इस गणितीय कार्यक्रम का उपयोग करके, आप प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि का उपयोग करके दो चर वाले दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं।

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि दो तरीकों से समाधान चरणों के स्पष्टीकरण के साथ एक विस्तृत समाधान भी प्रदान करता है: प्रतिस्थापन विधि और अतिरिक्त विधि।

यह कार्यक्रम सामान्य शिक्षा स्कूलों में हाई स्कूल के छात्रों के लिए परीक्षणों और परीक्षाओं की तैयारी करते समय, एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय और माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए उपयोगी हो सकता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क यथाशीघ्र पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधानों के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार, आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपने छोटे भाई-बहनों का प्रशिक्षण संचालित कर सकते हैं, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ता है।

समीकरण दर्ज करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), आदि।

समीकरण दर्ज करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं. इस मामले में, समीकरणों को पहले सरलीकृत किया जाता है। सरलीकरण के बाद समीकरण रैखिक होने चाहिए, अर्थात तत्वों के क्रम की सटीकता के साथ फॉर्म ax+by+c=0 का।
उदाहरण के लिए: 6x+1 = 5(x+y)+2

समीकरणों में, आप न केवल पूर्ण संख्याओं का उपयोग कर सकते हैं, बल्कि दशमलव और साधारण भिन्न के रूप में भिन्नों का भी उपयोग कर सकते हैं।

दशमलव भिन्न दर्ज करने के नियम.
दशमलव भिन्नों में पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अवधि या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए: 2.1n + 3.5m = 55

साधारण भिन्न दर्ज करने के नियम.
केवल एक पूर्ण संख्या ही भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।
हर ऋणात्मक नहीं हो सकता.
एक संख्यात्मक भिन्न दर्ज करते समय, अंश को हर से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
संपूर्ण भाग को एम्परसेंड चिन्ह द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है: &

उदाहरण।
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1पी + 55 = -2/7(3.5पी - 2&1/8क्यू)

समीकरणों की प्रणाली को हल करें

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं की गईं, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
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अगर आप समाधान में एक त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
भूलना नहीं बताएं कि कौन सा कार्य हैआप तय करें क्या फ़ील्ड में प्रवेश करें.

हमारे गेम, पहेलियाँ, एमुलेटर:

थोड़ा सिद्धांत.

रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रणालियाँ। प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
1) सिस्टम के कुछ समीकरण से एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करें;
2) परिणामी अभिव्यक्ति को इस चर के बजाय सिस्टम के किसी अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करें;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

आइए पहले समीकरण से y को x के संदर्भ में व्यक्त करें: y = 7-3x। दूसरे समीकरण में y के स्थान पर व्यंजक 7-3x को प्रतिस्थापित करने पर, हमें सिस्टम प्राप्त होता है:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

यह दिखाना आसान है कि पहली और दूसरी प्रणाली के समाधान समान हैं। दूसरी प्रणाली में, दूसरे समीकरण में केवल एक चर होता है। आइए इस समीकरण को हल करें:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \दायाँ तीर -5x+14-6x=3 \दायाँ तीर -11x=-11 \दायाँ तीर x=1 $$

समानता y=7-3x में x के बजाय संख्या 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हम y का संगत मान पाते हैं:
$$ y=7-3 \cdot 1 \दायाँ तीर y=4 $$

जोड़ी (1;4) - सिस्टम का समाधान

दो चरों वाले समीकरणों के निकाय जिनका समाधान समान हो, कहलाते हैं समकक्ष. जिन प्रणालियों में समाधान नहीं है उन्हें भी समतुल्य माना जाता है।

जोड़ द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

आइए रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के दूसरे तरीके पर विचार करें - जोड़ विधि। इस तरह से सिस्टम को हल करते समय, साथ ही प्रतिस्थापन द्वारा हल करते समय, हम इस सिस्टम से दूसरे, समकक्ष सिस्टम में जाते हैं, जिसमें समीकरणों में से एक में केवल एक चर होता है।

जोड़ विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
1) सिस्टम के समीकरणों को पद दर पद गुणा करें, कारकों का चयन करें ताकि किसी एक चर के गुणांक विपरीत संख्याएं बन जाएं;
2) सिस्टम समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों को शब्द दर शब्द जोड़ें;
3) परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करें;
4) दूसरे वेरिएबल का संगत मान ज्ञात करें।

उदाहरण। आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

इस प्रणाली के समीकरणों में, y के गुणांक विपरीत संख्याएँ हैं। समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों को पद दर पद जोड़ने पर, हमें एक चर 3x=33 वाला एक समीकरण प्राप्त होता है। आइए सिस्टम के समीकरणों में से एक को, उदाहरण के लिए पहले वाले, समीकरण 3x=33 से बदलें। आइए सिस्टम प्राप्त करें
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

समीकरण 3x=33 से हम पाते हैं कि x=11. इस x मान को समीकरण \(x-3y=38\) में प्रतिस्थापित करने पर हमें चर y: \(11-3y=38\) वाला एक समीकरण मिलता है। आइए इस समीकरण को हल करें:
\(-3y=27 \दायां तीर y=-9 \)

इस प्रकार, हमने जोड़ द्वारा समीकरणों की प्रणाली का समाधान पाया: \(x=11; y=-9\) या \((11;-9)\)

इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि सिस्टम के समीकरणों में y के लिए गुणांक विपरीत संख्याएं हैं, हमने इसके समाधान को एक समतुल्य प्रणाली के समाधान में बदल दिया (मूल प्रणाली के प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों को जोड़कर), जिसमें एक समीकरणों में केवल एक चर होता है।

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जोड़ विधि का उपयोग करके, किसी प्रणाली के समीकरणों को पद दर पद जोड़ा जाता है, और 1 या दोनों (कई) समीकरणों को किसी भी संख्या से गुणा किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, वे एक समतुल्य SLE पर आते हैं, जहां एक समीकरण में केवल एक चर होता है।

सिस्टम को हल करने के लिए पद-दर-पद जोड़ने (घटाने) की विधिइन चरणों का पालन करें:

1. एक वेरिएबल का चयन करें जिसके लिए समान गुणांक बनाए जाएंगे।

2. अब आपको समीकरणों को जोड़ना या घटाना होगा और एक चर वाला समीकरण प्राप्त करना होगा।

सिस्टम समाधान- ये फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 1।

दी गई प्रणाली:

इस प्रणाली का विश्लेषण करने पर, आप देख सकते हैं कि चर के गुणांक परिमाण में समान और चिह्न (-1 और 1) में भिन्न हैं। इस मामले में, समीकरणों को पद दर पद आसानी से जोड़ा जा सकता है:

हम अपने मन में लाल रंग से घेरे हुए कार्य करते हैं।

पद-दर-पद योग का परिणाम चर का लुप्त होना था य. विधि का ठीक यही अर्थ है - किसी एक चर से छुटकारा पाना।

-4 - य + 5 = 0 → य = 1,

सिस्टम रूप में, समाधान कुछ इस तरह दिखता है:

उत्तर: एक्स = -4 , य = 1.

उदाहरण 2.

दी गई प्रणाली:

इस उदाहरण में, आप "स्कूल" पद्धति का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन इसका एक बड़ा नुकसान है - जब आप किसी भी समीकरण से किसी भी चर को व्यक्त करते हैं, तो आपको साधारण अंशों में एक समाधान मिलेगा। लेकिन भिन्नों को हल करने में बहुत समय लगता है और गलतियाँ होने की संभावना बढ़ जाती है।

इसलिए, समीकरणों के पद-दर-पद जोड़ (घटाव) का उपयोग करना बेहतर है। आइए संबंधित चर के गुणांकों का विश्लेषण करें:

आपको एक ऐसी संख्या ढूंढनी होगी जिससे विभाजित किया जा सके 3 और पर 4 , और यह आवश्यक है कि यह संख्या यथासंभव न्यूनतम हो। यह न्यूनतम समापवर्तक. यदि आपके लिए सही संख्या ढूँढ़ना कठिन है, तो आप गुणांकों को गुणा कर सकते हैं:।

अगला कदम:

हम पहले समीकरण को इससे गुणा करते हैं,

हम तीसरे समीकरण को इससे गुणा करते हैं,

OGBOU "स्मोलेंस्क में विशेष शैक्षिक आवश्यकताओं वाले बच्चों के लिए शिक्षा केंद्र"

दूरस्थ शिक्षा केन्द्र

सातवीं कक्षा में बीजगणित का पाठ

पाठ विषय: बीजगणितीय जोड़ की विधि।

1. 1. पाठ प्रकार: नवीन ज्ञान की प्रारंभिक प्रस्तुति का पाठ।

पाठ का उद्देश्य: प्रतिस्थापन की विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में ज्ञान और कौशल के अधिग्रहण के स्तर को नियंत्रित करना; जोड़ का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए कौशल और क्षमताएं विकसित करना।

पाठ मकसद:

विषय: जोड़ विधि का उपयोग करके दो चर वाले समीकरणों की प्रणालियों को हल करना सीखें।

मेटाविषय: संज्ञानात्मक यूयूडी: विश्लेषण करें (मुख्य बात पर प्रकाश डालें), अवधारणाओं को परिभाषित करें, सामान्यीकरण करें, निष्कर्ष निकालें। नियामक यूयूडी: शैक्षिक गतिविधियों में लक्ष्य, समस्या निर्धारित करें। संचारी यूयूडी: कारण बताते हुए अपनी राय व्यक्त करें। व्यक्तिगत यूयूडी: एफसीखने के लिए सकारात्मक प्रेरणा बनाना, पाठ और विषय के प्रति छात्र का सकारात्मक भावनात्मक दृष्टिकोण बनाना।

कार्य का स्वरूप: व्यक्तिगत

पाठ चरण:

1) संगठनात्मक चरण.

इस विषय की सोच और समझ की अखंडता के प्रति दृष्टिकोण बनाकर विषय पर छात्र के काम को व्यवस्थित करें।

2. होमवर्क के लिए दी गई सामग्री पर छात्र से प्रश्न पूछना, ज्ञान को अद्यतन करना।

उद्देश्य: होमवर्क के दौरान प्राप्त छात्र के ज्ञान का परीक्षण करना, त्रुटियों की पहचान करना और गलतियों पर काम करना। पिछले पाठ की सामग्री की समीक्षा करें।

3. नई सामग्री का अध्ययन.

1). जोड़ विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की क्षमता विकसित करना;

2). नई स्थितियों में मौजूदा ज्ञान का विकास और सुधार करना;

3). नियंत्रण और आत्म-नियंत्रण कौशल विकसित करें, स्वतंत्रता विकसित करें।

http://zhaculina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

लक्ष्य: दृष्टि बनाए रखना, कक्षा में काम करते समय आंखों की थकान दूर करना।

5. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन

उद्देश्य: पाठ में अर्जित ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का परीक्षण करना

6. पाठ सारांश, गृहकार्य के बारे में जानकारी, चिंतन।

पाठ प्रगति (इलेक्ट्रॉनिक Google दस्तावेज़ में काम करना):

1. आज मैं पाठ की शुरुआत वाल्टर की दार्शनिक पहेली से करना चाहता था।

सबसे तेज़, लेकिन सबसे धीमा, सबसे बड़ा, लेकिन सबसे छोटा, सबसे लंबा और सबसे छोटा, सबसे महंगा, लेकिन हमारे लिए सबसे सस्ता मूल्य क्या है?

समय

आइए इस विषय पर बुनियादी अवधारणाओं को याद रखें:

हमारे सामने दो समीकरणों की एक प्रणाली है।

आइए याद करें कि पिछले पाठ में हमने समीकरणों की प्रणालियों को कैसे हल किया था।

प्रतिस्थापन विधि

एक बार फिर, हल की गई प्रणाली पर ध्यान दें और मुझे बताएं कि हम प्रतिस्थापन विधि का सहारा लिए बिना प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को हल क्यों नहीं कर सकते?

क्योंकि ये दो चर वाले सिस्टम के समीकरण हैं। हम केवल एक चर वाले समीकरणों को हल कर सकते हैं।

केवल एक चर वाला समीकरण प्राप्त करके ही हम समीकरणों की प्रणाली को हल करने में सक्षम थे।

3. हम निम्नलिखित प्रणाली को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं:

आइए एक ऐसा समीकरण चुनें जिसमें एक चर को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना सुविधाजनक हो।

ऐसा कोई समीकरण नहीं है.

वे। इस स्थिति में, पहले अध्ययन की गई विधि हमारे लिए उपयुक्त नहीं है। इस स्थिति से निकलने का रास्ता क्या है?

एक नई विधि खोजें.

आइए पाठ का उद्देश्य तैयार करने का प्रयास करें।

नई पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना सीखें।

नई पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करने का तरीका सीखने के लिए हमें क्या करने की आवश्यकता है?

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए नियम (एल्गोरिदम) जानें, व्यावहारिक कार्यों को पूरा करें

आइए एक नई पद्धति विकसित करना शुरू करें।

पहली प्रणाली को हल करने के बाद हमने जो निष्कर्ष निकाला उस पर ध्यान दें। एक चर के साथ एक रैखिक समीकरण प्राप्त करने के बाद ही सिस्टम को हल करना संभव था।

समीकरणों की प्रणाली को देखें और सोचें कि दो दिए गए समीकरणों में से एक चर वाला एक समीकरण कैसे प्राप्त किया जाए।

समीकरण जोड़ें.

समीकरण जोड़ने का क्या मतलब है?

समीकरणों के बाएँ पक्षों का योग, दाएँ पक्षों का योग अलग-अलग लिखें और परिणामी योग को बराबर करें।

आओ कोशिश करते हैं। हम मेरे साथ मिलकर काम करते हैं.

13x+14x+17y-17y=43+11

हमने एक चर वाला एक रैखिक समीकरण प्राप्त किया है।

क्या आपने समीकरणों की प्रणाली को हल कर लिया है?

सिस्टम का समाधान संख्याओं की एक जोड़ी है।

आपको कैसे खोजें?

सिस्टम समीकरण में x के पाए गए मान को प्रतिस्थापित करें।

क्या इससे कोई फ़र्क पड़ता है कि हम x का मान किस समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं?

इसका मतलब यह है कि x का पाया गया मान प्रतिस्थापित किया जा सकता है...

सिस्टम का कोई समीकरण.

हम एक नई विधि से परिचित हुए - बीजगणितीय जोड़ की विधि।

सिस्टम को हल करते समय, हमने इस पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करने के लिए एल्गोरिदम पर चर्चा की।

हमने एल्गोरिदम की समीक्षा की है. आइए अब इसे समस्या समाधान पर लागू करें।

समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की क्षमता व्यवहार में उपयोगी हो सकती है।

आइए समस्या पर विचार करें:

फार्म में मुर्गियाँ और भेड़ें हैं। यदि दोनों के कुल मिलाकर 19 सिर और 46 पैर हैं तो उनमें से कितने हैं?

यह जानते हुए कि कुल मिलाकर 19 मुर्गियाँ और भेड़ें हैं, आइए पहला समीकरण बनाएँ: x + y = 19

4x - भेड़ के पैरों की संख्या

2у - मुर्गियों में पैरों की संख्या

यह जानते हुए कि केवल 46 पैर हैं, आइए दूसरा समीकरण बनाएं: 4x + 2y = 46

आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं:

आइए जोड़ विधि का उपयोग करके समाधान एल्गोरिदम का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें।

संकट! x और y के सामने के गुणांक न तो बराबर हैं और न ही विपरीत! क्या करें?

आइए एक और उदाहरण देखें!

आइए अपने एल्गोरिदम में एक और कदम जोड़ें और इसे पहले स्थान पर रखें: यदि चर के सामने गुणांक समान नहीं हैं और विपरीत नहीं हैं, तो हमें कुछ चर के लिए मॉड्यूल को बराबर करने की आवश्यकता है! और फिर हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करेंगे।

4. आंखों के लिए इलेक्ट्रॉनिक शारीरिक प्रशिक्षण: http://zhaculina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. हम बीजगणितीय जोड़ की विधि का उपयोग करके समस्या को पूरा करते हैं, नई सामग्री को समेकित करते हैं और पता लगाते हैं कि खेत में कितनी मुर्गियां और भेड़ें थीं।

अतिरिक्त काम:

6.

प्रतिबिंब।

मैं कक्षा में अपने काम के लिए एक ग्रेड देता हूँ -...

6. प्रयुक्त इंटरनेट संसाधन:

शिक्षा के लिए Google सेवाएँ

गणित शिक्षक सोकोलोवा एन.एन.

दो अज्ञात वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दो या दो से अधिक रैखिक समीकरण हैं जिनके लिए उनके सभी सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। हम दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करेंगे। दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का सामान्य दृश्य नीचे दिए गए चित्र में प्रस्तुत किया गया है:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

यहाँ x और y अज्ञात चर हैं, a1, a2, b1, b2, c1, c2 कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं। दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं (x,y) की एक जोड़ी है, जैसे कि यदि हम इन संख्याओं को प्रणाली के समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं, तो प्रणाली का प्रत्येक समीकरण वास्तविक समानता में बदल जाता है। रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के कई तरीके हैं। आइए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के तरीकों में से एक पर विचार करें, अर्थात् जोड़ विधि।

जोड़ विधि द्वारा हल करने के लिए एल्गोरिदम

जोड़ विधि का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम।

1. यदि आवश्यक हो, समतुल्य परिवर्तनों के माध्यम से, दोनों समीकरणों में अज्ञात चर में से एक के गुणांक को बराबर करें।

2. परिणामी समीकरणों को जोड़कर या घटाकर, एक अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण प्राप्त करें

3. एक अज्ञात के साथ परिणामी समीकरण को हल करें और एक चर खोजें।

4. परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के दो समीकरणों में से किसी एक में रखें और इस समीकरण को हल करें, इस प्रकार दूसरा चर प्राप्त करें।

5. समाधान की जाँच करें.

जोड़ विधि का उपयोग करके समाधान का एक उदाहरण

अधिक स्पष्टता के लिए, आइए हम जोड़ विधि का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

चूँकि किसी भी चर के गुणांक समान नहीं हैं, हम चर y के गुणांकों को बराबर करते हैं। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को तीन से और दूसरे समीकरण को दो से गुणा करें।

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

हम पाते हैं समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

अब हम दूसरे समीकरण से पहले को घटाते हैं। हम समान पद प्रस्तुत करते हैं और परिणामी रैखिक समीकरण को हल करते हैं।

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

हम परिणामी मान को अपनी मूल प्रणाली के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी समीकरण को हल करते हैं।

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

परिणाम संख्याओं x=6 और y=14 की एक जोड़ी है। हम जाँच कर रहे हैं। आइए एक प्रतिस्थापन करें.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें दो सही समानताएँ मिलीं, इसलिए, हमें सही समाधान मिला।