כיצד לחשב את נקודת החיתוך של שני קווים. אלגוריתם לקביעה אם נקודה נופלת לקו מתאר בהתבסס על ניתוח מורכב

מראה את הקשר של סימן הנגזרת עם אופי המונוטוניות של הפונקציה.

אנא היזהר מאוד בדברים הבאים. תראה, לוח הזמנים של WAT ניתן לך! פונקציה או נגזרת שלה

נתון גרף של הנגזרת, אז אנחנו מתעניינים רק בסימני פונקציה ואפסים. שום "גבעות" ו"שקעים" לא מעניינים אותנו באופן עקרוני!

משימה 1.

האיור מציג גרף של פונקציה המוגדרת על מרווח. קבע את מספר הנקודות השלמות שבהן הנגזרת של הפונקציה שלילית.

פִּתָרוֹן:

באיור, אזורי הפונקציה הפוחתת מודגשים בצבע:

4 ערכים שלמים נופלים לאזורים אלה של ירידה בתפקוד.

משימה 2.

האיור מציג גרף של פונקציה המוגדרת על מרווח. מצא את מספר הנקודות שבהן המשיק לגרף של הפונקציה מקביל או חופף לישר.

פִּתָרוֹן:

מכיוון שהמשיק לגרף הפונקציה מקביל (או עולה בקנה אחד) עם ישר (או, שהוא זהה, ) בעל מִדרוֹן, שווה לאפס, אז למשיק יש שיפוע .

זה בתורו אומר שהמשיק מקביל לציר, שכן השיפוע הוא המשיק של זווית הנטייה של המשיק לציר.

לכן אנו מוצאים נקודות קיצון בגרף (נקודות מקסימום ומינימום), - בהן הפונקציות המשיקות לגרף יהיו מקבילות לציר.

יש 4 נקודות כאלה.

משימה 3.

האיור מציג גרף של נגזרת של פונקציה המוגדרת על המרווח. מצא את מספר הנקודות שבהן המשיק לגרף של הפונקציה מקביל או חופף לישר.

פִּתָרוֹן:

מכיוון שהמשיק לגרף של הפונקציה מקביל (או חופף) לישר, שיש לו שיפוע, אז למשיק יש שיפוע.

זה בתורו אומר שבנקודות המגע.

לכן, אנו מסתכלים לכמה נקודות בגרף יש סדין השווה ל.

כפי שאתה יכול לראות, יש ארבע נקודות כאלה.

משימה 4.

האיור מציג גרף של פונקציה המוגדרת על מרווח. מצא את מספר הנקודות שבהן הנגזרת של הפונקציה היא 0.

פִּתָרוֹן:

הנגזרת היא אפס בנקודות הקיצון. יש לנו 4 מהם:

משימה 5.

האיור מציג גרף פונקציה ואחת עשרה נקודות על ציר ה-x:. בכמה מהנקודות הללו הנגזרת של הפונקציה שלילית?

פִּתָרוֹן:

במרווחים של פונקציה יורדת, הנגזרת שלו מקבלת ערכים שליליים. והפונקציה יורדת בנקודות. יש 4 נקודות כאלה.

משימה 6.

האיור מציג גרף של פונקציה המוגדרת על מרווח. מצא את סכום נקודות הקיצון של הפונקציה.

פִּתָרוֹן:

נקודות קיצוןהם נקודות המקסימום (-3, -1, 1) ונקודות המינימום (-2, 0, 3).

סכום נקודות הקיצון: -3-1+1-2+0+3=-2.

משימה 7.

האיור מציג גרף של נגזרת של פונקציה המוגדרת על המרווח. מצא את המרווחים של פונקציה גוברת. בתשובתך, ציין את סכום הנקודות השלמות הכלולות במרווחים אלה.

פִּתָרוֹן:

האיור מדגיש את המרווחים שבהם הנגזרת של הפונקציה אינה שלילית.

אין נקודות שלמות במרווח העלייה הקטן, במרווח העלייה יש ארבעה ערכי שלמים: , , ו.

הסכום שלהם:

משימה 8.

האיור מציג גרף של נגזרת של פונקציה המוגדרת על המרווח. מצא את המרווחים של פונקציה גוברת. בתשובתך, כתוב את האורך של הגדול שבהם.

פִּתָרוֹן:

באיור מודגשים כל המרווחים עליהם הנגזרת חיובית, כלומר הפונקציה עצמה גדלה במרווחים אלו.

אורכו של הגדול שבהם הוא 6.

משימה 9.

האיור מציג גרף של נגזרת של פונקציה המוגדרת על המרווח. באיזו נקודה בקטע הוא מקבל את הערך הגדול ביותר.

פִּתָרוֹן:

אנחנו מסתכלים על איך הגרף מתנהג על הקטע, כלומר, אנחנו מעוניינים סימן נגזר בלבד .

הסימן של הנגזרת על הוא מינוס, מכיוון שהגרף בקטע זה נמצא מתחת לציר.

כאשר פותרים כמה בעיות גיאומטריות בשיטת הקואורדינטות, יש צורך למצוא את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של קווים. לרוב, יש לחפש את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של שני קווים במישור, אבל לפעמים יש צורך לקבוע את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של שני קווים במרחב. במאמר זה נעסוק במציאת הקואורדינטות של הנקודה שבה שני קווים מצטלבים.

ניווט בדף.

נקודת החיתוך של שני קווים היא הגדרה.

תחילה נגדיר את נקודת החיתוך של שני קווים.

לפיכך, על מנת למצוא את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של שני קווים המוגדרים במישור על ידי משוואות כלליות, יש צורך לפתור מערכת המורכבת ממשוואות של קווים נתונים.

הבה נבחן דוגמה לפתרון.

דוגמא.

מצא את נקודת החיתוך של שני ישרים המוגדרים במערכת קואורדינטות מלבנית במישור על ידי המשוואות x-9y+14=0 ו-5x-2y-16=0.

פִּתָרוֹן.

ניתנות לנו שתי משוואות כלליות של ישרים, נרכיב מהם מערכת: . הפתרונות של מערכת המשוואות המתקבלת מוצאים בקלות אם המשוואה הראשונה שלה נפתרת ביחס למשתנה x והביטוי הזה מוחלף במשוואה השנייה:

הפתרון שנמצא של מערכת המשוואות נותן לנו את הקואורדינטות הרצויות של נקודת החיתוך של שני קווים.

תשובה:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 ו-5x-2y-16=0 .

אז, מציאת הקואורדינטות של נקודת החיתוך של שני ישרים, המוגדרות על ידי משוואות כלליות במישור, מצטמצמת לפתרון מערכת של שתי משוואות ליניאריות עם שני משתנים לא ידועים. אבל מה אם הקווים הישרים במישור ניתנים לא על ידי משוואות כלליות, אלא על ידי משוואות מסוג אחר (ראה סוגי המשוואה של ישר במישור)? במקרים אלו, ניתן להביא תחילה את משוואות הקווים לצורה כללית, ורק לאחר מכן למצוא את הקואורדינטות של נקודת החיתוך.

דוגמא.

ו.

פִּתָרוֹן.

לפני מציאת הקואורדינטות של נקודת החיתוך של הקווים הנתונים, אנו מביאים את המשוואות שלהם לצורה כללית. מעבר ממשוואות פרמטריות לישר למשוואה הכללית של קו ישר זה היא כדלקמן:

כעת נבצע את הפעולות הדרושות עם המשוואה הקנונית של הקו:

לפיכך, הקואורדינטות הרצויות של נקודת החיתוך של הקווים הן הפתרון של מערכת המשוואות של הצורה . אנחנו משתמשים כדי לפתור את זה:

תשובה:

M 0 (-5, 1)

ישנה דרך נוספת למצוא את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של שני קווים במישור. נוח להשתמש בו כאשר אחד מהקווים ניתן על ידי משוואות פרמטריות של הצורה , והשני - משוואת קו ישר של צורה אחרת. במקרה זה, במשוואה אחרת, במקום המשתנים x ו-y, ניתן להחליף את הביטויים ו , שממנו ניתן יהיה לקבל את הערך התואם לנקודת החיתוך של הקווים הנתונים. במקרה זה, לנקודת החיתוך של הקווים יש קואורדינטות.

בוא נמצא את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של הקווים מהדוגמה הקודמת בדרך זו.

דוגמא.

קבע את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של הקווים ו.

פִּתָרוֹן.

תחליף במשוואת הביטוי הישיר:

פתרון המשוואה המתקבלת, נקבל . ערך זה מתאים לנקודה המשותפת של הקווים ו. אנו מחשבים את הקואורדינטות של נקודת החיתוך על ידי החלפת הישר במשוואות הפרמטריות:
.

תשובה:

M 0 (-5, 1) .

להשלמת התמונה, יש לדון בנקודה נוספת.

לפני מציאת הקואורדינטות של נקודת החיתוך של שני קווים במישור, כדאי לוודא שהקווים הנתונים באמת נחתכים. אם יתברר שהקווים המקוריים עולים בקנה אחד או מקבילים, אז לא יכולה להיות שאלה של מציאת הקואורדינטות של נקודת החיתוך של קווים כאלה.

אפשר כמובן להסתדר בלי בדיקה כזו, ולהרכיב מיד מערכת משוואות של הצורה ולפתור את זה. אם למערכת המשוואות יש פתרון ייחודי, אז היא נותנת את הקואורדינטות של הנקודה שבה חותכים את הקווים המקוריים. אם למערכת המשוואות אין פתרונות, אזי נוכל להסיק שהקווים המקוריים מקבילים (מאחר שאין זוג כזה של מספרים ממשיים x ו-y שיספקו בו זמנית את שתי המשוואות של הקווים הנתונים). מהנוכחות של קבוצה אינסופית של פתרונות למערכת המשוואות, נובע שלקווים המקוריים יש אינסוף נקודות משותפות, כלומר, הן חופפות.

בואו נסתכל על דוגמאות שמתאימות למצבים אלו.

דוגמא.

גלה אם הקווים והקו נחתכים, ואם הם מצטלבים, אז מצא את הקואורדינטות של נקודת החיתוך.

פִּתָרוֹן.

משוואות הקווים הנתונות מתאימות למשוואות ו . בואו נפתור את המערכת המורכבת מהמשוואות הללו .

ברור שמשוואות המערכת באות לידי ביטוי ליניארי זו דרך זו (המשוואה השנייה של המערכת מתקבלת מהראשונה על ידי הכפלת שני חלקיה ב-4), לכן, למערכת המשוואות יש אינסוף פתרונות. לפיכך, המשוואות ומגדירות את אותו הישר, ואנחנו לא יכולים לדבר על מציאת הקואורדינטות של נקודת החיתוך של קווים אלה.

תשובה:

המשוואות וקובעים את אותו קו ישר במערכת הקואורדינטות המלבנית אוקסי, אז אנחנו לא יכולים לדבר על מציאת הקואורדינטות של נקודת החיתוך.

דוגמא.

מצא את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של הקווים ו , אם אפשר.

פִּתָרוֹן.

מצב הבעיה מודה שהקווים עשויים שלא להצטלב. בואו נרכיב מערכת של המשוואות הללו. ישים לפתרון שלה, מכיוון שהוא מאפשר לך לקבוע את התאימות או חוסר העקביות של מערכת המשוואות, ואם היא תואמת, מצא פתרון:

המשוואה האחרונה של המערכת לאחר המהלך הישיר של שיטת גאוס הפכה לשוויון לא נכון, לכן, למערכת המשוואות אין פתרונות. מכאן ניתן להסיק שהקווים המקוריים מקבילים, ולא ניתן לדבר על מציאת הקואורדינטות של נקודת החיתוך של הקווים הללו.

הפתרון השני.

בואו לגלות אם הקווים הנתונים מצטלבים.

- וקטור קו רגיל , והווקטור הוא וקטור נורמלי של הקו . בוא נבדוק את הביצוע ו : שוויון נכון, מכיוון, לפיכך, הוקטורים הנורמליים של הקווים הנתונים הם קולינאריים. לאחר מכן, קווים אלה מקבילים או חופפים. לפיכך, איננו יכולים למצוא את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של הקווים המקוריים.

תשובה:

אי אפשר למצוא את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של הקווים הנתונים, מכיוון שהקווים הללו מקבילים.

דוגמא.

מצא את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של הישרים 2x-1=0 ואם הם נחתכים.

פִּתָרוֹן.

אנו מרכיבים מערכת משוואות שהן משוואות כלליות של קווים נתונים: . הקובע של המטריצה ​​הראשית של מערכת משוואות זו שונה מאפס , כך שלמערכת המשוואות יש פתרון ייחודי, המציין את חיתוך הקווים הנתונים.

כדי למצוא את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של הקווים, עלינו לפתור את המערכת:

הפתרון המתקבל נותן לנו את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של הקווים, כלומר, 2x-1=0 ו- .

תשובה:

מציאת הקואורדינטות של נקודת החיתוך של שני קווים במרחב.

הקואורדינטות של נקודת החיתוך של שני קווים במרחב התלת מימדי נמצאות באופן דומה.

בואו נבחן דוגמאות.

דוגמא.

מצא את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של שני ישרים שניתנו במרחב על ידי המשוואות ו .

פִּתָרוֹן.

אנו מרכיבים מערכת משוואות מהמשוואות של קווים נתונים: . הפתרון של מערכת זו ייתן לנו את הקואורדינטות הרצויות של נקודת החיתוך של קווים במרחב. הבה נמצא את הפתרון של מערכת המשוואות הכתובה.

למטריצה ​​הראשית של המערכת יש את הצורה , והמורחב .

בואו נגדיר A ודרגת המטריצה ​​T. אנו משתמשים

שקול את הדמות הבאה.

הוא מציג את הגרף של הפונקציה y = x^3 - 3*x^2. חשבו על מרווח כלשהו המכיל את הנקודה x = 0, למשל, מ-1 עד 1. מרווח כזה נקרא גם שכונת הנקודה x = 0. כפי שניתן לראות בגרף, בשכונה זו הפונקציה y = x ^3 - 3*x^2 לוקח את הערך הגדול ביותר בדיוק בנקודה x = 0.

מקסימום ומינימום של פונקציה

במקרה זה, הנקודה x = 0 נקראת נקודת המקסימום של הפונקציה. באנלוגיה לזה, הנקודה x = 2 נקראת נקודת המינימום של הפונקציה y = x^3 - 3*x^2. כי יש שכונה כזו בנקודה הזו שבה הערך בשלב זה יהיה מינימלי בין כל שאר הערכים מהשכונה הזו.

נְקוּדָה מַקסִימוּםהפונקציה f(x) נקראת נקודה x0, בתנאי שיש שכונה של הנקודה x0 כך שלכל ה-x לא שווה ל-x0 משכונה זו, אי השוויון f(x)< f(x0).

נְקוּדָה מִינִימוּםהפונקציה f(x) נקראת נקודה x0, בתנאי שיש שכונה של הנקודה x0 כך שלכל ה-x לא שווה ל-x0 משכונה זו, אי השוויון f(x) > f(x0) מתקיים.

בנקודות המקסימום והמינימום של הפונקציות, ערך הנגזרת של הפונקציה שווה לאפס. אבל זה לא תנאי מספיק לקיומה של פונקציה בנקודת מקסימום או מינימום.

לדוגמה, לפונקציה y = x^3 בנקודה x = 0 יש נגזרת השווה לאפס. אבל הנקודה x = 0 אינה נקודת המינימום או המקסימום של הפונקציה. כידוע, הפונקציה y = x^3 גדלה בכל הציר האמיתי.

לפיכך, נקודות המינימום והמקסימום יהיו תמיד בין השורש של המשוואה f'(x) = 0. אבל לא כל השורשים של המשוואה הזו יהיו נקודות מקסימום או מינימום.

נקודות נייחות וקריטיות

הנקודות שבהן ערך הנגזרת של פונקציה שווה לאפס נקראות נקודות נייחות. יכולות להיות גם נקודות של מקסימום או מינימום בנקודות שבהן הנגזרת של הפונקציה אינה קיימת כלל. לדוגמה, y = |x| בנקודה x = 0 יש מינימום, אבל הנגזרת לא קיימת בנקודה זו. נקודה זו תהיה הנקודה הקריטית של הפונקציה.

הנקודות הקריטיות של פונקציה הן הנקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס, או שהנגזרת לא קיימת בנקודה זו, כלומר, הפונקציה בנקודה זו אינה ניתנת להבדלה. כדי למצוא את המקסימום או המינימום של פונקציה, יש לעמוד בתנאי מספיק.

תן f(x) להיות פונקציה כלשהי שניתן להבדיל על המרווח (a;b). הנקודה x0 שייכת למרווח זה ו-f'(x0) = 0. לאחר מכן:

1. אם במעבר בנקודה הנייחת x0, הפונקציה f (x) והנגזרת שלה מחליפות סימן, מ"פלוס" ל"מינוס", אז הנקודה x0 היא הנקודה המקסימלית של הפונקציה.

2. אם במעבר בנקודה הנייחת x0, הפונקציה f (x) והנגזרת שלה מחליפות סימן, מ"מינוס" ל"פלוס", אז הנקודה x0 היא נקודת המינימום של הפונקציה.

נקודות קריטיותהן הנקודות שבהן הנגזרת של הפונקציה שווה לאפס או לא קיימת. אם הנגזרת היא 0 אז הפונקציה באותה נקודה לוקחת מינימום או מקסימום מקומי. בגרף בנקודות כאלה, לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית, כלומר המשיק מקביל לציר השור.

נקודות כאלה נקראות יַצִיב. אם אתה רואה "גבנון" או "חור" בתרשים פונקציות רציף, זכור שהמקסימום או המינימום מושגים בנקודה הקריטית. שקול את המשימה הבאה כדוגמה.

דוגמה 1 מצא את הנקודות הקריטיות של הפונקציה y=2x^3-3x^2+5 .
פִּתָרוֹן. האלגוריתם למציאת נקודות קריטיות הוא כדלקמן:

אז לפונקציה יש שתי נקודות קריטיות.

יתר על כן, אם אתה צריך ללמוד את הפונקציה, אז אנו קובעים את הסימן של הנגזרת משמאל ומימין לנקודה הקריטית. אם הנגזרת משנה סימן מ-"-" ל-"+" כאשר היא עוברת דרך נקודה קריטית, אז הפונקציה מקבלת מינימום מקומי. אם מ-"+" ל-"-" צריך מקסימום מקומי.

הסוג השני של נקודות קריטיותאלו הם האפסים של המכנה של פונקציות שבריות ואי-רציונליות

פונקציות עם לוגריתמים וטריגונומטריה שאינן מוגדרות בנקודות אלו


הסוג השלישי של נקודות קריטיותיש פונקציות ומודולים רציפים חלקים.
לדוגמה, לכל פונקציית מודול יש מינימום או מקסימום בנקודת שבירה.

לדוגמה מודול y = | x -5 | בנקודה x = 5 יש מינימום (נקודה קריטית).
הנגזרת לא קיימת בו, אבל מימין ומשמאל היא לוקחת את הערך 1 ו-1 בהתאמה.

נסו לזהות נקודות קריטיות של פונקציות

1)
2)
3)
4)
5)

אם בתגובה אתה מקבל את הערך
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
אז אתה כבר יודע איך למצוא נקודות קריטיותולהיות מסוגלים להתמודד עם בקרה או בדיקות פשוטות.

אני חושש שאני לא מכיר את הספריות שבהן אתה משתמש, אבל אני חושב שיש לי רעיון הגיוני לאלגוריתם שאתה יכול להשתמש בו ואני פשוט אעבור על איך הייתי מיישם את זה עם וניל פיתון ואז אני אני בטוח שאתה יכול לשפר את זה וליישם את זה עם הספריות האלה. כמו כן, אני לא טוען שזו הדרך הטובה ביותר להשיג זאת, אבל רציתי תשובה במידה סבירה, אז הנה.

כעת הרעיון מגיע משימוש במכפלת הצלב של שני וקטורים באלגוריתמים כדי למצוא את הקבוצה הקמורה של קבוצת נקודות, למשל. גרהם סריקה. נניח שיש לנו שתי נקודות p1 ו-p2 שמגדירות וקטורים של נקודות p1ו p2, החל מהמקור (0,0) עד (x1, y1) ו-(x2, y2) בהתאמה. מוצר צולב p1איקס p2נותן את הווקטור השלישי p3, אשר מאונך ל p1, ו p2ויש לו ערך שניתן על ידי שטח המקבילית התחום על ידי וקטורים.

תוצאה שימושית מאוד היא שקובע המטריצה

/x1,x2\\y1,y2/

שהוא x1 * y2 - x2 * y1 נותן את גודל הווקטור p3, והסימן מציין אם p3"יוצאים" מהמטוס או "נכנסים" אליו. נקודת המפתח כאן היא שאם הערך הזה חיובי, אז p2ממוקם משמאל ל p1, ואם הוא שלילי, אז p2ימין" p1.

מקווה שהדוגמה הזו לאמנות ascii עוזרת:

P2(4, 5) / / / /_ _ _ _ _. p1(5, 0)

x1 * y2 - x2 * y1 = 5 * 4 - 0 * 5 = 20 וכן הלאה p2ממוקם משמאל ל p1

לבסוף, למה זה שימושי עבורנו! אם יש לנו רשימה של קודקודים מצולעים ונקודות גרף רבות אחרות, אז עבור כל קצה של המצולע נוכל לקבל את הווקטור של אותו קצה. נוכל גם לקבל את הוקטורים המחברים את קודקוד ההתחלה לכל שאר הנקודות בגרף, ועל ידי בדיקה אם הם נמצאים משמאל או מימין לקצה, נוכל להוציא כמה נקודות עבור כל קצה. כל אלה שלא מוסרות בסוף התהליך הן אותן נקודות בתוך המצולע. בכל מקרה, קצת קוד כדי שיהיה ברור יותר!

קבל רשימה של הקודקודים של המצולע שלך בסדר שבו ביקרת בהם, אם היית מצייר אותם נגד כיוון השעון, למשל, מחומש כלשהו עשוי להיות:

poly = [(1, 1), (4, 2), (5, 5), (3, 8), (0, 4)]

קבלו קבוצה שמכילה את כל שאר הנקודות בגרף, נסיר בהדרגה את הנקודות הפסולות מקבוצה זו עד שהן שנותרו בסוף התהליך הן בדיוק הנקודות שנמצאות בתוך המצולע.

points = set(["(3, 0), (10, -2), (3,3), ...])

החלק העיקרי של הקוד עצמו הוא למעשה די קומפקטי לכמה זמן לקח לי לכתוב על איך זה עובד. to_right לוקח שני tuples המייצגים וקטורים ומחזיר True אם v2 נמצא מימין ל-v1. לאחר מכן, הלולאות עוברות דרך כל הקצוות של המצולע ומסירות נקודות מסט העבודה אם הן מימין לאחד מהקצוות.

Def to_right(v1, v2): return (v1*v2 - v1*v2)< 0 for i in range(len(poly)): v1 = poly v2 = poly[i] for p in points: if(to_right(v2-v1, p-v1)): points.remove(p)

עריכה: ליתר דיוק, העובדה שהם מוסרים אם הם מימין ולא משמאל קשורה לסדר שבו מצוינים קודקודי המצולע. אם הם היו בסדר עם כיוון השעון, היה עליך לא לכלול את הנקודות השמאליות במקום זאת. כרגע אין לי פתרון מיוחד לבעיה הזו.

בכל מקרה, אני מקווה שאני צודק לגבי זה וזה עשוי לעזור למישהו גם אם לא ה-OP. המורכבות האסימפטוטית של אלגוריתם זה היא O(mn) כאשר n הוא מספר הנקודות בגרף ו-m הוא מספר הקודקודים של המצולע, מכיוון שבמקרה הגרוע כל הנקודות נמצאות בתוך המצולע ועלינו לבדוק כל נקודה על כל קצה בלי אף אחד מוסר.