसे मामलों के लिए विशेष रूप से एक और तरीका है। सबसे पहले, आइए भिन्न के अंश में उच्चतम डिग्री ज्ञात करें - यह 1 है, क्योंकि x को x 1 के रूप में दर्शाया जा सकता है। आइए अब हर में उच्चतम डिग्री ज्ञात करें। साथ ही 1. अंश और हर दोनों को चर से उच्चतम डिग्री तक विभाजित करें। इस स्थिति में, हम भिन्न को x 1 से विभाजित करते हैं। इसके बाद, आइए जानें कि चर वाले प्रत्येक पद का क्या मान होता है। इस मामले में, भिन्नों पर विचार किया जाता है। x→∞ के रूप में, प्रत्येक भिन्न का मान शून्य हो जाता है। लिखित रूप में पेपर बनाते समय, निम्नलिखित फ़ुटनोट बनाना उचित है: निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है: निस्संदेह, x वाले भिन्न शून्य नहीं हुए! लेकिन उनका मूल्य इतना छोटा है कि गणना में इसे ध्यान में न रखना काफी स्वीकार्य है। वास्तव में, इस मामले में x कभी भी 0 के बराबर नहीं होगा, क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते। आइए मान लें कि प्रोफेसर के पास अपने निपटान में एक जटिल अनुक्रम है, जो स्पष्ट रूप से, कम जटिल सूत्र द्वारा दिया गया है। प्रोफेसर को उत्तर मिल गया, लेकिन क्या यह फिट बैठता है? आख़िरकार, सभी लोग गलतियाँ करते हैं। ऑगस्टे कॉची अनुक्रमों की सीमाओं को साबित करने का एक शानदार तरीका लेकर आए। उनकी पद्धति को पड़ोस ऑपरेशन कहा जाता था। मान लीजिए कि कोई बिंदु a है, तो वास्तविक रेखा पर दोनों दिशाओं में इसका पड़ोस ε ("एप्सिलॉन") के बराबर है। चूँकि अंतिम चर दूरी है, इसका मान सदैव धनात्मक होता है। अब आइए कुछ अनुक्रम x n निर्धारित करें और मान लें कि अनुक्रम का दसवां सदस्य (x 10) a के पड़ोस में शामिल है। इस तथ्य को गणितीय भाषा में कैसे लिखें? मान लीजिए x 10 बिंदु a के दाईं ओर है, तो दूरी x 10 -a है<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. अब ऊपर बताए गए फॉर्मूले को व्यवहार में समझाने का समय आ गया है। एक निश्चित संख्या को किसी अनुक्रम का अंतिम बिंदु कहना उचित है यदि असमानता ε>0 इसकी किसी भी सीमा तक बनी रहती है, और पूरे पड़ोस की अपनी प्राकृतिक संख्या N होती है, जैसे कि उच्च संख्या वाले अनुक्रम के सभी सदस्य होंगे अनुक्रम के अंदर रहें |x n - a|< ε. इस तरह के ज्ञान से, किसी अनुक्रम की सीमाओं को हल करना, किसी तैयार उत्तर को सिद्ध या अस्वीकृत करना आसान होता है। अनुक्रमों की सीमा पर प्रमेय सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण घटक है, जिसके बिना अभ्यास असंभव है। केवल चार मुख्य प्रमेय हैं, जिन्हें याद करके आप हल करने या सिद्ध करने की प्रक्रिया को महत्वपूर्ण रूप से सुविधाजनक बना सकते हैं: कभी-कभी किसी संख्यात्मक अनुक्रम की दी गई सीमा को सिद्ध करने के लिए, किसी व्युत्क्रम समस्या को हल करने की आवश्यकता होती है। आइए एक उदाहरण देखें. सिद्ध कीजिए कि सूत्र द्वारा दिए गए अनुक्रम की सीमा शून्य के बराबर है। उपरोक्त नियम के अनुसार, किसी भी अनुक्रम के लिए असमानता |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: आइए एक निश्चित संख्या के अस्तित्व को दिखाने और अनुक्रम सीमा के अस्तित्व को साबित करने के लिए n को "एप्सिलॉन" के रूप में व्यक्त करें। इस स्तर पर, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि "एप्सिलॉन" और "एन" सकारात्मक संख्याएं हैं और शून्य के बराबर नहीं हैं। अब आप हाई स्कूल में प्राप्त असमानताओं के बारे में ज्ञान का उपयोग करके आगे परिवर्तन जारी रख सकते हैं। जहाँ से यह पता चलता है कि n > -3 + 1/ε। चूँकि यह याद रखने योग्य है कि हम प्राकृतिक संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, परिणाम को वर्गाकार कोष्ठक में रखकर पूर्णांकित किया जा सकता है। इस प्रकार, यह सिद्ध हो गया कि बिंदु a = 0 के "एप्सिलॉन" पड़ोस के किसी भी मान के लिए, एक मान ऐसा पाया गया कि प्रारंभिक असमानता संतुष्ट हो जाती है। इससे हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि संख्या a दिए गए अनुक्रम की सीमा है। क्यू.ई.डी. ऐसी सुविधाजनक विधि से, आप संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा सिद्ध कर सकते हैं, भले ही यह पहली नज़र में कितना भी जटिल क्यों न लगे। मुख्य बात यह है कि कार्य को देखकर घबराना नहीं है। व्यवहार में अनुक्रम सीमा का अस्तित्व आवश्यक नहीं है। संख्याओं की ऐसी श्रृंखला खोजना आसान है जिसका वास्तव में कोई अंत नहीं है। उदाहरण के लिए, वही फ़्लैशर x n = (-1) n . यह स्पष्ट है कि चक्रीय रूप से दोहराए जाने वाले केवल दो अंकों वाले अनुक्रम की कोई सीमा नहीं हो सकती। एक ही कहानी को एकल संख्या, आंशिक, वाले अनुक्रमों के साथ दोहराया जाता है, जिसमें गणना के दौरान किसी भी क्रम (0/0, ∞/∞, ∞/0, आदि) की अनिश्चितता होती है। हालाँकि, यह याद रखना चाहिए कि गलत गणना भी होती है। कभी-कभी अपने स्वयं के समाधान की दोबारा जांच करने से आपको उत्तराधिकार की सीमा का पता लगाने में मदद मिलेगी। ऊपर, हमने अनुक्रमों के कई उदाहरणों, उन्हें हल करने के तरीकों पर विचार किया, और अब आइए एक अधिक विशिष्ट मामला लेने का प्रयास करें और इसे "मोनोटोन अनुक्रम" कहें। परिभाषा: किसी भी अनुक्रम को नीरस रूप से बढ़ना कहना उचित है यदि वह सख्त असमानता x n को संतुष्ट करता है< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >एक्स एन +1. इन दोनों स्थितियों के साथ-साथ समान गैर-सख्त असमानताएँ भी हैं। तदनुसार, x n ≤ x n +1 (गैर-घटता क्रम) और x n ≥ x n +1 (गैर-बढ़ता क्रम)। लेकिन इसे उदाहरणों से समझना आसान है. सूत्र x n = 2 + n द्वारा दिया गया अनुक्रम संख्याओं की निम्नलिखित श्रृंखला बनाता है: 4, 5, 6, आदि। यह एक नीरस रूप से बढ़ता क्रम है। और यदि हम x n = 1 / n लेते हैं, तो हमें एक श्रृंखला मिलती है: 1/3, ¼, 1/5, आदि। यह एक नीरस रूप से घटता क्रम है। परिबद्ध अनुक्रम एक ऐसा अनुक्रम है जिसकी एक सीमा होती है। अभिसरण अनुक्रम संख्याओं की एक श्रृंखला है जिसकी अनंत सीमा होती है। इस प्रकार, एक परिबद्ध अनुक्रम की सीमा कोई वास्तविक या सम्मिश्र संख्या होती है। याद रखें कि केवल एक ही सीमा हो सकती है। अभिसरण अनुक्रम की सीमा एक अतिसूक्ष्म मात्रा (वास्तविक या जटिल) है। यदि आप एक अनुक्रम आरेख बनाते हैं, तो एक निश्चित बिंदु पर यह, जैसा कि यह था, अभिसरण होगा, एक निश्चित मूल्य में बदल जाएगा। इसलिए नाम - अभिसरण अनुक्रम। ऐसे अनुक्रम की कोई सीमा हो भी सकती है और नहीं भी। सबसे पहले, यह समझना उपयोगी है कि यह कब है, यहां से आप सीमा की अनुपस्थिति को साबित करते समय शुरू कर सकते हैं। मोनोटोनिक अनुक्रमों के बीच, अभिसरण और अपसारी को प्रतिष्ठित किया जाता है। अभिसारी - यह एक अनुक्रम है जो समुच्चय x से बनता है और इस समुच्चय में एक वास्तविक या जटिल सीमा होती है। अपसारी - एक अनुक्रम जिसके सेट में कोई सीमा नहीं है (न तो वास्तविक और न ही जटिल)। इसके अलावा, यदि इसकी ऊपरी और निचली सीमाएं एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व में परिवर्तित होती हैं तो अनुक्रम परिवर्तित हो जाता है। अभिसारी अनुक्रम की सीमा कई मामलों में शून्य के बराबर हो सकती है, क्योंकि किसी भी अतिसूक्ष्म अनुक्रम की एक ज्ञात सीमा (शून्य) होती है। आप चाहे जो भी अभिसरण अनुक्रम लें, वे सभी परिबद्ध हैं, लेकिन सभी परिबद्ध अनुक्रम अभिसरण नहीं करते हैं। दो अभिसारी अनुक्रमों का योग, अंतर, गुणनफल भी एक अभिसारी अनुक्रम है। हालाँकि, यदि भागफल को परिभाषित किया जाए तो वह अभिसरण भी कर सकता है! अनुक्रमों की सीमाएं संख्याओं और संख्याओं के समान महत्वपूर्ण (ज्यादातर मामलों में) मान हैं: 1, 2, 15, 24, 362, आदि। यह पता चलता है कि कुछ ऑपरेशन सीमाओं के साथ किए जा सकते हैं। सबसे पहले, अंकों और संख्याओं की तरह, किसी भी अनुक्रम की सीमाएँ जोड़ी और घटाई जा सकती हैं। अनुक्रमों की सीमा पर तीसरे प्रमेय के आधार पर, निम्नलिखित समानता सत्य है: अनुक्रमों के योग की सीमा उनकी सीमाओं के योग के बराबर है। दूसरे, अनुक्रमों की सीमा पर चौथे प्रमेय के आधार पर, निम्नलिखित समानता सत्य है: अनुक्रमों की nवीं संख्या के उत्पाद की सीमा उनकी सीमाओं के उत्पाद के बराबर है। विभाजन के लिए भी यही सच है: दो अनुक्रमों के भागफल की सीमा उनकी सीमाओं के भागफल के बराबर होती है, बशर्ते कि सीमा शून्य के बराबर न हो। आख़िरकार, यदि अनुक्रमों की सीमा शून्य के बराबर है, तो शून्य से विभाजन निकलेगा, जो असंभव है। ऐसा प्रतीत होता है कि संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा का पहले ही कुछ विस्तार से विश्लेषण किया जा चुका है, लेकिन "असीम रूप से छोटी" और "असीम रूप से बड़ी" संख्याओं जैसे वाक्यांशों का एक से अधिक बार उल्लेख किया गया है। जाहिर है, यदि कोई क्रम 1/x है, जहां x→∞ है, तो ऐसा अंश असीम रूप से छोटा होता है, और यदि समान क्रम है, लेकिन सीमा शून्य (x→0) की ओर जाती है, तो अंश अनंत रूप से बड़ा मान बन जाता है . और ऐसे मूल्यों की अपनी विशेषताएं होती हैं। मनमाने ढंग से छोटे या बड़े मान वाले अनुक्रम की सीमा के गुण इस प्रकार हैं: वास्तव में, यदि आप एक सरल एल्गोरिदम जानते हैं तो अनुक्रम की सीमा की गणना करना इतना मुश्किल काम नहीं है। लेकिन अनुक्रमों की सीमाएं एक ऐसा विषय है जिस पर अधिकतम ध्यान और दृढ़ता की आवश्यकता होती है। निःसंदेह, ऐसी अभिव्यक्तियों के समाधान के सार को समझ लेना ही पर्याप्त है। छोटी शुरुआत करके समय के साथ आप बड़ी ऊंचाइयों तक पहुंच सकते हैं।अनुक्रम की सीमा निर्धारित करना
अनुक्रमों की सीमा के लिए सामान्य संकेतन
सीमा की अनिश्चितता और निश्चितता
पड़ोस क्या है?
प्रमेयों
अनुक्रम प्रमाण
या शायद वह अस्तित्व में ही नहीं है?
मोनोटोनिक अनुक्रम
अभिसारी एवं परिबद्ध अनुक्रम की सीमा
मोनोटोनिक अनुक्रम सीमा
सीमा के साथ विभिन्न क्रियाएं
अनुक्रम मान गुण