סידור קווים הדדי במרחב. בעיות עם קו ישר במרחב

תנו שני קווים ונדרש למצוא את נקודת החיתוך שלהם. מכיוון שנקודה זו שייכת לכל אחד משני הקווים הנתונים, הקואורדינטות שלה חייבות לעמוד הן במשוואת הישר הראשון והן את משוואת הישר השני.

לפיכך, כדי למצוא את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של שני קווים, יש לפתור את מערכת המשוואות

דוגמה 1. מצא את נקודת החיתוך של קווים ו

פִּתָרוֹן. נמצא את הקואורדינטות של נקודת החיתוך הרצויה על ידי פתרון מערכת המשוואות

לנקודת החיתוך M יש קואורדינטות

הבה נראה כיצד לבנות קו ישר מהמשוואה שלו. כדי לצייר קו, מספיק לדעת שתיים מהנקודות שלו. כדי לשרטט כל אחת מהנקודות הללו, אנו נותנים ערך שרירותי לאחת מהקואורדינטות שלה, ואז מהמשוואה נמצא את הערך המתאים של הקואורדינטה השנייה.

אם במשוואה הכללית של ישר, שני המקדמים בקואורדינטות הנוכחיות אינם שווים לאפס, אז כדי לבנות את הישר הזה, עדיף למצוא את נקודות החיתוך שלו עם צירי הקואורדינטות.

דוגמה 2. בנה קו ישר.

פִּתָרוֹן. מצא את נקודת החיתוך של הישר הזה עם ציר ה-x. לשם כך, אנו פותרים יחד את המשוואות שלהם:

ואנחנו מקבלים. כך נמצאה הנקודה M (3; 0) של החיתוך של קו ישר זה עם ציר האבשסיס (איור 40).

פותרים אז במשותף את משוואת הישר הנתון ואת משוואת ציר ה-y

נמצא את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-y. לבסוף, אנו בונים קו משתי הנקודות שלו M ו

אוי-אוי-אוי-אוי... ובכן, זה פח, כאילו קראת לעצמך את המשפט =) עם זאת, אז הרפיה תעזור, במיוחד שקניתי היום אביזרים מתאימים. לכן, בואו נמשיך לחלק הראשון, אני מקווה, עד סוף המאמר אשמור על מצב רוח עליז.

סידור הדדי של שני קווים ישרים

המקרה שבו האולם שר יחד במקהלה. שני קווים יכולים:

1) התאמה;

2) להיות מקביל: ;

3) או להצטלב בנקודה אחת:.

עזרה לבובות : אנא זכור את הסימן המתמטי של הצומת, הוא יתרחש לעתים קרובות מאוד. משמעות הערך היא שהקו מצטלב עם הקו בנקודה.

כיצד לקבוע את המיקום היחסי של שני קווים?

נתחיל מהמקרה הראשון:

שני קווים חופפים אם ורק אם המקדמים בהתאמה הם פרופורציונליים, כלומר יש מספר כזה "למבדה" שהשוויון

הבה נשקול קווים ישרים ונרכיב שלוש משוואות מהמקדמים המתאימים: . מכל משוואה עולה כי, לפיכך, קווים אלו חופפים.

אכן, אם כל המקדמים של המשוואה להכפיל ב-1 (שנה סימנים), ואת כל המקדמים של המשוואה הפחת ב-2, אתה מקבל את אותה משוואה: .

המקרה השני כאשר הקווים מקבילים:

שני קווים מקבילים אם ורק אם המקדמים שלהם במשתנים הם פרופורציונליים: , אבל.

כדוגמה, שקול שני קווים ישרים. אנו בודקים את המידתיות של המקדמים המתאימים עבור המשתנים:

עם זאת, ברור ש.

והמקרה השלישי, כשהקווים מצטלבים:

שני קווים מצטלבים אם ורק אם מקדמי המשתנים שלהם אינם פרופורציונלייםכלומר, אין ערך כזה של "למבדה" שהשוויון יתממש

אז, עבור קווים ישרים נרכיב מערכת:

מהמשוואה הראשונה עולה כי , ומהמשוואה השנייה: , ומכאן, המערכת לא עקבית(אין פתרונות). לפיכך, המקדמים במשתנים אינם פרופורציונליים.

מסקנה: קווים מצטלבים

בבעיות מעשיות, ניתן להשתמש בסכימת הפתרון שזה עתה נשקללה. אגב, זה מאוד דומה לאלגוריתם לבדיקת וקטורים לקולינאריות, עליו שקלנו בשיעור. המושג של תלות ליניארית (לא) של וקטורים. בסיס וקטור. אבל יש חבילה מתורבתת יותר:

דוגמה 1

גלה את המיקום היחסי של הקווים:

פִּתָרוֹןמבוסס על מחקר של כיוון וקטורים של קווים ישרים:

א) מהמשוואות נמצא את וקטורי הכיוון של הישרים: .

, כך שהווקטורים אינם קולינאריים והקווים מצטלבים.

ליתר בטחון, אני אשים אבן עם מצביעים על פרשת דרכים:

השאר קופצים מעל האבן וממשיכים, ישר לקשצ'י חסר המוות =)

ב) מצא את וקטורי הכיוון של הקווים:

לקווים יש אותו וקטור כיוון, כלומר הם מקבילים או זהים. כאן הקובע אינו הכרחי.

ברור, המקדמים של הלא ידועים הם פרופורציונליים, בעוד .

בואו לגלות אם השוויון נכון:

לכן,

ג) מצא את וקטורי הכיוון של הקווים:

הבה נחשב את הקובע, המורכב מהקואורדינטות של הוקטורים הללו:
לכן, וקטורי הכיוון הם קולינאריים. הקווים הם מקבילים או חופפים.

קל לראות את גורם המידתיות "למבדה" ישירות מהיחס בין וקטורי הכיוון הקולינארי. עם זאת, ניתן למצוא אותו גם דרך המקדמים של המשוואות עצמן: .

עכשיו בואו נגלה אם השוויון נכון. שני התנאים החופשיים הם אפס, אז:

הערך המתקבל עונה על המשוואה הזו (כל מספר בדרך כלל עומד בה).

לפיכך, הקווים חופפים.

תשובה:

בקרוב מאוד תלמדו (או אפילו כבר למדתם) לפתור את הבעיה הנחשבת מילולית תוך שניות ספורות. בהקשר זה, אני לא רואה סיבה להציע משהו לפתרון עצמאי, עדיף להניח לבנה חשובה נוספת בבסיס הגיאומטרי:

איך לצייר קו מקביל לקו נתון?

בגלל בורות במשימה הפשוטה ביותר הזו, הזמיר השודד מעניש בחומרה.

דוגמה 2

הקו הישר ניתן על ידי המשוואה. כתבו משוואה לישר מקביל שעובר דרך הנקודה.

פִּתָרוֹן: סמן את השורה הלא ידועה באות . מה אומר התנאי על כך? הקו עובר דרך הנקודה. ואם הקווים מקבילים, אז ברור שהווקטור המכוון של הישר "ce" מתאים גם לבניית הקו "דה".

נוציא את וקטור הכיוון מהמשוואה:

תשובה:

הגיאומטריה של הדוגמה נראית פשוטה:

אימות אנליטי מורכב מהשלבים הבאים:

1) נבדוק שלקווים יש אותו וקטור כיוון (אם משוואת הישר לא מפושטת כראוי, אז הוקטורים יהיו קולינאריים).

2) בדוק אם הנקודה עומדת במשוואה שהתקבלה.

אימות אנליטי ברוב המקרים קל לביצוע בעל פה. הסתכלו על שתי המשוואות ורבים מכם יבינו במהירות כיצד הקווים מקבילים ללא כל ציור.

דוגמאות לפתרון עצמי היום יהיו יצירתיות. כי אתה עדיין צריך להתחרות עם באבא יאגה, והיא, אתה יודע, חובבת כל מיני חידות.

דוגמה 3

כתוב משוואה לישר העובר דרך נקודה מקבילה לישר אם

יש דרך רציונלית ולא רציונלית במיוחד לפתור. הדרך הקצרה ביותר היא בסוף השיעור.

עשינו עבודה קטנה עם קווים מקבילים ונחזור אליהם בהמשך. המקרה של קווים חופפים אינו מעניין במיוחד, אז הבה נבחן בעיה המוכרת לך היטב מתוכנית הלימודים בבית הספר:

איך למצוא את נקודת החיתוך של שני קווים?

אם ישר מצטלבים בנקודה , אז הקואורדינטות שלו הן הפתרון מערכות של משוואות ליניאריות

איך למצוא את נקודת החיתוך של קווים? פתור את המערכת.

לחייך משמעות גיאומטרית של מערכת של שתי משוואות ליניאריות עם שני לא ידועיםהם שני קווים ישרים מצטלבים (לרוב) במישור.

דוגמה 4

מצא את נקודת החיתוך של קווים

פִּתָרוֹן: ישנן שתי דרכים לפתור - גרפית ואנליטית.

הדרך הגרפית היא פשוט לצייר את הקווים הנתונים ולגלות את נקודת החיתוך ישירות מהציור:

הנה הנקודה שלנו: . כדי לבדוק, עליך להחליף את הקואורדינטות שלו בכל משוואה של קו ישר, הן צריכות להתאים גם שם וגם שם. במילים אחרות, הקואורדינטות של נקודה הן הפתרון של המערכת. למעשה, שקלנו דרך גרפית לפתרון מערכות של משוואות ליניאריותעם שתי משוואות, שני לא ידועים.

השיטה הגרפית, כמובן, לא רעה, אבל יש חסרונות בולטים. לא, העניין הוא לא שתלמידי כיתה ז' מחליטים כך, העניין הוא שיקח זמן לעשות ציור נכון ומדויק. בנוסף, יש קווים שלא כל כך קל לבנות, ונקודת ההצטלבות עצמה יכולה להיות איפשהו בממלכה השלושים מחוץ לגיליון המחברת.

לכן, כדאי יותר לחפש את נקודת ההצטלבות בשיטה האנליטית. בואו נפתור את המערכת:

כדי לפתור את המערכת, נעשה שימוש בשיטה של ​​חיבור מונחי של משוואות. כדי לפתח את המיומנויות הרלוונטיות, בקר בשיעור איך פותרים מערכת משוואות?

תשובה:

האימות הוא טריוויאלי - הקואורדינטות של נקודת החיתוך חייבות לעמוד בכל משוואה של המערכת.

דוגמה 5

מצא את נקודת החיתוך של הקווים אם הם נחתכים.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. נוח לחלק את הבעיה למספר שלבים. ניתוח המצב מצביע על כך שזה הכרחי:
1) כתוב את המשוואה של ישר.
2) כתוב את המשוואה של ישר.
3) גלה את המיקום היחסי של הקווים.
4) אם הקווים מצטלבים, אז מצא את נקודת החיתוך.

פיתוח של אלגוריתם פעולה אופייני לבעיות גיאומטריות רבות, ואני אתמקד בזה שוב ושוב.

פתרון מלא ותשובה בסוף המדריך:

זוג נעליים עדיין לא נשחקו, כשהגענו לחלק השני של השיעור:

קווים מאונכים. המרחק מנקודה לקו.
זווית בין השורות

נתחיל במשימה טיפוסית וחשובה מאוד. בחלק הראשון, למדנו איך לבנות קו ישר במקביל לקו הנתון, ועכשיו הצריף על רגלי תרנגולת יפנה 90 מעלות:

איך לצייר קו מאונך לקו נתון?

דוגמה 6

הקו הישר ניתן על ידי המשוואה. כתבו משוואה לישר מאונך העובר בנקודה.

פִּתָרוֹן: ידוע בהנחה ש. זה יהיה נחמד למצוא את וקטור הכיוון של הקו הישר. מכיוון שהקווים מאונכים, הטריק הוא פשוט:

מהמשוואה אנו "מסירים" את הווקטור הנורמלי: , שיהיה הווקטור המכוון של הישר.

אנו מרכיבים את המשוואה של ישר על ידי נקודה ווקטור מכוון:

תשובה:

בואו נפרוש את הסקיצה הגיאומטרית:

הממ... שמיים כתומים, ים כתום, גמל כתום.

אימות אנליטי של הפתרון:

1) חלץ את וקטורי הכיוון מהמשוואות ועם העזרה מכפלת נקודה של וקטוריםאנו מסיקים שהקווים אכן מאונכים: .

אגב, אפשר להשתמש בוקטורים רגילים, זה אפילו יותר קל.

2) בדוק אם הנקודה עומדת במשוואה שהתקבלה .

אימות, שוב, קל לביצוע מילולית.

דוגמה 7

מצא את נקודת החיתוך של קווים מאונכים, אם המשוואה ידועה ונקודה.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. במשימה יש מספר פעולות ולכן נוח לסדר את הפתרון נקודה אחר נקודה.

המסע המרגש שלנו ממשיך:

מרחק מנקודה לקו

לפנינו רצועה ישרה של הנהר ומשימתנו היא להגיע אליו בדרך הקצרה ביותר. אין מכשולים, והמסלול האופטימלי ביותר יהיה תנועה לאורך הניצב. כלומר, המרחק מנקודה לישר הוא אורך הקטע הניצב.

המרחק בגיאומטריה מסומן באופן מסורתי באות היוונית "ro", למשל: - המרחק מהנקודה "em" לקו הישר "de".

מרחק מנקודה לקו מתבטא בנוסחה

דוגמה 8

מצא את המרחק מנקודה לישר

פִּתָרוֹן: כל מה שאתה צריך הוא להחליף בזהירות את המספרים בנוסחה ולבצע את החישובים:

תשובה:

בוא נבצע את הציור:

המרחק שנמצא מהנקודה לישר הוא בדיוק אורך הקטע האדום. אם אתה עושה ציור על נייר משובץ בקנה מידה של 1 יחידה. \u003d 1 ס"מ (2 תאים), אז ניתן למדוד את המרחק עם סרגל רגיל.

שקול משימה אחרת לפי אותו ציור:

המשימה היא למצוא את הקואורדינטות של הנקודה, שהיא סימטרית לנקודה ביחס לישר. . אני מציע לבצע את הפעולות בעצמך, עם זאת, אתאר את אלגוריתם הפתרון עם תוצאות ביניים:

1) מצא קו מאונך לישר.

2) מצא את נקודת החיתוך של הקווים: .

שתי הפעולות נדונות בפירוט בשיעור זה.

3) הנקודה היא נקודת האמצע של הקטע. אנחנו יודעים את הקואורדינטות של האמצע ואחד הקצוות. על ידי נוסחאות לקואורדינטות של אמצע הקטעלמצוא .

לא יהיה מיותר לבדוק שגם המרחק שווה ל-2.2 יחידות.

קשיים כאן עשויים להתעורר בחישובים, אבל במגדל מיקרו מחשבון עוזר מאוד, ומאפשר לך לספור שברים רגילים. ייעצתי פעמים רבות ואמליץ שוב.

כיצד למצוא את המרחק בין שני קווים מקבילים?

דוגמה 9

מצא את המרחק בין שני קווים מקבילים

זוהי דוגמה נוספת לפתרון עצמאי. רמז קטן: יש אינסוף דרכים לפתור. תחקיר בסוף השיעור, אבל מוטב שתנסה לנחש בעצמך, אני חושב שהצלחת לפזר היטב את כושר ההמצאה שלך.

זווית בין שני קווים

לא משנה מה הפינה, אז המשקוף:


בגיאומטריה, הזווית בין שני קווים ישרים נלקחת בתור הזווית SMALLER, שממנה נובע אוטומטית שהיא לא יכולה להיות קהה. באיור, הזווית המצוינת על ידי הקשת האדומה אינה נחשבת לזווית בין קווים מצטלבים. והשכן ה"ירוק" שלו או בכיוון הפוךפינת ארגמן.

אם הקווים מאונכים, ניתן לקחת כל אחת מארבע הזוויות בתור הזווית ביניהן.

במה זוויות שונות? נטייה. ראשית, כיוון ה"גלילה" בפינה חשוב מהותית. שנית, זווית בעלת אוריינטציה שלילית נכתבת עם סימן מינוס, למשל, אם .

למה אמרתי את זה? נראה שאפשר להסתדר עם הקונספט הרגיל של זווית. העובדה היא שבנוסחאות שלפיהן נמצא את הזוויות, ניתן בקלות לקבל תוצאה שלילית, וזה לא אמור להפתיע אותך. זווית עם סימן מינוס אינה גרועה יותר, ויש לה משמעות גיאומטרית מאוד ספציפית. בציור עבור זווית שלילית, חובה לציין את הכיוון שלה (בכיוון השעון) עם חץ.

איך למצוא את הזווית בין שני קווים?ישנן שתי נוסחאות עבודה:

דוגמה 10

מצא את הזווית בין השורות

פִּתָרוֹןו שיטה ראשונה

שקול שני ישרים שניתנו על ידי משוואות בצורה כללית:

אם ישר לא מאונך, זה מכווןניתן לחשב את הזווית ביניהם באמצעות הנוסחה:

בואו נשים לב היטב למכנה – זה בדיוק מוצר סקלריוקטורי כיוון של קווים ישרים:

אם , אז המכנה של הנוסחה נעלם, והווקטורים יהיו אורתוגונליים והקווים יהיו מאונכים. לכן ניתנה הסתייגות על אי-ניצבות הקווים בניסוח.

בהתבסס על האמור לעיל, הפתרון מנוסח בצורה נוחה בשני שלבים:

1) חשב את המכפלה הסקלרית של הכוונת וקטורים של קווים ישרים:
כך שהקווים אינם מאונכים.

2) נמצא את הזווית בין הקווים לפי הנוסחה:

באמצעות הפונקציה ההפוכה, קל למצוא את הזווית עצמה. במקרה זה, אנו משתמשים במוזרות של משיק הקשת (ראה איור. גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות):

תשובה:

בתשובה, אנו מציינים את הערך המדויק, וכן את הערך המשוער (רצוי הן במעלות והן ברדיאנים), המחושבים באמצעות מחשבון.

ובכן, מינוס, אז מינוס, זה בסדר. הנה איור גיאומטרי:

אין זה מפתיע שהזווית התבררה כבעלת כיוון שלילי, מכיוון שבמצב הבעיה המספר הראשון הוא קו ישר וה"פיתול" של הזווית התחיל בדיוק ממנו.

אם אתה באמת רוצה לקבל זווית חיובית, אתה צריך להחליף את הקווים הישרים, כלומר לקחת את המקדמים מהמשוואה השנייה , ולקחת את המקדמים מהמשוואה הראשונה . בקיצור, אתה צריך להתחיל עם ישיר .

קו מאונך

משימה זו היא כנראה אחת הפופולריות והמבוקשות ביותר בספרי הלימוד. המשימות המבוססות על נושא זה הן מגוונות. זו ההגדרה של נקודת החיתוך של שני ישרים, זו ההגדרה של משוואת ישר העובר דרך נקודה על הישר המקורי בכל זווית.

נתייחס לנושא זה תוך שימוש בחישובים שלנו בנתונים שהתקבלו באמצעות

שם נשקלו הפיכת המשוואה הכללית של ישר, למשוואה בעלת שיפוע ולהיפך, וקביעת יתר הפרמטרים של ישר לפי תנאים נתונים.

מה חסר לנו כדי לפתור את הבעיות שהדף הזה מוקדש להן?

1. נוסחאות לחישוב אחת מהזוויות בין שני ישרים מצטלבים.

אם יש לנו שני ישרים הניתנים במשוואות:

ואז אחת מהזוויות מחושבת כך:

2. משוואת ישר עם שיפוע העובר בנקודה נתונה

מנוסחה 1, אנו יכולים לראות שתי מדינות גבול

א) כאשר אז ולכן שני הקווים הנתונים הללו מקבילים (או חופפים)

ב) כאשר , אז , ולכן קווים אלה מאונכים, כלומר, הם מצטלבים בזווית ישרה.

מה יכולים להיות הנתונים הראשוניים לפתרון בעיות כאלה, למעט קו ישר נתון?

נקודה על ישר והזווית שבה חותך אותה הישר השני

המשוואה השנייה של הקו

אילו משימות יכול בוט לפתור?

1. שני קווים ישרים ניתנים (באופן מפורש או מרומז, למשל, בשתי נקודות). חשב את נקודת החיתוך ואת הזוויות שבהן הם נחתכים.

2. נתון קו ישר אחד, נקודה על קו ישר וזווית אחת. קבע את המשוואה של ישר החותך אחד נתון בזווית מוגדרת

דוגמאות

שני קווים ישרים ניתנים על ידי משוואות. מצא את נקודת החיתוך של הקווים הללו ואת הזוויות שבהן הם נחתכים

line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

אנו מקבלים את התוצאה הבאה

משוואת השורה הראשונה

y = 2.2 x + (1.2)

משוואת השורה השנייה

y = 0.4285714285714 x + (-5)

זווית חיתוך של שני קווים (במעלות)

-42.357454705937

נקודת חיתוך של שני קווים

x=-3.5

y=-6.5

אל תשכח שהפרמטרים של שתי השורות מופרדים בפסיק, והפרמטרים של כל שורה בנקודה פסיק.

הקו עובר דרך שתי נקודות (1:-4) ו- (5:2). מצא את המשוואה של ישר העובר דרך הנקודה (-2:-8) וחותך את הישר המקורי בזווית של 30 מעלות.

קו ישר אחד ידוע לנו, שכן ידועות שתי נקודות בהן הוא עובר.

נותר לקבוע את המשוואה של הקו הישר השני. נקודה אחת ידועה לנו, ובמקום השנייה מצוינת הזווית שבה חוצה הישר הראשון את השני.

נראה שהכל ידוע, אבל העיקר כאן לא לטעות. אנחנו מדברים על הזווית (30 מעלות) לא בין ציר ה-x לישר, אלא בין הקו הראשון והשני.

בשביל זה אנחנו מפרסמים ככה. בואו נקבע את הפרמטרים של השורה הראשונה, ונברר באיזו זווית הוא חותך את ציר ה-x.

שורה xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

משוואה כללית Ax+By+C = 0

מקדם A = -6

פקטור B = 4

מקדם C = 22

מקדם a= 3.6666666666667

מקדם b = -5.5

מקדם k = 1.5

זווית הנטייה לציר (במעלות) f = 56.309932474019

מקדם p = 3.0508510792386

מקדם q = 2.5535900500422

מרחק בין נקודות=7.211102550928

אנו רואים שהקו הראשון חוצה את הציר בזווית 56.309932474019 מעלות.

נתוני המקור אינם אומרים בדיוק כיצד הקו השני חוצה את הראשון. הרי אפשר לצייר שני קווים העונים על התנאים, הראשון הסתובב 30 מעלות בכיוון השעון, והשני 30 מעלות נגד כיוון השעון.

בואו נספור אותם

אם הישר השני מסובב 30 מעלות נגד כיוון השעון, אזי הקו השני תהיה בעלת דרגת חיתוך עם ציר ה-x 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 מעלות

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

פרמטרים של קו ישר לפי הפרמטרים הנתונים

משוואה כללית Ax+By+C = 0

מקדם A = 23.011106998916

פקטור B = -1.4840558255286

מקדם C = 34.149767393603

משוואת ישר בקטעים x/a+y/b = 1

מקדם a= -1.4840558255286

מקדם b = 23.011106998916

משוואת ישר עם מקדם זוויתי y = kx + b

מקדם k = 15.505553499458

זווית הנטייה לציר (במעלות) f = 86.309932474019

משוואה נורמלית של הישר x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

מקדם p = -1.4809790664999

מקדם q = 3.0771888256405

מרחק בין נקודות=23.058912962428

מרחק מנקודה לישר li =

כלומר, משוואת השורה השנייה שלנו היא y= 15.505553499458x+ 23.011106998916

נקודת חיתוך של קווים

תנו לנו שני קווים ישרים הניתנים על ידי המקדמים שלהם ו . נדרש למצוא את נקודת החיתוך שלהם, או לגלות שהקווים מקבילים.

פִּתָרוֹן

אם שני קווים אינם מקבילים, אז הם מצטלבים. כדי למצוא את נקודת החיתוך, מספיק להרכיב מערכת של שתי משוואות של ישרים ולפתור אותה:

באמצעות הנוסחה של Cramer, אנו מוצאים מיד פתרון למערכת, שיהיה הרצוי נקודת צומת:

אם המכנה הוא אפס, כלומר.

אז למערכת הפתרונות אין (ישיר מקביליםואינם חופפים) או שיש לו אינסוף רבים (ישירים התאמה). אם יש צורך להבחין בין שני המקרים הללו, יש לבדוק כי מקדמי הקווים פרופורציונליים עם מקדם מידתיות זהה למקדמים ולגביהם די לחשב שני גורמים, אם שניהם שווים. לאפס, אז השורות חופפות:

יישום

struct pt (כפול x, y;); קו מבנה (כפול a, b, c;); constdouble EPS=1e-9; double det (double a, double b, double c, double d)(return a * d - b * c;) bool intersect (line m, line n, pt & res)(double zn = det (m.a, m.b, n.a) , n.b);if(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}

שיעור מהסדרה" אלגוריתמים גיאומטריים»

שלום קורא יקר.

טיפ 1: כיצד למצוא את הקואורדינטות של נקודת החיתוך של שני קווים

בוא נכתוב עוד שלוש פונקציות חדשות.

הפונקציה LinesCross() תקבע אם לְהִצְטָלֵבאם שניים מִגזָר. בו, המיקום היחסי של המקטעים נקבע באמצעות מוצרים וקטוריים. כדי לחשב מוצרים וקטוריים, בוא נכתוב פונקציה - VektorMulti().

הפונקציה RealLess() תשמש ליישום פעולת ההשוואה "<” (строго меньше) для вещественных чисел.

משימה 1. שני קטעים ניתנים לפי הקואורדינטות שלהם. כתוב תוכנית שקובעת האם הקטעים הללו מצטלבים?מבלי למצוא את נקודת ההצטלבות.

פִּתָרוֹן
. השני ניתן על ידי נקודות.

שקול קטע ונקודות ו.

הנקודה נמצאת משמאל לקו, שעבורו מכפלת וקטור > 0, מכיוון שהווקטורים הם בעלי אוריינטציה חיובית.

הנקודה ממוקמת מימין לקו, עבורה המכפלה הווקטורית< 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

על מנת שהנקודות ו , ישכבו בצדדים מנוגדים של הקו , מספיק שהתנאי< 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

נימוק דומה יכול להתבצע עבור הקטע ונקודות ו.

אז אם , ואז הקטעים מצטלבים.

כדי לבדוק מצב זה, נעשה שימוש בפונקציה LinesCross() וכדי לחשב מוצרים וקטורים, נעשה שימוש בפונקציה VektorMulti() .

ax, ay הן הקואורדינטות של הווקטור הראשון,

bx, by הן הקואורדינטות של הווקטור השני.

תוכנית גיאומטריה4; (האם 2 קטעים מצטלבים?) Const _Eps: Real=1e-4; (דיוק חישוב) var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: אמיתי; var v1,v2,v3,v4: real;function RealLess(Const a, b: Real): Boolean; (בגדר פחות מ) להתחיל RealLess:= b-a> _Eps end; (RealLess)function VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): אמיתי; (ax,ay - קואורדינטות a bx,by - b) begin vektormulti:= ax*by-bx*ay; end;Function LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): בוליאני; (האם הקטעים מצטלבים?) מתחילים v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vectormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vectormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vectormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); if RealLess(v1*v2.0) ו-RealLess(v3*v4.0) (v1v2)<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.

תוצאות ביצוע התוכנית:

הזן את הקואורדינטות של הקטעים: -1 1 2 2.52 2 1 -1 3
כן.

כתבנו תוכנית שקובעת אם הקטעים הניתנים בקואורדינטות שלהם מצטלבים.

בשיעור הבא נכתוב אלגוריתם שבעזרתו ניתן לקבוע אם נקודה נמצאת בתוך משולש.

קורא יקר.

כבר קראתם כמה שיעורים מסדרת האלגוריתמים הגיאומטריים. האם הכל זמין כתוב? אני אודה מאוד אם תשאיר ביקורת על שיעורים אלה. אולי צריך לשפר משהו אחר.

בכבוד רב, ורה גוספודרץ.

תנו שני קטעים. הראשון ניתן על ידי נקודות P 1 (x 1 ;y 1)ו P 2 (x 2 ;y 2). השני ניתן על ידי נקודות P 3 (x 3 ;y 3)ו P 4 (x 4 ;y 4).

ניתן לבדוק את המיקום היחסי של המקטעים באמצעות מוצרים וקטוריים:

שקול את הקטע P 3 P 4ונקודות P1ו P2.

נְקוּדָה P1שוכב משמאל לקו P 3 P 4, עבורו המוצר הווקטורי v1 > 0, מכיוון שהווקטורים הם בעלי אוריינטציה חיובית.
נְקוּדָה P2ממוקם מימין לקו, עבורו המוצר הווקטור v2< 0 , מכיוון שהווקטורים הם בעלי אוריינטציה שלילית.

להצביע P1ו P2לשכב על צדדים מנוגדים של קו ישר P 3 P 4, די בכך שהתנאי v 1 v 2< 0 (למוצרי וקטור היו סימנים הפוכים).

ניתן לבצע נימוקים דומים עבור הקטע P 1 P 2ונקודות P3ו P4.

אז אם v 1 v 2< 0 ו v 3 v 4< 0 , ואז הקטעים מצטלבים.

מכפלת הצלב של שני וקטורים מחושב על ידי הנוסחה:

איפה:
גַרזֶן, אההן הקואורדינטות של הווקטור הראשון,
bx, על ידיהן הקואורדינטות של הווקטור השני.

משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות שונות הניתנות בקואורדינטות שלהן.

תנו שתי נקודות לא חופפות על קו ישר: P1עם קואורדינטות ( x1;y1)ו P2עם קואורדינטות (x 2 ; y 2).

צומת קו

בהתאם לכך, הווקטור עם המקור בנקודה P1ולסיים בנקודה מסוימת P2יש קואורדינטות (x 2 -x 1, y 2 -y 1). אם P(x, y)היא נקודה שרירותית על הקו, ואז הקואורדינטות של הווקטור P 1 Pשווה (x - x 1, y - y 1).

בעזרת תוצר הצלב, מצב הקולינריות של וקטורים P 1 Pו P 1 P 2אפשר לכתוב כך:
|P 1 P,P 1 P 2 |=0, כלומר (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
אוֹ
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0

המשוואה האחרונה נכתבת מחדש באופן הבא:
ax + by + c = 0, (1)
איפה
a \u003d (y 2 -y 1),
b \u003d (x 1 -x 2),
c \u003d x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1)

אז, ניתן לתת את הקו הישר על ידי משוואה של הצורה (1).

איך למצוא את נקודת החיתוך של קווים?
הפתרון הברור הוא לפתור את מערכת משוואות הקווים:

ax 1 +by 1 =-c 1
ax 2 +by 2 =-c 2 (2)

הכנס ייעודים:

כאן דהוא הקובע של המערכת, ו D x, D yהם הקובעים המתקבלים על ידי החלפת עמודת המקדמים עבור הלא נודע המקביל בעמודה של מונחים חופשיים. אם D ≠ 0, אז מערכת (2) היא מוגדרת, כלומר יש לה פתרון ייחודי. ניתן למצוא פתרון זה באמצעות הנוסחאות הבאות: x 1 \u003d D x / D, y 1 \u003d D y / D, אשר נקראות הנוסחאות של קריימר. תזכורת קטנה כיצד מחושב הקובע מסדר שני. הקובע מבחין בין שני אלכסונים: הראשי והמשני. האלכסון הראשי מורכב מאלמנטים שנלקחו בכיוון מהפינה השמאלית העליונה של הקובע לפינה הימנית התחתונה. אלכסון צד - מימין למעלה לשמאל תחתון. הקובע מסדר שני שווה למכפלת מרכיבי האלכסון הראשי פחות המכפלה של מרכיבי האלכסון המשני.

אם ישר

לשכב באותו מישור, אם כן

או בצורה וקטורית

לעומת זאת, אם תנאי (3) מתקיים, אז הקווים נמצאים באותו מישור.

הֶסבֵּר. אם הקווים (1) ו-(2) שוכנים באותו מישור, אזי הקו נמצא במישור האחרון (איור 177), כלומר, הוקטורים הם קו מישוריים (ולהיפך). זה מה שמשוואה (3) מבטאת (ראה סעיף 120).

תגובה. אם (במקרה זה (3) בהכרח מרוצה), אז הקווים מקבילים. אחרת, הקווים המקיימים תנאי (3) מצטלבים.

דוגמא. קבע אם קווים מצטלבים

ואם כן באיזה שלב.

פִּתָרוֹן. קווים ישרים (1) ו-(2) נמצאים באותו מישור, שכן הקובע (3), שווה להיעלם. קווים אלו אינם מקבילים (גורמי הדרכה אינם פרופורציונליים). כדי למצוא את נקודת החיתוך, יש צורך לפתור את המערכת של ארבע משוואות (1), (2) עם שלושה לא ידועים. ככלל, למערכת כזו אין פתרונות, אך במקרה זה (בשל קיום תנאי (3)) יש פתרון. לאחר שפתרנו את המערכת של שלוש משוואות כלשהן, נקבל את המשוואה הרביעית מרוצה. נקודת צומת (1; 2; 3).