Iš visos logaritminių nelygybių įvairovės atskirai nagrinėjamos nelygybės su kintamu pagrindu. Jie sprendžiami pagal specialią formulę, kuri dėl kokių nors priežasčių retai mokoma mokykloje:
log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0
Vietoj stulpelio „∨“ galite įdėti bet kokį nelygybės ženklą: daugiau ar mažiau. Svarbiausia, kad abiejose nelygybėse ženklai būtų vienodi.
Taigi atsikratome logaritmų ir sumažiname problemą iki racionalios nelygybės. Pastarąjį išspręsti daug lengviau, tačiau atmetus logaritmus gali atsirasti papildomų šaknų. Norint juos nupjauti, pakanka rasti leistinų verčių diapazoną. Jei pamiršote logaritmo ODZ, primygtinai rekomenduoju jį pakartoti – žiūrėkite „Kas yra logaritmas“.
Viskas, kas susiję su priimtinų verčių diapazonu, turi būti išrašyta ir išspręsta atskirai:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Šios keturios nelygybės sudaro sistemą ir turi būti įvykdytos vienu metu. Kai randamas priimtinų verčių diapazonas, belieka jį kirsti su racionalios nelygybės sprendimu - ir atsakymas paruoštas.
Užduotis. Išspręskite nelygybę:
Pirmiausia parašykime logaritmo ODZ:
Pirmosios dvi nelygybės atliekamos automatiškai, o paskutinė turės būti įrašyta. Kadangi skaičiaus kvadratas yra nulis tada ir tik tada, kai pats skaičius yra nulis, turime:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Pasirodo, kad logaritmo ODZ yra visi skaičiai, išskyrus nulį: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Dabar išsprendžiame pagrindinę nelygybę:
Atliekame perėjimą iš logaritminės nelygybės į racionaliąją. Pradinėje nelygybėje yra ženklas „mažiau nei“, todėl gauta nelygybė taip pat turėtų būti su „mažiau nei“ ženklu. Mes turime:
(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 – x) (3 + x) x 2< 0.
Šios išraiškos nuliai: x = 3; x = -3; x = 0. Be to, x = 0 yra antrojo dauginio šaknis, vadinasi, einant pro ją funkcijos ženklas nekinta. Mes turime:
Gauname x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Šis rinkinys yra visiškai įtrauktas į logaritmo ODZ, o tai reiškia, kad tai yra atsakymas.
Logaritminių nelygybių transformacija
Dažnai pradinė nelygybė skiriasi nuo aukščiau pateiktos. Tai lengva ištaisyti pagal standartines darbo su logaritmais taisykles – žr. „Pagrindinės logaritmų savybės“. Būtent:
- Bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su duota baze;
- Logaritmų su ta pačia baze sumą ir skirtumą galima pakeisti vienu logaritmu.
Atskirai noriu priminti apie priimtinų verčių diapazoną. Kadangi pradinėje nelygybėje gali būti keli logaritmai, reikia rasti kiekvieno iš jų DPV. Taigi bendra logaritminių nelygybių sprendimo schema yra tokia:
- Raskite kiekvieno logaritmo, įtraukto į nelygybę, ODZ;
- Sumažinkite nelygybę iki standartinės, naudodami logaritmų pridėjimo ir atėmimo formules;
- Išspręskite gautą nelygybę pagal aukščiau pateiktą schemą.
Užduotis. Išspręskite nelygybę:
Raskite pirmojo logaritmo apibrėžimo sritį (ODZ):
Sprendžiame intervalų metodu. Skaitiklio nulių radimas:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Tada - vardiklio nuliai:
x − 1 = 0;
x = 1.
Ant koordinačių rodyklės pažymime nulius ir ženklus:
Gauname x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Antrasis ODZ logaritmas bus toks pat. Jei netiki, gali pasitikrinti. Dabar paverčiame antrąjį logaritmą taip, kad bazė būtų dvi:
Kaip matote, trigubai prie pagrindo ir prieš logaritmą susitraukė. Gaukite du logaritmus su ta pačia baze. Sudėkime juos kartu:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Gavome standartinę logaritminę nelygybę. Atsikratome logaritmų pagal formulę. Kadangi pradinėje nelygybėje yra mažesnis nei ženklas, gauta racionali išraiška taip pat turi būti mažesnė už nulį. Mes turime:
(f (x) – g (x)) (k (x) – 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x – 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).
Gavome du komplektus:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Kandidatas į atsakymus: x ∈ (−1; 3).
Belieka kirsti šiuos rinkinius – gauname tikrą atsakymą:
Mus domina aibių susikirtimas, todėl intervalus pasirenkame nuspalvintus ant abiejų rodyklių. Gauname x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) – visi taškai pradurti.
Ar manote, kad iki egzamino dar liko laiko ir turėsite laiko pasiruošti? Galbūt taip ir yra. Bet kokiu atveju, kuo anksčiau studentas pradeda treniruotis, tuo sėkmingiau jis išlaiko egzaminus. Šiandien nusprendėme skirti straipsnį logaritminėms nelygybėms. Tai viena iš užduočių, reiškianti galimybę gauti papildomą balą.
Ar jau žinai, kas yra logaritmas (logas)? Labai tikimės. Bet net jei neturite atsakymo į šį klausimą, tai nėra problema. Labai lengva suprasti, kas yra logaritmas.
Kodėl būtent 4? Turite padidinti skaičių 3 iki tokios galios, kad gautumėte 81. Kai suprasite principą, galite pereiti prie sudėtingesnių skaičiavimų.
Prieš kelerius metus išgyvenote nelygybę. Ir nuo to laiko juos nuolat sutinki matematikoje. Jei kyla problemų sprendžiant nelygybes, peržiūrėkite atitinkamą skyrių.
Dabar, kai susipažinsime su sąvokomis atskirai, pereisime prie jų svarstymo apskritai.
Paprasčiausia logaritminė nelygybė.
Paprasčiausios logaritminės nelygybės šiuo pavyzdžiu neapsiriboja, yra dar trys, tik su skirtingais ženklais. Kam to reikia? Norėdami geriau suprasti, kaip išspręsti nelygybę logaritmais. Dabar pateikiame labiau pritaikomą pavyzdį, vis dar gana paprastą, sudėtingas logaritmines nelygybes paliekame vėlesniam laikui.
Kaip tai išspręsti? Viskas prasideda nuo ODZ. Turėtumėte apie tai žinoti daugiau, jei norite visada lengvai išspręsti bet kokią nelygybę.
Kas yra ODZ? DPV logaritminėms nelygybėms
Santrumpa reiškia galiojančių verčių diapazoną. Egzamino užduotyse ši formuluotė dažnai pasirodo. DPV jums naudingas ne tik logaritminių nelygybių atveju.
Dar kartą pažiūrėkite į aukščiau pateiktą pavyzdį. Remdamiesi juo svarstysime ODZ, kad suprastumėte principą, o logaritminių nelygybių sprendimas nekeltų klausimų. Iš logaritmo apibrėžimo matyti, kad 2x+4 turi būti didesnis už nulį. Mūsų atveju tai reiškia štai ką.
Šis skaičius pagal apibrėžimą turi būti teigiamas. Išspręskite aukščiau pateiktą nelygybę. Tai galima padaryti net žodžiu, čia aišku, kad X negali būti mažesnis už 2. Nelygybės sprendimas bus priimtinų reikšmių diapazono apibrėžimas.
Dabar pereikime prie paprasčiausios logaritminės nelygybės sprendimo.
Iš abiejų nelygybės dalių atmetame pačius logaritmus. Kas mums dėl to belieka? paprasta nelygybė.
Tai lengva išspręsti. X turi būti didesnis nei -0,5. Dabar mes sujungiame dvi gautas reikšmes į sistemą. Taigi,
Tai bus nagrinėjamos logaritminės nelygybės leistinų verčių sritis.
Kam išvis reikalingas ODZ? Tai galimybė atsikratyti neteisingų ir neįmanomų atsakymų. Jei atsakymas nepatenka į priimtinų verčių diapazoną, atsakymas tiesiog neturi prasmės. Tai verta prisiminti ilgą laiką, nes egzamine dažnai reikia ieškoti ODZ ir tai susiję ne tik su logaritminėmis nelygybėmis.
Logaritminės nelygybės sprendimo algoritmas
Sprendimas susideda iš kelių žingsnių. Pirma, būtina rasti priimtinų verčių diapazoną. ODZ bus dvi reikšmės, mes tai apsvarstėme aukščiau. Kitas žingsnis – išspręsti pačią nelygybę. Sprendimo metodai yra tokie:
- daugiklio pakeitimo metodas;
- skilimas;
- racionalizavimo metodas.
Priklausomai nuo situacijos, reikia naudoti vieną iš aukščiau pateiktų metodų. Eikime tiesiai prie sprendimo. Atskleisime populiariausią būdą, kuris tinka USE užduotims spręsti beveik visais atvejais. Toliau apsvarstysime skaidymo metodą. Tai gali padėti, jei susidursite su ypač „keblia“ nelygybe. Taigi, logaritminės nelygybės sprendimo algoritmas.
Sprendimo pavyzdžiai :
Ne veltui mes paėmėme būtent tokią nelygybę! Atkreipkite dėmesį į pagrindą. Atsiminkite: jei jis didesnis už vienetą, randant galiojančių reikšmių diapazoną, ženklas išlieka toks pat; kitu atveju reikia pakeisti nelygybės ženklą.
Dėl to gauname nelygybę:
Dabar mes pateikiame kairę pusę į lygties formą, lygią nuliui. Vietoj ženklo „mažiau nei“ dedame „lygus“, išsprendžiame lygtį. Taigi, mes rasime ODZ. Tikimės, kad jums nekils problemų sprendžiant tokią paprastą lygtį. Atsakymai yra -4 ir -2. Tai dar ne viskas. Turite parodyti šiuos taškus diagramoje, įdėti "+" ir "-". Ką reikia padaryti dėl to? Pakeiskite skaičius iš intervalų į išraišką. Kai reikšmės yra teigiamos, ten įdedame „+“.
Atsakymas: x negali būti didesnis nei -4 ir mažesnis nei -2.
Mes radome galiojančių verčių diapazoną tik kairėje pusėje, dabar turime rasti galiojančių verčių diapazoną dešinėje pusėje. Tai jokiu būdu nėra lengviau. Atsakymas: -2. Mes susikertame abi gautas sritis.
Ir tik dabar pradedame spręsti pačią nelygybę.
Kiek įmanoma supaprastinkime, kad būtų lengviau apsispręsti.
Sprendime vėl naudojame intervalo metodą. Praleiskime skaičiavimus, su juo viskas jau aišku iš ankstesnio pavyzdžio. Atsakymas.
Bet šis metodas tinka, jei logaritminė nelygybė turi tuos pačius pagrindus.
Sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes su skirtingais pagrindais, pradinis redukavimas į vieną bazę. Tada naudokite aukščiau pateiktą metodą. Tačiau yra ir sudėtingesnis atvejis. Apsvarstykite vieną iš sudėtingiausių logaritminių nelygybių tipų.
Logaritminės nelygybės su kintamu pagrindu
Kaip išspręsti tokias charakteristikas turinčias nelygybes? Taip, ir tokių galima rasti egzamine. Nelygybių sprendimas tokiu būdu taip pat turės teigiamos įtakos jūsų ugdymo procesui. Pažvelkime į problemą išsamiai. Padėkime teoriją į šalį ir eikime tiesiai į praktiką. Norint išspręsti logaritmines nelygybes, pakanka vieną kartą pažvelgti į pavyzdį.
Norint išspręsti pateiktos formos logaritminę nelygybę, reikia sumažinti dešinę pusę iki logaritmo su ta pačia baze. Principas primena lygiaverčius perėjimus. Dėl to nelygybė atrodys taip.
Tiesą sakant, belieka sukurti nelygybių sistemą be logaritmų. Naudodami racionalizacijos metodą pereiname prie ekvivalentinės nelygybių sistemos. Pačią taisyklę suprasite, kai pakeisite atitinkamas reikšmes ir stebėsite jų pokyčius. Sistema turės tokias nelygybes.
Naudodami racionalizacijos metodą spręsdami nelygybes, turite atsiminti: iš pagrindo reikia atimti vieną, x pagal logaritmo apibrėžimą atimamas iš abiejų nelygybės dalių (dešinė iš kairės), du išraiškos padauginamos ir nustatomos pagal pradinį ženklą lyginant su nuliu.
Tolesnis sprendimas atliekamas intervalo metodu, čia viskas paprasta. Jums svarbu suprasti sprendimo būdų skirtumus, tada viskas pradės lengvai klotis.
Logaritminėse nelygybėse yra daug niuansų. Paprasčiausius iš jų pakankamai lengva išspręsti. Kaip padaryti, kad kiekvienas iš jų būtų išspręstas be problemų? Šiame straipsnyje jau gavote visus atsakymus. Dabar jūsų laukia ilga praktika. Nuolat treniruokitės spręsdami įvairias problemas egzamino metu ir galėsite gauti aukščiausią balą. Sėkmės sunkiame darbe!
Dažnai sprendžiant logaritmines nelygybes iškyla kintamos logaritmo bazės problemos. Taigi, formos nelygybė
yra standartinė mokyklos nelygybė. Paprastai jai išspręsti naudojamas perėjimas prie lygiaverčio sistemų rinkinio:
Šio metodo trūkumas yra būtinybė išspręsti septynias nelygybes, neskaičiuojant dviejų sistemų ir vienos aibės. Net ir esant nurodytoms kvadratinėms funkcijoms, populiacijos sprendimas gali užtrukti daug laiko.
Galima pasiūlyti alternatyvų, mažiau laiko reikalaujantį šios standartinės nelygybės sprendimo būdą. Norėdami tai padaryti, atsižvelgiame į šią teoremą.
Teorema 1. Tegu aibėje X nuolat didėjanti funkcija. Tada šioje aibėje funkcijos prieaugio ženklas sutaps su argumento prieaugio ženklu, t.y. , Kur 
.
Pastaba: jei rinkinyje X nuolat mažėja funkcija, tada .
Grįžkime prie nelygybės. Pereikime prie dešimtainio logaritmo (galite pereiti prie bet kurio, kurio pastovi bazė yra didesnė už vieną).
Dabar galime naudoti teoremą, skaitiklyje pastebėdami funkcijų prieaugį 
ir vardiklyje. Taigi tai tiesa
Dėl to skaičiavimų, vedančių į atsakymą, skaičius sumažėja maždaug perpus, o tai sutaupo ne tik laiko, bet ir leidžia potencialiai padaryti mažiau aritmetinių ir neatsargių klaidų.
1 pavyzdys
Palyginus su (1) randame 
, 
, .
Pereidami į (2) turėsime:
2 pavyzdys
Lyginant su (1) randame , , .
Pereidami į (2) turėsime:
3 pavyzdys
Kadangi kairioji nelygybės pusė yra didėjanti funkcija ir 
, tada atsakymas nustatomas.
Pavyzdžių, kuriuose galima pritaikyti „Terme 1“, rinkinį galima nesunkiai išplėsti, jei atsižvelgsime į „Terme 2“.
Leisk į filmavimo aikštelę X funkcijos , , , yra apibrėžtos, o šioje aibėje ženklai ir sutampa, t.y. tada bus sąžininga.
4 pavyzdys
5 pavyzdys
Taikant standartinį metodą, pavyzdys sprendžiamas pagal schemą: sandauga yra mažesnė už nulį, kai faktoriai yra skirtingų ženklų. Tie. nagrinėjame dviejų nelygybių sistemų aibę, kurioje, kaip buvo nurodyta pradžioje, kiekviena nelygybė suskaidoma į dar septynias.
Jei atsižvelgsime į 2 teoremą, kiekvienas veiksnys, atsižvelgiant į (2), gali būti pakeistas kita funkcija, kuri turi tą patį ženklą šiame O.D.Z. pavyzdyje.
Funkcijos prieaugio pakeitimo argumento padidėjimu metodas, atsižvelgiant į 2 teoremą, pasirodo labai patogus sprendžiant tipines C3 USE problemas.
6 pavyzdys
7 pavyzdys
. Pažymėkime. Gauk
. Atminkite, kad pakeitimas reiškia: . Grįžę prie lygties, gauname
.
8 pavyzdys
Mūsų naudojamose teoremose nėra jokių apribojimų funkcijų klasėms. Šiame straipsnyje, kaip pavyzdys, teoremos buvo pritaikytos logaritminių nelygybių sprendimui. Keli toliau pateikti pavyzdžiai parodys kitų tipų nelygybių sprendimo metodo žadą.