Jedną z gałęzi matematyki, z którą dzieci w wieku szkolnym mają największe trudności, jest trygonometria. Nic dziwnego: aby swobodnie opanować ten obszar wiedzy, potrzebne jest myślenie przestrzenne, umiejętność znajdowania sinusów, cosinusów, stycznych, cotangensów za pomocą wzorów, upraszczania wyrażeń, a także umiejętność wykorzystywania liczby pi w obliczeniach. Ponadto trzeba umieć stosować trygonometrię przy dowodzeniu twierdzeń, a to wymaga albo rozwiniętej pamięci matematycznej, albo umiejętności dedukcji złożonych łańcuchów logicznych.
Początki trygonometrii
Znajomość tej nauki powinna rozpocząć się od definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta, ale najpierw musisz dowiedzieć się, co ogólnie robi trygonometria.
Historycznie rzecz biorąc, trójkąty prostokątne były głównym przedmiotem badań w tej sekcji nauk matematycznych. Obecność kąta 90 stopni umożliwia przeprowadzanie różnych operacji, które pozwalają określić wartości wszystkich parametrów rozważanej figury przy użyciu dwóch boków i jednego kąta lub dwóch kątów i jednego boku. W przeszłości ludzie zauważyli ten wzór i zaczęli go aktywnie wykorzystywać przy budowie budynków, nawigacji, astronomii, a nawet sztuce.
Pierwszy etap
Początkowo ludzie mówili o związku kątów i boków wyłącznie na przykładzie trójkątów prostokątnych. Następnie odkryto specjalne formuły, które umożliwiły poszerzenie granic użycia w życiu codziennym tej sekcji matematyki.
Nauka trygonometrii w szkole zaczyna się dziś od trójkątów prostokątnych, po czym zdobyta wiedza jest wykorzystywana przez uczniów fizyki i rozwiązywania abstrakcyjnych równań trygonometrycznych, z którymi praca rozpoczyna się w szkole średniej.
Trygonometria sferyczna
Później, gdy nauka osiągnęła kolejny poziom rozwoju, wzory z sinusem, cosinusem, tangensem, cotangensem zaczęto stosować w geometrii sferycznej, gdzie obowiązują inne zasady, a suma kątów w trójkącie jest zawsze większa niż 180 stopni. Tego rozdziału nie uczy się w szkole, ale trzeba wiedzieć o jego istnieniu, przynajmniej dlatego, że powierzchnia ziemi, jak i każdej innej planety, jest wypukła, co oznacza, że wszelkie oznaczenia na powierzchni będą miały kształt „łuku” w przestrzeń trójwymiarowa.
Weź kulę ziemską i nitkę. Przymocuj nić do dowolnych dwóch punktów na kuli ziemskiej, aby była napięta. Zwróć uwagę - nabrał kształtu łuku. Takimi formami zajmuje się geometria sferyczna, stosowana w geodezji, astronomii i innych dziedzinach teoretycznych i stosowanych.
Trójkąt prostokątny
Dowiedziawszy się trochę o sposobach korzystania z trygonometrii, wróćmy do podstawowej trygonometrii, aby lepiej zrozumieć, czym jest sinus, cosinus, tangens, jakie obliczenia można wykonać za ich pomocą i jakich wzorów użyć.
Pierwszym krokiem jest zrozumienie pojęć związanych z trójkątem prostokątnym. Po pierwsze, przeciwprostokątna jest stroną przeciwną do kąta 90 stopni. Ona jest najdłuższa. Pamiętamy, że zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa jego wartość liczbowa jest równa pierwiastkowi z sumy kwadratów pozostałych dwóch boków.
Na przykład, jeśli dwa boki mają odpowiednio 3 i 4 centymetry, długość przeciwprostokątnej wyniesie 5 centymetrów. Nawiasem mówiąc, starożytni Egipcjanie wiedzieli o tym około cztery i pół tysiąca lat temu.
Dwa pozostałe boki, które tworzą kąt prosty, nazywane są nogami. Ponadto musimy pamiętać, że suma kątów w trójkącie w prostokątnym układzie współrzędnych wynosi 180 stopni.
Definicja
Wreszcie, mając solidne zrozumienie podstawy geometrycznej, możemy przejść do definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta.
Sinus kąta to stosunek przeciwnej nogi (tj. strony przeciwnej do pożądanego kąta) do przeciwprostokątnej. Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Pamiętaj, że ani sinus, ani cosinus nie mogą być większe od jedności! Dlaczego? Ponieważ przeciwprostokątna jest domyślnie najdłuższa.Nieważne jak długa jest noga, będzie krótsza niż przeciwprostokątna, co oznacza, że ich stosunek zawsze będzie mniejszy niż jeden. Tak więc, jeśli w odpowiedzi na problem otrzymasz sinus lub cosinus o wartości większej niż 1, poszukaj błędu w obliczeniach lub rozumowaniu. Ta odpowiedź jest wyraźnie błędna.
Wreszcie tangens kąta to stosunek przeciwnej strony do sąsiedniej. Ten sam wynik da dzielenie sinusa przez cosinus. Spójrz: zgodnie ze wzorem dzielimy długość boku przez przeciwprostokątną, po czym dzielimy przez długość drugiego boku i mnożymy przez przeciwprostokątną. Otrzymujemy więc taki sam stosunek jak w definicji tangensa.
Odpowiednio cotangens to stosunek boku przylegającego do rogu do przeciwległej strony. Ten sam wynik otrzymujemy dzieląc jednostkę przez tangens.
Rozważaliśmy więc definicje tego, czym są sinus, cosinus, tangens i cotangens, i możemy sobie poradzić z formułami.
Najprostsze formuły
W trygonometrii nie można obejść się bez formuł - jak bez nich znaleźć sinus, cosinus, tangens, cotangens? I to jest dokładnie to, co jest wymagane przy rozwiązywaniu problemów.
Pierwsza formuła, którą musisz znać, rozpoczynając naukę trygonometrii, mówi, że suma kwadratów sinusa i cosinusa kąta jest równa jeden. Ten wzór jest bezpośrednią konsekwencją twierdzenia Pitagorasa, ale oszczędza czas, jeśli chcesz poznać wartość kąta, a nie boku.
Wielu uczniów nie pamięta drugiej formuły, która jest również bardzo popularna przy rozwiązywaniu zadań szkolnych: suma jeden i kwadrat tangensa kąta równa się jeden podzielone przez kwadrat cosinusa kąta. Przyjrzyjmy się bliżej: w końcu jest to to samo stwierdzenie, co w pierwszym wzorze, tylko obie strony tożsamości zostały podzielone przez kwadrat cosinusa. Okazuje się, że prosta operacja matematyczna sprawia, że wzór trygonometryczny jest zupełnie nierozpoznawalny. Pamiętaj: wiedząc, czym są sinus, cosinus, tangens i cotangens, zasady konwersji i kilka podstawowych wzorów, możesz w każdej chwili samodzielnie wyprowadzić wymagane bardziej złożone wzory na kartce papieru.
Wzory na kąt podwójny i dodawanie argumentów
Dwie kolejne formuły, których musisz się nauczyć, są związane z wartościami sinusa i cosinusa dla sumy i różnicy kątów. Przedstawiono je na poniższym rysunku. Proszę zauważyć, że w pierwszym przypadku sinus i cosinus mnoży się dwukrotnie, aw drugim dodaje się iloczyn parami sinusa i cosinusa.
Istnieją również formuły związane z argumentami podwójnego kąta. Są one całkowicie wyprowadzone z poprzednich - w ramach praktyki spróbuj je zdobyć samodzielnie, przyjmując kąt alfa równy kątowi beta.
Na koniec zauważ, że formuły podwójnego kąta można przekształcić, aby obniżyć stopień sinusa, cosinusa, stycznej alfa.
Twierdzenia
Dwa główne twierdzenia w podstawowej trygonometrii to twierdzenie o sinusie i twierdzenie o cosinusie. Za pomocą tych twierdzeń możesz łatwo zrozumieć, jak znaleźć sinus, cosinus i styczną, a zatem obszar figury, rozmiar każdej strony itp.
Twierdzenie o sinusach mówi, że w wyniku podzielenia długości każdego z boków trójkąta przez wartość przeciwległego kąta otrzymujemy tę samą liczbę. Co więcej, liczba ta będzie równa dwóm promieniom opisanego okręgu, czyli okręgu zawierającego wszystkie punkty danego trójkąta.
Twierdzenie cosinusowe uogólnia twierdzenie Pitagorasa, rzutując je na dowolne trójkąty. Okazuje się, że od sumy kwadratów dwóch boków odejmij ich iloczyn pomnożony przez podwójny cosinus kąta do nich przylegającego - wynikowa wartość będzie równa kwadratowi trzeciego boku. Zatem twierdzenie Pitagorasa okazuje się być szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusowego.
Błędy wynikające z nieuwagi
Nawet wiedząc, czym są sinus, cosinus i tangens, łatwo popełnić błąd z powodu roztargnienia lub błędu w najprostszych obliczeniach. Aby uniknąć takich błędów, zapoznajmy się z najpopularniejszymi z nich.
Po pierwsze, nie należy zamieniać ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne do czasu uzyskania końcowego wyniku – odpowiedź można pozostawić jako ułamek zwykły, chyba że warunek stanowi inaczej. Takiej transformacji nie można nazwać błędem, ale należy pamiętać, że na każdym etapie problemu mogą pojawić się nowe korzenie, które w zamyśle autora powinny zostać zredukowane. W takim przypadku stracisz czas na niepotrzebne operacje matematyczne. Jest to szczególnie prawdziwe w przypadku wartości takich jak pierwiastek z trzech lub dwóch, ponieważ występują one w zadaniach na każdym kroku. To samo dotyczy zaokrąglania „brzydkich” liczb.
Ponadto zauważ, że twierdzenie cosinusowe odnosi się do każdego trójkąta, ale nie do twierdzenia Pitagorasa! Jeśli przez pomyłkę zapomnisz odjąć dwukrotność iloczynu boków pomnożonego przez cosinus kąta między nimi, nie tylko uzyskasz całkowicie błędny wynik, ale także zademonstrujesz całkowite niezrozumienie tematu. To gorsze niż nieostrożny błąd.
Po trzecie nie myl wartości dla kątów 30 i 60 stopni dla sinusów, cosinusów, tangensów, cotangensów. Zapamiętaj te wartości, ponieważ sinus 30 stopni jest równy cosinusowi 60 i odwrotnie. Łatwo je pomylić, w wyniku czego nieuchronnie uzyskasz błędny wynik.
Aplikacja
Wielu uczniów nie spieszy się z rozpoczęciem nauki trygonometrii, ponieważ nie rozumieją jej stosowanego znaczenia. Co to jest sinus, cosinus, tangens dla inżyniera lub astronoma? To koncepcje, dzięki którym można obliczyć odległość do odległych gwiazd, przewidzieć upadek meteorytu, wysłać sondę badawczą na inną planetę. Bez nich niemożliwe jest zbudowanie budynku, zaprojektowanie samochodu, obliczenie obciążenia powierzchni czy trajektorii obiektu. A to tylko najbardziej oczywiste przykłady! W końcu trygonometria w takiej czy innej formie jest używana wszędzie, od muzyki po medycynę.
Wreszcie
Więc jesteś sinus, cosinus, tangens. Możesz ich używać w obliczeniach iz powodzeniem rozwiązywać problemy szkolne.
Cała istota trygonometrii sprowadza się do tego, że nieznane parametry muszą być obliczone ze znanych parametrów trójkąta. W sumie jest sześć parametrów: długości trzech boków i wielkości trzech kątów. Cała różnica w zadaniach polega na tym, że podawane są różne dane wejściowe.
Jak znaleźć sinus, cosinus, tangens na podstawie znanych długości nóg lub przeciwprostokątnej, już wiesz. Ponieważ terminy te nie oznaczają nic więcej niż stosunek, a stosunek jest ułamkiem, głównym celem problemu trygonometrycznego jest znalezienie pierwiastków zwykłego równania lub układu równań. I tutaj pomoże ci zwykła matematyka szkolna.
Naukę trygonometrii zaczynamy od trójkąta prostokątnego. Zdefiniujmy, czym jest sinus i cosinus, a także tangens i cotangens kąta ostrego. To są podstawy trygonometrii.
Odwołaj to prosty kąt jest kątem równym 90 stopni. Innymi słowy, połowa rozłożonego rogu.
Ostry kąt- mniej niż 90 stopni.
Kąt rozwarty- większy niż 90 stopni. W odniesieniu do takiego kąta "tępy" to nie obraza, a termin matematyczny :-)
Narysujmy trójkąt prostokątny. Zwykle oznacza się kąt prosty. Zwróć uwagę, że strona przeciwna do rogu jest oznaczona tą samą literą, tylko małą. Tak więc bok leżący naprzeciw kąta A jest oznaczony.
Kąt jest oznaczony odpowiednią grecką literą.
Przeciwprostokątna Trójkąt prostokątny to bok leżący naprzeciw kąta prostego.
Nogi- boki naprzeciw ostrych narożników.
Noga naprzeciwko rogu nazywa się naprzeciwko(względem kąta). Druga noga, która leży po jednej stronie rogu, nazywa się przylegający.
Zatoka kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:
Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej:
Inna (równoważna) definicja: tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:
Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej (lub równoważnie stosunek cosinusa do sinusa):
Zwróć uwagę na podstawowe stosunki dla sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa, które podano poniżej. Przydadzą się nam w rozwiązywaniu problemów.
Udowodnijmy niektóre z nich.
Ok, podaliśmy definicje i zapisane wzory. Ale po co nam sinus, cosinus, tangens i cotangens?
Wiemy to suma kątów dowolnego trójkąta wynosi.
Znamy związek między imprezy trójkąt prostokątny. To jest twierdzenie Pitagorasa: .
Okazuje się, że znając dwa kąty w trójkącie, można znaleźć trzeci. Znając dwa boki trójkąta prostokątnego, możesz znaleźć trzeci. Tak więc dla kątów - ich stosunek, dla boków - ich własny. Ale co zrobić, jeśli w trójkącie prostokątnym znany jest jeden kąt (z wyjątkiem prawego) i jeden bok, ale trzeba znaleźć inne boki?
Z tym mierzyli się ludzie w przeszłości, tworząc mapy okolicy i rozgwieżdżonego nieba. W końcu nie zawsze jest możliwe bezpośrednie zmierzenie wszystkich boków trójkąta.
Sinus, cosinus i tangens - są również nazywane funkcje trygonometryczne kąta- podaj stosunek między imprezy I rogi trójkąt. Znając kąt, możesz znaleźć wszystkie jego funkcje trygonometryczne za pomocą specjalnych tabel. A znając sinusy, cosinusy i styczne kątów trójkąta i jednego z jego boków, możesz znaleźć resztę.
Narysujemy również tabelę wartości sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa dla „dobrych” kątów od do.
Zwróć uwagę na dwie czerwone kreski w tabeli. Dla odpowiednich wartości kątów styczna i cotangens nie istnieją.
Przeanalizujmy kilka zadań z trygonometrii z Banku zadań FIPI.
1. W trójkącie kąt wynosi , . Znajdować .
Problem został rozwiązany w cztery sekundy.
Ponieważ , .
2. W trójkącie kąt wynosi , , . Znajdować .
Znajdźmy według twierdzenia Pitagorasa.
Problem rozwiązany.
Często w problemach występują trójkąty z kątami i/lub z kątami i . Zapamiętaj podstawowe proporcje dla nich na pamięć!
Dla trójkąta o kątach i przeciwległej nodze kąt w jest równy połowa przeciwprostokątnej.
Trójkąt z kątami i jest równoramienny. W nim przeciwprostokątna jest razy większa niż noga.
Rozważaliśmy problemy rozwiązywania trójkątów prostokątnych - czyli znajdowania nieznanych boków lub kątów. Ale to nie wszystko! W wariantach egzaminu z matematyki jest wiele zadań, w których pojawia się sinus, cosinus, tangens lub cotangens kąta zewnętrznego trójkąta. Więcej na ten temat w następnym artykule.
Jaki jest sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta, pomoże ci zrozumieć trójkąt prostokątny.
Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego? Zgadza się, przeciwprostokątna i nogi: przeciwprostokątna to strona leżąca naprzeciwko kąta prostego (w naszym przykładzie jest to strona \ (AC \) ); nogi to dwa pozostałe boki \ (AB \) i \ (BC \) (te, które przylegają do kąta prostego), ponadto jeśli rozważymy nogi względem kąta \ (BC \) , to noga \ (AB \) jest sąsiednią nogą, a noga \ (BC \) jest przeciwna. Odpowiedzmy teraz na pytanie: co to jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta?
Sinus kąta- jest to stosunek przeciwnej (dalekiej) nogi do przeciwprostokątnej.
W naszym trójkącie:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Cosinus kąta- jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.
W naszym trójkącie:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Kąt styczny- jest to stosunek przeciwnej (dalekiej) nogi do sąsiedniej (bliskiej).
W naszym trójkącie:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Cotangens kąta- jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (dalekiej).
W naszym trójkącie:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Te definicje są konieczne Pamiętać! Aby łatwiej zapamiętać, którą nogę podzielić przez co, musisz to jasno zrozumieć tangens I cotangens siedzą tylko nogi, a przeciwprostokątna pojawia się tylko w Zatoka I cosinus. A potem możesz wymyślić łańcuch skojarzeń. Na przykład ten:
cosinus → dotyk → dotyk → przylegający;
Cotangens → dotknąć → dotknąć → przylegający.
Przede wszystkim należy pamiętać, że sinus, cosinus, styczna i cotangens jako stosunki boków trójkąta nie zależą od długości tych boków (pod jednym kątem). Nie wierz? Następnie upewnij się, patrząc na zdjęcie:
Rozważmy na przykład cosinus kąta \(\beta \) . Z definicji z trójkąta \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ale możemy obliczyć cosinus kąta \(\beta \) z trójkąta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Widzisz, długości boków są różne, ale wartość cosinusa jednego kąta jest taka sama. Zatem wartości sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa zależą wyłącznie od wielkości kąta.
Jeśli rozumiesz definicje, popraw je!
Dla trójkąta \(ABC \) , pokazanego na poniższym rysunku, znajdujemy \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(tablica) \)
Cóż, dostałeś to? Następnie spróbuj sam: oblicz to samo dla kąta \(\beta \) .
Odpowiedzi: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Okrąg jednostkowy (trygonometryczny).
Rozumiejąc pojęcia stopnia i radianu, rozważaliśmy okrąg o promieniu równym \ (1 \) . Takie koło nazywa się pojedynczy. Jest to bardzo przydatne w badaniu trygonometrii. Dlatego zastanawiamy się nad tym bardziej szczegółowo.
Jak widać, ten okrąg jest zbudowany w kartezjańskim układzie współrzędnych. Promień okręgu jest równy jeden, podczas gdy środek okręgu leży w początku układu współrzędnych, położenie początkowe wektora promienia jest ustalone wzdłuż dodatniego kierunku osi \(x \) (w naszym przykładzie jest to promień \(AB \) ).
Każdemu punktowi na okręgu odpowiadają dwie liczby: współrzędna wzdłuż osi \(x \) i współrzędna wzdłuż osi \(y \) . Jakie są te liczby współrzędnych? I ogólnie, co oni mają wspólnego z tematem? Aby to zrobić, pamiętaj o rozważanym trójkącie prostokątnym. Na powyższym rysunku widać dwa całe trójkąty prostokątne. Rozważmy trójkąt \(ACG \) . Jest prostokątny, ponieważ \(CG \) jest prostopadły do \(x \) osi.
Ile wynosi \(\cos \ \alpha \) z trójkąta \(ACG \) ? Zgadza się \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Poza tym wiemy, że \(AC \) jest promieniem koła jednostkowego, więc \(AC=1 \) . Podstaw tę wartość do naszego wzoru na cosinus. Oto, co się dzieje:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
A ile wynosi \(\sin \\alpha \) z trójkąta \(ACG \) ? Ależ oczywiście, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Zastąp wartość promienia \ (AC \) w tym wzorze i uzyskaj:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Czy możesz mi powiedzieć, jakie są współrzędne punktu \(C \) , który należy do okręgu? Cóż, nie ma mowy? Ale co, jeśli zdasz sobie sprawę, że \(\cos \\alpha \) i \(\sin \alpha \) to tylko liczby? Jakiej współrzędnej odpowiada \(\cos \alpha \)? Cóż, oczywiście, współrzędna \(x \) ! A jakiej współrzędnej odpowiada \(\sin \alpha \)? Zgadza się, współrzędna \(y \)! A więc sedno \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Czym zatem są \(tg \alpha \) i \(ctg \alpha \)? Zgadza się, użyjmy odpowiednich definicji stycznej i cotangensa i otrzymajmy to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
A co jeśli kąt jest większy? Tutaj, na przykład, jak na tym obrazku:
Co się zmieniło w tym przykładzie? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, ponownie zwracamy się do trójkąta prostokątnego. Rozważmy trójkąt prostokątny \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kąt (przylegający do kąta \(\beta \) ). Jaka jest wartość sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa dla kąta \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Zgadza się, przestrzegamy odpowiednich definicji funkcji trygonometrycznych:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kąt ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(tablica) \)
Cóż, jak widać, wartość sinusa kąta nadal odpowiada współrzędnej \ (y \) ; wartość cosinusa kąta - współrzędna \ (x \) ; oraz wartości tangensa i cotangensa do odpowiednich stosunków. Zatem zależności te mają zastosowanie do dowolnych obrotów wektora promienia.
Wspomniano już, że początkowe położenie wektora promienia jest wzdłuż dodatniego kierunku osi \(x \). Do tej pory obracaliśmy ten wektor przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, ale co się stanie, jeśli obrócimy go zgodnie z ruchem wskazówek zegara? Nic nadzwyczajnego, otrzymasz również kąt o określonym rozmiarze, ale tylko on będzie ujemny. Tak więc, obracając wektor promienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymujemy dodatnie kąty, a obracając zgodnie z ruchem wskazówek zegara - negatywny.
Wiemy więc, że cały obrót wektora promienia wokół okręgu wynosi \(360()^\circ \) lub \(2\pi \) . Czy można obrócić wektor promienia o \(390()^\circ \) lub o \(-1140()^\circ \) ? Cóż, oczywiście, że możesz! W pierwszym przypadku, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), więc wektor promienia wykona jeden pełny obrót i zatrzyma się w punkcie \(30()^\circ \) lub \(\dfrac(\pi )(6) \) .
w drugim przypadku \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), czyli wektor promienia wykona trzy pełne obroty i zatrzyma się w pozycji \(-60()^\circ \) lub \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Zatem z powyższych przykładów możemy wywnioskować, że kąty, które różnią się o \(360()^\circ \cdot m \) lub \(2\pi \cdot m \) (gdzie \(m \) to dowolna liczba całkowita ) odpowiadają tej samej pozycji wektora promienia.
Poniższy rysunek pokazuje kąt \(\beta =-60()^\circ \) . Ten sam obraz odpowiada narożnikowi \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itp. Tę listę można kontynuować w nieskończoność. Wszystkie te kąty można zapisać za pomocą ogólnego wzoru \(\beta +360()^\circ \cdot m \) lub \(\beta +2\pi \cdot m \) (gdzie \(m \) jest dowolną liczbą całkowitą)
\(\begin(tablica)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(tablica) \)
Teraz, znając definicje podstawowych funkcji trygonometrycznych i używając koła jednostkowego, spróbuj odpowiedzieć, jakie wartości są równe:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Oto koło jednostkowe, które może ci pomóc:
Jakieś trudności? Więc wymyślmy to. Wiemy więc, że:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x); )(y).\end(tablica) \)
Stąd wyznaczamy współrzędne punktów odpowiadające pewnym miarom kąta. Cóż, zacznijmy w kolejności: w rogu \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) odpowiada punktowi o współrzędnych \(\left(0;1 \right) \) , zatem:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Strzałka w prawo \text(tg)\ 90()^\circ \)- nie istnieje;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Ponadto, kierując się tą samą logiką, dowiadujemy się, że rogi w \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) odpowiadają punktom o współrzędnych \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \po prawej) \) odpowiednio. Wiedząc o tym, łatwo jest określić wartości funkcji trygonometrycznych w odpowiednich punktach. Najpierw spróbuj sam, a potem sprawdź odpowiedzi.
Odpowiedzi:
\(\ Displaystyle \ sin \ 180 () ^ \ circ = \ sin \ \ pi = 0 \)
\(\ Displaystyle \ cos \ 180 () ^ \ circ = \ cos \ \ pi = -1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Strzałka w prawo \text(ctg)\ \pi \)- nie istnieje
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Strzałka w prawo \text(tg)\ 270()^\circ \)- nie istnieje
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Strzałka w prawo \text(ctg)\ 2\pi \)- nie istnieje
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- nie istnieje
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
W ten sposób możemy sporządzić następującą tabelę:
Nie ma potrzeby zapamiętywania wszystkich tych wartości. Wystarczy zapamiętać zgodność między współrzędnymi punktów na okręgu jednostkowym a wartościami funkcji trygonometrycznych:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Trzeba zapamiętać lub móc wypisać!! \) !}
A oto wartości funkcji trygonometrycznych kątów w i \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) podanych w poniższej tabeli, należy pamiętać:
Nie musisz się bać, teraz pokażemy jeden z przykładów dość prostego zapamiętywania odpowiednich wartości:
Aby skorzystać z tej metody, należy pamiętać o wartościach sinusoidalnych dla wszystkich trzech miar kątów ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), jak również wartość tangensa kąta w \(30()^\circ \) . Znając te \(4\) wartości, dość łatwo jest przywrócić całą tabelę - wartości cosinusów są przenoszone zgodnie ze strzałkami, czyli:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(tablica) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), wiedząc o tym, możliwe jest przywrócenie wartości dla \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Licznik „\(1 \) ” będzie pasował do \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , a mianownik „\(\sqrt(\text(3)) \) ” będzie pasował do \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Wartości cotangensa są przenoszone zgodnie ze strzałkami pokazanymi na rysunku. Jeśli to zrozumiesz i zapamiętasz schemat ze strzałkami, wystarczy zapamiętać tylko \(4 \) wartości z tabeli.
Współrzędne punktu na okręgu
Czy można znaleźć punkt (jego współrzędne) na okręgu, znając współrzędne środka okręgu, jego promień i kąt obrotu? Cóż, oczywiście, że możesz! Wyprowadźmy ogólny wzór na znalezienie współrzędnych punktu. Tutaj mamy na przykład takie koło:
Ten punkt jest nam dany \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) jest środkiem okręgu. Promień okręgu wynosi \(1,5 \) . Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu \(P \) uzyskanych przez obrócenie punktu \(O \) o \(\delta \) stopni.
Jak widać na rysunku, współrzędna \ (x \) punktu \ (P \) odpowiada długości odcinka \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Długość odcinka \ (UK \) odpowiada współrzędnej \ (x \) środka koła, czyli jest równa \ (3 \) . Długość odcinka \(KQ \) można wyrazić za pomocą definicji cosinusa:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Strzałka w prawo KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Wtedy mamy to dla punktu \(P \) współrzędnych \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Korzystając z tej samej logiki, znajdujemy wartość współrzędnej y dla punktu \(P \) . Zatem,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Tak więc, ogólnie rzecz biorąc, współrzędne punktów są określane za pomocą wzorów:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(tablica) \), Gdzie
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - współrzędne środka okręgu,
\(r\) - promień okręgu,
\(\delta \) - kąt obrotu promienia wektora.
Jak widać, dla okręgu jednostkowego, który rozważamy, formuły te są znacznie zmniejszone, ponieważ współrzędne środka wynoszą zero, a promień jest równy jeden:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(tablica) \)
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.Kontrolki ActiveX muszą być włączone, aby można było wykonywać obliczenia!
W tym artykule pokażemy, jak to zrobić definicje sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa kąta i liczby w trygonometrii. Tutaj porozmawiamy o notacji, podamy przykłady zapisów, podamy ilustracje graficzne. Podsumowując, rysujemy paralelę między definicjami sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa w trygonometrii i geometrii.
Nawigacja po stronie.
Definicja sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa
Prześledźmy, jak kształtuje się pojęcie sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa na szkolnym kursie matematyki. Na lekcjach geometrii podano definicję sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. A później badana jest trygonometria, która odnosi się do sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa kąta obrotu i liczby. Podajemy wszystkie te definicje, podajemy przykłady i podajemy niezbędne komentarze.
Kąt ostry w trójkącie prostokątnym
Z przebiegu geometrii znane są definicje sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Są one podane jako stosunek boków trójkąta prostokątnego. Przedstawiamy ich receptury.
Definicja.
Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej.
Definicja.
Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Definicja.
Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem przeciwnej nogi do sąsiedniej nogi.
Definicja.
Cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem sąsiedniej nogi do przeciwległej nogi.
Wprowadzono tam również zapis sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa - odpowiednio sin, cos, tg i ctg.
Na przykład, jeśli ABC jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym C, to sinus kąta ostrego A jest równy stosunkowi przeciwprostokątnej BC do przeciwprostokątnej AB, czyli sin∠A=BC/AB.
Definicje te pozwalają obliczyć wartości sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa kąta ostrego ze znanych długości boków trójkąta prostokątnego, a także ze znanych wartości sinusa, cosinusa, styczna, cotangens i długość jednego z boków, znajdź długości pozostałych boków. Na przykład, gdybyśmy wiedzieli, że w trójkącie prostokątnym ramię AC wynosi 3, a przeciwprostokątna AB 7 , to moglibyśmy obliczyć cosinus kąta ostrego A z definicji: cos∠A=AC/AB=3/7 .
Kąt obrotu
W trygonometrii zaczynają szerzej patrzeć na kąt – wprowadzają pojęcie kąta obrotu. Kąt obrotu, w przeciwieństwie do kąta ostrego, nie jest ograniczony ramkami od 0 do 90 stopni, kąt obrotu w stopniach (i radianach) można wyrazić dowolną liczbą rzeczywistą od −∞ do +∞.
W tym świetle definicje sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa nie są już kątem ostrym, ale kątem o dowolnej wielkości - kątem obrotu. Podaje się je poprzez współrzędne x i y punktu A 1 , w który przechodzi tzw. punkt początkowy A(1, 0) po obrocie o kąt α wokół punktu O - początku prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych i środek okręgu jednostkowego.
Definicja.
Sinus kąta obrotuα jest rzędną punktu A 1 , czyli sinα=y .
Definicja.
cosinus kąta obrotuα nazywana jest odciętą punktu A 1 , to znaczy cosα=x .
Definicja.
Tangens kąta obrotuα jest stosunkiem rzędnej punktu A 1 do jego odciętej, czyli tgα=y/x .
Definicja.
Cotangens kąta obrotuα jest stosunkiem odciętej punktu A 1 do jego rzędnej, czyli ctgα=x/y .
Sinus i cosinus są określone dla dowolnego kąta α , ponieważ zawsze możemy wyznaczyć odciętą i rzędną punktu, którą uzyskujemy obracając punkt początkowy o kąt α . Styczna i cotangens nie są zdefiniowane dla żadnego kąta. Styczna nie jest zdefiniowana dla takich kątów α, przy których punkt początkowy przechodzi do punktu o zerowej odciętej (0, 1) lub (0, −1) , a ma to miejsce pod kątami 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Rzeczywiście, przy takich kątach obrotu wyrażenie tgα=y/x nie ma sensu, ponieważ zawiera dzielenie przez zero. Jeśli chodzi o cotangens, to nie jest zdefiniowany dla takich kątów α, przy których punkt początkowy przechodzi do punktu o zerowej rzędnej (1, 0) lub (−1, 0) , a tak jest w przypadku kątów 180° k , k ∈Z (π k rad).
Zatem sinus i cosinus są zdefiniowane dla dowolnych kątów obrotu, tangens jest zdefiniowany dla wszystkich kątów z wyjątkiem 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), a cotangens dla wszystkich kątów z wyjątkiem 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).
Znane nam już oznaczenia pojawiają się w definicjach sin, cos, tg i ctg, służą także do oznaczenia sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta obrotu (czasami można spotkać zapis tan i cotodpowiadający tangensowi i cotangens). Zatem sinus kąta obrotu 30 stopni można zapisać jako sin30°, zapisy tg(−24°17′) i ctgα odpowiadają tangensowi kąta obrotu −24 stopnie 17 minut i cotangensowi kąta obrotu α . Przypomnijmy, że podczas zapisywania radianowej miary kąta często pomija się zapis „rad”. Na przykład cosinus kąta obrotu trzech piradów jest zwykle oznaczany jako cos3 π .
Na zakończenie tego akapitu warto zauważyć, że mówiąc o sinusie, cosinusie, stycznej i cotangensie kąta obrotu, często pomija się wyrażenie „kąt obrotu” lub słowo „obrót”. Oznacza to, że zamiast wyrażenia „sinus kąta obrotu alfa” zwykle używa się wyrażenia „sinus kąta alfa”, a nawet krótszego - „sinus alfa”. To samo dotyczy cosinusa, tangensa i cotangensa.
Powiedzmy również, że definicje sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym są zgodne z definicjami podanymi dla sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa kąta obrotu w zakresie od 0 do 90 stopni. Uzasadnimy to.
Liczby
Definicja.
Sinus, cosinus, tangens i cotangens liczby t jest liczbą równą odpowiednio sinusowi, cosinusowi, tangensowi i cotangensowi kąta obrotu w t radianach.
Na przykład cosinus 8 π jest z definicji liczbą równą cosinusowi kąta 8 π rad. A cosinus kąta w 8 π rad jest równy jeden, dlatego cosinus liczby 8 π jest równy 1.
Istnieje inne podejście do definicji sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa liczby. Polega ona na tym, że każdej liczbie rzeczywistej t przyporządkowany jest punkt koła jednostkowego o środku w początku prostokątnego układu współrzędnych, a sinus, cosinus, styczna i cotangens są wyznaczane ze współrzędnych tego punktu. Zastanówmy się nad tym bardziej szczegółowo.
Pokażmy, jak ustala się zgodność między liczbami rzeczywistymi a punktami koła:
- punktowi startowemu A(1, 0) przyporządkowana jest liczba 0 ;
- liczba dodatnia t jest powiązana z punktem na okręgu jednostkowym, do którego dojdziemy, jeśli obejdziemy okrąg od punktu początkowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i przejdziemy po ścieżce o długości t;
- liczba ujemna t jest powiązana z punktem na okręgu jednostkowym, do którego dojdziemy, jeśli okrążymy okrąg od punktu początkowego w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara i przejdziemy po ścieżce o długości |t| .
Przejdźmy teraz do definicji sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa liczby t. Załóżmy, że liczba t odpowiada punktowi koła A 1 (x, y) (np. liczba &pi/2; odpowiada punktowi A 1 (0, 1) ).
Definicja.
Sinus liczby t jest rzędną punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego liczbie t , czyli sint=y .
Definicja.
Cosinus liczby t nazywa się odciętą punktu koła jednostkowego odpowiadającego liczbie t , czyli koszt=x .
Definicja.
Tangens liczby t jest stosunkiem rzędnej do odciętej punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie t, czyli tgt=y/x. W innym równoważnym sformułowaniu tangens liczby t jest stosunkiem sinusa tej liczby do cosinusa, czyli tgt=sint/cost .
Definicja.
Cotangens liczby t jest stosunkiem odciętej do rzędnej punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie t, czyli ctgt=x/y. Inne sformułowanie jest następujące: tangens liczby t jest stosunkiem cosinusa liczby t do sinusa liczby t: ctgt=cost/sint .
Zauważmy tutaj, że podane właśnie definicje zgadzają się z definicją podaną na początku tego podrozdziału. Rzeczywiście, punkt okręgu jednostkowego odpowiadający liczbie t pokrywa się z punktem uzyskanym przez obrócenie punktu początkowego o kąt t radianów.
Warto również wyjaśnić tę kwestię. Powiedzmy, że mamy wpis sin3. Jak zrozumieć, czy chodzi o sinus liczby 3, czy sinus kąta obrotu 3 radianów? Zwykle wynika to jasno z kontekstu, w przeciwnym razie prawdopodobnie nie ma to znaczenia.
Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego i numerycznego
Zgodnie z definicjami podanymi w poprzednim akapicie każdemu kątowi obrotu α odpowiada dobrze określona wartość sin α , a także wartość cos α . Ponadto wszystkie kąty obrotu inne niż 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) odpowiadają wartościom tgα , a inne niż 180° k , k∈Z (π k rad ) są wartościami ctgα . Zatem sinα, cosα, tgα i ctgα są funkcjami kąta α. Innymi słowy, są to funkcje argumentu kątowego.
Podobnie możemy mówić o funkcjach sinus, cosinus, tangens i cotangens argumentu liczbowego. Rzeczywiście, każda liczba rzeczywista t odpowiada dobrze określonej wartości sint , jak również koszt . Ponadto wszystkie liczby inne niż π/2+π·k , k∈Z odpowiadają wartościom tgt , a liczby π·k , k∈Z odpowiadają wartościom ctgt .
Nazywa się funkcje sinus, cosinus, tangens i cotangens podstawowe funkcje trygonometryczne.
Zwykle z kontekstu jasno wynika, że mamy do czynienia z funkcjami trygonometrycznymi argumentu kątowego lub argumentu liczbowego. W przeciwnym razie możemy uznać zmienną niezależną zarówno za miarę kąta (argument kąta), jak i argument numeryczny.
Jednak szkoła zajmuje się głównie badaniem funkcji numerycznych, czyli funkcji, których argumentami i odpowiadającymi im wartościami funkcji są liczby. Dlatego jeśli mówimy o funkcjach, wskazane jest rozważenie funkcji trygonometrycznych jako funkcji argumentów liczbowych.
Połączenie definicji z geometrii i trygonometrii
Jeśli weźmiemy pod uwagę kąt obrotu α od 0 do 90 stopni, to dane w kontekście trygonometrii definicji sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa kąta obrotu są w pełni zgodne z definicjami sinusa, cosinusa , tangens i cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, które są podane w kursie geometrii. Uzasadnijmy to.
Narysuj okrąg jednostkowy w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych Oxy. Zwróć uwagę na punkt początkowy A(1, 0) . Obróćmy go o kąt α z zakresu od 0 do 90 stopni, otrzymamy punkt A 1 (x, y) . Opuśćmy prostopadłą A 1 H od punktu A 1 do osi Ox.
Łatwo zauważyć, że w prawym trójkącie kąt A 1 OH jest równy kątowi obrotu α, długość nogi OH przylegającej do tego kąta jest równa odciętej punktu A 1, to znaczy |OH |=x, długość ramienia przeciwnego do kąta A 1 H jest równa rzędnej punktu A 1 , czyli |A 1 H|=y , a długość przeciwprostokątnej OA 1 jest równa jeden , ponieważ jest to promień okręgu jednostkowego. Wtedy, z definicji z geometrii, sinus kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym A 1 OH jest równy stosunkowi przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej, czyli sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . I z definicji z trygonometrii sinus kąta obrotu α jest równy rzędnej punktu A 1, to znaczy sinα=y. To pokazuje, że definicja sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest równoważna definicji sinusa kąta obrotu α dla α od 0 do 90 stopni.
Podobnie można wykazać, że definicje cosinusa, stycznej i cotangensa kąta ostrego α są zgodne z definicjami cosinusa, stycznej i cotangensa kąta obrotu α.
Bibliografia.
- Geometria. 7-9 stopni: studia. dla edukacji ogólnej instytucje / [Ł. S. Atanasjan, V. F. Butuzow, S. B. Kadomcew i inni]. - 20. wyd. M.: Edukacja, 2010. - 384 s.: chor. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogoriełow A.V. Geometria: proc. dla 7-9 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / A. V. Pogorelov. - wyd. 2 - M.: Oświecenie, 2001. - 224 s.: il. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra i funkcje elementarne: Podręcznik dla uczniów klas 9 szkoły średniej / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Pod redakcją doktora nauk fizycznych i matematycznych O. N. Golovina - wyd. 4. Moskwa: Edukacja, 1969.
- Algebra: proc. na 9 komórek. śr. szkoła / Yu. N. Makarychev, NG Mindyuk, KI Neshkov, SB Suvorova; wyd. SA Telyakovsky.- M .: Enlightenment, 1990.- 272 s .: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; wyd. AN Kolmogorova.- 14th ed.- M .: Enlightenment, 2004.- 384 s .: ill.- ISBN 5-09-013651-3 .
- Mordkovich A. G. Algebra i początki analizy. klasa 10. O 14:00 Część 1: podręcznik dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 4, dodaj. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: chory. ISBN 978-5-346-00792-0 .
- Algebra i początek analizy matematycznej. Klasa 10: podręcznik. dla edukacji ogólnej instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy /[Yu. M. Kolyagin, MV Tkacheva, NE Fedorova, MI Shabunin]; wyd. AB Zhizhchenko. - 3. wyd. - I.: Edukacja, 2010. - 368 s.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Baszmakow MI Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. śr. szkoła - 3. wyd. - M.: Oświecenie, 1993. - 351 s.: chory. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do techników): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., zd.
Instrukcja
Trójkąt nazywamy prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów ma 90 stopni. Składa się z dwóch nóg i przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Leży pod kątem prostym. Nogi odpowiednio nazywane są jego mniejszymi bokami. Mogą być sobie równe lub mieć różne rozmiary. Równość nóg, nad którymi pracujesz z trójkątem prostokątnym. Jego piękno polega na tym, że łączy w sobie dwie figury: prostokątną i trójkąt równoramienny. Jeśli nogi nie są równe, trójkąt jest dowolny i zgodnie z podstawowym prawem: im większy kąt, tym bardziej toczy się ten, który leży naprzeciw niego.
Istnieje kilka sposobów na znalezienie przeciwprostokątnej według kąta. Ale zanim użyjesz jednego z nich, powinieneś ustalić, który i kąt są znane. Biorąc pod uwagę kąt i przylegającą do niego nogę, łatwiej jest znaleźć przeciwprostokątną na podstawie cosinusa kąta. Cosinus kąta ostrego (cos a) w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. Oznacza to, że przeciwprostokątna (c) będzie równa stosunkowi sąsiedniej nogi (b) do cosinusa kąta a (cos a). Można to zapisać w następujący sposób: cos a=b/c => c=b/cos a.
Jeśli podano kąt i przeciwną nogę, należy wykonać pracę. Sinus kąta ostrego (sin a) w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej (a) do przeciwprostokątnej (c). Tutaj zasada jest taka sama jak w poprzednim przykładzie, tylko sinus zamiast funkcji cosinus. sin a=a/c => c=a/sin a.
Możesz także użyć funkcji trygonometrycznej, takiej jak . Ale znalezienie pożądanej wartości jest nieco bardziej skomplikowane. Tangens kąta ostrego (tg a) w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwległej nogi (a) do sąsiedniej (b). Po znalezieniu obu nóg zastosuj twierdzenie Pitagorasa (kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg), a większa zostanie znaleziona.
notatka
Pracując z twierdzeniem Pitagorasa, nie zapominaj, że masz do czynienia ze stopniem. Po znalezieniu sumy kwadratów nóg, aby uzyskać ostateczną odpowiedź, należy wziąć pierwiastek kwadratowy.
Źródła:
- jak znaleźć nogę i przeciwprostokątną
Przeciwprostokątna to bok w trójkącie prostokątnym, który jest przeciwny do kąta 90 stopni. Aby obliczyć jego długość, wystarczy znać długość jednej z nóg trójkąta oraz wartość jednego z kątów ostrych trójkąta.
Instrukcja
Przy znanym i ostrym kącie prostym wielkość przeciwprostokątnej jest stosunkiem nogi do / tego kąta, jeśli dany kąt jest przeciwny / przylegający do niego:
h = C1(lub C2)/sinα;
h = С1(lub С2)/cosα.
Przykład: Niech ABC będzie dane z przeciwprostokątnymi AB i C. Niech kąt B będzie równy 60 stopni, a kąt A 30 stopni. Długość boku BC wynosi 8 cm. Potrzebna jest długość przeciwprostokątnej AB. Aby to zrobić, możesz użyć dowolnej z metod sugerowanych powyżej:
AB=BC/cos60=8 cm.
AB = BC/sin30 = 8 cm.
Słowo " noga” pochodzi od greckich słów „prostopadły” lub „pionowy” - to wyjaśnia, dlaczego oba boki trójkąta prostokątnego, które tworzą jego kąt dziewięćdziesiąt stopni, zostały nazwane w ten sposób. Znajdź długość dowolnego z noga ov nie jest trudne, jeśli znana jest wartość sąsiedniego kąta i dowolny inny parametr, ponieważ w tym przypadku wartości wszystkich trzech kątów będą faktycznie znane.
Instrukcja
Jeśli, oprócz wartości sąsiedniego kąta (β), długość drugiego noga a (b), następnie długość noga oraz (a) można zdefiniować jako iloraz długości znanego noga i pod znanym kątem: a=b/tg(β). Wynika to z definicji tego trygonometrycznego. Możesz obejść się bez stycznej, jeśli użyjesz twierdzenia. Wynika z tego, że stosunek długości pożądanej do sinusa przeciwnego kąta do długości znanej noga ale do sinusa znanego kąta. Przeciwnie do pożądanego noga y kąt ostry można wyrazić znanym kątem jako 180°-90°-β = 90°-β, ponieważ suma wszystkich kątów dowolnego trójkąta musi wynosić 180°, a jeden z jego kątów jest równy 90 °. Więc pożądana długość noga i może być obliczona ze wzoru a=sin(90°-β)∗b/sin(β).
Jeśli znana jest wielkość sąsiedniego kąta (β) i długość przeciwprostokątnej (c), to długość noga oraz (a) można obliczyć jako iloczyn długości przeciwprostokątnej i cosinusa znanego kąta: a=c∗cos(β). Wynika to z definicji cosinusa jako funkcji trygonometrycznej. Ale możesz użyć, jak w poprzednim kroku, twierdzenia o sinusach, a następnie długości pożądanej noga a będzie równe iloczynowi sinusa między 90° a znanym kątem pomnożonego przez stosunek długości przeciwprostokątnej do sinusa kąta prostego. A ponieważ sinus kąta 90° jest równy jeden, można to zapisać w następujący sposób: a=sin(90°-β)∗c.
Praktyczne obliczenia można wykonać na przykład za pomocą kalkulatora oprogramowania zawartego w systemie operacyjnym Windows. Aby go uruchomić, możesz wybrać pozycję „Uruchom” w menu głównym na przycisku „Start”, wpisać polecenie calc i kliknąć przycisk „OK”. Najprostsza wersja interfejsu tego programu, która otwiera się domyślnie, nie zapewnia funkcji trygonometrycznych, dlatego po uruchomieniu należy kliknąć sekcję „Widok” w menu i wybrać wiersz „Naukowy” lub „Inżynieryjny” (w zależności od od wersji używanego systemu operacyjnego).
Powiązane wideo
Słowo „katet” pochodzi z języka rosyjskiego z języka greckiego. W dosłownym tłumaczeniu oznacza pion, czyli prostopadłą do powierzchni ziemi. W matematyce nogi nazywane są bokami, które tworzą kąt prosty trójkąta prostokątnego. Strona przeciwna do tego kąta nazywana jest przeciwprostokątną. Termin „noga” jest również używany w architekturze i technice spawalniczej.
Narysuj trójkąt prostokątny ACB. Oznacz jego nogi a i b, a przeciwprostokątną c. Wszystkie boki i kąty trójkąta prostokątnego są ze sobą zdefiniowane. Stosunek nogi przeciwnej do jednego z kątów ostrych do przeciwprostokątnej nazywamy sinusem tego kąta. W tym trójkącie sinCAB=a/c. Cosinus to stosunek do przeciwprostokątnej sąsiedniej nogi, tj. cosCAB=b/c. Relacje odwrotne nazywane są siecznymi i cosecansami.
Sieczną tego kąta otrzymujemy dzieląc przeciwprostokątną przez sąsiednie ramię, czyli secCAB=c/b. Okazuje się, że jest to odwrotność cosinusa, czyli można go wyrazić wzorem secCAB=1/cosSAB.
Cosecans jest równy ilorazowi podzielenia przeciwprostokątnej przez przeciwną nogę i jest odwrotnością sinusa. Można to obliczyć za pomocą wzoru cosecCAB=1/sinCAB
Obie nogi są ze sobą połączone i cotangens. W tym przypadku styczna będzie stosunkiem boku a do boku b, czyli przeciwległej nogi do sąsiedniej. Stosunek ten można wyrazić wzorem tgCAB=a/b. Stosunek odwrotny będzie więc cotangensem: ctgCAB=b/a.
Stosunek wielkości przeciwprostokątnej do obu nóg został określony przez starożytnego greckiego Pitagorasa. Twierdzenie, jego imię, ludzie nadal używają. Mówi, że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg, to znaczy c2 \u003d a2 + b2. W związku z tym każda noga będzie równa pierwiastkowi kwadratowemu z różnicy między kwadratami przeciwprostokątnej i drugiej nogi. Formułę tę można zapisać jako b=√(c2-a2).
Długość nogi można również wyrazić za pomocą znanych ci relacji. Zgodnie z twierdzeniami sinusów i cosinusów noga jest równa iloczynowi przeciwprostokątnej i jednej z tych funkcji. Możesz to wyrazić i lub cotangens. Nogę a można znaleźć na przykład za pomocą wzoru a \u003d b * tan CAB. Dokładnie w ten sam sposób, w zależności od podanej stycznej lub , wyznaczane jest drugie ramię.
W architekturze używa się również terminu „noga”. Nakłada się go na kapitel joński i przechodzi przez środek jego grzbietu. Oznacza to, że w tym przypadku przez ten termin prostopadła do danej linii.
W technologii spawania występuje „noga spoiny pachwinowej”. Podobnie jak w innych przypadkach jest to najkrótsza odległość. Tutaj mówimy o szczelinie między jedną z części, która ma być spawana, a granicą szwu znajdującego się na powierzchni drugiej części.
Powiązane wideo
Źródła:
- jaka jest noga i przeciwprostokątna w 2019 roku