Temat: "Wielokąty. Rodzaje wielokątów"
9. klasa
SHL nr 20
Nauczyciel: Kharitonovich T.I. Cel lekcji: badanie rodzajów wielokątów.
Zadanie edukacyjne: aktualizować, poszerzać i uogólniać wiedzę uczniów na temat wielokątów; stworzyć wyobrażenie o „częściach składowych” wielokąta; przeprowadzić badanie liczby elementów składowych wielokątów foremnych (od trójkąta do n-kątu);
Zadanie rozwojowe: rozwijać umiejętność analizowania, porównywania, wyciągania wniosków, rozwijania umiejętności obliczeniowych, ustnej i pisemnej mowy matematycznej, pamięci, a także samodzielności w myśleniu i działaniu uczenia się, umiejętności pracy w parach i grupach; rozwijać działalność badawczą i edukacyjną;
Zadanie edukacyjne: kultywuj samodzielność, aktywność, odpowiedzialność za powierzoną pracę, wytrwałość w dążeniu do celu.
Wyposażenie: tablica interaktywna (prezentacja)
Podczas zajęć
Prezentacja pokazująca: „Wielokąty”
„Natura mówi językiem matematyki, litery tego języka… figury matematyczne”. G.Galliley
Na początku lekcji klasa zostaje podzielona na grupy robocze (w naszym przypadku podzielone na 3 grupy)
1. Etap wywołania-
a) aktualizowanie wiedzy uczniów na dany temat;
b) rozbudzanie zainteresowania studiowanym tematem, motywowanie każdego ucznia do działań edukacyjnych.
Technika: Zabawa „Czy wierzysz, że...”, organizacja pracy z tekstem.
Formy pracy: frontalna, grupowa.
"Wierzysz w to..."
1. ... słowo „wielokąt” wskazuje, że wszystkie figury w tej rodzinie mają „wiele kątów”?
2. ...czy trójkąt należy do dużej rodziny wielokątów, wyróżniającej się spośród różnorodności różnych kształtów geometrycznych na płaszczyźnie?
3. ... czy kwadrat jest ośmiokątem foremnym (cztery boki + cztery rogi)?
Dzisiaj na lekcji porozmawiamy o wielokątach. Dowiadujemy się, że liczba ta jest ograniczona zamkniętą linią przerywaną, która z kolei może być prosta, zamknięta. Porozmawiajmy o tym, że wielokąty mogą być płaskie, regularne lub wypukłe. Jednym z płaskich wielokątów jest trójkąt, który znasz od dawna (możesz pokazać uczniom plakaty przedstawiające wielokąty, linię przerywaną, pokazać ich różne typy, możesz też skorzystać z TSO).
2. Etap poczęcia
Cel: zdobycie nowych informacji, zrozumienie ich, selekcja.
Technika: zygzak.
Formy pracy: indywidualna->w parach->grupowa.
Każdy członek grupy otrzymuje tekst dotyczący tematu lekcji, który jest opracowany w taki sposób, aby zawierał zarówno informacje już znane uczniom, jak i informacje zupełnie nowe. Wraz z tekstem uczniowie otrzymują pytania, na które odpowiedzi muszą znaleźć się w tym tekście.
Wielokąty. Rodzaje wielokątów.
Któż nie słyszał o tajemniczym Trójkącie Bermudzkim, w którym statki i samoloty znikają bez śladu? Ale trójkąt, znany nam z dzieciństwa, jest pełen wielu ciekawych i tajemniczych rzeczy.
Oprócz znanych nam już rodzajów trójkątów, podzielonych ze względu na boki (łuski, równoramienny, równoboczny) i kąty (ostry, rozwarty, prostokątny), trójkąt należy do dużej rodziny wielokątów, wyróżniającej się spośród wielu różnych kształtów geometrycznych na samolot.
Słowo „wielokąt” wskazuje, że wszystkie figury w tej rodzinie mają „wiele kątów”. Ale to nie wystarczy, aby scharakteryzować postać.
Linia przerywana A1A2...An to figura składająca się z punktów A1,A2,...An oraz odcinków A1A2, A2A3,... łączących je. Punkty nazywane są wierzchołkami polilinii, a segmenty nazywane są łączami polilinii. (RYS.1)
Linię łamaną nazywa się prostą, jeśli nie ma samoprzecięć (ryc. 2, 3).
Polilinię nazywamy zamkniętą, jeśli jej końce pokrywają się. Długość linii łamanej to suma długości jej ogniw (ryc. 4)
Prostą zamkniętą linię łamaną nazywa się wielokątem, jeśli jej sąsiednie ogniwa nie leżą na tej samej linii prostej (ryc. 5).
Zastąp określoną liczbę, np. 3, w słowie „wielokąt” zamiast części „wiele”, otrzymasz trójkąt. Lub 5. Następnie - pięciokąt. Zauważ, że ile jest kątów, tyle jest boków, więc figury te można nazwać wielobocznymi.
Wierzchołki linii łamanej nazywane są wierzchołkami wielokąta, a ogniwa linii łamanej nazywane są bokami wielokąta.
Wielokąt dzieli płaszczyznę na dwa obszary: wewnętrzny i zewnętrzny (ryc. 6).
Płaski wielokąt lub obszar wielokątny to skończona część płaszczyzny ograniczonej wielokątem.
Dwa wierzchołki wielokąta będące końcami jednego boku nazywane są sąsiadującymi. Wierzchołki, które nie są końcami jednego boku, nie są sąsiadujące.
Wielokąt mający n wierzchołków, a co za tym idzie i n boków, nazywany jest n-gonem.
Chociaż najmniejsza liczba boków wielokąta wynosi 3. Ale trójkąty połączone ze sobą mogą tworzyć inne figury, które z kolei są również wielokątami.
Odcinki łączące niesąsiadujące ze sobą wierzchołki wielokąta nazywane są przekątnymi.
Wielokąt nazywa się wypukłym, jeśli leży w tej samej półpłaszczyźnie względem dowolnej linii zawierającej jego bok. W tym przypadku uważa się, że sama linia prosta należy do PÓŁPŁASZCZYZNY
Kąt wielokąta wypukłego w danym wierzchołku to kąt utworzony przez jego boki zbiegające się w tym wierzchołku.
Udowodnijmy twierdzenie (o sumie kątów wypukłego n-kąta): Suma kątów wypukłego n-kąta wynosi 1800*(n - 2).
Dowód. W przypadku n=3 twierdzenie jest ważne. Niech A1A2...A n będzie danym wielokątem wypukłym i n>3. Narysujmy w nim przekątne (z jednego wierzchołka). Ponieważ wielokąt jest wypukły, te przekątne dzielą go na n – 2 trójkąty. Suma kątów wielokąta to suma kątów wszystkich tych trójkątów. Suma kątów każdego trójkąta wynosi 1800, a liczba tych trójkątów n wynosi 2. Zatem suma kątów wypukłego trójkąta n A1A2...A n wynosi 1800* (n - 2). Twierdzenie zostało udowodnione.
Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego w danym wierzchołku to kąt przylegający do kąta wewnętrznego wielokąta w tym wierzchołku.
Wielokąt wypukły nazywa się foremnym, jeśli wszystkie jego boki są równe i wszystkie kąty są równe.
Kwadrat można więc nazwać inaczej - regularnym czworobokiem. Trójkąty równoboczne są również regularne. Takie figury od dawna interesują rzemieślników dekorujących budynki. Robili piękne wzory np. na parkiecie. Ale nie wszystkie regularne wielokąty można wykorzystać do wykonania parkietu. Parkietu nie można wykonać ze zwykłych ośmiokątów. Faktem jest, że każdy kąt jest równy 1350. A jeśli jakiś punkt jest wierzchołkiem dwóch takich ośmiokątów, to ich udział wyniesie 2700, a trzeci ośmiokąt nie ma gdzie się tam zmieścić: 3600 - 2700 = 900. Ale dla wystarczy kwadrat. Dlatego możesz wykonać parkiet ze zwykłych ośmiokątów i kwadratów.
Gwiazdy też mają rację. Nasza pięcioramienna gwiazda jest regularną gwiazdą pięciokątną. A jeśli obrócisz kwadrat wokół środka o 450, otrzymasz zwykłą ośmiokątną gwiazdę.
Co to jest linia przerywana? Wyjaśnij, czym są wierzchołki i łącza polilinii.
Która linia przerywana nazywa się prostą?
Która linia przerywana nazywa się zamkniętą?
Jak nazywa się wielokąt? Jak nazywają się wierzchołki wielokąta? Jak nazywają się boki wielokąta?
Który wielokąt nazywa się płaskim? Podaj przykłady wielokątów.
Co to jest n – kwadrat?
Wyjaśnij, które wierzchołki wielokąta sąsiadują ze sobą, a które nie.
Jaka jest przekątna wielokąta?
Który wielokąt nazywa się wypukłym?
Wyjaśnij, które kąty wielokąta są zewnętrzne, a które wewnętrzne?
Który wielokąt nazywa się foremnym? Podaj przykłady wielokątów foremnych.
Jaka jest suma kątów wypukłego n-kąta? Udowodnij to.
Studenci pracują z tekstem, szukają odpowiedzi na postawione pytania, po czym tworzą się grupy eksperckie, w których toczą się prace nad tymi samymi zagadnieniami: uczniowie podkreślają główne punkty, sporządzają podsumowanie uzupełniające i prezentują informacje w jednym z formy graficzne. Po zakończeniu pracy uczniowie wracają do swoich grup roboczych.
3. Etap refleksji –
a) ocena własnej wiedzy, wyzwanie do kolejnego etapu wiedzy;
b) zrozumienie i przyswojenie otrzymanych informacji.
Recepcja: praca badawcza.
Formy pracy: indywidualna->w parach->grupowa.
W grupach roboczych znajdują się specjaliści zajmujący się odpowiedzią na każdą sekcję proponowanych pytań.
Wracając do grupy roboczej, ekspert przedstawia odpowiedzi na swoje pytania pozostałym członkom grupy. Grupa wymienia informacje pomiędzy wszystkimi członkami grupy roboczej. Zatem w każdej grupie roboczej, dzięki pracy ekspertów, kształtuje się ogólne zrozumienie badanego tematu.
Praca naukowa studentów– wypełnienie tabeli.
Wielokąty foremne Rysunek Liczba boków Liczba wierzchołków Suma wszystkich kątów wewnętrznych Miara stopnia wewnętrznego. kąt Stopień miary kąta zewnętrznego Liczba przekątnych
Trójkąt
B) czworobok
B) pięciodołkowy
D) sześciokąt
D) n-gon
Rozwiązywanie ciekawych problemów związanych z tematem lekcji.
1) Ile boków ma wielokąt foremny, którego każdy kąt wewnętrzny wynosi 1350?
2) W pewnym wielokącie wszystkie kąty wewnętrzne są sobie równe. Czy suma kątów wewnętrznych tego wielokąta może wynosić: 3600, 3800?
3) Czy można zbudować pięciokąt o kątach 100,103,110,110,116 stopni?
Podsumowanie lekcji.
Nagranie zadania domowego: STRONA 66-72 nr 15,17 ORAZ ZADANIE: W CWADRIAGNIE NARYSUJ PROSTĄ LINIĘ TAK, ABY PODZIELIŁA JĄ NA TRZY TRÓJKĄTY.
Refleksja w formie testów (na tablicy interaktywnej)
Przedmiot, wiek ucznia: geometria, klasa 9
Cel lekcji: badanie rodzajów wielokątów.
Zadanie dydaktyczne: aktualizacja, poszerzenie i uogólnienie wiedzy uczniów na temat wielokątów; stworzyć wyobrażenie o „częściach składowych” wielokąta; przeprowadzić badanie liczby elementów składowych wielokątów foremnych (od trójkąta do n-kątu);
Zadanie rozwojowe: rozwinięcie umiejętności analizowania, porównywania, wyciągania wniosków, rozwijania umiejętności obliczeniowych, mowy matematycznej w mowie i piśmie, pamięci, a także samodzielności w myśleniu i działaniu uczenia się, umiejętności pracy w parach i grupach; rozwijać działalność badawczą i edukacyjną;
Zadanie wychowawcze: kultywowanie samodzielności, aktywności, odpowiedzialności za powierzoną pracę, wytrwałości w dążeniu do celu.
Podczas zajęć: cytat napisany na tablicy
„Natura mówi językiem matematyki, litery tego języka… figury matematyczne”. G.Galliley
Na początku lekcji klasa zostaje podzielona na grupy robocze (w naszym przypadku na grupy 4-osobowe każda – liczba członków grupy jest równa liczbie grup pytaniowych).
1. Etap wywołania-
Cele:
a) aktualizowanie wiedzy uczniów na dany temat;
b) rozbudzanie zainteresowania studiowanym tematem, motywowanie każdego ucznia do działań edukacyjnych.
Technika: Zabawa „Czy wierzysz, że...”, organizacja pracy z tekstem.
Formy pracy: frontalna, grupowa.
"Wierzysz w to..."
1. ... słowo „wielokąt” wskazuje, że wszystkie figury w tej rodzinie mają „wiele kątów”?
2. ...czy trójkąt należy do dużej rodziny wielokątów, wyróżniających się spośród wielu różnych kształtów geometrycznych na płaszczyźnie?
3. ... czy kwadrat jest ośmiokątem foremnym (cztery boki + cztery rogi)?
Dzisiaj na lekcji porozmawiamy o wielokątach. Dowiadujemy się, że liczba ta jest ograniczona zamkniętą linią przerywaną, która z kolei może być prosta, zamknięta. Porozmawiajmy o tym, że wielokąty mogą być płaskie, regularne lub wypukłe. Jednym z płaskich wielokątów jest trójkąt, który znasz od dawna (możesz pokazać uczniom plakaty przedstawiające wielokąty, linię przerywaną, pokazać ich różne typy, możesz też skorzystać z TSO).
2. Etap poczęcia
Cel: zdobycie nowych informacji, zrozumienie ich, selekcja.
Technika: zygzak.
Formy pracy: indywidualna->w parach->grupowa.
Każdy członek grupy otrzymuje tekst dotyczący tematu lekcji, który jest opracowany w taki sposób, aby zawierał zarówno informacje już znane uczniom, jak i informacje zupełnie nowe. Wraz z tekstem uczniowie otrzymują pytania, na które odpowiedzi muszą znaleźć się w tym tekście.
Wielokąty. Rodzaje wielokątów.
Któż nie słyszał o tajemniczym Trójkącie Bermudzkim, w którym statki i samoloty znikają bez śladu? Ale trójkąt, znany nam z dzieciństwa, jest pełen wielu ciekawych i tajemniczych rzeczy.
Oprócz znanych nam już typów trójkątów, podzielonych ze względu na boki (łuski, równoramienny, równoboczny) i kąty (ostry, rozwarty, prostokątny), trójkąt należy do dużej rodziny wielokątów, wyróżniającej się spośród wielu różnych kształtów geometrycznych na samolot.
Słowo „wielokąt” wskazuje, że wszystkie figury w tej rodzinie mają „wiele kątów”. Ale to nie wystarczy, aby scharakteryzować postać.
Linia przerywana A 1 A 2 ...A n to figura składająca się z punktów A 1, A 2, ...A n i łączących je odcinków A 1 A 2, A 2 A 3,.... Punkty nazywane są wierzchołkami polilinii, a segmenty nazywane są łączami polilinii. (ryc. 1)
Linię łamaną nazywa się prostą, jeśli nie ma samoprzecięć (ryc. 2, 3).
Polilinię nazywamy zamkniętą, jeśli jej końce pokrywają się. Długość linii łamanej jest sumą długości jej ogniw (ryc. 4).
Prostą zamkniętą linię łamaną nazywa się wielokątem, jeśli jej sąsiednie ogniwa nie leżą na tej samej linii prostej (ryc. 5).
Zastąp określoną liczbę, np. 3, w słowie „wielokąt” zamiast części „wiele”, otrzymasz trójkąt. Lub 5. Następnie - pięciokąt. Zauważ, że ile jest kątów, tyle jest boków, więc figury te można nazwać wielobocznymi.
Wierzchołki linii łamanej nazywane są wierzchołkami wielokąta, a ogniwa linii łamanej nazywane są bokami wielokąta.
Wielokąt dzieli płaszczyznę na dwa obszary: wewnętrzny i zewnętrzny (ryc. 6).
Płaski wielokąt lub obszar wielokątny to skończona część płaszczyzny ograniczonej wielokątem.
Dwa wierzchołki wielokąta będące końcami jednego boku nazywane są sąsiadującymi. Wierzchołki, które nie są końcami jednego boku, nie są sąsiadujące.
Wielokąt mający n wierzchołków, a co za tym idzie i n boków, nazywany jest n-gonem.
Chociaż najmniejsza liczba boków wielokąta wynosi 3. Ale trójkąty połączone ze sobą mogą tworzyć inne figury, które z kolei są również wielokątami.
Odcinki łączące niesąsiadujące ze sobą wierzchołki wielokąta nazywane są przekątnymi.
Wielokąt nazywa się wypukłym, jeśli leży w tej samej półpłaszczyźnie względem dowolnej linii zawierającej jego bok. W tym przypadku samą linię prostą uważa się za należącą do półpłaszczyzny.
Kąt wielokąta wypukłego w danym wierzchołku to kąt utworzony przez jego boki zbiegające się w tym wierzchołku.
Udowodnijmy twierdzenie (o sumie kątów wypukłego n-kąta): Suma kątów wypukłego n-kąta wynosi 180 0 *(n - 2).
Dowód. W przypadku n=3 twierdzenie jest ważne. Niech A 1 A 2 ...A n będzie danym wielokątem wypukłym i n>3. Narysujmy w nim przekątne (z jednego wierzchołka). Ponieważ wielokąt jest wypukły, te przekątne dzielą go na n – 2 trójkąty. Suma kątów wielokąta to suma kątów wszystkich tych trójkątów. Suma kątów każdego trójkąta jest równa 180 0, a liczba tych trójkątów n wynosi 2. Zatem suma kątów wypukłego n-kąta A 1 A 2 ...A n jest równa 180 0 * (n - 2). Twierdzenie zostało udowodnione.
Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego w danym wierzchołku to kąt przylegający do kąta wewnętrznego wielokąta w tym wierzchołku.
Wielokąt wypukły nazywa się foremnym, jeśli wszystkie jego boki są równe i wszystkie kąty są równe.
Kwadrat można więc nazwać inaczej - regularnym czworobokiem. Trójkąty równoboczne są również regularne. Takie figury od dawna interesują rzemieślników dekorujących budynki. Robili piękne wzory np. na parkiecie. Ale nie wszystkie regularne wielokąty można wykorzystać do wykonania parkietu. Parkietu nie można wykonać ze zwykłych ośmiokątów. Faktem jest, że każdy kąt jest równy 135 0. A jeśli jakiś punkt jest wierzchołkiem dwóch takich ośmiokątów, to będą one stanowić 270 0 i nie ma tam miejsca, aby zmieścić się tam trzeci ośmiokąt: 360 0 - 270 0 = 90 0. Ale dla kwadratu to wystarczy. Dlatego możesz wykonać parkiet ze zwykłych ośmiokątów i kwadratów.
Gwiazdy też mają rację. Nasza pięcioramienna gwiazda jest regularną gwiazdą pięciokątną. A jeśli obrócisz kwadrat wokół środka o 45 0, otrzymasz zwykłą ośmiokątną gwiazdę.
1 grupa
Co to jest linia przerywana? Wyjaśnij, czym są wierzchołki i łącza polilinii.
Która linia przerywana nazywa się prostą?
Która linia przerywana nazywa się zamkniętą?
Jak nazywa się wielokąt? Jak nazywają się wierzchołki wielokąta? Jak nazywają się boki wielokąta?
2. grupa
Który wielokąt nazywa się płaskim? Podaj przykłady wielokątów.
Co to jest n – kwadrat?
Wyjaśnij, które wierzchołki wielokąta sąsiadują ze sobą, a które nie.
Jaka jest przekątna wielokąta?
3 grupa
Który wielokąt nazywa się wypukłym?
Wyjaśnij, które kąty wielokąta są zewnętrzne, a które wewnętrzne?
Który wielokąt nazywa się foremnym? Podaj przykłady wielokątów foremnych.
4 grupa
Jaka jest suma kątów wypukłego n-kąta? Udowodnij to.
Studenci pracują z tekstem, szukają odpowiedzi na postawione pytania, po czym tworzą się grupy eksperckie, w których toczą się prace nad tymi samymi zagadnieniami: uczniowie podkreślają główne punkty, sporządzają podsumowanie uzupełniające i prezentują informacje w jednym z formy graficzne. Po zakończeniu pracy uczniowie wracają do swoich grup roboczych.
3. Etap refleksji –
a) ocena własnej wiedzy, wyzwanie do kolejnego etapu wiedzy;
b) zrozumienie i przyswojenie otrzymanych informacji.
Recepcja: praca badawcza.
Formy pracy: indywidualna->w parach->grupowa.
W grupach roboczych znajdują się specjaliści zajmujący się odpowiedzią na każdą sekcję proponowanych pytań.
Wracając do grupy roboczej, ekspert przedstawia odpowiedzi na swoje pytania pozostałym członkom grupy. Grupa wymienia informacje pomiędzy wszystkimi członkami grupy roboczej. Zatem w każdej grupie roboczej, dzięki pracy ekspertów, kształtuje się ogólne zrozumienie badanego tematu.
Prace badawcze studentów - wypełnienie tabeli.
| Regularne wielokąty | Rysunek | Liczba boków | Liczba wierzchołków | Suma wszystkich kątów wewnętrznych | Wewnętrzna miara stopnia kąt | Stopniowa miara kąta zewnętrznego | Liczba przekątnych |
| Trójkąt | |||||||
| B) czworobok | |||||||
| B) pięć taktów | |||||||
| D) sześciokąt | |||||||
| D) n-gon |
Rozwiązywanie ciekawych problemów związanych z tematem lekcji.
- W czworokącie narysuj linię prostą tak, aby dzieliła ją na trzy trójkąty.
- Ile boków ma wielokąt foremny, a każdy z jego kątów wewnętrznych ma miarę 135 0?
- W pewnym wielokącie wszystkie kąty wewnętrzne są sobie równe. Czy suma kątów wewnętrznych tego wielokąta może być równa: 360 0, 380 0?
Podsumowanie lekcji. Nagrywanie pracy domowej.
Rodzaje wielokątów:
Czworoboki
Czworoboki odpowiednio składają się z 4 boków i kątów.
Nazywa się boki i kąty leżące naprzeciw siebie naprzeciwko.
Przekątne dzielą wypukłe czworokąty na trójkąty (patrz rysunek).
Suma kątów czworokąta wypukłego wynosi 360° (stosując wzór: (4-2)*180°).
Równoległoboki
Równoległobok jest wypukłym czworokątem o przeciwnych równoległych bokach (ponumerowanych na rysunku 1).
Przeciwległe boki i kąty w równoległoboku są zawsze równe.
A przekątne w punkcie przecięcia są podzielone na pół.
Trapez
Trapez- to także czworokąt i in trapezoidy Tylko dwie strony są równoległe, co nazywa się powodów. Inne strony są boki.
Trapez na rysunku ma numery 2 i 7.
Jak w trójkącie:
Jeśli boki są równe, to trapez jest równoramienny;
Jeśli jeden z kątów jest prosty, to trapez jest prosty prostokątny.
Linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy podstaw i jest do nich równoległa.
Romb
Romb jest równoległobokiem, w którym wszystkie boki są równe.
Oprócz właściwości równoległoboku romby mają swoją specjalną właściwość - Przekątne rombu są prostopadłe siebie i przeciąć na pół narożniki rombu.
Na zdjęciu romb numer 5.
Prostokąty
Prostokąt jest równoległobokiem, w którym każdy kąt jest prosty (patrz rysunek nr 8).
Oprócz właściwości równoległoboku prostokąty mają swoją specjalną właściwość - przekątne prostokąta są równe.
Kwadraty
Kwadrat jest prostokątem o wszystkich bokach równych (nr 4).
Ma właściwości prostokąta i rombu (ponieważ wszystkie boki są równe).
Część płaszczyzny ograniczona zamkniętą linią przerywaną nazywa się wielokątem.
Odcinki tej linii przerywanej nazywane są imprezy wielokąt. AB, BC, CD, DE, EA (ryc. 1) to boki wielokąta ABCDE. Suma wszystkich boków wielokąta nazywa się jego obwód.
Nazywa się wielokąt wypukły, jeżeli znajduje się po jednej stronie któregokolwiek z jego boków, rozciągając się na czas nieokreślony poza obydwa wierzchołki.
Wielokąt MNPKO (rys. 1) nie będzie wypukły, gdyż leży po więcej niż jednej stronie prostej KR.
Rozważymy tylko wielokąty wypukłe.
Kąty utworzone przez dwa sąsiednie boki wielokąta nazywane są jego wewnętrzny narożniki i ich wierzchołki wierzchołki wielokąta.
Odcinek linii prostej łączący dwa niesąsiadujące ze sobą wierzchołki wielokąta nazywa się przekątną wielokąta.
AC, AD - przekątne wielokąta (ryc. 2).
Kąty przylegające do kątów wewnętrznych wielokąta nazywane są kątami zewnętrznymi wielokąta (ryc. 3).
W zależności od liczby kątów (boków) wielokąt nazywany jest trójkątem, czworokątem, pięciokątem itp.
Mówi się, że dwa wielokąty są przystające, jeśli można je połączyć nakładając się na siebie.
Wielokąty wpisane i opisane
Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą na okręgu, wówczas wielokąt nazywa się wpisany w okrąg, a okrąg - opisane w pobliżu wielokąta (ryc.).
Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do okręgu, wówczas wielokąt nazywa się opisane o okręgu i okrąg nazywa się wpisany w wielokąt (ryc.).
Podobieństwo wielokątów
Dwa wielokąty o tej samej nazwie nazywane są podobnymi, jeśli kąty jednego z nich są odpowiednio równe kątom drugiego, a podobne boki wielokątów są proporcjonalne.
Wielokąty o tej samej liczbie boków (kątów) nazywane są wielokątami o tej samej nazwie.
Boki podobnych wielokątów łączących wierzchołki odpowiednio równych kątów nazywane są podobnymi (ryc.).
Czyli np. aby wielokąt ABCDE był podobny do wielokąta A'B'C'D'E' konieczne jest aby: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' i dodatkowo AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .
Stosunek obwodów podobnych wielokątów
Najpierw rozważ właściwość szeregu równych stosunków. Załóżmy na przykład, że mamy następujące stosunki: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.
Znajdźmy sumę poprzednich wyrazów tych relacji, następnie sumę ich kolejnych wyrazów i znajdź stosunek otrzymanych sum, otrzymamy:
$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$
To samo otrzymamy, jeśli weźmiemy szereg innych relacji, na przykład: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Znajdźmy sumę poprzednich wyrazów te relacje i sumę kolejnych, a następnie znajdź stosunek tych sum, otrzymamy:
$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$
W obu przypadkach suma poprzednich członków szeregu równych relacji odnosi się do sumy kolejnych członków tego samego szeregu, tak jak poprzedni człon którejkolwiek z tych relacji odnosi się do następnego.
Wyprowadziliśmy tę właściwość, biorąc pod uwagę szereg przykładów numerycznych. Można go wyprowadzić w sposób ścisły i ogólny.
Rozważmy teraz stosunek obwodów podobnych wielokątów.
Niech wielokąt ABCDE będzie podobny do wielokąta A’B’C’D’E’ (ryc.).
Z podobieństwa tych wielokątów wynika, że
AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’
Na podstawie własności, którą wyprowadziliśmy dla szeregu równych stosunków, możemy napisać:
Suma poprzednich wyrazów przyjętych przez nas relacji reprezentuje obwód pierwszego wielokąta (P), a suma kolejnych wyrazów tych relacji przedstawia obwód drugiego wielokąta (P'), co oznacza P/P ' = AB / A'B'.
Stąd, Obwody podobnych wielokątów są powiązane z ich podobnymi bokami.
Stosunek pól podobnych wielokątów
Niech ABCDE i A’B’C’D’E’ będą wielokątami podobnymi (ryc.).
Wiadomo, że ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' i ΔADE ~ ΔA'D'E'.
Oprócz,
Ponieważ drugie stosunki tych proporcji są równe, co wynika z podobieństwa wielokątów
Korzystając z własności szeregu równych stosunków otrzymujemy:
gdzie S i S’ są polami tych podobnych wielokątów.
Stąd, Pola podobnych wielokątów są powiązane jak kwadraty o podobnych bokach.
Otrzymany wzór można przekonwertować do postaci: S/S’ = (AB/A’B’) 2
Obszar dowolnego wielokąta
Niech konieczne będzie obliczenie pola dowolnego czworoboku ABC (ryc.).
Narysujmy w nim przekątną, na przykład AD. Otrzymujemy dwa trójkąty ABD i ACD, których pola możemy obliczyć. Następnie znajdujemy sumę pól tych trójkątów. Wynikowa suma wyrazi pole tego czworoboku.
Jeśli chcesz obliczyć powierzchnię pięciokąta, robimy to samo: rysujemy przekątne z jednego z wierzchołków. Otrzymujemy trzy trójkąty, których obszary możemy obliczyć. Oznacza to, że możemy znaleźć obszar tego pięciokąta. To samo robimy przy obliczaniu pola dowolnego wielokąta.
Rzutowany obszar wielokąta
Przypomnijmy, że kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między daną prostą a jej rzutem na płaszczyznę (rys.).
Twierdzenie. Pole rzutu ortogonalnego wielokąta na płaszczyznę jest równe polu rzutowanego wielokąta pomnożonemu przez cosinus kąta utworzonego przez płaszczyznę wielokąta i płaszczyznę projekcji.
Każdy wielokąt można podzielić na trójkąty, których suma pól jest równa polu wielokąta. Wystarczy więc udowodnić twierdzenie o trójkącie.
Niech ΔАВС zostanie rzutowane na płaszczyznę R. Rozważmy dwa przypadki:
a) jeden z boków ΔABC jest równoległy do płaszczyzny R;
b) żaden z boków ΔABC nie jest równoległy R.
Rozważmy pierwszy przypadek: niech [AB] || R.
Narysujmy płaszczyznę przechodzącą przez (AB) R 1 || R i rzutuj prostopadle ΔАВС na R 1 i dalej R(Ryż.); otrzymujemy ΔАВС 1 i ΔА'В'С'.
Z własności projekcji mamy ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С', a zatem
S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’
Narysujmy ⊥ i odcinek D 1 C 1 . Wtedy ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ jest wartością kąta pomiędzy płaszczyzną ΔABC i płaszczyzną R 1. Dlatego
S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | do 1 re 1 | = 1 / 2 | AB | | Płyta 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ
i dlatego S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.
Przejdźmy do rozważenia drugi przypadek. Narysujmy samolot R 1 || R przez ten wierzchołek ΔАВС, odległość od płaszczyzny R najmniejszy (niech będzie to wierzchołek A).
Rzućmy ΔАВС na płaszczyznę R 1 i R(Ryż.); niech jego rzuty będą wynosić odpowiednio ΔАВ 1 С 1 i ΔА'В'С'.
Niech (BC) ∩ P 1 = D. Następnie
S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ
Inne materiałyWłaściwości wielokątów
Wielokąt to figura geometryczna, zwykle definiowana jako zamknięta linia łamana bez samoprzecięć (wielokąt prosty (rys. 1a)), ale czasami dopuszcza się samoprzecięcia (wtedy wielokąt nie jest prosty).
Wierzchołki wielokąta nazywane są wierzchołkami wielokąta, a odcinki nazywane są bokami wielokąta. Wierzchołki wielokąta nazywane są sąsiadującymi, jeśli są końcami jednego z jego boków. Odcinki łączące nieprzylegające wierzchołki wielokąta nazywane są przekątnymi.
Kąt (lub kąt wewnętrzny) wielokąta wypukłego w danym wierzchołku to kąt utworzony przez jego boki zbiegające się w tym wierzchołku i kąt jest obliczany na podstawie boku wielokąta. W szczególności kąt może przekraczać 180°, jeżeli wielokąt nie jest wypukły.
Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego w danym wierzchołku to kąt przylegający do kąta wewnętrznego wielokąta w tym wierzchołku. Ogólnie rzecz biorąc, kąt zewnętrzny jest różnicą między 180° a kątem wewnętrznym. Dla > 3 każdy wierzchołek -gonu ma 3 przekątne, więc całkowita liczba przekątnych -gonu jest równa.
Wielokąt z trzema wierzchołkami nazywa się trójkątem, z czterema - czworokątem, z pięcioma - pięciokątem itp.
Wielokąt z N zwane wierzchołkami N- kwadrat.
Wielokąt płaski to figura składająca się z wielokąta i skończonej części obszaru przez niego ograniczonego.
Wielokąt nazywa się wypukłym, jeśli spełniony jest jeden z następujących (równoważnych) warunków:
- 1. leży po jednej stronie dowolnej linii prostej łączącej sąsiednie wierzchołki. (tj. przedłużenia boków wielokąta nie przecinają się z pozostałymi bokami);
- 2. jest przecięciem (tj. częścią wspólną) kilku półpłaszczyzn;
- 3. każdy odcinek, którego końce znajdują się w punktach należących do wielokąta, należy w całości do niego.
Wielokąt wypukły nazywa się foremnym, jeśli wszystkie boki są równe i wszystkie kąty są równe, na przykład trójkąt równoboczny, kwadrat i pięciokąt.
Mówi się, że wielokąt wypukły jest opisany na okręgu, jeśli wszystkie jego boki stykają się z jakimś okręgiem
Wielokąt foremny to wielokąt, w którym wszystkie kąty i wszystkie boki są równe.
Właściwości wielokątów:
1 Każda przekątna wypukłego kąta, gdzie >3, rozkłada go na dwa wypukłe wielokąty.
2 Suma wszystkich kątów trójkąta wypukłego jest równa.
D-vo: Twierdzenie udowodnimy metodą indukcji matematycznej. Przy = 3 jest to oczywiste. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla -gonu, gdzie <, i udowodnij to dla -gon.
Niech będzie danym wielokątem. Narysujmy przekątną tego wielokąta. Zgodnie z twierdzeniem 3 wielokąt rozkłada się na trójkąt i trójkąt wypukły (ryc. 5). Na podstawie hipotezy indukcyjnej. Z drugiej strony, . Dodanie tych równości i uwzględnienie tego (- kątownik wewnętrzny ) I (- kątownik wewnętrzny ), otrzymamy Kiedy otrzymamy: .
3 Wokół dowolnego wielokąta foremnego można opisać okrąg i tylko jeden.
D-vo: Niech to będzie wielokąt foremny i dwusieczne kątów, i (ryc. 150). Ponieważ zatem * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O. Udowodnijmy to O = OA 2 = O =… = OA P . Trójkąt O zatem równoramienny O= O. Zatem zgodnie z drugim kryterium równości trójkątów O = O. Podobnie zostało to udowodnione O = O itp. A więc o co chodzi O jest w równej odległości od wszystkich wierzchołków wielokąta, a więc okrąg ze środkiem O promień O jest opisany na wielokącie.
Udowodnimy teraz, że istnieje tylko jeden okrąg opisany. Rozważmy na przykład trzy wierzchołki wielokąta: A 2 , . Ponieważ tylko jeden okrąg przechodzi przez te punkty, to wokół wielokąta … Nie możesz opisać więcej niż jednego okręgu.
- 4 W dowolny wielokąt foremny można wpisać okrąg i tylko w jeden.
- 5 Okrąg wpisany w wielokąt foremny dotyka boków wielokąta w ich środkach.
- 6 Środek okręgu opisanego na wielokącie foremnym pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego w ten sam wielokąt.
- 7 Symetria:
Mówią, że figura ma symetrię (symetryczną), jeśli istnieje taki ruch (nie identyczny), który przekłada tę figurę na siebie.
- 7.1. Ogólny trójkąt nie ma osi ani środków symetrii; jest asymetryczny. Trójkąt równoramienny (ale nie równoboczny) ma jedną oś symetrii: dwusieczną prostopadłą do podstawy.
- 7.2. Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii (dwusieczne prostopadłe do boków) i symetrię obrotową wokół środka z kątem obrotu 120°.
7.3 Każdy regularny n-kąt ma n osi symetrii i wszystkie przechodzą przez jego środek. Ma również symetrię obrotową wokół środka z kątem obrotu.
Kiedy nawet N Niektóre osie symetrii przechodzą przez przeciwległe wierzchołki, inne przez środki przeciwległych boków.
Za dziwne N każda oś przechodzi przez górę i środek przeciwnej strony.
Środek wielokąta foremnego o parzystej liczbie boków jest jego środkiem symetrii. Wielokąt foremny o nieparzystej liczbie boków nie ma środka symetrii.
8 Podobieństwo:
Z podobieństwem i -gon przechodzi w -gon, półpłaszczyzna w półpłaszczyznę, a zatem wypukła N-kąt staje się wypukły N-gon.
Twierdzenie: Jeżeli boki i kąty wielokątów wypukłych spełniają równość:
gdzie jest współczynnik podium
wtedy te wielokąty są podobne.
- 8.1 Stosunek obwodów dwóch podobnych wielokątów jest równy współczynnikowi podobieństwa.
- 8.2. Stosunek pól dwóch wypukłych wielokątów podobnych jest równy kwadratowi współczynnika podobieństwa.
twierdzenie o obwodzie trójkąta wielokątnego