y-अक्ष के परितः आयत का जड़त्व आघूर्ण. निष्क्रियता के पल

किसी अक्ष के सापेक्ष किसी अनुभाग की जड़ता का अक्षीय (या भूमध्यरेखीय) क्षण प्राथमिक क्षेत्रों के उत्पादों और इस अक्ष से उनकी दूरी के वर्गों का योग है, जो इसके पूरे क्षेत्र F पर लिया गया है, अर्थात।

एक निश्चित बिंदु (ध्रुव) के संबंध में एक खंड की जड़ता का ध्रुवीय क्षण प्राथमिक क्षेत्रों के उत्पादों और इस बिंदु से उनकी दूरी के वर्गों का योग है, जो इसके पूरे क्षेत्र एफ पर लिया गया है, अर्थात।

कुछ दो परस्पर लंबवत अक्षों के संबंध में एक अनुभाग की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण प्रारंभिक क्षेत्रों के उत्पादों और इन अक्षों से उनकी दूरी का योग है, जो इसके पूरे क्षेत्र एफ पर लिया गया है, यानी।

आदि में जड़ता के क्षणों को व्यक्त किया जाता है।

जड़ता के अक्षीय और ध्रुवीय क्षण हमेशा सकारात्मक होते हैं, क्योंकि अभिन्न के संकेतों के तहत उनकी अभिव्यक्तियों में क्षेत्रों के मान (हमेशा सकारात्मक) और किसी दिए गए अक्ष या ध्रुव से इन क्षेत्रों की दूरी के वर्ग शामिल होते हैं।

अंजीर पर. 9.5, a क्षेत्र F के साथ एक अनुभाग दिखाता है और y और z अक्ष दिखाता है। Y अक्षों के सापेक्ष इस खंड की जड़ता के अक्षीय क्षण:

जड़ता के इन क्षणों का योग

और इसलिए

इस प्रकार, दो परस्पर लंबवत अक्षों के बारे में एक खंड की जड़ता के अक्षीय क्षणों का योग इन अक्षों के चौराहे के बिंदु के बारे में इस खंड की जड़ता के ध्रुवीय क्षण के बराबर है।

जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाए गए अनुभाग की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण। 9.5, ए, वाई अक्षों के संबंध में और सकारात्मक है, क्योंकि इस खंड के मुख्य भाग के लिए, पहले चतुर्थांश में स्थित, मान और, इसलिए, सकारात्मक हैं।

यदि आप y-अक्ष की धनात्मक दिशा बदलते हैं या इसके विपरीत (चित्र 9.5, b) या इन दोनों अक्षों को 90° तक घुमाते हैं (चित्र 9.5, c), तो जड़त्व का केन्द्रापसारक क्षण ऋणात्मक हो जाएगा (इसका निरपेक्ष मान नहीं बदलेगा), मुख्य भाग के बाद से अनुभाग एक चतुर्थांश में स्थित होगा जिसके बिंदुओं में सकारात्मक y-निर्देशांक और नकारात्मक z-निर्देशांक हैं। यदि दोनों अक्षों की सकारात्मक दिशाओं को उलट दिया जाए, तो इससे न तो संकेत बदलेगा और न ही जड़त्व के केन्द्रापसारक क्षण का परिमाण बदलेगा।

एक ऐसी आकृति पर विचार करें जो एक या अधिक अक्षों के प्रति सममित हो (चित्र 10.5)। आइए अक्ष बनाएं ताकि उनमें से कम से कम एक (इस मामले में, y-अक्ष) आकृति की समरूपता के अक्ष के साथ मेल खाए। अक्ष के दाईं ओर स्थित प्रत्येक साइट इस मामले में पहले के सममित रूप से स्थित उसी साइट से मेल खाती है, लेकिन y-अक्ष के बाईं ओर। ऐसे सममित रूप से स्थित प्लेटफार्मों की प्रत्येक जोड़ी की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण बराबर है:

इस तरह,

इस प्रकार, उन अक्षों के बारे में अनुभाग की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण, जिनमें से एक या दोनों समरूपता के अक्षों के साथ मेल खाते हैं, शून्य के बराबर है।

एक निश्चित अक्ष के बारे में एक जटिल खंड की जड़ता का अक्षीय क्षण उसी अक्ष के बारे में इसके घटक भागों की जड़ता के अक्षीय क्षणों के योग के बराबर होता है।

इसी प्रकार, किन्हीं दो परस्पर लंबवत अक्षों के बारे में एक जटिल खंड की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण समान अक्षों के बारे में इसके घटक भागों के जड़त्व के केन्द्रापसारक क्षणों के योग के बराबर होता है। इसके अलावा, एक निश्चित बिंदु के सापेक्ष एक जटिल खंड की जड़ता का ध्रुवीय क्षण उसी बिंदु के सापेक्ष उसके घटक भागों की जड़ता के ध्रुवीय क्षणों के योग के बराबर होता है।

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि विभिन्न अक्षों और बिंदुओं के संबंध में गणना की गई जड़ता के क्षणों को सारांशित नहीं किया जा सकता है।

05-12-2012: एडॉल्फ स्टालिन

मेरे जैसे विशेष रूप से प्रतिभाशाली लोगों के लिए एक स्पष्ट उदाहरण के साथ समझाना अच्छा होगा कि जड़ता का क्षण क्या है और इसे किसके साथ खाया जाता है। विशिष्ट साइटों पर, सब कुछ किसी तरह बहुत भ्रमित करने वाला होता है, और डॉक के पास जानकारी लाने की स्पष्ट प्रतिभा है, शायद सबसे जटिल नहीं, लेकिन बहुत सक्षम और स्पष्ट रूप से

05-12-2012: डॉ लोम

सिद्धांत रूप में, जड़ता का क्षण क्या है और यह कहां से आया है, इसे "सामग्री की ताकत के मूल सिद्धांत, गणना सूत्र" लेख में पर्याप्त विस्तार से बताया गया है, यहां मैं केवल दोहराऊंगा: "डब्ल्यू बीम क्रॉस के प्रतिरोध का क्षण है अनुभाग, दूसरे शब्दों में, बीम अनुभाग के संपीड़ित या तन्य भाग का क्षेत्रफल, परिणामी बल की भुजा से गुणा किया जाता है। संरचना की ताकत की गणना के लिए प्रतिरोध का क्षण ज्ञात होना चाहिए, अर्थात। तनाव को सीमित करने के लिए. क्रॉस सेक्शन के घूर्णन के कोण और क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के विक्षेपण (विस्थापन) को निर्धारित करने के लिए जड़ता का क्षण ज्ञात होना चाहिए, क्योंकि झुकने वाली संरचना की सबसे ऊपरी और सबसे निचली परतों में अधिकतम विकृति होती है, फिर जड़ता के क्षण को प्रतिरोध के क्षण को गुरुत्वाकर्षण खंड के केंद्र से ऊपरी या निचली परत तक की दूरी से गुणा करके निर्धारित किया जा सकता है, इसलिए, आयताकार खंडों के लिए I=Wh/2। जटिल ज्यामितीय आकृतियों के खंडों की जड़ता के क्षण का निर्धारण करते समय, पहले जटिल आकृति को सरल आकृतियों में विभाजित किया जाता है, फिर इन आकृतियों के क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्रों और सबसे सरल आकृतियों के जड़त्व के क्षणों को निर्धारित किया जाता है, फिर सबसे सरल आकृतियों के क्षेत्रफल निर्धारित किए जाते हैं। आकृतियों को अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के सामान्य केंद्र से सबसे सरल आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र तक की दूरी के वर्ग से गुणा किया जाता है। एक जटिल खंड की संरचना में सबसे सरल आकृति की जड़ता का क्षण आकृति की जड़ता के क्षण + दूरी के वर्ग को क्षेत्रफल से गुणा करने के बराबर होता है। फिर जड़ता के प्राप्त क्षणों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है और एक जटिल खंड की जड़ता का क्षण प्राप्त किया जाता है। लेकिन ये सबसे सरल सूत्रीकरण हैं (हालाँकि, मैं सहमत हूँ, यह अभी भी काफी पेचीदा लगता है)। समय के साथ, मैं एक अलग लेख लिखूंगा।

20-04-2013: पेट्र

आपको साइटों में दी गई जानकारी पर पूरी तरह भरोसा करने की ज़रूरत नहीं है। वास्तव में कोई उसकी जाँच नहीं करता। और इसका कोई लिंक नहीं है. तो तालिका 1 में। एक पतली दीवार वाले पाइप के लिए "अनुभागीय आकार, क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र, जड़ता के क्षण और काफी सरल ज्यामितीय आकृतियों की संरचनाओं के लिए प्रतिरोध के क्षण", यह निर्धारित किया जाता है कि व्यास का मोटाई की अनुपात शेल 10 से अधिक होना चाहिए। अन्य स्रोतों के अनुसार - यह 20 से अधिक होना चाहिए!!! (एन.एम. बिल्लायेव। सामग्रियों का प्रतिरोध। एम.1996। पी.160। या एन.आई. बेजुखोव। लोच, प्लास्टिसिटी और रेंगना के सिद्धांत के मूल सिद्धांत। एम.1961.पी.390)

21-04-2013: डॉ लोम

सही। भरोसा नहीं किया जा सकता. लेकिन तार्किक सोच अभी तक रद्द नहीं की गई है। सबसे सही विकल्प एक साधारण पाइप (1 अंक अधिक) के लिए दिए गए सूत्रों का उपयोग करके किसी भी पाइप के लिए जड़ता के क्षण या प्रतिरोध के क्षण की गणना करना है। पतली दीवार वाले पाइप के लिए दिए गए सूत्र, किसी भी मामले में, अनुमानित होंगे और केवल प्रारंभिक गणना के लिए उपयुक्त होंगे, और इसे नहीं भूलना चाहिए।
हालाँकि, अधिकतम स्वीकार्य दीवार मोटाई के मापदंडों को सही कर दिया गया है।

25-06-2013: सान्या

एक जटिल गैर-मानक अनुभाग के लिए जड़ता के क्षण को निर्धारित करना आवश्यक है। अनुभाग: दो खांचे वाला आयत। "श" अक्षर जैसा दिखता है। कोई जानकारी नहीं मिल पा रही है. मैं किसी भी जानकारी के लिए आभारी रहूंगा

25-06-2013: डॉ लोम

लेख देखें "ड्राईवॉल के लिए छत प्रोफ़ाइल की ताकत की गणना" (http://website/item249.html)
वहां, विशेष रूप से, जड़ता का क्षण निर्धारित किया जाता है, जो कि काफी सरल खंड भी नहीं है।

04-11-2014: डॉ लोम

आपके द्वारा उद्धृत स्रोत का सूत्र गलत है (इसका उपयोग केवल अनुमानित गणना के लिए किया जा सकता है) और इसे जांचना आसान है।
पाइप अनुभाग की जड़ता के क्षण को निर्धारित करने के लिए, गोल छड़ की जड़ता के क्षण से घटाना पर्याप्त है (यहां पाइप के बाहरी व्यास का उपयोग गणना में किया जाता है) छेद की जड़ता के क्षण (आंतरिक व्यास, क्योंकि) पाइप के अंदर कोई सामग्री नहीं है, इसलिए यह एक पाइप है)। सरलतम गणितीय परिवर्तनों के बाद, हम तालिका में दिखाए गए पाइप की जड़ता के क्षण के लिए सूत्र प्राप्त करेंगे।
और प्रतिरोध के क्षण को निर्धारित करने के लिए, आपको जड़ता के क्षण को गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से अनुभाग के सबसे दूर बिंदु तक अधिकतम दूरी से विभाजित करना होगा, क्रमशः डी / 2 से, या 2 / डी से गुणा करना होगा।
परिणामस्वरूप, आपके द्वारा निर्दिष्ट सूत्र प्राप्त करना असंभव है, और पाइप की दीवार जितनी मोटी होगी, इस सूत्र का उपयोग करते समय त्रुटि उतनी ही अधिक होगी।

04-11-2014: राडिक

धन्यवाद डॉक्टर!

11-11-2014: इल्गाम

मुझे उन इकाइयों (मिमी, सेमी, मी) के बारे में जानकारी नहीं मिल सकी जिसमें सूत्रों में सभी मान हैं।
मैंने 210x90 मिमी के एक कोने के लिए Wz की गणना करने की कोशिश की (यदि आप 24पी चैनल के लिए ऊपरी शेल्फ को काटते हैं), तो यह 667.5 सेमी3 निकला, बशर्ते कि सभी मान सेमी में हों।
उदाहरण के लिए, एक चैनल बार के लिए। 24P (शेल्फ को काटने से पहले) Wx (Wz) = 243 सेमी3।

11-11-2014: डॉ लोम

ये सामान्य सूत्र हैं. आप किन इकाइयों में मानों को प्रतिस्थापित करते हैं, ऐसे में आपको परिणाम मिलेगा, केवल पहले से ही घन में। लेकिन यदि आपने स्थानापन्न करना शुरू कर दिया है, उदाहरण के लिए, सेंटीमीटर में, तो आपको ऐसे ही जारी रखना चाहिए।
फ़्लैंज के बिना एक चैनल के लिए, डिफ़ॉल्ट रूप से प्रतिरोध का मापांक पूरे चैनल से अधिक नहीं हो सकता है। फ़्लैंज के बिना किसी चैनल के प्रतिरोध के क्षण के अनुमानित निर्धारण के लिए, आप एक असमान कोण के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं (केवल Wz निर्धारित करने के लिए, ये सूत्र Wy के लिए काम नहीं करेंगे)।

04-01-2015: वलेरिज

यदि पाइप का अनुभाग कई महत्वपूर्ण छिद्रों से कमजोर हो गया है, तो जड़ता के क्षण और प्रतिरोध के क्षण की गणना करते समय इसे कैसे ध्यान में रखा जाए? पाइप 32.39 सेमी और इसमें 9 छेद। क्रॉस सेक्शन में व्यास 2.8 सेमी (पाइप की लंबाई के साथ 10 सेमी पिच)।

05-01-2015: डॉ लोम

जड़त्व के क्षण को निर्धारित करने के लिए, आपको पाइप के जड़त्व के क्षण से अपने छेद के जड़त्व के क्षण को घटाना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको छेद के क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र को निर्धारित करने की आवश्यकता है और फिर इसे पाइप के केंद्र की दूरी के वर्ग और छेद की अपनी जड़ता के क्षण से गुणा करें। लेख में अधिक विवरण "क्रॉस सेक्शन की जड़ता के क्षण"।
यदि गणना के लिए विशेष सटीकता की आवश्यकता नहीं है और छेद का व्यास पाइप के व्यास से 5 या अधिक गुना छोटा है (जैसे आपके मामले में, यदि 32.39 बाहरी व्यास है), तो छेद खंड को एक आयत में कम किया जा सकता है। यदि छेद नहीं है, तो प्रतिरोध के क्षण के एक नए मूल्य की गणना करने के लिए छेद के साथ पाइप के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति अतिरिक्त रूप से निर्धारित की जानी चाहिए।
लेकिन वह सब नहीं है। आपको यह ध्यान में रखना चाहिए कि छिद्रों के पास महत्वपूर्ण स्थानीय तनाव होते हैं।

09-10-2015: बोरिस

एक असमान कोना। Wy की गणना करते समय, y नहीं, बल्कि H-y का उपयोग करें

09-10-2015: डॉ लोम

मुझे समझ नहीं आया कि आपका क्या मतलब है। Y-अक्ष के सापेक्ष प्रतिरोध के क्षण की परिभाषा तालिकाओं में बिल्कुल भी नहीं दी गई है।

09-10-2015: बोर्स

Wzп h वर्ग की गणना करते समय त्रिभुजों के लिए।

09-10-2015: बोरिस

09-10-2015: डॉ लोम

ठीक है। अब मैं समझ गया आपका मतलब क्या है. अनुभाग के ऊपरी और निचले हिस्सों के लिए प्रतिरोध के क्षण को इंगित करना अधिक सही होगा, लेकिन मैंने केवल निचले हिस्से के लिए संकेत दिया है। खैर, त्रिकोणों के प्रतिरोध के क्षण का निर्धारण करते समय, एक वर्ग को आसानी से याद किया जाता है।
ठीक किया गया. आपके ध्यान देने के लिए धन्यवाद!

28-04-2016: जामा

नमस्ते! गणना की शुद्धता के बारे में कौन मदद कर सकता है http://ej.kubagro.ru/2011/02/pdf/19.pdf
मैं समझ नहीं पा रहा हूं कि प्रतिरोध के क्षण का मूल्य कहां से लिया गया है। कृपया मेरी मदद करो! 21-03-2017: इगोर

नमस्ते सर्गेई. मैंने आपके कुछ लेख पढ़े, बहुत दिलचस्प और समझने योग्य (ज्यादातर)। मैं एक आई-बीम की गणना करना चाहता हूं, लेकिन मुझे Ix और Wx नहीं मिल रहे हैं। तथ्य यह है कि यह मानक नहीं है, मैं इसे स्वयं बनाऊंगा, लकड़ी से। क्या आप मेरी मदद कर सकते हैं? मैं भुगतान करूंगा। केवल मैं इलेक्ट्रॉनिक माध्यम से भुगतान नहीं कर पाऊंगा। मुझे नहीं पता कि इसका उपयोग कैसे करना है।

21-03-2017: डॉ लोम

इगोर, मैंने तुम्हें एक पत्र भेजा है।

30-08-2017: अली

प्रिय डॉक्टर, मैं आपको शुभकामनाएं देता हूं। कृपया मदद करें, निम्नलिखित अनुभागों के बीम की ताकत का चयन और परीक्षण करने के लिए कौन से सूत्रों की आवश्यकता है: चैनल, कोण और बल्ब प्रोफ़ाइल, प्रतिरोध का अनुमेय क्षण W = 58.58cm3। आपका बहुत-बहुत धन्यवाद और आपकी मदद की आशा है।

31-08-2017: डॉ लोम

लेख "एसपी 16.13330.2011 के अनुसार झुकने में टिका समर्थन के साथ एकल-स्पैन स्टील बीम की गणना" देखें, वहां सब कुछ पर्याप्त विस्तार से वर्णित है।

13-11-2017: अब्दुअहद

नमस्ते, कृपया मुझे बताएं कि क्यूएल ^ 2/8 को 8 से क्यों विभाजित किया जाता है और कभी-कभी हम 6 और 24 से विभाजित क्यों करते हैं, आदि। कृपया मुझे बताएं, लेकिन मुझे यह समझ में नहीं आया

जड़त्व का अक्षीय क्षण प्रारंभिक क्षेत्रों के उत्पादों के योग और संबंधित अक्ष की दूरी के वर्ग के बराबर है।

(8)

चिन्ह हमेशा "+" होता है।

0 के बराबर नहीं है.

संपत्ति:यह न्यूनतम मान लेता है जब निर्देशांक अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ मेल खाता है।

अनुभाग की जड़ता का अक्षीय क्षण ताकत, कठोरता और स्थिरता की गणना में उपयोग किया जाता है।

1.3. खंड Jρ की जड़ता का ध्रुवीय क्षण

(9)

जड़ता के ध्रुवीय और अक्षीय क्षणों के बीच संबंध:

(10)

(11)

अनुभाग की जड़ता का ध्रुवीय क्षण अक्षीय क्षणों के योग के बराबर है।

संपत्ति:

जब अक्षों को किसी भी दिशा में घुमाया जाता है, तो जड़त्व का एक अक्षीय क्षण बढ़ता है, जबकि दूसरा घटता है (और इसके विपरीत)। जड़त्व के अक्षीय क्षणों का योग स्थिर रहता है।

1.4. अनुभाग Jxy की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण

अनुभाग की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण दोनों अक्षों की दूरी द्वारा प्रारंभिक क्षेत्रों के उत्पादों के योग के बराबर है

(12)

माप की इकाई [सेमी 4 ], [मिमी 4]।

"+" या "-" चिन्ह.

, यदि निर्देशांक अक्ष समरूपता के अक्ष हैं (उदाहरण - आई-बीम, आयत, वृत्त), या समन्वय अक्षों में से एक समरूपता के अक्ष (उदाहरण - चैनल) के साथ मेल खाता है।

इस प्रकार, सममित आकृतियों के लिए, जड़त्व का केन्द्रापसारक क्षण 0 है।

समायोजन ध्रुव यू और वी , अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरना, जिसके सापेक्ष केन्द्रापसारक क्षण शून्य है, कहलाते हैं अनुभाग की जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्ष।उन्हें मुख्य कहा जाता है क्योंकि उनके सापेक्ष केन्द्रापसारक क्षण शून्य है, और केंद्रीय क्योंकि वे अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरते हैं।

उन अनुभागों के लिए जिनमें अक्षों के बारे में समरूपता नहीं है एक्स या य , उदाहरण के लिए कोने पर, शून्य नहीं होगा. इन वर्गों के लिए अक्षों की स्थिति निर्धारित करें यू और वी अक्षों के घूर्णन कोण की गणना करके एक्स और य

(13)

अक्षों के बारे में केन्द्रापसारक क्षण यू और वी -

मुख्य केंद्रीय अक्षों के बारे में जड़ता के अक्षीय क्षणों को निर्धारित करने का सूत्र यू और वी :

(14)

कहाँ
- केंद्रीय अक्षों के बारे में जड़ता के अक्षीय क्षण,

- केंद्रीय अक्षों के बारे में जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण।

1.5. केंद्रीय धुरी के समानांतर एक अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण (स्टाइनर का प्रमेय)

स्टीनर का प्रमेय:

केंद्रीय एक के समानांतर एक अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण जड़ता के केंद्रीय अक्षीय क्षण के साथ-साथ संपूर्ण आकृति के क्षेत्र और अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग के उत्पाद के बराबर है।

(15)

स्टीनर के प्रमेय का प्रमाण.

अंजीर के अनुसार. 5 दूरी पर प्राथमिक मंच पर डीएफ

प्रतिस्थापन मूल्य परसूत्र में, हमें मिलता है:

अवधि
, चूँकि बिंदु C अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है (केंद्रीय अक्षों के संबंध में अनुभाग क्षेत्र के स्थिर क्षणों की संपत्ति देखें)।

ऊंचाई वाले एक आयत के लिएएच और चौड़ाईबी :

जड़त्व का अक्षीय क्षण:

बेंडिंग मोमेंट:

झुकने के प्रतिरोध का क्षण जड़ता के क्षण और तटस्थ रेखा से सबसे दूर के फाइबर की दूरी के अनुपात के बराबर है:

क्योंकि
, वह

सर्कल के लिए:

जड़ता का ध्रुवीय क्षण:

जड़त्व का अक्षीय क्षण:

मरोड़ वाला क्षण:

क्योंकि
, वह

बेंडिंग मोमेंट:

उदाहरण 2. केंद्रीय अक्ष के बारे में एक आयताकार खंड की जड़ता का क्षण निर्धारित करें साथ एक्स .

समाधान। आयत के क्षेत्रफल को आयामों के साथ प्राथमिक आयतों में विभाजित करें बी (चौड़ाई) और डीवाई (ऊंचाई)। फिर ऐसे आयत का क्षेत्रफल (चित्र 6 में छायांकित) के बराबर है डीएफ=bdy. जड़त्व के अक्षीय क्षण के मान की गणना करें जे एक्स

सादृश्य से, हम लिखते हैं

- केंद्रीय के सापेक्ष अनुभाग की जड़ता का अक्षीय क्षण

जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण

, कुल्हाड़ियों के बाद से साथ एक्स और सी य समरूपता की धुरी हैं.

उदाहरण 3. एक वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट का ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए वृत्त को मोटाई के अनंत पतले छल्लों में तोड़ें
RADIUS , ऐसी अंगूठी का क्षेत्रफल
. प्रतिस्थापन मूल्य
जड़ता के ध्रुवीय क्षण के लिए अभिव्यक्ति में एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं

वृत्ताकार क्रॉस सेक्शन के अक्षीय क्षणों की समानता पर विचार करना
और

, हम पाते हैं

वलय के लिए जड़त्व के अक्षीय क्षण हैं

साथकटआउट व्यास और शाफ्ट के बाहरी व्यास का अनुपात है।

व्याख्यान संख्या 2 "प्रिंसिपल एक्सिस औरपर प्रकाश डाला गयाजड़ता

विचार करें कि जब निर्देशांक अक्षों को घुमाया जाता है तो जड़ता के क्षण कैसे बदलते हैं। आइए मान लें कि अक्षों के बारे में एक निश्चित खंड की जड़ता के क्षण 0 हैं एक्स, 0पर(जरूरी नहीं कि केंद्रीय) - ,- अनुभाग की जड़ता के अक्षीय क्षण. परिभाषित करना आवश्यक है ,- अक्षों के सापेक्ष अक्षीय क्षण यू,वी, एक कोण द्वारा पहली प्रणाली के सापेक्ष घुमाया गया
(चित्र 8)

चूँकि टूटी हुई रेखा OABS का प्रक्षेपण समापन रेखा के प्रक्षेपण के बराबर है, हम पाते हैं:

(15)

आइए हम जड़त्व के क्षणों के लिए व्यंजकों में u और v को हटा दें:

(18)

पहले दो समीकरणों पर विचार करें. उन्हें पद दर पद जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

इस प्रकार, दो परस्पर लंबवत अक्षों के बारे में जड़त्व के अक्षीय क्षणों का योग कोण पर निर्भर नहीं करता है
और अक्षों के घूमने पर स्थिर रहता है। आइए हम उसी समय ध्यान दें

कहाँ - निर्देशांक की उत्पत्ति से प्रारंभिक क्षेत्र तक की दूरी (चित्र 5 देखें)। इस प्रकार

कहाँ - जड़ता का ध्रुवीय क्षण पहले से ही हमसे परिचित है:

आइए हम व्यास के सापेक्ष वृत्त की जड़ता का अक्षीय क्षण निर्धारित करें।

चूँकि, समरूपता के कारण
लेकिन, जैसा कि आप जानते हैं,

इसलिए, वृत्त के लिए

अक्षों के घूर्णन के कोण में परिवर्तन के साथ
पल मान और परिवर्तन, लेकिन राशि वही रहती है। इसलिए, ऐसा मूल्य है
, जिस पर जड़ता का एक क्षण अपने अधिकतम मान पर पहुँच जाता है, जबकि दूसरा क्षण अपना न्यूनतम मान ले लेता है। अभिव्यक्ति को अलग करना कोण से
और व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करने पर, हम पाते हैं

(19)

इस कोण मान के साथ
एक अक्षीय क्षण सबसे बड़ा और दूसरा सबसे छोटा होगा। उसी समय, जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण
गायब हो जाता है, जिसे जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण के सूत्र को शून्य के बराबर करके आसानी से सत्यापित किया जा सकता है
.

वे अक्ष जिनके बारे में जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण शून्य है, और अक्षीय क्षण चरम मान लेते हैं, कहलाते हैं मुख्यकुल्हाड़ियाँयदि वे भी केंद्रीय हैं (उत्पत्ति का बिंदु अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ मेल खाता है), तो उन्हें कहा जाता है मुख्य केंद्रीय अक्ष (यू; वी). मुख्य अक्षों के परितः जड़त्व के अक्षीय आघूर्ण कहलाते हैं जड़ता के मुख्य क्षणऔर

और उनका मूल्य निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

(20)

धन चिह्न जड़ता के अधिकतम क्षण से मेल खाता है, ऋण चिह्न - न्यूनतम से।

एक और ज्यामितीय विशेषता है - आवर्तन का अर्ध व्यास अनुभाग. यह मान अक्सर सैद्धांतिक निष्कर्षों और व्यावहारिक गणनाओं में उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, किसी अक्ष के सापेक्ष अनुभाग के परिभ्रमण की त्रिज्या 0 एक्स , मात्रा कहलाती है , समानता से निर्धारित होता है

(21)

एफ - संकर अनुभागीय क्षेत्र,

- अनुभाग की जड़ता का अक्षीय क्षण,

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि परिभ्रमण की त्रिज्या अक्ष 0 से दूरी के बराबर है एक्सउस बिंदु पर जहां (सशर्त रूप से) अनुभागीय क्षेत्र एफ को केंद्रित किया जाना चाहिए ताकि इस एक बिंदु की जड़ता का क्षण पूरे खंड की जड़ता के क्षण के बराबर हो। खंड और उसके क्षेत्र की जड़ता के क्षण को जानकर, हम अक्ष 0 के बारे में जड़ता की त्रिज्या पा सकते हैं एक्स:

(22)

मुख्य अक्षों के अनुरूप जड़त्व की त्रिज्याएँ कहलाती हैं जड़त्व की मुख्य त्रिज्याऔर सूत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं

(23)

व्याख्यान 3. गोल छड़ों का मरोड़।

यदि m = 1, n = 1, तो हमें विशेषता प्राप्त होती है

जिसे कहा जाता है जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण.

जड़ता का केन्द्रापसारक क्षणनिर्देशांक अक्षों के सापेक्ष - प्रारंभिक क्षेत्रों के उत्पादों का योग दाइन अक्षों से उनकी दूरी पर, पूरे क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र पर कब्जा कर लिया गया ए.

यदि कुल्हाड़ियों में से कम से कम एक यया जेडअनुभाग की समरूपता की धुरी है, इन अक्षों के संबंध में ऐसे अनुभाग की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण शून्य के बराबर है (क्योंकि इस मामले में प्रत्येक सकारात्मक मूल्य z y डीएहम अनुभाग की समरूपता के अक्ष के दूसरी ओर बिल्कुल समान, लेकिन नकारात्मक, मिलान कर सकते हैं, चित्र देखें)।

आइए अतिरिक्त ज्यामितीय विशेषताओं पर विचार करें जिन्हें सूचीबद्ध बुनियादी विशेषताओं से प्राप्त किया जा सकता है और अक्सर ताकत और कठोरता की गणना में भी उपयोग किया जाता है।

जड़ता का ध्रुवीय क्षण

जड़ता का ध्रुवीय क्षण जेपीविशेषता को बुलाओ

दूसरी ओर,

जड़ता का ध्रुवीय क्षण(किसी दिए गए बिंदु के संबंध में) प्रारंभिक क्षेत्रों के उत्पादों का योग है दाउनकी दूरियों के वर्गों तक इस बिंदु तक, संपूर्ण क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र पर कब्ज़ा कर लिया गया ए.

जड़त्व के क्षणों का आयाम SI में m 4 है।

प्रतिरोध का क्षण

प्रतिरोध का क्षणकिसी अक्ष के सापेक्ष - दूरी से विभाजित समान अक्ष के सापेक्ष जड़ता के क्षण के बराबर मान ( ymaxया ज़मैक्स) इस अक्ष से सबसे दूर बिंदु तक

प्रतिरोध के क्षणों का आयाम SI में m3 है।

जड़त्व की त्रिज्या

जड़त्व की त्रिज्याकिसी अक्ष के संबंध में अनुभाग, संबंध से निर्धारित मान कहलाता है:

एसआई प्रणाली में घुमाव की त्रिज्या एम में व्यक्त की जाती है।

टिप्पणी:आधुनिक संरचनाओं के तत्वों के अनुभाग अक्सर लोचदार विरूपण के लिए विभिन्न प्रतिरोधों के साथ सामग्रियों की एक निश्चित संरचना का प्रतिनिधित्व करते हैं, जैसा कि भौतिकी के पाठ्यक्रम से जाना जाता है, यंग का मापांक इ. एक अमानवीय अनुभाग के सबसे सामान्य मामले में, यंग का मापांक अनुभाग के बिंदुओं के निर्देशांक का एक निरंतर कार्य है, अर्थात। ई = ई(जेड, वाई). इसलिए, एक खंड की कठोरता जो लोचदार गुणों के संदर्भ में अमानवीय है, एक सजातीय खंड की ज्यामितीय विशेषताओं, अर्थात् लोचदार-ज्यामितीय प्रकार की तुलना में अधिक जटिल विशेषताओं की विशेषता है।

2.2. सरल आकृतियों की ज्यामितीय विशेषताओं की गणना

आयताकार खंड

अक्ष के परितः आयत का अक्षीय जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए जेड. हम आयत के क्षेत्रफल को आयामों वाले प्राथमिक क्षेत्रों में विभाजित करते हैं बी(चौड़ाई) और डीवाई(ऊंचाई)। तब ऐसे प्राथमिक आयत (छायांकित) का क्षेत्रफल बराबर होता है डीए = बी डाई. प्रतिस्थापन मूल्य दापहले सूत्र में, हम पाते हैं

सादृश्य से, हम अक्ष के बारे में अक्षीय क्षण लिखते हैं पर:

आयत के प्रतिरोध के अक्षीय क्षण:

;

इसी प्रकार, अन्य सरल आकृतियों के लिए ज्यामितीय विशेषताएँ प्राप्त की जा सकती हैं।

गोल खंड

सबसे पहले इसे ढूंढना सुविधाजनक है जड़ता का ध्रुवीय क्षण जे पी।

फिर, इसे एक वृत्त के रूप में मानते हुए जेज़ = जे, ए जे पी = जे जेड + जे वाई, खोजो जज़ =जे = जेपी / 2.

आइए वृत्त को मोटाई के अनंत छोटे-छोटे छल्लों में तोड़ें dρऔर त्रिज्या ρ ; ऐसी अंगूठी का क्षेत्रफल दा = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ. के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना दाके लिए अभिव्यक्ति में जेपीऔर एकीकृत करने पर, हमें मिलता है

2.3. समानांतर अक्षों के बारे में जड़त्व के क्षणों की गणना

जेडऔर य:

"नए" अक्षों के सापेक्ष इस खंड की जड़ता के क्षणों को निर्धारित करना आवश्यक है जेड 1और य 1, केंद्रीय लोगों के समानांतर और उनसे कुछ दूरी से अलग एऔर बीक्रमश:

"नई" समन्वय प्रणाली में किसी भी बिंदु के निर्देशांक ज़ेड 1 0 1 वाई 1"पुराने" अक्षों में निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है जेडऔर यइसलिए:

कुल्हाड़ियों के बाद से जेडऔर य- केंद्रीय, फिर स्थिर क्षण Sz = 0.

अंत में, हम अक्षों के समानांतर अनुवाद के लिए "संक्रमण" सूत्र लिख सकते हैं:

ध्यान दें कि निर्देशांक एऔर बीउनके चिह्न (समन्वय प्रणाली में) को ध्यान में रखते हुए प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए ज़ेड 1 0 1 वाई 1).

2.4. निर्देशांक अक्षों को घुमाते समय जड़ता के क्षणों की गणना

केंद्रीय अक्षों के बारे में एक मनमाने खंड की जड़ता के क्षण ज्ञात होने दें जेड, वाई:

; ;

आइए अक्षों को घुमाएँ जेड, यकोने पर α इस दिशा में अक्षों के घूर्णन के कोण को सकारात्मक मानते हुए, वामावर्त।

"नए" (घूर्णित) अक्षों के सापेक्ष जड़ता के क्षणों को निर्धारित करना आवश्यक है जेड 1और य 1:

प्राथमिक साइट निर्देशांक दा"नई" समन्वय प्रणाली में z 1 0y 1"पुराने" अक्षों में निर्देशांक के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

हम इन मानों को "नए" अक्षों में जड़ता के क्षणों के लिए सूत्रों में प्रतिस्थापित करते हैं और शब्द दर शब्द एकीकृत करते हैं:

बाकी अभिव्यक्तियों के साथ समान परिवर्तन करने के बाद, हम अंततः समन्वय अक्षों को घुमाने पर "संक्रमण" सूत्र लिखेंगे:

ध्यान दें कि यदि हम पहले दो समीकरण जोड़ते हैं, तो हमें मिलता है

यानी, जड़त्व का ध्रुवीय क्षण मात्रा है अचल(दूसरे शब्दों में, जब निर्देशांक अक्ष घुमाए जाते हैं तो अपरिवर्तित रहता है)।

2.5. प्रमुख अक्ष और जड़त्व के प्रमुख क्षण

अब तक, एक मनमाना समन्वय प्रणाली में अनुभागों की ज्यामितीय विशेषताओं पर विचार किया गया है, हालांकि, सबसे बड़ी व्यावहारिक रुचि समन्वय प्रणाली है जिसमें अनुभाग को कम से कम ज्यामितीय विशेषताओं द्वारा वर्णित किया गया है। ऐसी "विशेष" समन्वय प्रणाली अनुभाग के प्रमुख अक्षों की स्थिति द्वारा दी जाती है। आइए अवधारणाओं का परिचय दें: मुख्य अक्षऔर जड़ता के मुख्य क्षण.

मुख्य अक्ष- दो परस्पर लंबवत अक्ष, जिसके सापेक्ष जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण शून्य के बराबर होता है, जबकि जड़ता के अक्षीय क्षण चरम मान (अधिकतम और न्यूनतम) लेते हैं।

अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण केंद्र से गुजरने वाली प्रमुख अक्षों को कहा जाता है मुख्य केंद्रीय अक्ष.

मुख्य अक्षों के सापेक्ष जड़त्व के क्षण कहलाते हैं जड़ता के प्रमुख क्षण.

मुख्य केंद्रीय अक्षों को आमतौर पर अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है यूऔर वी; जड़ता के मुख्य क्षण जे यूऔर जे वी(एक-प्राथमिकता जे उव = 0).

हम ऐसे भाव प्राप्त करते हैं जो हमें मुख्य अक्षों की स्थिति और जड़ता के मुख्य क्षणों के परिमाण का पता लगाने की अनुमति देते हैं। जानते हुए भी जे उव= 0, हम समीकरण (2.3) का उपयोग करते हैं:

कोना α 0 किसी भी केंद्रीय अक्ष के सापेक्ष मुख्य अक्षों की स्थिति निर्धारित करता है जेडऔर य. कोना α 0 अक्ष के बीच जमा हुआ जेडऔर अक्ष यूऔर वामावर्त दिशा में सकारात्मक माना जाता है।

ध्यान दें कि यदि अनुभाग में समरूपता की धुरी है, तो, जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण की संपत्ति के अनुसार (धारा 2.1, आइटम 4 देखें), ऐसी धुरी हमेशा अनुभाग की मुख्य धुरी होगी।

कोने को छोड़कर α अभिव्यक्ति (2.1) और (2.2) में (2.4) का उपयोग करते हुए, हम जड़ता के मुख्य अक्षीय क्षणों को निर्धारित करने के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

आइए नियम लिखें: अधिकतम अक्ष हमेशा अक्षों (z या y) के साथ एक छोटा कोण बनाता है, जिसके सापेक्ष जड़ता के क्षण का मान अधिक होता है।

2.6. क्रॉस सेक्शन के तर्कसंगत रूप

सीधे झुकने में बीम क्रॉस सेक्शन के एक मनमाना बिंदु पर सामान्य तनाव सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

, (2.5)

कहाँ एमविचारित क्रॉस सेक्शन में झुकने का क्षण है; परझुकने वाले क्षण की क्रिया के तल के लंबवत मुख्य केंद्रीय अक्ष तक विचारित बिंदु से दूरी है; जे एक्सअनुभाग की जड़ता का मुख्य केंद्रीय क्षण है।

किसी दिए गए क्रॉस सेक्शन में सबसे बड़ा तन्य और संपीड़ित सामान्य तनाव तटस्थ अक्ष से सबसे दूर के बिंदुओं पर होता है। वे सूत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं:

; ,

कहाँ 1और दो पर- मुख्य केंद्रीय अक्ष से दूरी एक्ससबसे बाहरी फैले हुए और संकुचित तंतुओं तक।

प्लास्टिक सामग्री से बने बीम के लिए, जब [σ p ] = [σ c ] ([σ p ], [σ c ] क्रमशः तनाव और संपीड़न में बीम सामग्री के लिए स्वीकार्य तनाव हैं), ऐसे अनुभागों का उपयोग किया जाता है जो सममित होते हैं केंद्रीय अक्ष. इस मामले में, ताकत की स्थिति का रूप है:

≤ [σ], (2.6)

कहाँ डब्ल्यू एक्स = जे एक्स / वाई अधिकतम- मुख्य केंद्रीय अक्ष के सापेक्ष बीम के क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र के प्रतिरोध का क्षण; ymax = एच/2(एच- अनुभाग ऊंचाई); एम अधिकतम- झुकने के क्षण का सबसे बड़ा निरपेक्ष मूल्य; [σ] - सामग्री का स्वीकार्य झुकने वाला तनाव।

मजबूती की स्थिति के अलावा, बीम को अर्थव्यवस्था की स्थिति को भी पूरा करना होगा। सबसे किफायती वे क्रॉस-अनुभागीय आकार हैं जिनके लिए, कम से कम सामग्री खपत (या सबसे छोटे क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र के साथ) के साथ, प्रतिरोध के क्षण का सबसे बड़ा मूल्य प्राप्त होता है। अनुभाग के आकार को तर्कसंगत बनाने के लिए, यदि संभव हो तो, अनुभाग को मुख्य केंद्रीय अक्ष से दूर वितरित करना आवश्यक है।

उदाहरण के लिए, एक मानक आई-बीम एक ही सामग्री से बने समान क्षेत्र के एक वर्ग क्रॉस-सेक्शन बीम की तुलना में लगभग सात गुना अधिक मजबूत और तीस गुना अधिक कठोर होता है।

यह ध्यान में रखना चाहिए कि जब अनुभाग की स्थिति अभिनय भार के संबंध में बदलती है, तो बीम की ताकत में काफी बदलाव होता है, हालांकि अनुभाग क्षेत्र अपरिवर्तित रहता है। इसलिए, अनुभाग को तैनात किया जाना चाहिए ताकि बल की रेखा मुख्य अक्षों के साथ मेल खाए, जिसके सापेक्ष जड़ता का क्षण न्यूनतम हो। इसे बीम को उसकी सबसे बड़ी कठोरता के तल में मोड़ने का प्रयास करना चाहिए।

मैं = ∑r मैं 2 dF i =∫r 2 dF (1.1)

सिद्धांत रूप में, इसका वर्णन करने वाली परिभाषा और सूत्र दोनों जटिल नहीं हैं और इसकी तह तक जाने की तुलना में उन्हें याद रखना बहुत आसान है। लेकिन फिर भी आइए यह जानने का प्रयास करें कि जड़ता का क्षण क्या है और यह कहां से आया है।

जड़ता के क्षण की अवधारणा भौतिक विज्ञान की एक अन्य शाखा से सामग्री और संरचनात्मक यांत्रिकी की शक्ति में आई, जो विशेष रूप से घूर्णी गति में गति की गतिकी का अध्ययन करती है। लेकिन फिर भी, चलो दूर से शुरू करें।

मैं निश्चित रूप से नहीं जानता कि एक सेब आइजैक न्यूटन के सिर पर गिरा, या उसके बगल में गिरा, या बिल्कुल नहीं गिरा, संभाव्यता सिद्धांत इन सभी विकल्पों की अनुमति देता है (इसके अलावा, इस सेब में बाइबिल से बहुत कुछ है) ज्ञान के वृक्ष की किंवदंती), लेकिन मुझे यकीन है कि न्यूटन एक पर्यवेक्षक व्यक्ति था, जो अपनी टिप्पणियों से निष्कर्ष निकालने में सक्षम था। इसलिए अवलोकन और कल्पना ने न्यूटन को गतिकी का मूल नियम (न्यूटन का दूसरा नियम) बनाने की अनुमति दी, जिसके अनुसार किसी पिंड का द्रव्यमान एमत्वरण से गुणा किया गया ए, अभिनय बल के बराबर है क्यू(वास्तव में, पदनाम एफ बल से अधिक परिचित है, लेकिन चूंकि हम उस क्षेत्र से आगे निपटेंगे, जिसे अक्सर एफ के रूप में भी दर्शाया जाता है, मैं बाहरी बल के लिए उपयोग करता हूं, जिसे सैद्धांतिक यांत्रिकी में एक केंद्रित भार के रूप में माना जाता है, पदनाम क्यू , मामले का सार यह नहीं बदलता है):

क्यू=मा (1.2)

मेरे लिए, न्यूटन की महानता इस परिभाषा की सरलता और स्पष्टता में निहित है। और साथ ही, अगर हम इस बात को ध्यान में रखें कि समान रूप से त्वरित गति के साथ, त्वरण एगति वृद्धि के अनुपात के बराबर ΔVसमय अवधि के लिए Δt, जिसके लिए गति बदल गई है:

ए \u003d Δv / Δt \u003d (v - v o) / t (1.3.1)

वी ओ = 0 पर ए = वी/टी (1.3.2)

तब आप गति के बुनियादी मापदंडों, जैसे दूरी, गति, समय और यहां तक ​​कि गति को भी निर्धारित कर सकते हैं आरगति की मात्रा का वर्णन:

पी=एमवी (1.4)

उदाहरण के लिए, अकेले गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में अलग-अलग ऊंचाइयों से गिरने वाला एक सेब अलग-अलग समय पर जमीन पर गिरेगा, लैंडिंग के समय उसकी गति अलग-अलग होगी और, तदनुसार, अलग-अलग गति होगी। दूसरे शब्दों में, अधिक ऊंचाई से गिरने वाला सेब अधिक देर तक उड़ेगा और बदकिस्मत प्रेक्षक के माथे पर अधिक जोर से टूटेगा। और न्यूटन ने इस सब को एक सरल और समझने योग्य सूत्र में बदल दिया।

और न्यूटन ने जड़त्व का नियम (न्यूटन का पहला नियम) तैयार किया: यदि त्वरण ए = 0, तो जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में यह निर्धारित करना असंभव है कि क्या मनाया गया शरीर, जो बाहरी ताकतों से प्रभावित नहीं है, आराम की स्थिति में है या एक स्थिर गति के साथ एक सीधी रेखा में चलता है। भौतिक पिंडों का अपनी गति बनाए रखने का यह गुण, चाहे वह शून्य ही क्यों न हो, जड़त्व कहलाता है। जड़त्व का माप पिंड का जड़त्व द्रव्यमान है। कभी-कभी जड़त्वीय द्रव्यमान को जड़त्वीय कहा जाता है, लेकिन इससे पदार्थ का सार नहीं बदलता है। ऐसा माना जाता है कि जड़त्व द्रव्यमान गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान के बराबर होता है, और इसलिए अक्सर यह निर्दिष्ट नहीं किया जाता है कि किस प्रकार के द्रव्यमान का मतलब है, लेकिन केवल शरीर के द्रव्यमान का उल्लेख किया गया है।

न्यूटन का तीसरा नियम भी कम महत्वपूर्ण और सार्थक नहीं है, जिसके अनुसार यदि बलों को एक सीधी रेखा में, लेकिन विपरीत दिशाओं में निर्देशित किया जाता है, तो क्रिया बल प्रतिक्रिया बल के बराबर होता है। स्पष्ट सरलता के बावजूद, न्यूटन का यह निष्कर्ष सरल है और इस नियम के महत्व को शायद ही कम करके आंका जा सकता है। नीचे इस कानून के एक अनुप्रयोग के बारे में बताया गया है।

हालाँकि, ये प्रावधान केवल आगे बढ़ने वाले निकायों के लिए मान्य हैं, अर्थात। एक सीधारेखीय प्रक्षेपवक्र के साथ और एक ही समय में ऐसे पिंडों के सभी भौतिक बिंदु समान गति या समान त्वरण के साथ चलते हैं। वक्रीय गति के साथ और विशेष रूप से घूर्णी गति के साथ, उदाहरण के लिए, जब कोई पिंड अपनी समरूपता की धुरी के चारों ओर घूमता है, तो ऐसे पिंड के भौतिक बिंदु समान कोणीय वेग के साथ अंतरिक्ष में चलते हैं डब्ल्यू, लेकिन रैखिक वेग वीअलग-अलग बिंदु अलग-अलग होंगे और यह रैखिक गति दूरी के सीधे आनुपातिक है आरघूर्णन अक्ष से इस बिंदु तक:

v=wr (1.5)

इस मामले में, कोणीय वेग घूर्णन कोण वृद्धि के अनुपात के बराबर है Δφ समय अवधि के लिए Δt, जिसके लिए घूर्णन का कोण बदल गया है:

w = Δφ / Δt = (φ - φ o) / t (1.6.1)

φ o = 0 पर डब्ल्यू = φ/टी (1.7.2)

क्रमशः सामान्य त्वरण एकघूर्णन के दौरान इसके बराबर है:

ए एन = वी 2 / आर = डब्ल्यू 2 आर (1.8)

और यह पता चला है कि घूर्णी गति के लिए हम सीधे सूत्र (1.2) का उपयोग नहीं कर सकते हैं, क्योंकि घूर्णी गति के दौरान अकेले शरीर के द्रव्यमान का मूल्य पर्याप्त नहीं है, शरीर में इस द्रव्यमान के वितरण को जानना भी आवश्यक है। इससे पता चलता है कि पिंड के भौतिक बिंदु घूर्णन अक्ष के जितने करीब होंगे, पिंड को घुमाने के लिए उतना ही कम बल लगाने की आवश्यकता होगी और इसके विपरीत, पिंड के भौतिक बिंदु घूर्णन अक्ष से उतने ही दूर होंगे, पिंड को घुमाने के लिए उतना ही अधिक बल लगाना होगा (इस मामले में हम उसी बिंदु पर बल लगाने के बारे में बात कर रहे हैं)। इसके अलावा, जब शरीर घूमता है, तो अभिनय बल नहीं, बल्कि टोक़ पर विचार करना अधिक सुविधाजनक होता है, क्योंकि घूर्णी गति के दौरान बल के अनुप्रयोग का बिंदु भी बहुत महत्वपूर्ण होता है।

क्षण के अद्भुत गुणों को हम आर्किमिडीज़ के समय से जानते हैं, और यदि हम क्षण की अवधारणा को घूर्णी गति पर लागू करते हैं, तो क्षण का मूल्य एमदूरी जितनी अधिक होगी उतनी अधिक होगी आरघूर्णन के अक्ष से बल के अनुप्रयोग के बिंदु तक एफ(संरचनात्मक यांत्रिकी में, एक बाहरी बल को अक्सर इस रूप में दर्शाया जाता है आरया क्यू):

एम = क्यूआर (1.9)

इस बहुत जटिल सूत्र से यह भी पता चलता है कि यदि बल को घूर्णन की धुरी के साथ लगाया जाता है, तो कोई घूर्णन नहीं होगा, क्योंकि r \u003d 0, और यदि बल को घूर्णन की धुरी से अधिकतम दूरी पर लगाया जाता है, तब क्षण का मान अधिकतम होगा. और यदि हम सूत्र (1.9) में सूत्र (1.2) से बल का मान और सामान्य त्वरण और सूत्र (1.8) का मान प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

एम = एमडब्लू 2 आर आर = एमडब्लू 2 आर 2 (1.10)

विशेष मामले में जब पिंड एक भौतिक बिंदु है, जिसके आयाम इस बिंदु से घूर्णन अक्ष की दूरी से बहुत छोटे हैं, तो समीकरण (1.10) अपने शुद्ध रूप में लागू होता है। हालाँकि, समरूपता के अपने अक्षों में से एक के चारों ओर घूमने वाले शरीर के लिए, इस शरीर को बनाने वाले प्रत्येक भौतिक बिंदु से दूरी हमेशा शरीर के ज्यामितीय आयामों में से एक से कम होती है, और इसलिए शरीर के द्रव्यमान का वितरण बहुत महत्वपूर्ण है, इस मामले में प्रत्येक बिंदु के लिए इन दूरियों को अलग से ध्यान में रखना आवश्यक है:

एम = ∑आर आई 2 डब्ल्यू 2 एम मैं (1.11.1)

एम सी = डब्ल्यू 2 ∫आर 2 डीएम

और फिर यह पता चला कि न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, एक टोक़ की कार्रवाई के जवाब में, जड़ता का तथाकथित क्षण उत्पन्न होगा मैं. इस मामले में, टोक़ और जड़ता के क्षण का मान बराबर होगा, और क्षण स्वयं विपरीत दिशाओं में निर्देशित होते हैं। घूर्णन के निरंतर कोणीय वेग पर, उदाहरण के लिए w = 1, जड़ता के टॉर्क या क्षण को दर्शाने वाली मुख्य मात्रा शरीर को बनाने वाले भौतिक बिंदुओं का द्रव्यमान और इन बिंदुओं से रोटेशन की धुरी तक की दूरी होगी। परिणामस्वरूप, जड़ता के क्षण का सूत्र निम्नलिखित रूप लेगा:

[- एम] = आई = ∑आर आई 2 मीटर मैं (1.12.1)

मैं सी = ∫r 2 डीएम(1.11.2) - जब शरीर समरूपता के अक्ष के चारों ओर घूमता है

कहाँ मैं- जड़ता के क्षण का आम तौर पर स्वीकृत पदनाम, मैं सी- शरीर की जड़ता के अक्षीय क्षण का पदनाम, किग्रा / मी 2। समान घनत्व वाले सजातीय पिंड के लिए ρ पूरे शरीर में वीकिसी पिंड के जड़त्व के अक्षीय आघूर्ण का सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है:

मैं सी = ∫ρr 2 डीवी (1.13)

इस प्रकार, जड़ता का क्षण घूर्णी गति के दौरान किसी पिंड की जड़ता का एक माप है, जैसे द्रव्यमान अनुवादात्मक सीधी गति के दौरान किसी पिंड की जड़ता का एक माप है।

पूरा घेरा बंद है. और यहां यह सवाल उठ सकता है कि गतिकी और गतिकी के इन सभी नियमों का स्थैतिक भवन संरचनाओं की गणना से क्या लेना-देना है? यह पता चला है कि इनमें से कोई भी सबसे प्रत्यक्ष और तत्काल नहीं है। सबसे पहले, क्योंकि ये सभी सूत्र उन दूर के समय में भौतिकविदों और गणितज्ञों द्वारा प्राप्त किए गए थे, जब "सैद्धांतिक यांत्रिकी" या "सामग्री की ताकत का सिद्धांत" जैसे अनुशासन बस मौजूद नहीं थे। और दूसरी बात, क्योंकि भवन संरचनाओं की पूरी गणना संकेतित कानूनों और योगों और गुरुत्वाकर्षण और जड़त्वीय द्रव्यमान की समानता के दावे के आधार पर की गई है, जिसका अभी तक किसी ने खंडन नहीं किया है। यह सिर्फ सामग्री की ताकत के सिद्धांत में है, यह अभी भी आसान है, चाहे यह कितना भी विरोधाभासी क्यों न लगे।

और यह सरल है क्योंकि कुछ समस्याओं को हल करते समय, पूरे शरीर पर विचार नहीं किया जा सकता है, बल्कि केवल इसके क्रॉस सेक्शन और, यदि आवश्यक हो, तो कई क्रॉस सेक्शन पर विचार किया जा सकता है। लेकिन इन वर्गों में समान भौतिक शक्तियाँ कार्य करती हैं, हालाँकि उनकी प्रकृति थोड़ी भिन्न होती है। इस प्रकार, यदि हम एक निश्चित पिंड पर विचार करते हैं, जिसकी लंबाई स्थिर है, और शरीर स्वयं सजातीय है, तो यदि हम स्थिर मापदंडों - लंबाई और घनत्व को ध्यान में नहीं रखते हैं ( एल = स्थिरांक, ρ = स्थिरांक) - हमें एक क्रॉस सेक्शन मॉडल मिलेगा। ऐसे क्रॉस सेक्शन के लिए, गणितीय दृष्टिकोण से, समीकरण मान्य होगा:

मैं पी = ∫r 2 डीएफ (2.1) → (1.1)

कहाँ आईपी- क्रॉस सेक्शन की जड़ता का ध्रुवीय क्षण, एम 4। परिणामस्वरूप, हमें वह सूत्र मिल गया जिसके साथ हमने शुरुआत की थी (लेकिन मुझे नहीं पता कि क्या यह स्पष्ट हो गया कि किसी अनुभाग की जड़ता का क्षण क्या है)।

चूँकि आयताकार खंडों को अक्सर सामग्रियों की ताकत के सिद्धांत में माना जाता है, और एक आयताकार समन्वय प्रणाली अधिक सुविधाजनक होती है, समस्याओं को हल करते समय क्रॉस सेक्शन की जड़ता के दो अक्षीय क्षणों पर आमतौर पर विचार किया जाता है:

Iz = ∫y 2dF (2.2.1)

मैं y = ∫z 2dF (2.2.2)

चित्र 1. जड़ता के अक्षीय क्षणों का निर्धारण करते समय मूल्यों का समन्वय करें।

यहां यह प्रश्न उठ सकता है कि कुल्हाड़ियों का प्रयोग क्यों किया जाता है जेडऔर परअधिक परिचित के बजाय एक्सऔर पर? ऐसा हुआ कि क्रॉस सेक्शन में बलों का निर्धारण और एक ऐसे सेक्शन का चयन जो लागू बलों के बराबर अभिनय तनाव का सामना कर सके, दो अलग-अलग कार्य हैं। पहला कार्य - बलों का निर्धारण - संरचनात्मक यांत्रिकी द्वारा हल किया जाता है, दूसरा कार्य - अनुभाग का चयन - सामग्री के प्रतिरोध का सिद्धांत। साथ ही, संरचनात्मक यांत्रिकी में, सरल समस्याओं को हल करते समय, अक्सर एक रॉड (सीधी संरचनाओं के लिए) पर विचार किया जाता है, जिसकी एक निश्चित लंबाई होती है एल, और अनुभाग की ऊंचाई और चौड़ाई को ध्यान में नहीं रखा जाता है, जबकि यह माना जाता है कि अक्ष एक्सबस सभी क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों से होकर गुजरता है और इस प्रकार, जब (कभी-कभी काफी जटिल) आरेख बनाते हैं, तो लंबाई एलअभी-अभी अक्ष के अनुदिश बिछाया गया है एक्स, और अक्ष के अनुदिश परभूखंडों के मूल्य स्थगित कर दिए गए हैं। साथ ही, सामग्रियों के प्रतिरोध का सिद्धांत क्रॉस सेक्शन पर विचार करता है, जिसके लिए चौड़ाई और ऊंचाई महत्वपूर्ण होती है, और लंबाई को ध्यान में नहीं रखा जाता है। बेशक, सामग्रियों की ताकत के सिद्धांत की समस्याओं को हल करते समय, जो कभी-कभी काफी जटिल भी होती हैं, सभी समान परिचित अक्षों का उपयोग किया जाता है। एक्सऔर पर. यह स्थिति मुझे पूरी तरह से सही नहीं लगती, क्योंकि अंतर के बावजूद, ये अभी भी संबंधित कार्य हैं और इसलिए गणना की गई संरचना के लिए सामान्य अक्षों का उपयोग करना अधिक उपयुक्त होगा।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में जड़त्व के ध्रुवीय क्षण का मान होगा:

मैं पी = ∫r 2 डीएफ =∫y 2 dF + ∫z 2 dF (2.3)

चूँकि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, त्रिज्या एक समकोण त्रिभुज का कर्ण होता है, और जैसा कि आप जानते हैं, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। और क्रॉस सेक्शन की जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण की अवधारणा भी है:

Ixz = ∫xzdF(2.4)

क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली एक आयताकार समन्वय प्रणाली की अक्षों के बीच, दो परस्पर लंबवत अक्ष होते हैं, जिनके सापेक्ष जड़ता के अक्षीय क्षण अधिकतम और न्यूनतम मान लेते हैं, जबकि अनुभाग की जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण इज़ी = 0. ऐसी अक्षों को क्रॉस सेक्शन के मुख्य केंद्रीय अक्ष कहा जाता है, और ऐसे अक्षों के बारे में जड़त्व के क्षणों को जड़त्व के मुख्य केंद्रीय क्षण कहा जाता है।

जब सामग्रियों के प्रतिरोध के सिद्धांत में जड़ता के क्षणों की बात आती है, तो, एक नियम के रूप में, यह क्रॉस सेक्शन की जड़ता के मुख्य केंद्रीय क्षण होते हैं। वर्गाकार, आयताकार, गोल खंडों के लिए, मुख्य अक्ष समरूपता के अक्षों के साथ मेल खाएंगे। क्रॉस सेक्शन की जड़ता के क्षणों को जड़ता के ज्यामितीय क्षण या क्षेत्र की जड़ता के क्षण भी कहा जाता है, लेकिन इसका सार नहीं बदलता है।

सिद्धांत रूप में, सबसे सामान्य ज्यामितीय आकृतियों - एक वर्ग, एक आयत, एक वृत्त, एक पाइप, एक त्रिकोण और कुछ अन्य के क्रॉस सेक्शन के लिए जड़ता के मुख्य केंद्रीय क्षणों के मूल्यों को निर्धारित करने की कोई बड़ी आवश्यकता नहीं है। . जड़ता के ऐसे क्षण लंबे समय से निर्धारित और व्यापक रूप से ज्ञात हैं। और एक जटिल ज्यामितीय आकृति के वर्गों के लिए जड़ता के अक्षीय क्षणों की गणना करते समय, ह्यूजेंस-स्टाइनर प्रमेय मान्य है:

मैं = आई सी + आर 2 एफ (2.5)

इस प्रकार, यदि एक जटिल खंड बनाने वाली सरल ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्र और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र ज्ञात हैं, तो पूरे खंड की जड़ता के अक्षीय क्षण का मूल्य निर्धारित करना मुश्किल नहीं होगा। और किसी जटिल खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करने के लिए, क्रॉस सेक्शन के स्थिर क्षणों का उपयोग किया जाता है। स्थैतिक क्षणों पर एक अन्य लेख में अधिक विस्तार से विचार किया गया है, मैं केवल यहां जोड़ूंगा। स्थैतिक क्षण का भौतिक अर्थ इस प्रकार है: शरीर का स्थैतिक क्षण शरीर को बनाने वाले भौतिक बिंदुओं के क्षणों का योग है, किसी बिंदु (ध्रुवीय स्थैतिक क्षण) के सापेक्ष या अक्ष (अक्षीय स्थैतिक) के सापेक्ष क्षण), और चूँकि क्षण कंधे पर लगे बल का गुणनफल है (1.9), तो शरीर का स्थिर क्षण क्रमशः निर्धारित होता है:

एस = ∑एम = ∑आर मैंएम मैं= ∫rdm (2.6)

और फिर क्रॉस सेक्शन का ध्रुवीय स्थैतिक क्षण होगा:

एस पी = ∫rdF (2.7)

जैसा कि आप देख सकते हैं, स्थैतिक क्षण की परिभाषा जड़त्व के क्षण की परिभाषा के समान है। लेकिन एक बुनियादी अंतर भी है. स्थैतिक क्षण को इसलिए स्थैतिक कहा जाता है, क्योंकि जिस पिंड पर गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है, उसके लिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के सापेक्ष स्थैतिक क्षण शून्य होता है। दूसरे शब्दों में, यदि शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र पर समर्थन लगाया जाता है तो ऐसा शरीर संतुलन की स्थिति में होता है। और न्यूटन के पहले नियम के अनुसार, ऐसा शरीर या तो आराम की स्थिति में होता है या स्थिर गति से चलता है, यानी। त्वरण \u003d 0. और विशुद्ध रूप से गणितीय दृष्टिकोण से, स्थैतिक क्षण शून्य के बराबर हो सकता है क्योंकि स्थैतिक क्षण का निर्धारण करते समय, क्षण की दिशा को ध्यान में रखना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, आयत के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली समन्वय अक्षों के सापेक्ष, आयत के ऊपरी और निचले हिस्सों के क्षेत्र सकारात्मक होंगे, क्योंकि वे एक दिशा में कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का प्रतीक हैं। इस मामले में, अक्ष से गुरुत्वाकर्षण के केंद्र तक की दूरी को सकारात्मक माना जा सकता है (सशर्त: आयत के ऊपरी भाग के गुरुत्वाकर्षण बल से क्षण खंड को दक्षिणावर्त घुमाने की कोशिश करता है), और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र तक निचला हिस्सा - नकारात्मक के रूप में (सशर्त: आयत के निचले हिस्से के गुरुत्वाकर्षण बल का क्षण खंड को वामावर्त घुमाने की कोशिश करता है)। और चूँकि ऐसे क्षेत्र संख्यात्मक रूप से समान हैं और आयत के ऊपरी भाग और आयत के निचले भाग के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों से दूरी के बराबर हैं, तो अभिनय क्षणों का योग वांछित 0 होगा।

एस जेड = ∫ydF = 0 (2.8)

और यह महान शून्य आपको भवन संरचनाओं की समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने की भी अनुमति देता है। यदि हम एक इमारत संरचना पर विचार करते हैं, जिस पर, उदाहरण के लिए, एक निश्चित बिंदु पर एक केंद्रित भार क्यू लगाया जाता है, तो ऐसी इमारत संरचना को बल के आवेदन के बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ एक शरीर के रूप में माना जा सकता है, और इस मामले में समर्थन प्रतिक्रियाओं को समर्थन बिंदुओं पर लागू बल के रूप में माना जाता है। इस प्रकार, संकेंद्रित भार Q का मान और भार के अनुप्रयोग के बिंदु से भवन संरचना के समर्थन तक की दूरी को जानकर, समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करना संभव है। उदाहरण के लिए, दो समर्थनों पर एक टिका हुआ बीम के लिए, समर्थन प्रतिक्रियाओं का मूल्य बल के आवेदन के बिंदु की दूरी के समानुपाती होगा, और समर्थन की प्रतिक्रियाओं का योग लागू भार के बराबर होगा। लेकिन एक नियम के रूप में, समर्थन प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करते समय, यह और भी सरल है: समर्थन में से एक को गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के रूप में लिया जाता है, और फिर लागू भार और बाकी समर्थन प्रतिक्रियाओं से क्षणों का योग अभी भी शून्य है . इस मामले में, समर्थन प्रतिक्रिया से वह क्षण जिसके संबंध में क्षणों का समीकरण संकलित किया गया है, शून्य के बराबर है, क्योंकि बल की भुजा = 0, जिसका अर्थ है कि क्षणों के योग में केवल दो बल बचे हैं: लागू लोड और अज्ञात समर्थन प्रतिक्रिया (सांख्यिकीय रूप से निर्धारित संरचनाओं के लिए)।

इस प्रकार, स्थैतिक क्षण और जड़ता के क्षण के बीच मूलभूत अंतर यह है कि स्थैतिक क्षण उस खंड की विशेषता है, जिसे गुरुत्वाकर्षण बल, गुरुत्वाकर्षण के केंद्र या समरूपता के अक्ष के सापेक्ष आधे में तोड़ने की कोशिश करता है, और जड़ता का क्षण शरीर की विशेषता है, जिसके सभी भौतिक बिंदु चलते हैं (या एक दिशा में जाने की कोशिश करते हैं)। शायद एक आयताकार खंड के लिए निम्नलिखित सशर्त डिजाइन योजनाएं इस अंतर को अधिक स्पष्ट रूप से देखने में मदद करेंगी:

चित्र 2. स्थैतिक क्षण और जड़त्व के क्षण के बीच दृश्य अंतर।

और अब आइए गति की गतिकी पर वापस जाएं। यदि हम भवन संरचनाओं के क्रॉस सेक्शन और विभिन्न प्रकार के आंदोलन में उत्पन्न होने वाले तनावों के बीच समानताएं बनाते हैं, तो पूरे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र में केंद्रीय रूप से फैलाए गए और केंद्रीय रूप से संपीड़ित तत्वों में समान तनाव उत्पन्न होते हैं। इन तनावों की तुलना किसी पिंड पर एक निश्चित बल की कार्रवाई से की जा सकती है, जिसमें शरीर एक सीधी रेखा में और अनुवादात्मक रूप से आगे बढ़ेगा। और सबसे दिलचस्प बात यह है कि केंद्रीय रूप से फैलाए गए या केंद्रीय रूप से संपीड़ित तत्वों के क्रॉस-सेक्शन वास्तव में चलते हैं, क्योंकि अभिनय तनाव विकृतियों का कारण बनता है। और ऐसी विकृतियों का परिमाण संरचना के किसी भी क्रॉस सेक्शन के लिए निर्धारित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, अभिनय तनाव का मूल्य, तत्व की लंबाई, क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र और उस सामग्री की लोच के मापांक को जानना पर्याप्त है जिससे संरचना बनाई गई है।

झुकने वाले तत्वों के लिए, क्रॉस सेक्शन भी जगह पर नहीं रहते हैं, बल्कि चलते हैं, जबकि झुकने वाले तत्वों के क्रॉस सेक्शन की गति एक निश्चित अक्ष के बारे में एक निश्चित शरीर के घूमने के समान होती है। जैसा कि आपने शायद अनुमान लगाया था, जड़ता का क्षण आपको क्रॉस सेक्शन के झुकाव के कोण और विस्थापन दोनों को निर्धारित करने की अनुमति देता है Δ एल अनुभाग के अंतिम बिंदुओं के लिए. एक आयताकार खंड के लिए ये चरम बिंदु खंड की आधी ऊंचाई के बराबर दूरी पर हैं (क्यों - इसे "सामग्री की ताकत की मूल बातें। विक्षेपण का निर्धारण" लेख में पर्याप्त विवरण में वर्णित किया गया है)। और यह, बदले में, आपको संरचना के विक्षेपण को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

और जड़ता का क्षण आपको खंड प्रतिरोध के क्षण को निर्धारित करने की अनुमति देता है। ऐसा करने के लिए, एक आयताकार खंड के लिए, जड़ता के क्षण को अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से अनुभाग के सबसे दूर बिंदु तक की दूरी से h / 2 से विभाजित किया जाना चाहिए। और चूँकि अध्ययनाधीन अनुभाग हमेशा सममित नहीं होते हैं, इसलिए अनुभाग के विभिन्न भागों के लिए प्रतिरोध के क्षण का मान भिन्न हो सकता है।

और यह सब एक साधारण सेब से शुरू हुआ... हालाँकि नहीं, यह सब एक शब्द से शुरू हुआ।