Przykładami rozwiązań są równania z potęgami. Co to jest równanie wykładnicze i jak je rozwiązać

Rozwiązywanie równań wykładniczych. Przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Co się stało równanie wykładnicze? Jest to równanie, w którym występują niewiadome (x) i wyrażenia z nimi związane wskaźniki kilka stopni. I tylko tam! To jest ważne.

Tutaj jesteś przykłady równań wykładniczych:

3 x 2 x = 8 x + 3

Notatka! W podstawach stopni (poniżej) - tylko numery. W wskaźniki stopnie (powyżej) - szeroka gama wyrażeń z x. Jeśli nagle w równaniu pojawi się x w innym miejscu niż wskaźnik, na przykład:

będzie to równanie typu mieszanego. Takie równania nie mają jasnych reguł rozwiązywania. Na razie nie będziemy ich rozważać. Tutaj zajmiemy się rozwiązanie równań wykładniczych w najczystszej postaci.

W rzeczywistości nawet czyste równania wykładnicze nie zawsze są jasno rozwiązane. Istnieją jednak pewne typy równań wykładniczych, które można i należy rozwiązać. Oto typy, którym się przyjrzymy.

Rozwiązywanie najprostszych równań wykładniczych.

Zacznijmy od czegoś bardzo podstawowego. Na przykład:

Nawet bez żadnej teorii, przez prosty wybór jasne jest, że x = 2. Nic więcej, prawda!? Żadnych innych rzutów o wartości x. A teraz spójrzmy na rozwiązanie tego trudnego równania wykładniczego:

Co my zrobiliśmy? W rzeczywistości po prostu wyrzuciliśmy te same dna (trójki). Całkowicie wyrzucony. I, co się podoba, uderz w sedno!

Rzeczywiście, jeśli w równaniu wykładniczym po lewej i po prawej stronie są ten sam liczby w dowolnym stopniu, liczby te można usunąć i wyrównać wykładniki. Matematyka pozwala. Pozostaje rozwiązać znacznie prostsze równanie. To dobrze, prawda?)

Pamiętajmy jednak ironicznie: możesz usunąć podstawy tylko wtedy, gdy numery podstaw po lewej i prawej stronie są w doskonałej izolacji! Bez żadnych sąsiadów i współczynników. Powiedzmy w równaniach:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , lub

Nie możesz usunąć podwójnych!

Cóż, najważniejsze opanowaliśmy. Jak przejść od złych wyrażeń wykładniczych do prostszych równań.

„Oto te czasy!” - mówisz. „Kto da takie prymitywy na kontrolę i egzaminy!?”

Zmuszony do zgody. Nikt nie będzie. Ale teraz wiesz, gdzie się udać, rozwiązując mylące przykłady. Należy o tym pamiętać, gdy ten sam numer bazowy znajduje się po lewej stronie - po prawej stronie. Wtedy wszystko będzie łatwiejsze. Właściwie jest to klasyka matematyki. Bierzemy oryginalny przykład i przekształcamy go w pożądany nas umysł. Oczywiście zgodnie z zasadami matematyki.

Rozważ przykłady, które wymagają dodatkowego wysiłku, aby je uprościć. Nazwijmy ich proste równania wykładnicze.

Rozwiązywanie prostych równań wykładniczych. Przykłady.

Podczas rozwiązywania równań wykładniczych obowiązują główne zasady działania z uprawnieniami. Bez wiedzy o tych działaniach nic nie zadziała.

Do działań ze stopniami należy dodać osobistą obserwację i pomysłowość. Czy potrzebujemy tych samych liczb bazowych? Szukamy ich więc w przykładzie w postaci jawnej lub zaszyfrowanej.

Zobaczmy, jak to się robi w praktyce?

Podajmy przykład:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pierwszy rzut oka na fusy. Oni... Oni są inni! Dwa i osiem. Ale jest za wcześnie, by się zniechęcać. Pora o tym pamiętać

Dwa i osiem są pokrewnymi stopniami.) Całkiem możliwe jest zapisanie:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jeśli przypomnimy sobie formułę z działań z mocami:

(za n) m = za nm ,

generalnie działa świetnie:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Oryginalny przykład wygląda tak:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Przenosimy 2 3 (x+1) po prawej stronie (nikt nie anulował elementarnych działań matematyki!), otrzymujemy:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

To praktycznie wszystko. Usuwanie baz:

Rozwiązujemy tego potwora i otrzymujemy

To jest poprawna odpowiedź.

W tym przykładzie znajomość potęg dwójki pomogła nam. My zidentyfikowane w ósemce zaszyfrowana dwójka. Ta technika (kodowanie wspólnych podstaw pod różnymi liczbami) jest bardzo popularną sztuczką w równaniach wykładniczych! Tak, nawet w logarytmach. Trzeba umieć rozpoznać potęgi innych liczb w liczbach. Jest to niezwykle ważne przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.

Faktem jest, że podniesienie dowolnej liczby do dowolnej potęgi nie stanowi problemu. Pomnóż, nawet na kartce papieru, i to wszystko. Na przykład każdy może podnieść 3 do piątej potęgi. 243 okaże się, jeśli znasz tabliczkę mnożenia.) Ale w równaniach wykładniczych znacznie częściej nie trzeba podnosić do potęgi, ale odwrotnie ... jaka liczba w jakim zakresie ukrywa się za liczbą 243 lub powiedzmy 343... Żaden kalkulator Ci tu nie pomoże.

Musisz znać potęgi niektórych liczb z widzenia, tak... Poćwiczymy?

Określ, jakie potęgi i jakie liczby są liczbami:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpowiedzi (oczywiście w bałaganie!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz dziwny fakt. Odpowiedzi jest więcej niż pytań! Cóż, zdarza się... Na przykład 2 6 , 4 3 , 8 2 to wszystko 64.

Załóżmy, że zanotowałeś informacje o znajomości liczb.) Przypomnę, że do rozwiązywania równań wykładniczych stosujemy całość zasób wiedzy matematycznej. W tym z niższej klasy średniej. Nie poszedłeś od razu do liceum, prawda?

Na przykład przy rozwiązywaniu równań wykładniczych bardzo często pomaga wyciągnięcie wspólnego czynnika z nawiasów (witaj w klasie 7!). Zobaczmy przykład:

3 2x+4 -11 9x = 210

I znowu pierwsze spojrzenie - na terenie! Podstawy stopni są różne... Trzy i dziewięć. I chcemy, żeby były takie same. Cóż, w tym przypadku pragnienie jest całkiem możliwe!) Ponieważ:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Zgodnie z tymi samymi zasadami dla działań ze stopniami:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

To świetnie, możesz napisać:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. Więc co dalej!? Trójek nie da się wyrzucić... Ślepy zaułek?

Zupełnie nie. Pamiętając o najbardziej uniwersalnej i potężnej regule decyzyjnej Wszystko zadania matematyczne:

Jeśli nie wiesz, co robić, rób, co możesz!

Patrzysz, wszystko jest uformowane).

Co jest w tym równaniu wykładniczym Móc Do? Tak, lewa strona bezpośrednio prosi o nawiasy! Wspólny czynnik 3 2x wyraźnie na to wskazuje. Spróbujmy, a potem zobaczymy:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Przykład jest coraz lepszy!

Przypominamy, że aby wyeliminować podstawy, potrzebujemy czystego stopnia, bez żadnych współczynników. Niepokoi nas liczba 70. Więc dzielimy obie strony równania przez 70, otrzymujemy:

op-pa! Wszystko było dobrze!

To jest ostateczna odpowiedź.

Zdarza się jednak, że kołowanie z tych samych powodów uzyskuje się, ale ich likwidację nie. Dzieje się tak w równaniach wykładniczych innego typu. Weźmy ten typ.

Zmiana zmiennej w rozwiązywaniu równań wykładniczych. Przykłady.

Rozwiążmy równanie:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Po pierwsze - jak zwykle. Przejdźmy do bazy. Do dwójki.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Otrzymujemy równanie:

2 2x - 3 2x +2 = 0

I tutaj będziemy wisieć. Poprzednie sztuczki nie zadziałają, bez względu na to, jak je obrócisz. Będziemy musieli skorzystać z arsenału innego potężnego i wszechstronnego sposobu. To jest nazwane podstawienie zmiennej.

Istota metody jest zaskakująco prosta. Zamiast jednej złożonej ikony (w naszym przypadku 2 x) piszemy inną, prostszą (na przykład t). Taka pozornie bezsensowna zamiana prowadzi do niesamowitych rezultatów!) Wszystko staje się jasne i zrozumiałe!

Więc pozwól

Następnie 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Zamieniamy w naszym równaniu wszystkie potęgi na x przez t:

Cóż, świta?) Nie zapomniałeś jeszcze równań kwadratowych? Rozwiązujemy przez dyskryminację, otrzymujemy:

Tutaj najważniejsze jest, aby się nie zatrzymywać, jak to się dzieje… To jeszcze nie jest odpowiedź, potrzebujemy x, a nie t. Wracamy do Xs, tj. zrobienie zamiennika. Najpierw dla t 1:

To jest,

Znaleziono jeden korzeń. Szukamy drugiego, od t 2:

Um... Lewo 2 x, Prawo 1... Autostop? Tak, wcale! Wystarczy przypomnieć (z działań ze stopniami, tak...), że jedność jest każdy liczba do zera. Każdy. Cokolwiek potrzebujesz, umieścimy to. Potrzebujemy dwójki. Oznacza:

Teraz to wszystko. Mam 2 korzenie:

Oto odpowiedź.

Na rozwiązywanie równań wykładniczych na końcu czasami uzyskuje się jakiś niezręczny wyraz. Typ:

Od siódemki dwójka do prostego stopnia nie działa. To nie są krewni... Jak mogę tu być? Ktoś może być zdezorientowany ... Ale osoba, która przeczytała na tej stronie temat „Co to jest logarytm?” , uśmiechaj się tylko oszczędnie i zapisz twardą ręką absolutnie poprawną odpowiedź:

W zadaniu „B” na egzaminie nie może być takiej odpowiedzi. Wymagany jest konkretny numer. Ale w zadaniach „C” - łatwo.

Ta lekcja zawiera przykłady rozwiązywania najczęściej spotykanych równań wykładniczych. Podkreślmy główny.

Praktyczne wskazówki:

1. Przede wszystkim patrzymy fusy stopni. Zobaczmy, czy nie da się ich zrobić ten sam. Spróbujmy to zrobić aktywnie używając działania z uprawnieniami. Nie zapominaj, że liczby bez x można również zamienić na stopnie!

2. Staramy się doprowadzić równanie wykładnicze do postaci, w której lewa i prawa są ten sam liczby w dowolnym stopniu. Używamy działania z uprawnieniami I faktoryzacja. Co można policzyć w liczbach - liczymy.

3. Jeśli druga rada nie zadziałała, próbujemy zastosować podstawienie zmiennej. Wynikiem może być równanie, które można łatwo rozwiązać. Najczęściej - kwadratowy. Lub ułamek, który również redukuje się do kwadratu.

4. Aby pomyślnie rozwiązać równania wykładnicze, musisz znać stopnie niektórych liczb „z widzenia”.

Jak zwykle na koniec lekcji zapraszamy do rozwiązania.) Na własną rękę. Od prostych do złożonych.

Rozwiąż równania wykładnicze:

Trudniejsze:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Znajdź iloczyn korzeni:

2 3-x + 2 x = 9

Stało się?

Cóż, w takim razie najbardziej skomplikowany przykład (rozwiązuje się go jednak w umyśle ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Co jest ciekawsze? Oto zły przykład dla ciebie. Dość wciągająca na zwiększonym poziomie trudności. Podpowiem, że w tym przykładzie pomysłowość i najbardziej uniwersalna zasada rozwiązywania wszystkich zadań matematycznych oszczędzają.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Przykład jest prostszy, dla relaksu):

9 2 x - 4 3 x = 0

A na deser. Znajdź sumę pierwiastków równania:

x 3 x - 9 x + 7 3 x - 63 = 0

Tak tak! To jest równanie typu mieszanego! Którego nie rozważyliśmy w tej lekcji. A co należy wziąć pod uwagę, należy je rozwiązać!) Ta lekcja wystarczy, aby rozwiązać równanie. Cóż, pomysłowość jest potrzebna… I tak, siódma klasa ci pomoże (to jest podpowiedź!).

Odpowiedzi (w nieładzie, oddzielone średnikami):

1; 2; 3; 4; nie ma rozwiązań; 2; -2; -5; 4; 0.

Czy wszystko się udaje? Świetnie.

Tam jest problem? Bez problemu! W sekcji specjalnej 555 wszystkie te równania wykładnicze są rozwiązywane ze szczegółowymi wyjaśnieniami. Co, dlaczego i dlaczego. I oczywiście są dodatkowe cenne informacje na temat pracy z wszelkiego rodzaju równaniami wykładniczymi. Nie tylko z tymi).

Ostatnie zabawne pytanie do rozważenia. Na tej lekcji pracowaliśmy z równaniami wykładniczymi. Dlaczego nie wspomniałem tutaj ani słowem o ODZ? Nawiasem mówiąc, w równaniach jest to bardzo ważna rzecz ...

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla ciebie jeszcze kilka interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Ta lekcja jest przeznaczona dla tych, którzy dopiero zaczynają uczyć się równań wykładniczych. Jak zwykle zacznijmy od definicji i prostych przykładów.

Jeśli czytasz tę lekcję, to podejrzewam, że masz już przynajmniej minimalne zrozumienie najprostszych równań - liniowego i kwadratowego: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ itd. Umiejętność rozwiązywania takich konstrukcji jest absolutnie konieczna, aby nie „zawiesić się” w temacie, który zostanie teraz omówiony.

A więc równania wykładnicze. Pozwolę sobie podać kilka przykładów:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Niektóre z nich mogą ci się wydawać bardziej skomplikowane, niektóre wręcz przeciwnie, są zbyt proste. Ale wszystkie one łączy jedna ważna cecha: zawierają funkcję wykładniczą $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Wprowadzamy zatem definicję:

Równanie wykładnicze to dowolne równanie zawierające funkcję wykładniczą, tj. wyrażenie postaci $((a)^(x))$. Oprócz określonej funkcji, takie równania mogą zawierać dowolne inne konstrukcje algebraiczne - wielomiany, pierwiastki, trygonometrię, logarytmy itp.

w porządku. Zrozumiałem definicję. Teraz pytanie brzmi: jak rozwiązać to całe gówno? Odpowiedź jest jednocześnie prosta i złożona.

Zacznijmy od dobrych wiadomości: z mojego doświadczenia z wieloma studentami mogę powiedzieć, że dla większości z nich równania wykładnicze są znacznie łatwiejsze niż te same logarytmy, a tym bardziej trygonometria.

Ale są też złe wieści: czasami kompilatorów zadań do wszelkiego rodzaju podręczników i egzaminów nawiedza „inspiracja”, a ich narkotyczny mózg zaczyna produkować tak brutalne równania, że ​​rozwiązanie ich staje się problematyczne nie tylko dla uczniów - nawet wielu nauczycieli tkwi w takich problemach.

Nie mówmy jednak o smutnych rzeczach. I wróćmy do tych trzech równań, które zostały podane na samym początku historii. Spróbujmy rozwiązać każdy z nich.

Pierwsze równanie: $((2)^(x))=4$. Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać liczbę 4? Może drugi? W końcu $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — i otrzymaliśmy poprawną równość liczbową, tj. faktycznie $x=2$. Cóż, dzięki, cap, ale to równanie było tak proste, że nawet mój kot by je rozwiązał. :)

Spójrzmy na następujące równanie:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ale tutaj jest trochę trudniej. Wielu uczniów wie, że $((5)^(2))=25$ to tabliczka mnożenia. Niektórzy podejrzewają również, że $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ jest zasadniczo definicją ujemnych wykładników (podobnie jak wzór $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Wreszcie, tylko nieliczni zgadują, że te fakty można połączyć, a wynikiem jest następujący wynik:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Zatem nasze pierwotne równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\strzałka w prawo ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

A teraz jest to już całkowicie rozwiązane! Po lewej stronie równania jest funkcja wykładnicza, po prawej funkcja wykładnicza, nigdzie indziej nie ma nic oprócz nich. Dlatego można „odrzucić” podstawy i głupio zrównać wskaźniki:

Mamy najprostsze równanie liniowe, które każdy uczeń może rozwiązać w zaledwie kilku wierszach. Ok, w czterech linijkach:

\[\begin(wyrównaj)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(wyrównaj)\]

Jeśli nie rozumiesz, co wydarzyło się w ostatnich czterech wierszach, wróć do tematu „równania liniowe” i powtórz go. Ponieważ bez jasnego przyswojenia tego tematu jest za wcześnie, aby zająć się równaniami wykładniczymi.

\[((9)^(x))=-3\]

Cóż, jak decydujesz? Pierwsza myśl: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, więc pierwotne równanie można zapisać w następujący sposób:

\[((\lewo(((3)^(2)) \prawo))^(x))=-3\]

Następnie przypominamy sobie, że podnosząc stopień do potęgi, wskaźniki są mnożone:

\[((\left((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\strzałka w prawo ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(wyrównaj)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(wyrównaj)\]

I za taką decyzję dostajemy uczciwie zasłużoną dwójkę. Ponieważ my, ze spokojem Pokémona, wysłaliśmy znak minus przed trójką do potęgi tej właśnie trójki. I nie możesz tego zrobić. I własnie dlatego. Spójrz na różne potęgi trójki:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Kompilując ten tablet, nie zboczyłem tak szybko, jak to zrobiłem: rozważałem stopnie dodatnie i ujemne, a nawet ułamkowe ... no cóż, gdzie tu jest przynajmniej jedna liczba ujemna? On nie jest! A tak być nie może, ponieważ funkcja wykładnicza $y=((a)^(x))$, po pierwsze, zawsze przyjmuje tylko wartości dodatnie (nieważne ile pomnożysz jeden lub podzielisz przez dwa, i tak będzie to liczba dodatnia), a po drugie, podstawa takiej funkcji, liczba $a$, jest z definicji liczbą dodatnią!

No bo jak w takim razie rozwiązać równanie $((9)^(x))=-3$? Nie, nie ma korzeni. I w tym sensie równania wykładnicze są bardzo podobne do równań kwadratowych - może też nie być pierwiastków. Ale jeśli w równaniach kwadratowych liczbę pierwiastków określa dyskryminator (wyróżnik jest dodatni - 2 pierwiastki, ujemny - brak pierwiastków), to w równaniach wykładniczych wszystko zależy od tego, co jest na prawo od znaku równości.

W ten sposób formułujemy kluczowy wniosek: najprostsze równanie wykładnicze postaci $((a)^(x))=b$ ma pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy $b>0$. Znając ten prosty fakt, możesz łatwo ustalić, czy zaproponowane ci równanie ma pierwiastki, czy nie. Te. czy w ogóle warto to rozwiązywać, czy od razu napisać, że nie ma korzeni.

Ta wiedza przyda nam się wielokrotnie, gdy będziemy musieli rozwiązywać bardziej złożone problemy. A tymczasem dość tekstów - czas przestudiować podstawowy algorytm rozwiązywania równań wykładniczych.

Jak rozwiązywać równania wykładnicze

Sformułujmy więc problem. Konieczne jest rozwiązanie równania wykładniczego:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Zgodnie z „naiwnym” algorytmem, którego użyliśmy wcześniej, konieczne jest przedstawienie liczby $b$ jako potęgi liczby $a$:

Dodatkowo, jeśli zamiast zmiennej $x$ pojawi się jakieś wyrażenie, otrzymamy nowe równanie, które można już rozwiązać. Na przykład:

\[\begin(wyrównaj)& ((2)^(x))=8\Strzałka w prawo ((2)^(x))=((2)^(3))\Strzałka w prawo x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Strzałka w prawo ((3)^(-x))=((3)^(4))\Strzałka w prawo -x=4\Strzałka w prawo x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Strzałka w prawo ((5)^(2x))=((5)^(3))\Strzałka w prawo 2x=3\Strzałka w prawo x=\frac(3)( 2). \\\koniec(wyrównaj)\]

Co dziwne, ten schemat działa w około 90% przypadków. A co z pozostałymi 10% w takim razie? Pozostałe 10% to nieco „schizofreniczne” równania wykładnicze postaci:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Do jakiej potęgi trzeba podnieść 2 aby otrzymać 3? Na początku? Ale nie: $((2)^(1))=2$ to za mało. W sekundę? Żadne: $((2)^(2))=4$ to nie za dużo. Co wtedy?

Doświadczeni studenci prawdopodobnie już się domyślili: w takich przypadkach, gdy nie można rozwiązać „pięknie”, do sprawy podłączona jest „ciężka artyleria” - logarytmy. Przypomnę, że za pomocą logarytmów dowolną liczbę dodatnią można przedstawić jako potęgę dowolnej innej liczby dodatniej (z wyjątkiem jedynki):

Pamiętasz tę formułę? Kiedy mówię moim studentom o logarytmach, zawsze ostrzegam: ta formuła (jest to również podstawowa tożsamość logarytmiczna lub, jeśli wolisz, definicja logarytmu) będzie cię prześladować przez bardzo długi czas i „pojawi się” w najbardziej nieoczekiwane miejsca. Cóż, ujawniła się. Spójrzmy na nasze równanie i ten wzór:

\[\begin(wyrównaj)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(wyrównaj) \]

Jeśli założymy, że $a=3$ to nasza pierwotna liczba po prawej stronie, a $b=2$ to sama podstawa funkcji wykładniczej, do której tak bardzo chcemy sprowadzić prawą stronę, otrzymamy:

\[\begin(wyrównaj)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Strzałka w prawo 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Strzałka w prawo ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Strzałka w prawo x=( (\log )_(2))3. \\\koniec(wyrównaj)\]

Otrzymaliśmy nieco dziwną odpowiedź: $x=((\log )_(2))3$. W innym zadaniu, z taką odpowiedzią, wielu zwątpiłoby i zaczęło dwukrotnie sprawdzać swoje rozwiązanie: a co, jeśli gdzieś jest błąd? Spieszę cię zadowolić: nie ma tu błędu, a logarytmy w pierwiastkach równań wykładniczych to dość typowa sytuacja. Więc przyzwyczaj się :)

Teraz rozwiązujemy analogicznie pozostałe dwa równania:

\[\begin(wyrównaj)& ((5)^(x))=15\Strzałka w prawo ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Strzałka w prawo x=((\log)_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Strzałka w prawo ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Strzałka w prawo 2x=( (\log)_(4))11\Strzałka w prawo x=\frac(1)(2)((\log)_(4))11. \\\koniec(wyrównaj)\]

To wszystko! Nawiasem mówiąc, ostatnią odpowiedź można zapisać inaczej:

To my wprowadziliśmy mnożnik do argumentu logarytmu. Ale nikt nie zabrania nam dodawać do bazy tego czynnika:

Co więcej, wszystkie trzy opcje są poprawne - są to po prostu różne formy zapisania tej samej liczby. Który wybrać i zapisać w tej decyzji, zależy od Ciebie.

W ten sposób nauczyliśmy się rozwiązywać dowolne równania wykładnicze postaci $((a)^(x))=b$, gdzie liczby $a$ i $b$ są ściśle dodatnie. Jednak surowa rzeczywistość naszego świata jest taka, że ​​takie proste zadania będą spotykać Cię bardzo, bardzo rzadko. Częściej spotkasz coś takiego:

\[\begin(wyrównaj)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\koniec(wyrównaj)\]

Cóż, jak decydujesz? Czy to w ogóle da się rozwiązać? A jeśli tak, to jak?

Bez paniki. Wszystkie te równania są szybko i prosto redukowane do tych prostych wzorów, które już rozważaliśmy. Wystarczy umieć zapamiętać kilka sztuczek z kursu algebry. I oczywiście nie ma tutaj żadnych zasad pracy z dyplomami. O tym wszystkim opowiem teraz. :)

Transformacja równań wykładniczych

Pierwszą rzeczą do zapamiętania jest to, że każde równanie wykładnicze, bez względu na to, jak złożone może być, w taki czy inny sposób, musi zostać sprowadzone do najprostszych równań - tych, które już rozważaliśmy i które wiemy, jak rozwiązać. Innymi słowy, schemat rozwiązywania dowolnego równania wykładniczego wygląda następująco:

1. Zapisz oryginalne równanie. Na przykład: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Zrób coś głupiego. Lub nawet jakieś gówno zwane „przekształceniem równania”;
3. Na wyjściu uzyskaj najprostsze wyrażenia, takie jak $((4)^(x))=4$ lub coś podobnego. Co więcej, jedno początkowe równanie może dać kilka takich wyrażeń jednocześnie.

Z pierwszym punktem wszystko jasne - nawet mój kot może napisać równanie na liściu. Z trzecim punktem też wydaje się, że jest to mniej więcej jasne - powyżej rozwiązaliśmy już całą masę takich równań.

Ale co z drugim punktem? Jakie są przekształcenia? Co przekonwertować na co? I jak?

Cóż, zastanówmy się. Przede wszystkim chciałbym zwrócić uwagę na następującą rzecz. Wszystkie równania wykładnicze są podzielone na dwa typy:

1. Równanie składa się z funkcji wykładniczych o tej samej podstawie. Przykład: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=(4)^(x+1))-11$;
2. Formuła zawiera funkcje wykładnicze o różnych podstawach. Przykłady: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ i $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Zacznijmy od równań pierwszego typu - są one najłatwiejsze do rozwiązania. A w ich rozwiązaniu pomoże nam taka technika jak dobór wyrażeń stabilnych.

Podkreślenie stabilnej wypowiedzi

Spójrzmy jeszcze raz na to równanie:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Co widzimy? Cztery są podniesione do różnych stopni. Ale wszystkie te potęgi są prostymi sumami zmiennej $x$ z innymi liczbami. Dlatego należy pamiętać o zasadach pracy ze stopniami:

\[\begin(wyrównaj)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\koniec(wyrównaj)\]

Mówiąc najprościej, dodawanie wykładników można zamienić na iloczyn potęg, a odejmowanie można łatwo zamienić na dzielenie. Spróbujmy zastosować te wzory do potęg z naszego równania:

\[\begin(wyrównaj)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))((4)^(1)))=(4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\koniec(wyrównaj)\]

Przepisujemy oryginalne równanie, biorąc pod uwagę ten fakt, a następnie zbieramy wszystkie wyrazy po lewej stronie:

\[\begin(wyrównaj)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -jedenaście; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\koniec(wyrównaj)\]

Pierwsze cztery wyrazy zawierają element $((4)^(x))$ — wyjmijmy go z nawiasu:

\[\begin(wyrównaj)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\koniec(wyrównaj)\]

Pozostaje podzielić obie części równania przez ułamek $-\frac(11)(4)$, tj. zasadniczo pomnóż przez odwrócony ułamek - $-\frac(4)(11)$. Otrzymujemy:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\koniec(wyrównaj)\]

To wszystko! Zredukowaliśmy pierwotne równanie do najprostszego i otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.

Jednocześnie w trakcie rozwiązywania odkryliśmy (a nawet wyjęliśmy z nawiasu) wspólny czynnik $((4)^(x))$ - to jest wyrażenie stabilne. Można ją wyznaczyć jako nową zmienną lub po prostu dokładnie ją wyrazić i uzyskać odpowiedź. W każdym razie kluczowa zasada rozwiązania jest następująca:

Znajdź w oryginalnym równaniu stabilne wyrażenie zawierające zmienną, którą łatwo odróżnić od wszystkich funkcji wykładniczych.

Dobrą wiadomością jest to, że prawie każde równanie wykładnicze dopuszcza takie stabilne wyrażenie.

Ale są też złe wieści: takie wyrażenia mogą być bardzo trudne, a rozróżnienie ich może być dość trudne. Spójrzmy więc na inny problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Być może ktoś będzie miał teraz pytanie: „Pasza, czy jesteś naćpany? Oto różne bazy - 5 i 0,2. Ale spróbujmy przekonwertować potęgę o podstawie 0,2. Na przykład pozbądźmy się ułamka dziesiętnego, doprowadzając go do zwykłego:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Jak widać, cyfra 5 nadal się pojawiała, choć w mianowniku. Jednocześnie wskaźnik został przepisany na ujemny. A teraz przypominamy sobie jedną z najważniejszych zasad pracy ze stopniami:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Strzałka w prawo ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=(5)^(x+1))\ ]

Tutaj oczywiście trochę oszukałem. Ponieważ dla pełnego zrozumienia formuła pozbycia się negatywnych wskaźników musiała zostać zapisana w następujący sposób:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\strzałka w prawo ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ prawo))^(x+1))=(5)^(x+1))\]

Z drugiej strony nic nie stało na przeszkodzie, aby pracować tylko z jedną frakcją:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ prawo))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Ale w tym przypadku musisz być w stanie podnieść stopień do innego stopnia (przypominam: w tym przypadku wskaźniki są sumowane). Ale nie musiałem „odwracać” ułamków - może dla kogoś będzie to łatwiejsze. :)

W każdym razie oryginalne równanie wykładnicze zostanie przepisane jako:

\[\begin(wyrównaj)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\koniec(wyrównaj)\]

Okazuje się więc, że pierwotne równanie jest jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż poprzednio rozważane: tutaj nie trzeba nawet wyróżniać stabilnego wyrażenia - wszystko zostało samo zredukowane. Pozostaje tylko pamiętać, że $1=(5)^(0))$, skąd otrzymujemy:

\[\begin(wyrównaj)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\koniec(wyrównaj)\]

To całe rozwiązanie! Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź: $x=-2$. Jednocześnie chciałbym zwrócić uwagę na jedną sztuczkę, która znacznie uprościła nam wszystkie obliczenia:

W równaniach wykładniczych pozbądź się ułamków dziesiętnych, przetłumacz je na zwykłe. Umożliwi to zobaczenie tych samych podstaw stopni i znacznie uprości rozwiązanie.

Przejdźmy teraz do bardziej złożonych równań, w których istnieją różne podstawy, których generalnie nie można sprowadzić do siebie za pomocą potęg.

Korzystanie z właściwości wykładnika

Przypomnę, że mamy jeszcze dwa szczególnie trudne równania:

\[\begin(wyrównaj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\koniec(wyrównaj)\]

Główna trudność polega tutaj na tym, że nie jest jasne, co i na jakiej podstawie prowadzić. Gdzie są stałe wyrażenia? Gdzie są wspólne podstawy? Nic z tego nie ma.

Spróbujmy jednak pójść w drugą stronę. Jeśli nie ma gotowych identycznych baz, możesz spróbować je znaleźć, rozkładając dostępne bazy na czynniki.

Zacznijmy od pierwszego równania:

\[\begin(wyrównaj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\strzałka w prawo ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\koniec(wyrównaj)\]

Ale w końcu możesz zrobić coś przeciwnego - uzupełnić liczbę 21 z liczb 7 i 3. Szczególnie łatwo jest to zrobić po lewej stronie, ponieważ wskaźniki obu stopni są takie same:

\[\begin(wyrównaj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\koniec(wyrównaj)\]

To wszystko! Wyjąłeś wykładnik z iloczynu i natychmiast otrzymałeś piękne równanie, które można rozwiązać w kilku liniach.

Zajmijmy się teraz drugim równaniem. Tutaj wszystko jest znacznie bardziej skomplikowane:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

W tym przypadku ułamki okazały się nieredukowalne, ale jeśli coś można było zredukować, koniecznie to zredukuj. Często skutkuje to interesującymi podstawami, z którymi możesz już pracować.

Niestety nic nie wymyśliliśmy. Ale widzimy, że wykładniki po lewej stronie w produkcie są przeciwne:

Przypomnę: aby pozbyć się znaku minus w wykładniku, wystarczy „odwrócić” ułamek. Przepiszmy więc pierwotne równanie:

\[\begin(wyrównaj)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\koniec(wyrównaj)\]

W drugim wierszu właśnie wzięliśmy w nawias sumę z iloczynu zgodnie z regułą $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, aw tym drugim po prostu pomnożyli liczbę 100 przez ułamek.

Teraz zauważ, że liczby po lewej stronie (u podstawy) i po prawej są nieco podobne. Jak? Tak, oczywiście: są to potęgi tej samej liczby! Mamy:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \po prawej))^(2)). \\\koniec(wyrównaj)\]

Zatem nasze równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Jednocześnie po prawej stronie można również uzyskać stopień o tej samej podstawie, dla którego wystarczy „odwrócić” ułamek:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Ostatecznie nasze równanie przyjmie postać:

\[\begin(wyrównaj)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\koniec(wyrównaj)\]

To całe rozwiązanie. Jej główna idea sprowadza się do tego, że nawet z różnych powodów próbujemy haczykiem lub oszustwem sprowadzić te powody do tego samego. Pomagają nam w tym elementarne przekształcenia równań i zasady pracy z potęgami.

Ale jakie zasady i kiedy stosować? Jak zrozumieć, że w jednym równaniu trzeba podzielić obie strony przez coś, aw innym - rozłożyć podstawę funkcji wykładniczej na czynniki?

Odpowiedź na to pytanie przyjdzie wraz z doświadczeniem. Najpierw spróbuj swoich sił w prostych równaniach, a następnie stopniowo komplikuj zadania - a już wkrótce twoje umiejętności wystarczą do rozwiązania dowolnego równania wykładniczego z tego samego USE lub dowolnej niezależnej / testowej pracy.

Aby pomóc Ci w tym trudnym zadaniu, sugeruję pobranie zestawu równań z mojej strony internetowej w celu samodzielnego rozwiązania. Wszystkie równania mają odpowiedzi, więc zawsze możesz sam sprawdzić.

Do kanału youtube naszej witryny, aby być świadomym wszystkich nowych lekcji wideo.

Najpierw przypomnijmy sobie podstawowe wzory stopni i ich właściwości.

Produkt liczby A dzieje się na sobie n razy, możemy zapisać to wyrażenie jako a… a=a n

1. za 0 = 1 (za ≠ 0)

3. za n za m = za n + m

4. (a n) m = a nm

5. za n b n = (ab) n

7. za n / za m \u003d za n - m

Równania potęgowe lub wykładnicze- są to równania, w których zmienne są potęgami (lub wykładnikami), a podstawą jest liczba.

Przykłady równań wykładniczych:

W tym przykładzie liczba 6 jest podstawą, jest zawsze na dole i zmienną X stopień lub miarę.

Podajmy więcej przykładów równań wykładniczych.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Przyjrzyjmy się teraz, jak rozwiązuje się równania wykładnicze?

Weźmy proste równanie:

2 x = 2 3

Taki przykład można rozwiązać nawet w umyśle. Widać, że x=3. W końcu, aby lewa i prawa strona były równe, musisz wstawić liczbę 3 zamiast x.
Zobaczmy teraz, jak należy podjąć tę decyzję:

2 x = 2 3
x = 3

Aby rozwiązać to równanie, usunęliśmy te same podstawy(czyli dwójki) i zapisał to, co zostało, są to stopnie. Otrzymaliśmy odpowiedź, której szukaliśmy.

Podsumujmy teraz nasze rozwiązanie.

Algorytm rozwiązywania równania wykładniczego:
1. Trzeba sprawdzić ten sam czy podstawy równania po prawej i po lewej stronie. Jeśli podstawy nie są takie same, szukamy opcji rozwiązania tego przykładu.
2. Gdy podstawy są takie same, zrównać stopnia i rozwiązać wynikowe nowe równanie.

Teraz rozwiążmy kilka przykładów:

Zacznijmy prosto.

Podstawy po lewej i prawej stronie są równe liczbie 2, co oznacza, że ​​możemy odrzucić podstawę i zrównać ich stopnie.

x+2=4 Wyszło najprostsze równanie.
x=4 - 2
x=2
Odpowiedź: x=2

W poniższym przykładzie widać, że podstawy są różne, są to 3 i 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Na początek przenosimy dziewięć na prawą stronę, otrzymujemy:

Teraz musisz zrobić te same podstawy. Wiemy, że 9=3 2 . Użyjmy wzoru na potęgę (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Otrzymujemy 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 teraz jasne jest, że podstawy po lewej i prawej stronie są takie same i równe trzem, co oznacza, że ​​​​możemy je odrzucić i zrównać stopnie.

3x=2x+16 ma najprostsze równanie
3x-2x=16
x=16
Odpowiedź: x=16.

Spójrzmy na następujący przykład:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Przede wszystkim patrzymy na podstawy, podstawy są różne dwa i cztery. I musimy być tacy sami. Przekształcamy poczwórne zgodnie ze wzorem (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Używamy również jednego wzoru a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodaj do równania:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. Ale przeszkadzają nam inne liczby 10 i 24. Co z nimi zrobić? Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz, że po lewej stronie powtarzamy 2 2x, oto odpowiedź - możemy wyciąć 2 2x z nawiasów:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Obliczmy wyrażenie w nawiasach:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Całe równanie dzielimy przez 6:

Wyobraź sobie 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 podstawy są takie same, odrzuć je i zrównaj stopnie.
2x \u003d 2 okazało się najprostszym równaniem. Dzielimy to przez 2, otrzymujemy
x = 1
Odpowiedź: x = 1.

Rozwiążmy równanie:

9 x - 12*3 x +27= 0

przekształćmy:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otrzymujemy równanie:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Nasze podstawy są takie same, równe 3. W tym przykładzie widać wyraźnie, że pierwsza trójka ma stopień dwukrotnie (2x) niż druga (tylko x). W takim przypadku możesz zdecydować metoda zastępcza. Liczbę o najmniejszym stopniu zastępuje się przez:

Następnie 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Zamieniamy wszystkie stopnie na x w równaniu z t:

t 2 - 12 t + 27 \u003d 0
Otrzymujemy równanie kwadratowe. Rozwiązujemy przez dyskryminację, otrzymujemy:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Powrót do zmiennej X.

Przyjmujemy t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

To jest,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Znaleziono jeden korzeń. Szukamy drugiego, od t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odpowiedź: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na stronie możesz w dziale POMOC ZDECYDOWAĆ zadać interesujące pytania, na pewno Ci odpowiemy.

Dołącz do grupy

Sprzęt:

• komputer,
• projektor multimedialny,
• ekran,
• Aneks 1(prezentacja slajdów w programie PowerPoint) „Metody rozwiązywania równań wykładniczych”
• Załącznik 2(Rozwiązanie równania typu „Trzy różne podstawy stopni” w programie Word)
• Załącznik 3(materiały w Word do pracy praktycznej).
• Dodatek 4(materiały w programie Word do pracy domowej).

Podczas zajęć

1. Etap organizacyjny

• przesłanie tematu lekcji (napisane na tablicy),
• potrzeba lekcji uogólniającej w klasach 10-11:

Etap przygotowania studentów do aktywnego przyswajania wiedzy

Powtórzenie

Definicja.

Równanie wykładnicze to równanie zawierające zmienną w wykładniku (odpowiedzi ucznia).

Notatka nauczyciela. Równania wykładnicze należą do klasy równań przestępnych. Ta trudna do wymówienia nazwa sugeruje, że takich równań, ogólnie rzecz biorąc, nie da się rozwiązać w postaci wzorów.

Można je rozwiązać tylko w przybliżeniu metodami numerycznymi na komputerach. Ale co z pytaniami egzaminacyjnymi? Cała sztuczka polega na tym, że egzaminator układa problem w taki sposób, że po prostu dopuszcza rozwiązanie analityczne. Innymi słowy, można (i należy!) wykonać takie identyczne przekształcenia, które sprowadzają dane równanie wykładnicze do najprostszego równania wykładniczego. To jest najprostsze równanie i nazywa się: najprostsze równanie wykładnicze. Jest rozwiązany logarytm.

Sytuacja z rozwiązaniem równania wykładniczego przypomina podróż przez labirynt, który został specjalnie wymyślony przez kompilatora problemu. Z tych bardzo ogólnych rozważań wynikają dość szczegółowe zalecenia.

Aby pomyślnie rozwiązać równania wykładnicze, musisz:

1. Nie tylko aktywnie znać wszystkie tożsamości wykładnicze, ale także znajdować zestawy wartości zmiennej, na których te tożsamości są zdefiniowane, tak aby używając tych tożsamości nie uzyskać zbędnych pierwiastków, a tym bardziej nie stracić rozwiązania równania.

2. Aktywnie znać wszystkie tożsamości wykładnicze.

3. Wyraźnie, szczegółowo i bezbłędnie wykonaj matematyczne przekształcenia równań (przenieś wyrazy z jednej części równania do drugiej, nie zapominając o zmianie znaku, sprowadź ułamek do wspólnego mianownika itp.). To się nazywa kultura matematyczna. Jednocześnie same obliczenia powinny być wykonywane automatycznie ręcznie, a głowa powinna myśleć o ogólnym wątku przewodnim rozwiązania. Konieczne jest dokonywanie przekształceń tak ostrożnie i szczegółowo, jak to możliwe. Tylko to zagwarantuje prawidłowe, wolne od błędów rozwiązanie. I pamiętaj: mały błąd arytmetyczny może po prostu stworzyć transcendentalne równanie, którego w zasadzie nie da się rozwiązać analitycznie. Okazuje się, że zgubiłeś drogę i wpadłeś na ścianę labiryntu.

4. Znać metody rozwiązywania problemów (czyli znać wszystkie ścieżki w labiryncie rozwiązania). Dla prawidłowej orientacji na każdym etapie będziesz musiał (świadomie lub intuicyjnie!):

• definiować typ równania;
• zapamiętaj odpowiedni typ metoda rozwiązania zadania.

Etap uogólnienia i systematyzacji badanego materiału.

Prowadzący wraz z uczniami, przy udziale komputera, przeprowadza przeglądowe powtórzenie wszystkich typów równań wykładniczych i metod ich rozwiązywania oraz opracowuje ogólny schemat. (Wykorzystywany jest szkoleniowy program komputerowy L.Ya. Borevsky'ego „Kurs matematyki - 2000”, autorem prezentacji PowerPoint jest T.N. Kuptsova.)

Ryż. 1. Rysunek przedstawia ogólny schemat wszystkich typów równań wykładniczych.

Jak widać na tym diagramie, strategia rozwiązywania równań wykładniczych polega przede wszystkim na sprowadzeniu tego równania wykładniczego do równania, z tymi samymi podstawami , a następnie - i z tymi samymi wykładnikami.

Otrzymawszy równanie o tych samych podstawach i wykładnikach, zastępujesz ten stopień nową zmienną i otrzymujesz proste równanie algebraiczne (zwykle ułamkowe wymierne lub kwadratowe) w odniesieniu do tej nowej zmiennej.

Rozwiązując to równanie i dokonując podstawienia odwrotnego, otrzymujesz zestaw prostych równań wykładniczych, które są rozwiązywane w ogólny sposób za pomocą logarytmów.

Wyróżniają się równania, w których występują tylko iloczyny potęg (prywatnych). Używając tożsamości wykładniczych, możliwe jest natychmiastowe sprowadzenie tych równań do jednej podstawy, w szczególności do najprostszego równania wykładniczego.

Zastanów się, jak rozwiązuje się równanie wykładnicze z trzema różnymi podstawami stopni.

(Jeśli nauczyciel ma dydaktyczny program komputerowy L.Ya. Borevsky'ego „Kurs matematyki - 2000”, to oczywiście pracujemy z dyskiem, jeśli nie, możesz wydrukować z niego tego typu równanie dla każdego biurka, przedstawione poniżej .)

Ryż. 2. Plan rozwiązania równania.

Ryż. 3. Rozpoczęcie rozwiązywania równania

Ryż. 4. Koniec rozwiązania równania.

Wykonywanie prac praktycznych

Określ typ równania i rozwiąż je.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Podsumowanie lekcji

Ocenianie lekcji.

koniec lekcji

Dla nauczyciela

Schemat praktycznych odpowiedzi do pracy.

Ćwiczenia: z listy równań wybierz równania określonego typu (wpisz numer odpowiedzi do tabeli):

1. Trzy różne bazy
2. Dwie różne podstawy - różne wykładniki
3. Podstawy potęg - potęgi jednej liczby
4. Te same podstawy, różne wykładniki
5. Te same podstawy wykładników - te same wykładniki
6. Produkt potęg
7. Dwie różne podstawy stopni - te same wskaźniki
8. Najprostsze równania wykładnicze

1. (iloczyn potęg)

2. (te same podstawy - różne wykładniki)

Przykłady:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Jak rozwiązywać równania wykładnicze

Rozwiązując dowolne równanie wykładnicze, staramy się doprowadzić je do postaci \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), a następnie przejść do równości wskaźników, czyli:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Na przykład:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Ważny! Z tej samej logiki wynikają dwa wymagania dotyczące takiego przejścia:
- numer w lewa i prawa powinny być takie same;
- stopnie w lewo i w prawo muszą być „czyste”, czyli nie powinno być żadnych mnożeń, dzieleń itp.

Na przykład:

Aby doprowadzić równanie do postaci \(a^(f(x))=a^(g(x))\) i są używane.

Przykład . Rozwiąż równanie wykładnicze \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Rozwiązanie:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Wiemy, że \(27 = 3^3\). Mając to na uwadze, przekształcamy równanie.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Z własności korzenia \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) otrzymujemy, że \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Dalej, używając własności stopnia \((a^b)^c=a^(bc)\), otrzymujemy \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Wiemy również, że \(a^b a^c=a^(b+c)\). Stosując to do lewej strony, otrzymujemy: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Teraz pamiętaj, że: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Formuły tej można również użyć w odwrotnej kolejności: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Wtedy \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Stosując własność \((a^b)^c=a^(bc)\) na prawą stronę, otrzymujemy: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		A teraz mamy równe podstawy i nie ma współczynników zakłócających itp. Więc możemy dokonać przejścia.
		Przykład . Rozwiąż równanie wykładnicze \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Rozwiązanie: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Ponownie używamy własności stopnia \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) w przeciwnym kierunku. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Teraz pamiętaj, że \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Korzystając z własności stopnia, przekształcamy: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Przyglądamy się uważnie równaniu i widzimy, że zastąpienie \(t=2^x\) sugeruje się tutaj. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Znaleźliśmy jednak wartości \(t\) i potrzebujemy \(x\). Wracamy do X, dokonując podstawienia odwrotnego. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Przekształć drugie równanie, korzystając z ujemnej potęgi... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...i rozwiązuj aż do uzyskania odpowiedzi. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Odpowiedź : \(-1; 1\). Pozostaje pytanie - jak zrozumieć, kiedy zastosować jaką metodę? To przychodzi z doświadczeniem. W międzyczasie nie rozwiązałeś tego, skorzystaj z ogólnej rekomendacji do rozwiązywania złożonych problemów - „jeśli nie wiesz, co robić - rób, co możesz”. To znaczy, poszukaj, jak zasadniczo możesz przekształcić równanie, i spróbuj to zrobić - a co, jeśli wyjdzie? Najważniejsze jest, aby wykonywać tylko uzasadnione matematycznie przekształcenia. równania wykładnicze bez rozwiązań Przyjrzyjmy się jeszcze dwóm sytuacjom, które często wprawiają uczniów w zakłopotanie: - liczba dodatnia do potęgi równa się zeru, np. \(2^x=0\); - liczba dodatnia do potęgi jest równa liczbie ujemnej, np. \(2^x=-4\). Spróbujmy rozwiązać go brutalnie. Jeśli x jest liczbą dodatnią, to wraz ze wzrostem x cała potęga \(2^x\) będzie rosła tylko: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Także przeszłość. Istnieją ujemne x. Pamiętając właściwość \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), sprawdzamy: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Pomimo tego, że liczba ta zmniejsza się z każdym krokiem, nigdy nie osiągnie zera. Więc negatywny stopień też nas nie uratował. Dochodzimy do logicznego wniosku: Liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi pozostanie liczbą dodatnią. Zatem oba powyższe równania nie mają rozwiązań. równania wykładnicze o różnych podstawach W praktyce czasami istnieją równania wykładnicze o różnych podstawach, których nie można do siebie zredukować, a jednocześnie z tymi samymi wykładnikami. Wyglądają tak: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami dodatnimi. Na przykład: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Takie równania można łatwo rozwiązać, dzieląc przez dowolną część równania (zwykle dzieląc przez prawą stronę, czyli przez \ (b ^ (f (x)) \). Możesz dzielić w ten sposób, ponieważ a liczba dodatnia jest dodatnia w dowolnym stopniu (to znaczy nie dzielimy przez zero). Otrzymujemy: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Przykład . Rozwiąż równanie wykładnicze \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Rozwiązanie: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Tutaj nie możemy zamienić piątki w trójkę lub odwrotnie (przynajmniej bez użycia). Nie możemy więc dojść do postaci \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Jednocześnie wskaźniki są takie same. Podzielmy równanie przez prawą stronę, czyli przez \(3^(x+7)\) (możemy to zrobić, bo wiemy, że trójka nie będzie równa zeru w żadnym stopniu). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Teraz zapamiętaj właściwość \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) i użyj jej od lewej strony w przeciwnym kierunku. Po prawej stronie po prostu zmniejszamy ułamek. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Nie wydawało się, żeby było lepiej. Ale pamiętajmy o innej własności stopnia: \(a^0=1\), innymi słowy: "dowolna liczba do potęgi zerowej jest równa \(1\)". Odwrotność jest również prawdziwa: „jednostkę można przedstawić jako dowolną liczbę podniesioną do potęgi zero”. Używamy tego, czyniąc podstawę po prawej stronie taką samą jak po lewej. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Pozbywamy się fundamentów. Piszemy odpowiedź. Odpowiedź : \(-7\). Czasami „jednakowość” wykładników nie jest oczywista, ale umiejętne wykorzystanie właściwości stopnia rozwiązuje ten problem. Przykład . Rozwiąż równanie wykładnicze \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Rozwiązanie: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Równanie wygląda dość smutno... Nie dość, że podstaw nie da się zredukować do tej samej liczby (siódemka nie równa się \(\frac(1)(3)\)), to jeszcze inne są wskaźniki... Użyjmy jednak wykładnika lewego stopnia dwójki. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Pamiętając o własności \((a^b)^c=a^(b c)\) , przekształć po lewej stronie: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Teraz, pamiętając o ujemnej potęgowej własności \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), przekształcamy po prawej stronie: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Alleluja! Oceny są takie same! Działając zgodnie ze znanym nam schematem, decydujemy przed odpowiedzią. Odpowiedź : \(2\).