Program do rozwiązywania nierówności liniowych, kwadratowych i ułamkowych nie tylko daje odpowiedź na problem, ale dostarcza szczegółowe rozwiązanie wraz z objaśnieniami, tj. wyświetla proces rozwiązywania sprawdzający wiedzę z matematyki i/lub algebry.

Ponadto, jeśli w procesie rozwiązywania którejś z nierówności konieczne jest rozwiązanie np. równania kwadratowego, wówczas wyświetlane jest również jego szczegółowe rozwiązanie (jest ono zawarte w spoilerze).

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich w przygotowaniach do sprawdzianów, a dla rodziców do monitorowania, jak ich dzieci radzą sobie z nierównościami.

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich w szkołach ogólnokształcących podczas przygotowań do sprawdzianów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed egzaminem Unified State Exam, a także dla rodziców do kontroli rozwiązania wielu problemów z matematyki i algebry. A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz jak najszybciej odrobić zadanie domowe z matematyki lub algebry? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.

W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.

Zasady wpisywania nierówności

Dowolna litera łacińska może działać jako zmienna.
Na przykład: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itp.

Liczby można wprowadzać jako liczby całkowite lub ułamkowe.
Co więcej, liczby ułamkowe można wprowadzać nie tylko w postaci ułamka dziesiętnego, ale także w postaci ułamka zwykłego.

Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
W ułamkach dziesiętnych część ułamkową można oddzielić od całości kropką lub przecinkiem.
Na przykład możesz wprowadzić ułamki dziesiętne w następujący sposób: 2,5x - 3,5x^2

Zasady wpisywania ułamków zwykłych.
Tylko liczba całkowita może pełnić funkcję licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.

Mianownik nie może być ujemny.

Przy wprowadzaniu ułamka liczbowego licznik oddziela się od mianownika znakiem dzielenia: /
Cała część jest oddzielona od ułamka znakiem ampersandu: &
Wejście: 3 i 1/3 - 5 i 6/5 lat +1/7 lat^2
Wynik: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

Podczas wprowadzania wyrażeń można używać nawiasów. W tym przypadku przy rozwiązywaniu nierówności najpierw upraszcza się wyrażenia.
Na przykład: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Wybierz żądany znak nierówności i wprowadź wielomiany w pola poniżej.

Pierwsza nierówność układu.

Kliknij przycisk, aby zmienić typ pierwszej nierówności.

> >= < <=

Rozwiązać układ nierówności

Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musisz włączyć JavaScript.
Poniżej znajdują się instrukcje dotyczące włączania JavaScript w Twojej przeglądarce.

Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, to możesz napisać o tym w Formularzu Opinii .
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Układy nierówności z jedną niewiadomą. Przedziały numeryczne

W siódmej klasie zapoznałeś się z pojęciem układu i nauczyłeś się rozwiązywać układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Następnie rozważymy układy nierówności liniowych z jedną niewiadomą. Zbiory rozwiązań układów nierówności można zapisać za pomocą przedziałów (przedziałów, półprzedziałów, odcinków, półprostych). Zapoznasz się także z notacją przedziałów liczbowych.

Jeżeli w nierównościach \(4x > 2000\) i \(5x \leq 4000\) nieznana liczba x jest taka sama, to nierówności te rozpatrywane są łącznie i mówi się, że tworzą układ nierówności: $$ \left\ (\begin(tablica)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(tablica)\right.$$

Nawias klamrowy pokazuje, że należy znaleźć wartości x, dla których obie nierówności układu zamieniają się w prawidłowe nierówności numeryczne. Układ ten jest przykładem układu nierówności liniowych z jedną niewiadomą.

Rozwiązaniem układu nierówności z jedną niewiadomą jest wartość niewiadomej, przy której wszystkie nierówności układu zamieniają się w prawdziwe nierówności liczbowe. Rozwiązanie układu nierówności oznacza znalezienie wszystkich rozwiązań tego układu lub stwierdzenie, że ich nie ma.

Nierówności \(x \geq -2 \) i \(x \leq 3 \) można zapisać jako nierówność podwójną: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Rozwiązaniami układów nierówności z jedną niewiadomą są różne zbiory liczbowe. Te zestawy mają nazwy. Zatem na osi liczb zbiór liczb x taki, że \(-2 \leq x \leq 3 \) jest reprezentowany przez odcinek o końcach w punktach -2 i 3.

-2

3

Jeśli \(a jest segmentem i jest oznaczone przez [a; b]

Jeśli \(a jest przedziałem i jest oznaczone przez (a; b)

Zbiory liczb \(x\) spełniające nierówności \(a \leq x są półprzedziałami i oznaczane są odpowiednio [a; b) i (a; b]

Nazywa się segmenty, przedziały, półprzedziały i półproste przedziały numeryczne.

Zatem przedziały liczbowe można określić w postaci nierówności.

Rozwiązaniem nierówności z dwiema niewiadomymi jest para liczb (x; y), która zamienia daną nierówność w rzeczywistą nierówność liczbową. Rozwiązanie nierówności polega na znalezieniu zbioru wszystkich jej rozwiązań. Zatem rozwiązaniami nierówności x > y będą np. pary liczb (5; 3), (-1; -1), ponieważ \(5 \geq 3 \) i \(-1 \geq - 1\)

Rozwiązywanie układów nierówności

Nauczyłeś się już, jak rozwiązywać nierówności liniowe z jedną niewiadomą. Czy wiesz co to jest układ nierówności i rozwiązanie tego układu? Dlatego proces rozwiązywania układów nierówności z jedną niewiadomą nie sprawi Ci żadnych trudności.

A jednak przypomnijmy: aby rozwiązać układ nierówności, należy rozwiązać każdą nierówność z osobna, a następnie znaleźć przecięcie tych rozwiązań.

Przykładowo pierwotny układ nierówności został zredukowany do postaci:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Aby rozwiązać ten układ nierówności, zaznacz rozwiązanie każdej nierówności na osi liczbowej i znajdź ich przecięcie:

-2

3

Przecięcie to odcinek [-2; 3] - jest to rozwiązanie pierwotnego układu nierówności.

Rozwiązywanie nierówności. Istnieją różne rodzaje nierówności i wymagają różnych podejść do ich rozwiązywania. Jeśli nie chcesz tracić czasu i wysiłku na rozwiązywanie nierówności lub sam rozwiązać nierówność i chcesz sprawdzić, czy otrzymałeś poprawną odpowiedź, sugerujemy rozwiązanie nierówności online i skorzystanie w tym celu z naszego serwisu Math24.su. Rozwiązuje zarówno nierówności liniowe, jak i kwadratowe, w tym nierówności irracjonalne i ułamkowe. Pamiętaj, aby w odpowiednich polach wpisać obie strony nierówności i zaznaczyć znajdujący się między nimi znak nierówności, a następnie kliknąć przycisk „Rozwiązanie”. Aby zademonstrować, w jaki sposób usługa realizuje rozwiązanie nierówności, możesz wyświetlić różnego rodzaju przykłady i ich rozwiązania (wybrane po prawej stronie przycisku „Rozwiąż”). Usługa udostępnia zarówno przedziały rozwiązań, jak i wartości całkowite. Użytkownicy, którzy odwiedzają Math24.su po raz pierwszy, zachwycają się dużą szybkością usługi, ponieważ nierówności można rozwiązać online w ciągu kilku sekund, a z usługi można korzystać całkowicie bezpłatnie nieograniczoną liczbę razy. Praca serwisu jest zautomatyzowana, obliczeń dokonuje program, a nie człowiek. Nie musisz instalować żadnego oprogramowania na swoim komputerze, rejestrować się, podawać danych osobowych ani adresu e-mail. Literówki i błędy w obliczeniach są również wykluczone, a uzyskanemu wynikowi można zaufać w 100%. Zalety rozwiązywania nierówności online. Dzięki dużej szybkości i łatwości obsługi serwis Math24.su stał się niezawodnym asystentem dla wielu uczniów i studentów. Nierówności często występują w szkolnych programach nauczania i instytutowych kursach matematyki wyższej, a ci, którzy korzystają z naszych usług online, uzyskują ogromną przewagę nad innymi. Math24.su jest dostępny całą dobę, nie wymaga rejestracji ani opłat za korzystanie, a także jest wielojęzyczny. Usługi online nie powinny zaniedbywać osoby, które samodzielnie szukają rozwiązań nierówności. Przecież Math24.su to doskonała okazja, aby sprawdzić poprawność swoich obliczeń, dowiedzieć się, gdzie popełniono błąd i zobaczyć, jak rozwiązywane są różnego rodzaju nierówności. Innym powodem, dla którego rozwiązywanie nierówności online będzie skuteczniejsze, jest sytuacja, gdy rozwiązywanie nierówności nie jest zadaniem głównym, a jedynie jego częścią. W takim przypadku po prostu nie ma sensu poświęcać dużo czasu i wysiłku na obliczenia i lepiej powierzyć je usłudze online, skupiając się na rozwiązaniu głównego problemu. Jak widać, usługa online do rozwiązywania nierówności przyda się zarówno tym, którzy samodzielnie rozwiązują tego typu problemy matematyczne, jak i tym, którzy nie chcą tracić czasu i wysiłku na długie obliczenia, ale muszą szybko uzyskać odpowiedź. Dlatego, gdy napotkasz nierówności, nie zapomnij skorzystać z naszej usługi, aby rozwiązać wszelkie nierówności online: liniowe, kwadratowe, irracjonalne, trygonometryczne, logarytmiczne. Czym są nierówności i jak się je wyznacza. Nierówność jest odwrotną stroną równości i jako koncepcja wiąże się z porównaniem dwóch obiektów. W zależności od cech porównywanych obiektów mówimy: wyższy, niższy, krótszy, dłuższy, grubszy, cieńszy itp. W matematyce znaczenie nierówności nie zostaje utracone, ale tutaj mówimy o nierównościach obiektów matematycznych: liczbach, wyrażeniach, wartościach wielkości, cyfrach itp. Zwyczajowo używa się kilku znaków nierówności: , ≤, ≥. Wyrażenia matematyczne posiadające takie znaki nazywane są nierównościami. Pomiędzy większymi i mniejszymi obiektami umieszcza się znak > (większy niż), który oznacza ścisłe nierówności. Nieścisłe nierówności opisują sytuację, gdy jedno wyrażenie jest „nie więcej” („nie mniej”) niż inne. „Nie więcej” oznacza mniej lub tyle samo, a „nie mniej” oznacza więcej lub tyle samo.

W artykule rozważymy rozwiązywanie nierówności. Powiemy Ci jasno o jak skonstruować rozwiązanie nierówności z jasnymi przykładami!

Zanim zajmiemy się rozwiązywaniem nierówności na przykładach, poznajmy podstawowe pojęcia.

Ogólne informacje o nierównościach

Nierówność to wyrażenie, w którym funkcje są połączone znakami relacji >, . Nierówności mogą być zarówno liczbowe, jak i dosłowne.
Nierówności z dwoma znakami stosunku nazywane są podwójnymi, z trzema - potrójnymi itp. Na przykład:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nierówności zawierające znak > lub lub - nie są ścisłe.
Rozwiązanie nierówności jest dowolną wartością zmiennej, dla której ta nierówność będzie prawdziwa.
"Rozwiąż nierówność" oznacza, że ​​musimy znaleźć zbiór wszystkich jego rozwiązań. Są różne metody rozwiązywania nierówności. Dla rozwiązania nierówności Używają osi liczbowej, która jest nieskończona. Na przykład, rozwiązanie nierówności x > 3 to przedział od 3 do +, a liczba 3 nie jest wliczona w ten przedział, dlatego punkt na prostej jest oznaczony pustym kółkiem, ponieważ nierówność jest ostra.
+
Odpowiedź będzie brzmiała: x (3; +).
Wartość x=3 nie jest uwzględniona w zestawie rozwiązań, dlatego nawias jest okrągły. Znak nieskończoności jest zawsze wyróżniany w nawiasie. Znak oznacza „przynależność”.
Przyjrzyjmy się, jak rozwiązać nierówności na innym przykładzie ze znakiem:
x 2
-+
Wartość x=2 wchodzi w skład zbioru rozwiązań, zatem nawias jest kwadratowy, a punkt na prostej zaznaczony jest wypełnionym okręgiem.
Odpowiedź będzie brzmieć: x.

Podsumujmy, czego się nauczyliśmy.
Powiedzmy, że konieczne jest rozwiązanie układu nierówności: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Następnie przedział ($x_1; x_2$) jest rozwiązaniem pierwszej nierówności.
Przedział ($y_1; y_2$) jest rozwiązaniem drugiej nierówności.
Rozwiązaniem układu nierówności jest przecięcie rozwiązań każdej nierówności.

Systemy nierówności mogą składać się nie tylko z nierówności pierwszego rzędu, ale także z wszelkich innych typów nierówności.

Ważne zasady rozwiązywania układów nierówności.
Jeśli jedna z nierówności układu nie ma rozwiązań, to cały układ nie ma rozwiązań.
Jeżeli dla dowolnych wartości zmiennej spełniona jest jedna z nierówności, wówczas rozwiązaniem układu będzie rozwiązanie drugiej nierówności.

Przykłady.
Rozwiąż układ nierówności:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Rozwiązanie.
Rozwiążmy każdą nierówność osobno.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Rozwiążmy drugą nierówność.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Rozwiązaniem nierówności jest przedział.
Narysujmy oba przedziały na tej samej prostej i znajdźmy punkt przecięcia.
Przecięciem przedziałów jest odcinek (4; 6).
Odpowiedź: (4;6).

Rozwiązać układ nierówności.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases) )$.

Rozwiązanie.
a) Pierwsza nierówność ma rozwiązanie x>1.
Znajdźmy dyskryminator drugiej nierówności.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Pamiętajmy o zasadzie: jeśli jedna z nierówności nie ma rozwiązań, to cały układ nie ma rozwiązań.
Odpowiedź: Nie ma rozwiązań.

B) Pierwsza nierówność ma rozwiązanie x>1.
Druga nierówność jest większa od zera dla każdego x. Wtedy rozwiązanie układu pokrywa się z rozwiązaniem pierwszej nierówności.
Odpowiedź: x>1.

Zadania dotyczące układów nierówności do samodzielnego rozwiązania

Rozwiązuj układy nierówności:
a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(przypadki)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(przypadki)$
e) $\begin(przypadki)x^2+36

jest dowolnym zbiorem dwóch lub więcej nierówności liniowych zawierających tę samą nieznaną wielkość

Oto przykłady takich systemów:

Naszym rozwiązaniem jest odstęp przecięcia dwóch promieni. Zatem rozwiązaniem tej nierówności jest wszystko X znajduje się pomiędzy dwoma a ósmymi.

Odpowiedź: X

Czasami nazywa się wykorzystanie tego typu mapowania do rozwiązania układu nierówności metoda dachowa.

Definicja: Przecięcie dwóch zbiorów A I W nazywa się trzecim zbiorem, który zawiera wszystkie elementy zawarte w A i w W. Takie jest znaczenie przecięcia zbiorów o dowolnym charakterze. Rozważamy teraz szczegółowo zbiory numeryczne, dlatego przy znajdowaniu nierówności liniowych takimi zbiorami są promienie - współkierunkowe, przeciwkierunkowe i tak dalej.

Przekonajmy się na żywo przykłady znajdowanie liniowych układów nierówności, jak wyznaczać przecięcia zbiorów rozwiązań poszczególnych nierówności wchodzących w skład układu.

Obliczmy system nierówności:

Umieśćmy dwie linie sił jedna pod drugą. Na górze nakreślimy te wartości X, które spełniają pierwszą nierówność X>7 , a na dole - które stanowią rozwiązanie drugiej nierówności X>10 Porównajmy wyniki osi liczbowych i przekonajmy się, że obie nierówności zostaną spełnione, kiedy X>10.

Odpowiedź: (10;+∞).

Robimy to analogicznie do pierwszej próbki. Na danej osi liczbowej nanosimy wszystkie te wartości X dla którego istnieje pierwszy system nierówności, a na drugiej osi liczbowej, znajdującej się pod pierwszą, wszystkie te wartości X, dla którego spełniona jest druga nierówność układu. Porównajmy te dwa wyniki i ustalmy, że obie nierówności będą jednocześnie spełnione dla wszystkich wartości X znajdujących się pomiędzy 7 a 10, biorąc pod uwagę znaki, otrzymujemy 7<x≤10

Odpowiedź: (7; 10).

W podobny sposób rozwiązuje się następujące problemy. systemy nierówności.