सीमा का मतलब क्या है. दूसरी अद्भुत सीमा

गणित वह विज्ञान है जो संसार का निर्माण करता है। वैज्ञानिक और आम आदमी दोनों - कोई भी इसके बिना नहीं रह सकता। सबसे पहले, छोटे बच्चों को गिनना सिखाया जाता है, फिर जोड़ना, घटाना, गुणा करना और भाग करना सिखाया जाता है, मध्य विद्यालय तक, अक्षर पदनाम चलन में आ जाते हैं, और बड़े बच्चों में अब उनसे दूर नहीं रहा जा सकता है।

लेकिन आज हम बात करेंगे कि सारा ज्ञात गणित किस पर आधारित है। संख्याओं के समुदाय के बारे में जिसे "अनुक्रम सीमाएँ" कहा जाता है।

अनुक्रम क्या हैं और उनकी सीमा कहाँ है?

"अनुक्रम" शब्द का अर्थ समझना कठिन नहीं है। यह चीजों का ऐसा निर्माण है, जहां कोई व्यक्ति या वस्तु एक निश्चित क्रम या कतार में स्थित होती है। उदाहरण के लिए, चिड़ियाघर के टिकटों के लिए कतार एक क्रम है। और केवल एक ही हो सकता है! यदि, उदाहरण के लिए, आप स्टोर की कतार को देखें, तो यह एक क्रम है। और यदि एक व्यक्ति अचानक इस कतार को छोड़ देता है, तो यह एक अलग कतार है, एक अलग क्रम है।

"सीमा" शब्द की व्याख्या भी आसानी से की जा सकती है - यह किसी चीज़ का अंत है। हालाँकि, गणित में, अनुक्रमों की सीमाएँ संख्या रेखा पर वे मान हैं जिनकी ओर संख्याओं का अनुक्रम प्रवृत्त होता है। प्रयास क्यों करता है और समाप्त नहीं होता? यह सरल है, संख्या रेखा का कोई अंत नहीं है, और अधिकांश अनुक्रम, किरणों की तरह, केवल एक शुरुआत है और इस तरह दिखते हैं:

एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3, ... एक्स एन ...

इसलिए अनुक्रम की परिभाषा प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है। सरल शब्दों में कहें तो यह किसी समुच्चय के सदस्यों की एक श्रृंखला है।

संख्या अनुक्रम कैसे बनाया जाता है?

किसी संख्या अनुक्रम का सबसे सरल उदाहरण इस तरह दिख सकता है: 1, 2, 3, 4, ...n...

ज्यादातर मामलों में, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, अनुक्रम संख्याओं से बनाए जाते हैं, और श्रृंखला के प्रत्येक अगले सदस्य, आइए इसे एक्स द्वारा निरूपित करें, का अपना नाम है। उदाहरण के लिए:

x 1 - अनुक्रम का पहला सदस्य;

x 2 - अनुक्रम का दूसरा सदस्य;

x 3 - तीसरा सदस्य;

x n nवाँ सदस्य है।

व्यावहारिक विधियों में अनुक्रम एक सामान्य सूत्र द्वारा दिया जाता है जिसमें कुछ चर होते हैं। उदाहरण के लिए:

X n = 3n, तो संख्याओं की श्रृंखला स्वयं इस प्रकार दिखाई देगी:

यह याद रखने योग्य है कि अनुक्रमों के सामान्य अंकन में, आप किसी भी लैटिन अक्षर का उपयोग कर सकते हैं, न कि केवल X का। उदाहरण के लिए: y, z, k, आदि।

अनुक्रमों के भाग के रूप में अंकगणितीय प्रगति

अनुक्रमों की सीमाओं की तलाश करने से पहले, ऐसी संख्या श्रृंखला की अवधारणा में गहराई से उतरने की सलाह दी जाती है, जिसका सामना हर किसी को तब करना पड़ा जब वे मध्यम वर्ग में थे। अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें आसन्न पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है।

कार्य: “मान लीजिए a 1 = 15, और संख्या श्रृंखला की प्रगति का चरण d = 4। इस पंक्ति के पहले 4 सदस्य बनाएँ"

समाधान: a 1 = 15 (शर्त के अनुसार) प्रगति (संख्या श्रृंखला) का पहला सदस्य है।

और 2 = 15+4=19 प्रगति का दूसरा सदस्य है।

और 3 = 19 + 4 = 23 तीसरा पद है।

और 4 = 23 + 4 = 27 चौथा पद है।

हालाँकि, इस पद्धति से बड़े मूल्यों तक पहुँचना मुश्किल है, उदाहरण के लिए, 125 तक। विशेष रूप से ऐसे मामलों के लिए, अभ्यास के लिए सुविधाजनक एक सूत्र निकाला गया: a n = a 1 + d (n-1)। इस मामले में, एक 125 = 15 + 4 (125-1) = 511।

अनुक्रम प्रकार

अधिकांश अनुक्रम अंतहीन हैं, यह जीवन भर याद रखने लायक है। संख्या श्रृंखला के दो दिलचस्प प्रकार हैं। पहला सूत्र a n =(-1) n द्वारा दिया गया है। गणितज्ञ अक्सर इस फ्लैशर अनुक्रम का उल्लेख करते हैं। क्यों? चलिए इसके नंबर चेक करते हैं.

1, 1, -1, 1, -1, 1, आदि। इस उदाहरण से, यह स्पष्ट हो जाता है कि अनुक्रमों में संख्याओं को आसानी से दोहराया जा सकता है।

भाज्य अनुक्रम. यह अनुमान लगाना आसान है कि सूत्र में एक फैक्टोरियल है जो अनुक्रम को परिभाषित करता है। उदाहरण के लिए: और n = (n+1)!

फिर क्रम इस प्रकार दिखेगा:

और 2 = 1x2x3 = 6;

और 3 = 1x2x3x4 = 24, आदि।

अंकगणितीय प्रगति द्वारा दिए गए अनुक्रम को असीम रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि असमानता -1 इसके सभी सदस्यों के लिए देखी जाती है

और 3 = - 1/8, आदि।

यहाँ तक कि एक क्रम भी है जिसमें समान संख्याएँ शामिल हैं। तो, और n \u003d 6 में अनंत संख्या में छक्के शामिल हैं।

अनुक्रम की सीमा निर्धारित करना

गणित में अनुक्रम सीमाएँ लंबे समय से मौजूद हैं। निःसंदेह, वे अपने स्वयं के सक्षम डिज़ाइन के पात्र हैं। तो, अनुक्रम सीमा की परिभाषा सीखने का समय आ गया है। सबसे पहले, एक रैखिक फलन की सीमा पर विस्तार से विचार करें:

1. सभी सीमाओं को लिम के रूप में संक्षिप्त किया गया है।
2. सीमा प्रविष्टि में संक्षिप्त नाम लिम, एक निश्चित संख्या, शून्य या अनंत की ओर रुझान वाले कुछ चर, साथ ही फ़ंक्शन भी शामिल हैं।

यह समझना आसान है कि किसी अनुक्रम की सीमा की परिभाषा इस प्रकार तैयार की जा सकती है: यह एक निश्चित संख्या है, जिस तक अनुक्रम के सभी सदस्य असीमित रूप से पहुंचते हैं। सरल उदाहरण: और x = 4x+1. फिर अनुक्रम स्वयं इस तरह दिखेगा।

5, 9, 13, 17, 21...x...

इस प्रकार, यह क्रम अनिश्चित काल तक बढ़ता जाएगा, जिसका अर्थ है कि इसकी सीमा x→∞ के रूप में अनंत के बराबर है, और इसे इस प्रकार लिखा जाना चाहिए:

यदि हम एक समान क्रम लेते हैं, लेकिन x 1 की ओर प्रवृत्त होता है, तो हमें मिलता है:

और संख्याओं की श्रृंखला इस प्रकार होगी: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, आदि। हर बार आपको संख्या को एक (0.1, 0.2, 0.9, 0.986) के करीब अधिक से अधिक प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता होगी। इस श्रृंखला से यह देखा जा सकता है कि फलन की सीमा पाँच है।

इस भाग से यह याद रखने योग्य है कि संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा क्या है, सरल कार्यों को हल करने की परिभाषा और विधि क्या है।

अनुक्रमों की सीमा के लिए सामान्य संकेतन

संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा, इसकी परिभाषा और उदाहरणों का विश्लेषण करने के बाद, हम अधिक जटिल विषय पर आगे बढ़ सकते हैं। अनुक्रमों की बिल्कुल सभी सीमाएँ एक सूत्र द्वारा तैयार की जा सकती हैं, जिसका विश्लेषण आमतौर पर पहले सेमेस्टर में किया जाता है।

तो, अक्षरों, मॉड्यूल और असमानता संकेतों के इस सेट का क्या मतलब है?

∀ एक सार्वभौमिक परिमाणक है, जो "सभी के लिए", "हर चीज के लिए", आदि वाक्यांशों का स्थान लेता है।

∃ एक अस्तित्व परिमाणक है, इस मामले में इसका मतलब है कि प्राकृतिक संख्याओं के सेट से संबंधित कुछ मान N है।

N के पीछे एक लंबी ऊर्ध्वाधर छड़ी का अर्थ है कि दिया गया सेट N "ऐसा है"। व्यवहार में, इसका अर्थ "ऐसा वैसा", "ऐसा वैसा", आदि हो सकता है।

सामग्री को समेकित करने के लिए, सूत्र को ज़ोर से पढ़ें।

सीमा की अनिश्चितता और निश्चितता

अनुक्रमों की सीमा ज्ञात करने की विधि, जिसकी ऊपर चर्चा की गई थी, यद्यपि उपयोग में सरल है, व्यवहार में इतनी तर्कसंगत नहीं है। इस फ़ंक्शन के लिए सीमा खोजने का प्रयास करें:

यदि हम अलग-अलग x मानों को प्रतिस्थापित करते हैं (हर बार बढ़ते हुए: 10, 100, 1000, आदि), तो हमें अंश में ∞ मिलता है, लेकिन हर में भी ∞ मिलता है। यह एक अजीब अंश निकला:

लेकिन क्या सच में ऐसा है? इस मामले में संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा की गणना करना काफी आसान लगता है। सब कुछ वैसे ही छोड़ना संभव होगा, क्योंकि उत्तर तैयार है, और यह उचित शर्तों पर प्राप्त हुआ था, लेकिन ऐसे मामलों के लिए विशेष रूप से एक और तरीका है।

सबसे पहले, आइए भिन्न के अंश में उच्चतम डिग्री ज्ञात करें - यह 1 है, क्योंकि x को x 1 के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए अब हर में उच्चतम डिग्री ज्ञात करें। साथ ही 1.

अंश और हर दोनों को चर से उच्चतम डिग्री तक विभाजित करें। इस स्थिति में, हम भिन्न को x 1 से विभाजित करते हैं।

इसके बाद, आइए जानें कि चर वाले प्रत्येक पद का क्या मान होता है। इस मामले में, भिन्नों पर विचार किया जाता है। x→∞ के रूप में, प्रत्येक भिन्न का मान शून्य हो जाता है। लिखित रूप में पेपर बनाते समय, निम्नलिखित फ़ुटनोट बनाना उचित है:

निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

निस्संदेह, x वाले भिन्न शून्य नहीं हुए! लेकिन उनका मूल्य इतना छोटा है कि गणना में इसे ध्यान में न रखना काफी स्वीकार्य है। वास्तव में, इस मामले में x कभी भी 0 के बराबर नहीं होगा, क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

पड़ोस क्या है?

आइए मान लें कि प्रोफेसर के पास अपने निपटान में एक जटिल अनुक्रम है, जो स्पष्ट रूप से, कम जटिल सूत्र द्वारा दिया गया है। प्रोफेसर को उत्तर मिल गया, लेकिन क्या यह फिट बैठता है? आख़िरकार, सभी लोग गलतियाँ करते हैं।

ऑगस्टे कॉची अनुक्रमों की सीमाओं को साबित करने का एक शानदार तरीका लेकर आए। उनकी पद्धति को पड़ोस ऑपरेशन कहा जाता था।

मान लीजिए कि कोई बिंदु a है, तो वास्तविक रेखा पर दोनों दिशाओं में इसका पड़ोस ε ("एप्सिलॉन") के बराबर है। चूँकि अंतिम चर दूरी है, इसका मान सदैव धनात्मक होता है।

अब आइए कुछ अनुक्रम x n निर्धारित करें और मान लें कि अनुक्रम का दसवां सदस्य (x 10) a के पड़ोस में शामिल है। इस तथ्य को गणितीय भाषा में कैसे लिखें?

मान लीजिए x 10 बिंदु a के दाईं ओर है, तो दूरी x 10 -a है<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

अब समय आ गया है कि ऊपर बताए गए फॉर्मूले को व्यवहारिक रूप से समझाया जाए। एक निश्चित संख्या को किसी अनुक्रम का अंतिम बिंदु कहना उचित है यदि असमानता ε>0 इसकी किसी भी सीमा तक बनी रहती है, और पूरे पड़ोस की अपनी प्राकृतिक संख्या N होती है, जैसे कि उच्च संख्या वाले अनुक्रम के सभी सदस्य होंगे अनुक्रम के अंदर रहें |x n - a|< ε.

इस तरह के ज्ञान से, किसी अनुक्रम की सीमाओं को हल करना, किसी तैयार उत्तर को सिद्ध या अस्वीकृत करना आसान होता है।

प्रमेयों

अनुक्रमों की सीमा पर प्रमेय सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण घटक है, जिसके बिना अभ्यास असंभव है। केवल चार मुख्य प्रमेय हैं, जिन्हें याद करके आप हल करने या सिद्ध करने की प्रक्रिया को महत्वपूर्ण रूप से सुविधाजनक बना सकते हैं:

1. किसी अनुक्रम की सीमा की विशिष्टता. किसी भी अनुक्रम की केवल एक ही सीमा हो सकती है या बिल्कुल भी नहीं। कतार के साथ भी यही उदाहरण, जिसका केवल एक ही सिरा हो सकता है।
2. यदि संख्याओं की श्रृंखला की एक सीमा है, तो इन संख्याओं का क्रम सीमित है।
3. अनुक्रमों के योग (अंतर, उत्पाद) की सीमा उनकी सीमाओं के योग (अंतर, उत्पाद) के बराबर है।
4. दो अनुक्रमों की भागफल सीमा सीमा के भागफल के बराबर होती है यदि और केवल तभी जब हर गायब न हो जाए।

अनुक्रम प्रमाण

कभी-कभी किसी संख्यात्मक अनुक्रम की दी गई सीमा को सिद्ध करने के लिए, किसी व्युत्क्रम समस्या को हल करने की आवश्यकता होती है। आइए एक उदाहरण देखें.

सिद्ध कीजिए कि सूत्र द्वारा दिए गए अनुक्रम की सीमा शून्य के बराबर है।

उपरोक्त नियम के अनुसार, किसी भी अनुक्रम के लिए असमानता |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

आइए एक निश्चित संख्या के अस्तित्व को दिखाने और अनुक्रम सीमा के अस्तित्व को साबित करने के लिए n को "एप्सिलॉन" के रूप में व्यक्त करें।

इस स्तर पर, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि "एप्सिलॉन" और "एन" सकारात्मक संख्याएं हैं और शून्य के बराबर नहीं हैं। अब आप हाई स्कूल में प्राप्त असमानताओं के बारे में ज्ञान का उपयोग करके आगे परिवर्तन जारी रख सकते हैं।

जहाँ से यह पता चलता है कि n > -3 + 1/ε। चूँकि यह याद रखने योग्य है कि हम प्राकृतिक संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, परिणाम को वर्गाकार कोष्ठक में रखकर पूर्णांकित किया जा सकता है। इस प्रकार, यह सिद्ध हो गया कि बिंदु a = 0 के "एप्सिलॉन" पड़ोस के किसी भी मान के लिए, एक मान ऐसा पाया गया कि प्रारंभिक असमानता संतुष्ट हो जाती है। इससे हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि संख्या a दिए गए अनुक्रम की सीमा है। क्यू.ई.डी.

ऐसी सुविधाजनक विधि से, आप संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा सिद्ध कर सकते हैं, भले ही यह पहली नज़र में कितना भी जटिल क्यों न लगे। मुख्य बात यह है कि कार्य को देखकर घबराना नहीं है।

या शायद वह अस्तित्व में ही नहीं है?

व्यवहार में अनुक्रम सीमा का अस्तित्व आवश्यक नहीं है। संख्याओं की ऐसी श्रृंखला खोजना आसान है जिसका वास्तव में कोई अंत नहीं है। उदाहरण के लिए, वही फ़्लैशर x n = (-1) n . यह स्पष्ट है कि चक्रीय रूप से दोहराए जाने वाले केवल दो अंकों वाले अनुक्रम की कोई सीमा नहीं हो सकती।

एक ही कहानी को एकल संख्या, भिन्नात्मक वाले अनुक्रमों के साथ दोहराया जाता है, जिसमें गणना के दौरान किसी भी क्रम (0/0, ∞/∞, ∞/0, आदि) की अनिश्चितता होती है। हालाँकि, यह याद रखना चाहिए कि गलत गणना भी होती है। कभी-कभी अपने स्वयं के समाधान की दोबारा जांच करने से आपको उत्तराधिकार की सीमा का पता लगाने में मदद मिलेगी।

मोनोटोनिक अनुक्रम

ऊपर, हमने अनुक्रमों के कई उदाहरणों, उन्हें हल करने के तरीकों पर विचार किया, और अब आइए एक अधिक विशिष्ट मामला लेने का प्रयास करें और इसे "मोनोटोन अनुक्रम" कहें।

परिभाषा: किसी भी अनुक्रम को नीरस रूप से बढ़ना कहना उचित है यदि वह सख्त असमानता x n को संतुष्ट करता है< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >एक्स एन +1.

इन दोनों स्थितियों के साथ-साथ समान गैर-सख्त असमानताएँ भी हैं। तदनुसार, x n ≤ x n +1 (गैर-घटता क्रम) और x n ≥ x n +1 (गैर-बढ़ता क्रम)।

लेकिन इसे उदाहरणों से समझना आसान है.

सूत्र x n = 2 + n द्वारा दिया गया अनुक्रम संख्याओं की निम्नलिखित श्रृंखला बनाता है: 4, 5, 6, आदि। यह एक नीरस रूप से बढ़ता क्रम है।

और यदि हम x n = 1 / n लेते हैं, तो हमें एक श्रृंखला मिलती है: 1/3, ¼, 1/5, आदि। यह एक नीरस रूप से घटता क्रम है।

अभिसारी एवं परिबद्ध अनुक्रम की सीमा

परिबद्ध अनुक्रम एक ऐसा अनुक्रम है जिसकी एक सीमा होती है। अभिसरण अनुक्रम संख्याओं की एक श्रृंखला है जिसकी अनंत सीमा होती है।

इस प्रकार, एक परिबद्ध अनुक्रम की सीमा कोई वास्तविक या सम्मिश्र संख्या होती है। याद रखें कि केवल एक ही सीमा हो सकती है।

अभिसरण अनुक्रम की सीमा एक अतिसूक्ष्म मात्रा (वास्तविक या जटिल) है। यदि आप एक अनुक्रम आरेख बनाते हैं, तो एक निश्चित बिंदु पर यह, जैसा कि यह था, अभिसरण होगा, एक निश्चित मूल्य में बदल जाएगा। इसलिए नाम - अभिसरण अनुक्रम।

मोनोटोनिक अनुक्रम सीमा

ऐसे अनुक्रम की कोई सीमा हो भी सकती है और नहीं भी। सबसे पहले, यह समझना उपयोगी है कि यह कब है, यहां से आप सीमा की अनुपस्थिति को साबित करते समय शुरू कर सकते हैं।

मोनोटोनिक अनुक्रमों के बीच, अभिसरण और अपसारी को प्रतिष्ठित किया जाता है। अभिसारी - यह एक अनुक्रम है जो समुच्चय x से बनता है और इस समुच्चय में एक वास्तविक या जटिल सीमा होती है। अपसारी - एक अनुक्रम जिसके सेट में कोई सीमा नहीं है (न तो वास्तविक और न ही जटिल)।

इसके अलावा, यदि इसकी ऊपरी और निचली सीमाएं एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व में परिवर्तित होती हैं तो अनुक्रम परिवर्तित हो जाता है।

अभिसारी अनुक्रम की सीमा कई मामलों में शून्य के बराबर हो सकती है, क्योंकि किसी भी अतिसूक्ष्म अनुक्रम की एक ज्ञात सीमा (शून्य) होती है।

आप चाहे जो भी अभिसरण अनुक्रम लें, वे सभी परिबद्ध हैं, लेकिन सभी परिबद्ध अनुक्रम अभिसरण नहीं करते हैं।

दो अभिसारी अनुक्रमों का योग, अंतर, गुणनफल भी एक अभिसारी अनुक्रम है। हालाँकि, यदि भागफल को परिभाषित किया जाए तो वह अभिसरण भी कर सकता है!

सीमा के साथ विभिन्न क्रियाएं

अनुक्रमों की सीमाएं संख्याओं और संख्याओं के समान महत्वपूर्ण (ज्यादातर मामलों में) मान हैं: 1, 2, 15, 24, 362, आदि। यह पता चलता है कि कुछ ऑपरेशन सीमाओं के साथ किए जा सकते हैं।

सबसे पहले, अंकों और संख्याओं की तरह, किसी भी अनुक्रम की सीमाएँ जोड़ी और घटाई जा सकती हैं। अनुक्रमों की सीमा पर तीसरे प्रमेय के आधार पर, निम्नलिखित समानता सत्य है: अनुक्रमों के योग की सीमा उनकी सीमाओं के योग के बराबर है।

दूसरे, अनुक्रमों की सीमा पर चौथे प्रमेय के आधार पर, निम्नलिखित समानता सत्य है: अनुक्रमों की nवीं संख्या के उत्पाद की सीमा उनकी सीमाओं के उत्पाद के बराबर है। विभाजन के लिए भी यही सच है: दो अनुक्रमों के भागफल की सीमा उनकी सीमाओं के भागफल के बराबर होती है, बशर्ते कि सीमा शून्य के बराबर न हो। आख़िरकार, यदि अनुक्रमों की सीमा शून्य के बराबर है, तो शून्य से विभाजन निकलेगा, जो असंभव है।

अनुक्रम मान गुण

ऐसा प्रतीत होता है कि संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा का पहले ही कुछ विस्तार से विश्लेषण किया जा चुका है, लेकिन "असीम रूप से छोटी" और "असीम रूप से बड़ी" संख्याओं जैसे वाक्यांशों का एक से अधिक बार उल्लेख किया गया है। जाहिर है, यदि कोई क्रम 1/x है, जहां x→∞ है, तो ऐसा अंश असीम रूप से छोटा होता है, और यदि समान क्रम है, लेकिन सीमा शून्य (x→0) की ओर जाती है, तो अंश अनंत रूप से बड़ा मान बन जाता है . और ऐसे मूल्यों की अपनी विशेषताएं होती हैं। मनमाने ढंग से छोटे या बड़े मान वाले अनुक्रम की सीमा के गुण इस प्रकार हैं:

1. मनमाने ढंग से छोटी मात्राओं की किसी भी संख्या का योग भी एक छोटी मात्रा होगी।
2. किसी भी संख्या में बड़े मानों का योग एक असीम रूप से बड़ा मान होगा।
3. मनमाने ढंग से छोटी मात्रा का उत्पाद असीम रूप से छोटा होता है।
4. मनमाने ढंग से बड़ी संख्याओं का गुणनफल एक अनंत बड़ी मात्रा है।
5. यदि मूल अनुक्रम अनंत संख्या की ओर प्रवृत्त होता है, तो इसका व्युत्क्रम अत्यंत लघु होगा और शून्य की ओर प्रवृत्त होगा।

वास्तव में, यदि आप एक सरल एल्गोरिदम जानते हैं तो अनुक्रम की सीमा की गणना करना इतना मुश्किल काम नहीं है। लेकिन अनुक्रमों की सीमाएं एक ऐसा विषय है जिस पर अधिकतम ध्यान और दृढ़ता की आवश्यकता होती है। निःसंदेह, ऐसी अभिव्यक्तियों के समाधान के सार को समझ लेना ही पर्याप्त है। छोटी शुरुआत करके समय के साथ आप बड़ी ऊंचाइयों तक पहुंच सकते हैं।

• आप LIMIT, -ए, एम।

  1. किनारा, किसी चीज़ का अंत। यहाँ पर्म प्रांत की चरम सीमा है।मामिन-सिबिर्यक, द्रुज़्की। ऐसा लगता था कि इन वनों की कोई सीमा नहीं है।बेलोव, ईव. || ट्रांस.अंत, अंत, smth की पूर्णता। [रोगी] ने अपने निकट अंत के बारे में नहीं सोचा, - उस सीमा के बारे में जिस तक वह चक्करदार गति से दौड़ा।ग्लैडकोव, ऊर्जा। वह उनके लिए जीवन की अंतिम सीमा पर पहुंचने वाली एक बूढ़ी औरत थी, जिसके पास आखिरी महिला हिस्सा बचा था - मातृ देखभाल।लाव्रेनेव, बूढ़ी औरत। केवल एक आपदा ही निकिता की खुद के साथ कलह को ख़त्म कर सकती थी।फेडिन, ब्रदर्स।

  2. कृपया. एच। (सीमा, -ओव). एक प्राकृतिक या सशर्त विशेषता जो कि की सीमा है प्रदेश; सीमांत. पूर्व में, उसने [सिवातोस्लाव] रूसी भूमि की सीमाओं को उन सीमाओं तक धकेल दिया, जिन्हें पांच सौ साल बाद, इवान द टेरिबल को फिर से रेखांकित करना पड़ा।ए.एन. टॉल्स्टॉय, रूसी भूमि कहाँ से आई। एक बार अपने पिता की भूमि से बाहर, चालियापिन की पुरानी यादों - अपनी मातृभूमि की लालसा - से मृत्यु हो गई।ग्रिबचेव, बेरियोज़्का और महासागर। || क्याया कौन सा।भू-भाग, कुछ में घिरा हुआ स्थान। सीमाओं। आशागिन जंगलों ने शिकारियों को अपने संरक्षित क्षेत्रों में स्वीकार किया।तिखोनोव, डबल रेनबो। वसंत की इस रात में, सफ़ेद बुलबुल, अपनी गर्जना के साथ, जंगल की सीमाओं की घोषणा करते हैं।पास्टर्नक, सफ़ेद रात। धीरे-धीरे, चैम्बर संगीत अमीर और कुलीन लोगों की हवेली से आगे निकल गया और कॉन्सर्ट हॉल में प्रदर्शित किया जाने लगा, जहाँ हम आज भी इसे सुनते हैं।काबालेव्स्की, लगभग तीन व्हेल और भी बहुत कुछ। || परंपरा-कवि.किनारा, देश. और राजकुमार ने अपने आज्ञाकारी तीरों को उस जहर से पोषित किया और उनके साथ विदेशी भूमि में पड़ोसियों को मौत भेज दी।पुश्किन, एंकर। मुझे याद है कि कैसे सूरज जल रहा था, सर्दियों के आकाश में उग रहा था, जब एक विमान दूर से मास्को के लिए उड़ान भर रहा था।स्मेलियाकोव, दिमित्रोव की स्मृति में। || द्वारा सीमित समयावधि पद (आमतौर पर संयोजन में अंदर). वे कहते हैं कि वे लोहे से ऑरेनबर्ग जाते हैं, और शायद मैं जाऊंगा, लेकिन सब कुछ 14 दिनों के भीतर है।एल. टॉल्स्टॉय, एस. ए. टॉल्स्टॉय को पत्र, 4 सितंबर। 1876.

  3. आमतौर पर पी.एल. एच। (सीमा, -ओव) ट्रांस.उपाय, smth की सीमा; रूपरेखा। शालीनता की सीमा के भीतर. □ अंततः, सारा धैर्य 365 सीमाएं हैं.पिसारेव, हेन की मरणोपरांत कविताएँ। - अब तक, मैं बेड़े के कमांडर के कानून द्वारा मुझे दिए गए अधिकारों से आगे नहीं जाता हूं।स्टेपानोव, पोर्ट आर्थर। फ्योडोर एंड्रीविच का अपनी पितृभूमि के अतीत के बारे में ज्ञान बहुत मामूली था, मुख्यतः "अल्पावधि" के भीतर।ई. नोसोव, दस रूबल नहीं हैं। || की उच्चतम डिग्री सपनों की सीमा. □ लोगों की शारीरिक और नैतिक शक्तियाँ थकावट की सीमा तक पहुँच गईं।वी. कोज़ेवनिकोव, पैराशूटिस्ट। मेरे देश, तेरा आवेग सुन्दर है हर चीज़ में अंतिम सीमा तक पहुँचने के लिए!विनोकुरोव, "द इंटरनेशनेल"।

  4. चटाई.एक स्थिरांक जो एक चर से संपर्क करता है जो दूसरे चर पर निर्भर करता है क्योंकि बाद वाला एक निश्चित तरीके से बदलता है। संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा.

  सीमा पर- 1) अत्यधिक तनाव में। सीमा तक नसें; 2) अत्यधिक जलन में। [गल्या:] मैं खुद आज उससे डरता हूं। वह किनारे पर है.पोगोडिन जीवित फूल।

स्रोत (मुद्रित संस्करण):रूसी भाषा का शब्दकोश: 4 खंडों में / आरएएस, भाषाविज्ञान संस्थान। अनुसंधान; ईडी। ए. पी. एवगेनिवा। - चौथा संस्करण, मिटाया गया। - एम.: रस. लंग.; पॉलीग्राफ़िक संसाधन, 1999; (विद्युत संस्करण):

मुख्य प्राथमिक कार्यों को सुलझा लिया गया है।

अधिक जटिल रूप के कार्यों की ओर बढ़ते समय, हम निश्चित रूप से ऐसे भावों का सामना करेंगे जिनका मूल्य परिभाषित नहीं है। ऐसे भाव कहलाते हैं अनिश्चितताओं.

आइए सब कुछ सूचीबद्ध करें अनिश्चितताओं के मुख्य प्रकार: शून्य को शून्य से विभाजित किया गया (0 को 0 से), अनंत को अनंत से विभाजित किया गया, शून्य को अनंत से गुणा किया गया, अनंत को अनंत से घटाया गया, एक को अनंत की घात से, शून्य को शून्य की घात से, अनंत को शून्य की घात से।

अन्य सभी अभिव्यक्तियाँ अनिश्चितता नहीं हैं और पूर्णतः विशिष्ट परिमित या अनंत मान लेती हैं।

अनिश्चितताओं को प्रकट करेंअनुमति देता है:

• फ़ंक्शन के प्रकार का सरलीकरण (संक्षिप्त गुणन सूत्रों, त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके एक अभिव्यक्ति का परिवर्तन, बाद में कमी के साथ संयुग्मित अभिव्यक्तियों द्वारा गुणा, आदि);
• उल्लेखनीय सीमाओं का उपयोग;
• एल'अस्पताल के नियम का अनुप्रयोग;
• एक अतिसूक्ष्म अभिव्यक्ति को उसके समतुल्य से बदलने का उपयोग (समकक्ष अतिसूक्ष्मों की तालिका का उपयोग करके)।

हम अनिश्चितताओं को समूह में रखते हैं अनिश्चितता तालिका. प्रत्येक प्रकार की अनिश्चितता के लिए, हम उसके प्रकटीकरण की विधि (सीमा ज्ञात करने की विधि) को पत्राचार में रखते हैं।

यह तालिका, बुनियादी प्राथमिक कार्यों की सीमाओं की तालिका के साथ, किसी भी सीमा को खोजने में आपका मुख्य उपकरण होगी।

आइए कुछ उदाहरण दें जब मूल्य को प्रतिस्थापित करने के बाद सब कुछ तुरंत प्राप्त हो जाता है और अनिश्चितता उत्पन्न नहीं होती है।

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

समाधान।

हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:

और हमें तुरंत उत्तर मिल गया.

उत्तर:

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

समाधान।

हम अपने घातीय पावर फ़ंक्शन के आधार में मान x=0 को प्रतिस्थापित करते हैं:

यानी सीमा को दोबारा इस तरह लिखा जा सकता है

अब आइए सूचकांक पर एक नजर डालते हैं। यह एक पावर फंक्शन है. आइए हम ऋणात्मक घातांक वाले घात फलनों की सीमाओं की तालिका की ओर रुख करें। वहां से हमारे पास है और , इसलिए, हम लिख सकते हैं .

इसके आधार पर, हमारी सीमा इस प्रकार लिखी जा सकती है:

हम फिर से सीमाओं की तालिका की ओर मुड़ते हैं, लेकिन एक से अधिक आधार वाले घातीय कार्यों के लिए, जिससे हमारे पास है:

उत्तर:

आइए विस्तृत समाधानों के साथ उदाहरण देखें भावों को रूपांतरित करके अस्पष्टताओं का प्रकटीकरण.

अक्सर, अस्पष्टताओं से छुटकारा पाने के लिए सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति को थोड़ा बदलने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

समाधान।

हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:

अनिश्चितता आ गई. समाधान विधि चुनने के लिए हम अनिश्चितताओं की तालिका को देखते हैं। आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाने का प्रयास करें।

उत्तर:

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

समाधान।

हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:

अनिश्चितता की स्थिति आ गई (0 बटा 0)। हम समाधान विधि का चयन करने के लिए अनिश्चितताओं की तालिका को देखते हैं और अभिव्यक्ति को सरल बनाने का प्रयास करते हैं। हम अंश और हर दोनों को हर से संयुग्मित व्यंजक से गुणा करते हैं।

हर के लिए, संयुक्त अभिव्यक्ति है

हमने हर को गुणा किया ताकि हम संक्षिप्त गुणन सूत्र - वर्गों का अंतर लागू कर सकें और फिर परिणामी अभिव्यक्ति को कम कर सकें।

परिवर्तनों की एक श्रृंखला के बाद, अनिश्चितता गायब हो गई।

उत्तर:

टिप्पणी:इस प्रकार की सीमाओं के लिए, संयुग्मी अभिव्यक्तियों द्वारा गुणन की विधि विशिष्ट है, इसलिए इसका उपयोग करने में संकोच न करें।

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

समाधान।

हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:

अनिश्चितता आ गई. हम समाधान विधि का चयन करने के लिए अनिश्चितताओं की तालिका को देखते हैं और अभिव्यक्ति को सरल बनाने का प्रयास करते हैं। चूँकि अंश और हर दोनों x=1 पर लुप्त हो जाते हैं, यदि इन भावों को कम किया जा सके (x-1) और अनिश्चितता गायब हो जाएगी।

आइए अंश का गुणनखंड करें:

आइए हर का गुणनखंड करें:

हमारी सीमा इस प्रकार होगी:

परिवर्तन के बाद, अनिश्चितता का पता चला.

उत्तर:

शक्ति अभिव्यक्तियों की अनंत सीमा पर विचार करें। यदि घात अभिव्यक्ति के घातांक सकारात्मक हैं, तो अनंत पर सीमा अनंत है। इसके अलावा, मुख्य मूल्य में सबसे बड़ी डिग्री है, बाकी को त्याग दिया जा सकता है।

उदाहरण।

उदाहरण।

यदि सीमा चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति एक भिन्न है, और अंश और हर दोनों घात अभिव्यक्ति हैं (m अंश की घात है, और n हर की घात है), तो जब फॉर्म अनंत की अनिश्चितता होती है इस मामले में, अनंत द्वारा अनिश्चितता प्रकट होती हैविभाजन और अंश और हर द्वारा

उदाहरण।

सीमा की गणना करें

विषय 4.6 सीमाओं की गणना

किसी फ़ंक्शन की सीमा इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि इसे सीमा बिंदु पर परिभाषित किया गया है या नहीं। लेकिन प्राथमिक कार्यों की सीमाओं की गणना करने के अभ्यास में, यह परिस्थिति आवश्यक है।

1. यदि फ़ंक्शन प्राथमिक है और यदि तर्क का सीमा मान उसकी परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है, तो फ़ंक्शन की सीमा की गणना तर्क के सीमा मान के एक साधारण प्रतिस्थापन तक कम हो जाती है, क्योंकि प्राथमिक फलन f (x) की सीमा x के लिए प्रयासरत हूंए , जो परिभाषा के क्षेत्र में शामिल है, x= पर फ़ंक्शन के निजी मान के बराबर है ए, अर्थात। lim f(x)=f( ए) .

2. यदि x अनंत तक जाता हैया तर्क उस संख्या की ओर जाता है जो फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित नहीं है, तो ऐसे प्रत्येक मामले में, फ़ंक्शन की सीमा खोजने के लिए एक विशेष अध्ययन की आवश्यकता होती है।

सीमाओं के गुणों के आधार पर निम्नलिखित सबसे सरल सीमाएँ हैं, जिनका उपयोग सूत्रों के रूप में किया जा सकता है:

किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करने के अधिक जटिल मामले:

प्रत्येक पर अलग से विचार किया जाता है।

यह अनुभाग अनिश्चितताओं को प्रकट करने के मुख्य तरीके प्रस्तुत करेगा।

1. मामला कब x के लिए प्रयासरत हूंए फलन f(x) दो अतिसूक्ष्म मात्राओं के अनुपात को दर्शाता है

ए) सबसे पहले आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि फ़ंक्शन की सीमा प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा नहीं पाई जा सकती है और, तर्क में संकेतित परिवर्तन के साथ, यह दो अनंत मात्राओं के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है। 0 की ओर प्रवृत्त होने वाले कारक द्वारा अंश को कम करने के लिए परिवर्तन किए जाते हैं। किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा के अनुसार, तर्क x इसके सीमा मान की ओर प्रवृत्त होता है, कभी भी इसके साथ मेल नहीं खाता है।

सामान्य तौर पर, यदि किसी फ़ंक्शन की सीमा मांगी जाती है x के लिए प्रयासरत हूंए , तो यह याद रखना चाहिए कि x मान नहीं लेता है ए, अर्थात। x, a के बराबर नहीं है.

बी) बेज़आउट का प्रमेय लागू किया गया है। यदि आप एक भिन्न की सीमा की तलाश कर रहे हैं जिसका अंश और हर बहुपद हैं जो सीमा बिंदु x \u003d पर 0 में बदल जाते हैं ए, तो उपरोक्त प्रमेय के अनुसार, दोनों बहुपद x- द्वारा शेषफल के बिना विभाज्य हैं ए.

ग) अंश या हर को अपरिमेय से संयुग्मित अभिव्यक्ति से गुणा करने पर अंश या हर में अपरिमेयता नष्ट हो जाती है, फिर सरलीकरण के बाद अंश कम हो जाता है।

घ) पहली उल्लेखनीय सीमा (4.1) का उपयोग किया जाता है।

ई) हम अनंतिम तुल्यता प्रमेय और निम्नलिखित बी.एम. का उपयोग करते हैं:

2. मामला जब x के लिए प्रयासरत हूंए फ़ंक्शन f(x) दो असीम रूप से बड़ी मात्राओं के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है

a) भिन्न के अंश और हर को अज्ञात की उच्चतम घात से विभाजित करें।

बी) सामान्य तौर पर, आप नियम का उपयोग कर सकते हैं

3. मामला जब x के लिए प्रयासरत हूंए फ़ंक्शन f(x) एक अपरिमित मान और एक अपरिमित रूप से बड़े मान के गुणनफल का प्रतिनिधित्व करता है

भिन्न को ऐसे रूप में परिवर्तित किया जाता है जिसका अंश और हर एक साथ 0 या अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं, अर्थात। केस 3, केस 1 या केस 2 में बदल जाता है।

4. मामला जब x के लिए प्रयासरत हूंए फ़ंक्शन f(x) दो सकारात्मक अनंत बड़ी मात्राओं के अंतर को दर्शाता है

यह मामला निम्न में से किसी एक तरीके से प्रजाति 1 या 2 तक कम हो गया है:

ए) भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना;

बी) फ़ंक्शन का भिन्न के रूप में परिवर्तन;

ग) अतार्किकता से छुटकारा पाना।

5. मामला जब x के लिए प्रयासरत हूंए फ़ंक्शन f(x) एक घात का प्रतिनिधित्व करता है जिसका आधार 1 की ओर झुकता है और जिसका घातांक अनंत की ओर झुकता है।

फ़ंक्शन को दूसरी उल्लेखनीय सीमा (4.2) का उपयोग करने के लिए इस तरह से रूपांतरित किया जाता है।

उदाहरण।खोजो .

क्योंकि x 3 की ओर प्रवृत्त होता है, तो भिन्न का अंश संख्या 3 2 +3 *3+4=22 की ओर प्रवृत्त होता है, और हर संख्या 3+8=11 की ओर प्रवृत्त होता है। इस तरह,

उदाहरण

यहाँ पर भिन्न का अंश और हर है x 2 की ओर प्रवृत्त है 0 (रूप की अनिश्चितता) की ओर प्रवृत्त होते हैं, हम अंश और हर को गुणनखंडों में विघटित करते हैं, हमें lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5) मिलता है

उदाहरण

हम अंश और हर को अंश से संयुग्मित व्यंजक से गुणा करते हैं, हमारे पास है

अंश में कोष्ठक खोलने पर हमें प्राप्त होता है

उदाहरण

लेवल 2 उदाहरण। आइए हम आर्थिक गणना में किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा के अनुप्रयोग का एक उदाहरण दें। एक सामान्य वित्तीय लेनदेन पर विचार करें: एक राशि उधार देना एस 0 इस शर्त के साथ कि एक समयावधि के बाद टीराशि वापस कर दी जाएगी अनुसूचित जनजाति. आइए मूल्य को परिभाषित करें आर सापेक्ष वृद्धि FORMULA

आर=(एस टी -एस 0)/एस 0 (1)

परिणामी मूल्य को गुणा करके सापेक्ष वृद्धि को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है आर 100 से.

सूत्र (1) से मूल्य निर्धारित करना आसान है अनुसूचित जनजाति:

अनुसूचित जनजाति= एस 0 (1 + आर)

कई पूर्ण वर्षों को कवर करने वाले दीर्घकालिक ऋणों की गणना करते समय, एक चक्रवृद्धि ब्याज योजना का उपयोग किया जाता है। इसमें यह तथ्य शामिल है कि यदि प्रथम वर्ष के लिए राशि एस(1 +) में 0 वृद्धि होती है आर) बार, फिर दूसरे वर्ष के लिए (1 +)। आर) गुना राशि बढ़ जाती है एस 1 = एस 0 (1 + आर), वह है एस 2 = एस 0 (1 + आर) 2 . इसी तरह, यह पता चला है एस 3 = एस 0 (1 + आर) 3 . उपरोक्त उदाहरणों से, आप राशि की वृद्धि की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त कर सकते हैं एनचक्रवृद्धि ब्याज योजना के अनुसार गणना करते समय वर्ष:

एस एन= एस 0 (1 + आर) एन.

वित्तीय गणना में, ऐसी योजनाओं का उपयोग किया जाता है जहां चक्रवृद्धि ब्याज की गणना वर्ष में कई बार की जाती है। साथ ही, यह निर्धारित करता है वार्षिक दर आरऔर प्रति वर्ष भुगतान की संख्या क. एक नियम के रूप में, संचय नियमित अंतराल पर किए जाते हैं, यानी प्रत्येक अंतराल की लंबाई टी केवर्ष का हिस्सा है. फिर कुछ समय के लिए टीवर्ष (यहाँ) टीजरूरी नहीं कि पूर्णांक हो) अनुसूचित जनजातिसूत्र द्वारा गणना की गई

(2)

संख्या का पूर्णांक भाग कहां है, जो स्वयं संख्या के समान है, यदि, उदाहरण के लिए, टी? पूर्णांक.

चलो वार्षिक दर है आरऔर उत्पादित एनप्रति वर्ष नियमित अंतराल पर संचयन। फिर वर्ष के लिए राशि एस 0 को सूत्र द्वारा निर्धारित मान तक बढ़ाया जाता है

(3)

सैद्धांतिक विश्लेषण और वित्तीय गतिविधि के अभ्यास में, "निरंतर अर्जित ब्याज" की अवधारणा अक्सर सामने आती है। लगातार अर्जित ब्याज पर स्विच करने के लिए, सूत्र (2) और (3) में क्रमशः संख्याओं को अनिश्चित काल तक बढ़ाना आवश्यक है कऔर एन(अर्थात लक्ष्य कऔर एनअनंत तक) और गणना करें कि फलन किस सीमा तक प्रवृत्त होंगे अनुसूचित जनजातिऔर एस 1 . आइए इस प्रक्रिया को सूत्र (3) पर लागू करें:

ध्यान दें कि घुंघराले ब्रेसिज़ की सीमा दूसरी उल्लेखनीय सीमा के समान है। यह वार्षिक दर पर इस प्रकार है आरलगातार अर्जित ब्याज पर, राशि एस 1 वर्ष के लिए 0 का मान बढ़ा दिया गया है एस 1* , जो सूत्र से निर्धारित होता है

एस 1 * = एस 0 एर (4)

अब योग बताइये एस 0 ब्याज सहित उधार लिया गया है एनवर्ष में एक बार नियमित अंतराल पर। निरूपित दोबारावार्षिक दर जिस पर वर्ष के अंत में राशि एस 0 को एक मान तक बढ़ा दिया गया है एस 1 * सूत्र (4) से। ऐसे में हम यही कहेंगे दोबारा- यह वार्षिक ब्याज दर एनवर्ष में एक बार, वार्षिक प्रतिशत के बराबर आरनिरंतर संचयन के साथ.सूत्र (3) से हम प्राप्त करते हैं

एस* 1 = एस 0 (1 + आर ई / एन) एन

अंतिम सूत्र और सूत्र (4) के सही भागों को अंतिम में मानकर उन्हें बराबर करना टी= 1, हम मात्राओं के बीच संबंध प्राप्त कर सकते हैं आरऔर दोबारा:

वित्तीय गणना में इन सूत्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

समारोह y=f (एक्स)उस नियम (नियम) को कहा जाता है, जिसके अनुसार समुच्चय X का प्रत्येक अवयव x समुच्चय Y के एक और केवल एक अवयव y से संबद्ध होता है।

तत्व एक्स ∈ एक्सबुलाया फ़ंक्शन तर्कया स्वतंत्र चर.
y तत्व ∈ वाईबुलाया फ़ंक्शन मानया निर्भर चर.

समुच्चय X को कहा जाता है कार्य क्षेत्र.
तत्वों का सेट y ∈ वाई, जिसमें सेट एक्स में प्रीइमेज हैं, कहा जाता है फ़ंक्शन मानों का क्षेत्र या सेट.

वास्तविक फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है ऊपर से सीमित (नीचे से), यदि ऐसी कोई संख्या M है जो सभी के लिए निम्नलिखित असमानता रखती है:
.
संख्या फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है सीमित, यदि कोई ऐसी संख्या M मौजूद है जो सभी के लिए है:
.

शीर्ष चेहराया सटीक ऊपरी सीमावास्तविक फ़ंक्शन संख्याओं में से सबसे छोटी संख्या कहलाती है जो ऊपर से इसके मानों की सीमा को सीमित करती है। अर्थात्, यह एक संख्या s है जिसके लिए, सभी के लिए और किसी के लिए, एक ऐसा तर्क है, जिसके फ़ंक्शन का मान s' से अधिक है:।
फ़ंक्शन की ऊपरी सीमा को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
.

क्रमश निचला चेहराया सटीक निचली सीमावास्तविक फ़ंक्शन को संख्याओं में सबसे बड़ी संख्या कहा जाता है जो नीचे से इसके मानों की सीमा को सीमित करती है। यानी यह एक संख्या है i जिसके लिए सभी के लिए और किसी के लिए, एक ऐसा तर्क है, जिससे फ़ंक्शन का मान i′ से कम है:।
किसी फ़ंक्शन की निचली सीमा को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
.

किसी फ़ंक्शन की सीमा निर्धारित करना

किसी फ़ंक्शन की कॉची सीमा की परिभाषा

अंतिम बिंदुओं पर परिमित कार्य सीमाएँ

मान लीजिए कि फ़ंक्शन को अंतिम बिंदु के किसी पड़ोस में परिभाषित किया गया है, शायद, बिंदु को छोड़कर। बिंदु पर, यदि किसी के लिए ऐसा मौजूद है, तो इस पर निर्भर करता है कि सभी x के लिए, जिसके लिए असमानता है
.
किसी फ़ंक्शन की सीमा को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.
या कि ।

अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा इस प्रकार लिखी जा सकती है:
.

एकतरफ़ा सीमा.
बिंदु पर बायीं ओर की सीमा (बायीं ओर की सीमा):
.
एक बिंदु पर दाहिनी सीमा (दाहिनी ओर की सीमा):
.
बाएँ और दाएँ की सीमाएँ अक्सर इस प्रकार दर्शायी जाती हैं:
; .

अनंत बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन की परिमित सीमाएँ

अनंत दूर बिंदुओं पर सीमाएं इसी तरह परिभाषित की जाती हैं।
.
.
.
इन्हें अक्सर कहा जाता है:
; ; .

एक बिंदु के पड़ोस की अवधारणा का उपयोग करना

यदि हम किसी बिंदु के छिद्रित पड़ोस की अवधारणा का परिचय देते हैं, तो हम परिमित और अनंत बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन की परिमित सीमा की एकीकृत परिभाषा दे सकते हैं:
.
यहां समापन बिंदुओं के लिए
; ;
.
अनंत पर बिंदुओं का कोई भी पड़ोस छिद्रित है:
; ; .

अनंत कार्य सीमाएँ

परिभाषा
मान लीजिए कि फ़ंक्शन को किसी बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस (परिमित या अनंत पर) में परिभाषित किया गया है। फ़ंक्शन की सीमा एफ (एक्स) x → x के रूप में 0 अनंत के बराबर है, यदि किसी मनमाने ढंग से बड़ी संख्या के लिए एम > 0 , वहाँ एक संख्या δ M मौजूद है > 0 , एम पर निर्भर करते हुए, कि एक छिद्रित δ एम से संबंधित सभी एक्स के लिए - बिंदु का पड़ोस:, निम्नलिखित असमानता रखती है:
.
अनंत सीमा को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
.
या कि ।

अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन की अनंत सीमा की परिभाषा इस प्रकार लिखी जा सकती है:
.

इसके समान कुछ चिह्नों की अनंत सीमाओं की परिभाषाएँ प्रस्तुत करना भी संभव है :
.
.

किसी फ़ंक्शन की सीमा की सार्वभौमिक परिभाषा

किसी बिंदु के पड़ोस की अवधारणा का उपयोग करके, कोई किसी फ़ंक्शन की परिमित और अनंत सीमा की एक सार्वभौमिक परिभाषा दे सकता है, जो परिमित (दो तरफा और एक तरफा) और असीम रूप से दूर के बिंदुओं दोनों पर लागू होती है:
.

हेइन के अनुसार किसी फलन की सीमा की परिभाषा

मान लीजिए कि फ़ंक्शन को किसी सेट X : पर परिभाषित किया गया है।
संख्या a को फलन की सीमा कहा जाता हैबिंदु पर:
,
यदि x में परिवर्तित होने वाले किसी अनुक्रम के लिए 0 :
,
जिनके तत्व समुच्चय X से संबंधित हैं: ,
.

हम यह परिभाषा अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करके लिखते हैं:
.

यदि हम समुच्चय X के रूप में बिंदु x के बाएँ हाथ के पड़ोस को लेते हैं 0 , तो हमें बाईं सीमा की परिभाषा मिलती है। यदि यह दाएं हाथ का है तो हमें सही सीमा की परिभाषा मिलती है। यदि हम अनंत पर एक बिंदु के पड़ोस को सेट एक्स के रूप में लेते हैं, तो हमें अनंत पर एक फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा प्राप्त होती है।

प्रमेय
किसी फ़ंक्शन की सीमा की कॉची और हेइन परिभाषाएँ समतुल्य हैं।
सबूत

किसी फ़ंक्शन की सीमा के गुण और प्रमेय

इसके अलावा, हम मानते हैं कि विचाराधीन कार्यों को बिंदु के संबंधित पड़ोस में परिभाषित किया गया है, जो एक सीमित संख्या या प्रतीकों में से एक है:। यह एक तरफा सीमा बिंदु भी हो सकता है, यानी इसका रूप या हो सकता है। पड़ोस दो-तरफ़ा सीमा के लिए दो-तरफ़ा है और एक-तरफ़ा के लिए एक-तरफ़ा है।

बुनियादी गुण

यदि फ़ंक्शन के मान f (एक्स) x बिंदुओं की एक सीमित संख्या पर बदलें (या अपरिभाषित करें)। 1 , x 2 , x 3 , ... x n, तो यह परिवर्तन किसी मनमाने बिंदु x पर फ़ंक्शन की सीमा के अस्तित्व और मूल्य को प्रभावित नहीं करेगा 0 .

यदि कोई परिमित सीमा है, तो बिंदु x का ऐसा छिद्रित पड़ोस है 0 , जिस पर फ़ंक्शन एफ (एक्स)सीमित:
.

मान लीजिए कि फलन बिंदु x पर है 0 शून्य के अलावा अंतिम सीमा:
.
फिर, अंतराल से किसी भी संख्या c के लिए, बिंदु x का ऐसा छिद्रित पड़ोस मौजूद होता है 0 किस लिए,
, अगर ;
, अगर ।

यदि, बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर, एक स्थिरांक है, तो।

यदि बिंदु x के कुछ छिद्रित पड़ोस पर सीमित सीमाएं हैं 0
,
वह ।

यदि , और बिंदु के कुछ पड़ोस पर
,
वह ।
विशेष रूप से, यदि किसी बिंदु के किसी पड़ोस पर
,
तब यदि , तब और ;
यदि , तब और .

यदि बिंदु x के कुछ छिद्रित पड़ोस पर 0 :
,
और समान सीमाएँ परिमित (या किसी निश्चित चिन्ह की अनंत) होती हैं:
, वह
.

मुख्य गुणों के प्रमाण पृष्ठ पर दिये गये हैं
"किसी फ़ंक्शन की सीमाओं के मूल गुण"।

किसी फ़ंक्शन की सीमा के अंकगणितीय गुण

आइए कार्यों को बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस में परिभाषित करें। और सीमित सीमाएँ होने दें:
और ।
और मान लीजिए कि C एक स्थिरांक है, अर्थात एक दी गई संख्या है। तब
;
;
;
, अगर ।

तो अगर ।

पृष्ठ पर अंकगणितीय गुणों के प्रमाण दिये गये हैं
"किसी फ़ंक्शन की सीमाओं के अंकगणितीय गुण"।

किसी फ़ंक्शन की सीमा के अस्तित्व के लिए कॉची मानदंड

प्रमेय
किसी परिमित के कुछ छिद्रित पड़ोस या अनंत बिंदु x पर परिभाषित फ़ंक्शन के लिए 0 , इस बिंदु पर एक सीमित सीमा थी, यह किसी भी ε के लिए आवश्यक और पर्याप्त है > 0 बिंदु x का एक ऐसा छिद्रित पड़ोस था 0 , कि किसी भी बिंदु और इस पड़ोस से, निम्नलिखित असमानता कायम है:
.

जटिल कार्य सीमा

जटिल कार्य सीमा प्रमेय
फ़ंक्शन की एक सीमा होने दें और बिंदु के छिद्रित पड़ोस को बिंदु के छिद्रित पड़ोस पर मैप करें। मान लीजिए कि फ़ंक्शन को इस पड़ोस पर परिभाषित किया गया है और इसकी एक सीमा है।
यहाँ - अंतिम या असीम रूप से दूर के बिंदु:। पड़ोस और उनकी संगत सीमाएँ दो-तरफ़ा या एक-तरफ़ा हो सकती हैं।
फिर जटिल फ़ंक्शन की एक सीमा होती है और यह इसके बराबर होती है:
.

जटिल फ़ंक्शन सीमा प्रमेय तब लागू होता है जब फ़ंक्शन को किसी बिंदु पर परिभाषित नहीं किया जाता है या सीमा मान के अलावा कोई अन्य मान होता है। इस प्रमेय को लागू करने के लिए, उस बिंदु का एक छिद्रित पड़ोस होना चाहिए जिस पर फ़ंक्शन के मानों के सेट में बिंदु शामिल नहीं है:
.

यदि फ़ंक्शन बिंदु पर निरंतर है, तो सीमा चिह्न को निरंतर फ़ंक्शन के तर्क पर लागू किया जा सकता है:
.
निम्नलिखित इस मामले से संबंधित एक प्रमेय है।

किसी फलन के सतत फलन की सीमा पर प्रमेय
मान लीजिए कि फलन g की एक सीमा है (टी)जैसे t → t 0 , और यह x के बराबर है 0 :
.
यहाँ बिंदु टी 0 परिमित या अनंत हो सकता है: .
और फ़ंक्शन को f दें (एक्स) x पर निरंतर 0 .
तब संयुक्त फलन f की एक सीमा होती है (जी(टी)), और यह f के बराबर है (x0):
.

प्रमेयों के प्रमाण पृष्ठ पर दिए गए हैं
"एक जटिल कार्य की सीमा और निरंतरता"।

अनंत और अनंत रूप से बड़े कार्य

असीम रूप से छोटे कार्य

परिभाषा
यदि के लिए किसी फ़ंक्शन को इनफिनिटसिमल कहा जाता है
.

योग, अंतर और उत्पादके लिए अपरिमित रूप से छोटे फलनों की एक सीमित संख्या एक अतिसूक्ष्म फलन है।

किसी फ़ंक्शन का उत्पाद परिबद्ध हैबिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर, एक अतिसूक्ष्म के लिए के लिए का एक अतिसूक्ष्म कार्य है।

किसी फ़ंक्शन की एक सीमित सीमा होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है
,
के लिए एक अतिसूक्ष्म फलन कहां है।

"अतिसूक्ष्म कार्यों के गुण"।

असीम रूप से बड़े कार्य

परिभाषा
यदि के लिए फ़ंक्शन को अपरिमित रूप से बड़ा कहा जाता है
.

बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर एक बंधे हुए फ़ंक्शन का योग या अंतर, और एक असीम रूप से बड़े फ़ंक्शन पर एक असीम रूप से बड़ा फ़ंक्शन है।

यदि फ़ंक्शन असीम रूप से बड़ा है, और फ़ंक्शन बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर घिरा हुआ है, तो
.

यदि फ़ंक्शन, बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर, असमानता को संतुष्ट करता है:
,
और फ़ंक्शन इसके लिए असीम रूप से छोटा है:
, और (बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर), फिर
.

संपत्तियों के प्रमाण अनुभाग में दिए गए हैं
"असीम रूप से बड़े कार्यों के गुण"।

असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे कार्यों के बीच संबंध

असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे कार्यों के बीच संबंध पिछले दो गुणों से होता है।

यदि फ़ंक्शन अपरिमित रूप से बड़ा है, तो फ़ंक्शन अपरिमित रूप से छोटा है।

यदि फ़ंक्शन, और के लिए असीम रूप से छोटा है, तो फ़ंक्शन, और के लिए असीम रूप से बड़ा है।

एक अतिसूक्ष्म और एक अपरिमित रूप से बड़े फलन के बीच संबंध को प्रतीकात्मक रूप से व्यक्त किया जा सकता है:
, .

यदि किसी अतिसूक्ष्म फलन का एक निश्चित चिह्न है, अर्थात्, यह बिंदु के किसी छिद्रित पड़ोस पर धनात्मक (या ऋणात्मक) है, तो इस तथ्य को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
.
उसी प्रकार, यदि किसी अपरिमित रूप से बड़े फ़ंक्शन पर एक निश्चित चिह्न है, तो वे लिखते हैं:
.

फिर असीम रूप से छोटे और असीम रूप से बड़े कार्यों के बीच प्रतीकात्मक संबंध को निम्नलिखित संबंधों द्वारा पूरक किया जा सकता है:
, ,
, .

अनंत प्रतीकों से संबंधित अतिरिक्त सूत्र पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं
"अनंत पर बिंदु और उनके गुण"।

मोनोटोनिक कार्यों की सीमाएँ

परिभाषा
वास्तविक संख्याओं के कुछ सेट पर परिभाषित फ़ंक्शन X को कहा जाता है सख्ती से बढ़ रहा है, यदि ऐसे सभी के लिए निम्नलिखित असमानता कायम है:
.
तदनुसार, के लिए सख्ती से घट रही हैफ़ंक्शन, निम्नलिखित असमानता रखती है:
.
के लिए गैर घटते:
.
के लिए गैर बढ़ती:
.

इसका तात्पर्य यह है कि सख्ती से बढ़ने वाला फलन भी घटता नहीं है। सख्ती से घटने वाला फलन भी गैर-बढ़ने वाला होता है।

फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है नीरसयदि यह घट नहीं रहा है या बढ़ नहीं रहा है।

प्रमेय
अंतराल पर फ़ंक्शन कम न होने दें, जहां।
यदि यह ऊपर से संख्या M: से घिरा है, तो इसकी एक सीमित सीमा है। यदि ऊपर सीमाबद्ध नहीं है, तो।
यदि यह नीचे से संख्या m: से घिरा है, तो एक सीमित सीमा है। यदि नीचे सीमाबद्ध नहीं है, तो।

यदि बिंदु ए और बी अनंत पर हैं, तो अभिव्यक्ति में सीमा चिह्न का मतलब है कि।
इस प्रमेय को अधिक संक्षिप्त रूप से तैयार किया जा सकता है।

अंतराल पर फ़ंक्शन कम न होने दें, जहां। फिर बिंदु ए और बी पर एकतरफा सीमाएं हैं:
;
.

गैर-बढ़ते फ़ंक्शन के लिए एक समान प्रमेय।

मान लीजिए अंतराल पर फलन नहीं बढ़ता, जहां। फिर एकतरफ़ा सीमाएँ हैं:
;
.

प्रमेय का प्रमाण पृष्ठ पर बताया गया है
"मोनोटोनिक कार्यों की सीमाएँ"।

सन्दर्भ:
एल.डी. Kudryavtsev। गणितीय विश्लेषण का कोर्स. खंड 1. मॉस्को, 2003।
सेमी। निकोल्स्की। गणितीय विश्लेषण का कोर्स. खंड 1. मॉस्को, 1983।