Pokazanie związku znaku pochodnej z naturą monotoniczności funkcji.
Prosimy o zachowanie szczególnej ostrożności w następujących przypadkach. Spójrz, harmonogram CO jest ci dane! Funkcja lub jej pochodna
Biorąc pod uwagę wykres pochodnej, to interesują nas tylko znaki funkcji i zera. Żadne „pagórki” i „dołki” nas w zasadzie nie interesują!
Zadanie 1.
Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej na przedziale. Określ liczbę punktów całkowitych, w których pochodna funkcji jest ujemna.
Rozwiązanie:
Na rysunku obszary malejącej funkcji są zaznaczone kolorem:
4 wartości całkowite mieszczą się w tych obszarach malejącej funkcji.
Zadanie 2.
Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej na przedziale. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa lub pokrywa się z linią.
Rozwiązanie:
Ponieważ styczna do wykresu funkcji jest równoległa (lub pokrywa się) z linią prostą (lub, która jest taka sama, ) mającą nachylenie, równe zeru, to styczna ma nachylenie .
To z kolei oznacza, że styczna jest równoległa do osi, ponieważ nachylenie jest tangensem kąta nachylenia stycznej do osi.
Dlatego na wykresie znajdujemy punkty ekstremalne (punkty maksymalne i minimalne), - to w nich funkcje styczne do wykresu będą równoległe do osi.
Są 4 takie punkty.
Zadanie 3.
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale . Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa lub pokrywa się z linią.
Rozwiązanie:
Ponieważ styczna do wykresu funkcji jest równoległa (lub pokrywa się) z linią prostą, która ma nachylenie, to styczna ma nachylenie.
To z kolei oznacza, że w punktach styku.
Dlatego patrzymy, ile punktów na wykresie ma rzędną równą .
Jak widać, są cztery takie punkty.
Zadanie 4.
Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej na przedziale. Znajdź liczbę punktów, w których pochodna funkcji wynosi 0.
Rozwiązanie:
Pochodna wynosi zero w punktach ekstremalnych. Mamy ich 4:
Zadanie 5.
Rysunek przedstawia wykres funkcji i jedenaście punktów na osi x:. W ilu z tych punktów pochodna funkcji jest ujemna?
Rozwiązanie:
Na przedziałach funkcji malejącej jej pochodna przyjmuje wartości ujemne. A funkcja maleje w punktach. Są 4 takie punkty.
Zadanie 6.
Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej na przedziale. Znajdź sumę punktów ekstremalnych funkcji.
Rozwiązanie:
punkty ekstremalne to punkty maksymalne (-3, -1, 1) i punkty minimalne (-2, 0, 3).
Suma skrajnych punktów: -3-1+1-2+0+3=-2.
Zadanie 7.
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale . Znajdź przedziały funkcji rosnącej. W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych zawartych w tych przedziałach.
Rozwiązanie:
Na rysunku zaznaczono przedziały, w których pochodna funkcji jest nieujemna.
Na małym przedziale wzrostu nie ma punktów całkowitych, na przedziale wzrostu są cztery wartości całkowite: , , i .
Ich suma:
Zadanie 8.
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale . Znajdź przedziały funkcji rosnącej. W odpowiedzi napisz długość największego z nich.
Rozwiązanie:
Na rysunku zaznaczono wszystkie przedziały, w których pochodna jest dodatnia, co oznacza, że sama funkcja rośnie w tych przedziałach.
Długość największego z nich wynosi 6.
Zadanie 9.
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale . W którym punkcie segmentu przyjmuje największą wartość.
Rozwiązanie:
Patrzymy, jak wykres zachowuje się na segmencie, który nas interesuje tylko znak pochodnej .
Znak pochodnej na to minus, ponieważ wykres na tym odcinku znajduje się pod osią.
Podczas rozwiązywania niektórych problemów geometrycznych metodą współrzędnych konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu przecięcia linii. Najczęściej trzeba szukać współrzędnych punktu przecięcia się dwóch prostych na płaszczyźnie, ale czasami konieczne staje się wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia się dwóch prostych w przestrzeni. W tym artykule zajmiemy się znajdowaniem współrzędnych punktu, w którym przecinają się dwie proste.
Nawigacja po stronie.
Punkt przecięcia dwóch linii jest definicją.
Najpierw zdefiniujmy punkt przecięcia dwóch prostych.
Zatem, aby znaleźć współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych określonych na płaszczyźnie równaniami ogólnymi, należy rozwiązać układ złożony z równań danych prostych.
Rozważmy przykładowe rozwiązanie.
Przykład.
Znajdź punkt przecięcia dwóch prostych określonych w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie równaniami x-9y+14=0 i 5x-2y-16=0 .
Rozwiązanie.
Otrzymaliśmy dwa ogólne równania linii, z których ułożymy układ: 
. Rozwiązania otrzymanego układu równań można łatwo znaleźć, jeśli jego pierwsze równanie zostanie rozwiązane względem zmiennej x, a wyrażenie to zostanie podstawione w drugim równaniu: 
Znalezione rozwiązanie układu równań daje nam pożądane współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych.
Odpowiedź:
M 0 (4, 2) x-9y+14=0 i 5x-2y-16=0 .
Tak więc znalezienie współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych, określonych równaniami ogólnymi na płaszczyźnie, sprowadza się do rozwiązania układu dwóch równań liniowych z dwiema nieznanymi zmiennymi. Ale co, jeśli linie proste na płaszczyźnie są dane nie przez równania ogólne, ale przez równania innego typu (patrz typy równań linii prostej na płaszczyźnie)? W takich przypadkach możesz najpierw doprowadzić równania linii do ogólnej postaci, a dopiero potem znaleźć współrzędne punktu przecięcia.
Przykład.
I .
Rozwiązanie.
Przed znalezieniem współrzędnych punktu przecięcia podanych linii doprowadzamy ich równania do postaci ogólnej. Przejście od równań parametrycznych do prostej do ogólnego równania tej prostej wygląda następująco: 
Teraz przeprowadzimy niezbędne działania z kanonicznym równaniem linii:
Zatem pożądane współrzędne punktu przecięcia linii są rozwiązaniem układu równań postaci 
. Do jego rozwiązania używamy: 
Odpowiedź:
M 0 (-5, 1)
Istnieje inny sposób znalezienia współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych na płaszczyźnie. Wygodnie jest go używać, gdy jedna z linii jest dana równaniami parametrycznymi postaci 
, a drugi - równanie prostej o innej postaci. W takim przypadku w innym równaniu zamiast zmiennych x i y można podstawić wyrażenia 
I 
, z którego będzie można uzyskać wartość odpowiadającą punktowi przecięcia danych prostych. W tym przypadku punkt przecięcia prostych ma współrzędne .
Znajdźmy w ten sposób współrzędne punktu przecięcia prostych z poprzedniego przykładu.
Przykład.
Wyznacz współrzędne punktu przecięcia prostych I .
Rozwiązanie.
Podstaw w równaniu wyrażenia bezpośredniego: 
Rozwiązując wynikowe równanie, otrzymujemy . Ta wartość odpowiada wspólnemu punktowi linii I . Współrzędne punktu przecięcia obliczamy podstawiając prostą do równań parametrycznych: 
.
Odpowiedź:
M0 (-5, 1).
Aby uzupełnić obraz, należy omówić jeszcze jedną kwestię.
Przed znalezieniem współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych na płaszczyźnie warto upewnić się, że podane proste rzeczywiście się przecinają. Jeśli okaże się, że pierwotne linie pokrywają się lub są równoległe, to nie może być mowy o znalezieniu współrzędnych punktu przecięcia takich linii.
Możesz oczywiście obejść się bez takiego sprawdzenia i od razu ułożyć układ równań postaci 
i rozwiązać go. Jeśli układ równań ma unikalne rozwiązanie, to podaje współrzędne punktu, w którym przecinają się pierwotne linie. Jeżeli układ równań nie ma rozwiązań, to możemy stwierdzić, że pierwotne proste są równoległe (ponieważ nie ma takiej pary liczb rzeczywistych x i y, która spełniałaby jednocześnie oba równania danych prostych). Z istnienia nieskończonego zbioru rozwiązań układu równań wynika, że pierwotne proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, to znaczy pokrywają się.
Spójrzmy na przykłady pasujące do tych sytuacji.
Przykład.
Dowiedz się, czy linie i przecinają się, a jeśli się przecinają, znajdź współrzędne punktu przecięcia.
Rozwiązanie.
Podane równania linii odpowiadają równaniom 
I 
. Rozwiążmy układ złożony z tych równań 
.
Oczywiste jest, że równania układu są wyrażane liniowo przez siebie (drugie równanie układu otrzymuje się z pierwszego przez pomnożenie obu jego części przez 4), dlatego układ równań ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Zatem równania i definiują tę samą linię i nie możemy mówić o znalezieniu współrzędnych punktu przecięcia tych linii.
Odpowiedź:
Równania i samą prostą wyznaczamy w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy, więc nie możemy mówić o znalezieniu współrzędnych punktu przecięcia.
Przykład.
Znajdź współrzędne punktu przecięcia prostych 
I 
, Jeśli to możliwe.
Rozwiązanie.
Warunek problemu dopuszcza, że proste nie mogą się przecinać. Skomponujmy układ tych równań. Ma zastosowanie do jego rozwiązania, ponieważ pozwala ustalić zgodność lub niespójność układu równań, a jeśli jest zgodny, znaleźć rozwiązanie: 
Ostatnie równanie układu po bezpośrednim przebiegu metody Gaussa zamieniło się w błędną równość, dlatego układ równań nie ma rozwiązań. Z tego możemy wywnioskować, że pierwotne linie są równoległe i nie możemy mówić o znalezieniu współrzędnych punktu przecięcia tych linii.
Drugie rozwiązanie.
Sprawdźmy, czy podane proste się przecinają.
- normalny wektor linii i wektor 
jest wektorem normalnym linii . Sprawdźmy wykonanie I : równość 
jest prawdziwe, ponieważ , zatem wektory normalne danych prostych są współliniowe. Następnie linie te są równoległe lub pokrywają się. Zatem nie możemy znaleźć współrzędnych punktu przecięcia oryginalnych linii.
Odpowiedź:
Nie można znaleźć współrzędnych punktu przecięcia podanych prostych, ponieważ proste te są równoległe.
Przykład.
Znajdź współrzędne punktu przecięcia prostych 2x-1=0 i czy się przecinają.
Rozwiązanie.
Tworzymy układ równań, które są równaniami ogólnymi danych prostych: 
. Wyznacznik macierzy głównej tego układu równań jest różny od zera 
, więc układ równań ma jedno rozwiązanie, które wskazuje przecięcie danych prostych.
Aby znaleźć współrzędne punktu przecięcia prostych, musimy rozwiązać układ: 
Otrzymane rozwiązanie daje nam współrzędne punktu przecięcia prostych, czyli 
2x-1=0 i .
Odpowiedź:
Znalezienie współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych w przestrzeni.
Współrzędne punktu przecięcia dwóch linii w przestrzeni trójwymiarowej znajdują się podobnie.
Rozważmy przykłady.
Przykład.
Znajdź współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych podanych w przestrzeni za pomocą równań 
I 
.
Rozwiązanie.
Z równań danych prostych układamy układ równań: 
. Rozwiązanie tego układu da nam pożądane współrzędne punktu przecięcia prostych w przestrzeni. Znajdźmy rozwiązanie zapisanego układu równań.
Główna macierz systemu ma postać 
i przedłużony 
.
zdefiniujmy A i rząd macierzy T . Używamy
Rozważ poniższy rysunek.
Przedstawia wykres funkcji y = x^3 - 3*x^2. Rozważmy pewien przedział zawierający punkt x = 0, na przykład od -1 do 1. Taki przedział jest również nazywany sąsiedztwem punktu x = 0. Jak widać na wykresie, w tym sąsiedztwie funkcja y = x ^3 - 3*x^2 przyjmuje największą wartość dokładnie w punkcie x = 0.
Maksimum i minimum funkcji
W tym przypadku punkt x = 0 nazywany jest punktem maksymalnym funkcji. Przez analogię punkt x = 2 nazywany jest punktem minimalnym funkcji y = x^3 - 3*x^2. Ponieważ istnieje takie sąsiedztwo tego punktu, w którym wartość w tym punkcie będzie minimalna spośród wszystkich innych wartości z tego sąsiedztwa.
kropka maksymalny funkcja f(x) nazywana jest punktem x0, pod warunkiem, że istnieje takie sąsiedztwo punktu x0, że dla wszystkich x różnych od x0 z tego sąsiedztwa nierówność f(x)< f(x0).
kropka minimum funkcja f(x) nazywana jest punktem x0, pod warunkiem, że istnieje takie sąsiedztwo punktu x0, że dla wszystkich x różnych od x0 z tego sąsiedztwa nierówność f(x) > f(x0) jest spełniona.
W punktach maksymalnych i minimalnych funkcji wartość pochodnej funkcji jest równa zeru. Ale to nie jest wystarczający warunek istnienia funkcji w punkcie maksimum lub minimum.
Na przykład funkcja y = x^3 w punkcie x = 0 ma pochodną równą zeru. Ale punkt x = 0 nie jest punktem minimalnym ani maksymalnym funkcji. Jak wiesz, funkcja y = x^3 rośnie na całej osi rzeczywistej.
Zatem punkty minimalne i maksymalne będą zawsze znajdować się wśród pierwiastków równania f’(x) = 0. Jednak nie wszystkie pierwiastki tego równania będą punktami maksymalnymi lub minimalnymi.
Punkty stacjonarne i krytyczne
Punkty, w których wartość pochodnej funkcji jest równa zero, nazywane są punktami stacjonarnymi. Mogą istnieć również punkty maksimum lub minimum w punktach, w których pochodna funkcji w ogóle nie istnieje. Na przykład y = |x| w punkcie x = 0 ma minimum, ale pochodna w tym punkcie nie istnieje. Punkt ten będzie punktem krytycznym funkcji.
Punkty krytyczne funkcji to punkty, w których pochodna jest równa zero lub pochodna nie istnieje w tym punkcie, to znaczy funkcja w tym punkcie jest nieróżniczkowalna. Aby znaleźć maksimum lub minimum funkcji, musi być spełniony warunek wystarczający.
Niech f(x) będzie pewną funkcją różniczkowalną na przedziale (a;b). Punkt x0 należy do tego przedziału i f'(x0) = 0. Wtedy:
1. jeżeli przy przejściu przez punkt stacjonarny x0 funkcja f(x) i jej pochodna zmieniają znak z „plus” na „minus”, to punkt x0 jest punktem maksymalnym funkcji.
2. jeżeli przy przejściu przez punkt stacjonarny x0 funkcja f(x) i jej pochodna zmieniają znak z „minus” na „plus”, to punkt x0 jest punktem minimalnym funkcji.
Punkt krytyczny to punkty, w których pochodna funkcji jest równa zeru lub nie istnieje. Jeśli pochodna wynosi 0, to funkcja w tym punkcie przyjmuje lokalne minimum lub maksimum. Na wykresie w takich punktach funkcja ma asymptotę poziomą, to znaczy styczna jest równoległa do osi Ox.
Takie punkty to tzw stacjonarny. Jeśli widzisz „garb” lub „dziurę” na ciągłym wykresie funkcji, pamiętaj, że maksimum lub minimum zostało osiągnięte w punkcie krytycznym. Rozważ następujące zadanie jako przykład.
Przykład 1 Znajdź punkty krytyczne funkcji y=2x^3-3x^2+5 .
Rozwiązanie. Algorytm znajdowania punktów krytycznych jest następujący:
Zatem funkcja ma dwa punkty krytyczne.
Ponadto, jeśli chcesz zbadać funkcję, określamy znak pochodnej po lewej i prawej stronie punktu krytycznego. Jeśli pochodna zmienia znak z „-” na „+” podczas przechodzenia przez punkt krytyczny, to funkcja przyjmuje lokalne minimum. Jeśli od „+” do „-” powinno maksimum lokalne.
Drugi rodzaj punktów krytycznych to są zera mianownika funkcji ułamkowych i niewymiernych
Funkcje z logarytmami i trygonometriami, które nie są zdefiniowane w tych punktach 
Trzeci rodzaj punktów krytycznych mają odcinkowo ciągłe funkcje i moduły.
Na przykład każda funkcja modułu ma minimum lub maksimum w punkcie przerwania.
Na przykład moduł y = | x-5 | w punkcie x = 5 ma minimum (punkt krytyczny).
Pochodna w nim nie istnieje, ale po prawej i po lewej stronie przyjmuje odpowiednio wartość 1 i -1.
Spróbuj zidentyfikować punkty krytyczne funkcji
1)
2)
3)
4)
5)
Jeśli w odpowiedzi otrzymasz wartość
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
to już wiesz jak znaleźć punkty krytyczne i być w stanie poradzić sobie z prostą kontrolą lub testami.
Obawiam się, że nie jestem zaznajomiony z bibliotekami, których używasz, ale myślę, że mam rozsądny pomysł na algorytm, którego możesz użyć, i po prostu omówię, jak zaimplementowałbym to za pomocą Vanilla python, a potem ja Jestem pewien, że możesz go ulepszyć i zaimplementować za pomocą tych bibliotek. Nie twierdzę też, że jest to najlepszy sposób na osiągnięcie tego celu, ale chciałem odpowiedzi w rozsądnym zakresie, więc oto ona.
Teraz pomysł bierze się z wykorzystania iloczynu krzyżowego dwóch wektorów w algorytmach do znalezienia zbioru wypukłego zbioru punktów, np. Skan Grahama. Powiedzmy, że mamy dwa punkty p1 i p2, które definiują wektory punktów p1 I p2, zaczynając odpowiednio od początku (0,0) do (x1, y1) i (x2, y2). produkt krzyżowy p1 X p2 daje trzeci wektor p3, która jest prostopadła do p1, I p2 i ma wartość określoną przez obszar równoległoboku ograniczony wektorami.
Bardzo przydatnym wynikiem jest wyznacznik macierzy
/x1,x2\\y1,y2/
Czyli x1 * y2 - x2 * y1 daje moduł wektora p3, a znak wskazuje, czy p3„opuszczania” samolotu lub „wejścia” do niego. Kluczową kwestią jest tutaj to, że jeśli ta wartość jest dodatnia, to p2 znajdujący się na lewo od p1, a jeśli jest ujemna, to p2 Prawidłowy" p1.
Mam nadzieję, że ten przykład sztuki ascii pomoże:
P2(4, 5) / / / /_ _ _ _ _. p1(5, 0)
x1 * y2 - x2 * y1 = 5 * 4 - 0 * 5 = 20 i tak p2 znajdujący się na lewo od p1
Wreszcie, dlaczego jest to dla nas przydatne! Jeśli mamy listę wierzchołków wielokąta i wiele innych punktów grafu, to dla każdej krawędzi wielokąta możemy otrzymać wektor tej krawędzi. Możemy również uzyskać wektory łączące wierzchołek początkowy ze wszystkimi innymi punktami grafu, a sprawdzając, czy leżą one na lewo, czy na prawo od krawędzi, możemy wykluczyć niektóre punkty z każdej krawędzi. Wszystkie te, które nie zostaną usunięte na końcu procesu, to te punkty wewnątrz wielokąta. W każdym razie, trochę kodu, aby było bardziej jasne!
Uzyskaj listę wierzchołków swojego wielokąta w kolejności, w jakiej je odwiedziłeś, jeśli na przykład miałbyś narysować je przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, niektóre pięciokąty mogłyby być:
poli = [(1, 1), (4, 2), (5, 5), (3, 8), (0, 4)]
Uzyskaj zestaw zawierający wszystkie pozostałe punkty na wykresie, będziemy stopniowo usuwać nieprawidłowe punkty z tego zestawu, aż te, które pozostaną na końcu procesu, będą dokładnie punktami znajdującymi się wewnątrz wielokąta.
punkty = zbiór(["(3, 0), (10, -2), (3,3), ...])
Główny bit samego kodu jest w rzeczywistości dość zwarty, jak długo zajęło mi pisanie o tym, jak to działa. to_right pobiera dwie krotki reprezentujące wektory i zwraca True, jeśli v2 znajduje się na prawo od v1 . Pętle przechodzą następnie przez wszystkie krawędzie wielokąta i usuwają punkty ze zbioru roboczego, jeśli znajdują się one na prawo od którejkolwiek z krawędzi.
Def to_right(v1, v2): powrót (v1*v2 - v1*v2)< 0 for i in range(len(poly)): v1 = poly v2 = poly[i] for p in points: if(to_right(v2-v1, p-v1)): points.remove(p)
edytuj: Aby było jasne, fakt, że są one usuwane, jeśli znajdują się po prawej, a nie po lewej stronie, ma związek z kolejnością, w jakiej określone są wierzchołki wielokąta. Gdyby były w kolejności zgodnej z ruchem wskazówek zegara, zamiast tego musiałbyś wykluczyć lewe kropki. W tej chwili nie mam konkretnego rozwiązania tego problemu.
W każdym razie mam nadzieję, że mam rację i może to pomóc komuś, nawet jeśli nie OP. Asymptotyczna złożoność tego algorytmu wynosi O(mn), gdzie n to liczba punktów na wykresie, a m to liczba wierzchołków wielokąta, ponieważ w najgorszym przypadku wszystkie punkty leżą wewnątrz wielokąta i musimy sprawdzić każdy punkt dla każdej krawędzi bez nikogo jest usuwany.