כיצד למצוא את השורשים של משוואה במרווח נתון. מציאת שורשי משוואה השייכים למרווח

לפי בקשתך!

13. פתרו את המשוואה 3-4cos 2 x=0. מצא את סכום השורשים שלו השייכים למרווח.

בוא נוריד את דרגת הקוסינוס על ידי הנוסחה: 1+cos2α=2cos 2 α. נקבל משוואה מקבילה:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. נחלק את שני הצדדים של המשוואה ב-(-2) ונקבל את המשוואה הטריגונומטרית הפשוטה ביותר:

14. מצא את b 5 התקדמות גיאומטרית אם b 4 =25 ו- b 6 =16.

כל איבר בהתקדמות הגיאומטרית, החל מהשני, שווה לממוצע האריתמטי של האיברים הסמוכים לו:

(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . יש לנו (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25 16 ⇒ b 5 =±5 4 ⇒ b 5 =±20.

15. מצא את הנגזרת של הפונקציה: f(x)=tgx-ctgx.

16. מצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה y(x)=x 2 -12x+27

על הקטע.

כדי למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה y=f(x) על הקטע, עליך למצוא את הערכים של פונקציה זו בקצוות הקטע ובנקודות הקריטיות ששייכות לקטע זה, ולאחר מכן לבחור את הגדול והקטן ביותר מבין כל הערכים שהושגו.

בואו נמצא את ערכי הפונקציה ב-x=3 וב-x=7, כלומר. בקצות הקטע.

y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;

y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.

מצא את הנגזרת של פונקציה זו: y'(x)=(x 2 -12x+27)' =2x-12=2(x-6); הנקודה הקריטית x=6 שייכת למרווח הנתון. מצא את הערך של הפונקציה ב-x=6.

y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. ועכשיו אנו בוחרים מבין שלושת הערכים שהתקבלו: 0; -8 ו -9 הם הגדולים והקטנים ביותר: לכל היותר. =0; בהעסקה =-9.

17. מצא את הצורה הכללית של נגזרות נגד הפונקציה:

מרווח זה הוא תחום ההגדרה של פונקציה זו. התשובות צריכות להתחיל ב-F(x), לא ב-f(x) כי אנחנו מחפשים אנטי-נגזרת. בהגדרה, הפונקציה F(x) היא אנטי נגזרת לפונקציה f(x) אם השוויון מתקיים: F'(x)=f(x). אז אתה יכול פשוט למצוא נגזרות של התשובות המוצעות עד שתקבל את הפונקציה הזו. פתרון קפדני הוא חישוב האינטגרל של פונקציה נתונה. אנו מיישמים נוסחאות:

19. חבר את המשוואה של ישר המכיל את החציון BD של משולש ABC אם הקודקודים שלו הם A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).

כדי להרכיב את המשוואה של ישר, צריך לדעת את הקואורדינטות של 2 נקודות של הישר הזה, ואנו יודעים רק את הקואורדינטות של נקודה B. מכיוון שהחציון BD מחלק את הצלע הנגדית לשניים, נקודת D היא נקודת האמצע. של קטע AC. נקודות האמצע של קטע הם חצאי הסכומים של הקואורדינטות המתאימות של קצוות הקטע. בוא נמצא את הקואורדינטות של נקודה D.

20. לחשב:

24. השטח של משולש רגיל בבסיס פריזמה ישרה הוא

בעיה זו היא ההיפך של בעיה 24 מאופציה 0021.

25. מצא תבנית והכנס את המספר החסר: 1; 4; 9; 16; …

ברור שהמספר הזה 25 , מכיוון שניתן לנו רצף של ריבועים של מספרים טבעיים:

1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …

בהצלחה והצלחה לכולם!

הפרטיות שלך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת ​​כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא קרא את מדיניות הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם כדי לזהות או ליצור קשר עם אדם ספציפי.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

• בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובת הדואר האלקטרוני שלך וכו'.

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

• המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר וליידע אותך לגבי הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
• מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח לך הודעות והודעות חשובות.
• אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
• אם תצטרף להגרלת פרס, לתחרות או תמריץ דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

חשיפה לצדדים שלישיים

איננו חושפים מידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

• במקרה שהדבר נחוץ - בהתאם לחוק, לצו שיפוטי, בהליכים משפטיים ו/או בהתבסס על בקשות או בקשות ציבוריות מגופים ממלכתיים בשטח הפדרציה הרוסית - חשפו את המידע האישי שלכם. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה מסיבות אבטחה, אכיפת חוק או אינטרס ציבורי אחר.
• במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים ליורש הצד השלישי הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם מפני גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

שמירה על פרטיותך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים לעובדים שלנו נוהלי פרטיות ואבטחה ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.

כדי לפתור בהצלחה משוואות טריגונומטריותנוח לשימוש שיטת הפחתהלבעיות שנפתרו בעבר. בואו נראה מה המהות של השיטה הזו?

בכל בעיה מוצעת, אתה צריך לראות את הבעיה שנפתרה קודם לכן, ולאחר מכן, בעזרת טרנספורמציות שוות עוקבות, לנסות לצמצם את הבעיה שניתנה לך לפשוטה יותר.

לכן, כאשר פותרים משוואות טריגונומטריות, הן בדרך כלל מרכיבות רצף סופי כלשהו של משוואות שוות, שהקישור האחרון שלהן הוא משוואה עם פתרון ברור. חשוב רק לזכור שאם לא ייווצרו הכישורים לפתור את המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר, אז הפתרון של משוואות מורכבות יותר יהיה קשה ולא יעיל.

בנוסף, בעת פתרון משוואות טריגונומטריות, לעולם אל תשכח את האפשרות לקיומם של מספר פתרונות.

דוגמה 1. מצא את מספר השורשים של המשוואה cos x = -1/2 במרווח.

פִּתָרוֹן:

אני בדרך.נשרטט את הגרפים של הפונקציות y = cos x ו- y = -1/2 ונמצא את מספר הנקודות המשותפות שלהן במרווח (איור 1).

מכיוון שלגרפים של פונקציות יש שתי נקודות משותפות במרווח, המשוואה מכילה שני שורשים במרווח זה.

דרך שניה.בעזרת המעגל הטריגונומטרי (איור 2), אנו מוצאים את מספר הנקודות השייכות למרווח שבו cos x = -1/2. האיור מראה שלמשוואה יש שני שורשים.

דרך III.בעזרת הנוסחה של שורשי המשוואה הטריגונומטרית, נפתור את המשוואה cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k הוא מספר שלם (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k הוא מספר שלם (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k הוא מספר שלם (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k הוא מספר שלם (k € Z).

השורשים 2π/3 ו-2π/3 + 2π שייכים למרווח, k הוא מספר שלם. לפיכך, למשוואה יש שני שורשים במרווח נתון.

תשובה: 2.

בעתיד, משוואות טריגונומטריות ייפתרו באחת מהשיטות המוצעות, מה שבמקרים רבים אינו שולל שימוש בשיטות אחרות.

דוגמה 2. מצא את מספר הפתרונות למשוואה tg (x + π/4) = 1 במרווח [-2π; 2π].

פִּתָרוֹן:

באמצעות הנוסחה של שורשי המשוואה הטריגונומטרית, נקבל:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k הוא מספר שלם (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k הוא מספר שלם (k € Z);

x = πk, k הוא מספר שלם (k € Z);

המרווח [-2π; 2π] שייכים למספרים -2π; -π; 0; π; 2π. אז, למשוואה יש חמישה שורשים במרווח נתון.

תשובה: 5.

דוגמה 3. מצא את מספר השורשים של המשוואה cos 2 x + sin x cos x = 1 במרווח [-π; π].

פִּתָרוֹן:

מכיוון ש-1 = sin 2 x + cos 2 x (זהות טריגונומטרית בסיסית), המשוואה המקורית הופכת:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. המכפלה שווה לאפס, כלומר לפחות אחד מהגורמים חייב להיות שווה לאפס, לכן:

sin x \u003d 0 או sin x - cos x \u003d 0.

מכיוון שהערך של המשתנה, שבו cos x = 0, אינם שורשי המשוואה השנייה (הסינוס והקוסינוס של אותו מספר אינם יכולים להיות שווים לאפס בו-זמנית), אז אנו מחלקים את שני החלקים של השני. משוואה לפי cos x:

sin x = 0 או sin x / cos x - 1 = 0.

במשוואה השנייה, אנו משתמשים בעובדה ש-tg x = sin x / cos x, ואז:

sin x = 0 או tg x = 1. באמצעות נוסחאות, יש לנו:

x = πk או x = π/4 + πk, k הוא מספר שלם (k € Z).

מסדרת השורשים הראשונה למרווח [-π; π] שייכים למספרים -π; 0; π. מהסדרה השנייה: (π/4 – π) ו-π/4.

לפיכך, חמשת השורשים של המשוואה המקורית שייכים למרווח [-π; π].

תשובה: 5.

דוגמה 4. מצא את סכום השורשים של המשוואה tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 במרווח [-π; 1.1π].

פִּתָרוֹן:

נכתוב מחדש את המשוואה בצורה הבאה:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 ובצע שינוי.

תן tg x + сtgx = a. בוא נרבוע את שני הצדדים של המשוואה:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . בואו נרחיב את הסוגריים:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .

מאז tg x сtgx \u003d 1, אז tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, כלומר

tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.

כעת המשוואה המקורית נראית כך:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. בעזרת משפט Vieta, נקבל ש-a = -1 או a = -2.

ביצוע ההחלפה ההפוכה, יש לנו:

tg x + сtgx = -1 או tg x + сtgx = -2. בואו נפתור את המשוואות שהתקבלו.

tgx + 1/tgx = -1 או tgx + 1/tgx = -2.

לפי המאפיין של שני מספרים הדדיים, אנו קובעים שלמשוואה הראשונה אין שורשים, ומהמשוואה השנייה יש לנו:

tg x = -1, כלומר. x = -π/4 + πk, k הוא מספר שלם (k € Z).

המרווח [-π; 1,1π] השורשים שייכים: -π/4; -π/4 + π. הסכום שלהם:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

תשובה: π/2.

דוגמה 5. מצא את הממוצע האריתמטי של שורשי המשוואה sin 3x + sin x = sin 2x על המרווח [-π; 0.5π].

פִּתָרוֹן:

אנו משתמשים בנוסחה sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), ואז

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x והמשוואה הופכת

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. אנחנו מוציאים את הגורם המשותף sin 2x מתוך סוגריים

sin 2x(2cos x - 1) = 0. בוא נפתור את המשוואה שהתקבלה:

sin 2x \u003d 0 או 2cos x - 1 \u003d 0;

sin 2x = 0 או cos x = 1/2;

2x = πk או x = ±π/3 + 2πk, k הוא מספר שלם (k ∈ Z).

כך יש לנו שורשים

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k הוא מספר שלם (k ∈ Z).

המרווח [-π; 0.5π] שייכים לשורשים -π; -π/2; 0; π/2 (מסדרת השורשים הראשונה); π/3 (מהסדרה השנייה); -π/3 (מהסדרה השלישית). הממוצע האריתמטי שלהם הוא:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

תשובה: -π/6.

דוגמה 6. מצא את מספר השורשים של המשוואה sin x + cos x = 0 במרווח [-1.25π; 2π].

פִּתָרוֹן:

משוואה זו היא משוואה הומוגנית מהמעלה הראשונה. חלקו את שני חלקיו ב-cosx (ערך המשתנה, שבו cos x = 0, אינם שורשי המשוואה הזו, שכן הסינוס והקוסינוס של אותו מספר אינם יכולים להיות שווים לאפס בו-זמנית). המשוואה המקורית נראית כך:

x = -π/4 + πk, k הוא מספר שלם (k ∈ Z).

פער [-1.25π; 2π] יש שורשים -π/4; (-π/4 + π); וכן (-π/4 + 2π).

לפיכך, שלושה שורשים של המשוואה שייכים למרווח הנתון.

תשובה: 3.

למד לעשות את הדבר החשוב ביותר - להציג בבירור תוכנית לפתרון הבעיה, ואז כל משוואה טריגונומטרית תהיה על הכתף שלך.

יש לך שאלות? לא יודע איך לפתור משוואות טריגונומטריות?
לקבלת עזרת מורה דרך - הירשמו.

אתר, עם העתקה מלאה או חלקית של החומר, נדרש קישור למקור.

הפרטיות שלך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת ​​כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא קרא את מדיניות הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם כדי לזהות או ליצור קשר עם אדם ספציפי.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

• בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובת הדואר האלקטרוני שלך וכו'.

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

• המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר וליידע אותך לגבי הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
• מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח לך הודעות והודעות חשובות.
• אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
• אם תצטרף להגרלת פרס, לתחרות או תמריץ דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

חשיפה לצדדים שלישיים

איננו חושפים מידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

• במקרה שהדבר נחוץ - בהתאם לחוק, לצו שיפוטי, בהליכים משפטיים ו/או בהתבסס על בקשות או בקשות ציבוריות מגופים ממלכתיים בשטח הפדרציה הרוסית - חשפו את המידע האישי שלכם. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה מסיבות אבטחה, אכיפת חוק או אינטרס ציבורי אחר.
• במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים ליורש הצד השלישי הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם מפני גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

שמירה על פרטיותך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים לעובדים שלנו נוהלי פרטיות ואבטחה ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.

א) פתרו את המשוואה: .

ב) מצא את השורשים של המשוואה הזו השייכים למרווח .

פתרון הבעיה

שיעור זה מדגים דוגמה לפתרון משוואה טריגונומטרית, שניתן להשתמש בה בהצלחה בהכנה לבחינה במתמטיקה. בפרט, בעת פתרון בעיות מסוג C1, פתרון זה יהפוך לרלוונטי.

במהלך הפתרון, הפונקציה הטריגונומטרית של הצד השמאלי של המשוואה עוברת טרנספורמציה באמצעות הנוסחה של סינוס הארגומנט הכפול. פונקציית הקוסינוס בצד ימין נכתבת גם כפונקציית סינוס עם ארגומנט מפושט ל. במקרה זה, הסימן שלפני הפונקציה הטריגונומטרית המתקבלת הפוך. יתר על כן, כל האיברים של המשוואה מועברים לצד השמאלי שלה, שם הגורם המשותף נלקח מתוך סוגריים. כתוצאה מכך, המשוואה המתקבלת מיוצגת כמכפלה של שני גורמים. כל גורם מוגדר בתור שווה לאפס, מה שמאפשר לנו לקבוע את שורשי המשוואה. לאחר מכן נקבעים שורשי המשוואה השייכים למרווח הנתון. בשיטת הסיבובים, על מעגל היחידה הבנויה, מסומן סיבוב מהגבול השמאלי של הקטע הנתון לימין. השורשים שנמצאו במעגל היחידה מחוברים על ידי קטעים עם מרכזו, ואז נקבעות הנקודות שבהן קטעים אלה חותכים את הסליל. נקודות חיתוך אלו הן התשובה לחלק "ב" של הבעיה.