Ostatnim razem stworzyliśmy plan, po którym możesz nauczyć się szybko skracać ułamki. Rozważmy teraz konkretne przykłady redukcji frakcji.
Przykłady.
Sprawdzamy, czy większa liczba jest podzielna przez mniejszą (licznik przez mianownik czy mianownik przez licznik)? Tak, we wszystkich trzech przykładach większa liczba jest podzielna przez mniejszą. W ten sposób zmniejszamy każdy ułamek o mniejszą z liczb (o licznik lub mianownik). Mamy:
Sprawdź, czy większa liczba jest podzielna przez mniejszą? Nie, nie udostępnia.
Następnie przechodzimy do sprawdzenia kolejnego punktu: czy zapis zarówno licznika, jak i mianownika kończy się jednym, dwoma lub większą liczbą zer? W pierwszym przykładzie licznik i mianownik kończą się zerem, w drugim - dwoma zerami, w trzecim - trzema zerami. Tak więc zmniejszamy pierwszy ułamek o 10, drugi o 100, a trzeci o 1000:
Uzyskaj ułamki nieredukowalne.
Większa liczba nie jest podzielna przez mniejszą, zapis liczb nie kończy się na zerach.
Teraz sprawdzamy, czy licznik i mianownik są w tej samej kolumnie w tabliczce mnożenia? 36 i 81 są podzielne przez 9, 28 i 63 - przez 7, a 32 i 40 - przez 8 (też są podzielne przez 4, ale jeśli jest wybór, zawsze zmniejszymy o więcej). W ten sposób dochodzimy do odpowiedzi:
Wszystkie otrzymane liczby są ułamkami nieredukowalnymi.
Większa liczba nie jest podzielna przez mniejszą. Ale zapis zarówno licznika, jak i mianownika kończy się na zero. Zmniejszamy więc ułamek o 10:
Ułamek ten można jeszcze zmniejszyć. Sprawdzamy zgodnie z tabliczką mnożenia: zarówno 48, jak i 72 dzielimy przez 8. Zmniejszamy ułamek o 8:
Możemy również zmniejszyć wynikowy ułamek o 3:
Ten ułamek jest nieredukowalny.
Większa liczba nie jest podzielna przez mniejszą. Rekord licznika i mianownika kończy się na zero, więc zmniejszamy ułamek o 10.
Sprawdzamy otrzymane liczby w liczniku i mianowniku dla i . Ponieważ suma cyfr zarówno 27, jak i 531 jest podzielna przez 3 i 9, ułamek ten można skrócić zarówno o 3, jak i o 9. Wybieramy większy i zmniejszamy o 9. Otrzymujemy ułamek nieredukowalny.
Nie wiedząc, jak skrócić ułamek i nie mając stabilnej umiejętności rozwiązywania takich przykładów, bardzo trudno jest uczyć się algebry w szkole. Im dalej, tym więcej nowych informacji nakłada się na podstawową wiedzę o redukcji ułamków zwykłych. Najpierw są stopnie, potem czynniki, które później stają się wielomianami.
Jak tu się nie pomylić? Gruntownie utrwal umiejętności z poprzednich tematów i stopniowo przygotowuj się do wiedzy o tym, jak skrócić ułamek, który z roku na rok staje się coraz bardziej skomplikowany.
Podstawowa wiedza
Bez nich nie będzie można poradzić sobie z zadaniami na żadnym poziomie. Aby zrozumieć, musisz zrozumieć dwa proste punkty. Po pierwsze, możesz tylko zmniejszać mnożniki. Ten niuans okazuje się bardzo ważny, gdy w liczniku lub mianowniku występują wielomiany. Następnie musisz wyraźnie rozróżnić, gdzie jest mnożnik, a gdzie jest termin.
Drugi punkt mówi, że każdą liczbę można przedstawić jako czynniki. Co więcej, wynikiem redukcji jest taki ułamek, którego licznika i mianownika nie można już zmniejszyć.
Zasady skracania ułamków zwykłych
Pierwszą rzeczą do sprawdzenia jest to, czy licznik jest podzielny przez mianownik lub odwrotnie. Następnie o tę liczbę musisz zmniejszyć. To najłatwiejsza opcja.
Drugi to analiza wyglądu liczb. Jeśli oba kończą się jednym lub więcej zerami, można je zmniejszyć o 10, 100 lub tysiąc. Tutaj możesz zobaczyć, czy liczby są parzyste. Jeśli tak, możesz bezpiecznie zmniejszyć o dwa.
Trzecią zasadą skracania ułamka jest rozkład licznika i mianownika na czynniki pierwsze. W tej chwili musisz aktywnie wykorzystywać całą wiedzę o znakach podzielności liczb. Po takim rozkładzie pozostaje tylko znaleźć wszystkie powtarzające się, pomnożyć je i zmniejszyć o wynikową liczbę.
Co jeśli ułamek zawiera wyrażenie algebraiczne?
Tu pojawiają się pierwsze trudności. Bo tu pojawiają się terminy, które mogą być tożsame z czynnikami. Naprawdę chcę je ściąć, ale nie mogę. Zanim ułamek algebraiczny będzie mógł zostać zredukowany, musi zostać przekształcony tak, aby miał dzielniki.
Będzie to wymagało kilku kroków. Być może będziesz musiał przejrzeć je wszystkie, a może pierwszy z nich da odpowiednią opcję.
Sprawdź, czy licznik i mianownik lub zawarte w nich wyrażenie różnią się znakiem. W takim przypadku wystarczy wyjąć nawiasy minus jeden. Powoduje to identyczne mnożniki, które można zmniejszyć.
Sprawdź, czy wspólny czynnik można wziąć w nawias z wielomianu. Być może okaże się to nawiasem, który można również zmniejszyć, lub będzie to wyjęty jednomian.
Spróbuj przeprowadzić grupowanie jednomianów, aby następnie wyodrębnić z nich wspólny czynnik. Potem może się okazać, że pojawią się czynniki, które można zredukować, czyli znowu ujęcie w nawias elementów wspólnych.
Spróbuj rozważyć na piśmie formułę skróconego mnożenia. Z ich pomocą łatwo będzie zamienić wielomian na czynniki.
Sekwencja działań z ułamkami o potęgach
Aby łatwo zrozumieć pytanie, jak zmniejszyć ułamek o stopnie, musisz mocno pamiętać o podstawowych czynnościach z nimi. Pierwszy z nich związany jest z mnożeniem potęg. W takim przypadku, jeśli podstawy są takie same, należy dodać wskaźniki.
Drugi to podział. Ponownie, dla tych, które mają tę samą podstawę, wskaźniki będą musiały zostać odjęte. Co więcej, musisz odjąć od liczby, która jest w dywidendzie, a nie odwrotnie.
Trzeci to potęgowanie. W tej sytuacji wskaźniki są zwielokrotnione.
Pomyślna redukcja będzie również wymagać możliwości dostosowania stopni do tych samych podstaw. To znaczy zobaczyć, że cztery to dwa do kwadratu. Lub 27 to sześcian trzech. Ponieważ cięcie 9 do kwadratu i 3 do sześcianu jest trudne. Ale jeśli przekształcimy pierwsze wyrażenie jako (3 2) 2 , to redukcja się powiedzie.
Ten temat jest dość ważny na podstawowych właściwościach ułamków, cała dalsza matematyka i algebra są oparte. Rozważane właściwości ułamków, pomimo ich znaczenia, są bardzo proste.
Rozumieć podstawowe własności ułamków rozważ koło.
Na okręgu widać, że 4 części lub są zacienione z ośmiu możliwych. Zapisz wynikowy ułamek \(\frac(4)(8)\)
Kolejne kółko pokazuje, że jedna z dwóch możliwych części jest zacieniona. Zapisz wynikowy ułamek \(\frac(1)(2)\)
Jeśli przyjrzymy się uważnie, zobaczymy, że w pierwszym przypadku, w drugim przypadku, połowa koła jest zacieniona, więc wynikowe ułamki to \(\frac(4)(8) = \frac(1)(2)\), czyli jest to ta sama liczba.
Jak można to udowodnić matematycznie? Bardzo prosto, zapamiętaj tabliczkę mnożenia i zapisz pierwszy ułamek na czynniki.
\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \color(red)(1) = \frac(1)(2)\)
Co my zrobiliśmy? Rozłożyliśmy licznik i mianownik \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\), a następnie podzieliliśmy ułamki \(\frac(1)(2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4))\). Cztery podzielone przez cztery to 1, a jeden pomnożony przez dowolną liczbę to sama liczba. To, co zrobiliśmy w powyższym przykładzie, nazywa się redukcja ułamków.
Spójrzmy na inny przykład i skróćmy ułamek.
\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \color(red) (2))(5 \cdot \color(red) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \color(red) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \color(red)(1) = \frac(3)(5)\)
Ponownie przekształciliśmy licznik i mianownik w czynniki i zredukowaliśmy te same liczby do liczników i mianowników. Oznacza to, że dwa podzielone przez dwa dały jeden, a jeden pomnożony przez dowolną liczbę daje tę samą liczbę.
Podstawowa własność ułamka.
Oznacza to główną właściwość ułamka:
Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę (oprócz zera), wówczas wartość ułamka nie ulegnie zmianie.
\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)
Możesz także podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę w tym samym czasie.
Rozważ przykład:
\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \color(red) (2))(8 \div \color(red) (2)) = \frac(3)(4)\)
Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik ułamka zostaną podzielone przez tę samą liczbę (oprócz zera), wówczas wartość ułamka nie ulegnie zmianie.
\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)
Nazywamy ułamki, które mają wspólne dzielniki pierwsze zarówno w licznikach, jak i mianownikach ułamki kasowalne.
Przykład kasowania: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)
Jest również ułamki nieredukowalne.
ułamek nieredukowalny to ułamek, który nie ma wspólnych dzielników pierwszych w licznikach i mianownikach.
Przykład ułamka nieredukowalnego: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)
Każda liczba może być przedstawiona jako ułamek, ponieważ każda liczba jest podzielna przez jeden, Na przykład:
\(7 = \frac(7)(1)\)
Pytania do tematu:
Czy uważasz, że jakikolwiek ułamek można skrócić, czy nie?
Odpowiedź: Nie, istnieją ułamki redukowalne i ułamki nieredukowalne.
Sprawdź, czy równość jest prawdziwa: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Odpowiedź: napisz ułamek \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\) tak sprawiedliwie.
Przykład 1:
a) Znajdź ułamek o mianowniku 15, który jest równy ułamkowi \(\frac(2)(3)\).
b) Znajdź ułamek o liczniku 8 równym ułamkowi \(\frac(1)(5)\).
Rozwiązanie:
a) W mianowniku potrzebujemy liczby 15. Teraz mianownikiem jest liczba 3. Przez jaką liczbę należy pomnożyć liczbę 3, aby otrzymać 15? Przypomnij sobie tabliczkę mnożenia 3⋅5. Musimy skorzystać z podstawowej własności ułamków i pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik ułamka \(\frac(2)(3)\) do 5.
\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)
b) W liczniku potrzebujemy liczby 8. Teraz w liczniku jest liczba 1. Przez jaką liczbę należy pomnożyć liczbę 1, aby otrzymać 8? Oczywiście 1⋅8. Musimy skorzystać z podstawowej własności ułamków i pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik ułamka \(\frac(1)(5)\) do 8. Otrzymujemy:
\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)
Przykład nr 2:
Znajdź ułamek nieredukowalny równy ułamkowi: a) \(\frac(16)(36)\), B) \(\frac(10)(25)\).
Rozwiązanie:
A) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)
B) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)
Przykład nr 3:
Zapisz liczbę jako ułamek: a) 13 b) 123
Rozwiązanie:
A) \(13 = \frac(13) (1)\)
B) \(123 = \frac(123) (1)\)
Aby zrozumieć, jak skracać ułamki, spójrzmy najpierw na jeden przykład.
Zmniejszenie ułamka oznacza podzielenie licznika i mianownika przez to samo. Zarówno 360, jak i 420 kończą się liczbą, więc możemy zmniejszyć ten ułamek o 2. W nowym ułamku zarówno 180, jak i 210 są również podzielne przez 2, zmniejszamy ten ułamek o 2. W liczbach 90 i 105 suma cyfr jest podzielna przez 3, więc obie te liczby są podzielne przez 3, zmniejszamy ułamek o 3. W nowym ułamku 30 i 35 kończą się na 0 i 5, oznacza to, że obie liczby są podzielne przez 5, więc zmniejszamy ułamek o 5. Wynikowy ułamek, sześć siódmych, jest nierozkładalny. To jest ostateczna odpowiedź.
Do tej samej odpowiedzi możemy dojść w inny sposób.
Zarówno 360, jak i 420 kończą się na zero, co oznacza, że są podzielne przez 10. Zmniejszamy ułamek o 10. W nowym ułamku zarówno licznik 36, jak i mianownik 42 dzielimy przez 2. Zmniejszamy ułamek o 2. W kolejnym ułamku zarówno licznik 18, jak i mianownik 21 dzielimy przez 3, co oznacza, że zmniejszamy ułamek o 3. Doszliśmy do wyniku - sześć siódmych.
I jeszcze jedno rozwiązanie.
Następnym razem rozważymy przykłady redukcji ułamków.
I tak doszliśmy do redukcji. Zastosowano tutaj podstawową właściwość ułamka. ALE! Nie takie proste. Z wieloma frakcjami (w tym z kursu szkolnego) całkiem możliwe jest, aby sobie z nimi poradzić. A jeśli weźmiesz ułamki „bardziej gwałtownie”? Dowiedzmy się więcej! Polecam patrzeć na materiały z ułamkami.Wiemy już więc, że licznik i mianownik ułamka można pomnożyć i podzielić przez tę samą liczbę, ułamek się od tego nie zmieni. Rozważ trzy podejścia:
Pierwsze podejście.
Aby zmniejszyć, podziel licznik i mianownik przez wspólny dzielnik. Rozważ przykłady:
Skróćmy:
W powyższych przykładach od razu widzimy, które dzielniki przyjąć do redukcji. Proces jest prosty - iterujemy po 2,3.4,5 i tak dalej. W większości przykładów kursu szkolnego to wystarczy. Ale jeśli istnieje ułamek:
Tutaj proces z doborem przegród może ciągnąć się bardzo długo ;). Oczywiście takie przykłady leżą poza szkolnym programem nauczania, ale trzeba umieć sobie z nimi radzić. Przyjrzyjmy się, jak to się robi poniżej. Tymczasem wracamy do procesu redukcji.
Jak omówiono powyżej, w celu zmniejszenia ułamka przeprowadziliśmy dzielenie przez określony przez nas wspólny dzielnik (y). Wszystko się zgadza! Wystarczy dodać znaki podzielności liczb:
Jeśli liczba jest parzysta, to jest podzielna przez 2.
- jeśli liczba dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4, to sama liczba jest podzielna przez 4.
- jeśli suma cyfr tworzących liczbę jest podzielna przez 3, to sama liczba jest podzielna przez 3. Na przykład 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Dwanaście jest podzielne przez 3, więc 123031 jest podzielne przez 3.
- jeśli liczba kończy się na 5 lub 0, to liczba jest podzielna przez 5.
- jeśli suma cyfr tworzących liczbę jest podzielna przez 9, to sama liczba jest podzielna przez 9. Np. 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Osiemnaście jest podzielne przez 9, więc 623032 jest podzielne przez 9.
Drugie podejście.
W skrócie sedno, czyli tak naprawdę cała akcja sprowadza się do rozłożenia licznika i mianownika na czynniki, a następnie zredukowania równych czynników w liczniku i mianowniku (takie podejście jest konsekwencją pierwszego podejścia):
Wizualnie, aby się nie pomylić i nie popełnić błędu, równe mnożniki są po prostu przekreślone. Pytanie brzmi: jak rozłożyć liczbę na czynniki? Konieczne jest wyznaczenie przez wyliczenie wszystkich dzielników. To osobny temat, to proste, spójrz na informacje w podręczniku lub w Internecie. Nie napotkasz większych problemów z rozkładem na czynniki liczb, które występują w ułamkach kursu szkolnego.
Formalnie zasadę redukcji można zapisać w następujący sposób:
Trzecie podejście.
Oto najciekawsze dla zaawansowanych i tych, którzy chcą się nimi stać. Skróćmy ułamek 143/273. Spróbuj sam! No właśnie, jak szybko to się stało? A teraz spójrz!
Odwracamy to (licznik i mianownik są zamienione). Wynikowy ułamek dzielimy na liczbę mieszaną za pomocą rogu, czyli wybieramy całą część:
Już łatwiej. Widzimy, że licznik i mianownik można zmniejszyć o 13:
A teraz nie zapomnij ponownie odwrócić ułamka, napiszmy cały łańcuch:
Sprawdzone - zajmuje mniej czasu niż szukanie i sprawdzanie dzielników. Wróćmy do naszych dwóch przykładów:
Pierwszy. Dzielimy przez róg (nie na kalkulatorze), otrzymujemy:
Ten ułamek jest oczywiście prostszy, ale znowu pojawia się problem z redukcją. Teraz osobno analizujemy ułamek 1273/1463, odwróć go:
Tu już jest łatwiej. Za taki dzielnik możemy uznać 19. Reszta się nie mieści, widać: 190:19=10, 1273:19=67. Brawo! Napiszmy:
Następny przykład. Wytnijmy 88179/2717.
Dzielimy, otrzymujemy:
Oddzielnie analizujemy ułamek 1235/2717, odwróćmy go:
Taki dzielnik możemy uznać za 13 (do 13 się nie nadaje):
Licznik 247:13=19 Mianownik 1235:13=95
*Przy okazji zobaczyliśmy kolejny dzielnik równy 19. Okazuje się, że:
Teraz zapisz oryginalny numer:
I nie ma znaczenia, co będzie więcej w ułamku - licznik lub mianownik, jeśli mianownik, to odwracamy się i postępujemy zgodnie z opisem. W ten sposób możemy zredukować dowolny ułamek, trzecie podejście można nazwać uniwersalnym.
Oczywiście dwa omówione powyżej przykłady nie są prostymi przykładami. Wypróbujmy tę technologię na „prostych” ułamkach, które już rozważaliśmy:
Dwie czwarte.
Siedemdziesiąt dwa sześćdziesiąte. Licznik jest większy niż mianownik, nie ma potrzeby odwracania:
Oczywiście trzecie podejście zostało zastosowane do tak prostych przykładów po prostu jako alternatywa. Metoda, jak już wspomniano, jest uniwersalna, ale nie jest wygodna i poprawna dla wszystkich ułamków, zwłaszcza dla prostych.
Różnorodność ułamków jest duża. Ważne jest, aby dokładnie poznać zasady. Po prostu nie ma ścisłej zasady pracy z ułamkami. Patrzyliśmy, wymyślaliśmy, jak wygodniej byłoby działać i iść do przodu. Z praktyką umiejętność przyjdzie i klikniesz je jak nasiona.
Wniosek:
Jeśli widzisz wspólne dzielniki licznika i mianownika, użyj ich do zmniejszenia.
Jeśli wiesz, jak szybko rozłożyć liczbę na czynniki, rozłóż licznik i mianownik, a następnie skróć.
Jeśli nie możesz w żaden sposób wyznaczyć wspólnego dzielnika, użyj trzeciego podejścia.
*Aby skrócić ułamki, ważne jest, aby poznać zasady redukcji, zrozumieć podstawową właściwość ułamka, znać podejście do rozwiązywania i być bardzo ostrożnym podczas obliczeń.
I pamiętaj! Zwyczajowo zmniejsza się ułamek do końca, to znaczy zmniejsza się go, gdy istnieje wspólny dzielnik.
Z poważaniem, Aleksander Krutickikh.