Funkcja jest modelem. Zdefiniujmy X jako zbiór wartości zmiennej niezależnej // niezależny oznacza dowolny.
Funkcja to reguła, według której dla każdej wartości zmiennej niezależnej ze zbioru X można znaleźć jedyną wartość zmiennej zależnej. // tj. na każde x przypada jedno y.
Z definicji wynika, że istnieją dwa pojęcia – zmienna niezależna (którą oznaczamy przez x i może przyjmować dowolną wartość) oraz zmienna zależna (którą oznaczamy przez y lub f(x) i jest obliczana z funkcji, gdy podstawiamy x).
NA PRZYKŁAD y=5+x
1. Niezależność to x, więc bierzemy dowolną wartość, niech x = 3
2. a teraz obliczamy y, więc y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y jest zależne od x, bo jakim x podstawiamy, to otrzymujemy takie y)
Mówimy, że zmienna y jest funkcyjnie zależna od zmiennej x i oznaczamy to następująco: y = f (x).
NA PRZYKŁAD.
1.y=1/x. (nazywana hiperbolą)
2. y=x^2. (nazywana parabolą)
3.y=3x+7. (nazywana linią prostą)
4. y \u003d √ x. (nazywana gałęzią paraboli)
Zmienną niezależną (którą oznaczamy przez x) nazywamy argumentem funkcji.
Zakres funkcji
Zbiór wszystkich wartości, które przyjmuje argument funkcji, nazywany jest dziedziną funkcji i jest oznaczony przez D(f) lub D(y).
Rozważmy D(y) dla 1.,2.,3.,4.
1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cały zbiór liczb rzeczywistych oprócz zera.
2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / wszystkie liczby rzeczywiste
3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / wszystkie liczby rzeczywiste
4. D (y) \u003d. Pozostaje znaleźć przecięcie zbiorów wartości x takich, że x∈D(f 2) i f 2 (x)∈D(f 1) : 
Dla arcsinx>0 przypomnijmy sobie właściwości funkcji arcsinus. Arcus sinus rośnie w całej dziedzinie definicji [−1, 1] i znika w punkcie x=0, zatem arcsinx>0 dla dowolnego x z przedziału (0, 1).
Wróćmy do systemu: 
Zatem pożądaną dziedziną definicji funkcji jest półprzedział (0, 1] .
Odpowiedź:
(0, 1] .
Przejdźmy teraz do złożonych funkcji ogólnych y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Dziedzina funkcji f w tym przypadku jest znaleziona jako 
.
Przykład.
Znajdź zakres funkcji 
.
Rozwiązanie.
Daną funkcję zespoloną można zapisać jako y \u003d f 1 (f 2 (f 3 (x))), gdzie f 1 - grzech, f 2 - funkcja pierwiastka czwartego stopnia, f 3 - lg.
Wiemy, że D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)= ∪ ∪
W werbalnym sposobie ustawiania funkcji należy dokładnie przeczytać warunek i znaleźć tam ograniczenia dla x. Czasami oczy szukają formuł, a słowa gwiżdżą w świadomości, tak...) Przykład z poprzedniej lekcji:
Funkcja jest określona przez warunek: każda wartość argumentu naturalnego x jest powiązana z sumą cyfr składających się na wartość x.
W tym miejscu należy zaznaczyć, że tak tylko o wartościach naturalnych x. potem i D(f) natychmiast zapisane:
D(f): x ∈ N
Jak widać zakres funkcji nie jest aż tak skomplikowanym pojęciem. Znalezienie tego obszaru sprowadza się do zbadania funkcji, napisania układu nierówności i rozwiązania tego układu. Oczywiście istnieją różne systemy, proste i złożone. Ale...
Zdradzę ci mały sekret. Czasami funkcja, dla której musisz znaleźć zakres, wygląda po prostu onieśmielająco. Blednąć i płakać mi się chce.) Ale warto spisać system nierówności... I nagle okazuje się, że system jest elementarny! I często im gorsza funkcja, tym prostszy system...
Morał: oczy się boją, głowa decyduje!)
Instrukcja
Przypomnijmy, że funkcja to taka zależność zmiennej Y od zmiennej X, w której każdej wartości zmiennej X odpowiada pojedyncza wartość zmiennej Y.
Zmienna X jest zmienną niezależną lub argumentem. Zmienna Y jest zmienną zależną. Przyjmuje się również, że zmienna Y jest funkcją zmiennej X. Wartości funkcji są równe wartościom zmiennej zależnej.
Dla jasności napisz wyrażenia. Jeżeli zależność zmiennej Y od zmiennej X jest funkcją, to zapisujemy ją następująco: y=f(x). (Czytaj: y równa się f od x.) Symbol f(x) oznacza wartość funkcji odpowiadającą wartości argumentu, równą x.
Badanie funkcji na parytet Lub dziwne- jeden z kroków ogólnego algorytmu badania funkcji, który jest niezbędny do wykreślenia wykresu funkcji i zbadania jej właściwości. W tym kroku musisz określić, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta. Jeśli o funkcji nie można powiedzieć, że jest parzysta lub nieparzysta, to mówi się, że jest funkcją ogólną.
Instrukcja
Zastąp argument x argumentem (-x) i zobacz, co się stanie na końcu. Porównaj z oryginalną funkcją y(x). Jeśli y(-x)=y(x), mamy funkcję parzystą. Jeśli y(-x)=-y(x), mamy nieparzystą funkcję. Jeśli y(-x) nie jest równe y(x) i nie jest równe -y(x), mamy funkcję ogólną.
Wszystkie operacje na funkcji można wykonać tylko w zbiorze, w którym jest ona zdefiniowana. Dlatego podczas badania funkcji i konstruowania jej wykresu pierwszą rolę odgrywa znalezienie dziedziny definicji.
Instrukcja
Jeśli funkcja to y=g(x)/f(x), rozwiąż f(x)≠0, ponieważ mianownik ułamka nie może być równy zeru. Na przykład y=(x+2)/(x−4), x−4≠0. Oznacza to, że dziedziną definicji będzie zbiór (-∞; 4)∪(4; +∞).
Gdy w definicji funkcji występuje parzysty pierwiastek, rozwiąż nierówność, w której wartość jest większa lub równa zeru. Parzysty pierwiastek można wziąć tylko z liczby nieujemnej. Na przykład y=√(x−2), x−2≥0. Wtedy dziedziną jest zbiór , to znaczy, jeśli y=arcsin(f(x)) lub y=arccos(f(x)), musisz rozwiązać podwójną nierówność -1≤f(x)≤1. Na przykład y=arccos(x+2), -1≤x+2≤1. Obszarem definicji będzie segment [-3; -1].
Wreszcie, jeśli podana jest kombinacja różnych funkcji, to dziedziną definicji jest przecięcie dziedzin definicji wszystkich tych funkcji. Na przykład y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+lg(x−6). Najpierw znajdź dziedzinę wszystkich terminów. Sin(2*x) jest zdefiniowany na całej osi liczbowej. Dla funkcji x/√(x+2) rozwiąż nierówność x+2>0 i dziedziną będzie (-2; +∞). Dziedzina funkcji arcsin(x−6) jest określona przez podwójną nierówność -1≤x-6≤1, czyli uzyskano odcinek. Dla logarytmu zachodzi nierówność x−6>0, a to jest przedział (6; +∞). Zatem dziedziną funkcji będzie zbiór (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), czyli (6; 7).
Powiązane wideo
Źródła:
- dziedzina funkcji z logarytmem
Funkcja jest pojęciem, które odzwierciedla związek między elementami zbiorów, czyli jest „prawem”, zgodnie z którym każdemu elementowi jednego zbioru (nazywanego dziedziną definicji) przypisuje się jakiś element innego zbioru (nazywanego dziedzina wartości).
Wiele zadań prowadzi nas do poszukiwania zbioru wartości funkcji na określonym segmencie lub na całej dziedzinie definicji. Takie zadania obejmują różne obliczanie wyrażeń, rozwiązywanie nierówności.
W tym artykule zdefiniujemy zakres funkcji, rozważymy metody jej znajdowania i szczegółowo przeanalizujemy rozwiązanie przykładów od prostych do bardziej złożonych. Wszystkie materiały zostaną opatrzone ilustracjami graficznymi dla przejrzystości. Ten artykuł jest więc szczegółową odpowiedzią na pytanie, jak znaleźć zakres funkcji.
Definicja.
Zbiór wartości funkcji y = f(x) na przedziale X zwany zbiorem wszystkich wartości funkcji, które przyjmuje podczas iteracji po wszystkich .
Definicja.
Zakres funkcji y = f(x) nazywamy zbiorem wszystkich wartości funkcji, które przyjmuje podczas iteracji po wszystkich x z dziedziny definicji.
Zakres funkcji jest oznaczony jako E(f) .
Zakres funkcji i zbiór wartości funkcji to nie to samo. Pojęcia te zostaną uznane za równoważne, jeśli przedział X przy znajdowaniu zbioru wartości funkcji y = f(x) pokrywa się z dziedziną funkcji.
Nie należy również mylić zakresu funkcji ze zmienną x dla wyrażenia po prawej stronie równania y=f(x) . Obszar dopuszczalnych wartości zmiennej x dla wyrażenia f(x) to obszar definicji funkcji y=f(x) .
Na rysunku pokazano kilka przykładów.
Wykresy funkcji są pokazane za pomocą pogrubionych niebieskich linii, cienkie czerwone linie to asymptoty, czerwone kropki i linie na osi Oy pokazują zakres odpowiedniej funkcji.
Jak widać, zakres funkcji uzyskuje się przez rzutowanie wykresu funkcji na oś y. Może to być pojedyncza liczba (przypadek pierwszy), zbiór liczb (przypadek drugi), odcinek (przypadek trzeci), przedział (przypadek czwarty), promień otwarty (przypadek piąty), suma (przypadek szósty) itp. .
Więc co musisz zrobić, aby znaleźć zakres funkcji.
Zacznijmy od najprostszego przypadku: pokażemy, jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji ciągłej y = f(x) na przedziale .
Wiadomo, że funkcja ciągła na odcinku osiąga na nim swoje maksimum i minimum. Zatem zestaw wartości pierwotnej funkcji na segmencie będzie segmentem 
. Dlatego nasze zadanie sprowadza się do znalezienia największej i najmniejszej wartości funkcji na przedziale .
Na przykład znajdźmy zakres funkcji arcus sinus.
Przykład.
Określ zakres funkcji y = arcsinx .
Rozwiązanie.
Dziedziną definicji arcus sinusa jest segment [-1; 1] . Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w tym segmencie. 
Pochodna jest dodatnia dla wszystkich x z przedziału (-1; 1) , to znaczy funkcja arcus sinus rośnie w całej dziedzinie definicji. Dlatego przyjmuje najmniejszą wartość przy x = -1, a największą przy x = 1. 
Otrzymaliśmy zakres funkcji arcus sinus 
.
Przykład.
Znajdź zbiór wartości funkcji 
na segmencie.
Rozwiązanie.
Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji na danym odcinku.
Zdefiniujmy punkty ekstremalne należące do odcinka: 
Obliczamy wartości pierwotnej funkcji na końcach odcinka iw punktach 
:
Dlatego zbiorem wartości funkcji na segmencie jest segment 
.
Teraz pokażemy, jak znaleźć zbiór wartości funkcji ciągłej y = f(x) w przedziałach (a; b) , .
Najpierw wyznaczamy punkty ekstremalne, ekstrema funkcji, przedziały wzrostu i spadku funkcji na danym przedziale. Następnie obliczamy na końcach przedziału i (lub) granice w nieskończoności (czyli badamy zachowanie funkcji na granicach przedziału lub w nieskończoności). Ta informacja wystarczy, aby znaleźć zbiór wartości funkcji na takich przedziałach.
Przykład.
Określ zbiór wartości funkcji w przedziale (-2; 2) .
Rozwiązanie.
Znajdźmy punkty ekstremalne funkcji mieszczącej się w przedziale (-2; 2): 
Kropka x = 0 to punkt maksymalny, ponieważ pochodna zmienia znak z plusa na minus, przechodząc przez niego, a wykres funkcji zmienia się z rosnącego na malejący. 
jest odpowiednim maksimum funkcji.
Dowiedzmy się, jak zachowuje się funkcja, gdy x dąży do -2 po prawej stronie i gdy x dąży do 2 po lewej stronie, czyli znajdujemy jednostronne granice: 
Co otrzymaliśmy: gdy argument zmienia się od -2 do zera, wartości funkcji rosną od minus nieskończoności do minus jednej czwartej (maksimum funkcji przy x = 0 ), gdy argument zmienia się od zera do 2, funkcja wartości maleją do minus nieskończoności. Zatem zbiór wartości funkcji w przedziale (-2; 2) wynosi .
Przykład.
Określ zbiór wartości funkcji stycznej y = tgx na przedziale .
Rozwiązanie.
Pochodna funkcji stycznej na przedziale jest dodatnia 
, co wskazuje na wzrost funkcji. Badamy zachowanie funkcji na granicach przedziału: 
Tak więc, gdy argument zmienia się z na, wartości funkcji rosną od minus nieskończoności do plus nieskończoności, czyli zbiór wartości stycznych w tym przedziale jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych.
Przykład.
Znajdź zakres funkcji logarytmu naturalnego y = lnx .
Rozwiązanie.
Funkcja logarytmu naturalnego jest zdefiniowana dla dodatnich wartości argumentu 
. W tym przedziale pochodna jest dodatnia 
, oznacza to wzrost funkcji na nim. Znajdźmy jednostronną granicę funkcji, gdy argument dąży do zera z prawej strony, oraz granicę, gdy x dąży do plus nieskończoności: 
Widzimy, że gdy x zmienia się od zera do plus nieskończoności, wartości funkcji rosną od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Dlatego zakres funkcji logarytmu naturalnego to cały zbiór liczb rzeczywistych.
Przykład.
Rozwiązanie.
Ta funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich rzeczywistych wartości x. Wyznaczmy punkty ekstremalne oraz przedziały wzrostu i spadku funkcji. 
Dlatego funkcja maleje w , rośnie w , x = 0 to punkt maksymalny, 
odpowiednie maksimum funkcji.
Przyjrzyjmy się zachowaniu funkcji w nieskończoności: 
Zatem w nieskończoności wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do zera.
Dowiedzieliśmy się, że gdy argument zmienia się od minus nieskończoności do zera (punkt maksymalny), wartości funkcji rosną od zera do dziewięciu (aż do maksimum funkcji), a gdy x zmienia się od zera do plus nieskończoności, wartości funkcji zmniejszają się od dziewięciu do zera.
Spójrz na schematyczny rysunek.
Teraz wyraźnie widać, że zakres funkcji wynosi .
Znalezienie zbioru wartości funkcji y = f(x) na przedziałach wymaga podobnych badań. Nie będziemy teraz szczegółowo omawiać tych przypadków. Zobaczymy je w poniższych przykładach.
Niech dziedziną funkcji y = f(x) będzie suma kilku przedziałów. Po znalezieniu zakresu takiej funkcji określane są zestawy wartości w każdym przedziale i brana jest ich suma.
Przykład.
Znajdź zakres funkcji .
Rozwiązanie.
Mianownik naszej funkcji nie powinien dążyć do zera, czyli .
Najpierw znajdźmy zbiór wartości funkcji na otwartym promieniu.
Pochodna funkcji 
jest ujemna w tym przedziale, to znaczy, że funkcja w nim maleje. 
Stwierdziliśmy, że skoro argument dąży do minus nieskończoności, wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do jedności. Gdy x zmienia się z minus nieskończoności na dwa, wartości funkcji zmniejszają się od jednego do minus nieskończoności, czyli na rozpatrywanym przedziale funkcja przyjmuje zbiór wartości. Nie uwzględniamy jedności, ponieważ wartości funkcji do niej nie docierają, a jedynie asymptotycznie dążą do niej w minus nieskończoności.
Postępujemy podobnie dla otwartej belki.
W tym przedziale funkcja również maleje. 
Zbiór wartości funkcji na tym przedziale to zbiór .
Zatem pożądanym zakresem wartości funkcji jest suma zbiorów i .
Ilustracja graficzna.
Osobno powinniśmy rozwodzić się nad funkcjami okresowymi. Zakres funkcji okresowych pokrywa się ze zbiorem wartości na przedziale odpowiadającym okresowi tej funkcji.
Przykład.
Znajdź zakres funkcji sinus y = sinx .
Rozwiązanie.
Ta funkcja jest okresowa z okresem dwóch pi. Weźmy segment i zdefiniujmy na nim zestaw wartości. 
Segment zawiera dwa punkty ekstremalne i .
Obliczamy wartości funkcji w tych punktach i na granicach segmentu wybieramy najmniejszą i największą wartość: 
Stąd, 
.
Przykład.
Znajdź zakres funkcji 
.
Rozwiązanie.
Wiemy, że zakres arcus cosinus to odcinek od zera do pi, czyli 
lub w innym poście. Funkcjonować 
można uzyskać z arccosx, przesuwając i rozciągając wzdłuż osi x. Takie przekształcenia nie wpływają na zasięg, dlatego 
. Funkcjonować 
pochodzi z rozciągający się trzykrotnie wzdłuż osi Oy, czyli 
. A ostatnim etapem przekształceń jest przesunięcie o cztery jednostki w dół wzdłuż osi y. To prowadzi nas do podwójnej nierówności 
Zatem pożądany zakres wartości to 
.
Podajmy rozwiązanie innego przykładu, ale bez wyjaśnień (nie są one wymagane, ponieważ są całkowicie podobne).
Przykład.
Zdefiniuj zakres funkcji 
.
Rozwiązanie.
Piszemy pierwotną funkcję w formularzu 
. Zakres funkcji wykładniczej to przedział . To jest, . Następnie 
Stąd, 
.
Aby uzupełnić obraz, powinniśmy porozmawiać o znalezieniu zakresu funkcji, który nie jest ciągły w dziedzinie definicji. W tym przypadku dziedzina definicji jest podzielona przez punkty przerwania na przedziały, a na każdym z nich znajdujemy zbiory wartości. Łącząc otrzymane zestawy wartości, otrzymujemy zakres wartości funkcji pierwotnej. Polecamy pamiętać