Manekenų vektoriai. Veiksmai su vektoriais

Apibrėžimas

Skaliarinis- reikšmė, kurią galima apibūdinti skaičiumi. Pavyzdžiui, ilgis, plotas, masė, temperatūra ir kt.

Vektorius nukreiptas segmentas vadinamas $\overline(A B)$; taškas $A$ - pradžia, taškas $B$ - vektoriaus pabaiga (1 pav.).

Vektorius žymimas dviem didžiosiomis raidėmis – jo pradžia ir pabaiga: $\overline(A B)$ arba viena maža raide: $\overline(a)$.

Apibrėžimas

Jei vektoriaus pradžia ir pabaiga yra ta pati, tai toks vektorius vadinamas nulis. Dažniausiai nulinis vektorius žymimas kaip $\overline(0)$.

Vektoriai vadinami kolinearinis, jei jie yra toje pačioje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse (2 pav.).

Apibrėžimas

Iškviečiami du kolineariniai vektoriai $\overline(a)$ ir $\overline(b)$ bendros krypties, jei jų kryptys vienodos: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (3 pav., a). Iškviečiami du kolineariniai vektoriai $\overline(a)$ ir $\overline(b)$ priešingomis kryptimis, jei jų kryptys priešingos: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (3b pav.).

Apibrėžimas

Vektoriai vadinami koplanarinis jei jie yra lygiagrečiai tai pačiai plokštumai arba yra toje pačioje plokštumoje (4 pav.).

Du vektoriai visada yra vienodi.

Apibrėžimas

Ilgis (modulis) vektorius $\overline(A B)$ yra atstumas tarp jo pradžios ir pabaigos: $|\overline(A B)|$

Išsamią teoriją apie vektoriaus ilgį rasite nuorodoje.

Nulinio vektoriaus ilgis lygus nuliui.

Apibrėžimas

Vadinamas vektorius, kurio ilgis lygus vienetui vieneto vektorius arba ortom.

Vektoriai vadinami lygus jei jie guli ant vienos arba lygiagrečių linijų; jų kryptys sutampa, o ilgiai lygūs.

Šiame straipsnyje pateiksime vektoriaus apibrėžimą pagal geometriją, taip pat pagrindines susijusias sąvokas. Plokštumoje ir erdvėje vektorius yra visavertis geometrinis objektas, tai yra, jis turi labai tikrus kontūrus, kuriuos pamatysite aukščiau pateiktose grafinėse iliustracijose.

Apibrėžimas.

Vektorius yra nukreipta linijos atkarpa.

Tai yra, kaip vektorių, atkarpą imame plokštumoje arba erdvėje, vieną jos ribinį tašką laikant pradžia, kitą pabaiga.

Norėdami pažymėti vektorius, naudosime mažąsias lotyniškas raides su rodykle virš jų, pavyzdžiui, . Jei pateikiami atkarpos pradžios ir pabaigos ribiniai taškai, pavyzdžiui, A ir B, tada vektorius bus pažymėtas kaip .

Apibrėžimas.

Nulinis vektorius yra bet koks plokštumos ar erdvės taškas.

Apibrėžimas.

Vektoriaus ilgis yra neneigiamas skaičius, lygus atkarpos AB ilgiui.

Vektoriaus ilgis bus pažymėtas kaip .

Kadangi vektoriaus ilgio žymėjimas yra visiškai toks pat kaip modulio ženklas, galite išgirsti, kad vektoriaus ilgis vadinamas vektoriaus moduliu. Vis tiek rekomenduojame vartoti terminą „vektoriaus ilgis“. Nulinio vektoriaus ilgis lygus nuliui.

Apibrėžimas.

Du vektoriai vadinami kolinearinis jei jie yra toje pačioje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse.

Apibrėžimas.

Du vektoriai vadinami nekolinearinis jei jie nėra toje pačioje tiesėje arba lygiagrečių tiesių.

Nulinis vektorius yra kolinearinis bet kuriam kitam vektoriui.

Apibrėžimas.

bendros krypties, jei jų kryptys sutampa ir žymi .

Apibrėžimas.

Du kolineariniai vektoriai ir vadinami priešingomis kryptimis, jei jų kryptys yra priešingos ir žymi .

Apibrėžimas.

Du vektoriai vadinami lygus jei jie yra vienakrypčiai ir jų ilgiai lygūs.

Apibrėžimas.

Du vektoriai vadinami priešingas jeigu jie yra priešingos krypties ir jų ilgiai lygūs.

Lygių vektorių samprata suteikia mums galimybę nagrinėti vektorius neatsižvelgiant į konkrečius taškus. Kitaip tariant, mes turime galimybę pakeisti vektorių jam lygiu vektoriumi, nubrėžtu iš bet kurio taško.

Tegul ir yra du savavališki vektoriai plokštumoje arba erdvėje. Atidėkime vektorius ir iš kurio nors plokštumos ar erdvės taško O. Spinduliai OA ir OB sudaro kampą.

Šiame straipsnyje jūs ir aš pradėsime diskusiją apie vieną „stebuklingą lazdelę“, kuri leis jums sumažinti daugybę geometrijos problemų iki paprastos aritmetikos. Ši „lazdelė“ gali labai palengvinti jūsų gyvenimą, ypač kai jaučiatės nesaugiai statydami erdvines figūras, pjūvius ir pan. Visa tai reikalauja tam tikros vaizduotės ir praktinių įgūdžių. Metodas, kurį mes čia pradėsime svarstyti, leis beveik visiškai abstrahuotis nuo visų rūšių geometrinių konstrukcijų ir samprotavimų. Metodas vadinamas "koordinačių metodas". Šiame straipsnyje mes apsvarstysime šiuos klausimus:

1. Koordinačių plokštuma
2. Taškai ir vektoriai plokštumoje
3. Vektoriaus sudarymas iš dviejų taškų
4. Vektoriaus ilgis (atstumas tarp dviejų taškų).
5. Vidurio taško koordinatės
6. Taškinė vektorių sandauga
7. Kampas tarp dviejų vektorių

Manau, jau atspėjote, kodėl koordinačių metodas taip vadinamas? Tiesa, tokį pavadinimą jis gavo, nes veikia ne su geometriniais objektais, o su jų skaitinėmis charakteristikomis (koordinatėmis). O pati transformacija, leidžianti pereiti nuo geometrijos prie algebros, yra koordinačių sistemos įvedimas. Jei pradinė figūra buvo plokščia, tai koordinatės yra dvimatės, o jei figūra yra trimatė, tada koordinatės yra trimatės. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tik dvimatį atvejį. O pagrindinis straipsnio tikslas – išmokyti naudotis kai kuriais pagrindiniais koordinačių metodo metodais (jie kartais būna naudingi sprendžiant planimetrijos uždavinius Vieningo valstybinio egzamino B dalyje). Tolesni du skyriai šia tema yra skirti C2 uždavinių (stereometrijos problemos) sprendimo metodų aptarimui.

Kur būtų logiška pradėti diskutuoti apie koordinačių metodą? Tikriausiai su koordinačių sistemos sąvoka. Prisiminkite, kai pirmą kartą ją sutikote. Man atrodo, kad 7 klasėje, kai sužinojote apie tiesinės funkcijos egzistavimą, pavyzdžiui. Leiskite jums priminti, kad jūs tai sukūrėte taškas po taško. Ar prisimeni? Jūs pasirinkote savavališką skaičių, pakeitėte jį į formulę ir apskaičiavote tokiu būdu. Pavyzdžiui, jei, tada, jei, tada ir tt Ką gavote dėl to? Ir gavote taškus su koordinatėmis: ir. Tada nubraižėte „kryželį“ (koordinačių sistemą), pasirinkote jame skalę (kiek langelių turėsite kaip vieną atkarpą) ir pažymėjote jame gautus taškus, kuriuos vėliau sujungėte tiesia linija. linija yra funkcijos grafikas.

Yra keletas dalykų, kuriuos jums reikia paaiškinti šiek tiek išsamiau:

1. Patogumo sumetimais pasirenkate vieną segmentą, kad viskas gražiai ir kompaktiškai tilptų paveikslėlyje

2. Daroma prielaida, kad ašis eina iš kairės į dešinę, o ašis – iš apačios į viršų

3. Jie susikerta stačiu kampu, o jų susikirtimo taškas vadinamas pradžia. Jis pažymėtas raide.

4. Taško koordinatės įraše, pavyzdžiui, kairėje skliausteliuose yra taško koordinatė išilgai ašies, o dešinėje - išilgai ašies. Visų pirma, tiesiog reiškia, kad taškas

5. Norint nustatyti bet kurį koordinačių ašies tašką, reikia nurodyti jo koordinates (2 skaičiai)

6. Bet kuriame taške, esančiame ant ašies,

7. Bet kuriam taškui, esančiam ant ašies,

8. Ašis vadinama x ašimi

9. Ašis vadinama y ašimi

Dabar imkime kitą žingsnį su jumis: pažymėkite du taškus. Sujunkite šiuos du taškus linija. Ir įdėkime rodyklę taip, lyg brėžtume atkarpą iš taško į tašką: tai yra, mes padarysime savo segmentą nukreiptą!

Prisiminkite, koks yra kitas nukreipto segmento pavadinimas? Teisingai, tai vadinama vektoriumi!

Taigi, jei sujungsime tašką su tašku, ir pradžia bus taškas A, o pabaiga bus taškas B, tada gauname vektorių. Jūs taip pat darėte šią statybą 8 klasėje, pamenate?

Pasirodo, vektoriai, kaip ir taškai, gali būti žymimi dviem skaičiais: šie skaičiai vadinami vektoriaus koordinatėmis. Klausimas: ar manote, kad mums užtenka žinoti vektoriaus pradžios ir pabaigos koordinates, kad rastume jo koordinates? Pasirodo, kad taip! Ir tai padaryti labai paprasta:

Taigi, kadangi vektoriuje taškas yra pradžia ir pabaiga, vektorius turi šias koordinates:

Pavyzdžiui, jei, tada vektoriaus koordinatės

Dabar padarykime priešingai, suraskime vektoriaus koordinates. Ką turime pakeisti dėl to? Taip, reikia sukeisti pradžią ir pabaigą: dabar vektoriaus pradžia bus taške, o pabaiga – taške. Tada:

Atidžiai pažiūrėkite, kuo skiriasi vektoriai ir? Vienintelis jų skirtumas – ženklai koordinatėse. Jie yra priešingi. Šis faktas parašytas taip:

Kartais, jei konkrečiai nenurodyta, kuris taškas yra vektoriaus pradžia, o kuris pabaiga, tai vektoriai žymimi ne dviem didžiosiomis raidėmis, o viena mažąja raide, pvz.: ir t.t.

Dabar šiek tiek praktika ir raskite šių vektorių koordinates:

Egzaminas:

Dabar išspręskite problemą šiek tiek sudėtingiau:

Vektorinis toras su on-cha laužu taške turi co-or-di-on-you. Rasti-di-te abs-cis-su taškus.

Visa tai yra gana proziška: tegul yra taško koordinatės. Tada

Sudariau sistemą nustatydamas, kokios yra vektoriaus koordinatės. Tada taškas turi koordinates. Mus domina abscisė. Tada

Atsakymas:

Ką dar galite padaryti su vektoriais? Taip, beveik viskas yra taip pat, kaip ir su paprastais skaičiais (išskyrus tai, kad jūs negalite padalyti, bet galite dauginti dviem būdais, iš kurių vieną aptarsime čia šiek tiek vėliau)

1. Vektorius galima sukrauti vienas su kitu
2. Vektorius galima atimti vienas iš kito
3. Vektorius galima padauginti (arba padalyti) iš savavališko skaičiaus, kuris nėra nulis
4. Vektorius galima padauginti vienas su kitu

Visos šios operacijos turi gana vizualų geometrinį vaizdą. Pavyzdžiui, trikampio (arba lygiagretainio) sudėties ir atimties taisyklė:

Vektorius išsitempia, susitraukia arba keičia kryptį, kai padauginamas arba padalytas iš skaičiaus:

Tačiau čia mus domina klausimas, kas atsitiks su koordinatėmis.

1. Sudėjus (atimant) du vektorius, jų koordinates sudedame (atimame) elementas po elemento. Tai yra:

2. Dauginant (dalinant) vektorių iš skaičiaus, visos jo koordinatės dauginamos (dalinamos) iš šio skaičiaus:

Pavyzdžiui:

· Rasti-di-ko-or-di-nat amžiaus iki ra sumą.

Pirmiausia suraskime kiekvieno vektoriaus koordinates. Abu jie turi tą pačią kilmę – pradinį tašką. Jų galai skiriasi. Tada,. Dabar apskaičiuojame vektoriaus koordinates Tada gauto vektoriaus koordinačių suma lygi.

Atsakymas:

Dabar išspręskite šią problemą patys:

· Raskite vektoriaus koordinačių sumą

Mes tikriname:

Dabar panagrinėkime šią problemą: turime du taškus koordinačių plokštumoje. Kaip rasti atstumą tarp jų? Tegul pirmasis taškas būna, o antrasis. Atstumą tarp jų pažymėkime kaip . Aiškumo dėlei padarykite tokį piešinį:

Ką aš padariau? Pirmiausia aš sujungiau taškus ir taip pat nubrėžiau liniją, lygiagrečią ašiai nuo taško, ir nubrėžiau liniją, lygiagrečią ašiai nuo taško. Ar jie susikirto taške, sudarydami nuostabią figūrą? Kodėl ji nuostabi? Taip, jūs ir aš beveik viską žinome apie statųjį trikampį. Na, Pitagoro teorema, tikrai. Norimas segmentas yra šio trikampio hipotenuzė, o segmentai yra kojos. Kokios taško koordinatės? Taip, juos lengva rasti iš paveikslėlio: Kadangi atkarpos yra lygiagrečios ašims ir, atitinkamai, jų ilgius nesunku rasti: jei žymėsime atkarpų ilgius atitinkamai per, tada

Dabar pasinaudokime Pitagoro teorema. Žinome kojų ilgį, rasime hipotenuzą:

Taigi atstumas tarp dviejų taškų yra šakninė kvadratinių skirtumų nuo koordinačių suma. Arba – atstumas tarp dviejų taškų yra juos jungiančios atkarpos ilgis. Nesunku pastebėti, kad atstumas tarp taškų nepriklauso nuo krypties. Tada:

Iš to darome tris išvadas:

Šiek tiek pasitreniruokime apskaičiuodami atstumą tarp dviejų taškų:

Pavyzdžiui, jei, tada atstumas tarp ir yra

Arba eikime kitaip: raskite vektoriaus koordinates

Ir raskite vektoriaus ilgį:

Kaip matote, tai tas pats!

Dabar šiek tiek pasitreniruokite savarankiškai:

Užduotis: raskite atstumą tarp nurodytų taškų:

Mes tikriname:

Čia yra dar keletas problemų, susijusių su ta pačia formule, nors jos skamba šiek tiek kitaip:

1. Raskite-di-te akies voko ilgio kvadratu-to-ra.

2. Nai-di-te akies voko ilgio iki-ra kvadratas

Spėju, kad lengvai su jais susitvarkysi? Mes tikriname:

1. Ir tai dėmesingumui) Mes jau anksčiau radome vektorių koordinates: . Tada vektorius turi koordinates. Jo ilgio kvadratas bus:

2. Raskite vektoriaus koordinates

Tada jo ilgio kvadratas yra

Nieko sudėtingo, tiesa? Paprasta aritmetika, nieko daugiau.

Šie galvosūkiai negali būti vienareikšmiškai klasifikuojami, jie labiau skirti bendrai erudicijai ir gebėjimui piešti paprastus paveikslėlius.

1. Suraskite tuos kampo sinusus klo-on-nuo pjūvio, sujunkite vieną n-ąjį tašką su abscisių ašimi.

Ir

Kaip mes čia tai padarysime? Turite rasti kampo tarp ir ašies sinusą. O kur galime ieškoti sinuso? Teisingai, stačiakampiame trikampyje. Taigi ką mes turime daryti? Sukurkite šį trikampį!

Kadangi taško ir koordinatės, tada atkarpa yra lygi, o atkarpa. Turime rasti kampo sinusą. Leiskite jums priminti, kad sinusas yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis

Ką mums belieka daryti? Raskite hipotenuzę. Tai galite padaryti dviem būdais: naudodami Pitagoro teoremą (kojos žinomos!) arba naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę (iš tikrųjų tokia pati kaip ir pirmasis metodas!). Eisiu antru keliu:

Atsakymas:

Kita užduotis jums atrodys dar lengvesnė. Ji – taško koordinates.

2 užduotis. Nuo taško per-pen-di-ku-lar nuleidžiamas ant abs-ciss ašies. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Padarykime piešinį:

Statmens pagrindas yra taškas, kuriame jis kerta x ašį (ašį), man tai yra taškas. Paveikslėlyje parodyta, kad jis turi koordinates: . Mus domina abscisė – tai yra „X“ komponentas. Ji lygi.

Atsakymas: .

3 užduotis. Pagal ankstesnio uždavinio sąlygas raskite atstumų nuo taško iki koordinačių ašių sumą.

Užduotis paprastai yra elementari, jei žinote, koks yra atstumas nuo taško iki ašių. Tu žinai? Tikiuosi, bet vis tiek primenu:

Vadinasi, savo piešinyje, esančiame kiek aukščiau, vieną tokį statmeną jau pavaizdavau? Kokia tai ašis? prie ašies. Ir koks tada jo ilgis? Ji lygi. Dabar patys nubrėžkite statmeną ašiai ir suraskite jo ilgį. Bus lygus, tiesa? Tada jų suma yra lygi.

Atsakymas: .

4 užduotis. 2 uždavinio sąlygomis raskite taško ordinates, simetriškas taškui apie x ašį.

Manau, kad jūs intuityviai suprantate, kas yra simetrija? Ją turi labai daug objektų: daug pastatų, lentelių, plokštumų, daug geometrinių formų: rutulys, cilindras, kvadratas, rombas ir t.t.. Grubiai tariant, simetriją galima suprasti taip: figūra susideda iš dviejų (ar daugiau) vienodos pusės. Ši simetrija vadinama ašine. Kas tada yra ašis? Tai yra būtent ta linija, išilgai kurios, santykinai tariant, figūrą galima „perpjauti“ į identiškas puses (šiame paveikslėlyje simetrijos ašis yra tiesi):

Dabar grįžkime prie savo užduoties. Žinome, kad ieškome taško, kuris būtų simetriškas ašies atžvilgiu. Tada ši ašis yra simetrijos ašis. Taigi, turime pažymėti tašką, kad ašis supjaustytų segmentą į dvi lygias dalis. Pabandykite patys pažymėti tokį tašką. Dabar palyginkite su mano sprendimu:

Ar tu padarei tą patį? gerai! Rastame taške mus domina ordinatės. Ji lygi

Atsakymas:

Dabar pasakykite man, sekundę pagalvojus, kokia bus taško abscisė, simetriška taškui A apie y ašį? Koks tavo atsakymas? Teisingas atsakymas: .

Apskritai taisyklę galima parašyti taip:

Taškas, simetriškas taškui aplink x ašį, turi koordinates:

Taškas, simetriškas taškui aplink y ašį, turi koordinates:

Na, dabar tikrai baisu. užduotis: Raskite taško, kuris yra simetriškas taškui, koordinates, atsižvelgiant į pradžią. Pirmiausia pagalvok pats, o tada pažiūrėk į mano piešinį!

Atsakymas:

Dabar lygiagretainio problema:

5 užduotis: taškai yra ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Rasti-dee-te arba-dee-on-tu taškus.

Šią problemą galite išspręsti dviem būdais: logika ir koordinačių metodu. Pirmiausia taikysiu koordinačių metodą, o tada pasakysiu, kaip galite nuspręsti kitaip.

Visiškai aišku, kad taško abscisė yra lygi. (jis guli ant statmens, nubrėžto nuo taško iki x ašies). Turime rasti ordinates. Pasinaudokime tuo, kad mūsų figūra yra lygiagretainis, vadinasi. Raskite atkarpos ilgį naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Nuleidžiame statmeną, jungiantį tašką su ašimi. Susikirtimo taškas žymimas raide.

Atkarpos ilgis lygus. (raskite problemą patys, kur aptarėme šį momentą), tada atkarpos ilgį rasime naudodami Pitagoro teoremą:

Atkarpos ilgis lygiai toks pat kaip ir jo ordinatės.

Atsakymas: .

Kitas sprendimas (aš tiesiog pateiksiu jį iliustruojančią nuotrauką)

Sprendimo eiga:

1. Išleisti

2. Raskite taško koordinates ir ilgį

3. Įrodykite tai.

Kitas pjovimo ilgio problema:

Taškai yra-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Raskite jo vidurio linijos ilgį, par-ral-lel-noy.

Ar prisimeni, kas yra trikampio vidurio linija? Tada jums ši užduotis yra elementari. Jei neprisimenate, priminsiu: trikampio vidurio linija yra linija, jungianti priešingų kraštinių vidurio taškus. Jis lygiagretus pagrindui ir lygus jo pusei.

Pagrindas yra segmentas. Jo ilgio teko ieškoti anksčiau, jis lygus. Tada vidurio linijos ilgis yra perpus ilgesnis ir lygus.

Atsakymas: .

Komentaras: Šią problemą galima išspręsti ir kitu būdu, į kurį kreipsimės šiek tiek vėliau.

Tuo tarpu štai jums kelios užduotys, pasipraktikuokite ties jas, jos gana paprastos, bet padeda „užpildyti ranką“ koordinačių metodu!

1. Rodomi taškai-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Raskite jo vidurio linijos ilgį.

2. Taškai ir yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Rasti-dee-te arba-dee-on-tu taškus.

3. Raskite ilgį nuo pjūvio, prijunkite antrą tašką ir

4. Ko-or-di-nat-noy plokštumoje suraskite-di-te-the-red-shen-noy fi-gu-ry sritį.

5. Apskritimas, kurio centras yra na-cha-le ko-or-di-nat, eina per tašką. Surask-de-te jos ūsus.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, aprašykite-san-noy šalia stačiojo kampo-no-ka, viršūnės-shi-ny kažkas-ro-go turi co-or - di-na-you co-from-atsakyti-bet

Sprendimai:

1. Žinoma, kad trapecijos vidurio linija lygi pusei jos bazių sumos. Pagrindas lygus, bet pagrindas. Tada

Atsakymas:

2. Lengviausias būdas išspręsti šią problemą yra tai pastebėti (lygiagretainės taisyklės). Apskaičiuokite vektorių koordinates ir nėra sunku: . Pridedant vektorius, pridedamos koordinatės. Tada turi koordinates. Taškas turi tas pačias koordinates, nes vektoriaus pradžia yra taškas su koordinatėmis. Mus domina ordinatės. Ji lygi.

Atsakymas:

3. Nedelsdami veikiame pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Atsakymas:

4. Pažvelkite į paveikslėlį ir pasakykite, tarp kurių dviejų figūrų yra „suspaustas“ tamsintas plotas? Jis yra tarp dviejų kvadratų. Tada norimos figūros plotas lygus didelio kvadrato plotui atėmus mažojo plotą. Mažo kvadrato kraštinė yra atkarpa, jungianti taškus, o jos ilgis yra

Tada mažo kvadrato plotas yra

Tą patį darome su dideliu kvadratu: jo kraštinė yra atkarpa, jungianti taškus, o ilgis lygus

Tada didelės aikštės plotas yra

Norimos figūros plotas randamas pagal formulę:

Atsakymas:

5. Jei apskritimo centras yra pradžios taškas ir eina per tašką, tada jo spindulys bus tiksliai lygus atkarpos ilgiui (padarykite brėžinį ir suprasite, kodėl tai akivaizdu). Raskite šio segmento ilgį:

Atsakymas:

6. Yra žinoma, kad apie stačiakampį apibrėžto apskritimo spindulys yra lygus pusei jo įstrižainės. Raskime bet kurios iš dviejų įstrižainių ilgį (juk stačiakampyje jos yra lygios!)

Atsakymas:

Na, ar tau pavyko viską? Nebuvo taip sunku tai suprasti, ar ne? Čia galioja tik viena taisyklė - turėti galimybę sukurti vaizdinį vaizdą ir tiesiog „perskaityti“ iš jo visus duomenis.

Mums liko labai nedaug. Yra dar du dalykai, kuriuos norėčiau aptarti.

Pabandykime išspręsti šią paprastą problemą. Tegul du taškai ir yra duoti. Raskite atkarpos vidurio koordinates. Šios problemos sprendimas yra toks: tegul taškas yra norimas vidurys, tada jis turi koordinates:

Tai yra: atkarpos vidurio koordinatės = atitinkamų atkarpos galų koordinačių aritmetinis vidurkis.

Ši taisyklė labai paprasta ir dažniausiai nesukelia mokiniams sunkumų. Pažiūrėkime, kokiose problemose ir kaip jis naudojamas:

1. Suraskite-di-te arba-di-na-tu se-re-di-us from-cut, sujunkite-nya-yu-th-tąjį tašką ir

2. Taškai yra yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Surask-di-te arba-di-na-tu taškus iš naujo re-se-che-niya jo dia-go-on-lei.

3. Suraskite-di-te abs-cis-su apskritimo centre, apibūdinkite-san-noy šalia stačiakampio-no-ka, viršų-shi-mes turime kažką-ro-go co-or-di- na-jūs bendrai iš-vet-stvenno-but.

Sprendimai:

1. Pirmoji užduotis – tik klasika. Mes veikiame nedelsiant, nustatydami atkarpos vidurio tašką. Ji turi koordinates. Ordinata yra lygi.

Atsakymas:

2. Nesunku pastebėti, kad duotasis keturkampis yra lygiagretainis (netgi rombas!). Tai galite įrodyti patys, apskaičiavę kraštinių ilgius ir palyginę juos tarpusavyje. Ką aš žinau apie lygiagretainį? Jo įstrižainės yra padalintos per susikirtimo tašką! Aha! Taigi koks yra įstrižainių susikirtimo taškas? Tai bet kurios įstrižainės vidurys! Visų pirma pasirinksiu įstrižainę. Tada taškas turi koordinates.Taško ordinatė lygi.

Atsakymas:

3. Koks yra apie stačiakampį apibrėžto apskritimo centras? Jis sutampa su jo įstrižainių susikirtimo tašku. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines? Jie yra lygūs, o susikirtimo taškas padalintas per pusę. Užduotis buvo sumažinta iki ankstesnės. Paimkite, pavyzdžiui, įstrižainę. Tada, jei yra apibrėžto apskritimo centras, tai yra vidurys. Ieškau koordinačių: abscisė lygi.

Atsakymas:

Dabar šiek tiek pasipraktikuokite patys, pateiksiu tik atsakymus į kiekvieną problemą, kad galėtumėte pasitikrinti.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, aprašykite-san-noy šalia trikampio-no-ka, kažkas-ro-go viršūnėse yra ko-or-di -no ponai

2. Raskite-di-te arba-di-na-tu apskritimo centrą, apibūdinkite san-noy šalia trikampio-no-ka, viršūnes-shi-mes turime kažką-ro-go koordinates

3. Koks ra-di-y-sa turi būti apskritimas, kurio centras taške liestų abs-ciss ašį?

4. Suraskite-di-te arba-di-ant tą tašką, kuriame ašies ir iškirpimo iš naujo patikrinkite, sujunkite-nya-yu-tąjį tašką ir

Atsakymai:

Ar viskas pavyko? Labai to tikiuosi! Dabar – paskutinis postūmis. Dabar būkite ypač atsargūs. Medžiaga, kurią dabar paaiškinsiu, yra susijusi ne tik su paprastomis koordinačių metodo problemomis B dalyje, bet ir visoje C2 užduotyje.

Kurio iš savo pažadų dar neištesėjau? Prisimeni, kokias operacijas su vektoriais žadėjau įvesti ir kurias galiausiai įvedžiau? Ar aš tikras, kad nieko nepamiršau? Pamiršau! Pamiršau paaiškinti, ką reiškia vektorių daugyba.

Yra du būdai, kaip vektorių padauginti iš vektoriaus. Priklausomai nuo pasirinkto metodo, gausime skirtingo pobūdžio objektus:

Vektorinis produktas yra gana sudėtingas. Kaip tai padaryti ir kodėl to reikia, aptarsime su jumis kitame straipsnyje. Ir čia mes sutelksime dėmesį į skaliarinį sandaugą.

Jau yra du būdai jį apskaičiuoti:

Kaip atspėjote, rezultatas turėtų būti toks pat! Taigi pirmiausia pažvelkime į pirmąjį būdą:

Taškinis produktas per koordinates

Raskite: - bendrą taškinio produkto žymėjimą

Skaičiavimo formulė yra tokia:

Tai yra, taškinė sandauga = vektorių koordinačių sandaugų suma!

Pavyzdys:

Rasti-dee-te

Sprendimas:

Raskite kiekvieno vektoriaus koordinates:

Skaliarinį sandaugą apskaičiuojame pagal formulę:

Atsakymas:

Matote, visiškai nieko sudėtingo!

Na, o dabar pabandykite patys:

Rasti-di-te skaliar-noe pro-nuo-ve-de-nie amžiaus iki griovio ir

Ar susitvarkei? Gal jis pastebėjo nedidelę gudrybę? Patikrinkime:

Vektorinės koordinatės, kaip ir ankstesnėje užduotyje! Atsakymas:.

Be koordinatės, yra dar vienas būdas apskaičiuoti skaliarinę sandaugą, būtent pagal vektorių ilgius ir kampo tarp jų kosinusą:

Žymi kampą tarp vektorių ir.

Tai yra, skaliarinė sandauga yra lygi vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai.

Kam mums reikalinga ši antroji formulė, jei turime pirmąją, kuri yra daug paprastesnė, joje bent jau nėra kosinusų. O mums to reikia, kad iš pirmos ir antros formulių galėtume spręsti, kaip rasti kampą tarp vektorių!

Leiskite Tada prisiminti vektoriaus ilgio formulę!

Tada, jei įjungiu šiuos duomenis į taško produkto formulę, gaunu:

Bet kitu būdu:

Taigi ką mes turime? Dabar turime formulę kampui tarp dviejų vektorių apskaičiuoti! Kartais dėl trumpumo taip pat rašoma taip:

Tai yra, kampo tarp vektorių skaičiavimo algoritmas yra toks:

1. Skaliarinę sandaugą apskaičiuojame per koordinates
2. Raskite vektorių ilgius ir padauginkite juos
3. 1 punkto rezultatą padalinkite iš 2 punkto rezultato

Praktikuokime su pavyzdžiais:

1. Raskite kampą tarp vokų-to-ra-mi ir. Atsakymą pateikite laipsniais.

2. Pagal ankstesnio uždavinio sąlygas raskite kosinusą tarp vektorių

Padarykime taip: aš padėsiu jums išspręsti pirmąją problemą, o antrą pabandykite padaryti patys! Sutinku? Tada pradėkime!

1. Šie vektoriai yra mūsų seni draugai. Mes jau svarstėme jų skaliarinį sandaugą ir jis buvo lygus. Jų koordinatės yra: , . Tada randame jų ilgius:

Tada mes ieškome kosinuso tarp vektorių:

Koks yra kampo kosinusas? Tai yra kampas.

Atsakymas:

Na, dabar išspręskite antrąją problemą patys, o tada palyginkite! Pateiksiu labai trumpą sprendimą:

2. turi koordinates, turi koordinates.

Leisti būti kampas tarp vektorių ir, tada

Atsakymas:

Pažymėtina, kad užduotys tiesiai ant vektorių ir koordinačių metodas egzamino darbo B dalyje yra gana reti. Tačiau didžiąją dalį C2 problemų galima nesunkiai išspręsti įdiegus koordinačių sistemą. Taigi šį straipsnį galite laikyti pamatu, kurio pagrindu pagaminsime gana keblias konstrukcijas, kurių prireiks sprendžiant sudėtingas problemas.

KOORDINATES IR VEKTORIAI. VIDUTINIO LYGIO

Jūs ir aš toliau studijuojame koordinačių metodą. Paskutinėje dalyje išvedėme keletą svarbių formulių, kurios leidžia:

1. Raskite vektorių koordinates
2. Raskite vektoriaus ilgį (arba atstumą tarp dviejų taškų)
3. Sudėkite, atimkite vektorius. Padauginkite juos iš tikrojo skaičiaus
4. Raskite atkarpos vidurio tašką
5. Apskaičiuokite vektorių taškinę sandaugą
6. Raskite kampą tarp vektorių

Žinoma, visas koordinačių metodas netelpa į šiuos 6 taškus. Juo grindžiamas toks mokslas kaip analitinė geometrija, su kuriuo susipažinsite universitete. Aš tiesiog noriu sukurti pagrindą, kuris leistų jums išspręsti problemas vienoje valstybėje. egzaminas. Išsiaiškinome B dalies užduotis Dabar atėjo laikas pereiti į kokybiškai naują lygį! Šis straipsnis bus skirtas tų C2 uždavinių, kuriuose būtų tikslinga pereiti prie koordinačių metodo, sprendimo būdui. Šį pagrįstumą lemia tai, ką reikia rasti užduotyje ir koks skaičius pateikiamas. Taigi, aš naudočiau koordinačių metodą, jei klausimai yra tokie:

1. Raskite kampą tarp dviejų plokštumų
2. Raskite kampą tarp linijos ir plokštumos
3. Raskite kampą tarp dviejų linijų
4. Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos
5. Raskite atstumą nuo taško iki linijos
6. Raskite atstumą nuo tiesės iki plokštumos
7. Raskite atstumą tarp dviejų eilučių

Jei problemos sąlygoje pateikta figūra yra sukimosi kūnas (rutulys, cilindras, kūgis ...)

Tinkami skaičiai koordinačių metodui yra:

1. stačiakampis
2. Piramidė (trikampė, keturkampė, šešiakampė)

Taip pat iš mano patirties netikslinga naudoti koordinačių metodą:

1. Atkarpų plotų radimas
2. Kūnų tūrių skaičiavimai

Tačiau iš karto reikia pažymėti, kad trys „nepalankios“ situacijos koordinačių metodui praktikoje yra gana retos. Daugumoje užduočių jis gali tapti jūsų gelbėtoju, ypač jei nesate labai stiprus trimatėse konstrukcijose (kurios kartais būna gana įmantrios).

Kokie yra visi skaičiai, kuriuos išvardijau aukščiau? Jie nebėra plokšti, tokie kaip kvadratas, trikampis, apskritimas, o tūriniai! Atitinkamai, turime atsižvelgti į ne dvimatę, o trimatę koordinačių sistemą. Jis sukonstruotas gana lengvai: tik be abscisių ir ordinačių, pristatysime dar vieną ašį – taikymo ašį. Paveiksle schematiškai parodyta jų santykinė padėtis:

Visos jos yra viena kitai statmenos, susikerta viename taške, kurį vadinsime pradžia. Abscisių ašis, kaip ir anksčiau, bus pažymėta, ordinačių ašis - , o įvesta taikomoji ašis - .

Jei anksčiau kiekvienas plokštumos taškas buvo apibūdintas dviem skaičiais – abscisėmis ir ordinatėmis, tai kiekvienas erdvės taškas jau apibūdinamas trimis skaičiais – abscise, ordinate, aplikacija. Pavyzdžiui:

Atitinkamai, taško abscisė yra lygus, ordinatės yra Ir taikyti yra .

Kartais taško abscisė dar vadinama taško projekcija ant abscisių ašies, ordinatė – taško projekcija ordinačių ašyje, o aplikacija – taško projekcija ant aplikacijos ašies. Atitinkamai, jei duotas taškas, tada taškas su koordinatėmis:

vadinama taško projekcija į plokštumą

vadinama taško projekcija į plokštumą

Kyla natūralus klausimas: ar visos dvimačio atvejo formulės galioja erdvėje? Atsakymas yra taip, jie yra tiesiog ir turi tą pačią išvaizdą. Dėl mažos detalės. Manau, jūs jau atspėjote, kuris iš jų. Visose formulėse turėsime pridėti dar vieną terminą, atsakingą už taikomąją ašį. Būtent.

1. Jei duodami du taškai: , tada:

• Vektorinės koordinatės:
• Atstumas tarp dviejų taškų (arba vektoriaus ilgis)
• Atkarpos vidurys turi koordinates

2. Jei pateikti du vektoriai: ir, tada:

• Jų taškinis produktas yra:
• Kampo tarp vektorių kosinusas yra:

Tačiau erdvė nėra taip paprasta. Kaip suprantate, pridėjus dar vieną koordinatę, šioje erdvėje „gyvenančių“ figūrų spektras yra labai įvairus. O tolimesniam pasakojimui reikia įvesti šiek tiek, grubiai tariant, tiesios linijos „apibendrinimą“. Šis „apibendrinimas“ bus lėktuvas. Ką tu žinai apie lėktuvą? Pabandykite atsakyti į klausimą, kas yra lėktuvas? Labai sunku pasakyti. Tačiau mes visi intuityviai įsivaizduojame, kaip tai atrodo:

Grubiai tariant, tai yra savotiškas begalinis „lapas“, įstumtas į erdvę. „Begalybė“ turėtų būti suprantama taip, kad plokštuma tęsiasi visomis kryptimis, tai yra, jos plotas yra lygus begalybei. Tačiau šis paaiškinimas „ant pirštų“ neduoda nė menkiausio supratimo apie lėktuvo sandarą. Ir mums tai bus įdomu.

Prisiminkime vieną iš pagrindinių geometrijos aksiomų:

• Tiesi linija eina per du skirtingus plokštumos taškus, be to, tik vienas:

Arba jo analogas erdvėje:

Žinoma, atsimenate, kaip iš dviejų nurodytų taškų gauti tiesės lygtį, tai visai nėra sunku: jei pirmasis taškas turi koordinates: o antrasis, tada tiesės lygtis bus tokia:

Jūs tai išgyvenote 7 klasėje. Erdvėje tiesės lygtis atrodo taip: turėkime du taškus su koordinatėmis: , tada per juos einančios tiesės lygtis turi tokią formą:

Pavyzdžiui, linija eina per taškus:

Kaip tai reikėtų suprasti? Tai turėtų būti suprantama taip: taškas yra tiesėje, jei jo koordinatės atitinka šią sistemą:

Tiesės lygtis mums nelabai bus įdomi, tačiau reikia atkreipti dėmesį į labai svarbią tiesės krypties vektoriaus sampratą. - bet koks nulinis vektorius, esantis tam tikroje tiesėje arba lygiagrečiai jai.

Pavyzdžiui, abu vektoriai yra tiesės krypties vektoriai. Leisti yra taškas, esantis tiesioje linijoje, ir būti jo nukreipiantis vektorius. Tada tiesios linijos lygtį galima parašyti tokia forma:

Dar kartą aš nelabai domiuosi tiesės lygtimi, bet man tikrai reikia, kad atsimintumėte, kas yra krypties vektorius! Dar kartą: tai BET koks nulinis vektorius, esantis tiesėje arba jai lygiagretus.

Atsitraukti plokštumos trijų taškų lygtis nebėra toks nereikšmingas ir dažniausiai nėra įtrauktas į vidurinės mokyklos kursą. Bet veltui! Ši technika yra gyvybiškai svarbi, kai pasitelkiame koordinačių metodą sudėtingoms problemoms spręsti. Tačiau manau, kad esate kupinas noro išmokti ką nors naujo? Be to, universitete galėsite sužavėti savo dėstytoją, kai paaiškės, kad jau mokate naudoti techniką, kuri paprastai mokoma analitinės geometrijos kursuose. Taigi pradėkime.

Plokštumos lygtis per daug nesiskiria nuo tiesės plokštumoje lygties, būtent, ji turi tokią formą:

kai kurie skaičiai (ne visi lygūs nuliui), bet kintamieji, pvz.: etc. Kaip matote, plokštumos lygtis nelabai skiriasi nuo tiesės (tiesinės funkcijos) lygties. Tačiau pamenate, dėl ko mes su jumis ginčėmės? Sakėme, kad jei turime tris taškus, kurie nėra vienoje tiesėje, tai iš jų vienareikšmiškai atkuriama plokštumos lygtis. Bet kaip? Pabandysiu tau paaiškinti.

Kadangi plokštumos lygtis yra tokia:

Ir taškai priklauso šiai plokštumai, tada pakeisdami kiekvieno taško koordinates į plokštumos lygtį, turėtume gauti teisingą tapatybę:

Taigi, reikia išspręsti tris lygtis jau su nežinomaisiais! Dilema! Tačiau visada galime manyti, kad (tam reikia padalyti iš). Taigi gauname tris lygtis su trimis nežinomaisiais:

Tačiau mes neišspręsime tokios sistemos, o išrašysime iš jos išplaukiančią paslaptingą išraišką:

Plokštumos, einančios per tris duotus taškus, lygtis

\[\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(masyvas)) \right| = 0\]

Sustabdyti! Kas tai dar? Kažkoks labai neįprastas modulis! Tačiau objektas, kurį matote priešais save, neturi nieko bendra su moduliu. Šis objektas vadinamas trečios eilės determinantu. Nuo šiol, kai sprendžiate koordinačių metodą plokštumoje, dažnai susidursite su šiais veiksniais. Kas yra trečiosios eilės determinantas? Kaip bebūtų keista, tai tik skaičius. Belieka suprasti, kokį konkretų skaičių lyginsime su determinantu.

Pirmiausia parašykime trečiosios eilės determinantą bendresne forma:

Kur yra keletas skaičių. Be to, pirmuoju indeksu turime omenyje eilutės numerį, o indeksu - stulpelio numerį. Pavyzdžiui, tai reiškia, kad nurodytas skaičius yra antrosios eilutės ir trečiojo stulpelio sankirtoje. Užduokime tokį klausimą: kaip tiksliai apskaičiuosime tokį determinantą? Tai su kokiu konkrečiu skaičiumi lyginsime? Tiksliai trečios eilės determinantui yra euristinė (vaizdinė) trikampio taisyklė, ji atrodo taip:

1. Pagrindinės įstrižainės elementų sandauga (iš viršaus į kairę į apačią į dešinę) elementų, sudarančių pirmąjį trikampį „statmenai“ pagrindinei įstrižai, sandauga elementų, sudarančių antrąjį trikampį „statmenai“ pagrindiniam trikampiui sandauga įstrižainės
2. Antrinės įstrižainės elementų sandauga (nuo viršutinio dešiniojo kampo iki apatinio kairiojo kampo) sandauga elementų, sudarančių pirmąjį antrinės įstrižainės trikampį „statmenai“, sandauga elementų, sudarančių antrąjį trikampį „statmenai“ antrinės įstrižainės
3. Tada determinantas yra lygus skirtumui tarp verčių, gautų žingsnyje ir

Jei visa tai parašysime skaičiais, gausime tokią išraišką:

Tačiau nereikia įsiminti skaičiavimo metodo šioje formoje, užtenka tik laikyti galvoje trikampius ir pačią idėją, kas prie ko pridedama ir kas iš ko tada atimama).

Iliustruojame trikampio metodą pavyzdžiu:

1. Apskaičiuokite determinantą:

Išsiaiškinkime, ką pridedame ir ką atimame:

Sąlygos su „pliusu“:

Tai yra pagrindinė įstrižainė: elementų sandauga yra

Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra

Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra

Pridedame tris skaičius:

Sąlygos su „minusu“

Tai šoninė įstrižainė: elementų sandauga yra

Pirmasis trikampis, „statmenas antrinei įstrižai: elementų sandauga yra

Antrasis trikampis, statmenas antrinei įstrižai: elementų sandauga yra

Pridedame tris skaičius:

Viskas, ką reikia padaryti, tai iš pliuso terminų sumos atimti minuso terminų sumą:

Taigi,

Kaip matote, apskaičiuojant trečiosios eilės determinantus nėra nieko sudėtingo ir antgamtiško. Tiesiog svarbu atsiminti apie trikampius ir nedaryti aritmetinių klaidų. Dabar pabandykite patys apskaičiuoti:

Mes tikriname:

1. Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
2. Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
3. Pliuso terminų suma:
4. Pirmasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai:
5. Antrasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai:
6. Terminų suma su minusu:
7. Pliuso terminų suma atėmus minuso terminų sumą:

Štai jums dar keli lemiami veiksniai, patys apskaičiuokite jų vertes ir palyginkite su atsakymais:

Atsakymai:

Na, ar viskas sutapo? Puiku, tada galite judėti toliau! Jei kyla sunkumų, mano patarimas yra toks: internete yra daugybė programų, skirtų determinantui apskaičiuoti internete. Tereikia sugalvoti savo determinantą, pačiam jį apskaičiuoti ir tada palyginti su tuo, ką apskaičiuoja programa. Ir taip toliau, kol rezultatai pradės sutapti. Esu tikras, kad ši akimirka netruks!

Dabar grįžkime prie determinanto, kurį parašiau kalbėdamas apie plokštumos, einančios per tris duotus taškus, lygtį:

Tereikia tiesiogiai apskaičiuoti jo reikšmę (naudojant trikampio metodą) ir nustatyti rezultatą lygų nuliui. Natūralu, kad jie yra kintamieji, todėl gausite tam tikrą išraišką, kuri priklauso nuo jų. Būtent ši išraiška bus lygtis plokštumos, einančios per tris nurodytus taškus, kurie nėra vienoje tiesėje!

Paaiškinkime tai paprastu pavyzdžiu:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Mes sudarome šių trijų taškų determinantą:

Supaprastinimas:

Dabar apskaičiuojame tiesiogiai pagal trikampių taisyklę:

\[(\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(masyvas)) \ dešinė| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Taigi plokštumos, einančios per taškus, lygtis yra tokia:

Dabar pabandykite patys išspręsti vieną problemą, tada mes ją aptarsime:

2. Raskite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Na, dabar aptarkime sprendimą:

Mes darome determinantą:

Ir apskaičiuokite jo vertę:

Tada plokštumos lygtis turi tokią formą:

Arba sumažinus, gauname:

Dabar dvi savikontrolės užduotys:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per tris taškus, lygtį:

Atsakymai:

Ar viskas sutapo? Vėlgi, jei yra tam tikrų sunkumų, mano patarimas yra toks: paimkite tris taškus iš galvos (su didele tikimybe, kad jie nebus ant vienos tiesios linijos), pastatykite ant jų plokštumą. Ir tada patikrinkite save internete. Pavyzdžiui, svetainėje:

Tačiau determinantų pagalba sukonstruosime ne tik plokštumos lygtį. Atminkite, sakiau, kad vektoriams apibrėžiamas ne tik taškinis produktas. Taip pat yra vektorius, taip pat mišrus produktas. Ir jei dviejų vektorių skaliarinė sandauga bus skaičius, tai dviejų vektorių vektorinė sandauga bus vektorius, o šis vektorius bus statmenas duotiesiems:

Be to, jo modulis bus lygus lygiagretainio, pastatyto ant vektorių ir, plotui. Mums reikės šio vektoriaus, kad galėtume apskaičiuoti atstumą nuo taško iki linijos. Kaip galime apskaičiuoti vektorių kryžminę sandaugą ir ar pateiktos jų koordinatės? Trečios eilės determinantas vėl ateina mums į pagalbą. Tačiau prieš pereinant prie kryžminės sandaugos skaičiavimo algoritmo, turiu padaryti nedidelį lyrinį nukrypimą.

Šis nukrypimas susijęs su baziniais vektoriais.

Schematiškai jie pavaizduoti paveikslėlyje:

Kodėl manote, kad jie vadinami pagrindiniais? Faktas yra tas, kad:

Arba nuotraukoje:

Šios formulės pagrįstumas yra akivaizdus, ​​nes:

vektorinis produktas

Dabar galiu pradėti pristatyti kryžminį produktą:

Dviejų vektorių vektorinė sandauga yra vektorius, kuris apskaičiuojamas pagal šią taisyklę:

Dabar pateiksime keletą kryžminio sandaugų skaičiavimo pavyzdžių:

1 pavyzdys: Raskite vektorių kryžminę sandaugą:

Sprendimas: darau determinantą:

Ir aš skaičiuoju:

Dabar, rašydamas bazinius vektorius, grįšiu prie įprasto vektorinio žymėjimo:

Taigi:

Dabar pabandyk.

Pasiruošę? Mes tikriname:

Ir tradiciškai du užduotys, kurias reikia kontroliuoti:

1. Raskite šių vektorių kryžminę sandaugą:
2. Raskite šių vektorių kryžminę sandaugą:

Atsakymai:

Mišrus trijų vektorių sandauga

Paskutinė man reikalinga konstrukcija yra mišrus trijų vektorių sandauga. Tai, kaip ir skaliaras, yra skaičius. Yra du būdai jį apskaičiuoti. - per determinantą, - per mišrų produktą.

Tarkime, kad turime tris vektorius:

Tada trijų vektorių mišrus sandauga, žymima kaip, gali būti apskaičiuojama taip:

1. – tai yra, mišrus sandauga yra vektoriaus skaliarinė sandauga ir dviejų kitų vektorių vektorinė sandauga

Pavyzdžiui, trijų vektorių mišrus sandauga yra:

Pabandykite patys apskaičiuoti naudodami vektorinę sandaugą ir įsitikinkite, kad rezultatai sutampa!

Ir vėl – du savarankiško sprendimo pavyzdžiai:

Atsakymai:

Koordinačių sistemos pasirinkimas

Na, o dabar turime visas reikalingas žinias, kad galėtume išspręsti sudėtingas stereometrines geometrijos problemas. Tačiau prieš tiesiogiai pereinant prie pavyzdžių ir jų sprendimo algoritmų, manau, bus naudinga pasilikti prie šio klausimo: kaip tiksliai pasirinkti tam tikros figūros koordinačių sistemą. Juk nuo koordinačių sistemos ir figūros santykinės padėties erdvėje pasirinkimas galiausiai lems, kiek sudėtingi bus skaičiavimai.

Primenu, kad šiame skyriuje mes atsižvelgiame į šiuos skaičius:

1. stačiakampis
2. Tiesi prizmė (trikampė, šešiakampė...)
3. Piramidė (trikampė, keturkampė)
4. Tetraedras (tas pats kaip trikampė piramidė)

Stačiakampiui ar kubui rekomenduoju tokią konstrukciją:

Tai yra, aš pastatysiu figūrą „kampe“. Kubas ir dėžutė yra labai geros figūros. Jiems visada nesunkiai galite rasti jo viršūnių koordinates. Pavyzdžiui, jei (kaip parodyta paveikslėlyje)

tada viršūnių koordinatės yra:

Žinoma, jums to nereikia atsiminti, tačiau pageidautina prisiminti, kaip geriausiai išdėstyti kubą ar stačiakampę dėžę.

tiesi prizmė

Prizmė yra žalingesnė figūra. Galite jį išdėstyti erdvėje įvairiais būdais. Tačiau manau, kad geriausias variantas yra toks:

Trikampė prizmė:

Tai yra, vieną iš trikampio kraštinių visiškai pastatome ant ašies, o viena iš viršūnių sutampa su pradžia.

Šešiakampė prizmė:

Tai yra, viena iš viršūnių sutampa su pradžia, o viena iš kraštinių yra ant ašies.

Keturkampė ir šešiakampė piramidė:

Situacija panaši į kubą: dvi pagrindo kraštines sujungiame su koordinačių ašimis, vieną iš viršūnių sujungiame su pradžia. Vienintelis nedidelis sunkumas bus apskaičiuoti taško koordinates.

Šešiakampei piramidei – tas pats, kas šešiakampei prizmei. Pagrindinė užduotis vėl bus rasti viršūnės koordinates.

Tetraedras (trikampė piramidė)

Situacija labai panaši į tą, kurią pateikiau trikampei prizmei: viena viršūnė sutampa su pradžia, viena pusė guli koordinačių ašyje.

Na, dabar jūs ir aš pagaliau esame netoli nuo to, kad pradėtume spręsti problemas. Iš to, ką sakiau pačioje straipsnio pradžioje, galite padaryti tokią išvadą: dauguma C2 problemų skirstomos į 2 kategorijas: kampo ir atstumo problemos. Pirmiausia apsvarstysime kampo paieškos problemas. Jie savo ruožtu skirstomi į šias kategorijas (didėjant sudėtingumui):

Problemos ieškant kampų

1. Kampo tarp dviejų linijų radimas
2. Kampo tarp dviejų plokštumų nustatymas

Panagrinėkime šias problemas nuosekliai: pradėkime nuo kampo tarp dviejų tiesių. Nagi, prisimeni, ar mes su jumis anksčiau sprendėme panašius pavyzdžius? Prisimenate, nes mes jau turėjome kažką panašaus... Ieškojome kampo tarp dviejų vektorių. Primenu, jei pateikti du vektoriai: ir, tada kampas tarp jų randamas iš santykio:

Dabar turime tikslą – rasti kampą tarp dviejų tiesių. Pereikime prie „plokščio paveikslo“:

Kiek kampų gauname, kai susikerta dvi tiesės? Jau daiktai. Tiesa, tik du iš jų nėra lygūs, o kiti yra joms vertikalūs (taigi ir sutampa). Taigi kokį kampą turėtume laikyti kampu tarp dviejų tiesių: ar? Čia yra taisyklė: kampas tarp dviejų tiesių visada yra ne didesnis kaip laipsniai. Tai yra, iš dviejų kampų visada rinksimės kampą su mažiausiu laipsnio matu. Tai reiškia, kad šiame paveikslėlyje kampas tarp dviejų linijų yra lygus. Kad nereikėtų vargti kaskart ieškant mažiausio iš dviejų kampų, gudrūs matematikai pasiūlė pasinaudoti moduliu. Taigi kampas tarp dviejų tiesių nustatomas pagal formulę:

Jums, kaip dėmesingam skaitytojui, turėjo kilti klausimas: iš kur mes gauname tuos skaičius, kurių reikia kampo kosinusui apskaičiuoti? Atsakymas: mes juos paimsime iš linijų krypties vektorių! Taigi kampo tarp dviejų linijų nustatymo algoritmas yra toks:

1. Taikome 1 formulę.

Arba išsamiau:

1. Ieškome pirmosios tiesės krypties vektoriaus koordinačių
2. Ieškome antrosios eilutės krypties vektoriaus koordinačių
3. Apskaičiuokite jų skaliarinės sandaugos modulį
4. Mes ieškome pirmojo vektoriaus ilgio
5. Mes ieškome antrojo vektoriaus ilgio
6. 4 punkto rezultatus padauginkite iš 5 punkto rezultatų
7. 3 taško rezultatą padalijame iš 6 taško rezultato. Gauname kampo tarp tiesių kosinusą
8. Jei šis rezultatas leidžia tiksliai apskaičiuoti kampą, mes jo ieškome
9. Kitu atveju rašome per arkosinusą

Na, o dabar pats laikas pereiti prie užduočių: pirmųjų dviejų sprendimą pademonstruosiu detaliai, kitos – trumpai, o atsakymus pateiksiu tik į paskutines dvi užduotis, jūs privalote visus skaičiavimus už juos atlikite patys.

Užduotys:

1. Dešiniajame tet-ra-ed-re suraskite kampą tarp you-so, kad tet-ra-ed-ra ir me-di-a-noy bo-ko-how pusės.

2. Dešinėje priekyje šešių anglių pi-ra-mi-de šimtas-ro-na-os-no-va-niya yra kažkaip lygūs, o šoniniai šonkauliai yra vienodi, suraskite kampą tarp tiesių linijos ir.

3. Visų dešiniarankių keturių tu-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy kraštų ilgiai yra lygūs vienas kitam. Raskite kampą tarp tiesių ir, jei nuo-re-zok - tu-tai-kad duota pi-ra-mi-dy, taškas yra se-re-di-ant jos bo-ko- th šonkaulio.

4. Ant kubo krašto nuo-me-che-iki taško taip, kad Raskite-di-te kampą tarp tiesių ir

5. Taškas - se-re-di-ant kubo kraštų Nai-di-te kampas tarp tiesių ir.

Neatsitiktinai užduotis išdėliojau tokia tvarka. Kol dar nespėjote pradėti naršyti koordinačių metodu, aš pats analizuosiu „problemiškiausias“ figūras ir paliksiu jums spręsti paprasčiausią kubą! Palaipsniui reikia išmokti dirbti su visomis figūromis, padidinsiu užduočių sudėtingumą nuo temos iki temos.

Pradėkime spręsti problemas:

1. Nubraižykite tetraedrą, įdėkite jį į koordinačių sistemą, kaip siūliau anksčiau. Kadangi tetraedras yra taisyklingas, tai visi jo paviršiai (įskaitant pagrindą) yra taisyklingi trikampiai. Kadangi mums nenurodytas kraštinės ilgis, galiu priimti lygų. Manau, jūs suprantate, kad kampas tikrai nepriklausys nuo to, kiek mūsų tetraedras bus „ištemptas“?. Taip pat nubrėžiu aukštį ir medianą tetraedre. Pakeliui nupiešiu jo pagrindą (mums irgi pravers).

Turiu rasti kampą tarp ir. Ką mes žinome? Žinome tik taško koordinates. Taigi, turime rasti daugiau taškų koordinačių. Dabar galvojame: taškas yra trikampio aukščių (arba pusiausvyrų arba medianų) susikirtimo taškas. Taškas yra pakilęs taškas. Taškas yra atkarpos vidurio taškas. Tada pagaliau reikia rasti: taškų koordinates: .

Pradėkime nuo paprasčiausio: taško koordinačių. Pažvelkite į paveikslą: Aišku, kad taško aplikacija yra lygi nuliui (taškas yra plokštumoje). Jo ordinatė yra lygi (nes ji yra mediana). Sunkiau rasti jo abscisę. Tačiau tai nesunku padaryti remiantis Pitagoro teorema: Apsvarstykite trikampį. Jo hipotenuzė yra lygi, o viena iš kojų lygi Tada:

Pagaliau turime:

Dabar suraskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo taikymas vėl lygus nuliui, o jo ordinatė yra tokia pati kaip taško, tai yra. Raskime jo abscisę. Tai daroma gana trivialiai, jei kas tai prisimena lygiakraščio trikampio aukščiai dalijami iš sankirtos taško proporcijoje skaičiuojant nuo viršaus. Kadangi:, tada norima taško abscisė, lygi atkarpos ilgiui, yra lygi:. Taigi taško koordinatės yra šios:

Raskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Ir aplikacija lygi segmento ilgiui. - tai viena iš trikampio kojų. Trikampio hipotenuzė yra atkarpa – koja. Joje ieškoma dėl priežasčių, kurias paryškinau paryškintu šriftu:

Taškas yra atkarpos vidurio taškas. Tada turime prisiminti segmento vidurio koordinačių formulę:

Tai viskas, dabar galime ieškoti krypties vektorių koordinačių:

Na, viskas paruošta: visus duomenis pakeičiame į formulę:

Taigi,

Atsakymas:

Jūs neturėtumėte bijoti tokių „siaubingų“ atsakymų: problemų C2 atveju tai yra įprasta praktika. Mane labiau nustebins „gražus“ atsakymas šioje dalyje. Be to, kaip pastebėjote, aš praktiškai nesinaudojau niekuo kitu, išskyrus Pitagoro teoremą ir lygiakraščio trikampio aukščių savybę. Tai yra, norėdamas išspręsti stereometrinę problemą, aš panaudojau minimalų stereometrijos kiekį. Šio pelno padidėjimas iš dalies „užgesinamas“ gana sudėtingais skaičiavimais. Bet jie yra gana algoritmiški!

2. Nubraižykite taisyklingą šešiakampę piramidę kartu su koordinačių sistema ir jos pagrindu:

Turime rasti kampą tarp linijų ir. Taigi mūsų užduotis sumažinama iki taškų koordinačių radimo: . Paskutiniųjų trijų koordinates rasime iš mažo brėžinio, o viršūnės – per taško koordinatę. Darbo daug, bet reikia pradėti!

a) Koordinatė: aišku, kad jos aplikacija ir ordinatė yra nulis. Raskime abscisę. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačiakampį trikampį. Deja, joje mes žinome tik hipotenuzą, kuri yra lygi. Bandysime surasti koją (nes aišku, kad dvigubai ilgesnis kojos ilgis duos taško abscisę). Kaip mes galime jos ieškoti? Prisiminkime, kokią figūrą turime piramidės pagrinde? Tai įprastas šešiakampis. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad visos kraštinės ir visi kampai yra lygūs. Turime rasti vieną tokį kampelį. Kokiu nors ideju? Idėjų yra daug, bet yra formulė:

Taisyklingo n kampo kampų suma yra .

Taigi taisyklingo šešiakampio kampų suma yra laipsniai. Tada kiekvienas kampas yra lygus:

Dar kartą pažiūrėkime į paveikslėlį. Akivaizdu, kad atkarpa yra kampo pusiausvyra. Tada kampas yra laipsniai. Tada:

Tada kur.

Taigi jis turi koordinates

b) Dabar galime lengvai rasti taško koordinatę: .

c) Raskite taško koordinates. Kadangi jo abscisė sutampa su atkarpos ilgiu, ji yra lygi. Surasti ordinates taip pat nėra labai sunku: jei sujungsime taškus ir ir pažymime tiesės susikirtimo tašką, tarkime už. (pasidaryk pats paprasta konstrukcija). Tada Taigi taško B ordinatė yra lygi atkarpų ilgių sumai. Dar kartą pažvelkime į trikampį. Tada

Tada nuo Tada taškas turi koordinates

d) Dabar raskite taško koordinates. Apsvarstykite stačiakampį ir įrodykite, kad Taigi taško koordinatės yra:

e) Belieka rasti viršūnės koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Raskime programėlę. Nuo tada. Apsvarstykite statųjį trikampį. Pagal problemos būklę šoninis kraštas. Tai mano trikampio hipotenuzė. Tada piramidės aukštis yra koja.

Tada taškas turi koordinates:

Tai viskas, turiu visų mane dominančių taškų koordinates. Ieškau tiesių krypties vektorių koordinačių:

Mes ieškome kampo tarp šių vektorių:

Atsakymas:

Vėlgi, spręsdamas šią problemą, aš nenaudojau jokių sudėtingų gudrybių, išskyrus taisyklingo n kampo kampų sumos formulę, taip pat stačiojo trikampio kosinuso ir sinuso apibrėžimą.

3. Kadangi mums vėlgi nėra pateikti piramidės briaunų ilgiai, aš juos laikysiu lygiais vienetui. Taigi, kadangi VISOS briaunos, o ne tik šoninės, yra lygios viena kitai, tai piramidės ir aš pagrinde yra kvadratas, o šoniniai paviršiai yra taisyklingi trikampiai. Pavaizduokime tokią piramidę, taip pat jos pagrindą plokštumoje, pažymėdami visus uždavinio tekste pateiktus duomenis:

Mes ieškome kampo tarp ir. Labai trumpai paskaičiuosiu, kai ieškosiu taškų koordinačių. Jums reikės juos „iššifruoti“:

b) - atkarpos vidurys. Jos koordinatės:

c) Atkarpos ilgį surasiu pagal Pitagoro teoremą trikampyje. Rasiu pagal Pitagoro teoremą trikampyje.

Koordinatės:

d) – atkarpos vidurys. Jo koordinatės yra

e) Vektorių koordinatės

f) Vektorių koordinatės

g) Ieškau kampo:

Kubas yra pati paprasčiausia figūra. Esu tikras, kad galite tai išsiaiškinti patys. Atsakymai į 4 ir 5 uždavinius yra tokie:

Kampo tarp tiesės ir plokštumos nustatymas

Na, paprastų galvosūkių laikas baigėsi! Dabar pavyzdžiai bus dar sunkesni. Norėdami rasti kampą tarp linijos ir plokštumos, atliksime šiuos veiksmus:

1. Naudodami tris taškus sudarome plokštumos lygtį
   ,
   naudojant trečiosios eilės determinantą.
2. Pagal du taškus ieškome tiesės krypties vektoriaus koordinačių:
3. Kampui tarp tiesės ir plokštumos apskaičiuoti taikome formulę:

Kaip matote, ši formulė yra labai panaši į tą, kurią naudojome norėdami rasti kampus tarp dviejų linijų. Dešinės pusės struktūra yra tokia pati, o kairėje dabar ieškome sinuso, o ne kosinuso, kaip anksčiau. Na, buvo pridėtas vienas bjaurus veiksmas – lėktuvo lygties paieška.

Nestatykime lentynose sprendimo pavyzdžiai:

1. Os-no-va-ni-em tiesiai-mano prizas-mes esame-la-et-xia lygūs-bet-vargšai-ren-ny trikampis-pažymėkite tave su tuo prizu-mes esame lygūs. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos

2. Stačiakampėje pa-ral-le-le-pi-pe-de iš Vakarų Nai-di-te kampas tarp tiesės ir plokštumos

3. Dešiniojoje šešių anglių prizmėje visos briaunos lygios. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos.

4. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su os-but-va-ni-em iš šonkaulio vakarų Nai-di-te kampas, ob-ra-zo-van -ny os plokštuma -no-va-niya ir tiesiai-my, einantis per šonkaulių se-re-di-na ir

5. Dešiniosios keturkampės pi-ra-mi-dy visų kraštinių ilgiai su viršūne yra lygūs vienas kitam. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos, jei taškas yra se-re-di-ant pi-ra-mi-dy bo-ko-in-tosios briaunos.

Pirmąsias dvi problemas vėlgi išspręsiu smulkiai, trečiąją – trumpai, o paskutines dvi paliksiu spręsti patiems. Be to, jau teko susidurti su trikampėmis ir keturkampėmis piramidėmis, bet dar ne su prizmėmis.

Sprendimai:

1. Nubraižykite prizmę ir jos pagrindą. Sujungkime ją su koordinačių sistema ir pažymime visus uždavinio teiginyje pateiktus duomenis:

Atsiprašau už proporcijų nesilaikymą, bet problemos sprendimui tai iš tikrųjų nėra taip svarbu. Lėktuvas yra tik mano prizmės „užpakalinė siena“. Pakanka tiesiog atspėti, kad tokios plokštumos lygtis turi tokią formą:

Tačiau tai taip pat gali būti rodoma tiesiogiai:

Šioje plokštumoje pasirenkame savavališkus tris taškus: pavyzdžiui, .

Padarykime plokštumos lygtį:

Pratimas jums: apskaičiuokite šį determinantą patys. Ar pavyko? Tada plokštumos lygtis turi tokią formą:

Arba tiesiog

Taigi,

Norėdami išspręsti pavyzdį, turiu rasti tiesės krypties vektoriaus koordinates. Kadangi taškas sutapo su pradžia, vektoriaus koordinatės tiesiog sutaps su taško koordinatėmis.Kad tai padarytume, pirmiausia randame taško koordinates.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite trikampį. Nubrėžkime aukštį (tai taip pat yra mediana ir pusiausvyra) iš viršaus. Kadangi tada taško ordinatė yra lygi. Norėdami rasti šio taško abscisę, turime apskaičiuoti atkarpos ilgį. Pagal Pitagoro teoremą turime:

Tada taškas turi koordinates:

Taškas yra „pakeltas“ ant taško:

Tada vektoriaus koordinatės:

Atsakymas:

Kaip matote, sprendžiant tokias problemas nėra nieko sudėtingo. Tiesą sakant, tokios figūros, kaip prizmė, "tiesumas" šiek tiek supaprastina procesą. Dabar pereikime prie kito pavyzdžio:

2. Nubrėžiame gretasienį, jame nubrėžiame plokštumą ir tiesią liniją, taip pat atskirai nubrėžiame jos apatinį pagrindą:

Pirmiausia randame plokštumos lygtį: Trijų joje esančių taškų koordinatės:

(pirmosios dvi koordinatės gaunamos akivaizdžiai, o paskutinę koordinatę galite lengvai rasti paveikslėlyje iš taško). Tada sudarome plokštumos lygtį:

Skaičiuojame:

Ieškome krypties vektoriaus koordinačių: Aišku, kad jo koordinatės sutampa su taško koordinatėmis, ar ne? Kaip rasti koordinates? Tai yra taško koordinatės, pakeltos išilgai taikymo ašies vienu! . Tada mes ieškome norimo kampo:

Atsakymas:

3. Nubrėžkite taisyklingą šešiakampę piramidę, tada nubrėžkite plokštumą ir tiesią liniją.

Čia net problematiška nubrėžti plokštumą, jau nekalbant apie šios problemos sprendimą, tačiau koordinačių metodas nerūpi! Pagrindinis jo privalumas yra jo universalumas!

Lėktuvas kerta tris taškus: . Ieškome jų koordinačių:

1) . Pats parodykite paskutinių dviejų taškų koordinates. Tam jums reikės išspręsti problemą su šešiakampe piramide!

2) Sudarome plokštumos lygtį:

Ieškome vektoriaus koordinačių: . (Dar kartą žiūrėkite trikampės piramidės problemą!)

3) Ieškome kampo:

Atsakymas:

Kaip matote, šiose užduotyse nėra nieko antgamtiškai sudėtingo. Tik reikia labai atsargiai elgtis su šaknimis. Į paskutines dvi problemas pateiksiu tik atsakymus:

Kaip matote, uždavinių sprendimo technika visur yra vienoda: pagrindinė užduotis yra surasti viršūnių koordinates ir jas pakeisti kai kuriomis formulėmis. Mums belieka apsvarstyti dar vieną kampų skaičiavimo problemų klasę, būtent:

Kampų tarp dviejų plokštumų skaičiavimas

Sprendimo algoritmas bus toks:

1. Trims taškams ieškome pirmosios plokštumos lygties:
2. Kitiems trims taškams ieškome antrosios plokštumos lygties:
3. Taikome formulę:

Kaip matote, formulė labai panaši į ankstesnes dvi, kurių pagalba ieškojome kampų tarp tiesių ir tarp tiesės ir plokštumos. Taigi prisiminti tai jums nebus sunku. Pereikime tiesiai į problemą:

1. Šimtas-ro tiesiosios trikampės prizmės pagrindu yra lygus, o šoninio paviršiaus įstrižainė yra lygi. Raskite kampą tarp plokštumos ir prizo pagrindo plokštumos.

2. Dešinėje į priekį keturių tu-re-coal-noy pi-ra-mi-de, visi kažkieno kraštai yra lygūs, raskite kampo tarp plokštumos ir plokštumos Ko-Stu sinusą, einantį per taškas per-pen-di-ku-lyar-bet tiesus-my.

3. Taisyklingoje keturių anglių prizmėje os-no-va-nia kraštinės lygios, o šoninės briaunos lygios. Ant krašto nuo-me-che-iki taško, kad. Raskite kampą tarp plokštumų ir

4. Dešiniojoje keturkampėje prizmėje pagrindų kraštinės yra lygios, o šoninės – lygios. Ant krašto nuo-me-che-iki taško, kad Raskite kampą tarp plokštumų ir.

5. Kube raskite kampo tarp plokštumų ir ko-siusą

Problemos sprendimai:

1. Nupiešiu taisyklingą (pagrinde - lygiakraštis trikampis) trikampę prizmę ir pažymiu joje plokštumas, kurios atsiranda uždavinio sąlygoje:

Turime rasti dviejų plokštumų lygtis: Bazinė lygtis gaunama trivialiai: galite sudaryti atitinkamą determinantą trims taškams, bet aš iš karto sudarysiu lygtį:

Dabar suraskime lygtį Taškas turi koordinates. Taškas – Kadangi – trikampio mediana ir aukštis, jį lengva rasti pagal Pitagoro teoremą trikampyje. Tada taškas turi koordinates: Raskite taško pritaikymą Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačią trikampį

Tada gauname tokias koordinates: Sudarome plokštumos lygtį.

Apskaičiuojame kampą tarp plokštumų:

Atsakymas:

2. Piešinio sudarymas:

Sunkiausia suprasti, kokia tai paslaptinga plokštuma, einanti per tašką statmenai. Na, svarbiausia, kas tai yra? Svarbiausia - dėmesingumas! Tiesą sakant, linija yra statmena. Linija taip pat statmena. Tada plokštuma, einanti per šias dvi tieses, bus statmena tiesei ir, beje, eis per tašką. Ši plokštuma taip pat eina per piramidės viršūnę. Tada norimas lėktuvas – Ir lėktuvas jau mums duotas. Ieškome taškų koordinačių.

Per tašką randame taško koordinatę. Iš nedidelio piešinio nesunku nuspręsti, kad taško koordinatės bus tokios: Ką belieka rasti dabar, norint rasti piramidės viršūnės koordinates? Dar reikia apskaičiuoti jo aukštį. Tai daroma naudojant tą pačią Pitagoro teoremą: pirma, įrodykite tai (trivialiai iš mažų trikampių, sudarančių kvadratą prie pagrindo). Kadangi pagal sąlygas turime:

Dabar viskas paruošta: viršūnių koordinatės:

Sudarome plokštumos lygtį:

Jūs jau esate determinantų skaičiavimo ekspertas. Lengvai gausite:

Arba kitaip (jei abi dalis padauginsime iš dviejų šaknies)

Dabar raskime plokštumos lygtį:

(Jūs nepamiršote, kaip gauname plokštumos lygtį, tiesa? Jei nesuprantate, iš kur atsirado šis minusas, grįžkite prie plokštumos lygties apibrėžimo! Tiesiog visada paaiškėdavo, kad mano lėktuvas priklausė kilmei!)

Apskaičiuojame determinantą:

(Galite pastebėti, kad plokštumos lygtis sutapo su tiesės, einančios per taškus, lygtimi ir! Pagalvokite kodėl!)

Dabar apskaičiuojame kampą:

Turime rasti sinusą:

Atsakymas:

3. Sudėtingas klausimas: kas yra stačiakampė prizmė, ką manote? Tai tik jums gerai žinomas gretasienis! Piešimas iš karto! Jūs netgi negalite atskirai pavaizduoti pagrindo, čia mažai naudos:

Plokštuma, kaip minėjome anksčiau, parašyta kaip lygtis:

Dabar gaminame lėktuvą

Iš karto sudarome plokštumos lygtį:

Ieškau kampo

Dabar atsakymai į paskutines dvi problemas:

Na, dabar pats laikas pailsėti, nes jūs ir aš esame puikūs ir padarėme puikų darbą!

Koordinatės ir vektoriai. Pažengęs lygis

Šiame straipsnyje aptarsime su jumis dar vieną problemų, kurias galima išspręsti koordinačių metodu, klasę: atstumo problemas. Būtent, mes nagrinėsime šiuos atvejus:

1. Atstumo tarp pasvirusių linijų apskaičiavimas.

Užsakiau pateiktas užduotis, nes jų sudėtingumas didėja. Lengviausia rasti taško ir plokštumos atstumas o sunkiausia yra rasti atstumas tarp susikertančių linijų. Nors, žinoma, nieko nėra neįmanomo! Neatidėliokime ir nedelsdami pereikime prie pirmos klasės problemų svarstymo:

Atstumo nuo taško iki plokštumos apskaičiavimas

Ko mums reikia norint išspręsti šią problemą?

1. Taško koordinatės

Taigi, kai tik gauname visus reikiamus duomenis, taikome formulę:

Jau turėtumėte žinoti, kaip sudarome plokštumos lygtį iš ankstesnių problemų, kurias analizavau paskutinėje dalyje. Nedelsdami imkimės reikalo. Schema yra tokia: 1, 2 – aš padedu apsispręsti, o kiek detaliau, 3, 4 – tik atsakymas, sprendimą priimi pats ir palygini. Prasidėjo!

Užduotys:

1. Duotas kubas. Kubo krašto ilgis yra Find-di-te atstumas nuo se-re-di-ny nuo pjūvio iki plokščio

2. Atsižvelgiant į dešinę-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe kraštas šimtas-ro-ant os-no-va-nia yra lygus. Rasti-di-tuos atstumus nuo taško iki plokštumos, kur - se-re-di-ant kraštų.

3. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su os-but-va-ni-em kita briauna lygi, o vienas šimtas-ro-on os-no-va-niya lygus. Raskite tuos atstumus nuo viršaus iki plokštumos.

4. Dešiniojoje šešių anglių prizmėje visos briaunos lygios. Raskite tuos atstumus nuo taško iki plokštumos.

Sprendimai:

1. Nubraižykite kubą su viena briauna, sukurkite atkarpą ir plokštumą, segmento vidurį pažymėkite raide

.

Pirmiausia pradėkime nuo paprasto: raskite taško koordinates. Nuo tada (atminkite atkarpos vidurio koordinates!)

Dabar sudarome plokštumos lygtį iš trijų taškų

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(masyvas)) \right| = 0\]

Dabar galiu pradėti ieškoti atstumo:

2. Vėl pradedame nuo piešinio, ant kurio pažymime visus duomenis!

Piramidei būtų naudinga atskirai nubraižyti jos pagrindą.

Netgi tai, kad piešiu kaip vištos letena, nesutrukdys mums lengvai išspręsti šios problemos!

Dabar lengva rasti taško koordinates

Kadangi taško koordinatės

2. Kadangi taško a koordinatės yra atkarpos vidurys, tai

Nesunkiai randame dar dviejų plokštumos taškų koordinates Sudarome plokštumos lygtį ir ją supaprastiname:

\[\left| (\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(masyvas)) \right|) \right| = 0\]

Kadangi taškas turi koordinates: , tada apskaičiuojame atstumą:

Atsakymas (labai retai!):

Na, ar supratai? Man atrodo, kad čia viskas taip pat techniška, kaip ir pavyzdžiuose, kuriuos aptarėme su jumis ankstesnėje dalyje. Taigi esu tikras, kad jei tą medžiagą įvaldysite, tuomet jums nebus sunku išspręsti likusias dvi problemas. Aš tik pateiksiu jums atsakymus:

Atstumo nuo tiesės iki plokštumos apskaičiavimas

Tiesą sakant, čia nieko naujo. Kaip linija ir plokštuma gali būti išdėstytos viena kitos atžvilgiu? Jie turi visas galimybes: susikirsti, arba tiesė lygiagreti plokštumai. Koks, jūsų nuomone, yra atstumas nuo tiesės iki plokštumos, su kuria susikerta ta linija? Man atrodo, aišku, kad toks atstumas lygus nuliui. Neįdomus atvejis.

Antrasis atvejis yra keblus: čia atstumas jau nėra nulis. Tačiau kadangi linija yra lygiagreti plokštumai, kiekvienas linijos taškas yra vienodu atstumu nuo šios plokštumos:

Taigi:

O tai reiškia, kad mano užduotis sumažinta iki ankstesnės: mes ieškome bet kurio tiesės taško koordinačių, ieškome plokštumos lygties, apskaičiuojame atstumą nuo taško iki plokštumos. Tiesą sakant, tokios užduotys egzamine yra labai retos. Man pavyko rasti tik vieną problemą, o joje esantys duomenys buvo tokie, kad koordinačių metodas jai nelabai tinka!

Dabar pereikime prie kitos, daug svarbesnės problemų klasės:

Taško atstumo iki tiesės apskaičiavimas

Ko mums prireiks?

1. Taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinatės:

2. Bet kurio taško, esančio tiesioje linijoje, koordinatės

3. Tiesės krypties vektoriaus koordinatės

Kokią formulę naudojame?

Ką jums reiškia šios trupmenos vardiklis, todėl turėtų būti aišku: tai yra tiesės krypties vektoriaus ilgis. Čia yra labai sudėtingas skaitiklis! Išraiška reiškia vektorių vektorinės sandaugos modulį (ilgį) ir Kaip apskaičiuoti vektorinę sandaugą, nagrinėjome ankstesnėje darbo dalyje. Atnaujinkite savo žinias, dabar tai mums labai pravers!

Taigi problemų sprendimo algoritmas bus toks:

1. Ieškome taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinačių:

2. Ieškome bet kurio tiesės taško, iki kurio ieškome atstumo, koordinačių:

3. Vektoriaus kūrimas

4. Sukuriame tiesės krypties vektorių

5. Apskaičiuokite kryžminį sandaugą

6. Ieškome gauto vektoriaus ilgio:

7. Apskaičiuokite atstumą:

Turime daug darbo, o pavyzdžiai bus gana sudėtingi! Taigi dabar sutelkite visą savo dėmesį!

1. Dana yra dešiniarankė trikampė pi-ra-mi-da su viršūne. Vienas šimtas-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy yra lygus, tu-so-ta yra lygus. Raskite tuos atstumus nuo bo-ko krašto se-re-di-ny iki tiesės, kur taškai ir yra šonkaulių se-re-di-ny ir co-vet -stven-bet.

2. Šonkaulių ilgiai ir stačiakampis-no-para-ral-le-le-pi-pe-da yra atitinkamai lygūs, o Find-di-te atstumas nuo top-shi-ny iki tiesiojo-my

3. Dešiniojoje šešių anglių prizmėje visos spiečiaus briaunos yra vienodos – raskite atstumą nuo taško iki tiesės

Sprendimai:

1. Padarome tvarkingą piešinį, kuriame pažymime visus duomenis:

Turime jums daug darbo! Pirmiausia norėčiau žodžiais apibūdinti, ko ieškosime ir kokia tvarka:

1. Taškų koordinatės ir

2. Taško koordinatės

3. Taškų koordinatės ir

4. Vektorių koordinatės ir

5. Jų kryžminis produktas

6. Vektoriaus ilgis

7. Vektorinės sandaugos ilgis

8. Atstumas nuo iki

Na, mes turime daug darbo! Pasiraitokime rankoves!

1. Norėdami rasti piramidės aukščio koordinates, turime žinoti taško koordinates, jo aplikacija lygi nuliui, o ordinatė lygi jo abscisei. Galiausiai gavome koordinates:

Taško koordinatės

2. - segmento vidurys

3. - segmento vidurys

vidurio taškas

4.Koordinatės

Vektorinės koordinatės

5. Apskaičiuokite vektorinę sandaugą:

6. Vektoriaus ilgis: lengviausias būdas yra pakeisti atkarpą vidurine trikampio linija, o tai reiškia, kad ji yra lygi pusei pagrindo. Taigi.

7. Atsižvelgiame į vektorinės sandaugos ilgį:

8. Galiausiai raskite atstumą:

Fu, tai viskas! Sąžiningai pasakysiu: šią problemą išspręsti tradiciniais metodais (konstrukcijomis) būtų daug greičiau. Bet čia aš viską sumažinau iki paruošto algoritmo! Manau, kad sprendimo algoritmas jums aiškus? Todėl paprašysiu likusias dvi problemas išspręsti savarankiškai. Palyginti atsakymus?

Dar kartą kartoju: šias problemas lengviau (greičiau) išspręsti per konstrukcijas, o ne griebtis koordinačių metodo. Šį sprendimo būdą pademonstravau tik tam, kad parodyčiau universalų metodą, leidžiantį „nieko nebaigti“.

Galiausiai apsvarstykite paskutinę problemų klasę:

Atstumo tarp pasvirusių linijų apskaičiavimas

Čia problemų sprendimo algoritmas bus panašus į ankstesnį. Ką mes turime:

3. Bet koks vektorius, jungiantis pirmosios ir antrosios eilučių taškus:

Kaip rasti atstumą tarp eilučių?

Formulė yra tokia:

Skaitiklis yra mišraus sandaugos modulis (jį pristatėme ankstesnėje dalyje), o vardiklis yra toks pat kaip ir ankstesnėje formulėje (tiesių nukreipiančių vektorių vektorinės sandaugos modulis, atstumas tarp kurių mes ieško).

Aš jums tai priminsiu

Tada atstumo formulę galima perrašyti kaip:

Padalinkite šį determinantą iš determinanto! Nors, tiesą pasakius, aš čia nenusiteikęs juokauti! Iš tikrųjų ši formulė yra labai sudėtinga ir lemia gana sudėtingus skaičiavimus. Jei būčiau jūsų vietoje, tai naudočiau tik kaip paskutinę priemonę!

Pabandykime išspręsti keletą problemų naudodami aukščiau pateiktą metodą:

1. Dešiniojoje trikampėje prizmėje visos briaunos kažkaip lygios, raskite atstumą tarp tiesių ir.

2. Atsižvelgiant į dešinės priekinės formos trikampę prizmę, visos kažkieno os-no-va-niya briaunos yra lygios Se-che-tion, einančios per kitą briauną ir se-re-di-nu šonkauliai yra yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie tarp tiesių-we-mi ir

Aš sprendžiu pirmąjį, o pagal jį jūs nuspręsite antrą!

1. Nupiešiu prizmę ir pažymiu linijas ir

Taško C koordinatės: tada

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Vektorinės koordinatės

\[\left((B,\rodyklė ant dešinės (A(A_1)) \ir dešinė (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(masyvas)(*(20)(c))0&1&0\end(masyvas))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(masyvas))\\(\begin(masyvas)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(masyvas))\end(masyvas)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Mes laikome kryžminį sandaugą tarp vektorių ir

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(masyvas)(l)\begin(masyvas)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(masyvas)\\\begin(masyvas )(*(20)(c))0&0&1\end(masyvas)\\\begin(masyvas)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(masyvas)\end(masyvas) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Dabar atsižvelgsime į jo ilgį:

Atsakymas:

Dabar pabandykite kruopščiai atlikti antrąją užduotį. Atsakymas į jį bus toks:.

Koordinatės ir vektoriai. Trumpas aprašymas ir pagrindinės formulės

Vektorius yra nukreipta atkarpa. - vektoriaus pradžia, - vektoriaus pabaiga.
Vektorius žymimas arba.

Absoliučioji vertė vektorius – vektorių atvaizduojančios atkarpos ilgis. Paskirtas kaip.

Vektorinės koordinatės:

,
kur yra vektoriaus \displaystyle a galai.

Vektorių suma: .

Vektorių sandauga:

Taškinė vektorių sandauga:

Vektorių skaliarinė sandauga yra lygi jų absoliučių verčių sandaugai ir kampo tarp jų kosinusui:

LIKUSIEJI 2/3 STRAIPSNIŲ PRIEINAMI TIK YOUCLEVER STUDENTIAMS!

Tapk YouClever studentu,

Pasiruoškite OGE arba NAUDOKITE matematiką už „puodelį kavos per mėnesį“,

Taip pat gaukite neribotą prieigą prie „YouClever“ vadovėlio, „100gia“ mokymo programos (sprendimų knygos), neribotą bandomąjį USE ir OGE, 6000 užduočių su sprendimų analize ir kitas YouClever ir 100gia paslaugas.

Skaitymo laikas 8 minutės

Šiuolaikinė psichologija ir psichiatrija neapsiriboja vien klasikinėmis mokslo teorijomis. Ginčai ir diskusijos dėl populiarių sąvokų teisingumo ir objektyvumo vyksta šimtmečius, nuolat atliekami psichologiniai tyrimai, kurių tikslas – prieiti prie vienintelio tikro rezultato. Tačiau be to, vis dažniau atsiranda naujų alternatyvių srovių, modifikuojamos žinomos teorijos, transformuojasi pasaulio psichologijos ir psichiatrijos protų mokymai, tokie kaip profesionalus psichoanalitikas Sigmundas Freudas ar jo ne mažiau žinomas kolega Carlas. Gustavas Jungas. Šiame straipsnyje mes sutelksime dėmesį į tokią naują tendenciją, kuri padarė tikrą revoliuciją Rusijos psichologijoje, vadinamą sistemos vektoriaus psichologija. Sužinosite, kas tai yra, kokia yra pagrindinė šios krypties idėja, taip pat galėsite išsamiai susipažinti su kiekvienu iš 8 pateiktų vektorių ir net savarankiškai nustatyti savo asmenybės tipą.

Sisteminės-vektoriaus psichologijos idėjos

Pirmiausia verta pasakyti, kad sistemos vektoriaus psichologija nėra visuotinai priimta tendencija šiuolaikiniuose mokslo sluoksniuose. Kai kurie ypač karšti klasikinių idėjų šalininkai šią kryptį netgi vadina „tinklo pseudomokslu“. Tačiau, kaip ir bet kuri kita teorija, aštuonių vektorių psichologinė samprata ne tik turi galimybę egzistuoti, bet netgi sugebėjo įgyti savo šalininkų armiją. Kaip sakė sistemos vektoriaus teorijos įkūrėjas V.K. Tolkačiovas:

Visata yra pakankamai didelė ir neišsemiama, todėl joje galima rasti bet kurios teorijos patvirtinimą. ©

Sistemos-vektoriaus psichologija neatsirado nuo nulio. Pagrindas buvo Sigmundo Freudo teorijos, kurias vėliau patobulino Vladimiras Ganzenas ir užbaigė jo mokinys Viktoras Tolkačiovas.

1908 metais pasaulį išvydo psichoanalitiko Freudo straipsnis „Character and Anal Erotica“, kuriame psichoanalitikas daro išvadą, kad charakterio bruožai yra tiesiogiai susiję su žmogaus erogeninėmis zonomis. Leidinys sukėlė platų rezonansą, atsirado daugybė Freudo idėjos pasekėjų. Vienas iš jų XX amžiaus pabaigoje buvo Viktoras Konstantinovičius Tolkačiovas, psichologas iš Sankt Peterburgo. Jis sukūrė simbolių, susijusių su tokiomis sritimis kaip akys, burna, nosis ir ausys, tipologiją. Pasak V. K. Tolkačiovo, jį sukurti ir tobulinti Sigmundo Freudo teoriją paskatino akademiko Vladimiro Aleksandrovičiaus Ganzeno knyga „Sisteminiai aprašymai psichologijoje“.

Viktoro Tolkačiovo mokymo kilmė ir raida

V. K. Tolkačiovas sukūrė holistinę psichologinę koncepciją asmenybės tipui nustatyti naudojant vektorius. Pasitelkus „vektoriaus“ sąvoką ir išsamiai išanalizavus 8 būdingus tipus, gimė teorija, pavadinta „Taikomoji sistemos-vektoriaus psichoanalizė“. Tolkačiovas jau daugiau nei 30 metų veda įvairius mokymus, seminarus ir paskaitas šia tema. Vieno iš pirmųjų jo mokinių Michailo Borodyanskio dėka buvo sukurtas specialus testas, įvertinantis kiekvieno vektoriaus individualų potencialą ir leidžiantis nustatyti asmeninį charakterio tipą, susijusį su aštuonių vektorių sistemos-vektoriaus psichologija ( Tolkačiovo-Borodjanskio testas). Dabar yra daug vektorinės sistemos pasekėjų, kurie ir toliau veda psichologinius mokymus ir seminarus. Garsiausias interneto treneris šioje srityje yra Jurijus Burlanas.

Kokia yra sistemos-vektoriaus psichologijos esmė

Psichologijos, kaip mokslo, raidos metu buvo sukurta daug įvairių asmenybės tipologijų. Tai tipologijos pagal Jungą arba pagal Gannushkiną, Erichas Frommas pasiūlė savo klasifikaciją. Buvo sukurti keli testai, nustatantys asmens psichologinį tipą, pavyzdžiui, Szondi testas arba bendras 16asmenybių testas. Tiesą sakant, V. K. Tolkačiovas, kaip ir daugelis jo pirmtakų, pasiūlė savo asmenybės tipo nustatymo versiją.

Sisteminė-vektorinė psichologija pozicionuojama ne kaip klasikinės psichologijos šaka ar tam tikra kryptis, o kaip atskiras asmenybės tipologijos tyrinėjimo mokslas. Vektorius – tai fiziologinių ir psichologinių savybių, tokių kaip, pavyzdžiui, charakteris, temperamentas, sveikata, individo įpročiai ir kitos panašios savybės, simbiozė. Tiesą sakant, vektorius yra malonumo centras. Vektoriai yra susiję su tam tikra skyle žmogaus kūne, kuri taip pat yra erogeninė zona. Kiekviena asmenybė gali turėti kelis vektorius (nuo 1 iki 8, praktiškai didžiausias vektorių skaičius yra skaičius 5).

Vektoriaus buvimas lemia žmogaus siekių skaičių ir laipsnį bei savirealizacijos poreikius, kuriais siekiama gauti malonumą. Nesugebėjimas įgyvendinti esamo vektoriaus, teorijos kūrėjų teigimu, sukelia depresiją ir nepasitenkinimo jausmą, dėl kurio žmogus negali pasiekti vidinės harmonijos su savo „aš“.

Asmenybės raidos vektoriniai žingsniai (kvarteliai).

Sistemos-vektoriaus psichologija išskiria 8 pagrindinius asmenybės tipologijos vektorius. Būtent: regos, odos, garso, raumenų, burnos, uoslės, šlaplės ir išangės vektoriai. Jie išsidėstę keturiais pagrindiniais ketvertukais (pakopomis), kurie formuoja žmogaus gyvenimo būdą.

Vektorių išdėstymo principas:

• Informacijos etapas. Atsakingi garso (vidinė kvartelio dalis) ir vaizdo (išorinė dalis) vektoriai. Šiame etape vyksta individo vystymosi ir savęs pažinimo procesas.
• Energijos etapas. Atsakingi yra burnos (išorinė dalis) ir uoslės (vidinė dalis) vektoriai. Šio etapo tikslas – iš anksto nulemti individo vietą socialinėje sistemoje, sukurti aiškią hierarchiją.
• Laiko žingsnis. Atsakykite į analinius (vidinės ketvirčio erdvės) ir šlaplės (išorinės erdvės) vektorius. Laikinas gyvenimo skirstymas į etapus: praeitį ir ateitį. Šiame etape vyksta praeities kartų patirties įgijimas ir apdorojimas, taip pat visuomenės pažangos ir vystymosi troškimas.
• Erdvinis žingsnis. Atsakingi raumenų (vidinės dalies) ir odos (išorinė kvartelio erdvės dalis) vektoriai. Etapas, atsakingas už fizinį apvalkalą, yra žmogaus darbo realizavimas, fizinės jėgos panaudojimas ir kt.

Vektorių apibūdinimas

Išsamesnė vektoriaus charakteristika atrodo taip:

1. odos vektorius. Žmonės, turintys ryškią šio tipo apraišką, yra ryškūs ekstravertai. Jie realizuoja save erdviniame lygmenyje. Pagrindinė kožnikovo kryptis yra teritorijų apsauga.
2. raumenų vektorius. Intravertai. Mąstymo tipas yra praktiškas ir vizualiai efektyvus. Pagrindinė kryptis – medžioklė, dalyvavimas karo veiksmuose.
3. analinis vektorius. Intravertai, turintys sisteminį mąstymą. Tipiški analinio vektoriaus savininkų užsiėmimai yra židinio apsauga, ankstesnių kartų informacijos kaupimas ir perdavimas.
4. šlaplės vektorius. 100% ekstravertai. Jie turi nestandartinį mąstymą. Gimimo taktika. Žmonių, turinčių ryškų šlaplės vektorių, gyvenimo tikslas yra būti lyderiais, vyriausiaisiais vadais, lyderiais.
5. vizualinis vektorius. Ekstravertai, turintys perkeltinio tipo intelektą. Jie yra informaciniame vystymosi etape. Pagrindinė veikla: teritorijų apsauga (dienos metu).
6. Garso vektorius. Absoliutūs intravertai, turintys abstraktų mąstymą. Veikla: teritorijų apsauga tamsoje.
7. oralinis vektorius. Šio tipo atstovai dažniausiai yra ekstravertai. Jiems būdingas verbalinis mąstymo metodas. Pagrindinė veikla: renginių organizavimas (taikos metu), įspėjimas apie pavojų (karo veiksmų metu).
8. Uoslės vektorius. Intravertai, kuriems būdingas intuityvus mąstymas, renkasi neverbalinius informacijos perdavimo būdus. Pagrindinė kryptis: intelektas, strategijų kūrimas.

Sisteminė-vektorinė psichologija vektorius skirsto į svarbesnius, galima sakyti, pagrindinius, ir tuos, kurie asmenybės raidoje turi mažesnę vertę. Dominuoja uoslės, šlaplės ir garso vektoriai, jie dominuoja kituose vektoriuose. Šie trys vektoriai nesutampa su kitais turimais vektoriais, taip pat negali būti išnaikinti išorinių socialinių veiksnių, tokių kaip auklėjimas ar socialinė sistema.

Kiekvienas individas pats nustato, kurie vektoriai yra pagrindiniai jo asmenybės psichotipo vektoriai. Kiekvienam vektoriui buvo sukurtos net tokios charakteristikos, kaip tam tikri išoriniai duomenys, psichinės savybės, būdingos konkrečiam vektoriaus archetipui. Kiekvienam iš aštuonių vektorių priskiriama tam tikra geometrinė forma ir spalva.

Vektoriai taip pat skirstomi į apatinius (šlaplės, analinius, raumenų ir odos) ir viršutinius (vaizdinius, garso, uoslės ir burnos). Sisteminė-vektorinė psichologija rodo, kad apatiniai vektoriai yra atsakingi už libido, seksualinius žmogaus potraukius, o viršutiniai vektoriai ieško ryšio su dvasiniu pasauliu. Viršutiniai vektoriai yra prieinami absoliučiai kiekvienam žmogui, priešingai nei apatiniai, kuriais apdovanoti ne visi asmeniniai archetipai.

Sistemos-vektoriaus psichologija: jos tikslas

Nėra nei vieno žmogaus, kuris sugebėtų atsisakyti malonumo; net pati religija reikalavimą artimiausiu metu atsisakyti malonumų turi pateisinti nepalyginamai didesnių ir vertingesnių džiaugsmų kitame pasaulyje pažadu. © Sigmundas Freudas

Kam skirta aštuonių vektorių psichologija? Kokia jo funkcija ir nauda žmonėms?

Pagrindinis vektorinės psichologijos tikslas – pažinti save ir mėgautis gyvenimu naudojant savo vidinius vektorius. Ši sistema skirta individo savęs pažinimui, jo vaidmens visuomenėje nustatymui, siekiant išvengti moralinio nepasitenkinimo savimi ir savo gyvenimu. Jeigu žmogus negali savęs realizuoti visuomenėje, nežino savo tikrųjų poreikių ir norų, tai nuolatinis nepasitenkinimo jausmas gali sukelti depresinę būseną.

Sisteminė-vektorinė psichologija taip pat skirta atskleisti žmogaus seksualinius troškimus ir poreikius. Gali būti naudojami kaip profesionalūs testai.

Psichologinė teorija, kurią sukūrė Viktoras Tolkačiovas, remdamasis Freudo postulatais, leidžia atrasti pasąmonės paslaptis, suvokti, kas tiksliai yra žmogaus varomoji jėga, pagrindinė visų jo veiksmų ir poelgių priežastis. Sistemos-vektoriaus psichologijos vektorių studijų nauda taip pat yra bendravimo ryšių su aplinkiniais žmonėmis kūrimas: darbuotojais, giminaičiais, draugais. Jei du žmonės turi tuos pačius vektorius, dažnai tai yra raktas į draugiškus santykius. Ir atvirkščiai – vektorių kontrastas paaiškina porų nesuderinamumą ir individų priešiškumą vienas kitam. Šios doktrinos įkūrėjo Sigmundo Freudo žodžiais:

Mes pasirenkame vienas kitą neatsitiktinai... Sutinkame tik tuos, kurie jau egzistuoja mūsų pasąmonėje. ©

Sistemos vektoriaus psichologija nėra įrodyta arba visiškai teisinga. Tai tik viena iš tam tikro tipo asmenybės atpažinimo metodikų. Daugybė patyrusių specialistų kritikos V. K. Tolkačiovo mokymui įrodo šios psichologinės koncepcijos netobulumą. Diskusijos ir ginčai nerimsta tarp klasikinės psichologijos šalininkų ir Tolkačiovo studentų.

Pirmieji vektorinį požiūrį į asmenybės apibrėžimą linkę laikyti sektantišku ir hipnotizuojančiu-obsesiniu (manoma, šios technikos mokymo mokymai vykdomi išimtinai komerciniais tikslais). Pastarieji nuoširdžiai tiki sistemos-vektoriaus psichologijos objektyvumu ir įrodo jos naudą individams ir visai žmonijai. Norėdami sužinoti daugiau apie šios doktrinos tezes ir sąvokas, galite žiūrėti vaizdo įrašą iš Jurijaus Burluno įvadinių paskaitų apie vektorių sistemą. Tik surinkęs visą doktrinos vaizdą, kiekvienas žmogus galės savarankiškai padaryti išvadą apie iškeltų idėjų teisingumą.

1. Kas yra vektorius?

2. Vektorių sudėjimas.

3. Vektorių lygybė.

4. Dviejų vektorių skaliarinė sandauga ir jos savybės.

5. Veiksmų vektoriais savybės.

6. Įrodymai ir problemų sprendimas.

Viena iš pagrindinių šiuolaikinės matematikos sąvokų yra vektorius ir jo apibendrinimas – tenzorius. Vektoriaus sąvokos raida buvo atlikta dėl šios sąvokos plataus vartojimo įvairiose matematikos, mechanikos, taip pat technologijos srityse.

Praeities pabaiga ir dabartinio šimtmečio pradžia buvo pažymėta plačiu vektorinių skaičiavimų ir jų pritaikymų vystymu. Sukurta vektorinė algebra ir vektorinė analizė, bendroji vektorinės erdvės teorija. Šios teorijos buvo panaudotos kuriant specialiąją ir bendrąją reliatyvumo teoriją, kurios šiuolaikinėje fizikoje atlieka itin svarbų vaidmenį.

Pagal naujosios matematikos programos reikalavimus vektoriaus sąvoka tapo viena iš pagrindinių mokyklinio matematikos kurso sąvokų.

Kas yra vektorius? Kaip bebūtų keista, atsakymas į šį klausimą kelia tam tikrų sunkumų. Yra įvairių požiūrių į vektoriaus sąvokos apibrėžimą; Be to, net jei apsiribosime elementariu geometriniu požiūriu į vektoriaus sąvoką, kuri mums čia įdomiausia, net ir tada bus skirtingų požiūrių į šią sąvoką. Žinoma, kad ir kokį apibrėžimą beimtume, vektorius – elementariai geometriniu požiūriu – yra geometrinis objektas, kuriam būdinga kryptis (t. y. tiesė, nurodyta iki lygiagretumo, ir kryptis ant jos) ir ilgis. apibrėžimas yra pernelyg bendras, nesukeliantis specifinių geometrinių vaizdų. Pagal šį bendrą apibrėžimą lygiagretus vertimas gali būti laikomas vektoriumi. Iš tiesų galima sutikti su tokiu apibrėžimu: „vektorius yra bet koks lygiagretus vertimas“. Šis apibrėžimas yra logiškai nepriekaištingas ir jo pagrindu galima sukurti visą vektorių veiksmų teoriją ir plėtoti šios teorijos taikymą. Tačiau šis apibrėžimas, nepaisant visiško konkretumo, taip pat negali mūsų tenkinti, nes vektoriaus, kaip geometrinės transformacijos, idėja mums atrodo nepakankamai aiški ir toli nuo fizinių idėjų apie vektorių dydžius.

Taigi, vektorius vadinama šeima visų lygiagrečių vienas kitam, vienodai nukreiptų ir turinčių vienodo ilgio atkarpas (1 pav.).

Vektorius brėžiniuose pavaizduotas kaip segmentas su rodykle (t. y. pavaizduota ne visa segmentų šeima, kuri yra vektorius, o tik vienas iš šių segmentų). Paryškintos lotyniškos raidės naudojamos vektoriams knygose ir straipsniuose žymėti. a, b, c ir taip toliau, o sąsiuviniuose ir lentoje – lotyniškos raidės su brūkšneliu viršuje , Ta pati raidė, bet ne paryškinta, o šviesi (o sąsiuvinyje ir lentoje ta pati raidė be brūkšnelio) žymi vektoriaus ilgį. Ilgis kartais nurodomas ir vertikaliomis linijomis – kaip skaičiaus modulis (absoliuti reikšmė). Taigi, vektoriaus ilgis A žymimas A ar aš A Aš, o ranka rašytame tekste – vektoriaus ilgis A žymimas A ar aš A I. Ryšium su vektorių atvaizdavimu atkarpų pavidalu (2 pav.), reikia atsiminti, kad vektorių atvaizduojančios atkarpos galai yra nelygūs: vienas atkarpos galas su kitu.

Atskirkite vektoriaus pradžią ir pabaigą (tiksliau, atkarpą, vaizduojančią vektorių).

Gana dažnai vektoriaus sąvokai suteikiamas kitas apibrėžimas: nukreiptas segmentas vadinamas vektoriumi.Šiuo atveju vienodo ilgio ir vienodos krypties vektoriai (t.y. nukreipti atkarpos) (3 pav.) sutinkami laikyti lygiais.

Sakoma, kad vektoriai yra vienodai nukreipti, jei jų pusės linijos yra vienodai nukreiptos.

Vektorių pridėjimas.

Visa tai, kas išdėstyta aukščiau, dar nepadaro vektoriaus sąvokos pakankamai prasminga ir naudinga. Vektoriaus sąvoka įgyja daugiau turinio ir gausių pritaikymo galimybių, kai pristatome tam tikrą „geometrinę aritmetiką“ - vektorių aritmetiką, leidžiančią pridėti vektorius, juos atimti ir atlikti daugybę kitų su jais operacijų. Šiuo atžvilgiu pažymime, kad skaičiaus sąvoka tampa įdomi tik įvedus aritmetines operacijas, o ne pati savaime.

Vektorių suma A Ir V su koordinatėmis 1, 2 ir 1, 2 vadinamas vektoriumi Su su koordinatėmis 1 + į 1, 2 + į 2, tie. A(a 1; a 2) + V(1 ; 2) = Su(a 1 + viename; a 2 + 2).
Pasekmė:
Norėdami įrodyti vektorių sudėjimo komutatyvumą plokštumoje, turime apsvarstyti pavyzdį. A Ir V - vektoriai (5 pav.).
Leisti

1. Statome lygiagretainį OASV: AM II OB, VN II OA.

Norėdami įrodyti asociatyvumą, iš savavališko taško O atidedame vektorių OA = a, iš taško A vektorius AB = in o nuo taško iki – vektorius saulė = s. Tada mes turime: AB + BC = AC.
iš kur seka lygybė + (in + su) = (a + b)+ p. Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateiktame įrodyme piešinys visai nenaudojamas. Tai būdinga (turint tam tikrų įgūdžių) sprendžiant problemas naudojant vektorius. Dabar panagrinėkime atvejį, kai vektoriai A Ir V nukreipti priešingomis kryptimis ir vienodo ilgio; tokie vektoriai vadinami priešingais. Mūsų vektorių sudėjimo taisyklė veda prie to, kad dviejų priešingų vektorių suma yra "vektorius", kurio ilgis yra nulis ir nėra krypties; šis „vektorius“ vaizduojamas „nulinio ilgio atkarpa“, t.y. taškas. Bet tai taip pat yra vektorius, kuris vadinamas nuliu ir žymimas simboliu 0.

Vektorinė lygybė.

Sakoma, kad du vektoriai yra lygūs, jei juos sujungia lygiagretus vertimas. Tai reiškia, kad yra lygiagretus vertimas, kuris atitinkamai perkelia vieno vektoriaus pradžią ir pabaigą į kito vektoriaus pradžią ir pabaigą.

Iš šio vektorių lygybės apibrėžimo išplaukia, kad skirtingi vektoriai yra vienodai nukreipti ir vienodi absoliučia verte.

Ir atvirkščiai: jei vektoriai yra vienodai nukreipti ir vienodi absoliučia verte, tada jie yra lygūs.

Iš tiesų, tegul vektoriai AB Ir SU D - vienodos krypties vektoriai, lygūs absoliučia reikšme (6 pav.). Lygiagretus perkėlimas, nunešantis tašką C į tašką A, sujungia pustiesę CD su pustiese AB, nes jos yra vienodai nukreiptos. Ir kadangi atkarpos AB ir CD yra lygios, tada taškas D yra sulygiuotas su tašku B, tai yra lygiagretus perkėlimas verčia vektorių CD į vektorių AB. Taigi vektoriai AB Ir SU D yra lygūs, o tai turėjo būti įrodyta.