Cada ángulo, dependiendo de su tamaño, tiene su propio nombre:
| Tipo de ángulo | Tamaño en grados | Ejemplo |
|---|---|---|
| Picante | Menos de 90° | |
| Derecho | Igual a 90°. En un dibujo, un ángulo recto generalmente se indica mediante un símbolo dibujado de un lado al otro del ángulo. |
 |
| Desafilado | Más de 90° pero menos de 180° |  |
| Expandido | Igual a 180° Un ángulo recto es igual a la suma de dos ángulos rectos y un ángulo recto es la mitad de un ángulo recto. |
 |
| Convexo | Más de 180° pero menos de 360° |  |
| Lleno | Igual a 360° |  |
Los dos ángulos se llaman adyacente, si tienen un lado en común y los otros dos lados forman una línea recta:
Anglos FREGAR Y PON adyacente, ya que la viga OP- el lado común, y los otros dos lados - om Y EN formar una línea recta.
El lado común de los ángulos adyacentes se llama oblicuo a recto, en el que se encuentran los otros dos lados, sólo en el caso de que los ángulos adyacentes no sean iguales entre sí. Si los ángulos adyacentes son iguales, entonces su lado común será perpendicular.
La suma de los ángulos adyacentes es 180°.
Los dos ángulos se llaman vertical, si los lados de un ángulo complementan los lados del otro ángulo en rectas:
Los ángulos 1 y 3, así como los ángulos 2 y 4, son verticales.
Los ángulos verticales son iguales.
Demostremos que los ángulos verticales son iguales:
La suma de ∠1 y ∠2 es un ángulo llano. Y la suma de ∠3 y ∠2 es un ángulo llano. Entonces estas dos cantidades son iguales:
∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.
En esta igualdad, hay un término idéntico a la izquierda y a la derecha: ∠2. No se violará la igualdad si se omite este término de izquierda y derecha. Entonces lo entendemos.
Signos de paralelismo de dos rectas.
Teorema 1. Si, cuando dos rectas se cruzan con una secante:
los ángulos cruzados son iguales, o
los ángulos correspondientes son iguales, o
la suma de los ángulos de un lado es 180°, entonces
las lineas son paralelas(Figura 1).
Prueba. Nos limitamos a probar el caso 1.
Sean las líneas que se cruzan a y b transversales y los ángulos AB iguales. Por ejemplo, ∠ 4 = ∠ 6. Demostremos que a || b.
Supongamos que las rectas a y b no son paralelas. Luego se cortan en algún punto M y, por tanto, uno de los ángulos 4 o 6 será el ángulo externo del triángulo ABM. Para mayor precisión, sea ∠ 4 el ángulo externo del triángulo ABM y ∠ 6 el interno. Del teorema sobre el ángulo externo de un triángulo se deduce que ∠ 4 es mayor que ∠ 6, y esto contradice la condición, lo que significa que las rectas a y 6 no se pueden cruzar, por lo que son paralelas.
Corolario 1. Dos rectas diferentes en un plano perpendicular a la misma recta son paralelas(Figura 2).
Comentario. La forma en que acabamos de demostrar el caso 1 del Teorema 1 se denomina método de prueba por contradicción o reducción al absurdo. Este método recibió su primer nombre porque al comienzo del argumento se hace una suposición que es contraria (opuesta) a lo que necesita ser probado. Se llama llevar al absurdo debido a que, razonando a partir de la suposición formulada, llegamos a una conclusión absurda (al absurdo). Recibir tal conclusión nos obliga a rechazar el supuesto hecho al principio y aceptar el que faltaba demostrar.
Tarea 1. Construya una recta que pase por un punto dado M y sea paralela a una recta dada a, que no pase por el punto M.
Solución. Trazamos una recta p que pasa por el punto M perpendicular a la recta a (Fig. 3).
Luego trazamos una línea b que pasa por el punto M perpendicular a la línea p. La línea b es paralela a la línea a según el corolario del Teorema 1.
Del problema considerado se desprende una conclusión importante:
a través de un punto que no está en una recta dada, siempre es posible trazar una recta paralela a la dada.
La principal propiedad de las rectas paralelas es la siguiente.
Axioma de rectas paralelas. Por un punto dado que no se encuentra en una recta dada, sólo pasa una recta paralela a la dada.
Consideremos algunas propiedades de las rectas paralelas que se derivan de este axioma.
1) Si una línea corta a una de dos líneas paralelas, entonces también corta a la otra (Fig. 4).
2) Si dos rectas diferentes son paralelas a una tercera recta, entonces son paralelas (Fig. 5).
El siguiente teorema también es cierto.
Teorema 2. Si dos rectas paralelas son intersecadas por una transversal, entonces:
los ángulos transversales son iguales;
los ángulos correspondientes son iguales;
la suma de los ángulos unilaterales es 180°.
Corolario 2. Si una recta es perpendicular a una de dos rectas paralelas, entonces también es perpendicular a la otra.(ver figura 2).
Comentario. El teorema 2 se llama la inversa del teorema 1. La conclusión del teorema 1 es la condición del teorema 2. Y la condición del teorema 1 es la conclusión del teorema 2. No todo teorema tiene una inversa, es decir, si un teorema dado es verdadero, entonces el teorema inverso puede ser falso.
Expliquemos esto usando el ejemplo del teorema de los ángulos verticales. Este teorema se puede formular de la siguiente manera: si dos ángulos son verticales, entonces son iguales. El teorema inverso sería: si dos ángulos son iguales, entonces son verticales. Y esto, por supuesto, no es cierto. Dos ángulos iguales no tienen por qué ser verticales.
Ejemplo 1. Dos rectas paralelas son atravesadas por una tercera. Se sabe que la diferencia entre dos ángulos internos unilaterales es de 30°. Encuentra estos ángulos.
Solución. Deje que la Figura 6 cumpla la condición.
Editado por Ivanitskaya V.P. - M.: Editorial estatal educativa y pedagógica del Ministerio de Educación de la RSFSR, 1959. - 272 p.
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Si los ángulos adyacentes son iguales, entonces cada uno de ellos se llama ángulo recto. Su lado común se llama perpendicular a la recta formada por los otros dos lados. También podemos decir que la bisectriz de un ángulo inverso es perpendicular a la recta que forman sus lados.
Teorema. Si los ángulos son iguales, entonces los ángulos adyacentes son iguales.
Sea (h, k) = ^. (I, m) y sean ^ (h!, k) y ^ (/", t) los ángulos adyacentes correspondientes (Fig. 20). Sea, además, / el movimiento en el que ^ (h, k) es mostrado en (I, tri). Con este movimiento, el ^ expandido (h, K) se asignará al expandido (I, /"). De ello se deduce que ^(h", k) se asignará a ^(V, m), es decir, ^(h!, k) = ^(V, m).
Teorema. Existe una bisectriz de cualquier ángulo y, además, única.
Sea ^(A, k) diferente del expandido y sea convexa su región interior. Tracemos segmentos iguales OA y OB en sus lados desde el vértice O (Dibujo 21, a) y conectemos los puntos A y B. En el triángulo isósceles AOB A = ^B (§ 8). Al conectar la mitad C del segmento AB con el punto O, obtenemos los triángulos L OS y BOC que son iguales en el primer atributo, por lo tanto, AOC = BOC, y por tanto el rayo OS es bisectriz (h, k).
Si (h, k) no es convexo (en el dibujo su región interna no está sombreada), entonces según lo anterior
6}
t^
Según el teorema, su bisectriz es el rayo m complementario del rayo /.
De la igualdad de los triángulos ACO y BCO también se deduce que ^ ACO = BCO1, es decir, el rayo CO es la bisectriz de un ángulo invertido con lados CA y CB.
Demos ahora un ^(p,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый
ACB se muestra en
(p,q). El haz de CO se mapea en el haz t. Dado que ^ (p, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO y ^ACO= = (q, t), entonces (p, t) = = ^(q, t), es decir t -bisectriz (p, q ).
Sea / la bisectriz
(A, A), y Г es un rayo arbitrario que emerge del vértice del ángulo y se encuentra en su región interior. Si Γ se encuentra en la región interior ^(A, /), entonces ^(A, /")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (A, /). Por lo tanto, ^(A, G)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.
Corolario 1. Hay una y sólo una perpendicular a una línea dada, que emana de un punto dado de ella y se encuentra en un semiplano dado limitado por esta línea.
Corolario 2. Las mitades de ángulos iguales son iguales entre sí.
De hecho, si ^(A, A) = ^(A", A"), entonces hay un movimiento / en el que uno de ellos se traslada al otro. Según el teorema demostrado, sus bisectrices / y Γ para un movimiento determinado también deberían correlacionarse entre sí. Por lo tanto ^(A, /) = ^(A", Г).
Como todos los ángulos rectos son iguales, un caso especial del Corolario 2 es la proposición: todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
Las líneas rectas a y A que forman ángulos rectos cuando se cruzan se llaman perpendiculares (a ± b).
Reflexión desde una línea recta. Sea una recta a situada en el plano a. Los semiplanos formados en este caso se denotarán por X y p. (Figura 22). Tomemos el rayo A en línea recta.
emergiendo del punto O. Por la propiedad de 6 movimientos (§ 7), hay un movimiento único que mapea el rayo h dentro de sí mismo y el semiplano X en el semiplano jx. Todos los puntos de este rayo, según la propiedad de 5 movimientos, están mapeados en sí mismos. Todos los puntos del rayo k, complementarios del rayo directo h, también están mapeados sobre sí mismos.
Entonces, durante el movimiento bajo consideración, todos los puntos de la línea a se mapean sobre sí mismos. Es fácil, además, ver que
Tomemos ahora un punto fuera de la recta a.
Teorema. Por cualquier punto que no esté sobre una recta pasa una sola recta perpendicular a la recta dada.
Prueba. Sea M un punto que se encuentra fuera de la recta a (Fig. 23). La línea a divide el plano definido por esta línea y
punto M, en dos semiplanos: el semiplano X que contiene el punto M, y el semiplano jx. Cuando se refleja desde la línea recta a, el punto M se asigna al punto M" del semiplano jx. Dado que los puntos M y M" se encuentran en semiplanos diferentes,
Ah, entonces directo MM" y Maldita sea 23
se cruzan en algún
punto M0, que, cuando se refleja, se mapea sobre sí mismo. De ello se deduce que la recta MM" se aplica sobre sí misma y, por lo tanto, los ángulos / y 2 que ésta forma con la recta a (ver Fig. 23) se aplican entre sí.
El semiplano jx se traslada al semiplano X.
El movimiento considerado se llama reflexión respecto de la recta a.
De la existencia de la bisectriz del ángulo inverso se deduce que a través de cualquier punto que se encuentre sobre la recta a, siempre es posible trazar una recta b perpendicular a la recta a.
Esto significa que estos ángulos son iguales, y como además son adyacentes, entonces MM" ± a. Ahora tracemos otra línea recta que pase por M, cortando a la línea a en algún punto Af0. Se mapeará en la línea M "N0, a ^ MN0M0 se representará en M"N0M0. Entonces, ^ 3 = ^i4. Pero en virtud del axioma 1 (§ 2), los puntos M1 N0 y M" no se encuentran en la misma línea recta, y por lo tanto la suma de los ángulos 3 y 4, es decir ^ MN0M", no es un ángulo invertido. De ello se deduce que los ángulos 3 y 4 son diferentes del ángulo recto y la recta MN0 no será perpendicular a la recta a. La La recta MM" es, por tanto, la única recta perpendicular a a y que pasa por el punto M.
Anglos.
Conceptos básicos.
Esquina Es una figura formada por dos rayos que emanan de un punto.
Esquina superior- este es el punto del que emergen dos rayos que forman este ángulo.
Bisectriz- Este es un rayo que sale desde la parte superior del ángulo y divide el ángulo por la mitad.
Ángulo recto- es un ángulo cuyos lados se encuentran en el mismo plano; igual a 180? y es heterosexual.
Ángulo recto- este es un ángulo igual a la mitad del ángulo desplegado; igual a 90?.
Esquina filosa es un ángulo menor que un ángulo recto.
Ángulo obtuso- este es un ángulo que es mayor que un ángulo recto, pero menor que un ángulo recto.
Un ángulo divide un plano en dos partes. Cada parte se llama ángulo plano.
Los ángulos planos con lados comunes se llaman adicional.
Si un ángulo plano es parte de un semiplano, entonces su medida en grados se llama medida en grados de un ángulo ordinario con los mismos lados.
Si un ángulo plano contiene un semiplano, entonces su medida en grados es igual a 360 º - α, donde α es la medida en grados de un ángulo plano adicional.
Ángulos iguales.
Estos son los ángulos que coinciden al superponerse.
Esquinas adyacentes.
Los dos ángulos se llaman adyacente, si tienen un lado en común y los otros lados de estos ángulos son medias líneas adicionales.
Las esquinas en la imagen. (anuncio) Y (cd) adyacente. tienen un lado d general, y los lados a Y C- líneas semirrectas adicionales.
Teorema:
La suma de los ángulos adyacentes es 180º.
Del teorema se sigue:
Si dos ángulos son iguales, entonces sus ángulos adyacentes son iguales.
Si el ángulo no se gira, entonces su medida en grados es menor que 180º.
Un ángulo adyacente a un ángulo recto es un ángulo recto.
Ángulos verticales.
Los dos ángulos se llaman vertical, si los lados de un ángulo son semirrectas complementarias de los lados del otro. Se forman por la intersección de dos rectas y no son adyacentes, tienen un vértice común y la misma medida en grados.
En la figura, los ángulos (A 1 B 1) y (A 2 B 2) son verticales. Los lados A 2 y B 2 del segundo ángulo son líneas semirrectas complementarias de los lados A 1 y B 1 del primer ángulo.
Teorema:
Los ángulos verticales son iguales.
Esquina central.
ángulo central en un círculo hay un ángulo plano con un vértice en su centro (Fig. 1).
La parte de un círculo que se encuentra dentro de un ángulo plano se llama arco de círculo, correspondiente a este ángulo central (en la Fig. 1, el arco AB es un arco de círculo).
medida de grado El arco de un círculo se llama medida en grados del ángulo central correspondiente.
Ángulos inscritos en una circunferencia.
Un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados cortan a este círculo se llama inscrito en un círculo(Figura 2).
Propiedades:
Ángulos en la intersección de dos rectas con una tercera.
Cuando las líneas se cruzan a Y b secante C Se forman ocho ángulos, que se indican con números en la figura. Algunos pares de estos ángulos tienen nombres especiales:
ángulos correspondientes: 1 y 5, 4 y 8, 2 y 6, 3 y 7;
ángulos transversales: 3 y 5, 4 y 6;
ángulos unilaterales: 4 y 5, 3 y 6.
