Interpolacja to metoda znajdowania zmiennych pośrednich funkcji z kilku już znanych wartości. Po raz pierwszy sformułowanie „interpolacja” zostało wprowadzone przez Johna Vallisa w eseju naukowym „The Arithmetic of the Infinite”.
Interpolacja liniowa
Najprostszym przypadkiem interpolacji jest „liniowa”, czyli znalezienie wartości z dwóch danych punktów. Ten proces obliczeniowy można postrzegać jako funkcję liniową, dzięki czemu obliczenia są bardziej wizualne. Zastosowanie funkcji do układu współrzędnych nazywamy przybliżeniem. Aby to zrobić, konieczne jest narysowanie linii prostej na osi współrzędnych przez znane punkty. Logiczne jest, że pożądaną wartość, znajdującą się między dwoma pierwszymi punktami, można znaleźć graficznie, znając odciętą X. Jeśli współrzędna X żądanej wartości leży poza znanymi wartościami (X 1, X 2), wówczas proces obliczeniowy nazywa się ekstrapolacją.
Kalkulator umożliwia wyznaczenie wartości współrzędnej Y żądanej wartości, znając współrzędne X i Y pozostałych dwóch funkcji, a także jej odciętą. Aby obliczyć, należy wprowadzić wartości podanych dwóch punktów X 1, Y 1 i X 2, Y 2, a także podać współrzędną X żądanego punktu, a serwis automatycznie określi metodę obliczeń i ją wykona.
Formuła interpolacji liniowej
Do obliczenia używa się następującego wzoru:
Przykład obliczenia
Dane: współrzędne dwóch punktów A(3;1,5) i B(6;5).
Znajdź: rzędna punktu C z odciętą 4,5.
Następnie podstawiamy wartości w określonym wzorze:
Y = 5 + (1,5 - 5) / (3 - 6) (4,5 - 6) = 5 + (-3,5) / (-3) (-1,5) = 3,25.
Wielu z nas spotkało się z niezrozumiałymi terminami w różnych naukach. Ale jest bardzo niewielu ludzi, którzy nie boją się niezrozumiałych słów, ale wręcz przeciwnie, rozweselają i zmuszają ich do głębszego zagłębienia się w badany temat. Dzisiaj porozmawiamy o czymś takim jak interpolacja. Jest to metoda kreślenia wykresów za pomocą znanych punktów, która pozwala przewidzieć jej zachowanie na określonych odcinkach krzywej przy minimalnej ilości informacji o funkcji.
Zanim przejdziemy do istoty samej definicji i opowiemy o niej bardziej szczegółowo, zagłębimy się trochę w historię.
Fabuła
Interpolacja jest znana od czasów starożytnych. Jednak zjawisko to zawdzięcza swój rozwój kilku najwybitniejszym matematykom przeszłości: Newtonowi, Leibnizowi i Gregory'emu. To oni opracowali tę koncepcję, korzystając z bardziej zaawansowanych metod matematycznych dostępnych w tamtym czasie. Wcześniej oczywiście interpolacja była używana i wykorzystywana w obliczeniach, ale robili to w sposób zupełnie niedokładny, wymagający dużej ilości danych do zbudowania modelu mniej więcej zbliżonego do rzeczywistości.
Dziś możemy nawet wybrać, która z metod interpolacji jest bardziej odpowiednia. Wszystko jest tłumaczone na język komputerowy, który może z dużą dokładnością przewidzieć zachowanie się funkcji w określonym obszarze, ograniczonym znanymi punktami.
Interpolacja jest dość wąskim pojęciem, więc jej historia nie jest tak bogata w fakty. W następnej sekcji zrozumiemy, czym właściwie jest interpolacja i czym różni się od jej przeciwieństwa – ekstrapolacji.
Czym jest interpolacja?
Jak już powiedzieliśmy, jest to ogólna nazwa metod, które pozwalają wykreślić wykres według punktów. W szkole odbywa się to głównie poprzez zestawianie tabeli, identyfikowanie punktów na wykresie i z grubsza konstruowanie łączących je linii. Ostatnia czynność jest wykonywana na podstawie rozważań nad podobieństwem badanej funkcji do innych, których typ wykresów znamy.
Istnieją jednak inne, bardziej złożone i precyzyjne sposoby wykonania zadania polegającego na wykreśleniu wykresu punkt po punkcie. Tak więc interpolacja jest w rzeczywistości „przewidywaniem” zachowania funkcji w określonym obszarze, ograniczonym znanymi punktami.
Istnieje podobna koncepcja związana z tym samym obszarem - ekstrapolacja. Jest to również przewidywanie wykresu funkcji, ale poza znanymi punktami wykresu. Dzięki tej metodzie prognoza jest dokonywana na podstawie zachowania funkcji w znanym przedziale, a następnie ta funkcja jest stosowana również do nieznanego przedziału. Metoda ta jest bardzo wygodna do praktycznego zastosowania i jest aktywnie wykorzystywana np. w gospodarce do przewidywania wzlotów i upadków na rynku oraz prognozowania sytuacji demograficznej w kraju.
Ale odbiegliśmy od głównego tematu. W następnej sekcji zrozumiemy, czym jest interpolacja i jakich formuł można użyć do wykonania tej operacji.
Rodzaje interpolacji
Najprostszym typem jest interpolacja najbliższego sąsiada. Dzięki tej metodzie otrzymujemy bardzo przybliżony wykres składający się z prostokątów. Jeśli przynajmniej raz widziałeś wyjaśnienie geometrycznego znaczenia całki na wykresie, zrozumiesz, o jakiej formie graficznej mówimy.
Ponadto istnieją inne metody interpolacji. Najbardziej znane i popularne są związane z wielomianami. Są dokładniejsze i pozwalają przewidzieć zachowanie funkcji przy raczej skromnym zbiorze wartości. Pierwszą metodą interpolacji, której się przyjrzymy, jest liniowa interpolacja wielomianowa. To najłatwiejsza metoda z tej kategorii i na pewno każdy z Was stosował ją w szkole. Jej istota polega na konstruowaniu linii prostych między znanymi punktami. Jak wiadomo, pojedyncza linia prosta przechodzi przez dwa punkty płaszczyzny, której równanie można znaleźć na podstawie współrzędnych tych punktów. Po zbudowaniu tych linii prostych otrzymujemy przerywany wykres, który przynajmniej odzwierciedla przybliżone wartości funkcji i ogólnie pokrywa się z rzeczywistością. Tak działa interpolacja liniowa.
Skomplikowane rodzaje interpolacji
Istnieje ciekawszy, ale jednocześnie bardziej złożony sposób interpolacji. Został wynaleziony przez francuskiego matematyka Josepha Louisa Lagrange'a. Dlatego obliczenie interpolacji tą metodą nosi jego imię: interpolacja metodą Lagrange'a. Sztuczka polega na tym, że jeśli metoda opisana w poprzednim akapicie wykorzystuje do obliczeń tylko funkcję liniową, to rozwinięcie Lagrange'a obejmuje również użycie wielomianów wyższych stopni. Ale nie jest tak łatwo znaleźć same formuły interpolacji dla różnych funkcji. A im więcej punktów jest znanych, tym dokładniejszy jest wzór interpolacji. Ale jest też wiele innych metod.
Istnieje również doskonalsza i bliższa rzeczywistości metoda obliczeń. Zastosowany w nim wzór interpolacji jest zbiorem wielomianów, z których zastosowanie zależy od sekcji funkcji. Ta metoda jest nazywana funkcją splajnu. Ponadto istnieją również sposoby na zrobienie czegoś takiego jak interpolacja funkcji dwóch zmiennych. Tutaj są tylko dwie metody. Należą do nich interpolacja dwuliniowa lub podwójna. Ta metoda pozwala łatwo zbudować wykres punktowo w przestrzeni trójwymiarowej. Inne metody nie zostaną naruszone. Ogólnie rzecz biorąc, interpolacja to uniwersalna nazwa dla wszystkich tych metod kreślenia wykresów, ale różnorodność sposobów, w jakie można wykonać tę akcję, wymusza ich podział na grupy w zależności od rodzaju funkcji, której ta akcja podlega. Oznacza to, że interpolacja, której przykład rozważaliśmy powyżej, odnosi się do metod bezpośrednich. Istnieje również interpolacja odwrotna, która różni się tym, że pozwala obliczyć nie funkcję bezpośrednią, ale funkcję odwrotną (to znaczy x z y). Nie będziemy rozważać tych ostatnich opcji, ponieważ jest to dość trudne i wymaga dobrej bazy wiedzy matematycznej.
Przejdźmy do być może jednej z najważniejszych sekcji. Dowiadujemy się z niej, jak i gdzie zestaw metod, o których mówimy, jest stosowany w życiu.
Aplikacja
Matematyka, jak wiadomo, jest królową nauk. Dlatego nawet jeśli na początku nie widzisz sensu w niektórych operacjach, nie oznacza to, że są one bezużyteczne. Na przykład wydaje się, że interpolacja jest bezużyteczną rzeczą, za pomocą której można budować tylko wykresy, których teraz mało kto potrzebuje. Jednak we wszelkich obliczeniach w inżynierii, fizyce i wielu innych naukach (na przykład biologii) niezwykle ważne jest przedstawienie w miarę pełnego obrazu zjawiska, mając przy tym określony zestaw wartości. Same wartości, rozrzucone po wykresie, nie zawsze dają jasne wyobrażenie o zachowaniu funkcji w określonym obszarze, wartościach jej pochodnych i punktach przecięcia z osiami. A to jest bardzo ważne dla wielu dziedzin naszego życia.
I jak przyda się w życiu?
Odpowiedź na takie pytanie może być bardzo trudna. Ale odpowiedź jest prosta: nie ma mowy. Ta wiedza jest dla ciebie bezużyteczna. Ale jeśli zrozumiesz ten materiał i metody przeprowadzania tych działań, wytrenujesz swoją logikę, która będzie bardzo przydatna w życiu. Najważniejsze nie jest sama wiedza, ale umiejętności, które dana osoba nabywa w trakcie nauki. W końcu nie bez powodu mówi się: „Żyj przez stulecie - ucz się przez stulecie”.
Pojęcia pokrewne
Możesz sam zrozumieć, jak ważna była (i nadal jest) ta dziedzina matematyki, patrząc na różnorodność innych pojęć z nią związanych. Mówiliśmy już o ekstrapolacji, ale istnieje również przybliżenie. Być może słyszałeś już to słowo. W każdym razie przeanalizowaliśmy również, co to oznacza w tym artykule. Aproksymacja, podobnie jak interpolacja, to pojęcia związane z kreśleniem wykresów funkcji. Ale różnica między pierwszym a drugim polega na tym, że jest to przybliżona konstrukcja grafu oparta na podobnych znanych grafach. Te dwie koncepcje są do siebie bardzo podobne i tym bardziej interesujące jest studiowanie każdego z nich.
Wniosek
Matematyka nie jest tak trudną nauką, jak się wydaje na pierwszy rzut oka. Jest raczej interesująca. W tym artykule staraliśmy się Ci to udowodnić. Przyjrzeliśmy się koncepcjom związanym z kreśleniem wykresów, dowiedzieliśmy się, czym jest podwójna interpolacja i przeanalizowaliśmy przykłady jej użycia.
Najprostszą i najczęściej używaną formą interpolacji lokalnej jest interpolacja liniowa. Polega ona na tym, że podane punkty ( X I , y I) Na ( i = 0, 1, ..., n) są połączone odcinkami linii prostych, a funkcja F(X) zbliża się polilinią z wierzchołkami w danych punktach.
Równania każdego segmentu linii przerywanej są na ogół różne. Ponieważ istnieje n przedziałów ( X I - 1, X I), to dla każdego z nich równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty stosuje się jako równanie wielomianu interpolacyjnego. W szczególności dla i-tego przedziału można napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty ( X I -1, y I -1 ) I ( X I , y I), Jak
|
y=a ja x+b ja , x ja-1 xx ja |
a ja = 
Dlatego stosując interpolację liniową należy najpierw wyznaczyć przedział, w którym mieści się wartość argumentu x, a następnie podstawić go do wzoru (*) i znaleźć przybliżoną wartość funkcji w tym punkcie
Rysunek 3-3 Wykres zależności interpolacji liniowej.
Rozwiązanie problemu zawodowego
Przechowywanie danych eksperymentalnych
ORIGIN:=0 Początek tablicy danych - licz od zera
I:=1..6 Liczba elementów w tablicy
Dane eksperymentalne zorganizowane w dwa wektory 
Wykonajmy interpolację za pomocą wbudowanych funkcji MathCada
Interpolacja liniowa
Lf(x i):=linterp(x,y,x)
Interpolacja kręgosłupa sześciennego
CS:= csplinia(x,y)
Budujemy splajn sześcienny zgodnie z danymi eksperymentalnymi
Lf(x i):=linterp(x,y,x i)
Interpolacja przez B-Spline
Ustaw kolejność interpolacji. Wektor u musi mieć (n-1) mniej elementów niż wektor X, gdzie pierwszy element musi być mniejszy lub równy pierwszemu elementowi X, a ostatni jest większy lub równy ostatniemu elementowi x.
BS:=bsplinia(x,y,u,n)
Budujemy B-splajn zgodnie z danymi eksperymentalnymi
BSf(x i):=(BS, x,y,x i)
Budujemy wykres wszystkich funkcji aproksymacyjnych na jednej płaszczyźnie współrzędnych.
Rysunek 4.1-Wykres wszystkich funkcji aproksymacji na jednej płaszczyźnie współrzędnych.
Wniosek
W matematyce obliczeniowej istotną rolę odgrywa interpolacja funkcji, tj. budowa danej funkcji innej (zwykle prostszej), której wartości pokrywają się z wartościami danej funkcji w określonej liczbie punktów. Ponadto interpolacja ma znaczenie zarówno praktyczne, jak i teoretyczne. W praktyce często pojawia się problem przywrócenia funkcji ciągłej z jej wartości tabelarycznych, np. otrzymanych w trakcie jakiegoś eksperymentu. Aby obliczyć wiele funkcji, efektywne okazuje się przybliżenie ich za pomocą wielomianów lub ułamkowych funkcji wymiernych. Teorię interpolacji wykorzystuje się przy konstruowaniu i badaniu wzorów kwadraturowych do całkowania numerycznego w celu uzyskania metod rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych. Główną wadą interpolacji wielomianowej jest to, że jest ona niestabilna na jednej z najwygodniejszych i najczęściej używanych siatek - siatce z równoodległymi węzłami. Jeśli problem na to pozwala, problem ten można rozwiązać, wybierając siatkę z węzłami Czebyszewa. Jeśli jednak nie możemy dowolnie wybierać węzłów interpolacji lub po prostu potrzebujemy algorytmu, który nie jest zbyt wymagający w wyborze węzłów, to interpolacja wymierna może być odpowiednią alternatywą dla interpolacji wielomianowej.
Do zalet interpolacji spline należy zaliczyć dużą szybkość przetwarzania algorytmu obliczeniowego, ponieważ splajn jest odcinkową funkcją wielomianową, a podczas interpolacji dane są przetwarzane jednocześnie dla niewielkiej liczby punktów pomiarowych należących do aktualnie rozpatrywanego fragmentu. Powierzchnia interpolowana opisuje przestrzenną zmienność różnych skal, a jednocześnie jest gładka. Ta ostatnia okoliczność umożliwia bezpośrednią analizę geometrii i topologii powierzchni za pomocą procedur analitycznych
- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Angielski rosyjski słownik elektrotechniki i energetyki, Moskwa, 1999] Tematy elektrotechniki, podstawowe pojęcia EN interpolacja liniowa ...
interpolacja liniowa- tiesinė interpoliacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. interpolacja liniowa vok. interpolacja liniowa, f rus. interpolacja liniowa, fpranc. interpolation lineaire, f … Fizikos terminų žodynas
INTERPOLACJA LINIOWA- metoda przybliżonego obliczania wartości funkcji f(x), polegająca na zastąpieniu funkcji f(x) Przy funkcji liniowej parametry aib dobiera się w taki sposób, aby wartości L(x) pokrywały się z wartościami f(x) w danych punktach x 1 i x 2: Warunki te…… Encyklopedia matematyczna
interpolacja- Obliczanie wartości pośrednich między dwoma znanymi punktami. Na przykład: liniowa interpolacja liniowa wykładnicza interpolacja wykładnicza Proces wyświetlania kolorowego obrazu, gdy piksele należące do obszaru między dwoma kolorami ... ... Podręcznik tłumacza technicznego
interpolacja- i cóż. interpolacja ż. łac. zmiana interpolacji; zmiana, zniekształcenie. 1. Wstawka późniejszego pochodzenia, w której l. tekst nie należący do oryginału. ALS 1. Istnieje wiele interpolacji dokonanych przez skrybów w starożytnych rękopisach. Usz. 1934. 2 ... Słownik historyczny galicyzmów języka rosyjskiego
Interpolacja- O funkcji patrz: Interpolant. Interpolacja, interpolacja w matematyce obliczeniowej jest sposobem znajdowania wartości pośrednich wielkości z istniejącego dyskretnego zbioru znanych wartości. Wielu z tych, którzy mają do czynienia z naukową i ... ... Wikipedią
Interpolacja (matematyka)
Interpolacja dwuliniowa- Interpolacja dwuliniowa w matematyce obliczeniowej jest rozwinięciem interpolacji liniowej dla funkcji dwóch zmiennych. Kluczową ideą jest przeprowadzenie zwykłej interpolacji liniowej najpierw w jednym kierunku, potem w drugim… Wikipedia
Interpolacja- O funkcji patrz: Interpolant. Interpolacja w matematyce obliczeniowej jest sposobem znajdowania wartości pośrednich wielkości z istniejącego dyskretnego zbioru znanych wartości. Wielu z tych, którzy mają do czynienia z obliczeniami naukowymi i inżynierskimi, często ... Wikipedia
Tabela wyszukiwania- (angielska tabela przeglądowa) to struktura danych, zwykle tablica lub tablica asocjacyjna, używana do zastąpienia obliczeń prostą operacją wyszukiwania. Przyrost prędkości może być znaczący, ponieważ pobieranie danych z pamięci……Wikipedii
Na które inne uzyskane wartości mogłyby spaść z dużą dokładnością. Takie zadanie nazywa się aproksymacją. Interpolacja to rodzaj przybliżenia, w którym krzywa konstruowanej funkcji przechodzi dokładnie przez dostępne punkty danych.
Istnieje również problem zbliżony do interpolacji, który polega na aproksymacji jakiejś funkcji złożonej inną, prostszą funkcją. Jeśli dana funkcja jest zbyt złożona do produktywnych obliczeń, możesz spróbować obliczyć jej wartość w kilku punktach i zbudować z nich, czyli interpolować, prostszą funkcję. Oczywiście użycie uproszczonej funkcji nie pozwala uzyskać takich samych dokładnych wyników, jakie dawałaby funkcja oryginalna. Jednak w przypadku niektórych klas problemów wzrost prostoty i szybkości obliczeń może przeważyć nad wynikającym z tego błędem w wynikach.
Należy również wspomnieć o zupełnie innym rodzaju interpolacji matematycznej, znanej jako „interpolacja operatorska”. Klasyczne prace dotyczące interpolacji operatorowej obejmują twierdzenie Riesza-Thorina i twierdzenie Marcinkiewicza, które są podstawą wielu innych prac.
Definicje
Rozważmy system nie pokrywających się punktów () z pewnego obszaru. Niech wartości funkcji będą znane tylko w tych punktach:
Problem interpolacji polega na znalezieniu takiej funkcji z danej klasy funkcji, która
Przykład
1. Załóżmy, że mamy funkcję tabelaryczną, taką jak ta opisana poniżej, która dla kilku wartości określa odpowiednie wartości:
| 0 | 0 |
| 1 | 0,8415 |
| 2 | 0,9093 |
| 3 | 0,1411 |
| 4 | −0,7568 |
| 5 | −0,9589 |
| 6 | −0,2794 |
Interpolacja pomaga nam dowiedzieć się, jaką wartość może mieć taka funkcja w punkcie innym niż określony (na przykład kiedy X = 2,5).
Obecnie istnieje wiele różnych metod interpolacji. Wybór najbardziej odpowiedniego algorytmu zależy od odpowiedzi na pytania: jak dokładna jest wybrana metoda, jaki jest koszt jej zastosowania, jak płynna jest funkcja interpolacji, ile punktów danych wymaga itp.
2. Znajdź wartość pośrednią (przez interpolację liniową).
| 6000 | 15.5 |
| 6378 | ? |
| 8000 | 19.2 |
Metody interpolacji
Interpolacja najbliższego sąsiada
Najprostszą metodą interpolacji jest interpolacja najbliższego sąsiada.
Interpolacja przez wielomiany
W praktyce najczęściej stosuje się interpolację przez wielomiany. Wynika to przede wszystkim z faktu, że wielomiany są łatwe do obliczenia, łatwo analitycznie znaleźć ich pochodne, a zbiór wielomianów jest gęsty w przestrzeni funkcji ciągłych (twierdzenie Weierstrassa).
- IMN-1 i IMN-2
- Wielomian Lagrange'a (wielomian interpolacyjny)
- Schemat Aitkena
Interpolacja odwrotna (obliczanie x przy danym y)
- Interpolacja odwrotna według wzoru Newtona
Interpolacja funkcji wielu zmiennych
Inne metody interpolacji
Fundacja Wikimedia. 2010 .
Synonimy:Zobacz, czym jest „Interpolacja” w innych słownikach:
1) sposób określenia, z szeregu danych wartości dowolnego wyrażenia matematycznego, jego wartości pośrednich; więc na przykład, zgodnie z zasięgiem kuli armatniej przy kącie elewacji osi kanału armatniego 1 °, 2 °, 3 °, 4 ° itp., Można to określić za pomocą ... ... Słownik obcych słów języka rosyjskiego
Wstawianie, interpolacja, włączanie, wyszukiwanie Słownik rosyjskich synonimów. interpolacja patrz wkładka Słownik synonimów języka rosyjskiego. Praktyczny przewodnik. M.: Język rosyjski. Z.E. Aleksandrowa. 2… Słownik synonimów
interpolacja- Obliczanie wartości pośrednich między dwoma znanymi punktami. Na przykład: liniowa interpolacja liniowa wykładnicza interpolacja wykładnicza Proces wyświetlania kolorowego obrazu, gdy piksele należące do obszaru między dwoma kolorami ... ... Podręcznik tłumacza technicznego
- (interpolacja) Oszacowanie wartości nieznanej wartości między dwoma punktami szeregu znanych wartości. Na przykład znając wskaźniki populacji kraju, uzyskane podczas spisu powszechnego, przeprowadzanego w odstępach 10-letnich, możesz ... ... Słowniczek terminów biznesowych
Z łaciny właściwie „fałszywy”. Jest to nazwa nadana błędnym poprawkom lub późniejszym wstawieniom w rękopisach dokonanych przez skrybów lub czytelników. Szczególnie często termin ten jest używany w krytyce rękopisów starożytnych pisarzy. W tych rękopisach... Encyklopedia literacka
Znalezienie wartości pośrednich o pewnej regularności (funkcji) przez liczbę jej znanych wartości. W języku angielskim: Interpolacja Zobacz też: Transformacje danych Finam Financial Dictionary ... Słownictwo finansowe
interpolacja- i cóż. interpolacja ż. łac. zmiana interpolacji; zmiana, zniekształcenie. 1. Wstawka późniejszego pochodzenia, w której l. tekst nie należący do oryginału. ALS 1. Istnieje wiele interpolacji dokonanych przez skrybów w starożytnych rękopisach. Usz. 1934. 2 ... Słownik historyczny galicyzmów języka rosyjskiego
INTERPOLACJA- (interpolatio), zakończenie empyrich. szereg wartości dowolnej wielkości według jej brakujących wartości pośrednich. Interpolację można wykonać na trzy sposoby: matematyczny, graficzny. i logiczne. Opierają się one na ogólnej hipotezie, że... Wielka encyklopedia medyczna
- (od łacińskiego interpolatio zmiana, zmiana), poszukiwanie wartości pośrednich wielkości według niektórych jej znanych wartości. Na przykład znalezienie wartości funkcji y = f(x) w punktach x leżących między punktami x0 i xn, x0 ... Współczesna encyklopedia
- (od łac. interpolatio zmiana zmiany), w matematyce i statystyce poszukiwanie wartości pośrednich wielkości według niektórych jej znanych wartości. Na przykład znalezienie wartości funkcji f (x) w punktach x leżących między punktami xo x1 ... xn, zgodnie z ... ... Wielki słownik encyklopedyczny