מהו הקוסינוס של זווית חדה של משולש ישר זווית. משולש ישר זווית: סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט של זווית

אחד מענפי המתמטיקה איתם מתמודדים תלמידי בית הספר עם הקשיים הגדולים ביותר הוא הטריגונומטריה. לא פלא: כדי לשלוט בחופשיות בתחום הידע הזה, אתה צריך חשיבה מרחבית, היכולת למצוא סינוסים, קוסינוסים, טנג'נסים, קוטנגנטים באמצעות נוסחאות, לפשט ביטויים ולהיות מסוגלים להשתמש במספר pi בחישובים. בנוסף, אתה צריך להיות מסוגל ליישם טריגונומטריה בעת הוכחת משפטים, וזה דורש או זיכרון מתמטי מפותח או יכולת להסיק שרשראות לוגיות מורכבות.

מקורות הטריגונומטריה

היכרות עם המדע הזה צריכה להתחיל בהגדרת הסינוס, הקוסינוס והטנגנס של הזווית, אבל קודם כל צריך להבין מה עושה טריגונומטריה באופן כללי.

מבחינה היסטורית, משולשים ישרים זוויות היו מושא המחקר העיקרי בחלק זה של מדע מתמטי. הנוכחות של זווית של 90 מעלות מאפשרת לבצע פעולות שונות המאפשרות לקבוע את הערכים של כל הפרמטרים של הדמות הנבדקת באמצעות שני צדדים וזווית אחת או שתי זוויות וצד אחד. בעבר אנשים שמו לב לדפוס הזה והחלו להשתמש בו באופן פעיל בבניית מבנים, ניווט, אסטרונומיה ואפילו אמנות.

במה ראשונה

בתחילה, אנשים דיברו על הקשר של זוויות וצלעות אך ורק בדוגמה של משולשים ישרים. אז התגלו נוסחאות מיוחדות שאפשרו להרחיב את גבולות השימוש בחיי היומיום של קטע זה של המתמטיקה.

לימודי הטריגונומטריה בבית הספר כיום מתחילים במשולשים ישרים, ולאחר מכן הידע הנרכש משמש את התלמידים בפיזיקה ובפתרון משוואות טריגונומטריות מופשטות, שהעבודה איתה מתחילה בתיכון.

טריגונומטריה כדורית

מאוחר יותר, כשהמדע הגיע לשלב הבא של התפתחות, החלו להשתמש בנוסחאות עם סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט בגיאומטריה כדורית, שבה חלים כללים אחרים, וסכום הזוויות במשולש הוא תמיד יותר מ-180 מעלות. חלק זה לא נלמד בבית הספר, אבל יש צורך לדעת על קיומו, לפחות מכיוון שפני כדור הארץ, וכל פני כוכב לכת אחר, קמורים, כלומר כל סימון פני השטח יהיה "בצורת קשת" ב. מרחב תלת מימדי.

קח את הגלובוס והחוט. חבר את החוט לכל שתי נקודות על הגלובוס כך שיהיה מתוח. שימו לב - הוא קיבל צורה של קשת. עם צורות כאלה עוסקת גיאומטריה כדורית, המשמשת בגיאודזיה, אסטרונומיה ותחומים תיאורטיים ויישומיים אחרים.

משולש ישר זווית

לאחר שלמדנו מעט על דרכי השימוש בטריגונומטריה, נחזור לטריגונומטריה הבסיסית על מנת להבין יותר מהם סינוס, קוסינוס, טנג'נס, אילו חישובים ניתן לבצע בעזרתם ובאילו נוסחאות להשתמש.

הצעד הראשון הוא להבין את המושגים הקשורים למשולש ישר זווית. ראשית, התחתון הוא הצלע המנוגדת לזווית של 90 מעלות. היא הכי ארוכה. אנו זוכרים שלפי משפט פיתגורס ערכו המספרי שווה לשורש סכום הריבועים של שתי הצלעות האחרות.

לדוגמה, אם שתי צלעות הן 3 ו-4 סנטימטרים בהתאמה, אורך התחתון יהיה 5 סנטימטרים. אגב, המצרים הקדמונים ידעו על כך לפני כארבעה וחצי אלף שנה.

שתי הצלעות הנותרות היוצרות זווית ישרה נקראות רגליים. בנוסף, עלינו לזכור שסכום הזוויות במשולש במערכת קואורדינטות מלבנית הוא 180 מעלות.

הַגדָרָה

לבסוף, עם הבנה מוצקה של הבסיס הגיאומטרי, נוכל לפנות להגדרת הסינוס, הקוסינוס והטנגנס של זווית.

הסינוס של זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית (כלומר הצלע המנוגדת לזווית הרצויה) לבין התחתון. הקוסינוס של זווית הוא היחס בין הרגל הסמוכה לתחתית.

זכור שלא סינוס ולא קוסינוס יכולים להיות גדולים מאחד! למה? מכיוון שהתחתון הוא כברירת מחדל הארוך ביותר, לא משנה כמה אורך הרגל, הוא יהיה קצר יותר מהתחתון, מה שאומר שהיחס שלהם תמיד יהיה פחות מאחד. לפיכך, אם אתה מקבל סינוס או קוסינוס עם ערך גדול מ-1 בתשובה לבעיה, חפש שגיאה בחישובים או בנימוקים. ברור שהתשובה הזו שגויה.

לבסוף, הטנגנס של זווית הוא היחס בין הצלע הנגדי לצלע הסמוכה. אותה תוצאה תיתן את חלוקת הסינוס בקוסינוס. תראה: בהתאם לנוסחה נחלק את אורך הצלע בתחתית, לאחר מכן נחלק באורך הצלע השניה ומכפילים בתחתית. לפיכך, אנו מקבלים את אותו יחס כמו בהגדרה של משיק.

הקוטנגנט, בהתאמה, הוא היחס בין הצד הסמוך לפינה לצד הנגדי. אנו מקבלים את אותה תוצאה על ידי חלוקת היחידה בטנגנס.

אז שקלנו את ההגדרות של מה הם סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, ואנחנו יכולים להתמודד עם נוסחאות.

הנוסחאות הפשוטות ביותר

בטריגונומטריה אי אפשר בלי נוסחאות - איך למצוא סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט בלעדיהם? וזה בדיוק מה שנדרש כשפותרים בעיות.

הנוסחה הראשונה שאתה צריך לדעת כשאתה מתחיל ללמוד טריגונומטריה אומרת שסכום הריבועים של הסינוס והקוסינוס של זווית שווה לאחד. נוסחה זו היא תוצאה ישירה של משפט פיתגורס, אך היא חוסכת זמן אם אתה רוצה לדעת את ערך הזווית, לא הצלע.

תלמידים רבים אינם זוכרים את הנוסחה השנייה, שגם היא פופולרית מאוד בעת פתרון בעיות בית ספר: סכום האחד וריבוע הטנגנס של זווית שווה לאחד חלקי ריבוע הקוסינוס של הזווית. תסתכל מקרוב: אחרי הכל, זו אותה אמירה כמו בנוסחה הראשונה, רק שני הצדדים של הזהות חולקו בריבוע של הקוסינוס. מסתבר שפעולה מתמטית פשוטה הופכת את הנוסחה הטריגונומטרית לבלתי ניתנת לזיהוי לחלוטין. זכרו: בידיעה מה הם סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, כללי ההמרה וכמה נוסחאות בסיסיות, תוכלו בכל עת לגזור באופן עצמאי את הנוסחאות המורכבות יותר הנדרשות על דף נייר.

נוסחאות זווית כפולה והוספת ארגומנטים

שתי נוסחאות נוספות שאתה צריך ללמוד קשורות לערכים של הסינוס והקוסינוס עבור הסכום וההפרש של הזוויות. הם מוצגים באיור למטה. שימו לב שבמקרה הראשון, הסינוס והקוסינוס מוכפלים בשתי הפעמים, ובמקרה השני מתווסף המכפלה הזוגית של הסינוס והקוסינוס.

יש גם נוסחאות הקשורות לארגומנטים של זווית כפולה. הם נגזרים לחלוטין מהקודמים - כתרגול, נסו להשיג אותם בעצמכם, קחו את זווית האלפא השווה לזווית הבטא.

לבסוף, שימו לב שניתן להמיר את נוסחאות הזווית הכפולה כדי להוריד את מידת הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס אלפא.

משפטים

שני המשפטים העיקריים בטריגונומטריה הבסיסית הם משפט הסינוס ומשפט הקוסינוס. בעזרת משפטים אלה, אתה יכול להבין בקלות כיצד למצוא את הסינוס, הקוסינוס והטנגנס, ולכן את שטח הדמות, וגודל כל צד וכו'.

משפט הסינוס קובע שכתוצאה מחלוקת אורך כל אחת מצלעות המשולש בערך הזווית הנגדית, נקבל את אותו מספר. יתר על כן, מספר זה יהיה שווה לשני רדיוסים של המעגל המוקף, כלומר המעגל המכיל את כל נקודות המשולש הנתון.

משפט הקוסינוס מכליל את משפט פיתגורס, ומקרין אותו על כל משולשים. מסתבר שמסכום הריבועים של שתי הצלעות יש להחסיר את המכפלה שלהן כפול הקוסינוס הכפול של הזווית הסמוכה להן - הערך המתקבל יהיה שווה לריבוע הצלע השלישית. לפיכך, מסתבר שמשפט פיתגורס הוא מקרה מיוחד של משפט הקוסינוס.

טעויות עקב חוסר תשומת לב

אפילו לדעת מה הם סינוס, קוסינוס וטנג'נס, קל לטעות בגלל היעדר דעת או טעות בחישובים הפשוטים ביותר. כדי להימנע מטעויות כאלה, בואו להכיר את הפופולריים שבהם.

ראשית, אין להמיר שברים רגילים לעשרונים עד לקבלת התוצאה הסופית – ניתן להשאיר את התשובה כשבר רגיל, אלא אם כן התנאי קובע אחרת. טרנספורמציה כזו אינה יכולה להיקרא טעות, אך יש לזכור שבכל שלב של הבעיה עשויים להופיע שורשים חדשים, שעל פי רעיון המחבר יש לצמצם. במקרה זה, תבזבז זמן על פעולות מתמטיות מיותרות. זה נכון במיוחד עבור ערכים כמו השורש של שלושה או שניים, מכיוון שהם מתרחשים במשימות בכל שלב. כך גם לגבי עיגול מספרים "מכוערים".

יתרה מכך, שימו לב שמשפט הקוסינוס חל על כל משולש, אך לא על משפט פיתגורס! אם תשכחו בטעות להחסיר פי שניים מהמכפלה של הצלעות כפול הקוסינוס של הזווית ביניהן, לא רק שתקבלו תוצאה שגויה לחלוטין, אלא גם תדגימו אי הבנה מוחלטת של הנושא. זה יותר גרוע מטעות רשלנית.

שלישית, אל תבלבלו בין הערכים של זוויות של 30 ו-60 מעלות עבור סינוסים, קוסינוסים, טנג'נסים, קוטנגנטים. זכור את הערכים הללו, כי הסינוס של 30 מעלות שווה לקוסינוס של 60, ולהיפך. קל לערבב ביניהם, וכתוצאה מכך תקבלו בהכרח תוצאה שגויה.

יישום

תלמידים רבים אינם ממהרים להתחיל ללמוד טריגונומטריה, כי הם אינם מבינים את המשמעות היישומית שלה. מהו סינוס, קוסינוס, טנגנס עבור מהנדס או אסטרונום? אלו מושגים שבזכותם ניתן לחשב את המרחק לכוכבים רחוקים, לחזות נפילת מטאוריט, לשלוח בדיקה מחקרית לכוכב לכת אחר. בלעדיהם, אי אפשר לבנות בניין, לתכנן מכונית, לחשב את העומס על פני השטח או מסלול של אובייקט. ואלה רק הדוגמאות הברורות ביותר! אחרי הכל, טריגונומטריה בצורה כזו או אחרת משמשת בכל מקום, ממוזיקה ועד רפואה.

סוף כל סוף

אז אתה סינוס, קוסינוס, טנג'נס. אתה יכול להשתמש בהם בחישובים ולפתור בהצלחה בעיות בית ספריות.

כל המהות של טריגונומטריה מסתכמת בעובדה שיש לחשב פרמטרים לא ידועים מהפרמטרים הידועים של המשולש. ישנם שישה פרמטרים בסך הכל: אורכי שלוש צלעות וגדלים של שלוש זוויות. כל ההבדל במשימות טמון בעובדה שניתנים נתוני קלט שונים.

כיצד למצוא את הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס בהתבסס על האורכי הידוע של הרגליים או הירוק, כעת אתה יודע. מכיוון שלמונחים אלו אין יותר משמעות מאשר יחס, ויחס הוא שבר, המטרה העיקרית של הבעיה הטריגונומטרית היא למצוא את השורשים של משוואה רגילה או מערכת משוואות. וכאן תעזרו במתמטיקה של בית ספר רגיל.

אנו מתחילים את חקר הטריגונומטריה במשולש ישר זווית. הבה נגדיר מה הם הסינוס והקוסינוס, וכן את הטנגנס והקוטנגנט של זווית חדה. אלו הם היסודות של טריגונומטריה.

תזכור את זה זווית נכונהזו זווית השווה ל-90 מעלות. במילים אחרות, חצי מהפינה הפרושה.

פינה חדה- פחות מ-90 מעלות.

זווית קהה- יותר מ-90 מעלות. ביחס לזווית כזו, "בוטה" הוא לא עלבון, אלא מונח מתמטי :-)

נצייר משולש ישר זווית. זווית ישרה מסומנת בדרך כלל. שימו לב שהצד שממול לפינה מסומן באותה אות, רק קטנה. אז, הצד השוכב מול הזווית A מסומן.

זווית מסומנת באות היוונית המתאימה.

אֲלַכסוֹןמשולש ישר זווית היא הצלע המנוגדת לזווית הישרה.

רגליים- הצדדים מול פינות חדות.

הרגל שממול לפינה נקראת מול(ביחס לזווית). הרגל השנייה, שנמצאת בצד אחד של הפינה, נקראת סמוך.

סִינוּסזווית חדה במשולש ישר זווית היא היחס בין הרגל הנגדית לתחתית:

קוסינוסזווית חדה במשולש ישר זווית - היחס בין הרגל הסמוכה ליותר התחתון:

מַשִׁיקזווית חדה במשולש ישר זווית - היחס בין הרגל הנגדית לסמוך:

הגדרה נוספת (מקבילה): הטנגנס של זווית חדה הוא היחס בין הסינוס של זווית לקוסינוס שלה:

קוטנגנטזווית חדה במשולש ישר זווית - היחס בין הרגל הסמוכה למול (או, באופן שווה ערך, היחס בין קוסינוס לסינוס):

שימו לב ליחסים הבסיסיים של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, המובאים להלן. הם יהיו שימושיים עבורנו בפתרון בעיות.

בואו נוכיח כמה מהם.

אוקיי, נתנו הגדרות ונוסחאות כתובות. אבל למה אנחנו צריכים סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי?

אנחנו יודעים את זה סכום הזוויות של כל משולש הוא.

אנחנו יודעים את הקשר בין מסיבותמשולש ישר זווית. זהו משפט פיתגורס: .

מסתבר שבידיעה של שתי זוויות במשולש, אפשר למצוא את השלישית. הכרת שתי צלעות במשולש ישר זווית, תוכל למצוא את השלישית. אז, עבור זוויות - היחס שלהם, עבור הצדדים - שלהם. אבל מה לעשות אם במשולש ישר זווית ידועות זווית אחת (למעט ישרה) וצד אחד, אבל אתה צריך למצוא צלעות אחרות?

זה מה שאנשים התמודדו עם בעבר, ביצירת מפות של האזור ושל השמים זרועי הכוכבים. אחרי הכל, לא תמיד ניתן למדוד ישירות את כל צלעות המשולש.

סינוס, קוסינוס וטנגנס - הם נקראים גם פונקציות טריגונומטריות של הזווית- תן את היחס בין מסיבותו פינותמשולש. לדעת את הזווית, אתה יכול למצוא את כל הפונקציות הטריגונומטריות שלה באמצעות טבלאות מיוחדות. ובהכרת הסינוסים, הקוסינוסים והטנג'ים של זוויות משולש ואחת מצלעותיו, אתה יכול למצוא את השאר.

נצייר גם טבלה של ערכי סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי עבור זוויות "טובות" מ-to.

שימו לב לשני המקפים האדומים בטבלה. עבור הערכים התואמים של הזוויות, המשיק והקוטנגנט אינם קיימים.

בואו ננתח כמה בעיות בטריגונומטריה ממשימות הבנק של FIPI.

1. במשולש, הזווית היא , . למצוא .

הבעיה נפתרת תוך ארבע שניות.

בגלל ה , .

2. במשולש, הזווית היא , , . למצוא .

בואו נמצא לפי משפט פיתגורס.

הבעיה נפתרה.

לעתים קרובות בבעיות יש משולשים עם זוויות או עם זוויות ו. שנן את היחסים הבסיסיים עבורם בעל פה!

למשולש עם זוויות והרגל שממול לזווית ב שווה ל מחצית מהתחתון.

משולש עם זוויות והוא שווה שוקיים. בו, התחתון גדול פי כמה מהרגל.

שקלנו בעיות לפתרון משולשים ישרים - כלומר למציאת צלעות או זוויות לא ידועות. אבל זה לא הכל! בווריאציות של הבחינה במתמטיקה, ישנן משימות רבות שבהן מופיע הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס או הקוטנגנט של הזווית החיצונית של המשולש. עוד על כך במאמר הבא.

מהו הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס, הקוטנגנט של זווית יעזור לך להבין משולש ישר זווית.

איך נקראות הצלעות של משולש ישר זווית? נכון, התחתון והרגליים: התחתון הוא הצלע שנמצאת מול הזווית הישרה (בדוגמה שלנו, זו הצלע \ (AC \) ); הרגליים הן שתי הצלעות הנותרות \ (AB \) ו-\ (BC \) (אלה שצמודות לזווית הימנית), יתרה מכך, אם ניקח בחשבון את הרגליים ביחס לזווית \ (BC \) , אז הרגל \ (AB \) היא רגל סמוכה, והרגל \ (BC \) היא הפוכה. אז, עכשיו בואו נענה על השאלה: מה הם הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית?

סינוס של זווית- זהו היחס בין הרגל הנגדית (הרחוקה) לתחתית.

במשולש שלנו:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

קוסינוס של זווית- זהו היחס בין הרגל הסמוכה (הצמודה) ליותר התחתון.

במשולש שלנו:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

משיק זווית- זהו היחס בין הרגל הנגדית (הרחוקה) לסמוך (קרוב).

במשולש שלנו:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

קוטנגנט של זווית- זהו היחס בין הרגל הסמוכה (הצמודה) להפוכה (הרחוקה).

במשולש שלנו:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

הגדרות אלו נחוצות זכור! כדי שיהיה קל יותר לזכור באיזו רגל לחלק במה, עליך להבין זאת בבירור מַשִׁיקו קוטנגנטרק הרגליים יושבות, והתחתון מופיע רק בפנים סִינוּסו קוסינוס. ואז אתה יכול להמציא שרשרת של אסוציאציות. לדוגמה, זה:

קוסינוס → מגע → מגע → סמוך;

קוטנגנט → מגע → מגע → סמוך.

קודם כל, יש לזכור שהסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי כיחסים של צלעות משולש אינם תלויים באורכי הצלעות הללו (בזוית אחת). לא מאמינים? לאחר מכן ודא על ידי התבוננות בתמונה:

שקול, למשל, את הקוסינוס של הזווית \(\beta \) . בהגדרה, ממשולש \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), אבל אנחנו יכולים לחשב את הקוסינוס של הזווית \(\beta \) מהמשולש \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). אתה מבין, אורכי הצלעות שונים, אבל הערך של הקוסינוס של זווית אחת זהה. לפיכך, הערכים של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט תלויים אך ורק בגודל הזווית.

אם אתה מבין את ההגדרות, אז קדימה ותתקן אותן!

עבור המשולש \(ABC \) , המוצג באיור למטה, אנו מוצאים \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

נו, הבנת? לאחר מכן נסה זאת בעצמך: חשב את אותו הדבר עבור הזווית \(\beta \) .

תשובות: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

מעגל יחידה (טריגונומטרי).

בהבנת המושגים תואר ורדיאן, חשבנו על מעגל עם רדיוס שווה ל-\ (1 \) . מעגל כזה נקרא יחיד. זה מאוד שימושי בחקר הטריגונומטריה. לכן, אנו מתעכבים על זה קצת יותר בפירוט.

כפי שניתן לראות, מעגל זה בנוי במערכת הקואורדינטות הקרטזית. רדיוס המעגל שווה לאחד, בעוד שמרכז המעגל נמצא במקור, המיקום ההתחלתי של וקטור הרדיוס קבוע לאורך הכיוון החיובי של ציר \(x \) (בדוגמה שלנו, זהו ה- רדיוס \(AB \) ).

כל נקודה במעגל מתאימה לשני מספרים: הקואורדינטה לאורך הציר \(x \) והקואורדינטה לאורך הציר \(y \) . מהם מספרי הקואורדינטות האלה? ובכלל, מה הם קשורים לנושא הנדון? כדי לעשות זאת, זכור לגבי המשולש בעל הזווית הנחשבת. באיור למעלה, ניתן לראות שני משולשים ישרים שלמים. שקול את המשולש \(ACG \) . הוא מלבני מכיוון ש-\(CG \) מאונך לציר \(x\).

מהו \(\cos \ \alpha \) מהמשולש \(ACG \) ? זה נכון \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). חוץ מזה, אנחנו יודעים ש\(AC \) הוא הרדיוס של מעגל היחידה, אז \(AC=1 \) . החלף את הערך הזה בנוסחת הקוסינוס שלנו. זה מה שקורה:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

ומה זה \(\sin \ \alpha \) מהמשולש \(ACG \) ? ובכן, כמובן, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! החלף את הערך של הרדיוס \ (AC \) בנוסחה זו וקבל:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

אז, אתה יכול להגיד לי מהן הקואורדינטות של הנקודה \(C \) , השייכת למעגל? ובכן, אין מצב? אבל מה אם אתה מבין ש-\(\cos \ \alpha \) ו-\(\sin \alpha \) הם רק מספרים? לאיזו קואורדינטה מתאימה \(\cos \alpha \)? ובכן, כמובן, הקואורדינטה \(x \) ! ולאיזו קואורדינטה מתאימה \(\sin \alpha \)? נכון, הקואורדינטה \(y\)! אז הנקודה \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

מה הם אם כן \(tg \alpha \) ו-\(ctg \alpha \) ? זה נכון, בואו נשתמש בהגדרות המתאימות של משיק וקוטנגנט ונקבל את זה \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), א \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

מה אם הזווית גדולה יותר? הנה, למשל, כמו בתמונה הזו:

מה השתנה בדוגמה זו? בוא נבין את זה. לשם כך נפנה שוב למשולש ישר זווית. ראה משולש ישר זווית \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : זווית (כסמוך לזווית \(\beta \) ). מהו הערך של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט לזווית \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? זה נכון, אנו נצמדים להגדרות המתאימות של פונקציות טריגונומטריות:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(מערך) \)

ובכן, כפי שאתה יכול לראות, הערך של הסינוס של הזווית עדיין מתאים לקואורדינטה \ (y \) ; הערך של הקוסינוס של הזווית - הקואורדינטה \ (x \) ; והערכים של משיק וקוטנגנט ליחסים המתאימים. לפיכך, יחסים אלה ישימים לכל סיבוב של וקטור הרדיוס.

כבר הוזכר שהמיקום ההתחלתי של וקטור הרדיוס הוא לאורך הכיוון החיובי של ציר \(x\). עד כה סובבנו את הווקטור הזה נגד כיוון השעון, אבל מה קורה אם נסובב אותו עם כיוון השעון? שום דבר יוצא דופן, תקבל גם זווית בגודל מסוים, אבל רק היא תהיה שלילית. לפיכך, כאשר מסובבים את וקטור הרדיוס נגד כיוון השעון, אנו מקבלים זוויות חיוביות, וכאשר מסתובבים בכיוון השעון - שלילי.

אז, אנחנו יודעים שכל הסיבוב של וקטור הרדיוס סביב המעגל הוא \(360()^\circ \) או \(2\pi \) . האם ניתן לסובב את וקטור הרדיוס ב-\(390()^\circ \) או ב-\(-1140()^\circ \) ? ובכן, כמובן שאתה יכול! במקרה הראשון, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), אז וקטור הרדיוס יעשה סיבוב אחד מלא ויעצור ב-\(30()^\circ \) או \(\dfrac(\pi )(6) \) .

במקרה השני, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), כלומר, וקטור הרדיוס יבצע שלוש סיבובים שלמים ויעצור במיקום \(-60()^\circ \) או \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

לפיכך, מהדוגמאות לעיל, אנו יכולים להסיק שזוויות השונות ב-\(360()^\circ \cdot m \) או \(2\pi \cdot m \) (כאשר \(m \) הוא כל מספר שלם ) תואמים לאותו מיקום של וקטור הרדיוס.

האיור שלהלן מציג את הזווית \(\beta =-60()^\circ \) . אותה תמונה מתאימה לפינה \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)וכו ' ניתן להמשיך ברשימה זו ללא הגבלת זמן. את כל הזוויות האלה אפשר לכתוב עם הנוסחה הכללית \(\beta +360()^\circ \cdot m \)או \(\beta +2\pi \cdot m \) (כאשר \(m \) הוא כל מספר שלם)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(מערך) \)

כעת, הכרת ההגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות ושימוש במעגל היחידה, נסה לענות למה הערכים שווים:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(מערך) \)

להלן מעגל יחידות שיעזור לך:

יש קשיים? אז בואו נבין את זה. אז אנחנו יודעים ש:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(מערך) \)

מכאן, אנו קובעים את הקואורדינטות של הנקודות המתאימות למידות מסוימות של הזווית. ובכן, בואו נתחיל לפי הסדר: הפינה פנימה \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)מתאים לנקודה עם קואורדינטות \(\left(0;1 \right) \), לכן:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- לא קיים;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

יתר על כן, תוך הקפדה על אותו היגיון, אנו מגלים שהפינות פנימה \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\\ )מתאימות לנקודות עם קואורדינטות \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \), בהתאמה. בידיעה זו, קל לקבוע את הערכים של פונקציות טריגונומטריות בנקודות המתאימות. נסה זאת בעצמך תחילה, ולאחר מכן בדוק את התשובות.

תשובות:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(ctg)\\pi \)- לא קיים

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- לא קיים

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- לא קיים

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- לא קיים

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

לפיכך, נוכל ליצור את הטבלה הבאה:

אין צורך לזכור את כל הערכים הללו. די לזכור את ההתאמה בין קואורדינטות הנקודות במעגל היחידה לבין ערכי הפונקציות הטריגונומטריות:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(צריך לזכור או להיות מסוגל להוציא!! \) !}

והנה הערכים של הפונקציות הטריגונומטריות של הזוויות ב- ו \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)המופיע בטבלה למטה, עליך לזכור:

אין צורך לפחד, כעת נראה את אחת הדוגמאות לשינון פשוט למדי של הערכים המתאימים:

כדי להשתמש בשיטה זו, חיוני לזכור את ערכי הסינוס עבור כל שלושת מדדי הזווית ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), כמו גם הערך של הטנגנס של הזווית ב-\(30()^\circ \) . הכרת ערכי \(4\) אלה, די קל לשחזר את כל הטבלה - ערכי הקוסינוס מועברים בהתאם לחצים, כלומר:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(מערך) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), בידיעה זאת, ניתן לשחזר את הערכים עבור \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). המונה "\(1 \) " יתאים ל-\(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , והמכנה "\(\sqrt(\text(3)) \)" יתאים ל-\ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . ערכי קוטנגנטים מועברים בהתאם לחצים המוצגים באיור. אם אתה מבין את זה וזוכר את הסכימה עם חיצים, זה יספיק לזכור רק ערכי \(4 \) מהטבלה.

קואורדינטות של נקודה במעגל

האם ניתן למצוא נקודה (קואורדינטות שלה) על מעגל, לדעת את הקואורדינטות של מרכז המעגל, הרדיוס וזווית הסיבוב שלו? ובכן, כמובן שאתה יכול! בואו נגזר נוסחה כללית למציאת הקואורדינטות של נקודה. כאן, למשל, יש לנו מעגל כזה:

ניתנת לנו הנקודה הזו \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)הוא מרכז המעגל. רדיוס המעגל הוא \(1,5 \) . יש צורך למצוא את הקואורדינטות של הנקודה \(P \) המתקבלת על ידי סיבוב הנקודה \(O \) ב-\(\delta \) מעלות.

כפי שניתן לראות מהאיור, הקואורדינטה \ (x \) של הנקודה \ (P \) מתאימה לאורך הקטע \ (TP=UQ=UK+KQ \) . אורך הקטע \ (UK \) מתאים לקואורדינטה \ (x \) של מרכז המעגל, כלומר שווה ל-\ (3 \) . ניתן לבטא את אורך הקטע \(KQ \) באמצעות ההגדרה של קוסינוס:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

אז יש לנו את זה עבור הנקודה \(P \) הקואורדינטה \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

לפי אותו הגיון, אנו מוצאים את הערך של קואורדינטת y עבור הנקודה \(P \) . לכן,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

אז, באופן כללי, הקואורדינטות של הנקודות נקבעות על ידי הנוסחאות:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(מערך) \), איפה

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - קואורדינטות של מרכז המעגל,

\(r\) - רדיוס מעגל,

\(\delta \) - זווית סיבוב של רדיוס הווקטור.

כפי שאתה יכול לראות, עבור מעגל היחידה שאנו שוקלים, נוסחאות אלה מופחתות באופן משמעותי, מכיוון שהקואורדינטות של המרכז הן אפס, והרדיוס שווה לאחד:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript מושבת בדפדפן שלך.
יש להפעיל פקדי ActiveX כדי לבצע חישובים!

במאמר זה נראה כיצד הגדרות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של זווית ומספר בטריגונומטריה. כאן נדבר על סימון, ניתן דוגמאות לרשומות, ניתן איורים גרפיים. לסיכום, אנו יוצרים הקבלה בין ההגדרות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט בטריגונומטריה ובגיאומטריה.

ניווט בדף.

הגדרה של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי

בואו לעקוב אחר איך נוצר המושג סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט בקורס המתמטיקה בבית הספר. בשיעורי גיאומטריה ניתנת ההגדרה של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של זווית חדה במשולש ישר זווית. ובהמשך נלמדת טריגונומטריה, המתייחסת לסינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של זווית הסיבוב והמספר. אנו נותנים את כל ההגדרות הללו, נותנים דוגמאות ונותנים את ההערות הנדרשות.

זווית חדה במשולש ישר זווית

ממהלך הגיאומטריה ידועות ההגדרות של הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית חדה במשולש ישר זווית. הם ניתנים כיחס בין הצלעות של משולש ישר זווית. אנו מציגים את הניסוחים שלהם.

הַגדָרָה.

סינוס של זווית חדה במשולש ישר זוויתהוא היחס בין הרגל הנגדית לתחתית.

הַגדָרָה.

קוסינוס של זווית חדה במשולש ישר זוויתהוא היחס בין הרגל הסמוכה לתחתית.

הַגדָרָה.

טנגנט של זווית חדה במשולש ישר זוויתהוא היחס בין הרגל הנגדית לרגל הסמוכה.

הַגדָרָה.

קוטנגנט של זווית חדה במשולש ישר זוויתהוא היחס בין הרגל הסמוכה לרגל הנגדית.

גם הסימון של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט מובא שם - sin, cos, tg ו-ctg, בהתאמה.

לדוגמה, אם ABC הוא משולש ישר זווית עם זווית ישרה C, אזי הסינוס של הזווית החדה A שווה ליחס בין הרגל הנגדית BC לבין היריעה AB, כלומר sin∠A=BC/AB.

הגדרות אלה מאפשרות לך לחשב את ערכי הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית חדה מהאורכים הידועים של הצלעות של משולש ישר זווית, כמו גם מהערכים הידועים של הסינוס, הקוסינוס, משיק, קוטנגנט ואורך של אחת הצלעות, מצא את אורכי הצלעות האחרות. לדוגמה, אם היינו יודעים שבמשולש ישר זווית הרגל AC היא 3 והתחתון AB הוא 7, אז נוכל לחשב את הקוסינוס של הזווית החדה A בהגדרה: cos∠A=AC/AB=3/7 .

זווית סיבוב

בטריגונומטריה הם מתחילים להסתכל על הזווית בצורה רחבה יותר - הם מציגים את המושג זווית סיבוב. זווית הסיבוב, בניגוד לזווית חדה, אינה מוגבלת על ידי מסגרות מ-0 עד 90 מעלות, זווית הסיבוב במעלות (וברדיאנים) יכולה להתבטא בכל מספר ממשי מ-∞ עד +∞.

לאור זה, ההגדרות של הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט אינן עוד זווית חדה, אלא זווית בסדר גודל שרירותי - זווית הסיבוב. הם ניתנים דרך קואורדינטות ה-x וה-y של הנקודה A 1, שאליה עוברת מה שנקרא נקודת ההתחלה A(1, 0) לאחר שהיא מסתובבת דרך זווית α סביב הנקודה O - תחילתה של מערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית. ומרכז מעגל היחידה.

הַגדָרָה.

סינוס זווית סיבובα הוא הסמין של הנקודה A 1 , כלומר, sinα=y .

הַגדָרָה.

קוסינוס של זווית הסיבובα נקראת האבססיס של הנקודה A 1 , כלומר cosα=x .

הַגדָרָה.

טג'נט של זווית סיבובα הוא היחס בין הסמין של נקודה A 1 לאבסקיסה שלה, כלומר tgα=y/x .

הַגדָרָה.

הקוטנגנט של זווית הסיבובα הוא היחס בין האבססיס של הנקודה A 1 לארינטה שלה, כלומר, ctgα=x/y .

הסינוס והקוסינוס מוגדרים לכל זווית α , מכיוון שתמיד נוכל לקבוע את האבססיס והאורדינטה של ​​נקודה, שמתקבלת על ידי סיבוב נקודת ההתחלה דרך הזווית α . ומשיק וקוטנגנט אינם מוגדרים לכל זווית. המשיק אינו מוגדר עבור זוויות כאלה α שבהן הנקודה ההתחלתית הולכת לנקודה בעלת אבססיס אפס (0, 1) או (0, −1), וזה מתרחש בזוויות 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k רד). ואכן, בזוויות סיבוב כאלה, הביטוי tgα=y/x אינו הגיוני, מכיוון שהוא מכיל חלוקה באפס. באשר לקוטנגנט, הוא לא מוגדר עבור זוויות כאלה α שבהן נקודת ההתחלה הולכת לנקודה בעלת סדין אפס (1, 0) או (−1, 0), וזה המקרה עבור זוויות 180° k , k ∈Z (π k רד).

אז, הסינוס והקוסינוס מוגדרים עבור כל זוויות סיבוב, הטנגנס מוגדר עבור כל הזוויות מלבד 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), והקוטנגנט הוא עבור כל הזוויות מלבד 180 ° ·k , k∈Z (π·k רד).

הסימונים שכבר ידועים לנו מופיעים בהגדרות sin, cos, tg ו-ctg, הם משמשים גם לציון הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית הסיבוב (לעיתים ניתן למצוא את הסימון tan ו-cot המקביל tangens ו קוטנגנט). אז ניתן לכתוב את הסינוס של זווית הסיבוב של 30 מעלות כ-sin30°, הרשומות tg(−24°17′) ו-ctgα מתאימות לטנגנס של זווית הסיבוב −24 מעלות 17 דקות ולקוטנגנט של זווית הסיבוב α . נזכיר שכאשר כותבים את מידת הרדיאן של זווית, לעתים קרובות מושמט הסימון "רד". לדוגמה, הקוסינוס של זווית סיבוב של שלושה pi rads מסומן בדרך כלל cos3 π .

לסיכום פסקה זו, ראוי לציין שבדיבור על הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית הסיבוב, מושמט לעתים קרובות את הביטוי "זווית סיבוב" או המילה "סיבוב". כלומר, במקום הביטוי "סינוס של זווית הסיבוב אלפא", בדרך כלל משתמשים בביטוי "סינוס של זווית אלפא", או אפילו יותר קצר - "סינוס של אלפא". אותו הדבר חל על קוסינוס, וטנגנס, וקוטנגנט.

נניח גם שההגדרות של הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית חדה במשולש ישר זווית תואמות את ההגדרות שניתנו זה עתה עבור הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית סיבוב הנעה בין 0 ל-90 מעלות. אנו נבסס זאת.

מספרים

הַגדָרָה.

סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של מספר t הוא מספר השווה לסינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של זווית הסיבוב ברדיאנים t, בהתאמה.

לדוגמה, הקוסינוס של 8 π הוא, בהגדרה, מספר השווה לקוסינוס של זווית של 8 π רד. והקוסינוס של הזווית ב-8 π רד שווה לאחד, לכן הקוסינוס של המספר 8 π שווה ל-1.

ישנה גישה נוספת להגדרת הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של מספר. היא מורכבת מהעובדה שלכל מספר ממשי t מוקצית נקודה של מעגל היחידה שמרכזה במקור מערכת הקואורדינטות המלבנית, והסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי נקבעים במונחים של הקואורדינטות של נקודה זו. בואו נתעכב על זה ביתר פירוט.

הבה נראה כיצד נוצרת ההתאמה בין מספרים ממשיים ונקודות של המעגל:

• המספר 0 מוקצה לנקודת ההתחלה A(1, 0);
• מספר חיובי t משויך לנקודה במעגל היחידה, שאליה נגיע אם נע סביב המעגל מנקודת ההתחלה נגד כיוון השעון ונעבור דרך באורך t;
• מספר שלילי t משויך לנקודה על מעגל היחידה, אליה נגיע אם נע סביב המעגל מנקודת ההתחלה בכיוון השעון ונעבור במסלול באורך |t| .

כעת נעבור להגדרות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי של המספר t. נניח שהמספר t מתאים לנקודה של המעגל A 1 (x, y) (לדוגמה, המספר &pi/2; מתאים לנקודה A 1 (0, 1) ).

הַגדָרָה.

הסינוס של מספר t היא הסמין של נקודת מעגל היחידה המקבילה למספר t , כלומר, sint=y .

הַגדָרָה.

קוסינוס של מספר t נקראת האבססיס של נקודת מעגל היחידה המקבילה למספר t , כלומר עלות=x .

הַגדָרָה.

טנגנט של מספר t הוא היחס בין האסמינטה לאבססיסה של נקודת מעגל היחידה המקבילה למספר t, כלומר tgt=y/x. בניסוח מקביל אחר, הטנגנס של המספר t הוא היחס בין הסינוס של מספר זה לקוסינוס, כלומר tgt=sint/עלות .

הַגדָרָה.

קוטנגנט של מספר t הוא היחס בין האבשיסה לארדיינטה של ​​נקודת מעגל היחידה המקבילה למספר t, כלומר ctgt=x/y. ניסוח נוסף הוא כדלקמן: הטנגנס של המספר t הוא היחס בין הקוסינוס של המספר t לסינוס של המספר t : ctgt=cost/sint .

כאן נציין כי ההגדרות שניתנו זה עתה מתאימות להגדרה שניתנה בתחילת סעיף קטן זה. ואכן, נקודת מעגל היחידה המקבילה למספר t חופפת לנקודה המתקבלת על ידי סיבוב נקודת ההתחלה בזווית של t רדיאנים.

ראוי להבהיר גם נקודה זו. נניח שיש לנו ערך sin3. כיצד להבין האם מדובר בסינוס של המספר 3 או בסינוס של זווית הסיבוב של 3 רדיאנים? זה בדרך כלל ברור מההקשר, אחרת זה כנראה לא משנה.

פונקציות טריגונומטריות של ארגומנט זוויתי ומספרי

לפי ההגדרות שניתנו בפסקה הקודמת, כל זווית סיבוב α מתאימה לערך המוגדר היטב sin α , וכן לערך cos α . בנוסף, כל זוויות הסיבוב מלבד 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) מתאימות לערכים tgα , ולמעט 180° k , k∈Z (π k rad ) הם הערכים של ctgα. לכן sinα, cosα, tgα ו-ctgα הם פונקציות של הזווית α. במילים אחרות, אלו הן פונקציות של הארגומנט הזוויתי.

באופן דומה, אנו יכולים לדבר על הפונקציות סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של ארגומנט מספרי. ואכן, כל מספר ממשי t מתאים לערך מוגדר היטב של sint, כמו גם לעלות. בנוסף, כל המספרים מלבד π/2+π·k , k∈Z תואמים את הערכים tgt , והמספרים π·k , k∈Z תואמים את ערכי ctgt .

הפונקציות סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט נקראות פונקציות טריגונומטריות בסיסיות.

בדרך כלל ברור מההקשר שעסקינן בפונקציות טריגונומטריות של ארגומנט זוויתי או ארגומנט מספרי. אחרת, נוכל לשקול את המשתנה הבלתי תלוי גם כמדד לזווית (ארגומנט הזווית) וגם כארגומנט מספרי.

עם זאת, בית הספר לומד בעיקר פונקציות מספריות, כלומר פונקציות שהארגומנטים שלהן, כמו גם ערכי הפונקציה המתאימים, הם מספרים. לכן, אם אנחנו מדברים על פונקציות, אז רצוי להתייחס לפונקציות טריגונומטריות כפונקציות של ארגומנטים מספריים.

חיבור הגדרות מגיאומטריה וטריגונומטריה

אם ניקח בחשבון את זווית הסיבוב α מ-0 עד 90 מעלות, אזי הנתונים בהקשר של טריגונומטריה של הגדרת הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית הסיבוב תואמים לחלוטין את ההגדרות של הסינוס, הקוסינוס. , משיק וקוטנגנט של זווית חדה במשולש ישר זווית, הניתנים במהלך הגיאומטריה. בואו נבסס את זה.

צייר מעגל יחידה במערכת הקואורדינטות הקרטזית המלבנית אוקסי. שימו לב לנקודת ההתחלה A(1, 0) . בואו נסובב אותו בזווית α הנעה בין 0 ל-90 מעלות, נקבל את הנקודה A 1 (x, y) . בוא נשאיר את האנך A 1 H מהנקודה A 1 לציר השור.

קל לראות שבמשולש ישר זווית הזווית A 1 OH שווה לזווית הסיבוב α, אורך הרגל OH הסמוכה לזווית זו שווה לאבשיסה של הנקודה A 1, כלומר |OH |=x, אורך הרגל שממול לזווית A 1 H שווה לקוסמינטה של ​​הנקודה A 1 , כלומר |A 1 H|=y , ואורך התחתון OA 1 שווה לאחד , שכן זהו הרדיוס של מעגל היחידה. אז, בהגדרה מהגיאומטריה, הסינוס של זווית חדה α במשולש ישר זווית A 1 OH שווה ליחס בין הרגל הנגדית לתחתית, כלומר, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . ולפי הגדרה מהטריגונומטריה, הסינוס של זווית הסיבוב α שווה לאידינטה של ​​הנקודה A 1, כלומר, sinα=y. זה מראה שהגדרת הסינוס של זווית חדה במשולש ישר זווית שווה להגדרת הסינוס של זווית הסיבוב α עבור α מ-0 עד 90 מעלות.

באופן דומה, ניתן להראות שההגדרות של הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית חדה α תואמות את ההגדרות של הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית הסיבוב α.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

1. גֵאוֹמֶטרִיָה. 7-9 כיתות: לימודים. לחינוך כללי מוסדות / [ל. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ואחרים]. - מהדורה 20. מ': חינוך, 2010. - 384 עמ': חולה. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V.גיאומטריה: פרוק. עבור 7-9 תאים. חינוך כללי מוסדות / A. V. Pogorelov. - מהדורה ב' - מ': הארה, 2001. - 224 עמ': ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. אלגברה ופונקציות יסודיות: ספר לימוד לתלמידי כיתה ט' של בית הספר התיכון / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; נערך ע"י דוקטור למדעי הפיזיקה והמתמטיקה O. N. Golovin. - מהדורה רביעית. מוסקבה: חינוך, 1969.
4. אַלגֶבּרָה:פרוק. עבור 9 תאים. ממוצע בית ספר / יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; אד. S. A. Telyakovsky.- מ.: הארה, 1990.- 272 עמ': איל.- ISBN 5-09-002727-7
5. אַלגֶבּרָהותחילת הניתוח: פרוק. עבור 10-11 תאים. חינוך כללי מוסדות / א.נ. קולמוגורוב, א.מ. אברמוב, יו.פ. דודניצין ואחרים; אד. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. מורדקוביץ' א.ג.אלגברה והתחלות הניתוח. כיתה י'. בשעה 14:00 חלק 1: ספר לימוד למוסדות חינוך (רמת פרופיל) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - מהדורה רביעית, הוסף. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 עמ': ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. אַלגֶבּרָהותחילתו של ניתוח מתמטי. כיתה י': ספר לימוד. לחינוך כללי מוסדות: בסיסי ופרופיל. רמות /[יו. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. א.ב ז'יז'צ'נקו. - מהדורה שלישית. - I .: Education, 2010. - 368 p.: Il. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. בשמקוב מ.י.אלגברה ותחילת הניתוח: פרוק. עבור 10-11 תאים. ממוצע בית ספר - מהדורה שלישית. - מ.: נאורות, 1993. - 351 עמ': ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G.מתמטיקה (מדריך למועמדים לבתי ספר טכניים): פרוק. קצבה.- מ.; גבוה יותר בית ספר, 1984.-351 עמ', ill.

הוראה

משולש נקרא משולש ישר זווית אם אחת מהזוויות שלו היא 90 מעלות. הוא מורכב משתי רגליים ותחתית. התחתון הוא הצלע הארוכה ביותר של משולש זה. הוא שוכב כנגד זווית ישרה. הרגליים, בהתאמה, נקראות הצדדים הקטנים שלה. הם יכולים להיות שווים זה לזה או בגדלים שונים. שוויון הרגליים שאתה עובד עם משולש ישר זווית. היופי שלו הוא שהוא משלב שתי דמויות: משולש ישר זווית ומשולש שווה שוקיים. אם הרגליים אינן שוות, אז המשולש שרירותי ולפי חוק היסוד: ככל שהזווית גדולה יותר, כך השוכב מולו מתגלגל.

ישנן מספר דרכים למצוא את ההיפוטנוז לפי וזווית. אבל לפני השימוש באחד מהם, עליך לקבוע אילו וזווית ידועות. בהינתן זווית והרגל הצמודה אליה, קל יותר למצוא את ההיפוטנוז לפי הקוסינוס של הזווית. הקוסינוס של זווית חדה (cos a) במשולש ישר זווית הוא היחס בין הרגל הסמוכה לתחתית. מכאן משתמע שהתחתון (c) יהיה שווה ליחס בין הרגל הסמוכה (b) לקוסינוס של הזווית a (cos a). זה יכול להיכתב כך: cos a=b/c => c=b/cos a.

אם ניתנות זווית ורגל מנוגדת, אז יש לבצע עבודה. הסינוס של זווית חדה (sin a) במשולש ישר זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית (a) לבין התחתון (c). כאן העיקרון זהה לדוגמא הקודמת, רק הסינוס נלקח במקום פונקציית הקוסינוס. sin a=a/c => c=a/sin a.

אתה יכול גם להשתמש בפונקציה טריגונומטרית כגון . אבל מציאת הערך הרצוי היא מעט יותר מסובכת. הטנגנס של זווית חדה (tg a) במשולש ישר זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית (a) לזו הסמוכה (b). לאחר שמצאתי את שתי הרגליים, יישמו את משפט פיתגורס (ריבוע ההיפוטנוז שווה לסכום ריבועי הרגליים) והגדול יותר יימצא.

הערה

כאשר עובדים עם משפט פיתגורס, אל תשכחו שעוסקים בתואר. לאחר שמצאת את סכום ריבועי הרגליים, כדי לקבל את התשובה הסופית, עליך לקחת את השורש הריבועי.

מקורות:

• איך למצוא את הרגל ואת תחתית החזה

התחתון הוא הצלע במשולש ישר זווית שממול לזווית של 90 מעלות. כדי לחשב את אורכו, מספיק לדעת את אורך אחת הרגליים ואת ערכה של אחת מהזוויות החדות של המשולש.

הוראה

עם זווית ישרה ידועה וחדה, אזי גודל התחתון הוא היחס בין הרגל ל / של זווית זו, אם הזווית הנתונה היא מול / צמודה לה:

h = C1(או C2)/sinα;

h = С1(או С2)/cosα.

דוגמה: תנו ל-ABC להינתן עם תחתית AB ו-C. לזווית B להיות 60 מעלות ולזווית A 30 מעלות אורך הרגל BC הוא 8 ס"מ. צריך את אורך התחתון AB. כדי לעשות זאת, אתה יכול להשתמש בכל אחת מהשיטות שהוצעו לעיל:

AB=BC/cos60=8 ס"מ.

AB = BC/sin30 = 8 ס"מ.

מילה" רגל" מגיע מהמילים היווניות "מאונך" או "אנכי" - זה מסביר מדוע שתי צלעותיו של משולש ישר זווית, המרכיבות את הזווית של תשעים מעלות, נקראו כך. מצא את האורך של כל אחד רגל ov אינו קשה אם הערך של הזווית הסמוכה לו ואחד מהפרמטרים האחרים ידוע, מכיוון שבמקרה זה הערכים של כל שלוש הזוויות יוודעו בפועל.

הוראה

אם בנוסף לערך הזווית הסמוכה (β), אורך השניה רגל a (ב), ואז האורך רגלו-(א) ניתן להגדיר כמנה של אורך הידוע רגלובזווית ידועה: a=b/tg(β). זה נובע מההגדרה של טריגונומטרי זה. אתה יכול להסתדר בלי המשיק אם אתה משתמש במשפט. יוצא מכך שאורך הרצוי לסינוס של הזווית הנגדית ליחס אורך הידוע רגלאלא לסינוס של זווית ידועה. הפוך מהרצוי רגל y ניתן לבטא זווית חדה במונחים של זווית ידועה כ-180°-90°-β = 90°-β, מכיוון שסכום כל הזוויות של כל משולש חייב להיות 180°, ואחת מהזוויות שלו שווה ל-90 °. אז האורך הרצוי רגלוניתן לחשב אותו לפי הנוסחה a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

אם ידועים גודל הזווית הסמוכה (β) ואורך התחתון (c), אז האורך רגלו-(א) ניתן לחשב כמכפלה של אורך התחתון והקוסינוס של הזווית הידועה: a=c∗cos(β). זה נובע מההגדרה של קוסינוס כפונקציה טריגונומטרית. אבל אתה יכול להשתמש, כמו בשלב הקודם, במשפט הסינוס ולאחר מכן באורך הרצוי רגל a יהיה שווה למכפלת הסינוס בין 90° לזווית הידועה כפול היחס בין אורך התחתון לסינוס של הזווית הישרה. ומכיוון שהסינוס של 90° שווה לאחד, אפשר לכתוב זאת כך: a=sin(90°-β)∗c.

ניתן לבצע חישובים מעשיים, למשל, באמצעות מחשבון התוכנה הכלול במערכת ההפעלה Windows. כדי להפעיל אותו, אתה יכול לבחור את הפריט "הפעלה" בתפריט הראשי על כפתור "התחל", הקלד את הפקודה calc ולחץ על כפתור "אישור". הגרסה הפשוטה ביותר של הממשק של תוכנית זו שנפתחת כברירת מחדל אינה מספקת פונקציות טריגונומטריות, לכן, לאחר הפעלתה, עליך ללחוץ על הקטע "תצוגה" בתפריט ולבחור בשורה "מדעית" או "הנדסה" (בהתאם בגרסת מערכת ההפעלה שבה אתה משתמש).

סרטונים קשורים

המילה "קטט" הגיעה לרוסית מיוונית. בתרגום מדויק, זה אומר קו אנך, כלומר מאונך לפני השטח של כדור הארץ. במתמטיקה, רגליים נקראות צלעות היוצרות זווית ישרה של משולש ישר זווית. הצלע שממול לזווית זו נקראת תחתית. המונח "רגל" משמש גם באדריכלות וטכנולוגיית ריתוך.

צייר משולש ישר זווית ACB. סמן את רגליו a ו-b, ותייג את תחתית הכותרת שלו. כל הצלעות והזוויות של משולש ישר זווית מוגדרות זו לזו. היחס בין הרגל מול אחת מהזוויות החדות לתחתית נקרא הסינוס של זווית זו. במשולש זה sinCAB=a/c. קוסינוס הוא היחס ל-hypotenuse של הרגל הסמוכה, כלומר cosCAB=b/c. היחסים ההפוכים נקראים סקאנט וקוסקנט.

הגזרה של זווית זו מתקבלת על ידי חלוקת התחתון ברגל הסמוכה, כלומר, secCAB=c/b. מסתבר שההדדיות של הקוסינוס, כלומר ניתן לבטא אותה בנוסחה secCAB=1/cosSAB.
הקוסקנט שווה למנה של חלוקת ההיפוטנוז ברגל הנגדית והוא ההדדיות של הסינוס. ניתן לחשב אותו באמצעות הנוסחה cosecCAB=1/sinCAB

שתי הרגליים מחוברות זו לזו וקוטננטיות. במקרה זה, המשיק יהיה היחס בין הצלע a לצד b, כלומר הרגל הנגדית לזו הסמוכה. יחס זה יכול לבוא לידי ביטוי בנוסחה tgCAB=a/b. בהתאם לכך, היחס ההפוך יהיה הקוטנגנט: ctgCAB=b/a.

היחס בין גדלי התחתון ושתי הרגליים נקבע על ידי פיתגורס היווני הקדום. את המשפט, את שמו, אנשים עדיין משתמשים. זה אומר שהריבוע של התחתון שווה לסכום ריבועי הרגליים, כלומר, c2 \u003d a2 + b2. בהתאם לכך, כל רגל תהיה שווה לשורש הריבועי של ההפרש בין ריבועי התחתון לרגל השנייה. ניתן לכתוב את הנוסחה הזו כ-b=√(c2-a2).

אורך הרגל יכול לבוא לידי ביטוי גם דרך מערכות היחסים שאתה מכיר. לפי משפטי הסינוסים והקוסינוסים, הרגל שווה למכפלת ההיפוטנוזה ואחת מהפונקציות הללו. אתה יכול להביע את זה או cotangent. ניתן למצוא את הרגל a, למשל, על ידי הנוסחה a \u003d b * tan CAB. בדיוק באותו אופן, בהתאם למשיק הנתון או , נקבעת הרגל השנייה.

באדריכלות משתמשים גם במונח "רגל". הוא מוחל על בירה יונית ואנך דרך אמצע גבו. כלומר, במקרה זה, לפי המונח הזה, הניצב לקו הנתון.

בטכנולוגיית ריתוך, יש "רגל של ריתוך פילה". כמו במקרים אחרים, זהו המרחק הקצר ביותר. כאן אנחנו מדברים על הפער בין אחד החלקים שיש לרתך לגבול התפר הממוקם על פני החלק השני.

סרטונים קשורים

מקורות:

• מהי הרגל והתחתון ב-2019