Norint kiekybiškai palyginti įvykius tarpusavyje pagal jų galimybės laipsnį, akivaizdu, kad su kiekvienu įvykiu reikia susieti tam tikrą skaičių, kuris yra didesnis, tuo labiau įmanomas įvykis. Šį skaičių vadiname įvykio tikimybe. Taigi, įvykio tikimybė yra skaitinis šio įvykio objektyvios galimybės laipsnio matas.
Pirmuoju tikimybės apibrėžimu reikėtų laikyti klasikinį tikimybės apibrėžimą, atsiradusį analizuojant lošimą ir iš pradžių pritaikytą intuityviai.
Klasikinis tikimybės nustatymo būdas grindžiamas vienodai tikėtinų ir nesuderinamų įvykių samprata, kurie yra tam tikros patirties pasekmės ir sudaro visą nesuderinamų įvykių grupę.
Paprasčiausias vienodai įmanomų ir nesuderinamų įvykių, sudarančių visą grupę, pavyzdys yra vieno ar kito rutulio atsiradimas iš urnos, kuriame yra keli vienodo dydžio, svorio ir kitų apčiuopiamų ypatybių kamuoliukai, besiskiriantys tik spalva, kruopščiai sumaišyti prieš išimant. .
Todėl testas, kurio rezultatai sudaro visą nesuderinamų ir vienodai tikėtinų įvykių grupę, yra redukuojamas į urnų schemą arba atvejų schemą arba telpa į klasikinę schemą.
Lygiai taip pat galimi ir nesuderinami įvykiai, sudarantys visą grupę, bus vadinami tiesiog atvejais arba atsitiktinumais. Be to, kiekviename eksperimente kartu su atvejais gali įvykti sudėtingesnių įvykių.
Pavyzdys: metant kauliuką, kartu su atvejais A i - i taškai krenta ant viršutinio veido, tokie įvykiai kaip B - iškrenta lyginis taškų skaičius, C - iškrenta trijų taškų kartotinis...
Kalbant apie kiekvieną įvykį, kuris gali įvykti atliekant eksperimentą, atvejai skirstomi į palankus, kai šis įvykis įvyksta, ir nepalankus, kai įvykis neįvyksta. Ankstesniame pavyzdyje įvykiui B pirmenybė teikiama atvejams A 2 , A 4 , A 6 ; įvykis C – atvejai A 3, A 6.
klasikinė tikimybė tam tikro įvykio įvykis yra atvejų, palankių šiam įvykiui atsirasti, skaičiaus santykis su bendru atvejų, kurie yra vienodai galimi, nesuderinami, sudarantys visą grupę tam tikroje patirtyje, skaičiaus:
Kur P(A)- įvykio A tikimybė; m- įvykiui A palankių atvejų skaičius; n yra bendras bylų skaičius.
Pavyzdžiai:
1) (žr. pavyzdį aukščiau) P(B)= , P(C) =.
2) Urnoje yra 9 raudoni ir 6 mėlyni rutuliukai. Raskite tikimybę, kad vienas ar du atsitiktinai ištraukti rutuliai bus raudoni.
A- raudonas rutulys, ištrauktas atsitiktinai:
m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=
B- atsitiktinai ištraukti du raudoni rutuliai:
Šios savybės išplaukia iš klasikinio tikimybės apibrėžimo (parodykite save):
1) Neįmanomo įvykio tikimybė lygi 0;
2) Tam tikro įvykio tikimybė yra 1;
3) bet kurio įvykio tikimybė yra tarp 0 ir 1;
4) įvykio, priešingo įvykiui A, tikimybė,
Klasikinis tikimybės apibrėžimas daro prielaidą, kad bandymo rezultatų skaičius yra baigtinis. Tačiau praktikoje labai dažnai vyksta teismai, kurių galimų atvejų skaičius yra begalinis. Be to, klasikinio apibrėžimo silpnybė yra ta, kad labai dažnai neįmanoma pavaizduoti testo rezultato kaip elementarių įvykių visumos. Dar sunkiau nurodyti pagrindą elementarius testo rezultatus laikyti vienodai tikėtinais. Paprastai elementarių testo rezultatų lygybė daroma remiantis simetrijos svarstymais. Tačiau tokios užduotys praktikoje atliekamos labai retai. Dėl šių priežasčių kartu su klasikiniu tikimybės apibrėžimu naudojami ir kiti tikimybės apibrėžimai.
Statistinė tikimybėįvykis A yra santykinis šio įvykio dažnis atliekant bandymus:
kur yra įvykio A tikimybė;
Santykinis įvykio A dažnis;
Bandymų, kurių metu atsirado įvykis A, skaičius;
Bendras bandymų skaičius.
Skirtingai nuo klasikinės tikimybės, statistinė tikimybė yra eksperimentinės charakteristikos.
Pavyzdys: norint kontroliuoti partijos gaminių kokybę, atsitiktine tvarka buvo atrinkta 100 gaminių, iš kurių 3 produktai buvo su trūkumais. Nustatykite santuokos tikimybę.
.
Statistinis tikimybės nustatymo metodas taikomas tik tiems įvykiams, kurie turi šias savybes:
Svarstomi įvykiai turėtų būti tik tų bandymų, kuriuos galima pakartoti neribotą skaičių kartų, rezultatai tomis pačiomis sąlygomis.
Įvykiai turi turėti statistinį stabilumą (arba santykinio dažnio stabilumą). Tai reiškia, kad skirtingose testų serijose santykinis įvykio dažnis reikšmingai nesikeičia.
Bandymų, kurių rezultatas yra įvykis A, skaičius turi būti pakankamai didelis.
Nesunku patikrinti, ar tikimybės savybės, išplaukiančios iš klasikinio apibrėžimo, yra išsaugotos ir statistiniame tikimybės apibrėžime.
Tikimybėįvykis yra elementarių baigčių, palankių tam tikram įvykiui, skaičiaus ir visų vienodai galimų patirties pasekmių, kai šis įvykis gali įvykti, skaičiaus santykis. Įvykio A tikimybė žymima P(A) (čia P yra pirmoji prancūziško žodžio probabilite raidė – tikimybė). Pagal apibrėžimą
(1.2.1)
kur yra elementarių rezultatų, palankių įvykiui A, skaičius; - visų vienodai galimų elementarių patirties baigčių skaičius, sudarantis visą įvykių grupę.
Šis tikimybės apibrėžimas vadinamas klasikiniu. Jis atsirado pradiniame tikimybių teorijos kūrimo etape.
Įvykio tikimybė turi šias savybes:
1. Tam tikro įvykio tikimybė lygi vienetui. Pažymėkime tam tikrą įvykį raide. Todėl tam tikram įvykiui
(1.2.2)
2. Neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui. Neįmanomą įvykį žymime raide . Todėl neįmanomam įvykiui
(1.2.3)
3. Atsitiktinio įvykio tikimybė išreiškiama teigiamu skaičiumi, mažesniu už vieną. Kadangi nelygybės , arba yra patenkintos atsitiktiniam įvykiui, tada
(1.2.4)
4. Bet kurio įvykio tikimybė tenkina nelygybes
(1.2.5)
Tai išplaukia iš santykių (1.2.2) -(1.2.4).
1 pavyzdys Urnoje yra 10 vienodo dydžio ir svorio kamuoliukų, iš kurių 4 raudoni ir 6 mėlyni. Iš urnos ištraukiamas vienas rutulys. Kokia tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra mėlynas?
Sprendimas. Įvykis „ištrauktas rutulys pasirodė mėlynas“ bus žymimas raide A. Šis bandymas turi 10 vienodai galimų elementarių baigčių, iš kurių 6 palankios įvykiui A. Pagal (1.2.1) formulę gauname 
2 pavyzdys Visi natūralūs skaičiai nuo 1 iki 30 užrašomi ant identiškų kortelių ir dedami į urną. Kruopščiai sumaišius kortas, iš urnos išimama viena kortelė. Kokia tikimybė, kad ištrauktoje kortelėje esantis skaičius yra 5 kartotinis?
Sprendimas. A pažymėkite įvykį „paimtoje kortelėje esantis skaičius yra 5 kartotinis“. Šiame teste yra 30 vienodai galimų elementarių baigčių, iš kurių 6 rezultatai yra palankūs įvykiui A (skaičiai 5, 10, 15, 20, 25, 30). Vadinasi, 
3 pavyzdys Mesti du kauliukai, apskaičiuojama taškų suma viršutinėse pusėse. Raskite įvykio B tikimybę, kurią sudaro tai, kad kubelių viršutinės pusės turės iš viso 9 taškus.
Sprendimas.Šiame bandyme yra 6 2 = 36 vienodai galimi pagrindiniai rezultatai. B įvykiui palankios 4 baigtys: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), taigi 
4 pavyzdys. Atsitiktinai parenkamas natūralusis skaičius, ne didesnis kaip 10. Kokia tikimybė, kad šis skaičius yra pirminis?
Sprendimas. Raide C pažymėkite įvykį „pasirinktas skaičius yra pirminis“. Šiuo atveju n = 10, m = 4 (pirminiai skaičiai 2, 3, 5, 7). Todėl norima tikimybė 
5 pavyzdys Metamos dvi simetriškos monetos. Kokia tikimybė, kad abiejų monetų viršuje yra skaitmenys?
Sprendimas. D raide pažymėkime įvykį „kiekvienos monetos viršuje buvo skaičius“. Šiame teste yra 4 vienodai galimos elementarios baigtys: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Žymėjimas (G, C) reiškia, kad ant pirmosios monetos yra herbas, ant antrosios – skaičius). D įvykiui palankus vienas elementarus rezultatas (C, C). Kadangi m = 1, n = 4, tada 
6 pavyzdys Kokia tikimybė, kad atsitiktinai pasirinkto dviženklio skaičiaus skaitmenys yra vienodi?
Sprendimas. Dviženkliai skaičiai yra skaičiai nuo 10 iki 99; tokių skaičių iš viso yra 90. 9 skaičiai turi vienodus skaitmenis (tai skaičiai 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Kadangi šiuo atveju m = 9, n = 90, tada 
,
kur A yra „skaičius su tais pačiais skaitmenimis“ įvykis.
7 pavyzdys Iš žodžio raidžių diferencialas viena raidė parenkama atsitiktinai. Kokia tikimybė, kad ši raidė bus: a) balsė b) priebalsė c) raidė h?
Sprendimas. Žodžio diferencialas turi 12 raidžių, iš kurių 5 balsės ir 7 priebalsiai. Laiškai hšio žodžio nėra. Pažymėkime įvykius: A – „balsis“, B – „priebalsis“, C – „raidė h". Palankių elementarių rezultatų skaičius: - įvykiui A, - įvykiui B, - įvykiui C. Kadangi n \u003d 12, tada
, Ir.
8 pavyzdys Mesti du kauliukai, pažymimas taškų skaičius kiekvieno kauliuko viršutinėje pusėje. Raskite tikimybę, kad abu kauliukai turi tą patį taškų skaičių.
Sprendimas.Šį įvykį pažymėkime raide A. Įvykį A palankiai vertina 6 elementarios baigtys: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Iš viso yra vienodai galimų elementarių baigčių, kurios sudaro ištisą įvykių grupę, šiuo atveju n=6 2 =36. Taigi norima tikimybė 
9 pavyzdys Knygoje 300 puslapių. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai atidaryto puslapio eilės numeris bus 5 kartotinis?
Sprendimas. Iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad visų vienodai galimų elementarių baigčių, kurios sudaro pilną įvykių grupę, bus n = 300. Iš jų m = 60 palankiai vertina nurodyto įvykio įvykimą. Iš tiesų, skaičius, kuris yra 5 kartotinis, turi formą 5k, kur k yra natūralusis skaičius ir iš kur 
. Vadinasi, 
, kur A – „puslapio“ įvykio eilės numeris yra 5 kartotinis.
10 pavyzdys. Mesti du kauliukai, apskaičiuojama taškų suma viršutinėse pusėse. Kas labiau tikėtina, kad iš viso gaus 7 ar 8?
Sprendimas. Pažymime įvykius: A – „Iškrito 7 taškai“, B – „Iškrito 8 taškai“. Įvykiui A palankios 6 pagrindinės baigtys: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), o įvykiui B – 5 rezultatai: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Yra n = 6 2 = 36 visų vienodai galimų elementarių rezultatų. Ir .
Taigi, P(A)>P(B), ty gauti iš viso 7 taškus yra labiau tikėtinas įvykis nei gauti iš viso 8 taškus.
Užduotys
1. Atsitiktinai parenkamas natūralusis skaičius, ne didesnis kaip 30. Kokia tikimybė, kad šis skaičius yra 3 kartotinis?
2. Urnoje a raudona ir b vienodo dydžio ir svorio mėlyni kamuoliukai. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai ištrauktas rutulys iš šios urnos yra mėlynas?
3. Atsitiktinai parenkamas skaičius, ne didesnis kaip 30. Kokia tikimybė, kad šis skaičius yra zo daliklis?
4. Urnoje A mėlyna ir b raudoni tokio pat dydžio ir svorio kamuoliukai. Iš šios urnos ištraukiamas vienas rutulys ir atidėtas. Šis rutulys yra raudonas. Tada iš urnos ištraukiamas kitas rutulys. Raskite tikimybę, kad antrasis rutulys taip pat yra raudonas.
5. Atsitiktinai parenkamas natūralusis skaičius, ne didesnis kaip 50. Kokia tikimybė, kad šis skaičius yra pirminis?
6. Metami trys kauliukai, apskaičiuojama taškų suma ant viršutinių veidelių. Kas didesnė tikimybė – surinkti 9 ar 10 balų?
7. Metami trys kauliukai, apskaičiuojama išmestų taškų suma. Kas labiau tikėtina, kad iš viso gaus 11 (įvykis A) ar 12 taškų (įvykis B)?
Atsakymai
1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - tikimybė iš viso gauti 9 taškus; p 2 \u003d 27/216 - tikimybė iš viso gauti 10 taškų; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Klausimai
1. Kas vadinama įvykio tikimybe?
2. Kokia yra tam tikro įvykio tikimybė?
3. Kokia yra neįmanomo įvykio tikimybė?
4. Kokios yra atsitiktinio įvykio tikimybės ribos?
5. Kokios yra bet kokio įvykio tikimybės ribos?
6. Koks tikimybės apibrėžimas vadinamas klasikiniu?
- Tikimybė – kokio nors įvykio atsiradimo galimybės laipsnis (santykinis matas, kiekybinis įvertinimas). Kai kokios nors galimo įvykio priežastys iš tikrųjų nusveria priešingas priežastis, tada šis įvykis vadinamas tikėtinu, kitu atveju – mažai tikėtinas arba mažai tikėtinas. Teigiamų priežasčių persvara prieš neigiamus, ir atvirkščiai, gali būti įvairaus laipsnio, todėl tikimybė (ir netikimybė) yra didesnė ar mažesnė. Todėl tikimybė dažnai įvertinama kokybiniu lygmeniu, ypač tais atvejais, kai daugiau ar mažiau tikslaus kiekybinio įvertinimo neįmanoma arba labai sunku. Galimos įvairios tikimybės „lygių“ gradacijos.
Tikimybių tyrimas matematiniu požiūriu yra ypatinga disciplina – tikimybių teorija. Tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje tikimybės sąvoka įforminama kaip skaitinė įvykio charakteristika – tikimybės matas (arba jo reikšmė) – įvykių aibės matas (elementariųjų įvykių aibės poaibis), imant reikšmes. iš
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Reikšmė
(\displaystyle 1)
Atitinka galiojantį įvykį. Neįmanomo įvykio tikimybė yra 0 (atvirkščiai paprastai ne visada tiesa). Jei įvykio tikimybė yra
(\displaystyle p)
Tada jo neįvykimo tikimybė lygi
(\displaystyle 1-p)
Visų pirma, tikimybė
(\displaystyle 1/2)
Reiškia vienodą įvykio įvykio ir neįvykimo tikimybę.
Klasikinis tikimybės apibrėžimas grindžiamas rezultatų lygiavertiškumo samprata. Tikimybė yra tam tikram įvykiui palankių rezultatų skaičiaus ir bendro vienodai tikėtinų baigčių skaičiaus santykis. Pavyzdžiui, tikimybė gauti galvos ar uodegos atsitiktinai išmetus monetą yra 1/2, jei manoma, kad įvyks tik šios dvi galimybės ir jos yra vienodos. Šis klasikinis tikimybės „apibrėžimas“ gali būti apibendrintas begalinio skaičiaus galimų reikšmių atveju, pavyzdžiui, jei įvykis gali įvykti su vienoda tikimybe bet kuriame tam tikros ribotos srities taške (taškų skaičius yra begalinis). erdvėje (plokštumoje), tada tikimybė, kad ji įvyks kurioje nors šio leistino ploto dalyje, yra lygi šios dalies tūrio (ploto) ir visų galimų taškų ploto tūrio (ploto) santykiui. .
Empirinis tikimybės „apibrėžimas“ yra susijęs su įvykio pasireiškimo dažnumu, remiantis tuo, kad esant pakankamai dideliam bandymų skaičiui, dažnis turėtų būti linkęs į objektyvų šio įvykio tikimybės laipsnį. Šiuolaikiniame tikimybių teorijos pristatyme tikimybė apibrėžiama aksiomatiškai, kaip ypatingas abstrakčios aibės mato teorijos atvejis. Nepaisant to, ryšys tarp abstrakčiojo mato ir tikimybės, išreiškiančios įvykio tikimybės laipsnį, yra būtent jo stebėjimo dažnis.
Tikimybinis tam tikrų reiškinių aprašymas tapo plačiai paplitęs šiuolaikiniame moksle, ypač ekonometrijoje, makroskopinių (termodinaminių) sistemų statistinėje fizikoje, kur net ir klasikinio deterministinio dalelių judėjimo aprašymo atveju deterministinis visos sistemos aprašymas. praktiškai neįmanoma ir tinkama. Kvantinėje fizikoje aprašyti procesai yra tikimybinio pobūdžio.
Iki šiol pateikta atvirame matematikos USE problemų banke (mathege.ru), kurios sprendimas pagrįstas tik viena formule, kuri yra klasikinis tikimybės apibrėžimas.
Lengviausias būdas suprasti formulę yra pavyzdžiai.
1 pavyzdys Krepšelyje yra 9 raudoni ir 3 mėlyni kamuoliukai. Kamuoliukai skiriasi tik spalva. Atsitiktinai (nežiūrėdami) gauname vieną iš jų. Kokia tikimybė, kad tokiu būdu pasirinktas rutulys bus mėlynas?
Komentaras. Tikimybių teorijos uždaviniuose atsitinka kažkas (šiuo atveju mūsų veiksmas traukiant kamuolį), kas gali turėti kitokį rezultatą – rezultatą. Reikėtų pažymėti, kad rezultatas gali būti vertinamas įvairiais būdais. „Ištraukėme kamuolį“ – taip pat rezultatas. „Mes ištraukėme mėlyną kamuolį“ – toks rezultatas. „Iš visų įmanomų kamuoliukų ištraukėme būtent šį rutulį“ – toks mažiausiai apibendrintas rezultato vaizdas vadinamas elementariu rezultatu. Tikimybės apskaičiavimo formulėje reiškiami pagrindiniai rezultatai.
Sprendimas. Dabar apskaičiuojame tikimybę pasirinkti mėlyną rutulį.
Įvykis A: „pasirinktas rutulys pasirodė mėlynas“
Bendras visų galimų rezultatų skaičius: 9+3=12 (visų kamuoliukų, kuriuos galėtume ištraukti, skaičius)
A įvykiui palankių baigčių skaičius: 3 (tokių baigčių, kurių metu įvyko A įvykis, skaičius, tai yra mėlynų kamuoliukų skaičius)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Atsakymas: 0,25
Apskaičiuokime tai pačiai problemai raudono rutulio pasirinkimo tikimybę.
Bendras galimų baigčių skaičius išliks toks pat – 12. Palankių baigčių skaičius: 9. Norima tikimybė: 9/12=3/4=0,75
Bet kurio įvykio tikimybė visada yra nuo 0 iki 1.
Kartais kasdieninėje kalboje (bet ne tikimybių teorijoje!) įvykių tikimybė įvertinama procentais. Perėjimas tarp matematinio ir pokalbio vertinimo atliekamas padauginus (arba padalijus) iš 100%.
Taigi,
Šiuo atveju įvykiams, kurie negali įvykti, tikimybė lygi nuliui – mažai tikėtina. Pavyzdžiui, mūsų pavyzdyje tai būtų tikimybė ištraukti žalią kamuolį iš krepšio. (palankių rezultatų skaičius yra 0, P(A)=0/12=0, jei skaičiuojama pagal formulę)
1 tikimybė turi įvykių, kurie tikrai įvyks be pasirinkimų. Pavyzdžiui, tikimybė, kad „pasirinktas rutulys bus raudonas arba mėlynas“, yra mūsų problema. (palankių rezultatų skaičius: 12, P(A) = 12/12 = 1)
Mes pažvelgėme į klasikinį pavyzdį, iliustruojantį tikimybės apibrėžimą. Visos panašios USE problemos tikimybių teorijoje sprendžiamos naudojant šią formulę.
Vietoj raudonų ir mėlynų rutuliukų gali būti obuolių ir kriaušių, berniukų ir mergaičių, išmoktų ir neišmoktų bilietų, bilietų su klausimu ir be jo (prototipai , ), sugedę ir kokybiški krepšiai ar sodo siurbliai (prototipai, ) – principas išlieka tas pats.
Jie šiek tiek skiriasi USE tikimybių teorijos problemos formulavimu, kai reikia apskaičiuoti įvykio tikimybę tam tikrą dieną. ( , ) Kaip ir ankstesnėse užduotyse, turite nustatyti, kas yra elementarus rezultatas, ir tada taikyti tą pačią formulę.
2 pavyzdys Konferencija trunka tris dienas. Pirmą ir antrą dieną po 15 pranešėjų, trečią - 20. Kokia tikimybė, kad profesoriaus M. pranešimas iškris trečią dieną, jei pranešimų eilė bus nustatyta burtų keliu?
Koks čia elementarus rezultatas? - Profesoriaus pranešimo priskyrimas vienam iš visų galimų kalbos eilės numerių. Burtuose dalyvauja 15+15+20=50 žmonių. Taigi, profesoriaus M. ataskaita gali gauti vieną iš 50 numerių. Tai reiškia, kad yra tik 50 pagrindinių rezultatų.
Kokie yra palankūs rezultatai? – Tos, kuriose paaiškėja, kad profesorius kalbės trečią dieną. Tai yra, paskutiniai 20 skaičių.
Pagal formulę tikimybė P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Atsakymas: 0,4
Burtų traukimas čia yra atsitiktinio susirašinėjimo tarp žmonių ir užsakytų vietų nustatymas. 2 pavyzdyje atitikimas buvo svarstomas atsižvelgiant į tai, kurią vietą konkretus asmuo gali užimti. Tą pačią situaciją galite pažvelgti iš kitos pusės: kuris iš žmonių su kokia tikimybe galėtų patekti į tam tikrą vietą (prototipai , , , ):
3 pavyzdys Burtuose dalyvauja 5 vokiečiai, 8 prancūzai ir 3 estai. Kokia tikimybė, kad pirmasis (/antras/septintas/paskutinis – nesvarbu) bus prancūzas.
Elementarių rezultatų skaičius yra visų galimų žmonių, kurie burtų keliu galėtų patekti į tam tikrą vietą, skaičius. 5+8+3=16 žmonių.
Palankūs rezultatai – prancūzai. 8 žmonės.
Norima tikimybė: 8/16=1/2=0,5
Atsakymas: 0,5
Prototipas šiek tiek skiriasi. Yra užduočių apie monetas () ir kauliukus (), kurios yra šiek tiek kūrybiškesnės. Šių problemų sprendimus galima rasti prototipų puslapiuose.
Štai keletas monetos ar kauliuko metimo pavyzdžių.
4 pavyzdys Kai mes metame monetą, kokia tikimybė gauti uodegą?
2 rezultatai – galvos arba uodegos. (manoma, kad moneta niekada nenukrenta ant krašto) Palankus rezultatas - uodegos, 1.
Tikimybė 1/2=0,5
Atsakymas: 0,5.
5 pavyzdys O kas, jei monetą išverstume du kartus? Kokia tikimybė, kad jis iškils į galvą abu kartus?
Svarbiausia yra nustatyti, į kokius elementarius rezultatus atsižvelgsime mesdami dvi monetas. Išmetus dvi monetas gali atsirasti vienas iš šių rezultatų:
1) PP – abu kartus jis iškilo
2) PO - pirmą kartą uodegos, antrą kartą galvos
3) OP - pirmą kartą galvos, antrą kartą - uodegos
4) OO – abu kartus galva aukštyn
Kitų variantų nėra. Tai reiškia, kad yra 4 elementarūs rezultatai. Tik pirmasis yra palankus, 1.
Tikimybė: 1/4=0,25
Atsakymas: 0,25
Kokia tikimybė, kad du monetos metimai nukris ant uodegos?
Elementarių baigčių skaičius yra toks pat, 4. Palankios baigtys yra antra ir trečia, 2.
Tikimybė gauti vieną uodegą: 2/4=0,5
Esant tokioms problemoms, gali praversti kita formulė.
Jei vienu monetos metimu turime 2 galimus rezultatus, tai dviejų metimų rezultatai bus 2 2=2 2 =4 (kaip 5 pavyzdyje), trimis metimais 2 2 2=2 3 =8, keturiems : 2·2·2·2=2 4 =16, … N galimų baigčių metimams bus 2·2·...·2=2 N .
Taigi, galite rasti tikimybę gauti 5 uodegas iš 5 monetų išmetimo.
Bendras elementarių rezultatų skaičius: 2 5 =32.
Palankūs rezultatai: 1. (RRRRRR – visi 5 kartus uodegos)
Tikimybė: 1/32=0,03125
Tas pats pasakytina ir apie kauliukus. Vienu metimu galimi rezultatai 6. Taigi dviem metimams: 6 6=36, trims 6 6 6=216 ir t.t.
6 pavyzdys Metame kauliuką. Kokia tikimybė gauti lyginį skaičių?
Iš viso rezultatų: 6, atsižvelgiant į veidų skaičių.
Palankus: 3 rezultatai. (2, 4, 6)
Tikimybė: 3/6=0,5
7 pavyzdys Mesti du kauliukus. Kokia tikimybė, kad bendra suma iškris 10? (apvalinti iki šimtųjų)
Yra 6 galimi vieno mirties padariniai. Vadinasi, dviems pagal aukščiau pateiktą taisyklę 6·6=36.
Kokie rezultatai bus palankūs, kad iš viso iškristų 10?
10 reikia išskaidyti į dviejų skaičių nuo 1 iki 6 sumą. Tai galima padaryti dviem būdais: 10=6+4 ir 10=5+5. Taigi, kubeliams galimi variantai:
(6 pirmoje ir 4 antroje)
(4 pirmoje ir 6 antroje)
(5 pirmoje ir 5 antroje)
Iš viso 3 variantai. Norima tikimybė: 3/36=1/12=0,08
Atsakymas: 0,08
Kiti B6 problemų tipai bus aptariami viename iš šių „Kaip išspręsti“ straipsnių.
Iš pradžių, būdama tik informacijos ir empirinių kauliukų žaidimo stebėjimų rinkinys, tikimybių teorija tapo tvirtu mokslu. Fermatas ir Paskalis pirmieji suteikė jam matematinę sistemą.
Nuo apmąstymų apie amžinybę iki tikimybių teorijos
Du asmenys, kuriems tikimybių teorija yra skolinga daug pagrindinių formulių, Blaise'as Pascalis ir Thomas Bayesas, yra žinomi kaip giliai religingi žmonės, pastarasis buvo presbiterionų ministras. Matyt, impulsą šios srities tyrimams davė šių dviejų mokslininkų noras įrodyti klaidingą nuomonę apie tam tikrą Fortūną, dovanojant jos numylėtiniams sėkmę. Juk iš tikrųjų bet koks azartinis žaidimas su savo laimėjimais ir pralaimėjimais yra tik matematinių principų simfonija.
Dėl Chevalier de Mere, kuris buvo vienodai azartiškas ir mokslui neabejingas žmogus, susijaudinimo Paskalis buvo priverstas rasti būdą, kaip apskaičiuoti tikimybę. De Mere'as domėjosi šiuo klausimu: „Kiek kartų reikia mesti du kauliukus poromis, kad tikimybė gauti 12 taškų viršytų 50%?“. Antrasis džentelmeną itin sudominęs klausimas: „Kaip paskirstyti statymą tarp nebaigto žaidimo dalyvių? Žinoma, Paskalis sėkmingai atsakė į abu de Mero klausimus, kurie netyčia tapo tikimybių teorijos kūrimo iniciatoriumi. Įdomu tai, kad de Mero asmuo liko žinomas šioje srityje, o ne literatūroje.
Anksčiau nė vienas matematikas dar nebandė apskaičiuoti įvykių tikimybių, nes buvo manoma, kad tai tik spėlionės. Blaise'as Pascalis pateikė pirmąjį įvykio tikimybės apibrėžimą ir parodė, kad tai yra konkreti figūra, kurią galima pagrįsti matematiškai. Tikimybių teorija tapo statistikos pagrindu ir plačiai naudojama šiuolaikiniame moksle.
Kas yra atsitiktinumas
Jei apsvarstysime testą, kuris gali būti kartojamas be galo daug kartų, tada galime apibrėžti atsitiktinį įvykį. Tai vienas iš galimų patirties padarinių.
Patirtis – tai konkrečių veiksmų įgyvendinimas pastoviomis sąlygomis.
Kad būtų galima dirbti su patirties rezultatais, įvykiai dažniausiai žymimi raidėmis A, B, C, D, E ...
Atsitiktinio įvykio tikimybė
Kad būtų galima pereiti prie matematinės tikimybės dalies, būtina apibrėžti visus jos komponentus.
Įvykio tikimybė yra skaitinis kokio nors įvykio (A arba B) atsiradimo dėl patirties matas. Tikimybė žymima P(A) arba P(B).
Tikimybių teorija yra tokia:
- patikimas garantuotai įvykis įvyks kaip eksperimento rezultatas Р(Ω) = 1;
- neįmanomasįvykis niekada negali įvykti Р(Ø) = 0;
- atsitiktinisįvykis yra tarp tam tikro ir neįmanomo, tai yra, jo atsiradimo tikimybė galima, bet negarantuota (atsitiktinio įvykio tikimybė visada yra 0≤P(A)≤1 ribose).
Ryšiai tarp įvykių
Ir vienas, ir įvykių A + B suma atsižvelgiama, kai įvykis skaičiuojamas įgyvendinant bent vieną iš komponentų, A arba B, arba abu - A ir B.
Vienas kito atžvilgiu įvykiai gali būti:
- Lygiai taip pat įmanoma.
- suderinama.
- Nesuderinamas.
- Priešinga (viena kitą nepaneigianti).
- Priklausomas.
Jei du įvykiai gali įvykti su vienoda tikimybe, tada jie vienodai įmanoma.
Jei įvykio A įvykimas nepanaikina įvykio B tikimybės, tai jie suderinama.
Jei įvykiai A ir B niekada neįvyksta tuo pačiu metu tame pačiame eksperimente, tada jie vadinami nesuderinamas. Monetos metimas yra geras pavyzdys: kylančios uodegos automatiškai nekyla galvos.
Tokių nesuderinamų įvykių sumos tikimybė susideda iš kiekvieno įvykio tikimybių sumos:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Jei įvykus vienam įvykiui neįmanoma įvykti kito, tada jie vadinami priešingais. Tada vienas iš jų žymimas A, o kitas - Ā (skaitykite kaip "ne A"). Įvykio A įvykis reiškia, kad Ā neįvyko. Šie du įvykiai sudaro visą grupę, kurios tikimybių suma lygi 1.
Priklausomi įvykiai turi abipusę įtaką, mažina arba padidina vienas kito tikimybę.
Ryšiai tarp įvykių. Pavyzdžiai
Daug lengviau suprasti tikimybių teorijos principus ir įvykių derinimą naudojant pavyzdžius.
Eksperimentas, kuris bus atliktas, yra ištraukti rutulius iš dėžutės, o kiekvieno eksperimento rezultatas yra elementarus rezultatas.
Įvykis yra vienas iš galimų patirties padarinių – raudonas rutulys, mėlynas rutulys, kamuolys su skaičiumi šeši ir t.t.
Testo numeris 1. Yra 6 rutuliai, iš kurių trys yra mėlyni su nelyginiais skaičiais, o kiti trys yra raudoni su lyginiais skaičiais.
Testo numeris 2. Yra 6 mėlyni rutuliai su skaičiais nuo vieno iki šešių.
Remdamiesi šiuo pavyzdžiu, galime pavadinti derinius:
- Patikimas renginys. Ispaniškai Nr. 2, įvykis „gauk mėlyną kamuolį“ yra patikimas, nes jo atsiradimo tikimybė yra 1, nes visi kamuoliukai yra mėlyni ir negali būti praleistų. Tuo tarpu įvykis „gauti kamuolį su skaičiumi 1“ yra atsitiktinis.
- Neįmanomas įvykis. Ispaniškai Nr. 1 su mėlynais ir raudonais kamuoliukais, įvykis „gauk violetinį rutulį“ yra neįmanomas, nes jo atsiradimo tikimybė yra 0.
- Lygiaverčiai įvykiai. Ispaniškai 1, įvykiai „gauti kamuolį su skaičiumi 2“ ir „gauti kamuolį su skaičiumi 3“ yra vienodai tikėtini, o įvykiai „gauti kamuolį su lyginiu skaičiumi“ ir „gauti kamuolį su skaičiumi 2“ “ turi skirtingą tikimybę.
- Suderinami renginiai.Šeštuko gavimas metant kauliuką du kartus iš eilės yra suderinami įvykiai.
- Nesuderinami įvykiai. Ta pačia ispanų kalba 1 įvykiai „gauti raudoną kamuolį“ ir „gauti kamuolį su nelyginiu skaičiumi“ negali būti sujungti toje pačioje patyrime.
- priešingi įvykiai. Ryškiausias to pavyzdys yra monetų mėtymas, kai piešti galvutes yra tas pats, kas nenupiešti uodegų, o jų tikimybių suma visada yra 1 (visa grupė).
- Priklausomi įvykiai. Taigi ispaniškai Nr. 1, galite išsikelti sau tikslą du kartus iš eilės ištraukti raudoną kamuolį. Ištraukus ar neištraukus pirmą kartą, turi įtakos tikimybei išgauti jį antrą kartą.
Matyti, kad pirmasis įvykis reikšmingai įtakoja antrojo tikimybę (40% ir 60%).
Įvykio tikimybės formulė
Perėjimas nuo ateities spėjimo prie tikslių duomenų įvyksta perkeliant temą į matematinę plotmę. Tai reiškia, kad sprendimai apie atsitiktinį įvykį, pvz., „didelė tikimybė“ arba „minimali tikimybė“, gali būti paversti konkrečiais skaitiniais duomenimis. Jau dabar leidžiama tokią medžiagą vertinti, lyginti ir įtraukti į sudėtingesnius skaičiavimus.
Skaičiavimo požiūriu įvykio tikimybės apibrėžimas yra elementarių teigiamų baigčių skaičiaus ir visų galimų patirties baigčių skaičiaus santykis konkretaus įvykio atžvilgiu. Tikimybė žymima P (A), kur P reiškia žodį „tikimybė“, kuris iš prancūzų kalbos išverstas kaip „tikimybė“.
Taigi įvykio tikimybės formulė yra tokia:
Kur m yra palankių įvykio A baigčių skaičius, n yra visų galimų šios patirties baigčių suma. Įvykio tikimybė visada yra nuo 0 iki 1:
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Įvykio tikimybės apskaičiavimas. Pavyzdys
Paimkime ispanų kalbą. 1 su kamuoliukais, kurie aprašyti anksčiau: 3 mėlyni rutuliai su skaičiais 1/3/5 ir 3 raudoni rutuliai su skaičiais 2/4/6.
Remiantis šiuo testu, galima apsvarstyti keletą skirtingų užduočių:
- A - raudono kamuoliuko lašas. Raudoni kamuoliukai yra 3, o variantų iš viso 6. Tai paprasčiausias pavyzdys, kuriame įvykio tikimybė P(A)=3/6=0,5.
- B – lyginio skaičiaus numetimas. Iš viso yra 3 (2,4,6) lyginiai skaičiai, o bendras galimų skaitinių variantų skaičius yra 6. Šio įvykio tikimybė P(B)=3/6=0,5.
- C - didesnio nei 2 skaičiaus praradimas. Yra 4 tokie variantai (3,4,5,6) iš visų galimų baigčių skaičiaus 6. Įvykio C tikimybė yra P(C)=4/6= 0,67.
Kaip matyti iš skaičiavimų, įvykis C turi didesnę tikimybę, nes galimų teigiamų baigčių skaičius yra didesnis nei A ir B atveju.
Nesuderinami įvykiai
Tokie įvykiai negali atsirasti vienu metu toje pačioje patirtyje. Kaip ispaniškai Nr.1, neįmanoma gauti mėlyno ir raudono kamuoliuko vienu metu. Tai yra, galite gauti mėlyną arba raudoną rutulį. Lygiai taip pat lyginis ir nelyginis skaičiai negali atsirasti kauliukėje tuo pačiu metu.
Dviejų įvykių tikimybė laikoma jų sumos arba sandaugos tikimybe. Tokių įvykių suma A + B laikomas įvykis, kurį sudaro įvykis A arba B, o jų AB sandauga - abiejų atsiradimas. Pavyzdžiui, dviejų šešetų pasirodymas vienu metu ant dviejų kauliukų veidų vienu metimu.
Kelių įvykių suma yra įvykis, kuris reiškia, kad įvyksta bent vienas iš jų. Kelių įvykių rezultatas yra jų visų bendras įvykis.
Tikimybių teorijoje, kaip taisyklė, sąjunga „ir“ reiškia sumą, sąjunga „arba“ – daugybą. Formulės su pavyzdžiais padės suprasti sudėjimo ir daugybos logiką tikimybių teorijoje.
Nesuderinamų įvykių sumos tikimybė
Jei atsižvelgiama į nesuderinamų įvykių tikimybę, tada įvykių sumos tikimybė yra lygi jų tikimybių sumai:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Pavyzdžiui: apskaičiuojame tikimybę, kad ispanų kalba. Nr.1 su mėlynais ir raudonais rutuliais nukris skaičius tarp 1 ir 4. Skaičiuosime ne vienu veiksmu, o elementariųjų dedamųjų tikimybių suma. Taigi tokiame eksperimente yra tik 6 kamuoliukai arba 6 iš visų galimų rezultatų. Sąlygą tenkinantys skaičiai yra 2 ir 3. Tikimybė gauti skaičių 2 yra 1/6, skaičiaus 3 tikimybė taip pat yra 1/6. Tikimybė gauti skaičių nuo 1 iki 4 yra:
Visos grupės nesuderinamų įvykių sumos tikimybė yra 1.
Taigi, jei eksperimente su kubu sumuojame tikimybes gauti visus skaičius, tada gauname vieną.
Tai pasakytina ir apie priešingus įvykius, pavyzdžiui, atliekant eksperimentą su moneta, kur viena iš jos pusių yra įvykis A, o kita yra priešingas įvykis Ā, kaip žinoma,
Р(А) + Р(Ā) = 1
Tikimybė sukelti nesuderinamus įvykius
Tikimybių dauginimas naudojamas vertinant dviejų ar daugiau nesuderinamų įvykių viename stebėjime. Tikimybė, kad įvykiai A ir B jame pasirodys vienu metu, yra lygi jų tikimybių sandaugai arba:
P(A*B)=P(A)*P(B)
Pavyzdžiui, tikimybė, kad Nr. 1 po dviejų bandymų du kartus pasirodys mėlynas rutulys, lygus
Tai yra, įvykio tikimybė, kai po dviejų bandymų ištraukti kamuoliukus bus ištraukti tik mėlyni rutuliai, yra 25%. Labai lengva atlikti praktinius šios problemos eksperimentus ir išsiaiškinti, ar taip yra iš tikrųjų.
Bendri renginiai
Įvykiai laikomi bendrais, kai vieno iš jų pasirodymas gali sutapti su kito pasirodymu. Nepaisant to, kad jie yra jungtiniai, atsižvelgiama į nepriklausomų įvykių tikimybę. Pavyzdžiui, dviejų kauliukų metimas gali duoti rezultatą, kai ant abiejų iškrenta skaičius 6. Nors įvykiai sutapo ir pasirodė tuo pačiu metu, jie vienas nuo kito nepriklauso – galėjo iškristi tik vienas šešetas, antrasis kauliukas neturi. įtakos jai.
Bendrų įvykių tikimybė laikoma jų sumos tikimybe.
Bendrų įvykių sumos tikimybė. Pavyzdys
Įvykių A ir B, kurie yra jungtiniai vienas kito atžvilgiu, sumos tikimybė yra lygi įvykio tikimybių sumai, atėmus jų sandaugos tikimybę (tai yra, jų bendrą įgyvendinimą):
R jungtis. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)
Tarkime, kad tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,4. Tada įvykis A – pataikyti į taikinį pirmu bandymu, B – antruoju. Šie įvykiai yra jungtiniai, nes gali būti, kad pataikyti į taikinį galima ir iš pirmo, ir iš antro šūvio. Tačiau įvykiai nepriklauso. Kokia tikimybė, kad įvykis pataikys į taikinį dviem šūviais (bent vienu)? Pagal formulę:
0,4+0,4-0,4*0,4=0,64
Atsakymas į klausimą yra toks: „Tikimybė dviem šūviais pataikyti į taikinį yra 64%.
Šią įvykio tikimybės formulę galima pritaikyti ir nesuderinamiems įvykiams, kai įvykio bendro pasireiškimo tikimybė P(AB) = 0. Tai reiškia, kad nesuderinamų įvykių sumos tikimybė gali būti laikoma ypatingu atveju pasiūlytos formulės.
Tikimybių geometrija aiškumo dėlei
Įdomu tai, kad bendrų įvykių sumos tikimybę galima pavaizduoti kaip dvi sritis A ir B, kurios susikerta viena su kita. Kaip matote iš paveikslėlio, jų sąjungos plotas yra lygus bendram plotui, atėmus jų sankirtos plotą. Šis geometrinis paaiškinimas iš pažiūros nelogišką formulę daro suprantamesnę. Atkreipkite dėmesį, kad geometriniai sprendimai nėra neįprasti tikimybių teorijoje.
Bendrų įvykių aibės (daugiau nei dviejų) sumos tikimybės apibrėžimas yra gana sudėtingas. Norėdami jį apskaičiuoti, turite naudoti formules, kurios yra pateiktos šiems atvejams.
Priklausomi įvykiai
Priklausomi įvykiai vadinami, jei vieno (A) iš jų įvykis turi įtakos kito (B) atsiradimo tikimybei. Be to, atsižvelgiama ir į įvykio A atsiradimo, ir į jo neįvykimo įtaką. Nors pagal apibrėžimą įvykiai vadinami priklausomais, tik vienas iš jų yra priklausomas (B). Įprasta tikimybė buvo pažymėta kaip P(B) arba nepriklausomų įvykių tikimybė. Išlaikomų asmenų atveju įvedama nauja sąvoka - sąlyginė tikimybė P A (B), kuri yra priklausomo įvykio B tikimybė su sąlyga, kad įvyko įvykis A (hipotezė), nuo kurio ji priklauso.
Tačiau įvykis A taip pat yra atsitiktinis, todėl jis taip pat turi tikimybę, į kurią reikia ir galima atsižvelgti atliekant skaičiavimus. Šis pavyzdys parodys, kaip dirbti su priklausomais įvykiais ir hipoteze.
Priklausomų įvykių tikimybės skaičiavimo pavyzdys
Geras priklausomų įvykių skaičiavimo pavyzdys yra standartinė kortų kaladė.
36 kortų kaladės pavyzdžiu apsvarstykite priklausomus įvykius. Būtina nustatyti tikimybę, kad antroji iš kaladės ištraukta korta bus deimantinės spalvos, jei pirmoji ištraukta korta yra:
- Tamburinas.
- Kitas kostiumas.
Akivaizdu, kad antrojo įvykio B tikimybė priklauso nuo pirmojo A. Taigi, jei pirmasis variantas yra teisingas, kuris yra 1 korta (35) ir 1 deimantu (8) mažiau kaladėje, įvykio B tikimybė:
P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0,23
Jei antrasis variantas teisingas, tada kaladėje yra 35 kortos, o bendras tamburinų skaičius (9) vis dar išsaugomas, tada šio įvykio tikimybė yra B:
P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.
Matyti, kad jei įvykis A priklauso nuo to, kad pirmoji korta yra deimantas, tai įvykio B tikimybė mažėja, ir atvirkščiai.
Priklausomų įvykių dauginimas
Remiantis ankstesniu skyriumi, pirmąjį įvykį (A) priimame kaip faktą, tačiau iš esmės jis turi atsitiktinį pobūdį. Šio įvykio, būtent tamburino ištraukimo iš kortų kaladės, tikimybė yra lygi:
P(A) = 9/36 = 1/4
Kadangi teorija neegzistuoja pati savaime, o yra pašaukta tarnauti praktiniams tikslams, reikia pažymėti, kad dažniausiai reikalinga priklausomų įvykių atsiradimo tikimybė.
Pagal teoremą apie priklausomų įvykių tikimybių sandaugą, kartu priklausančių įvykių A ir B tikimybė yra lygi vieno įvykio A tikimybei, padaugintai iš sąlyginės įvykio B tikimybės (priklausomai nuo A):
P (AB) \u003d P (A) * P A (B)
Tada pavyzdyje su kalade tikimybė ištraukti dvi kortas su deimantų kostiumu yra tokia:
9/36*8/35 = 0,0571 arba 5,7 %
O tikimybė iš pradžių išgauti ne deimantus, o paskui deimantus yra lygi:
27/36*9/35=0,19 arba 19 %
Matyti, kad įvykio B tikimybė yra didesnė, su sąlyga, kad pirmiausia ištraukiama kito masto nei deimanto korta. Šis rezultatas yra gana logiškas ir suprantamas.
Bendra įvykio tikimybė
Kai sąlyginių tikimybių problema tampa daugialypė, jos negalima apskaičiuoti įprastais metodais. Kai yra daugiau nei dvi hipotezės, būtent A1, A2, ..., A n , .. sudaro visą įvykių grupę pagal sąlygą:
- P(A i)>0, i=1,2,…
- A i ∩ A j =Ø,i≠j.
- Σ k A k =Ω.
Taigi, bendros įvykio B tikimybės formulė su visa atsitiktinių įvykių grupe A1, A2, ..., A n yra:
Žvilgsnis į ateitį
Atsitiktinio įvykio tikimybė yra esminė daugelyje mokslo sričių: ekonometrijoje, statistikoje, fizikoje ir kt. Kadangi kai kurių procesų negalima aprašyti deterministiškai, nes jie patys yra tikimybiniai, reikalingi specialūs darbo metodai. Įvykio teorijos tikimybė gali būti naudojama bet kurioje technologinėje srityje kaip būdas nustatyti klaidos ar gedimo galimybę.
Galima sakyti, kad, atpažindami tikimybę, kažkokiu būdu žengiame teorinį žingsnį į ateitį, žvelgdami į ją per formulių prizmę.