التعريف الكلاسيكي والإحصائي للاحتمال. أساسيات توازن اللعبة: العشوائية واحتمالية الأحداث المختلفة

ومن أجل مقارنة الأحداث مع بعضها البعض كميا وفقا لدرجة احتمالها، فمن الواضح أنه من الضروري ربط عدد معين بكل حدث، وكلما كان الحدث أكبر كلما كان الحدث أكثر احتمالا. نحن نسمي هذا الرقم احتمال الحدث. هكذا، احتمال الحدثهو مقياس عددي لدرجة الاحتمال الموضوعي لهذا الحدث.

إن التعريف الكلاسيكي للاحتمال، والذي نشأ من تحليل المقامرة وتم تطبيقه في البداية بشكل حدسي، ينبغي اعتباره التعريف الأول للاحتمال.

تعتمد الطريقة الكلاسيكية لتحديد الاحتمالية على مفهوم الأحداث المتساوية في الاحتمال وغير المتوافقة، وهي نتائج تجربة معينة وتشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة.

إن أبسط مثال على الأحداث المحتملة وغير المتوافقة التي تشكل مجموعة كاملة هو ظهور كرة أو أخرى من جرة تحتوي على عدة كرات من نفس الحجم والوزن وغيرها من الميزات الملموسة، تختلف فقط في اللون، وخلطها جيدًا قبل إخراجها .

لذلك، يقال إن الاختبار، الذي تشكل نتائجه مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة والمتساوية في الاحتمال، يمكن اختزاله إلى مخطط الجرار، أو مخطط الحالات، أو يتناسب مع المخطط الكلاسيكي.

سيتم تسمية الأحداث المحتملة وغير المتوافقة التي تشكل مجموعة كاملة ببساطة بالحالات أو الفرص. علاوة على ذلك، في كل تجربة، جنبا إلى جنب مع الحالات، يمكن أن تحدث أحداث أكثر تعقيدا.

مثال: عند رمي النرد، مع الحالات A i - سقوط النقاط على الوجه العلوي، أحداث مثل B - سقوط عدد زوجي من النقاط، C - سقوط مضاعف لثلاث نقاط ...

وفيما يتعلق بكل حدث يمكن أن يحدث أثناء تنفيذ التجربة، يتم تقسيم الحالات إلى ملائم، الذي يقع فيه هذا الحدث، وغير المواتي، الذي لا يقع فيه الحدث. في المثال السابق، الحدث B مفضل بواسطة الحالات A 2 , A 4 , A 6 ; الحدث ج - الحالات أ 3 , أ 6 .

الاحتمال الكلاسيكيحدوث حدث ما هو نسبة عدد الحالات التي تؤيد ظهور هذا الحدث إلى إجمالي عدد الحالات المتساوية المحتملة وغير المتوافقة والتي تشكل مجموعة كاملة في تجربة معينة:

أين ف (أ)- احتمال وقوع الحدث أ؛ م- عدد الحالات الملائمة للحدث أ؛ نهو العدد الإجمالي للحالات.

أمثلة:

1) (انظر المثال أعلاه) ف (ب)= , ف(ج) =.

2) تحتوي الجرة على 9 كرات حمراء و6 كرات زرقاء. أوجد احتمال أن تكون كرة أو كرتان مسحوبتان عشوائيًا باللون الأحمر.

أ- كرة حمراء مسحوبة عشوائيا :

م= 9, ن= 9 + 6 = 15, ف (أ)=

ب- سحب كرتين باللون الأحمر عشوائياً :

الخصائص التالية تتبع التعريف الكلاسيكي للاحتمال (أظهر نفسك):

1) احتمال وقوع حدث مستحيل هو 0؛

2) احتمال وقوع حدث معين هو 1؛

3) احتمال أي حدث يقع بين 0 و 1؛

4) احتمال وقوع حدث معاكس للحدث أ،

يفترض التعريف الكلاسيكي للاحتمال أن عدد نتائج التجربة محدود. ومع ذلك، من الناحية العملية، في كثير من الأحيان تكون هناك محاكمات، وعدد الحالات المحتملة لها لا نهائي. بالإضافة إلى ذلك، فإن ضعف التعريف الكلاسيكي هو أنه في كثير من الأحيان يكون من المستحيل تمثيل نتيجة الاختبار كمجموعة من الأحداث الأولية. ومن الأصعب الإشارة إلى أسباب اعتبار النتائج الأولية للاختبار محتملة بنفس القدر. عادة، يتم استنتاج المساواة في النتائج الأولية للاختبار من اعتبارات التماثل. ومع ذلك، فإن مثل هذه المهام نادرة جدًا في الممارسة العملية. لهذه الأسباب، إلى جانب التعريف الكلاسيكي للاحتمال، يتم استخدام تعريفات أخرى للاحتمال أيضًا.

الاحتمالية الإحصائيةالحدث A هو التكرار النسبي لحدوث هذا الحدث في الاختبارات التي يتم إجراؤها:

أين هو احتمال وقوع الحدث أ؛

التكرار النسبي لحدوث الحدث أ؛

عدد التجارب التي ظهر فيها الحدث أ؛

إجمالي عدد التجارب.

على عكس الاحتمال الكلاسيكي، الاحتمال الإحصائي هو سمة من سمات الاحتمال التجريبي.

مثال: للتحكم في جودة المنتجات من دفعة ما، تم اختيار 100 منتج بشكل عشوائي، من بينها 3 منتجات تبين أنها معيبة. تحديد احتمالية الزواج.

تنطبق الطريقة الإحصائية لتحديد الاحتمالية فقط على الأحداث التي لها الخصائص التالية:

يجب أن تكون الأحداث قيد النظر هي نتائج تلك التجارب فقط التي يمكن إعادة إنتاجها لعدد غير محدود من المرات في ظل نفس مجموعة الشروط.

يجب أن تتمتع الأحداث باستقرار إحصائي (أو استقرار الترددات النسبية). وهذا يعني أنه في سلسلة مختلفة من الاختبارات، لا يتغير التكرار النسبي للحدث بشكل ملحوظ.

يجب أن يكون عدد المحاولات التي تؤدي إلى الحدث A كبيرًا بدرجة كافية.

من السهل التحقق من أن خصائص الاحتمال، التي تنبع من التعريف الكلاسيكي، محفوظة أيضًا في التعريف الإحصائي للاحتمال.

احتمالاالحدث هو نسبة عدد النتائج الأولية التي تؤيد حدثًا معينًا إلى عدد جميع النتائج المحتملة بالتساوي للتجربة التي قد يحدث فيها هذا الحدث. يُشار إلى احتمالية الحدث A بالرمز P(A) (هنا P هو الحرف الأول من الكلمة الفرنسية probabilite - الاحتمالية). حسب التعريف
(1.2.1)
أين هو عدد النتائج الأولية لصالح الحدث A؛ - عدد جميع النتائج الأولية المحتملة للتجربة، والتي تشكل مجموعة كاملة من الأحداث.
هذا التعريف للاحتمال يسمى كلاسيكي. نشأت في المرحلة الأولى من تطور نظرية الاحتمالات.

احتمال وقوع حدث له الخصائص التالية:
1. احتمال وقوع حدث معين يساوي واحد. دعنا نحدد حدثًا معينًا بالحرف . لحدث معين، لذلك
(1.2.2)
2. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر. ونرمز إلى الحدث المستحيل بالحرف . لحدث مستحيل، لذلك
(1.2.3)
3. يتم التعبير عن احتمال وقوع حدث عشوائي برقم موجب أقل من واحد. بما أن المتباينات، أو راضية عن حدث عشوائي، إذن
(1.2.4)
4. احتمال وقوع أي حدث يفي بالمتباينات
(1.2.5)
وهذا يتبع من العلاقات (1.2.2) - (1.2.4).

مثال 1تحتوي جرة على 10 كرات من نفس الحجم والوزن، 4 منها حمراء و6 زرقاء. يتم سحب كرة واحدة من الجرة. ما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة زرقاء؟

حل. سيتم الإشارة إلى حدث "تبين أن الكرة المسحوبة زرقاء" بالحرف A. تحتوي هذه التجربة على 10 نتائج أولية محتملة بالتساوي، منها 6 لصالح الحدث A. ووفقًا للصيغة (1.2.1)، نحصل على

مثال 2جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 30 تكتب على بطاقات متطابقة وتوضع في جرة. بعد خلط البطاقات جيدًا، تتم إزالة بطاقة واحدة من الجرة. ما احتمال أن يكون الرقم الموجود على البطاقة المسحوبة من مضاعفات العدد 5؟

حل.نشير بالحرف A إلى الحدث "الرقم الموجود على البطاقة المأخوذة هو من مضاعفات الرقم 5". في هذا الاختبار، هناك 30 نتيجة أولية محتملة بالتساوي، منها 6 نتائج لصالح الحدث أ (الأرقام 5، 10، 15، 20، 25، 30). لذلك،

مثال 3يتم رمي حجري نرد، ويتم حساب مجموع النقاط على الوجوه العلوية. أوجد احتمال الحدث B، الذي يتكون من حقيقة أن الوجوه العلوية للمكعبات سيكون مجموعها ٩ نقاط.

حل.هناك 6 2 = 36 نتيجة أولية محتملة بالتساوي في هذه التجربة. الحدث B مفضل بأربع نتائج: (3;6)، (4;5)، (5;4)، (6;3)، لذا

مثال 4. تم اختيار عدد طبيعي لا يزيد عن 10 عشوائيا، ما احتمال أن يكون هذا العدد أوليا؟

حل.نشير بالحرف C إلى حدث "الرقم المختار أولي". في هذه الحالة، n = 10، m = 4 (الأعداد الأولية 2، 3، 5، 7). وبالتالي الاحتمال المطلوب

مثال 5تم رمي عملتين متماثلتين. ما هو احتمال أن تحتوي كلتا العملتين على أرقام على الجانبين العلويين؟

حل.لنشير بالحرف D إلى الحدث "كان هناك رقم على الجانب العلوي من كل عملة". هناك 4 نتائج أولية محتملة بالتساوي في هذا الاختبار: (G، G)، (G، C)، (C، G)، (C، C). (الترميز (G، C) يعني أنه يوجد على العملة الأولى شعار النبالة، وعلى الثانية - رقم). يتم تفضيل الحدث D بنتيجة أولية واحدة (C، C). وبما أن م = 1، ن = 4، إذن

مثال 6ما هو احتمال أن تكون الأرقام في عدد مكون من رقمين تم اختياره عشوائيًا متماثلة؟

حل.الأرقام المكونة من رقمين هي أرقام من 10 إلى 99؛ هناك 90 رقمًا من هذا القبيل في المجموع، 9 أرقام لها نفس الأرقام (هذه هي الأرقام 11، 22، 33، 44، 55، 66، 77، 88، 99). وبما أنه في هذه الحالة م = 9، ن = 90، إذن
,
حيث A هو حدث "الرقم الذي له نفس الأرقام".

مثال 7من حروف الكلمة التفاضلييتم اختيار حرف واحد عشوائيا. ما احتمال أن يكون هذا الحرف: أ) حرفا متحركا ب) حرفا ساكنا ج) حرفا ح?

حل. هناك 12 حرفًا في كلمة التفاضل، منها 5 حروف متحركة و7 حروف ساكنة. حروف حهذه الكلمة لا. نشير إلى الأحداث: أ - "حرف متحرك"، ب - "حرف ساكن"، ج - "حرف". ح". عدد النتائج الأولية المواتية: - للحدث أ، - للحدث ب، - للحدث ج. منذ n \u003d 12، إذن
، و .

مثال 8يتم رمي حجري نرد، ويتم تسجيل عدد النقاط الموجودة على الوجه العلوي لكل حجر نرد. أوجد احتمال أن يكون لكل من حجري النرد نفس عدد النقاط.

حل.نشير إلى هذا الحدث بالحرف A. يتم تفضيل الحدث A بواسطة 6 نتائج أولية: (1;])، (2;2)، (3;3)، (4;4)، (5;5)، (6) ؛6). في المجمل هناك نتائج أولية محتملة متساوية تشكل مجموعة كاملة من الأحداث، في هذه الحالة n=6 2 =36. وبالتالي فإن الاحتمال المطلوب

مثال 9الكتاب يقع في 300 صفحة. ما هو احتمال أن تحتوي الصفحة المفتوحة عشوائيًا على رقم تسلسلي من مضاعفات الرقم 5؟

حل.يستنتج من شروط المشكلة أنه سيكون هناك n = 300 من جميع النتائج الأولية الممكنة بالتساوي والتي تشكل مجموعة كاملة من الأحداث، منها m = 60 تؤيد وقوع الحدث المحدد. في الواقع، الرقم الذي يكون من مضاعفات العدد 5 له الصيغة 5k، حيث k هو عدد طبيعي، ومن هنا . لذلك،
، حيث A - يحتوي حدث "الصفحة" على رقم تسلسلي يمثل مضاعفًا للرقم 5".

مثال 10. يتم رمي حجري نرد، ويتم حساب مجموع النقاط على الوجوه العلوية. ما هو الأرجح أن يحصل على المجموع 7 أو 8؟

حل. دعنا نحدد الأحداث: أ - "سقطت 7 نقاط"، ب - "سقطت 8 نقاط". يتم تفضيل الحدث A بواسطة 6 نتائج أولية: (1؛ 6)، (2؛ 5)، (3؛ 4)، (4؛ 3)، (5؛ 2)، (6؛ 1)، والحدث B - بواسطة 5 نتائج: (2؛ 6)، (3؛ 5)، (4؛ 4)، (5؛ 3)، (6؛ 2). هناك n = 6 2 = 36 من جميع النتائج الأولية الممكنة والمتساوية. و .

لذا، P(A)>P(B)، أي أن الحصول على إجمالي 7 نقاط هو حدث أكثر احتمالًا من الحصول على إجمالي 8 نقاط.

مهام

1. تم اختيار عدد طبيعي لا يزيد عن 30 عشوائيا، ما احتمال أن يكون هذا العدد من مضاعفات العدد 3؟
2. في الجرة أأحمر و بكرات زرقاء من نفس الحجم والوزن. ما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة عشوائيًا من هذه الجرة باللون الأزرق؟
3. يتم اختيار رقم لا يتجاوز 30 عشوائيا، ما احتمال أن يكون هذا الرقم مقسوما على zo؟
4. في الجرة أالأزرق و بكرات حمراء من نفس الحجم والوزن. تُسحب كرة واحدة من هذه الجرة وتوضع جانبًا. هذه الكرة حمراء. ثم يتم سحب كرة أخرى من الجرة. أوجد احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء أيضًا.
5. يتم اختيار عدد طبيعي لا يزيد عن 50 عشوائيا، ما احتمال أن يكون هذا العدد أوليا؟
6. يتم رمي ثلاثة أحجار نرد، ويتم حساب مجموع النقاط على الوجوه العلوية. ما هو الأرجح - للحصول على إجمالي 9 أو 10 نقاط؟
7. يتم رمي ثلاثة أحجار نرد، ويتم حساب مجموع النقاط المسقطة. ما الذي من المرجح أن يحصل على إجمالي 11 (الحدث أ) أو 12 نقطة (الحدث ب)؟

الإجابات

1. 1/3. 2 . ب/(أ+ب). 3 . 0,2. 4 . (ب-1)/(أ+ب-1). 5 .0,3.6 . ص 1 \u003d 25/216 - احتمال الحصول على 9 نقاط في المجموع؛ ص 2 \u003d 27/216 - احتمال الحصول على 10 نقاط في المجموع؛ ص2 > ص1 7 . ف(أ) = 27/216، ف(ب) = 25/216، ف(أ) > ف(ب).

أسئلة

1. ما يسمى احتمال وقوع حدث؟
2. ما هو احتمال وقوع حدث معين؟
3. ما هو احتمال وقوع حدث مستحيل؟
4. ما هي حدود احتمال وقوع حدث عشوائي؟
5. ما هي حدود احتمالية أي حدث؟
6. ما هو تعريف الاحتمال الذي يسمى الكلاسيكي؟

الاحتمالية - درجة (قياس نسبي، تقييم كمي) لاحتمال وقوع حدث ما. عندما تكون أسباب وقوع حدث محتمل تفوق الأسباب المعاكسة له، فإن هذا الحدث يسمى محتملًا، وإلا - غير محتمل أو غير محتمل. يمكن أن يكون رجحان الأسباب الإيجابية على الأسباب السلبية، والعكس صحيح، بدرجات متفاوتة، ونتيجة لذلك يكون الاحتمال (وعدم الاحتمال) أكبر أو أقل. لذلك، غالبًا ما يتم تقدير الاحتمالية على المستوى النوعي، خاصة في الحالات التي يكون فيها التقييم الكمي الدقيق إلى حد ما مستحيلًا أو صعبًا للغاية. من الممكن الحصول على درجات مختلفة من "مستويات" الاحتمال.
دراسة الاحتمال من وجهة نظر رياضية هي مجال خاص - نظرية الاحتمال. في نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي، يتم إضفاء الطابع الرسمي على مفهوم الاحتمال كخاصية عددية لحدث ما - مقياس الاحتمال (أو قيمته) - مقياس لمجموعة من الأحداث (مجموعات فرعية من مجموعة من الأحداث الأولية)، مع أخذ القيم من
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
معنى
(\displaystyle 1)
يتوافق مع حدث صالح. الحدث المستحيل له احتمال 0 (العكس ليس صحيحًا دائمًا). إذا كان احتمال وقوع الحدث هو
(\displaystyle ع)
ثم احتمال عدم حدوثه يساوي
(\displaystyle 1-ص)
على وجه الخصوص، الاحتمال
(\displaystyle 1/2)
يعني احتمالية متساوية لحدوث وعدم وقوع الحدث.
يعتمد التعريف الكلاسيكي للاحتمال على مفهوم تكافؤ النتائج. الاحتمال هو نسبة عدد النتائج التي تفضل حدثًا معينًا إلى إجمالي عدد النتائج المحتملة بالتساوي. على سبيل المثال، احتمال الحصول على صورة أو كتابة على عملة معدنية عشوائية هو 1/2 إذا تم افتراض حدوث هذين الاحتمالين فقط وكان احتمال حدوثهما متساويًا. يمكن تعميم هذا "التعريف" الكلاسيكي للاحتمال على حالة عدد لا حصر له من القيم المحتملة - على سبيل المثال، إذا كان من الممكن أن يحدث حدث باحتمال متساو في أي نقطة (عدد النقاط لا نهائي) في منطقة محدودة من الفضاء (المستوى) ، فإن احتمال حدوثه في جزء ما من هذه المنطقة المسموح بها يساوي نسبة حجم (مساحة) هذا الجزء إلى حجم (مساحة) مساحة جميع النقاط الممكنة .
يرتبط "التعريف" التجريبي للاحتمال بتكرار حدوث حدث ما، استنادًا إلى حقيقة أنه مع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من التجارب، يجب أن يميل التكرار إلى الدرجة الموضوعية لاحتمال وقوع هذا الحدث. في العرض الحديث لنظرية الاحتمال، يتم تعريف الاحتمال بشكل بديهي، كحالة خاصة من النظرية المجردة لقياس المجموعة. ومع ذلك، فإن العلاقة بين القياس المجرد والاحتمال، الذي يعبر عن درجة احتمال وقوع حدث ما، هي بالضبط تكرار ملاحظته.
أصبح الوصف الاحتمالي لبعض الظواهر منتشرًا على نطاق واسع في العلوم الحديثة، ولا سيما في الاقتصاد القياسي، والفيزياء الإحصائية للأنظمة العيانية (الديناميكية الحرارية)، حيث حتى في حالة الوصف الحتمي الكلاسيكي لحركة الجسيمات، هناك وصف حتمي للنظام بأكمله من الجزيئات ليست ممكنة عمليا ومناسبة. في فيزياء الكم، العمليات الموصوفة نفسها ذات طبيعة احتمالية.

تم تقديمه حتى الآن في البنك المفتوح لمشاكل الاستخدام في الرياضيات (mathege.ru)، والتي يعتمد حلها على صيغة واحدة فقط، وهي التعريف الكلاسيكي للاحتمال.

أسهل طريقة لفهم الصيغة هي من خلال الأمثلة.
مثال 1هناك 9 كرات حمراء و3 كرات زرقاء في السلة. الكرات تختلف فقط في اللون. بشكل عشوائي (دون النظر) نحصل على واحد منهم. ما احتمال أن تكون الكرة المختارة بهذه الطريقة زرقاء اللون؟

تعليق.في مسائل نظرية الاحتمالات، يحدث شيء ما (في هذه الحالة، فعل سحب الكرة) يمكن أن يكون له نتيجة مختلفة - النتيجة. وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن رؤية النتيجة بطرق مختلفة. "لقد سحبنا الكرة" هي أيضًا نتيجة. "لقد سحبنا الكرة الزرقاء" هي النتيجة. "لقد قمنا بسحب هذه الكرة من بين كل الكرات الممكنة" - هذه النظرة الأقل عمومية للنتيجة تسمى النتيجة الأولية. إنها النتائج الأولية المقصودة في صيغة حساب الاحتمال.

حل.الآن نحسب احتمال اختيار كرة زرقاء.
الحدث أ: "تبين أن الكرة المختارة كانت زرقاء"
العدد الإجمالي لجميع النتائج الممكنة: 9+3=12 (عدد جميع الكرات التي يمكننا سحبها)
عدد النتائج الملائمة للحدث أ: 3 (عدد النتائج التي وقع فيها الحدث أ - أي عدد الكرات الزرقاء)
ف(أ)=3/12=1/4=0.25
الجواب: 0.25

دعونا نحسب لنفس المشكلة احتمال اختيار كرة حمراء.
سيبقى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة كما هو، 12. عدد النتائج الإيجابية: 9. الاحتمال المرغوب: 9/12=3/4=0.75

احتمال أي حدث يقع دائما بين 0 و 1.
في بعض الأحيان في الكلام اليومي (ولكن ليس في نظرية الاحتمالات!) يتم تقدير احتمالية الأحداث كنسبة مئوية. ويتم الانتقال بين التقييم الرياضي والمحادثة عن طريق الضرب (أو القسمة) على 100%.
لذا،
في هذه الحالة، يكون الاحتمال صفرًا للأحداث التي لا يمكن أن تحدث - غير محتملة. على سبيل المثال، في مثالنا، سيكون هذا هو احتمال سحب كرة خضراء من السلة. (عدد النتائج الإيجابية هو 0، P(A)=0/12=0 إذا تم حسابها وفقًا للصيغة)
الاحتمال 1 به أحداث ستحدث بالتأكيد، دون خيارات. على سبيل المثال، احتمال أن تكون "الكرة المختارة إما حمراء أو زرقاء" هو في مسألتنا. (عدد النتائج الإيجابية: 12، P(A)=12/12=1)

لقد ألقينا نظرة على مثال كلاسيكي يوضح تعريف الاحتمال. يتم حل جميع مشاكل الاستخدام المشابهة في نظرية الاحتمالات باستخدام هذه الصيغة.
بدلاً من الكرات الحمراء والزرقاء، يمكن أن يكون هناك تفاح وكمثرى، أولاد وبنات، تذاكر متعلمة وغير متعلمة، تذاكر تحتوي أو لا تحتوي على سؤال حول موضوع ما (نماذج أولية)، أكياس معيبة وعالية الجودة أو مضخات حديقة (نماذج أولية، ) - يبقى المبدأ كما هو.

وهي تختلف قليلاً في صياغة مشكلة نظرية احتمالية الاستخدام، حيث تحتاج إلى حساب احتمالية وقوع حدث ما في يوم معين. ( , ) كما في المهام السابقة، تحتاج إلى تحديد النتيجة الأولية، ثم تطبيق نفس الصيغة.

مثال 2ويستمر المؤتمر ثلاثة أيام. في اليومين الأول والثاني 15 متحدثًا لكل منهما، في اليوم الثالث - 20. ما هو احتمال سقوط تقرير الأستاذ م. في اليوم الثالث، إذا تم تحديد ترتيب التقارير عن طريق القرعة؟

ما هي النتيجة الأولية هنا؟ - تخصيص تقرير الأستاذ لأحد الأرقام التسلسلية الممكنة للخطاب. 15+15+20=50 شخص يشاركون في السحب. وبالتالي، يمكن لتقرير البروفيسور م. أن يتلقى واحدًا من 50 رقمًا. وهذا يعني أن هناك 50 نتيجة أولية فقط.
ما هي النتائج الإيجابية؟ - تلك التي تبين فيها أن الأستاذ سيتحدث في اليوم الثالث. أي آخر 20 رقمًا.
وفقا للصيغة، الاحتمال P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
الجواب: 0.4

إن سحب القرعة هنا هو إنشاء مراسلات عشوائية بين الأشخاص والأماكن المرتبة. في المثال 2، تم أخذ المطابقة في الاعتبار من حيث الأماكن التي يمكن أن يشغلها شخص معين. يمكنك التعامل مع نفس الموقف من الجانب الآخر: أي من الأشخاص لديه احتمالية الوصول إلى مكان معين (النماذج الأولية، ،،، ):

مثال 3ويشارك في القرعة 5 ألمان و8 فرنسيين و3 إستونيين. ما هو احتمال أن يكون الأول (/الثاني/السابع/الأخير - لا يهم) فرنسيًا.

عدد النتائج الأولية هو عدد جميع الأشخاص المحتملين الذين يمكنهم الوصول إلى مكان معين بالقرعة. 5+8+3=16 شخص.
نتائج إيجابية - الفرنسيون. 8 أشخاص.
الاحتمال المرغوب: 8/16=1/2=0.5
الجواب: 0.5

النموذج الأولي مختلف قليلاً. هناك مهام تتعلق بالعملات المعدنية () والنرد () أكثر إبداعًا إلى حد ما. يمكن العثور على حلول لهذه المشكلات على صفحات النموذج الأولي.

فيما يلي بعض الأمثلة على رمي قطعة نقود أو حجر نرد.

مثال 4عندما نرمي قطعة نقود، ما احتمال ظهور الكتابة؟
النتائج 2 - الرؤوس أو الذيول. (يُعتقد أن العملة المعدنية لا تسقط أبدًا على الحافة) النتيجة الإيجابية - ذيول، 1.
الاحتمال 1/2=0.5
الجواب: 0.5.

مثال 5ماذا لو قمنا بقلب العملة المعدنية مرتين؟ ما هو احتمال ظهور الرؤوس في المرتين؟
الشيء الرئيسي هو تحديد النتائج الأولية التي سنأخذها في الاعتبار عند رمي عملتين معدنيتين. بعد رمي قطعتين من النقود يمكن أن تحدث إحدى النتائج التالية:
1) PP - في كل مرة ظهرت ذيول
2) PO - ذيول المرة الأولى، رؤوس المرة الثانية
3) OP - رؤوس المرة الأولى، وذيول المرة الثانية
4) OO - تنبيه في كل مرة
ليس هناك من خيارات اخرى. هذا يعني أن هناك 4 نتائج أولية، النتيجة الأولى فقط هي المفضلة، 1.
الاحتمال: 1/4=0.25
الجواب: 0.25

ما هو احتمال أن تستقر رميتان للعملة المعدنية على الكتابة؟
عدد النتائج الأولية هو نفسه، 4. النتائج المفضلة هي الثانية والثالثة، 2.
احتمال الحصول على ذيل واحد: 2/4=0.5

في مثل هذه المشاكل، قد تكون صيغة أخرى مفيدة.
إذا كان لدينا عند رمية واحدة لعملة نتيجتين محتملتين، فبالنسبة لرميتين من النتائج سيكون هناك 2 2=2 2 =4 (كما في المثال 5)، ولثلاث رميات 2 2 2=2 3 =8، ولأربع رميات : 2·2·2·2=2 4 =16، … بالنسبة لعدد N من النتائج المحتملة سيكون هناك 2·2·...·2=2 N .

لذلك، يمكنك العثور على احتمال الحصول على 5 أوراق من أصل 5 رميات للعملات المعدنية.
إجمالي عدد النتائج الابتدائية: 2 5 = 32.
النتائج الإيجابية: 1. (RRRRRR - كل ذيول 5 مرات)
الاحتمال: 1/32=0.03125

وينطبق الشيء نفسه على النرد. مع رمية واحدة، هناك 6 نتائج محتملة، لذا، بالنسبة للرميتين: 6 6 = 36، وللثلاث 6 6 6 = 216، إلخ.

مثال 6نحن رمي النرد. ما هو احتمال الحصول على عدد زوجي؟

مجموع النتائج: 6 حسب عدد الوجوه.
مواتية: 3 نتائج. (2، 4، 6)
الاحتمال: 3/6=0.5

مثال 7رمي اثنين من النرد. ما هو احتمال أن يكون مجموع الدفات 10؟ (تقريبًا إلى أجزاء من المئات)

هناك 6 نتائج محتملة لنرد واحد. ومن ثم، بالنسبة لشخصين، وفقًا للقاعدة المذكورة أعلاه، 6·6=36.
ما هي النتائج التي ستكون مواتية لسقوط إجمالي 10؟
يجب أن يتم تحليل الرقم 10 إلى مجموع رقمين من 1 إلى 6. ويمكن القيام بذلك بطريقتين: 10=6+4 و10=5+5. لذلك، بالنسبة للمكعبات، الخيارات ممكنة:
(6 في الأول و4 في الثاني)
(4 في الأول و6 في الثاني)
(5 في الأول و5 في الثاني)
في المجموع، 3 خيارات. الاحتمال المرغوب: 3/36=1/12=0.08
الجواب: 0.08

ستتم مناقشة الأنواع الأخرى من مشكلات B6 في إحدى مقالات "كيفية الحل" التالية.

في البداية، كونها مجرد مجموعة من المعلومات والملاحظات التجريبية للعبة النرد، أصبحت نظرية الاحتمال علمًا راسخًا. وكان فيرما وباسكال أول من أعطاها إطارًا رياضيًا.

من تأملات في الأبدية إلى نظرية الاحتمال

هناك شخصان تدين لهما نظرية الاحتمالية بالعديد من الصيغ الأساسية، وهما بليز باسكال وتوماس بايز، المعروفان بأنهما شخصان متدينان بشدة، وكان الأخير قسًا مشيخيًا. على ما يبدو، فإن رغبة هذين العالمين في إثبات مغالطة الرأي حول ثروة معينة، مما يمنح حظا سعيدا لمفضلاتها، أعطى زخما للبحث في هذا المجال. وفي الواقع، فإن أي لعبة حظ، بمكاسبها وخسائرها، هي مجرد سيمفونية من المبادئ الرياضية.

بفضل إثارة Chevalier de Mere، الذي كان مقامرًا وشخصًا غير مبالٍ بالعلم، اضطر باسكال إلى إيجاد طريقة لحساب الاحتمالية. كان De Mere مهتمًا بهذا السؤال: "كم مرة تحتاج إلى رمي نردتين في أزواج بحيث يتجاوز احتمال الحصول على 12 نقطة 50٪؟". السؤال الثاني الذي أثار اهتمام السيد بشدة: "كيف يتم تقسيم الرهان بين المشاركين في اللعبة غير المكتملة؟" بالطبع، أجاب باسكال بنجاح على سؤالي دي مير، الذي أصبح البادئ غير المقصود لتطوير نظرية الاحتمال. ومن المثير للاهتمام أن شخصية دي مير ظلت معروفة في هذا المجال، وليس في الأدب.

في السابق، لم يحاول أي عالم رياضيات حساب احتمالات الأحداث، حيث كان يعتقد أن هذا كان مجرد حل تخميني. أعطى بليز باسكال التعريف الأول لاحتمال وقوع حدث ما وأظهر أن هذا رقم محدد يمكن تبريره رياضياً. أصبحت نظرية الاحتمالية أساس الإحصاء وتستخدم على نطاق واسع في العلوم الحديثة.

ما هي العشوائية

إذا أخذنا في الاعتبار اختبارًا يمكن تكراره لعدد لا نهائي من المرات، فيمكننا تحديد حدث عشوائي. وهذه إحدى النتائج المحتملة للتجربة.

الخبرة هي تنفيذ إجراءات محددة في ظروف ثابتة.

لكي تكون قادرا على العمل مع نتائج الخبرة، عادة ما يتم الإشارة إلى الأحداث بالحروف A، B، C، D، E ...

احتمال وقوع حدث عشوائي

لكي نتمكن من الانتقال إلى الجزء الرياضي من الاحتمال، من الضروري تحديد جميع مكوناته.

احتمال وقوع حدث هو مقياس عددي لاحتمال وقوع حدث ما (أ أو ب) نتيجة للتجربة. يُشار إلى الاحتمال بالرمز P(A) أو P(B).

نظرية الاحتمال هي:

موثوقالحدث مضمون الحدوث نتيجة للتجربة Р(Ω) = 1؛
مستحيللا يمكن أن يحدث هذا الحدث أبدًا Р(Ø) = 0;
عشوائييقع الحدث بين المؤكد والمستحيل، أي أن احتمال وقوعه ممكن، لكنه غير مضمون (احتمال وقوع حدث عشوائي يكون دائمًا ضمن 0≥P(A)≥1).

العلاقات بين الأحداث

يتم أخذ كل من الحدثين A + B في الاعتبار عند احتساب الحدث عند تنفيذ مكون واحد على الأقل، A أو B، أو كليهما - A وB.

بالنسبة لبعضها البعض، يمكن أن تكون الأحداث:

ممكن بنفس القدر.
متناسق.
غير متوافق.
مقابل (متنافي).
متكل.

إذا كان من الممكن حدوث حدثين باحتمال متساوي، فإنهما ممكن على قدم المساواة.

إذا كان وقوع الحدث (أ) لا يلغي احتمال وقوع الحدث (ب)، فإنهم متناسق.

إذا لم يحدث الحدثان A وB في نفس الوقت في نفس التجربة، فسيتم استدعاؤهما غير متوافق. يعد رمي العملة مثالًا جيدًا: ظهور الكتابة لا يعني ظهور الصورة تلقائيًا.

يتكون احتمال مجموع هذه الأحداث غير المتوافقة من مجموع احتمالات كل حدث من الأحداث:

ف(أ+ب)=ف(أ)+ف(ب)

وإذا كان وقوع حدث يجعل وقوع حدث آخر مستحيلا، فإنهما يطلق عليهما اسم مضاد. ثم يتم تعيين أحدهما كـ A، والآخر - Ā (اقرأ كـ "ليس A"). وقوع الحدث A يعني أن Ā لم يحدث. يشكل هذان الحدثان مجموعة كاملة مجموع احتمالاتها يساوي 1.

الأحداث التابعة لها تأثير متبادل، مما يقلل أو يزيد من احتمال حدوث بعضها البعض.

العلاقات بين الأحداث. أمثلة

من الأسهل بكثير فهم مبادئ نظرية الاحتمالات وجمع الأحداث باستخدام الأمثلة.

التجربة التي سيتم إجراؤها هي سحب الكرات من الصندوق، ونتيجة كل تجربة هي نتيجة أولية.

الحدث هو إحدى النتائج المحتملة للتجربة - كرة حمراء، أو كرة زرقاء، أو كرة تحمل الرقم ستة، وما إلى ذلك.

اختبار رقم 1. هناك 6 كرات، ثلاث منها زرقاء بأرقام فردية، والثلاث الأخرى حمراء بأرقام زوجية.

اختبار رقم 2. هناك 6 كرات زرقاء بأرقام من واحد إلى ستة.

بناءً على هذا المثال، يمكننا تسمية المجموعات:

حدث موثوق.بالإسبانية رقم 2، حدث "الحصول على الكرة الزرقاء" يمكن الاعتماد عليه، حيث أن احتمال حدوثه هو 1، نظرًا لأن جميع الكرات زرقاء ولا يمكن أن يكون هناك خطأ. في حين أن حدث "الحصول على الكرة ذات الرقم 1" هو حدث عشوائي.
حدث مستحيل.بالإسبانية رقم 1 مع الكرات الزرقاء والحمراء، فإن حدث "الحصول على الكرة الأرجوانية" مستحيل، لأن احتمال حدوثه هو 0.
أحداث مكافئة.بالإسبانية رقم 1، حدثا "الحصول على الكرة ذات الرقم 2" و"الحصول على الكرة ذات الرقم 3" متساويان في الاحتمال، وحدثا "الحصول على الكرة ذات الرقم الزوجي" و"الحصول على الكرة ذات الرقم 2" "لديها احتمالات مختلفة.
الأحداث المتوافقةيعد الحصول على الرقم ستة أثناء رمي حجر النرد مرتين على التوالي من الأحداث المتوافقة.
أحداث غير متوافقةبنفس اللغة الإسبانية لا يمكن الجمع بين الحدثين رقم 1 "الحصول على الكرة الحمراء" و"الحصول على الكرة برقم فردي" في نفس التجربة.
أحداث متضادة.وأبرز مثال على ذلك هو رمي العملة، حيث يكون رسم الوجه هو نفس عدم رسم الكتابة، ويكون مجموع احتمالاتها دائمًا 1 (المجموعة الكاملة).
الأحداث التابعة. لذلك، باللغة الاسبانية رقم 1، يمكنك أن تحدد لنفسك هدف استخراج كرة حمراء مرتين على التوالي. استخراجه أو عدم استخراجه في المرة الأولى يؤثر على احتمالية استخراجه في المرة الثانية.

ويمكن ملاحظة أن الحدث الأول يؤثر بشكل كبير على احتمالية الحدث الثاني (40% و60%).

صيغة احتمالية الحدث

يحدث الانتقال من الكهانة إلى البيانات الدقيقة عن طريق نقل الموضوع إلى المستوى الرياضي. أي أن الأحكام المتعلقة بحدث عشوائي مثل "الاحتمال الكبير" أو "الاحتمال الأدنى" يمكن ترجمتها إلى بيانات رقمية محددة. يجوز بالفعل تقييم هذه المواد ومقارنتها وإدخالها في حسابات أكثر تعقيدًا.

من وجهة نظر الحساب، تعريف احتمالية حدث ما هو نسبة عدد النتائج الإيجابية الأولية إلى عدد جميع النتائج المحتملة للتجربة فيما يتعلق بحدث معين. يُشار إلى الاحتمالية بالرمز P (A)، حيث تعني P كلمة "الاحتمالية"، والتي تُترجم من الفرنسية على أنها "احتمالية".

لذا فإن صيغة احتمال وقوع حدث ما هي:

حيث m هو عدد النتائج الإيجابية للحدث A، وn هو مجموع كل النتائج المحتملة لهذه التجربة. يكون احتمال وقوع الحدث دائمًا بين 0 و 1:

0 ≥ ف(أ) ≥ 1.

حساب احتمال وقوع حدث. مثال

لنأخذ الإسبانية. رقم 1 بالكرات التي تم شرحها سابقاً: 3 كرات زرقاء بالأرقام 1/3/5 و 3 كرات حمراء بالأرقام 2/4/6.

بناءً على هذا الاختبار، يمكن النظر في عدة مهام مختلفة:

أ- إسقاط الكرة الحمراء. هناك 3 كرات حمراء، وهناك 6 متغيرات في المجموع، وهذا هو أبسط مثال، حيث يكون احتمال وقوع حدث هو P(A)=3/6=0.5.
ب- إسقاط عدد زوجي. هناك 3 (2،4،6) أرقام زوجية إجمالاً، والعدد الإجمالي للخيارات الرقمية الممكنة هو 6. احتمال هذا الحدث هو P(B)=3/6=0.5.
C - خسارة رقم أكبر من 2. هناك 4 خيارات من هذا القبيل (3،4،5،6) من إجمالي عدد النتائج المحتملة 6. احتمال الحدث C هو P(C)=4/6= 0.67.

كما يتبين من الحسابات، فإن الحدث C لديه احتمالية أعلى، لأن عدد النتائج الإيجابية المحتملة أعلى مما هو عليه في A وB.

أحداث غير متوافقة

ولا يمكن أن تظهر مثل هذه الأحداث في نفس الوقت في نفس التجربة. كما هو الحال في الإسبانية رقم 1، من المستحيل الحصول على كرة زرقاء وكرة حمراء في نفس الوقت. أي أنه يمكنك الحصول على كرة زرقاء أو حمراء. وبنفس الطريقة، لا يمكن أن يظهر عدد زوجي وعدد فردي في حجر النرد في نفس الوقت.

يعتبر احتمال وقوع حدثين بمثابة احتمال مجموعهما أو منتجهما. يعتبر مجموع هذه الأحداث A + B حدثًا يتكون من ظهور الحدث A أو B، ومنتج AB الخاص بهم - في ظهور كليهما. على سبيل المثال، ظهور ستين مرة واحدة على وجوه حجري النرد في رمية واحدة.

مجموع عدة أحداث هو حدث يتضمن حدوث واحد منهم على الأقل. نتاج العديد من الأحداث هو حدوثها جميعًا بشكل مشترك.

في نظرية الاحتمالات، كقاعدة عامة، يشير استخدام الاتحاد "و" إلى المبلغ، والاتحاد "أو" - الضرب. ستساعدك الصيغ مع الأمثلة على فهم منطق الجمع والضرب في نظرية الاحتمالات.

احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة

إذا أخذنا في الاعتبار احتمال الأحداث غير المتوافقة، فإن احتمال مجموع الأحداث يساوي مجموع احتمالاتها:

ف(أ+ب)=ف(أ)+ف(ب)

على سبيل المثال: نحسب الاحتمالية باللغة الإسبانية. الرقم 1 ذو الكرات الزرقاء والحمراء سوف يسقط رقمًا بين 1 و4. لن نقوم بالحساب في إجراء واحد، ولكن من خلال مجموع احتمالات المكونات الأولية. لذا، في مثل هذه التجربة لا يوجد سوى 6 كرات أو 6 من جميع النتائج المحتملة. الأرقام التي تحقق الشرط هي 2 و 3. احتمال الحصول على الرقم 2 هو 1/6، واحتمال الرقم 3 هو أيضًا 1/6. احتمال الحصول على رقم بين 1 و 4 هو:

احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة للمجموعة الكاملة هو 1.

لذا، إذا قمنا في تجربة المكعب بجمع احتمالات الحصول على جميع الأرقام، فبالنتيجة نحصل على واحد.

وهذا ينطبق أيضًا على الأحداث المعاكسة، على سبيل المثال، في تجربة العملة المعدنية، حيث يكون أحد وجهيها هو الحدث A، والآخر هو الحدث المعاكس Ā، كما هو معروف،

Р(А) + Р(Ā) = 1

احتمال إنتاج أحداث غير متوافقة

يتم استخدام مضاعفة الاحتمالات عند النظر في حدوث حدثين أو أكثر غير متوافقين في ملاحظة واحدة. احتمال ظهور الحدثين A وB في نفس الوقت يساوي حاصل ضرب احتمالاتهما، أو:

ف(أ*ب)=ف(أ)*ف(ب)

على سبيل المثال، احتمال أن رقم 1 نتيجة محاولتين ستظهر كرة زرقاء مرتين تساوي

أي أن احتمال وقوع حدث، نتيجة لمحاولتين لاستخراج الكرات، سيتم استخراج الكرات الزرقاء فقط هو 25%. من السهل جدًا إجراء تجارب عملية على هذه المشكلة ومعرفة ما إذا كان هذا هو الحال بالفعل.

الأحداث المشتركة

تعتبر الأحداث مشتركة عندما يتزامن ظهور أحدهما مع ظهور الآخر. وعلى الرغم من كونها مشتركة، إلا أنه يتم أخذ احتمالية الأحداث المستقلة بعين الاعتبار. على سبيل المثال، رمي حجري نرد يمكن أن يعطي نتيجة عندما يقع الرقم 6 على كليهما، وعلى الرغم من أن الأحداث تزامنت وظهرت في نفس الوقت، إلا أنها مستقلة عن بعضها البعض - يمكن أن يسقط واحد فقط ستة، أما النرد الثاني فلا يوجد به التأثير عليه.

يعتبر احتمال الأحداث المشتركة بمثابة احتمال مجموعها.

احتمال مجموع الأحداث المشتركة. مثال

احتمال مجموع الأحداث A و B، المرتبطة ببعضها البعض، يساوي مجموع احتمالات الحدث مطروحًا منه احتمال منتجهما (أي تنفيذهما المشترك):

R مشترك. (أ + ب) \u003d ف (أ) + ف (ب) - ف (AB)

افترض أن احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.4. ثم الحدث أ - إصابة الهدف في المحاولة الأولى، ب - في الثانية. هذه الأحداث مشتركة، لأنه من الممكن ضرب الهدف من اللقطة الأولى والثانية. لكن الأحداث لا تعتمد. ما هو احتمال وقوع حدث إصابة الهدف بطلقتين (واحدة على الأقل)؟ وفقا للصيغة:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

الجواب على السؤال هو: "احتمال إصابة الهدف برصاصتين هو 64٪".

يمكن أيضًا تطبيق هذه الصيغة الخاصة باحتمال وقوع حدث ما على الأحداث غير المتوافقة، حيث احتمال الحدوث المشترك لحدث ما P(AB) = 0. وهذا يعني أن احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة يمكن اعتباره حالة خاصة من الصيغة المقترحة.

هندسة الاحتمالية من أجل الوضوح

ومن المثير للاهتمام أنه يمكن تمثيل احتمال مجموع الأحداث المشتركة كمنطقتين A وB تتقاطعان مع بعضهما البعض. وكما ترون من الصورة فإن مساحة اتحادهما تساوي المساحة الكلية ناقص مساحة تقاطعهما. هذا التفسير الهندسي يجعل الصيغة التي تبدو غير منطقية أكثر قابلية للفهم. لاحظ أن الحلول الهندسية ليست غير شائعة في نظرية الاحتمالات.

إن تعريف احتمالية مجموع مجموعة (أكثر من اثنين) من الأحداث المشتركة أمر مرهق إلى حد ما. لحساب ذلك، تحتاج إلى استخدام الصيغ المتوفرة لهذه الحالات.

الأحداث التابعة

تسمى الأحداث التابعة إذا كان وقوع أحدها (أ) يؤثر على احتمال وقوع الآخر (ب). علاوة على ذلك، يؤخذ في الاعتبار تأثير كل من وقوع الحدث أ وعدم وقوعه. على الرغم من أن الأحداث تسمى تابعة حسب التعريف، إلا أن واحدًا منها فقط هو تابع (B). تمت الإشارة إلى الاحتمال المعتاد على أنه P (B) أو احتمال الأحداث المستقلة. في حالة المعالين، يتم تقديم مفهوم جديد - الاحتمال الشرطي P A (B)، وهو احتمال الحدث التابع B بشرط وقوع الحدث A (الفرضية)، والذي يعتمد عليه.

لكن الحدث A عشوائي أيضًا، لذا فإن له أيضًا احتمالًا يجب ويمكن أخذه بعين الاعتبار في الحسابات. سيوضح المثال التالي كيفية التعامل مع الأحداث التابعة والفرضية.

مثال لحساب احتمالية الأحداث التابعة

من الأمثلة الجيدة لحساب الأحداث التابعة مجموعة البطاقات القياسية.

في مثال مجموعة مكونة من 36 بطاقة، فكر في الأحداث التابعة. من الضروري تحديد احتمال أن تكون البطاقة الثانية المسحوبة من المجموعة عبارة عن بدلة ماسية، إذا كانت البطاقة الأولى المسحوبة هي:

دف صغير.
بدلة أخرى.

من الواضح أن احتمال الحدث الثاني B يعتمد على الأول A. لذا، إذا كان الخيار الأول صحيحًا، وهو عبارة عن بطاقة واحدة (35) وماسة واحدة (8) أقل في المجموعة، فإن احتمال الحدث B:

ص أ (ب) \u003d 8 / 35 \u003d 0.23

إذا كان الخيار الثاني صحيحًا، فهناك 35 بطاقة في المجموعة، ولا يزال إجمالي عدد الدفوف (9) محفوظًا، فإن احتمال الحدث التالي هو B:

P أ (ب) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

يمكن ملاحظة أنه إذا كان الحدث A مشروطًا بكون البطاقة الأولى عبارة عن ألماسة، فإن احتمالية الحدث B تقل، والعكس صحيح.

مضاعفة الأحداث التابعة

بناءً على الفصل السابق، فإننا نقبل الحدث الأول (أ) كحقيقة، لكنه في جوهره ذو طابع عشوائي. احتمال هذا الحدث، أي استخراج الدف من مجموعة أوراق اللعب، يساوي:

ف(أ) = 9/36=1/4

وبما أن النظرية غير موجودة في حد ذاتها، ولكنها مصممة لخدمة أغراض عملية، فمن العدل أن نلاحظ أنه في أغلب الأحيان يكون هناك حاجة إلى احتمال إنتاج أحداث تابعة.

وفقًا لنظرية حاصل ضرب احتمالات الأحداث التابعة، فإن احتمال وقوع الأحداث المعتمدة بشكل مشترك A و B يساوي احتمال وقوع حدث واحد A، مضروبًا في الاحتمال الشرطي للحدث B (اعتمادًا على A):

ف (AB) \u003d ف (أ) * ف أ (ب)

ثم في مثال المجموعة، فإن احتمال سحب ورقتين ببدلة من الماس هو:

9/36*8/35=0.0571 أو 5.7%

واحتمال استخراج الماس ليس في البداية ثم الماس يساوي:

27/36*9/35=0.19 أو 19%

يمكن ملاحظة أن احتمال وقوع الحدث B أكبر، بشرط أن يتم سحب بطاقة بدلة أخرى غير الماسة أولاً. هذه النتيجة منطقية ومفهومة تماما.

الاحتمال الإجمالي لحدث ما

عندما تصبح مشكلة الاحتمالات الشرطية متعددة الأوجه، لا يمكن حسابها بالطرق التقليدية. عندما يكون هناك أكثر من فرضيتين وهما A1، A2، ...، A n ، .. تشكل مجموعة كاملة من الأحداث تحت الشرط:

ف(أ ط)>0، ط=1،2،…
أ أنا ∩ أ ي = Ø,i≠j.
Σ ك ك =Ω.

لذا، فإن صيغة الاحتمال الإجمالي للحدث B مع مجموعة كاملة من الأحداث العشوائية A1، A2، ...، A n هي:

نظرة إلى المستقبل

يعد احتمال وقوع حدث عشوائي أمرًا ضروريًا في العديد من مجالات العلوم: الاقتصاد القياسي، والإحصاء، والفيزياء، وما إلى ذلك. نظرًا لأنه لا يمكن وصف بعض العمليات بشكل حتمي، نظرًا لأنها في حد ذاتها احتمالية، فهناك حاجة إلى أساليب عمل خاصة. يمكن استخدام نظرية احتمالية الحدث في أي مجال تكنولوجي كوسيلة لتحديد احتمال حدوث خطأ أو خلل.

يمكن القول أنه من خلال إدراك الاحتمال، فإننا نتخذ بطريقة ما خطوة نظرية نحو المستقبل، وننظر إليه من خلال منظور الصيغ.