Aby ilościowo porównać zdarzenia ze sobą według stopnia ich prawdopodobieństwa, konieczne jest oczywiście powiązanie z każdym zdarzeniem pewnej liczby, która jest tym większa, im bardziej prawdopodobne jest zdarzenie. Tę liczbę nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia. Zatem, prawdopodobieństwo zdarzenia jest liczbową miarą stopnia obiektywnej możliwości tego zdarzenia.
Za pierwszą definicję prawdopodobieństwa należy uznać klasyczną definicję prawdopodobieństwa, która wyrosła z analizy hazardu i była początkowo stosowana intuicyjnie.
Klasyczny sposób wyznaczania prawdopodobieństwa opiera się na koncepcji równie prawdopodobnych i niekompatybilnych zdarzeń, które są wypadkami danego doświadczenia i tworzą kompletną grupę zdarzeń niekompatybilnych.
Najprostszym przykładem równie możliwych i niekompatybilnych zdarzeń, które tworzą kompletną grupę, jest pojawienie się takiej czy innej kuli z urny zawierającej kilka kul o tej samej wielkości, wadze i innych cechach namacalnych, różniących się jedynie kolorem, dokładnie wymieszanych przed wyjęciem .
Dlatego mówi się, że test, którego wyniki tworzą kompletną grupę niekompatybilnych i jednakowo prawdopodobnych zdarzeń, sprowadza się do schematu urn, schematu przypadków lub mieści się w schemacie klasycznym.
Równie możliwe i niezgodne zdarzenia, które tworzą kompletną grupę, będziemy nazywać po prostu przypadkami lub szansami. Ponadto w każdym eksperymencie wraz z przypadkami mogą wystąpić bardziej złożone zdarzenia.
Przykład: Przy rzucie kostką razem z przypadkami A i - wypadnięcie i-punktów na górną ściankę, zdarzenia typu B - wypadnięcie parzystej liczby oczek, C - wypadnięcie wielokrotności trzech oczek...
W odniesieniu do każdego zdarzenia, które może wystąpić podczas realizacji eksperymentu, przypadki zostały podzielone na korzystny, przy którym zdarzenie to występuje, oraz niekorzystne, przy którym zdarzenie to nie występuje. W poprzednim przykładzie zdarzeniu B faworyzują przypadki A 2 , A 4 , A 6 ; zdarzenie C - przypadki A 3 , A 6 .
prawdopodobieństwo klasyczne zajście jakiegoś zdarzenia to stosunek liczby przypadków sprzyjających wystąpieniu tego zdarzenia do ogólnej liczby przypadków równie możliwych, niekompatybilnych, stanowiących kompletną grupę w danym doświadczeniu:
Gdzie ROCZNIE)- prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A; M- liczba przypadków korzystnych dla zdarzenia A; N to całkowita liczba przypadków.
Przykłady:
1) (patrz przykład powyżej) P(B)= , P(C) =.
2) W urnie jest 9 kul czerwonych i 6 niebieskich. Znajdź prawdopodobieństwo, że jedna lub dwie losowo wylosowane kule będą czerwone.
A- wylosowana czerwona kula:
M= 9, N= 9 + 6 = 15, ROCZNIE)=
B- dwie losowo wylosowane kule czerwone:
Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa (pokaż sobie) wynikają następujące własności:
1) Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0;
2) Prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia wynosi 1;
3) Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia mieści się w przedziale od 0 do 1;
4) Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A,
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa zakłada, że liczba wyników próby jest skończona. W praktyce jednak bardzo często zdarzają się próby, których liczba możliwych przypadków jest nieskończona. Ponadto słabość klasycznej definicji polega na tym, że bardzo często niemożliwe jest przedstawienie wyniku testu jako zbioru elementarnych zdarzeń. Jeszcze trudniej wskazać przesłanki uznania elementarnych wyników testu za równie prawdopodobne. Zwykle równość elementarnych wyników testu wnioskuje się z rozważań o symetrii. Jednak takie zadania są w praktyce bardzo rzadkie. Z tych powodów obok klasycznej definicji prawdopodobieństwa stosuje się również inne definicje prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo statystyczne zdarzenie A to względna częstość występowania tego zdarzenia w przeprowadzonych testach:
gdzie jest prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A;
Względna częstość występowania zdarzenia A;
Liczba prób, w których wystąpiło zdarzenie A;
Całkowita liczba prób.
W przeciwieństwie do prawdopodobieństwa klasycznego, prawdopodobieństwo statystyczne jest cechą prawdopodobieństwa eksperymentalnego.
Przykład: Do kontroli jakości produktów z partii wybrano losowo 100 produktów, spośród których 3 produkty okazały się wadliwe. Określ prawdopodobieństwo zawarcia małżeństwa.
.
Statystyczna metoda określania prawdopodobieństwa ma zastosowanie tylko do tych zdarzeń, które mają następujące właściwości:
Rozważane zdarzenia powinny być wynikami tylko tych prób, które można odtworzyć nieograniczoną liczbę razy w tych samych warunkach.
Zdarzenia muszą mieć statystyczną stabilność (lub stabilność względnych częstotliwości). Oznacza to, że w różnych seriach testów względna częstość zdarzenia nie zmienia się znacząco.
Liczba prób prowadzących do zdarzenia A musi być wystarczająco duża.
Łatwo sprawdzić, że własności prawdopodobieństwa, które wynikają z klasycznej definicji, są zachowane również w statystycznej definicji prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo zdarzenie to stosunek liczby elementarnych wyników faworyzujących dane zdarzenie do liczby wszystkich jednakowo możliwych wyników doświadczenia, w których to zdarzenie może wystąpić. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest oznaczane przez P(A) (tu P jest pierwszą literą francuskiego słowa probabilite - prawdopodobieństwo). Zgodnie z definicją
(1.2.1)
gdzie jest liczbą elementarnych wyników faworyzujących zdarzenie A; - liczba wszystkich jednakowo możliwych elementarnych skutków doświadczenia, tworzących kompletną grupę zdarzeń.
Ta definicja prawdopodobieństwa nazywana jest klasyczną. Powstał na początkowym etapie rozwoju teorii prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo zdarzenia ma następujące właściwości:
1. Prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia jest równe jeden. Oznaczmy pewne wydarzenie literą . A więc na pewne wydarzenie
(1.2.2)
2. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero. Zdarzenie niemożliwe oznaczamy literą . A zatem za zdarzenie niemożliwe
(1.2.3)
3. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego wyraża się jako liczbę dodatnią mniejszą od jeden. Ponieważ nierówności , lub są spełnione dla zdarzenia losowego, to
(1.2.4)
4. Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia spełnia nierówności
(1.2.5)
Wynika to z relacji (1.2.2) -(1.2.4).
Przykład 1 Urna zawiera 10 kul tego samego rozmiaru i wagi, z których 4 są czerwone, a 6 niebieskich. Z urny losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana kula jest niebieska?
Rozwiązanie. Zdarzenie „wylosowana kula okazała się niebieska” będziemy oznaczać literą A. Ta próba ma 10 jednakowo możliwych elementarnych wyników, z czego 6 sprzyja zdarzeniu A. Zgodnie ze wzorem (1.2.1) otrzymujemy 
Przykład 2 Wszystkie liczby naturalne od 1 do 30 są zapisane na identycznych kartach i umieszczone w urnie. Po dokładnym wymieszaniu kart jedna karta jest wyjmowana z urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest wielokrotnością liczby 5?
Rozwiązanie. Oznacz przez A zdarzenie „liczba na zabranej karcie jest wielokrotnością 5”. W tym teście istnieje 30 równie możliwych elementarnych wyników, z których 6 wyników faworyzuje zdarzenie A (liczby 5, 10, 15, 20, 25, 30). Stąd, 
Przykład 3 Rzucamy dwiema kostkami, obliczamy sumę punktów na górnych ściankach. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia B polegającego na tym, że górne ściany sześcianów będą miały łącznie 9 punktów.
Rozwiązanie. W tej próbie jest 6 2 = 36 równie możliwych elementarnych wyników. Zdarzeniu B sprzyjają 4 wyniki: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), więc 
Przykład 4. Wybrano losowo liczbę naturalną nie większą niż 10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta liczba jest pierwsza?
Rozwiązanie. Oznaczmy literą C zdarzenie „wybrana liczba jest liczbą pierwszą”. W tym przypadku n = 10, m = 4 (liczby pierwsze 2, 3, 5, 7). Dlatego pożądane prawdopodobieństwo 
Przykład 5 Rzucamy dwiema symetrycznymi monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie monety mają cyfry na górze?
Rozwiązanie. Oznaczmy literą D zdarzenie „był numer na wierzchu każdej monety”. W tym teście są 4 równie możliwe wyniki elementarne: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Oznaczenie (G, C) oznacza, że na pierwszej monecie herb, na drugiej cyfra). Zdarzeniu D sprzyja jeden wynik elementarny (C, C). Ponieważ m = 1, więc n = 4 
Przykład 6 Jakie jest prawdopodobieństwo, że cyfry losowo wybranej liczby dwucyfrowej są takie same?
Rozwiązanie. Liczby dwucyfrowe to liczby od 10 do 99; takich liczb jest łącznie 90. 9 liczb ma takie same cyfry (są to liczby 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Skoro w tym przypadku m = 9, to n = 90 
,
gdzie A to zdarzenie „liczba o tych samych cyfrach”.
Przykład 7 Z liter słowa mechanizm różnicowy wybrano losowo jedną literę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta litera będzie: a) samogłoską b) spółgłoską c) literą H?
Rozwiązanie. W słowie różnicowym jest 12 liter, z których 5 to samogłoski, a 7 to spółgłoski. Listy H to słowo nie. Oznaczmy zdarzenia: A - "samogłoska", B - "spółgłoska", C - "litera H". Liczba korzystnych wyników elementarnych: - dla zdarzenia A, - dla zdarzenia B, - dla zdarzenia C. Skoro n \u003d 12, to
, I .
Przykład 8 Rzuca się dwiema kostkami, zapisuje się liczbę oczek na górnej ściance każdej z kostek. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie kości mają taką samą liczbę oczek.
Rozwiązanie. Oznaczmy to zdarzenie literą A. Zdarzeniu A sprzyja 6 elementarnych wyników: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). W sumie są jednakowo możliwe elementarne wyniki, które tworzą kompletną grupę zdarzeń, w tym przypadku n=6 2 =36. Więc pożądane prawdopodobieństwo 
Przykład 9 Książka ma 300 stron. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo otwarta strona będzie miała kolejny numer będący wielokrotnością 5?
Rozwiązanie. Z warunków zadania wynika, że będzie n = 300 wszystkich jednakowo możliwych elementarnych wyników, które tworzą kompletną grupę zdarzeń, z których m = 60 sprzyja wystąpieniu określonego zdarzenia. Rzeczywiście, liczba będąca wielokrotnością 5 ma postać 5k, gdzie k jest liczbą naturalną, a skąd 
. Stąd, 
, gdzie A - zdarzenie „strona” ma numer kolejny będący wielokrotnością 5”.
Przykład 10. Rzucamy dwiema kostkami, obliczamy sumę punktów na górnych ściankach. Co jest bardziej prawdopodobne, że uzyska w sumie 7 lub 8?
Rozwiązanie. Oznaczmy zdarzenia: A – „wypadło 7 punktów”, B – „wypadło 8 punktów”. Zdarzeniu A sprzyja 6 elementarnych wyników: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), a zdarzeniu B - 5 wyników: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Istnieje n = 6 2 = 36 wszystkich jednakowo możliwych elementarnych wyników. I .
Tak więc P(A)>P(B), czyli uzyskanie łącznie 7 punktów jest bardziej prawdopodobnym zdarzeniem niż uzyskanie łącznie 8 punktów.
Zadania
1. Wybrano losowo liczbę naturalną nieprzekraczającą 30. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta liczba jest wielokrotnością liczby 3?
2. W urnie A czerwony i B niebieskie kulki tego samego rozmiaru i wagi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wylosowana kula z tej urny jest niebieska?
3. Wybrano losowo liczbę nie większą niż 30. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta liczba jest dzielnikiem zo?
4. W urnie A niebieski i B czerwone kulki tego samego rozmiaru i wagi. Z tej urny losujemy jedną kulę i odkładamy ją na bok. Ta piłka jest czerwona. Następnie losujemy kolejną kulę z urny. Znajdź prawdopodobieństwo, że druga kula jest również czerwona.
5. Wybrano losowo liczbę naturalną nie większą niż 50. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta liczba jest pierwsza?
6. Rzucamy trzema kostkami, obliczamy sumę punktów na górnych ściankach. Co jest bardziej prawdopodobne - zdobycie w sumie 9 czy 10 punktów?
7. Rzuca się trzema kostkami, oblicza się sumę straconych punktów. Co ma większe szanse na uzyskanie w sumie 11 (zdarzenie A) lub 12 punktów (zdarzenie B)?
Odpowiedzi
1. 1/3. 2 . B/(A+B). 3 . 0,2. 4 . (B-1)/(A+B-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - prawdopodobieństwo zdobycia łącznie 9 punktów; p 2 \u003d 27/216 - prawdopodobieństwo zdobycia łącznie 10 punktów; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
pytania
1. Co nazywa się prawdopodobieństwem zdarzenia?
2. Jakie jest prawdopodobieństwo określonego zdarzenia?
3. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego?
4. Jakie są granice prawdopodobieństwa zdarzenia losowego?
5. Jakie są granice prawdopodobieństwa dowolnego zdarzenia?
6. Jaką definicję prawdopodobieństwa nazywamy klasyczną?
- Prawdopodobieństwo - stopień (miara względna, ocena ilościowa) prawdopodobieństwa wystąpienia jakiegoś zdarzenia. Kiedy przyczyny wystąpienia jakiegoś możliwego zdarzenia przeważają nad przyczynami przeciwnymi, wówczas zdarzenie to nazywamy prawdopodobnym, w przeciwnym razie - mało prawdopodobnym lub nieprawdopodobnym. Przewaga podstaw pozytywnych nad negatywnymi i vice versa może występować w różnym stopniu, w wyniku czego prawdopodobieństwo (i nieprawdopodobieństwo) jest większe lub mniejsze. Dlatego często prawdopodobieństwo szacowane jest na poziomie jakościowym, zwłaszcza w przypadkach, gdy mniej lub bardziej trafna ocena ilościowa jest niemożliwa lub niezwykle utrudniona. Możliwe są różne gradacje „poziomów” prawdopodobieństwa.
Badanie prawdopodobieństwa z matematycznego punktu widzenia jest specjalną dyscypliną - teorią prawdopodobieństwa. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej pojęcie prawdopodobieństwa jest sformalizowane jako liczbowa charakterystyka zdarzenia - miara prawdopodobieństwa (lub jego wartość) - miara na zbiorze zdarzeń (podzbiorach zbioru zdarzeń elementarnych), przyjmująca wartości od
(\ styl wyświetlania 0)
(\ styl wyświetlania 1)
Oznaczający
(\ styl wyświetlania 1)
Odpowiada ważnemu zdarzeniu. Zdarzenie niemożliwe ma prawdopodobieństwo 0 (odwrotność generalnie nie zawsze jest prawdziwa). Jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia jest
(\ styl wyświetlania p)
Wtedy prawdopodobieństwo jego niewystąpienia jest równe
(\ Displaystyle 1-p)
W szczególności prawdopodobieństwo
(\ styl wyświetlania 1/2)
Oznacza równe prawdopodobieństwo wystąpienia i niewystąpienia zdarzenia.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa opiera się na koncepcji równego prawdopodobieństwa wyników. Prawdopodobieństwo to stosunek liczby wyników faworyzujących dane zdarzenie do całkowitej liczby równie prawdopodobnych wyników. Na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia orła lub reszki w losowym rzucie monetą wynosi 1/2, jeśli zakłada się, że wystąpią tylko te dwie możliwości i są one równie prawdopodobne. Tę klasyczną „definicję” prawdopodobieństwa można uogólnić na przypadek nieskończonej liczby możliwych wartości – np. przestrzeń (płaszczyzna), to prawdopodobieństwo, że wystąpi w jakiejś części tego dopuszczalnego obszaru, jest równe stosunkowi objętości (powierzchni) tej części do objętości (powierzchni) pola wszystkich możliwych punktów .
Empiryczna „definicja” prawdopodobieństwa związana jest z częstością występowania zdarzenia, opiera się na fakcie, że przy odpowiednio dużej liczbie prób częstotliwość powinna dążyć do obiektywnego stopnia prawdopodobieństwa tego zdarzenia. We współczesnym ujęciu teorii prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo definiowane jest aksjomatycznie, jako szczególny przypadek abstrakcyjnej teorii miary zbioru. Tym niemniej łącznikiem miary abstrakcyjnej z prawdopodobieństwem wyrażającym stopień prawdopodobieństwa zdarzenia jest właśnie częstotliwość jego obserwacji.
Probabilistyczny opis pewnych zjawisk rozpowszechnił się we współczesnej nauce, w szczególności w ekonometrii, fizyce statystycznej układów makroskopowych (termodynamicznych), gdzie nawet w przypadku klasycznego deterministycznego opisu ruchu cząstek deterministyczny opis całego układu cząstek nie jest praktycznie możliwe i właściwe. W fizyce kwantowej same opisane procesy mają charakter probabilistyczny.
Przedstawione do tej pory w otwartym banku problemów USE w matematyce (mathege.ru), których rozwiązanie opiera się tylko na jednym wzorze, jakim jest klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Najprostszym sposobem zrozumienia formuły są przykłady.
Przykład 1 W koszu jest 9 kul czerwonych i 3 kule niebieskie. Kule różnią się tylko kolorem. Losowo (bez patrzenia) dostajemy jedną z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana w ten sposób kula będzie niebieska?
Komentarz. W problemach z teorii prawdopodobieństwa dzieje się coś (w tym przypadku nasza akcja polegająca na pociągnięciu piłki), co może mieć inny wynik - wynik. Należy zauważyć, że wynik można rozpatrywać na różne sposoby. „Wyciągnęliśmy piłkę” to też wynik. „Wyciągnęliśmy niebieską piłkę” to wynik. „Wylosowaliśmy tę konkretną piłkę ze wszystkich możliwych piłek” – ten najmniej uogólniony pogląd na wynik nazywa się wynikiem elementarnym. To elementarne wyniki są rozumiane we wzorze do obliczania prawdopodobieństwa.
Rozwiązanie. Teraz obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej kuli.
Zdarzenie A: „wybrana piłka okazała się niebieska”
Łączna liczba wszystkich możliwych wyników: 9+3=12 (liczba wszystkich kul, które moglibyśmy wylosować)
Liczba wyników sprzyjających zdarzeniu A: 3 (liczba takich wyników, w których wystąpiło zdarzenie A – czyli liczba kulek niebieskich)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Odpowiedź: 0,25
Obliczmy dla tego samego problemu prawdopodobieństwo wylosowania kulki czerwonej.
Całkowita liczba możliwych wyników pozostanie taka sama, 12. Liczba korzystnych wyników: 9. Pożądane prawdopodobieństwo: 9/12 = 3/4 = 0,75
Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zawsze mieści się w przedziale od 0 do 1.
Czasami w mowie potocznej (ale nie w teorii prawdopodobieństwa!) Prawdopodobieństwo zdarzeń szacuje się w procentach. Przejście między oceną matematyczną a konwersacyjną odbywa się poprzez pomnożenie (lub podzielenie) przez 100%.
Więc,
W tym przypadku prawdopodobieństwo jest zerowe dla zdarzeń, które nie mogą się zdarzyć - nieprawdopodobne. Na przykład w naszym przykładzie byłoby to prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej kuli z kosza. (Liczba korzystnych wyników wynosi 0, P(A)=0/12=0 licząc według wzoru)
Prawdopodobieństwo 1 obejmuje zdarzenia, które absolutnie na pewno się spełnią, bez opcji. Na przykład prawdopodobieństwo, że „wybrana kula będzie albo czerwona, albo niebieska” jest dla naszego problemu. (Liczba korzystnych wyników: 12, P(A)=12/12=1)
Przyjrzeliśmy się klasycznemu przykładowi ilustrującemu definicję prawdopodobieństwa. Wszystkie podobne problemy USE w teorii prawdopodobieństwa są rozwiązywane za pomocą tego wzoru.
Zamiast czerwonych i niebieskich kulek mogą być jabłka i gruszki, chłopcy i dziewczęta, bilety wyuczone i niewyuczone, bilety zawierające i nie zawierające pytania na dany temat (prototypy, ), wadliwe i wysokiej jakości torby lub pompki ogrodowe (prototypy, ) - zasada pozostaje ta sama.
Różnią się nieco sformułowaniem problemu teorii prawdopodobieństwa USE, gdzie trzeba obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w określonym dniu. ( , ) Podobnie jak w poprzednich zadaniach, musisz określić elementarny wynik, a następnie zastosować tę samą formułę.
Przykład 2 Konferencja trwa trzy dni. Pierwszego i drugiego dnia po 15 prelegentów, trzeciego dnia 20. Jakie jest prawdopodobieństwo, że referat prof.
Jaki jest elementarny wynik tutaj? - Przypisanie referatu profesorskiego do jednego z wszystkich możliwych numerów porządkowych przemówienia. W losowaniu bierze udział 15+15+20=50 osób. Tym samym raport profesora M. może otrzymać jeden z 50 numerów. Oznacza to, że istnieje tylko 50 elementarnych wyników.
Jakie są korzystne wyniki? - Te, w których okaże się, że profesor będzie przemawiał trzeciego dnia. To znaczy ostatnich 20 numerów.
Zgodnie ze wzorem prawdopodobieństwo P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Odpowiedź: 0,4
Losowanie jest tutaj ustaleniem przypadkowej korespondencji między ludźmi a uporządkowanymi miejscami. W przykładzie 2 dopasowywanie rozpatrywano pod kątem tego, które z miejsc może zająć dana osoba. Do tej samej sytuacji można podejść z drugiej strony: która z osób z jakim prawdopodobieństwem mogłaby dostać się w określone miejsce (prototypy , , , ):
Przykład 3 W losowaniu bierze udział 5 Niemców, 8 Francuzów i 3 Estończyków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy (/drugi/siódmy/ostatni - to nie ma znaczenia) będzie Francuzem.
Liczba wyników elementarnych to liczba wszystkich możliwych osób, które w drodze losowania mogłyby dostać się do danego miejsca. 5+8+3=16 osób.
Korzystne wyniki – Francuzi. 8 osób.
Pożądane prawdopodobieństwo: 8/16=1/2=0,5
Odpowiedź: 0,5
Prototyp jest nieco inny. Niektóre zadania dotyczące monet () i kości () są nieco bardziej kreatywne. Rozwiązania tych problemów można znaleźć na stronach prototypów.
Oto kilka przykładów rzucania monetą lub kostką.
Przykład 4 Kiedy rzucamy monetą, jakie jest prawdopodobieństwo wypadnięcia reszki?
Wyniki 2 - orzeł lub reszka. (uważa się, że moneta nigdy nie spada na krawędź) Korzystny wynik - reszka, 1.
Prawdopodobieństwo 1/2=0,5
Odpowiedź: 0,5.
Przykład 5 A co jeśli rzucimy monetą dwa razy? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł w obu przypadkach?
Najważniejsze jest ustalenie, które elementarne wyniki weźmiemy pod uwagę, rzucając dwiema monetami. Po rzucie dwiema monetami może wystąpić jeden z następujących wyników:
1) PP - za każdym razem wypadła reszka
2) PO - za pierwszym razem reszka, za drugim orzeł
3) OP - za pierwszym razem reszka, za drugim razem reszka
4) OO – oba razy gra heads-up
Nie ma innych opcji. Oznacza to, że są 4 podstawowe wyniki. Tylko pierwszy jest korzystny, 1.
Prawdopodobieństwo: 1/4=0,25
Odpowiedź: 0,25
Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa rzuty monetą zakończą się reszką?
Liczba wyników elementarnych jest taka sama, 4. Korzystne wyniki to drugi i trzeci, 2.
Prawdopodobieństwo wylosowania jednej reszki: 2/4=0,5
W takich problemach może się przydać inna formuła.
Jeżeli przy jednym rzucie monetą mamy 2 możliwe wyniki, to za dwa rzuty wypadną wyniki 2 2=2 2 =4 (jak w przykładzie 5), za trzy rzuty 2 2 2=2 3 =8, za cztery : 2·2·2·2=2 4 =16, … dla N rzutów możliwych wyników będzie 2·2·...·2=2 N .
Możesz więc znaleźć prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 reszek z 5 rzutów monetą.
Łączna liczba wyników elementarnych: 2 5 =32.
Korzystne wyniki: 1. (RRRRRR - wszystkie 5 razy reszki)
Prawdopodobieństwo: 1/32=0,03125
To samo dotyczy kostek. Przy jednym rzucie jest 6 możliwych wyników, więc przy dwóch rzutach: 6 6=36, przy trzech 6 6 6=216 itd.
Przykład 6 Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania liczby parzystej?
Suma wyników: 6, w zależności od liczby twarzy.
Korzystne: 3 wyniki. (2, 4, 6)
Prawdopodobieństwo: 3/6=0,5
Przykład 7 Rzuć dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wypadnie 10? (zaokrąglij do setnych)
Istnieje 6 możliwych wyników dla jednej kości. Stąd dla dwóch, zgodnie z powyższą regułą, 6·6=36.
Jakie wyniki będą sprzyjające wypadnięciu w sumie 10?
10 należy rozłożyć na sumę dwóch liczb od 1 do 6. Można to zrobić na dwa sposoby: 10=6+4 i 10=5+5. Tak więc w przypadku kostek możliwe są opcje:
(6 na pierwszym i 4 na drugim)
(4 na pierwszym i 6 na drugim)
(5 na pierwszym i 5 na drugim)
W sumie 3 opcje. Pożądane prawdopodobieństwo: 3/36=1/12=0,08
Odpowiedź: 0,08
Inne typy problemów B6 zostaną omówione w jednym z poniższych artykułów „Jak rozwiązać”.
Początkowo będąc jedynie zbiorem informacji i empirycznych obserwacji gry w kości, teoria prawdopodobieństwa stała się solidną nauką. Fermat i Pascal jako pierwsi dali mu ramy matematyczne.
Od refleksji nad wiecznością do teorii prawdopodobieństwa
Dwie osoby, którym teoria prawdopodobieństwa zawdzięcza wiele fundamentalnych formuł, Blaise Pascal i Thomas Bayes, znane są jako ludzie głęboko religijni, ten ostatni był pastorem prezbiteriańskim. Najwyraźniej chęć tych dwóch naukowców, aby udowodnić błędność opinii o pewnej Fortunie, obdarzającej szczęściem swoich ulubieńców, dała impuls do badań w tej dziedzinie. W końcu każda gra losowa, z jej wygranymi i przegranymi, jest tylko symfonią zasad matematycznych.
Dzięki ekscytacji Kawalera de Mere, który był zarówno hazardzistą, jak i osobą, której nauka nie była obojętna, Pascal został zmuszony do znalezienia sposobu na obliczenie prawdopodobieństwa. De Mere zainteresowało się tym pytaniem: „Ile razy trzeba rzucić dwiema kostkami do gry parami, aby prawdopodobieństwo uzyskania 12 punktów przekroczyło 50%?”. Drugie pytanie, które niezwykle zainteresowało Pana: „Jak podzielić zakład między uczestników niedokończonej gry?” Oczywiście Pascal z powodzeniem odpowiedział na oba pytania de Mere, który stał się nieświadomym inicjatorem rozwoju teorii prawdopodobieństwa. Ciekawe, że postać de Mere pozostała znana na tym terenie, a nie w literaturze.
Wcześniej żaden matematyk nie podjął jeszcze próby obliczenia prawdopodobieństwa zdarzeń, ponieważ uważano, że jest to tylko rozwiązanie domysłowe. Blaise Pascal podał pierwszą definicję prawdopodobieństwa zdarzenia i wykazał, że jest to specyficzna liczba, którą można uzasadnić matematycznie. Teoria prawdopodobieństwa stała się podstawą statystyki i jest szeroko stosowana we współczesnej nauce.
Co to jest losowość
Jeśli weźmiemy pod uwagę test, który można powtarzać nieskończoną liczbę razy, możemy zdefiniować zdarzenie losowe. To jeden z możliwych rezultatów tego doświadczenia.
Doświadczenie to realizacja określonych działań w stałych warunkach.
Aby móc pracować z wynikami doświadczenia, zdarzenia są zwykle oznaczane literami A, B, C, D, E ...
Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego
Aby móc przejść do matematycznej części prawdopodobieństwa, konieczne jest zdefiniowanie wszystkich jego składowych.
Prawdopodobieństwo zdarzenia jest liczbową miarą możliwości wystąpienia jakiegoś zdarzenia (A lub B) w wyniku doświadczenia. Prawdopodobieństwo jest oznaczane jako P(A) lub P(B).
Teoria prawdopodobieństwa to:
- niezawodny zdarzenie jest gwarantowane w wyniku eksperymentu Р(Ω) = 1;
- niemożliwe zdarzenie nigdy nie może się zdarzyć Р(Ø) = 0;
- losowy zdarzenie leży między pewnym a niemożliwym, to znaczy prawdopodobieństwo jego wystąpienia jest możliwe, ale nie jest gwarantowane (prawdopodobieństwo zdarzenia losowego zawsze mieści się w przedziale 0≤P(A)≤1).
Relacje między zdarzeniami
Zarówno jedno, jak i suma zdarzeń A + B są brane pod uwagę, gdy zdarzenie jest liczone w realizacji co najmniej jednego ze składników, A lub B, albo obu - A i B.
W stosunku do siebie zdarzenia mogą być:
- Równie możliwe.
- zgodny.
- Niekompatybilny.
- Przeciwnie (wzajemnie się wykluczają).
- Zależny.
Jeśli dwa zdarzenia mogą się zdarzyć z równym prawdopodobieństwem, to one równie możliwe.
Jeśli zajście zdarzenia A nie unieważnia prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia B, to oni zgodny.
Jeśli zdarzenia A i B nigdy nie występują w tym samym czasie w tym samym eksperymencie, to są nazywane niekompatybilny. Rzut monetą jest dobrym przykładem: wypadnięcie reszki automatycznie nie oznacza wypadnięcia orła.
Prawdopodobieństwo sumy takich niekompatybilnych zdarzeń składa się z sumy prawdopodobieństw każdego ze zdarzeń:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Jeśli wystąpienie jednego zdarzenia uniemożliwia wystąpienie innego, wówczas nazywa się je przeciwne. Wtedy jeden z nich jest oznaczony jako A, a drugi - Ā (czytane jako „nie A”). Wystąpienie zdarzenia A oznacza, że Ā nie wystąpiło. Te dwa zdarzenia tworzą kompletną grupę z sumą prawdopodobieństw równą 1.
Zdarzenia zależne mają wzajemny wpływ, zmniejszając lub zwiększając wzajemne prawdopodobieństwo.
Relacje między zdarzeniami. Przykłady
O wiele łatwiej jest zrozumieć zasady teorii prawdopodobieństwa i kombinacji zdarzeń na przykładach.
Eksperyment, który zostanie przeprowadzony, polega na wyciągnięciu kulek z pudełka, a wynik każdego eksperymentu jest wynikiem elementarnym.
Zdarzenie to jeden z możliwych wyników doświadczenia - kula czerwona, kula niebieska, kula z numerem sześć itd.
Test numer 1. Jest 6 kul, z których trzy są niebieskie z liczbami nieparzystymi, a pozostałe trzy są czerwone z liczbami parzystymi.
Próba numer 2. Jest 6 niebieskich kulek z liczbami od 1 do 6.
Na podstawie tego przykładu możemy nazwać kombinacje:
- Niezawodna impreza. Po hiszpańsku Nr 2, zdarzenie „zdobądź niebieską kulę” jest wiarygodne, ponieważ prawdopodobieństwo jego wystąpienia wynosi 1, ponieważ wszystkie kule są niebieskie i nie może ich zabraknąć. Natomiast zdarzenie „zdobądź piłkę z numerem 1” jest losowe.
- Niemożliwe wydarzenie. Po hiszpańsku Nr 1 z niebieskimi i czerwonymi kulkami zdarzenie „zdobądź fioletową kulę” jest niemożliwe, ponieważ prawdopodobieństwo jego wystąpienia wynosi 0.
- Wydarzenia równoważne. Po hiszpańsku nr 1 zdarzenia „dostać piłkę z numerem 2” i „dostać piłkę z numerem 3” są równie prawdopodobne, a zdarzenia „dostać piłkę z numerem parzystym” i „dostać piłkę z numerem 2” ” mają różne prawdopodobieństwa.
- Kompatybilne wydarzenia. Wyrzucenie szóstki w trakcie rzucania kostką dwa razy z rzędu to zgodne zdarzenia.
- Niekompatybilne wydarzenia. W tym samym języku hiszpańskim Wydarzenia nr 1 „zdobądź czerwoną piłkę” i „zdobądź piłkę o numerze nieparzystym” nie mogą być łączone w ramach tego samego doświadczenia.
- zdarzenia przeciwne. Najbardziej uderzającym tego przykładem jest rzut monetą, gdzie wyciągnięcie reszki jest tym samym, co niewyciągnięcie reszki, a suma ich prawdopodobieństw wynosi zawsze 1 (pełna grupa).
- Zdarzenia zależne. A więc po hiszpańsku Nr 1, możesz postawić sobie za cel wydobycie czerwonej piłki dwa razy z rzędu. Wydobycie lub niewydobycie za pierwszym razem wpływa na prawdopodobieństwo wydobycia za drugim razem.
Można zauważyć, że pierwsze zdarzenie znacząco wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego (40% i 60%).
Formuła prawdopodobieństwa zdarzenia
Przejście od wróżenia do dokładnych danych następuje poprzez przeniesienie tematu na płaszczyznę matematyczną. Oznacza to, że sądy dotyczące zdarzenia losowego, takie jak „wysokie prawdopodobieństwo” lub „minimalne prawdopodobieństwo”, można przełożyć na określone dane liczbowe. Dopuszczalne jest już ocenianie, porównywanie i wprowadzanie takiego materiału do bardziej złożonych obliczeń.
Z punktu widzenia rachunku, określeniem prawdopodobieństwa zdarzenia jest stosunek liczby elementarnych wyników pozytywnych do liczby wszystkich możliwych wyników doświadczenia w odniesieniu do konkretnego zdarzenia. Prawdopodobieństwo jest oznaczone przez P (A), gdzie P oznacza słowo „prawdopodobieństwo”, które jest tłumaczone z francuskiego jako „prawdopodobieństwo”.
Zatem wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia to:
Gdzie m to liczba korzystnych wyników dla zdarzenia A, n to suma wszystkich możliwych wyników dla tego doświadczenia. Prawdopodobieństwo zdarzenia zawsze mieści się w przedziale od 0 do 1:
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia. Przykład
Weźmy hiszpański. Nr 1 z kulkami, które opisano wcześniej: 3 kule niebieskie z numerami 1/3/5 i 3 kule czerwone z numerami 2/4/6.
Na podstawie tego testu można rozważyć kilka różnych zadań:
- A - upuszczenie czerwonej kuli. Kul czerwonych jest 3, a wariantów łącznie 6. To najprostszy przykład, w którym prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi P(A)=3/6=0,5.
- B - upuszczenie liczby parzystej. W sumie są 3 (2,4,6) liczby parzyste, a łączna liczba możliwych opcji liczbowych wynosi 6. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi P(B)=3/6=0,5.
- C - utrata liczby większej niż 2. Z ogólnej liczby możliwych wyników są 4 takie opcje (3,4,5,6) 6. Prawdopodobieństwo zdarzenia C wynosi P(C)=4/6= 0,67.
Jak widać z obliczeń, zdarzenie C ma większe prawdopodobieństwo, gdyż liczba możliwych pozytywnych wyników jest większa niż w zdarzeniach A i B.
Niekompatybilne zdarzenia
Takie wydarzenia nie mogą pojawiać się jednocześnie w tym samym doświadczeniu. Jak po hiszpańsku Nr 1, niemożliwe jest jednoczesne zdobycie niebieskiej i czerwonej piłki. Oznacza to, że możesz otrzymać niebieską lub czerwoną piłkę. W ten sam sposób liczba parzysta i nieparzysta nie mogą pojawić się na kostce w tym samym czasie.
Prawdopodobieństwo dwóch zdarzeń jest uważane za prawdopodobieństwo ich sumy lub iloczynu. Za sumę takich zdarzeń A + B uważa się zdarzenie, które polega na pojawieniu się zdarzenia A lub B, a iloczyn ich AB - na pojawieniu się obu. Na przykład pojawienie się dwóch szóstek jednocześnie na ściankach dwóch kości w jednym rzucie.
Suma kilku zdarzeń to zdarzenie, które implikuje wystąpienie przynajmniej jednego z nich. Iloczyn kilku zdarzeń jest łącznym wystąpieniem ich wszystkich.
W teorii prawdopodobieństwa z reguły użycie związku „i” oznacza sumę, związek „lub” - mnożenie. Wzory z przykładami pomogą ci zrozumieć logikę dodawania i mnożenia w teorii prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń niekompatybilnych
Jeśli weźmie się pod uwagę prawdopodobieństwo zdarzeń niekompatybilnych, to prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Na przykład: obliczamy prawdopodobieństwo, że w języku hiszpańskim. Nr 1 z niebieskimi i czerwonymi kulkami wyrzuci liczbę od 1 do 4. Obliczymy nie w jednej akcji, ale sumą prawdopodobieństw składowych elementarnych. Tak więc w takim eksperymencie jest tylko 6 piłek lub 6 wszystkich możliwych wyników. Liczby spełniające warunek to 2 i 3. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby 2 wynosi 1/6, prawdopodobieństwo liczby 3 również wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby od 1 do 4 wynosi:
Prawdopodobieństwo sumy niekompatybilnych zdarzeń całej grupy wynosi 1.
Jeśli więc w eksperymencie z kostką dodamy prawdopodobieństwo otrzymania wszystkich liczb, to w rezultacie otrzymamy jedną.
Dotyczy to również zdarzeń przeciwstawnych, np. w eksperymencie z monetą, gdzie jedną ze stron jest zdarzenie A, a drugą przeciwieństwo Ā, jak wiadomo,
Р(А) + Р(Ā) = 1
Prawdopodobieństwo wystąpienia niezgodnych zdarzeń
Mnożenie prawdopodobieństw stosuje się, gdy rozważa się wystąpienie dwóch lub więcej niekompatybilnych zdarzeń w jednej obserwacji. Prawdopodobieństwo, że zdarzenia A i B wystąpią w nim w tym samym czasie, jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw, czyli:
P(A*B)=P(A)*P(B)
Na przykład prawdopodobieństwo, że w Nr 1 w wyniku dwóch prób dwukrotnie pojawi się kula niebieska, równa
Czyli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, w którym w wyniku dwóch prób wydobycia kulek zostaną wydobyte tylko kule niebieskie wynosi 25%. Bardzo łatwo jest przeprowadzić praktyczne eksperymenty dotyczące tego problemu i sprawdzić, czy tak jest w rzeczywistości.
Wspólne wydarzenia
Wydarzenia uważa się za wspólne, gdy pojawienie się jednego z nich może zbiegać się z pojawieniem się drugiego. Pomimo tego, że są one wspólne, uwzględnia się prawdopodobieństwo zdarzeń niezależnych. Np. rzut dwiema kostkami może dać wynik, gdy na obu wypadnie liczba 6. Choć zdarzenia zbiegły się i wystąpiły w tym samym czasie, są od siebie niezależne – wypadła tylko jedna szóstka, druga kostka nie ma na to wpływ.
Za prawdopodobieństwo wspólnych zdarzeń uważa się prawdopodobieństwo ich sumy.
Prawdopodobieństwo sumy wspólnych zdarzeń. Przykład
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B, które są ze sobą połączone, jest równe sumie prawdopodobieństw zdarzenia pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich iloczynu (czyli ich wspólnej realizacji):
złącze R. (A + B) \u003d P. (A) + P. (B) - P. (AB)
Załóżmy, że prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,4. Następnie zdarzenie A - trafienie w cel w pierwszej próbie, B - w drugiej. Zdarzenia te są łączone, ponieważ możliwe jest trafienie w cel zarówno z pierwszego, jak iz drugiego strzału. Ale zdarzenia nie są zależne. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia w cel dwoma strzałami (co najmniej jednym)? Zgodnie ze wzorem:
0,4+0,4-0,4*0,4=0,64
Odpowiedź na pytanie brzmi: „Prawdopodobieństwo trafienia w cel dwoma strzałami wynosi 64%”.
Ten wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia można zastosować również do zdarzeń niekompatybilnych, gdzie prawdopodobieństwo łącznego wystąpienia zdarzenia P(AB) = 0. Oznacza to, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń niekompatybilnych można uznać za przypadek szczególny proponowanej formuły.
Geometria prawdopodobieństwa dla jasności
Co ciekawe, prawdopodobieństwo sumy wspólnych zdarzeń można przedstawić jako dwa przecinające się obszary A i B. Jak widać na rysunku, obszar ich połączenia jest równy całkowitej powierzchni minus obszar ich przecięcia. To geometryczne wyjaśnienie sprawia, że pozornie nielogiczny wzór staje się bardziej zrozumiały. Należy zauważyć, że rozwiązania geometryczne nie są rzadkością w teorii prawdopodobieństwa.
Definicja prawdopodobieństwa sumy zbioru (więcej niż dwóch) wspólnych zdarzeń jest dość kłopotliwa. Aby to obliczyć, musisz użyć formuł przewidzianych dla tych przypadków.
Zdarzenia zależne
Zdarzenia zależne są wywoływane, jeśli wystąpienie jednego (A) z nich wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego (B). Ponadto brany jest pod uwagę wpływ zarówno wystąpienia zdarzenia A, jak i jego niewystąpienia. Chociaż zdarzenia z definicji nazywane są zależnymi, tylko jedno z nich jest zależne (B). Zwykłe prawdopodobieństwo oznaczono jako P(B) lub prawdopodobieństwo zdarzeń niezależnych. W przypadku zależności wprowadza się nowe pojęcie – prawdopodobieństwo warunkowe P A (B), czyli prawdopodobieństwo zdarzenia zależnego B pod warunkiem zajścia zdarzenia A (hipotezy), od którego ono zależy.
Ale zdarzenie A jest również losowe, więc ma również prawdopodobieństwo, które musi i może być brane pod uwagę w obliczeniach. Poniższy przykład pokaże, jak pracować ze zdarzeniami zależnymi i hipotezą.
Przykład obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń zależnych
Dobrym przykładem obliczania zdarzeń zależnych jest standardowa talia kart.
Na przykładzie talii 36 kart rozważ zdarzenia zależne. Należy określić prawdopodobieństwo, że drugą wylosowaną kartą z talii będzie karta w kolorze karo, jeśli pierwsza wylosowana karta to:
- Tamburyn.
- Kolejny garnitur.
Oczywiście prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia B zależy od pierwszego zdarzenia A. Tak więc, jeśli pierwsza opcja jest prawdziwa, czyli o 1 kartę (35) i 1 karo (8) mniej w talii, prawdopodobieństwo zdarzenia B:
PA (B) \u003d 8/35 \u003d 0,23
Jeśli druga opcja jest prawdziwa, to w talii jest 35 kart, a łączna liczba tamburynów (9) jest nadal zachowana, to prawdopodobieństwo następującego zdarzenia wynosi B:
PA (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.
Można zauważyć, że jeśli zdarzenie A jest uzależnione od tego, że pierwszą kartą jest diament, to prawdopodobieństwo zdarzenia B maleje i odwrotnie.
Mnożenie zdarzeń zależnych
Na podstawie poprzedniego rozdziału przyjmujemy pierwsze zdarzenie (A) jako fakt, ale w istocie ma ono charakter losowy. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia, czyli wydobycia tamburynu z talii kart, jest równe:
P(A) = 9/36=1/4
Ponieważ teoria nie istnieje sama z siebie, lecz służy celom praktycznym, należy zauważyć, że najczęściej potrzebne jest prawdopodobieństwo wystąpienia zależnych zdarzeń.
Zgodnie z twierdzeniem o iloczynach prawdopodobieństw zdarzeń zależnych prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń A i B współzależnych jest równe prawdopodobieństwu jednego zdarzenia A pomnożonemu przez prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B (zależnego od A):
P. (AB) \u003d P. (A) * P. A (B)
Wtedy w przykładzie z talią prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kart w kolorze karo wynosi:
9/36*8/35=0,0571 lub 5,7%
A prawdopodobieństwo wydobycia najpierw nie diamentów, a potem diamentów jest równe:
27/36*9/35=0,19 lub 19%
Można zauważyć, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia B jest większe pod warunkiem, że jako pierwsza wylosowana zostanie karta w kolorze innym niż karo. Ten wynik jest dość logiczny i zrozumiały.
Całkowite prawdopodobieństwo zdarzenia
Kiedy problem z prawdopodobieństwem warunkowym staje się wieloaspektowy, nie można go obliczyć konwencjonalnymi metodami. Kiedy jest więcej niż dwie hipotezy, a mianowicie A1, A2, ..., An , ... tworzy kompletną grupę zdarzeń pod warunkiem:
- P(Ai)>0, i=1,2,…
- ZA ja ∩ ZA j = Ř, i≠ j.
- Σ k A k = Ω.
Zatem wzór na całkowite prawdopodobieństwo zdarzenia B z kompletną grupą zdarzeń losowych A1, A2, ..., A n jest następujący:
Spojrzenie w przyszłość
Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego jest istotne w wielu dziedzinach nauki: ekonometrii, statystyce, fizyce itp. Ponieważ niektórych procesów nie da się opisać deterministycznie, ponieważ same są probabilistyczne, potrzebne są specjalne metody pracy. Teorię prawdopodobieństwa zdarzeń można wykorzystać w dowolnej dziedzinie techniki jako sposób na określenie możliwości wystąpienia błędu lub awarii.
Można powiedzieć, że rozpoznając prawdopodobieństwo, robimy niejako teoretyczny krok w przyszłość, patrząc na nią przez pryzmat formuł.