Elementy symetrii nazywane są pomocniczymi obrazami geometrycznymi (punkt, linia, płaszczyzna i ich kombinacje), za pomocą których można mentalnie łączyć równe powierzchnie kryształu (wielościanu) w przestrzeni. Jednocześnie pod symetria Kryształ rozumiany jest jako naturalne powtarzanie w przestrzeni jego równych ścian, wierzchołków i krawędzi.

Istnieją trzy główne elementy symetrii kryształu - środek symetrii, płaszczyzna symetrii i osie symetrii.

Środek symetrii nazywany wyimaginowanym punktem wewnątrz kryształu, w równej odległości od jego elementów ograniczających (tj. przeciwległych wierzchołków, punktów środkowych krawędzi i ścian). Środek symetrii to punkt przecięcia przekątnych regularnej figury (sześcianu, równoległościanu) i jest oznaczony literą Z oraz według międzynarodowego systemu Hermanna-Mogena – I.

W krysztale może być tylko jeden środek symetrii. Istnieją jednak kryształy, w których w ogóle nie ma środka symetrii. Decydując, czy w Twoim krysztale znajduje się środek symetrii, musisz kierować się następującą zasadą:

„Jeśli w krysztale znajduje się środek symetrii, to każda z jego ścian odpowiada równej i przeciwnej ścianie.”

Na zajęciach praktycznych z modelami laboratoryjnymi obecność lub brak środka symetrii w krysztale ustala się w następujący sposób. Umieszczamy kryształ dowolną z jego ścian na płaszczyźnie stołu. Sprawdzamy, czy na górze znajduje się równa i równoległa krawędź. Powtarzamy tę samą operację dla każdej ściany kryształu. Jeśli każda ściana kryształu ma na górze równą i równoległą ścianę, wówczas w krysztale znajduje się środek symetrii. Jeśli dla przynajmniej jednej ściany kryształu nie ma na górze ścianki równej i równoległej do niej, to w krysztale nie ma środka symetrii.

Płaszczyzna symetrii(oznaczona literą P, zgodnie z międzynarodową symboliką - m) to wyimaginowana płaszczyzna przechodząca przez geometryczny środek kryształu i dzieląca go na dwie lustrzane równe połowy. Kryształy posiadające płaszczyznę symetrii mają dwie właściwości. Po pierwsze, jego dwie połówki, oddzielone płaszczyzną symetrii, mają równą objętość; po drugie, są równe, jak odbicia w lustrze.

Aby sprawdzić lustrzaną równość połówek kryształu, należy narysować wyimaginowaną prostopadłą do płaszczyzny z każdego z jej wierzchołków i rozciągnąć ją na tę samą odległość od płaszczyzny. Jeśli każdemu wierzchołkowi odpowiada wierzchołek odzwierciedlony w nim po przeciwnej stronie kryształu, wówczas w krysztale występuje płaszczyzna symetrii. Podczas wyznaczania płaszczyzn symetrii na modelach laboratoryjnych kryształ umieszcza się w ustalonej pozycji, a następnie mentalnie przecina na równe połowy. Sprawdzana jest lustrzana równość powstałych połówek. Liczymy, ile razy jesteśmy w stanie w myślach przeciąć kryształ na dwie lustrzane, równe części. Pamiętaj, że kryształ musi być nieruchomy!

Liczba płaszczyzn symetrii w kryształach waha się od 0 do 9. Przykładowo w prostopadłościanie prostokątnym znajdziemy trzy płaszczyzny symetrii, czyli 3P.

Oś symetrii nazywana wyimaginowaną linią przechodzącą przez geometryczny środek kryształu, po obrocie wokół której kryształ kilkakrotnie powtarza swoje pojawienie się w przestrzeni, tj. samoczynnie się wyrównuje. Oznacza to, że po obrocie o określony kąt niektóre ściany kryształu zostają zastąpione innymi, im równymi.

Główną cechą osi symetrii jest najmniejszy kąt obrotu, pod którym kryształ „powtórzy” się w przestrzeni po raz pierwszy. Kąt ten nazywa się podstawowy kąt obrotu osi i jest oznaczony przez α, na przykład:

Elementarny kąt obrotu dowolnej osi jest koniecznie zawarty w liczbie całkowitej razy w 360 °, tj. (Liczba całkowita), gdzie n jest rzędem osi.

Zatem , kolejność osi jest liczbą całkowitą wskazującą, ile razy elementarny kąt obrotu danej osi zawiera się w 360°. W przeciwnym razie rząd osi to liczba „powtórzeń” kryształu w przestrzeni podczas jego pełnego obrotu wokół danej osi.

Osie symetrii są oznaczone literą L, kolejność osi jest oznaczona małą liczbą w prawym dolnym rogu, na przykład L 2.

W kryształach możliwe są następujące osie symetrii i odpowiadające im elementarne kąty obrotu.

Tabela 1

Zależność osi symetrii od elementarnych kątów obrotu

W każdym krysztale istnieje nieskończona liczba osi symetrii pierwszego rzędu, dlatego w praktyce nie są one wyznaczane.

Osie symetrii piątego i dowolnego rzędu powyżej szóstego w ogóle nie istnieją w kryształach. Ta cecha kryształów jest sformułowana jako prawo symetrii kryształów. Prawo symetrii kryształów tłumaczy się specyfiką ich wewnętrznej struktury, a mianowicie obecnością siatki przestrzennej, która nie pozwala na istnienie osi 5., 7., 8. i tak dalej.

Kryształ może mieć kilka osi tego samego rzędu. Przykładowo w prostopadłościanie prostokątnym znajdują się trzy osie II rzędu, czyli 3L 2.

W sześcianie znajdują się 3 osie czwartego rzędu, 4 osie trzeciego rzędu i 6 osi drugiego rzędu. Nazywa się osie symetrii najwyższego rzędu w krysztale główne.

Wyznaczanie osi symetrii modeli podczas ćwiczeń laboratoryjnych odbywa się w następującej kolejności. Kryształ chwyta się opuszkami palców jednej ręki w jego przeciwległych punktach (wierzchołki, środki krawędzi lub ściany). Wyimaginowana oś jest umieszczona pionowo przed tobą; zapamiętywany jest każdy charakterystyczny wygląd kryształu. Następnie drugą ręką obraca się kryształ wokół wyimaginowanej osi, aż jego pierwotny wygląd zostanie „powtórzony” w przestrzeni. Liczymy, ile razy kryształ „powtórzy się” w przestrzeni podczas pełnego obrotu wokół danej osi. To będzie jej rozkaz. W podobny sposób sprawdza się wszystkie pozostałe teoretycznie możliwe kierunki osi symetrii w krysztale. Te osie symetrii nazywane są prosty.

Oprócz nich są złożony osie symetrii, zwane lustrzanymi obrotami i inwersją. Oś obrotu lustrzanego symetria jest mentalnym połączeniem prostej osi i prostopadłej do niej płaszczyzny symetrii. Osie lustrzano-obrotowe mogą być tego samego rzędu co proste, ale w praktyce używana jest tylko oś czwartego rzędu, która jest oznaczona L 4 2 i jest zawsze równa L 2, ale nie odwrotnie.

Oś inwersji symetria jest mentalnym połączeniem prostej osi symetrii i środka symetrii. W praktyce i teorii stosowane są tylko osie inwersyjne czwartego i szóstego rzędu. Są one oznaczone jako Li 4 i Li 6.

Nazywa się to połączenie wszystkich elementów symetrii kryształu zapisanych symbolami wzór na symetrię . Wzór na symetrię najpierw wymienia osie symetrii, następnie płaszczyzny symetrii, a na końcu pokazana jest obecność środka symetrii. Pomiędzy symbolami nie ma kropek ani przecinków. Na przykład wzór na symetrię prostokątnego równoległościanu to: 3L 3 3PC; kostka – 3L 4 4L 3 6L 2 9szt.

Rodzaje symetrii kryształów

Rodzaje symetrii są możliwymi kombinacjami elementów symetrii w kryształach. Każdy rodzaj symetrii odpowiada określonemu wzorowi symetrii.

W sumie teoretycznie udowodniono obecność 32 rodzajów symetrii kryształów. Zatem istnieje w sumie 32 formuł symetrii kryształów.

Wszystkie rodzaje symetrii są łączone w 7 kroków symetria, uwzględniająca obecność charakterystycznych elementów symetrii.

1. Prymitywny – typy symetrii są łączone, reprezentowane jedynie przez pojedyncze osie symetrii różnych rzędów: L 3, L 4, L 6.

2. Centralny – oprócz pojedynczych osi symetrii istnieje środek symetrii; dodatkowo wraz z obecnością równych osi symetrii pojawia się również płaszczyzna symetrii: L 3 C, L 4 PC, L 6 PC.

3. Planowany (plan - płaszczyzna, gr.) - istnieje jedna oś i płaszczyzny symetrii: L 2 2P, L 4 4P.

4. Osiowy (oś - oś, grecki) - występują tylko osie symetrii: 3L 2, L 3 3L 2, L 6 6L 2.

5. Planaksjalny – są osie, płaszczyzny i środek symetrii: 3L 2 3PC, L 4 4L 2 5PC.

6. Inwersja-prymityw – obecność pojedynczej inwersji osi symetrii: Li i 4, Li i 6.

7. Płaszczyzna inwersji – obecność, oprócz osi inwersji, prostych osi i płaszczyzn symetrii: L i 4 4L 2 2P, L i 6 3L 2 3P.

Każdy poziom symetrii łączy w sobie inną liczbę typów symetrii: od 2 do 7.

Syngonie

Syngonia to grupa typów symetrii, które mają tę samą główną oś symetrii i ten sam ogólny poziom symetrii (syn – podobny, gonia – kąt, dosłownie: syngony – podobny kąt, gr.). Przejściu z jednego układu do drugiego towarzyszy wzrost stopnia symetrii kryształów.

W sumie jest 7 syngonii. Aby sukcesywnie zwiększać stopień symetrii kryształów, układa się je w następujący sposób.

1. Trójklinika syngony (klin - kąt, nachylenie, grecki) otrzymał swoją nazwę, biorąc pod uwagę specyfikę kryształów, że kąty między wszystkimi ścianami są zawsze ukośne. Oprócz C nie ma innych elementów symetrii.

2. Jednoskośny (monos - jeden, grecki) - w jednym kierunku pomiędzy powierzchniami kryształów kąt jest zawsze ukośny. Kryształy mogą zawierać L 2 , P i C. Żaden z elementów symetrii nie powtarza się co najmniej dwukrotnie.

3. Rombowy - otrzymał swoją nazwę od charakterystycznego przekroju kryształów (pamiętajcie o kątach rombowych I rodzaju).

4. Trójkątny – nazwany ze względu na charakterystyczny przekrój poprzeczny (trójkąt) i kąty wielościenne (trójkątny, dwutrygonalny). Wymagany jest jeden L 3.

5. Tetragonalny – charakteryzuje się kwadratowym przekrojem poprzecznym i kątami wielościennymi – tetragonalnym i dwutetragonalnym. Musi być obecny L 4 lub L i4.

6. Sześciokątny – przekrój w kształcie sześciokąta foremnego, kąty wielościenne – sześciokątne i dwusześcianowe. obecność jednego L 6 lub L i 6 jest obowiązkowa.

7. Sześcienny – typowy sześcienny kształt kryształu. Charakterystyczne połączenie elementów o symetrii 4L 3.

Syngonie są łączone w 3 kategorie : niski, średni i wysoki.

Powiązana informacja.

Promienie, pola i objętości

Z każdym foremnym wielościanem powiązane są trzy koncentryczne kule:
Opisana kula przechodząca przez wierzchołki wielościanu;
Środkowa kula dotykająca każdej ze swoich krawędzi pośrodku;
Wpisana kula dotykająca każdej ze swoich ścian w środku.

Promienie sfer opisanych () i wpisanych () są określone wzorami:

gdzie θ jest kątem dwuściennym między sąsiednimi ścianami wielościanu. Promień kuli środkowej wyraża się wzorem:

gdzie h jest wartością opisaną powyżej przy wyznaczaniu kątów dwuściennych (h = 4, 6, 6, 10 lub 10). Stosunek promieni opisanych do promieni wpisanych jest symetryczny względem p i q:

Pole powierzchni S foremnego wielościanu (p, q) oblicza się jako powierzchnię foremnego p-gonu pomnożoną przez liczbę ścian Г:

Objętość foremnego wielościanu oblicza się jako objętość foremnej piramidy pomnożoną przez liczbę ścian, których podstawą jest foremny p-kąt, a wysokość to promień wpisanej kuli r:

Fabuła.

Wielościany regularne znane są od czasów starożytnych. Ich ozdobne wzory można znaleźć na rzeźbionych kamiennych kulach powstałych w okresie późnego neolitu w Szkocji, co najmniej 1000 lat przed Platonem. W kostkach, w które grali ludzie u zarania cywilizacji, można już dostrzec kształty regularnych wielościanów.Wielościany regularne były szeroko badane przez starożytnych Greków. Niektóre źródła (np. Proclus Diadochos) przypisują zaszczyt swojego odkrycia Pitagorasowi. Inni twierdzą, że znał jedynie czworościan, sześcian i dwunastościan, a zaszczyt odkrycia ośmiościanu i dwudziestościanu przypadł Teajtetowi z Aten, współczesnemu Platonowi. W każdym razie Teajtet podał matematyczny opis wszystkich pięciu wielościanów foremnych i pierwszy znany dowód na to, że jest ich dokładnie pięć.
Wielościany regularne są charakterystyczne dla filozofii Platona, na którego cześć nazwano „bryły platońskie”. Platon pisał o nich w swoim traktacie Timajos (360 p.n.e.), gdzie przyrównał każdy z czterech żywiołów (ziemia, powietrze, woda i ogień) do pewnego foremnego wielościanu. Ziemię porównano do sześcianu, powietrze do ośmiościanu, wodę do dwudziestościanu, a ogień do czworościanu. Powody pojawienia się tych skojarzeń były następujące: ciepło ognia było odczuwalne wyraźnie i ostro (jak małe czworościany); powietrze składa się z ośmiościanów: jego najmniejsze składniki są tak gładkie, że prawie nie można ich wyczuć; woda wylewa się, gdy weźmiesz ją do ręki, jakby była ułożona z wielu małych kulek (do których najbliżej są dwudziestościany); W przeciwieństwie do wody, zupełnie niekuliste sześciany tworzą ziemię, co powoduje, że ziemia kruszy się w dłoniach, w przeciwieństwie do płynnego przepływu wody. Odnośnie piątego elementu, dwunastościanu, Platon poczynił niejasną uwagę: „...Bóg określił go dla Wszechświata i posłużył się nim jako modelem”. Arystoteles dodał piąty element, eter, i postulował, że niebiosa są zbudowane z tego pierwiastka, ale nie porównywał go z piątym elementem Platona. Pełny matematyczny opis wielościanów foremnych Euklides podał w ostatniej, XIII księdze Elementów. Zdania 13-17 tej książki opisują budowę czworościanu, oktaedru, sześcianu, dwudziestościanu i dwunastościanu, w tej kolejności. Dla każdego wielościanu Euklides znalazł stosunek średnicy opisanej kuli do długości krawędzi. Twierdzenie 18 stwierdza, że nie ma innych wielościanów foremnych. Andreas Speiser bronił poglądu, że głównym celem dedukcyjnego systemu geometrii stworzonego przez Greków i kanonizowanego w Elementach Euklidesa była konstrukcja pięciu regularnych wielościanów. Wiele informacji zawartych w XIII Księdze Elementów mogło zostać zaczerpniętych z dzieł Teajteta.W XVI wieku niemiecki astronom Johannes Kepler próbował znaleźć związek między pięcioma znanymi wówczas planetami Układu Słonecznego (z wyłączeniem Ziemi) a wielościanami foremnymi. W opublikowanej w 1596 roku Tajemnicy świata Kepler nakreślił swój model Układu Słonecznego. Umieszczono w nim pięć foremnych wielościanów jeden w drugim i oddzielono je szeregiem wpisanych i opisanych sfer. Każda z sześciu sfer odpowiadała jednej z planet (Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz i Saturn). Wielościany ułożono w następującej kolejności (od wewnętrznej do zewnętrznej): ośmiościan, następnie dwudziestościan, dwunastościan, czworościan i na końcu sześcian. Zatem strukturę Układu Słonecznego i związek odległości między planetami określono za pomocą wielościanów foremnych. Później pierwotny pomysł Keplera trzeba było porzucić, ale efektem jego poszukiwań było odkrycie dwóch praw dynamiki orbitalnej – praw Keplera – które zmieniły bieg fizyki i astronomii, a także regularnych wielościanów gwiaździstych (ciał Keplera-Poinsota) .

Geometria jest cudowna, ponieważ w przeciwieństwie do algebry, gdzie nie zawsze jest jasne, co i dlaczego obliczasz, zapewnia ona klarowność przedmiotu. Ten wspaniały świat różnych ciał ozdobiony jest regularnymi wielościanami.

Ogólne informacje o wielościanach foremnych

Według wielu wielościany foremne, zwane też bryłami platońskimi, mają unikalne właściwości. Z obiektami tymi wiąże się kilka hipotez naukowych. Kiedy zaczynasz studiować te ciała geometryczne, zdajesz sobie sprawę, że praktycznie nic nie wiesz o takim pojęciu jak wielościany foremne. Prezentacja tych obiektów w szkole nie zawsze jest interesująca, dlatego wielu nawet nie pamięta, jak się one nazywają. Większość ludzi pamięta tylko kostkę. Żadne ciała w geometrii nie mają takiej doskonałości jak regularne wielościany. Wszystkie nazwy tych ciał geometrycznych pochodzą ze starożytnej Grecji. Mają na myśli liczbę ścian: czworościan - czworościan, sześcian - sześciobok, oktaedr - ośmiościan, dwunastościan - dwunastościan, dwudziestościan - dwudziestościan. Wszystkie te ciała geometryczne zajmowały najważniejsze miejsce w platońskiej koncepcji wszechświata. Cztery z nich uosobiły żywioły lub esencje: czworościan – ogień, dwudziestościan – woda, sześcian – ziemia, ośmiościan – powietrze. Dwunastościan ucieleśniał wszystko. Uważano go za głównego, ponieważ był symbolem wszechświata.

Uogólnienie pojęcia wielościanu

Wielościan to zbiór skończonej liczby wielokątów takich, że:

każdy z boków dowolnego wielokąta jest jednocześnie bokiem tylko jednego innego wielokąta po tej samej stronie;
Z każdego z wielokątów można dotrzeć do pozostałych, poruszając się po sąsiadujących z nim wielokątach.

Wielokąty tworzące wielościan to jego ściany, a boki to jego krawędzie. Wierzchołki wielościanów są wierzchołkami wielokątów. Jeśli pojęcie wielokąta rozumie się jako płaskie, zamknięte linie łamane, wówczas dochodzimy do tej samej definicji wielościanu. W przypadku, gdy pojęcie to odnosi się do części płaszczyzny ograniczonej liniami przerywanymi, należy przez to rozumieć powierzchnię złożoną z elementów wielokątnych. zwane ciałem leżącym po jednej stronie płaszczyzny przylegającej do jego ściany.

Inna definicja wielościanu i jego elementów

Wielościan to powierzchnia składająca się z wielokątów ograniczających bryłę geometryczną. Oni są:

niewypukły;
wypukły (regularny i nieregularny).

Wielościan foremny to wielościan wypukły o maksymalnej symetrii. Elementy regularnych wielościanów:

czworościan: 6 krawędzi, 4 ściany, 5 wierzchołków;
sześcian (sześcian): 12, 6, 8;
dwunastościan: 30, 12, 20;
ośmiościan: 12, 8, 6;
Dwudziestościan: 30, 20, 12.

Twierdzenie Eulera

Ustala związek pomiędzy liczbą krawędzi, wierzchołków i ścian, które są topologicznie równoważne kuli. Dodając liczbę wierzchołków i ścian (B + D) różnych wielościanów foremnych i porównując je z liczbą krawędzi, można ustalić jeden wzór: suma liczby ścian i wierzchołków jest równa liczbie krawędzi ( P) zwiększone o 2. Można wyprowadzić prosty wzór:

B + G = P + 2.

Wzór ten jest prawdziwy dla wszystkich wielościanów wypukłych.

Podstawowe definicje

Pojęcia foremnego wielościanu nie da się opisać w jednym zdaniu. Jest bardziej wielowartościowy i obszerny. Aby podmiot mógł zostać uznany za taki, musi spełniać szereg definicji. Zatem bryła geometryczna będzie wielościanem foremnym, jeśli zostaną spełnione następujące warunki:

jest wypukły;
w każdym z wierzchołków zbiega się taka sama liczba krawędzi;
wszystkie jego ściany są regularnymi wielokątami, równymi sobie;
wszyscy są mu równi.

Właściwości wielościanów foremnych

Istnieje 5 różnych typów wielościanów foremnych:

Sześcian (sześcian) - jego kąt płaski przy wierzchołku wynosi 90°. Ma kąt 3-stronny. Suma kątów płaskich przy wierzchołku wynosi 270°.
Czworościan - kąt płaski w wierzchołku - 60°. Ma kąt 3-stronny. Suma kątów płaskich w wierzchołku wynosi 180°.
Ośmiościan - kąt wierzchołkowy płaski - 60°. Ma kąt 4-stronny. Suma kątów płaskich na wierzchołku wynosi 240°.
Dwunastościan to płaski kąt wierzchołkowy o mierze 108°. Ma kąt 3-stronny. Suma kątów płaskich na wierzchołku wynosi 324°.
Dwudziestościan - ma płaski kąt wierzchołkowy równy 60°. Ma kąt 5-stronny. Suma kątów płaskich przy wierzchołku wynosi 300°.

Pole powierzchni tych ciał geometrycznych (S) oblicza się jako powierzchnię wielokąta foremnego pomnożoną przez liczbę jego ścian (G):

S = (a: 2) x 2G łóżko π/p.

Objętość regularnego wielościanu

Wartość tę oblicza się mnożąc objętość regularnej piramidy, u podstawy której znajduje się wielokąt foremny, przez liczbę ścian, a jej wysokość jest promieniem wpisanej kuli (r):

V=1:3rS.

Objętości wielościanów foremnych

Jak każde inne ciało geometryczne, wielościany foremne mają różne objętości. Poniżej znajdują się wzory, według których można je obliczyć:

czworościan: α x 3√2: 12;
ośmiościan: α x 3√2: 3;
dwudziestościan; α x 3;
sześcian (sześcian): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
dwunastościan: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Sześcian i ośmiościan są podwójnymi bryłami geometrycznymi. Innymi słowy, mogą się od siebie odwrócić, jeśli środek ciężkości powierzchni jednego zostanie przyjęty jako wierzchołek drugiego i odwrotnie. Dwudziestościan i dwunastościan są również podwójne. Tylko czworościan jest podwójny w stosunku do siebie. Stosując metodę Euklidesa, można uzyskać dwunastościan z sześcianu, konstruując „dachy” na ścianach sześcianu. Wierzchołki czworościanu będą dowolnymi 4 wierzchołkami sześcianu, które nie sąsiadują ze sobą parami wzdłuż krawędzi. Z sześcianu (sześcianu) można uzyskać inne regularne wielościany. Chociaż liczb jest niezliczona ilość, istnieje tylko 5 wielościanów foremnych.

Promienie wielokątów foremnych

Z każdym z tych ciał geometrycznych powiązane są 3 koncentryczne kule:

opisane, przechodząc przez jego wierzchołki;
wpisany, dotykający każdej z jego powierzchni w środku;
środkowej, dotykając wszystkich żeber pośrodku.

Promień opisywanej kuli oblicza się ze wzoru:

R = a: 2 x tan π/g x tan θ: 2.

Promień kuli wpisanej obliczamy ze wzoru:

R = a: 2 x łóżko π/p x tan θ: 2,

gdzie θ jest kątem dwuściennym leżącym pomiędzy sąsiednimi ścianami.

Promień kuli środkowej można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

ρ = a cos π/p: 2 sin π/h,

gdzie wartość h = 4,6,6,10 lub 10. Stosunek promieni opisanych i wpisanych jest symetryczny względem p i q. Oblicza się go za pomocą wzoru:

R/r = tan π/p x tan π/q.

Symetria wielościanów

Symetria wielościanów foremnych powoduje główne zainteresowanie tymi ciałami geometrycznymi. Rozumie się przez to taki ruch ciała w przestrzeni, który pozostawia taką samą liczbę wierzchołków, ścian i krawędzi. Innymi słowy, pod wpływem transformacji symetrii krawędź, wierzchołek, ściana albo zachowuje swoje pierwotne położenie, albo przesuwa się do pierwotnego położenia innej krawędzi, innego wierzchołka lub ściany.

Elementy symetrii wielościanów foremnych są charakterystyczne dla wszystkich typów takich ciał geometrycznych. Mówimy tutaj o transformacji tożsamości, która pozostawia dowolny z punktów w ich pierwotnej pozycji. Zatem obracając pryzmat wielokątny, można uzyskać kilka symetrii. Każdy z nich można przedstawić jako produkt refleksji. Symetria będąca iloczynem parzystej liczby odbić nazywana jest linią prostą. Jeśli jest to iloczyn nieparzystej liczby odbić, nazywa się to odwrotnością. Zatem wszystkie obroty wokół linii prostej reprezentują bezpośrednią symetrię. Każde odbicie wielościanu jest odwrotną symetrią.

Aby lepiej zrozumieć elementy symetrii wielościanów foremnych, możemy wziąć przykład czworościanu. Każda linia prosta, która przejdzie przez jeden z wierzchołków i środek tej figury geometrycznej, przejdzie również przez środek przeciwnej do niej twarzy. Każdy z obrotów o 120 i 240° wokół linii prostej należy do liczby mnogiej symetrii czworościanu. Ponieważ ma 4 wierzchołki i ściany, istnieje tylko osiem bezpośrednich symetrii. Dowolna z linii przechodzących przez środek krawędzi i środek tego korpusu przechodzi przez środek jego przeciwległej krawędzi. Każdy obrót o 180°, zwany półobrótem, wokół linii prostej, jest symetrią. Ponieważ czworościan ma trzy pary krawędzi, będą jeszcze trzy bezpośrednie symetrie. Na podstawie powyższego można stwierdzić, że łączna liczba symetrii bezpośrednich, włączając transformację tożsamościową, wyniesie dwanaście. Czworościan nie ma innych bezpośrednich symetrii, ale ma 12 odwrotnych symetrii. W konsekwencji czworościan charakteryzuje się tylko 24 symetriami. Dla przejrzystości możesz zbudować model czworościanu foremnego z tektury i upewnić się, że ta bryła geometryczna naprawdę ma tylko 24 symetrie.

Dwunastościan i dwudziestościan to ciała znajdujące się najbliżej kuli. Dwudziestościan ma największą liczbę ścian, największą i najgęściej można docisnąć do wpisanej kuli. Dwunastościan ma najmniejszy defekt kątowy i największy kąt bryłowy w wierzchołku. Potrafi maksymalnie wypełnić opisaną przez siebie sferę.

Rozwój wielościanów

Te właściwe, które wszyscy sklejaliśmy w dzieciństwie, mają wiele koncepcji. Jeżeli istnieje zbiór wielokątów, których każdy bok utożsamiany jest tylko z jednym bokiem wielościanu, to identyfikacja boków musi spełniać dwa warunki:

z każdego wielokąta można przejść wzdłuż wielokątów mających określony bok;
zidentyfikowane boki muszą mieć tę samą długość.

To zbiór wielokątów spełniających te warunki nazywa się rozwinięciem wielościanu. Każde z tych ciał ma ich kilka. Na przykład w sześcianie jest ich 11.

W podrozdziale 12.1 zdefiniowaliśmy wielościan foremny jako wielościan, w którym wszystkie elementy tego samego typu są sobie równe: ściany, krawędzie itp. Ale regularne wielościany można zdefiniować jako najbardziej symetryczne ze wszystkich wielościanów. Oznacza to, co następuje. Jeśli przyjmiemy, że wielościan foremny ma określony wierzchołek A, odpowiednią dla niego krawędź i ścianę odpowiednią dla tej krawędzi oraz dowolny inny podobny zbiór, to zachodzi takie samoustawienie wielościanu,

co prowadzi wierzchołek A do wierzchołka A, krawędź a do krawędzi a, twarzą w twarz a.

Udowodnijmy to. Ponieważ dowolne dwie ściany foremnego wielościanu są równe, istnieje ruch, który przekształci jedną z nich w drugą. Ponieważ wszystkie kąty dwuścienne tego wielościanu są równe, w wyniku połączenia ścian cały wielościan samoczynnie się wyrówna lub przekształci w wielościan symetryczny do pierwotnego względem płaszczyzny drugiej ściany. W drugim przypadku symetria względem płaszczyzny tej ściany zakończy proces samonastawności wielościanu foremnego.

Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: wielościany posiadające tę właściwość będą regularne, ponieważ wszystkie ich krawędzie, wszystkie kąty płaskie i wszystkie kąty dwuścienne będą równe.

Rozważmy teraz elementy symetrii wielościanów foremnych.

Zacznijmy od elementów symetrii sześcianu.

1. Środek symetrii jest środkiem sześcianu.

2. Płaszczyzny symetrii (ryc. 12.17): 1) trzy płaszczyzny symetrii, prostopadłe do żeber w ich środkach; 2) sześć płaszczyzn symetrii przechodzących przez przeciwległe krawędzie.

3. Osie symetrii: 1) trzy osie symetrii IV rzędu, przechodzące przez środki przeciwległych ścian (ryc. 12.18a); 2) sześć osi symetrii obrotowej drugiego rzędu, przechodzących przez środki przeciwległych krawędzi (ryc. 12.186); 4) cztery przekątne sześcianu są osiami obrotu zwierciadła szóstego rzędu, samonastawnego sześcianu (ryc. 12.18c).

To najciekawszy i nie od razu widoczny element symetrii sześcianu. Przekrój sześcianu przez płaszczyznę przechodzącą przez jego środek prostopadle do przekątnej przedstawia sześciokąt foremny; Kiedy sześcian obraca się wokół przekątnej pod kątem 60°, sześciokąt odbija się od siebie, ale sześcian jako całość nadal musi zostać odbity w płaszczyźnie sześciokąta.

Ośmiościan jest podwójny w stosunku do sześcianu, a zatem ma te same elementy symetrii, z tą różnicą, że płaszczyzny symetrii i osie przechodzące przez wierzchołki i środki ścian sześcianu przechodzą w przeciwnym kierunku dla ośmiościanu: przez środki ścian i wierzchołków (ryc. 12.19). A więc oś lustrzana 6

porządek przechodzi przez środki przeciwległych ścian ośmiościanu.

Przejdźmy do elementów symetrii czworościanu foremnego.

1. Sześć płaszczyzn symetrii, z których każda przechodzi przez krawędź i środek przeciwległej krawędzi (ryc. 12.20a).

2. Cztery osie trzeciego rzędu przechodzące przez wierzchołki i środki przeciwległych im ścian, tj. przez wysokości czworościanu (ryc. 12.20b).

3. Trzy osie obrotu zwierciadła IV rzędu, przechodzące przez środki przeciwległych żeber (ryc. 12.20c).

Czworościan nie ma środka symetrii.

W sześcianie można zmieścić dwa regularne czworościany (ryc. 12.16). W przypadku samonastawności sześcianów te czworościany są albo samonastawne, albo mapowane na siebie. Dowiedz się, w jakich pozycjach sześcianu czworościany same się ustawiają, a w jakich odwzorowują się na siebie.

Upewnij się, że pierwszy przypadek daje wszystkie samonastawności czworościanu, tak że grupa symetrii sześcianu zawiera grupę symetrii sześcianu jako podgrupę. (Patrz punkt 28.4).

Grupy symetrii dwunastościanu i dwudziestościanu są takie same, ponieważ te regularne wielościany są podwójne

nawzajem. Mają środek symetrii, płaszczyzny symetrii, osie symetrii obrotowej i osie lustrzanej symetrii obrotowej. Ostatni z tych elementów symetrii jest najtrudniejszy do znalezienia. Pokażemy Ci, jak je zbudować.

Osie lustrzanej symetrii obrotowej w dwudziestościanie (a także w sześcianie) łączą przeciwne wierzchołki tego wielościanu (ryc. 12.21), a w dwunastościanie (podobnie jak w ośmiościanie) osie te przechodzą przez środki ich równoległych ścian (ryc. 12.22). Płaszczyzny przechodzące przez środki symetrii wielościanów foremnych i prostopadłe do wskazanych osi przecinają wielościany foremne wzdłuż wielokątów foremnych (ryc. 12.23).

W szczególności przecinają dwunastościan i dwudziestościan wzdłuż regularnych dziesięciokątów (ryc. 12.23 d,e). Z powyższego wynika, że dwudziestościan i dwunastościan są samonastawne poprzez obroty lusterek względem osi szóstego i dziesiątego rzędu.

Znajdź samodzielnie prostsze elementy symetrii dwudziestościanu i dwunastościanu - płaszczyzny symetrii i oś symetrii obrotowej.

1 Mineralogia- nauka o minerałach - naturalnych związkach chemicznych.

Mineralogia zajmuje się badaniem składu, właściwości, struktury i warunków powstawania minerałów

Minerały to pierwiastki krystaliczne lub związki chemiczne powstające podczas procesów geologicznych.

2 Mineralny wygląd to zbiór minerałów o danym składzie chemicznym i określonej strukturze krystalicznej.

Do gatunku 1 min zalicza się wszystkie osobniki mineralne charakteryzujące się:

Ta sama grupa strukturalna

Skład chemiczny stale zmienia się w pewnych granicach

Istnienie równowagi w określonych warunkach termodynamicznych skorupy ziemskiej

3 Przekształcenia symetryczne i elementy symetrii wielościanów krystalicznych.

Symetria – prawidłowa powtarzalność elementów ograniczających kryształ, gdy

wykonywanie operacji symetrycznych.

Elementami ograniczającymi kryształy są ich ściany, krawędzie i wierzchołki.

Operacje symetryczne to obroty i odbicia kryształu

względem elementów symetrii.

Elementy symetrii I rodzaju.

Oś symetrii Ln- jest to wyimaginowana linia prosta, która przebiega podczas obrotu kryształu, wokół której, pod tym samym kątem, obserwuje się powtarzanie elementów ograniczających. L6-L4L3L2

Elementy symetrii II rodzaju:

-płaszczyzna symetrii (P) - płaszczyzna dzieląca figury na dwie równe części, z których każda jest lustrzanym odbiciem drugiej

-środek symetrii (inwersja) (C)- oznacza punkt wewnątrz kryształu, z którego wychodzą identyczne punkty ścian i wierzchołków po obu stronach w równych odległościach. Jest tylko jeden środek inwersji lub nie ma go wcale.

Odwrócenie osi symetrii Ln– jest to wyimaginowana linia, wokół której po obróceniu się o kąt określony przez rząd osi, po którym następuje odbicie w punkcie leżącym na tej osi, jak w środku inwersji, kryształ nakłada się na siebie.

Zatem działanie osi inwersji obejmuje dwa momenty: po pierwsze, obrót o kąt określony w zamówieniu

oś, po drugie, odbicie w punkcie, jak w środku inwersji.

4. Biegunowe i niepolarne osie symetrii

a) biegunowy - na końcach osi znajdują się różne kształty;

b) niepolarne (bipolarne) identyczne elementy na końcach osi.

5. Pojedyncze kierunki w kryształach.

Jedyny kierunek, który nie powtarza się w krysztale, to tzw pojedynczy.

W sześcianie nie ma pojedynczych kierunków, tutaj dla każdego kierunku można znaleźć symetrycznie równy.

Na podstawie symetrii i liczby kierunków jednostkowych kryształy dzieli się na trzy kategorie: niższe, średnie, wyższe.

6W symbolice edukacyjnej symbolika Bravais - osie symetrii oznaczono jako Ln

Gdzie indeks dolny numer n wskazuje kolejność

osie1 Graficznie osie symetrii są oznaczone wielokątami:

w samolocie -

płaszczyzna symetrii P

Odbicie w punkcie (inwersja) –

środek symetrii, inwersja C

Obrót z odbiciem w punkcie - inwersja osi LNI - z kreską na górze. Kolejność osi to 1, 2, 3, 4, 6.

Osie inwersyjne Osie lustrzane

L 6 = L 3 + oskarż.P. L 6 = L 3

L 4 L 3 = L 6

L 3 = L 3 + C. L 4 = L 4

L 2 = P.L 2 =C

L 1 = C.

Formuła symetrii składa się z zarejestrowanych elementów symetrii danego kryształu w określonej kolejności: osie wyższego rzędu® L2®płaszczyzny symetrii ®środek symetrii. W układzie sześciennym drugie miejsce jest zawsze 4L3. Jeśli brakuje jakiegoś elementu, jest on pomijany.

Symetria w przestrzeni. Pojęcie wielościanu foremnego