स्कूली बच्चों के अनुसंधान और रचनात्मक कार्यों की नगर प्रतियोगिता
"विज्ञान की ओर कदम"
गणित का अनुभाग
विषय: तर्कहीन समाधान के लिए गैर-मानक तरीके
समीकरण.
नुज़दीना मारिया, MAOU माध्यमिक विद्यालय №2
ग्रेड 10, करीमस्को गांव
वैज्ञानिक सलाहकार: वासिलीवा ऐलेना वेलेरिवेना,
गणित शिक्षक
MAOU माध्यमिक विद्यालय नंबर 2, Karymskoye गांव
निपटान Karymskoe, 2013
सार……………………………………………………………….3
अध्ययन योजना………………………………………………………………………………………………..4-5
कार्य का वर्णन:
§1. अपरिमेय समीकरणों को हल करने की बुनियादी तकनीकें………………6-9
§2. अज्ञात को प्रतिस्थापित करने की विधि द्वारा अपरिमेय समीकरणों को हल करना...10-14
§3. अपरिमेय समीकरणों को मापांक ………….15-17 में घटा दिया गया
§4. गुणनखंडीकरण………………………………………………..18-19
§5. फॉर्म के समीकरण …………………………………20-22
§6. अपरिमेय समीकरणों में ज्यामितीय माध्य प्रमेय
; ……………………………23-24
4) सन्दर्भ………………………………………………25
एनोटेशन.
हमारे शोध कार्य का विषय: "तर्कहीन समीकरणों को हल करने के लिए गैर-मानक तरीके।"
कार्य करते समय, यह आवश्यक था: समाधान के विभिन्न तरीकों की तुलना करें; सार्वजनिक से निजी तरीकों की ओर बढ़ना, और इसके विपरीत; दिए गए बयानों पर बहस करें और उन्हें साबित करें; विभिन्न स्रोतों से एकत्र की गई जानकारी का अध्ययन और सारांश बनाना। इस संबंध में, अनुसंधान गतिविधि के निम्नलिखित तरीकों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: अनुभवजन्य; तार्किक और सैद्धांतिक (अनुसंधान); क्रमशः; प्रजनन और अनुमानी;
किए गए कार्य के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित परिणाम और निष्कर्ष:
अपरिमेय समीकरणों को हल करने की कई तरकीबें हैं;
सभी अपरिमेय समीकरणों को मानक युक्तियों का उपयोग करके हल नहीं किया जाता है;
हमने उन बारंबार प्रतिस्थापनों का अध्ययन किया है जिनके द्वारा जटिल अपरिमेय समीकरणों को सरलतम में बदल दिया जाता है;
हमने अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए गैर-मानक तरीकों पर विचार किया
विषय: "अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए गैर-मानक तरीके"
नुज़दीना एम.पी., ट्रांस-बाइकाल टेरिटरी, करीमस्कॉय बस्ती, एमएओयू माध्यमिक विद्यालय नंबर 2, ग्रेड 10।
अनुसंधान योजना।
वस्तु क्षेत्रजिस पर हम शोध कर रहे हैं वह बीजगणित है। एक वस्तु शोध करना- समीकरणों का समाधान. कई समीकरणों में से, हमने अपरिमेय समीकरणों पर विचार किया - वस्तुहमारा शोध।
बीजगणित के स्कूली पाठ्यक्रम में, हल करने के लिए केवल मानक तरीकों और तकनीकों (एक शक्ति और सरल प्रतिस्थापन तकनीकों तक बढ़ाए गए) पर विचार किया जाता है। लेकिन शोध की प्रक्रिया में, यह पता चला कि ऐसे तर्कहीन समीकरण हैं जिन्हें हल करने के लिए मानक तकनीकें और विधियां पर्याप्त नहीं हैं। ऐसे समीकरणों को अन्य, अधिक तर्कसंगत तरीकों का उपयोग करके हल किया जाता है।
इसलिए, हमारा मानना है कि समाधान के ऐसे तरीकों का अध्ययन एक आवश्यक और दिलचस्प काम है।
शोध की प्रक्रिया में, यह पता चला कि बहुत सारे अपरिमेय समीकरण हैं और उन्हें प्रकार और विधियों के अनुसार समूहित करना समस्याग्रस्त है।
उद्देश्यअनुसंधान अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीकों का अध्ययन और व्यवस्थितकरण है।
परिकल्पना: यदि आप अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए गैर-मानक तरीके जानते हैं, तो इससे एकीकृत राज्य परीक्षा के कुछ ओलंपियाड और परीक्षण कार्यों के प्रदर्शन की गुणवत्ता में सुधार होगा।
निर्धारित लक्ष्यों को प्राप्त करने और परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए निम्नलिखित को हल करना आवश्यक है कार्य:
अपरिमेय समीकरणों के प्रकारों का वर्णन करें।
समाधान के प्रकारों और तरीकों के बीच संबंध स्थापित करें।
ODZ की जाँच करने और खोजने के मूल्य का आकलन करें।
अपरिमेय समीकरणों (ज्यामितीय माध्य प्रमेय, कार्यों की एकरसता गुण) को हल करते समय गैर-मानक मामलों पर विचार करें।
अध्ययन के दौरान, M.I.Skanavi, I.F.Sharygin, O.Yu.Cherkasov, A.N.Rurukin, I.T. मेथडिकल जर्नल "स्कूल में गणित" जैसे लेखकों द्वारा बहुत सारी पाठ्यपुस्तकें प्रकाशित की गईं।
विषय: "अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए गैर-मानक तरीके"
नुज़दीना एम.पी., ट्रांस-बाइकाल टेरिटरी, करीमस्कॉय बस्ती, एमएओयू माध्यमिक विद्यालय नंबर 2, ग्रेड 10।
कार्य का वर्णन।
§1 अपरिमेय समीकरणों को हल करने की बुनियादी तकनीकें
समीकरण y(x)=0 अपरिमेय है यदि फ़ंक्शन y(x) में किसी अज्ञात मान x के मूल हों या ऐसे भाव हों जो x पर निर्भर हों।
कई अपरिमेय समीकरणों को केवल मूल की अवधारणाओं और समीकरण (ओडीवी) के अनुमेय मूल्यों की सीमा के आधार पर हल किया जा सकता है, लेकिन अन्य विधियां भी हैं, जिनमें से कुछ पर पेपर में चर्चा की जाएगी।
अपरिमेय समीकरणों को हल करने की मुख्य तकनीक मूल समीकरण के एक भाग को एकांत में रखना माना जाता है, इसके बाद समीकरण के दोनों भागों को उचित डिग्री तक बढ़ाया जाता है। यदि ऐसे अनेक मूलांक हैं तो समीकरण को मूल घात तक बार-बार उठाना होगा, वैसे इस बात का ध्यान रखने की आवश्यकता नहीं है कि एकान्त मूलांक चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति गैर-ऋणात्मक हो।
हालाँकि, जब इसे सम घात तक बढ़ाया जाता है, तो बाहरी जड़ें प्रकट हो सकती हैं, यानी ऐसी जड़ें जो मूल समीकरण का समाधान नहीं हैं।
इसलिए, ऐसे समाधान का उपयोग करते समय, जड़ों की जांच की जानी चाहिए और बाहरी जड़ों को हटा दिया जाना चाहिए, इस मामले में जांच समाधान का एक तत्व है और उन मामलों में भी आवश्यक है जहां अतिरिक्त जड़ें दिखाई नहीं देती हैं, लेकिन समाधान का कोर्स था इस प्रकार कि वे प्रकट हो सकें। दूसरी ओर, कभी-कभी यह साबित करने की तुलना में जांच करना आसान होता है कि यह आवश्यक है।
आइए कुछ उदाहरण देखें:
उत्तर: कोई जड़ नहीं
- बाहरी जड़
इन उदाहरणों में, हमने अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए मानक तरीकों को देखा (दोनों पक्षों को एक घात तक बढ़ाना और जड़ों की जाँच करना)।
हालाँकि, कई अपरिमेय समीकरणों को हल किया जा सकता है
केवल समीकरण के मूल और ODZ की अवधारणाओं पर आधारित।
चूँकि समीकरण में केवल सम-डिग्री रेडिकल शामिल हैं, यह असमानताओं की प्रणाली को हल करने के लिए पर्याप्त है।
3x -2x 2 +5 ≥0 (ODZ समीकरण शर्तें)
4x 2 -26x +40 ≥0
असमानताओं की इस प्रणाली को हल करने पर, हमें मिलता है:
x € जहां x = 2.5.
x € (-∞ ; 2.5] ᴗ )