Formas cuadradas.
Firmar la definición de las formas. Criterio de Sylvester

El adjetivo “cuadrático” sugiere inmediatamente que algo aquí está relacionado con un cuadrado (segundo grado), y muy pronto descubriremos este “algo” y cuál es su forma. Resultó ser un trabalenguas :)

Bienvenidos a mi nueva lección y, como calentamiento inmediato, veremos la forma rayada. lineal. forma lineal variables llamado homogéneo Polinomio de 1er grado:

- algunos números específicos * (asumimos que al menos uno de ellos es distinto de cero), a son variables que pueden tomar valores arbitrarios.

* En el marco de este tema solo consideraremos numeros reales .

Ya nos hemos encontrado con el término "homogéneo" en la lección sobre sistemas homogéneos de ecuaciones lineales, y en este caso implica que el polinomio no tiene una constante positiva.

Por ejemplo: – forma lineal de dos variables

Ahora la forma es cuadrática. forma cuadrática variables llamado homogéneo polinomio de 2do grado, cada término del cual contiene el cuadrado de la variable o dobles producto de variables. Entonces, por ejemplo, la forma cuadrática de dos variables tiene la siguiente forma:

¡Atención!¡Esta es una entrada estándar y no hay necesidad de cambiar nada al respecto! A pesar de la apariencia "aterradora", aquí todo es simple: los subíndices dobles de constantes indican qué variables están incluidas en qué término:
– este término contiene el producto y (cuadrado);
- aquí está el trabajo;
- y aquí está el trabajo.

– Preveo inmediatamente un grave error cuando pierden el “menos” de un coeficiente, sin entender que se refiere a un término:

A veces existe una opción de diseño "escolar" en el espíritu, pero sólo a veces. Por cierto, tenga en cuenta que las constantes aquí no nos dicen nada en absoluto y, por lo tanto, es más difícil recordar la “notación fácil”. Especialmente cuando hay más variables.

Y la forma cuadrática de tres variables ya contiene seis términos:

...¿por qué “dos” factores se colocan en términos “mixtos”? Esto es conveniente y pronto quedará claro por qué.

Sin embargo, anotemos la fórmula general, conviene anotarla en una “hoja”:

– estudiamos cuidadosamente cada línea – ¡no hay nada malo en eso!

La forma cuadrática contiene términos con los cuadrados de las variables y términos con sus productos pareados. (cm. fórmula de combinación combinatoria) . Nada más: nada de "X solitaria" ni constante agregada (entonces no obtendrás una forma cuadrática, sino heterogéneo polinomio de 2º grado).

Notación matricial de forma cuadrática

Dependiendo de los valores, la forma en cuestión puede tomar valores tanto positivos como negativos, y lo mismo se aplica a cualquier forma lineal: si al menos uno de sus coeficientes es diferente de cero, entonces puede ser positivo o negativo (dependiendo de valores).

Esta forma se llama signo alterno. Y si con la forma lineal todo es transparente, entonces con la forma cuadrática la cosa es mucho más interesante:

Es absolutamente claro que esta forma puede tomar el significado de cualquier signo, por lo tanto la forma cuadrática también puede ser alterna.

Puede que no sea:

– siempre, a menos que simultáneamente sea igual a cero.

- para cualquiera vector excepto cero.

Y en términos generales, si para alguien distinto de cero vector , entonces la forma cuadrática se llama positivo definitivo; si es así entonces definido negativo.

Y todo estaría bien, pero la precisión de la forma cuadrática es visible solo en ejemplos simples, y esta visibilidad se pierde incluso con una ligera complicación:
– ?

Se podría suponer que la forma está definida positivamente, pero ¿es realmente así? ¿Qué pasa si hay valores en los que es menor que cero?

Hay un teorema: Si todos valores propios las matrices de forma cuadrática son positivas * , entonces es definida positiva. Si todos son negativos, entonces negativos.

* Se ha demostrado en teoría que todos los valores propios de una matriz simétrica real válido

Escribamos la matriz de la forma anterior:
y de la ecuación. vamos a encontrarla valores propios:

Resolvamos lo bueno de siempre. ecuación cuadrática:

, que significa la forma se define positivamente, es decir para cualquier valor distinto de cero es mayor que cero.

El método considerado parece funcionar, pero hay un gran PERO. Ya para una matriz de tres por tres, buscar los números adecuados es una tarea larga y desagradable; con alta probabilidad obtendrás un polinomio de tercer grado con raíces irracionales.

¿Qué tengo que hacer? ¡Hay una manera más fácil!

Criterio de Sylvester

No, Sylvester Stallone no :) Primero, déjame recordarte qué es. menores de esquina matrices. Este calificadores que “crecen” desde su esquina superior izquierda:

y el último es exactamente igual al determinante de la matriz.

Ahora, en realidad, criterio:

1) Se define la forma cuadrática afirmativamente si y sólo si TODOS sus menores angulares son mayores que cero: .

2) Se define la forma cuadrática negativo si y sólo si sus menores angulares se alternan en signo, siendo el 1er menor menor que cero: , , si – par o , si – impar.

Si al menos un ángulo menor es de signo opuesto, entonces la forma signo alterno. Si los menores angulares son del signo "derecho", pero hay ceros entre ellos, entonces este es un caso especial, que examinaré un poco más adelante, después de ver ejemplos más comunes.

Analicemos los menores angulares de la matriz. :

Y esto nos dice inmediatamente que la forma no está definida negativamente.

Conclusión: todos los menores de las esquinas son mayores que cero, lo que significa que la forma se define positivamente.

¿Hay alguna diferencia con el método de valores propios? ;)

Escribamos la forma matriz de Ejemplo 1:

el primero es su angular menor, y el segundo , de lo que se deduce que la forma alterna en signo, es decir Dependiendo de los valores, puede tomar valores tanto positivos como negativos. Sin embargo, esto ya es obvio.

Tomemos la forma y su matriz de Ejemplo 2:

No hay manera de resolver esto sin tener conocimiento. Pero con el criterio de Sylvester no nos importa:
, por lo tanto, la forma definitivamente no es negativa.

, y definitivamente no es positivo (ya que todos los menores angulares deben ser positivos).

Conclusión: la forma es alterna.

Ejemplos de calentamiento para resolver por tu cuenta:

Ejemplo 4

Investigar formas cuadráticas para determinar la precisión de los signos.

A)

En estos ejemplos todo va bien (ver el final de la lección), pero de hecho, para completar tal tarea El criterio de Sylvester puede no ser suficiente.

El punto es que hay casos “límites”, a saber: si por cualquier distinto de cero vector, entonces se determina la forma no negativo, si – entonces negativo. Estas formas tienen distinto de cero vectores para los cuales .

Aquí puedes citar el siguiente “acordeón”:

Destacando cuadrado perfecto, lo vemos de inmediato no negatividad forma: , y es igual a cero para cualquier vector con coordenadas iguales, por ejemplo: .

Ejemplo de "espejo" negativo una determinada forma:

y un ejemplo aún más trivial:
– aquí la forma es igual a cero para cualquier vector, donde es un número arbitrario.

¿Cómo identificar formas no negativas o no positivas?

Para esto necesitamos el concepto menores mayores matrices. Un menor mayor es un menor compuesto por elementos que se encuentran en la intersección de filas y columnas con los mismos números. Así, la matriz tiene dos menores principales de 1er orden:
(el elemento está en la intersección de la 1.ª fila y la 1.ª columna);
(el elemento está en la intersección de la segunda fila y la segunda columna),

y un menor mayor de segundo orden:
– compuesto por elementos de la 1.ª y 2.ª fila y de la 1.ª y 2.ª columna.

La matriz es “tres por tres” Hay siete menores principales, y aquí tendrás que flexionar tus bíceps:
– tres menores de 1er orden,
tres menores de segundo orden:
– compuesto por elementos de la 1.ª y 2.ª fila y de la 1.ª y 2.ª columna;
– compuesto por elementos de la 1.ª y 3.ª fila y de la 1.ª y 3.ª columna;
– compuesto por elementos de la 2.ª y 3.ª fila y de la 2.ª y 3.ª columna,
y un menor de tercer orden:
– compuesto por elementos de la 1ª, 2ª, 3ª fila y de la 1ª, 2ª y 3ª columna.
Ejercicio para entender: escriba todos los menores mayores de la matriz .
Lo comprobamos al final de la lección y continuamos.

criterio de schwarzenegger:

1) Definición de forma cuadrática distinta de cero* no negativo si y sólo si TODOS sus menores mayores no negativo(mayor o igual a cero).

* La forma cuadrática cero (degenerada) tiene todos los coeficientes iguales a cero.

2) Se define la forma cuadrática distinta de cero con matriz negativo si y solo si:
– menores mayores de 1er orden no positivo(menor o igual a cero);
– menores mayores de segundo orden no negativo;
– menores mayores de 3er orden no positivo(comenzó la alternancia);
…
– mayor menor de décimo orden no positivo, si – impar o no negativo, si incluso.

Si al menos un menor es del signo opuesto, entonces la forma es de signos alternos.

Veamos cómo funciona el criterio en los ejemplos anteriores:

Creemos una matriz de formas y En primer lugar Calculemos los menores angulares: ¿y si se definen positiva o negativamente?

Los valores obtenidos no satisfacen el criterio de Sylvester, pero sí el segundo menor. no negativo, y esto hace necesario verificar el segundo criterio (en el caso del segundo criterio no se cumple automáticamente, es decir, se llega inmediatamente a la conclusión sobre la alternancia de signos de la forma).

Principales menores de 1er orden:
- positivo,
mayor menor de 2do orden:
– no negativo.

Por lo tanto, TODOS los menores mayores no son negativos, lo que significa que la forma no negativo.

Escribamos la matriz de formas. , para lo cual obviamente no se cumple el criterio de Sylvester. Pero tampoco obtuvimos signos opuestos (ya que ambos ángulos menores son iguales a cero). Por tanto, comprobamos el cumplimiento del criterio de no negatividad/no positividad. Principales menores de 1er orden:
– no positivo,
mayor menor de 2do orden:
– no negativo.

Así, según el criterio de Schwarzenegger (punto 2), la forma no está definida positivamente.

Ahora echemos un vistazo más de cerca a un problema más interesante:

Ejemplo 5

Examinar la forma cuadrática para determinar la precisión de los signos.

Esta forma está decorada con el orden "alfa", que puede ser igual a cualquier número real. Pero solo será más divertido. nosotros decidimos.

Primero, escribamos la matriz de forma, muchas personas probablemente ya se hayan acostumbrado a hacerlo de forma oral: diagonal principal Ponemos los coeficientes para los cuadrados, y en los lugares simétricos ponemos la mitad de los coeficientes de los correspondientes productos “mixtos”:

Calculemos los menores angulares:

Ampliaré el tercer determinante en la tercera línea:

Introducción…………………………………………………………….......................... ........ .................3

1 Información teórica sobre formas cuadráticas………………………………4

1.1 Definición de forma cuadrática…………………………………….…4

1.2 Reducir una forma cuadrática a forma canónica………………...6

1.3 Ley de inercia……………………………………………………………….….11

1.4 Formas definidas positivas……………………………………...18

2 Aplicación práctica de formas cuadráticas …………………………22

2.1 Resolución de problemas típicos………………………………………………………………22

2.2 Tareas para solución independiente……...…………………….………...26

2.3 Tareas de prueba………………………………………………………………...27

Conclusión………….………………………………...…………………………29

Lista de literatura usada……………………………………………………...30

INTRODUCCIÓN

Inicialmente, la teoría de las formas cuadráticas se utilizó para estudiar curvas y superficies definidas por ecuaciones de segundo orden que contenían dos o tres variables. Posteriormente, esta teoría encontró otras aplicaciones. En particular, al modelar matemáticamente procesos económicos, las funciones objetivo pueden contener términos cuadráticos. Numerosas aplicaciones de formas cuadráticas requirieron la construcción de una teoría general cuando el número de variables es igual a cualquier

, y los coeficientes de la forma cuadrática no siempre son números reales.

La teoría de las formas cuadráticas fue desarrollada por primera vez por el matemático francés Lagrange, quien poseía muchas ideas en esta teoría; en particular, introdujo el importante concepto de forma reducida, con la ayuda del cual demostró la finitud del número de clases de formas cuadráticas binarias de un discriminante dado. Luego, esta teoría fue ampliada significativamente por Gauss, quien introdujo muchos conceptos nuevos, a partir de los cuales pudo obtener pruebas de teoremas difíciles y profundos de la teoría de números que eludieron a sus predecesores en este campo.

El objetivo del trabajo es estudiar los tipos de formas cuadráticas y las formas de reducir las formas cuadráticas a la forma canónica.

Este trabajo plantea las siguientes tareas: seleccionar la literatura necesaria, considerar definiciones, resolver una serie de problemas y preparar pruebas.

1 INFORMACIÓN TEÓRICA SOBRE FORMAS CUADRÁTICAS

1.1 DEFINICIÓN DE FORMA CUADRÁTICA

forma cuadrática

de incógnitas es una suma, cada término del cual es el cuadrado de una de estas incógnitas o el producto de dos incógnitas diferentes. La forma cuadrática se presenta en dos formas: real y compleja, dependiendo de si sus coeficientes son números reales o complejos.

Denotando el coeficiente en

a través de y al producir , a través de , la forma cuadrática se puede representar como: .

De los coeficientes

es posible construir una matriz cuadrada de orden; se llama matriz de forma cuadrática y su rango se llama rango de forma cuadrática. Si, en particular, , donde , es decir, la matriz no es degenerada, entonces la forma cuadrática se llama no degenerada. Para cualquier matriz simétrica de orden, se puede especificar una en forma cuadrática completamente definida: (1.1) - incógnitas que tienen elementos matriciales con sus coeficientes.

Denotemos ahora por

una columna compuesta de incógnitas: . es una matriz con filas y una columna. Transponiendo esta matriz, obtenemos la matriz: , compuesto por una línea.

Forma cuadrática (1.1) con matriz

ahora se puede escribir como producto:.

1.2 REDUCCIÓN A FORMA CUADRÁTICA

A LA VISTA CANÓNICA

Supongamos que la forma cuadrática

de las incógnitas ya se ha reducido mediante una transformación lineal no degenerada a la forma canónica, donde están las nuevas incógnitas. Algunos de los coeficientes pueden ser cero. Demostremos que el número de coeficientes distintos de cero es necesariamente igual al rango de la forma. La matriz de esta forma cuadrática tiene forma diagonal. ,

y el requisito de que esta matriz tenga rango

, equivale a suponer que su diagonal principal contiene exactamente elementos distintos de cero.

Teorema. Cualquier forma cuadrática puede reducirse a una forma canónica mediante alguna transformación lineal no degenerada. Si se considera una forma cuadrática real, entonces todos los coeficientes de la transformación lineal especificada pueden considerarse reales.

Prueba. Este teorema es válido para el caso de formas cuadráticas con una incógnita, ya que cualquier forma tiene la forma

, que es canónico. Introduzcamos una demostración por inducción, es decir, demostremos el teorema para formas cuadráticas en incógnitas, considerando que ya ha sido demostrado para formas con menor número de incógnitas.

Sea la forma cuadrática (1.1) de

Un polinomio homogéneo de grado 2 en varias variables se llama forma cuadrática.

La forma cuadrática de variables consta de términos de dos tipos: cuadrados de variables y sus productos por pares con ciertos coeficientes. La forma cuadrática generalmente se escribe como el siguiente diagrama cuadrado:

Se escriben pares de términos semejantes con coeficientes iguales, de modo que cada uno de ellos constituye la mitad del coeficiente del producto correspondiente de las variables. Así, cada forma cuadrática está asociada naturalmente con su matriz de coeficientes, que es simétrica.

Es conveniente representar la forma cuadrática en la siguiente notación matricial. Denotemos por X una columna de variables que pasan por X: una fila, es decir, una matriz transpuesta por X. Entonces

Las formas cuadráticas se encuentran en muchas ramas de las matemáticas y sus aplicaciones.

En teoría de números y cristalografía, las formas cuadráticas se consideran bajo el supuesto de que las variables toman sólo valores enteros. En geometría analítica, la forma cuadrática es parte de la ecuación de una curva (o superficie) de orden. En mecánica y física, la forma cuadrática parece expresar la energía cinética de un sistema a través de las componentes de velocidades generalizadas, etc. Pero, además, el estudio de las formas cuadráticas también es necesario en el análisis cuando se estudian funciones de muchas variables, en cuestiones para lo cual es importante descubrir cómo esta función en la vecindad de un punto dado se desvía de la función lineal que lo aproxima. Un ejemplo de un problema de este tipo es el estudio de una función para su máximo y mínimo.

Considere, por ejemplo, el problema de estudiar el máximo y el mínimo de una función de dos variables que tiene derivadas parciales continuas hasta el orden. Una condición necesaria para que un punto dé un máximo o mínimo de una función es que las derivadas parciales del orden en el punto sean iguales a cero, supongamos que se cumple esta condición. Demos a las variables x e y incrementos pequeños yk y consideremos el incremento correspondiente de la función. Según la fórmula de Taylor, este incremento, hasta pequeños órdenes superiores, es igual a la forma cuadrática donde están los valores de las segundas derivadas. calculado en el punto Si esta forma cuadrática es positiva para todos los valores de y k (excepto ), entonces la función tiene un mínimo en el punto; si es negativa, entonces tiene un máximo. Finalmente, si una forma toma valores tanto positivos como negativos, entonces no habrá máximo ni mínimo. De manera similar también se estudian funciones de un mayor número de variables.

El estudio de las formas cuadráticas consiste principalmente en estudiar el problema de equivalencia de formas respecto de uno u otro conjunto de transformaciones lineales de variables. Se dice que dos formas cuadráticas son equivalentes si una de ellas se puede convertir en la otra mediante una de las transformaciones de un conjunto dado. Estrechamente relacionado con el problema de la equivalencia está el problema de reducir la forma, es decir transformándolo a alguna forma posiblemente más simple.

En diversas cuestiones relacionadas con formas cuadráticas, también se consideran varios conjuntos de transformaciones de variables admisibles.

En cuestiones de análisis se utilizan cualesquiera transformaciones de variables no especiales; A los efectos de la geometría analítica, las transformaciones ortogonales son de mayor interés, es decir aquellas que corresponden a la transición de un sistema de coordenadas cartesianas variables a otro. Finalmente, en teoría de números y cristalografía se consideran transformaciones lineales con coeficientes enteros y con determinante igual a la unidad.

Consideraremos dos de estos problemas: la cuestión de reducir una forma cuadrática a su forma más simple mediante transformaciones no singulares y la misma pregunta para las transformaciones ortogonales. En primer lugar, descubramos cómo se transforma una matriz de forma cuadrática durante una transformación lineal de variables.

Sea , donde A es una matriz simétrica de coeficientes de forma, X es una columna de variables.

Hagamos una transformación lineal de variables, escribiéndola abreviada como . Aquí C denota la matriz de coeficientes de esta transformación, X es una columna de nuevas variables. Entonces y por lo tanto, entonces la matriz de la forma cuadrática transformada es

La matriz resulta automáticamente simétrica, lo cual es fácil de comprobar. Por tanto, el problema de reducir una forma cuadrática a la forma más simple es equivalente al problema de reducir una matriz simétrica a la forma más simple multiplicándola a la izquierda y a la derecha por matrices mutuamente transpuestas.

forma cuadrática f(x 1, x 2,...,x n) de n variables es una suma, cada término de la cual es el cuadrado de una de las variables o el producto de dos variables diferentes, tomado con un cierto coeficiente: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

La matriz A compuesta por estos coeficientes se llama matriz de forma cuadrática. Siempre es simétrico matriz (es decir, una matriz simétrica con respecto a la diagonal principal, a ij =a ji).

En notación matricial, la forma cuadrática es f(X) = X T AX, donde

En efecto

Por ejemplo, escribamos la forma cuadrática en forma matricial.

Para ello, encontramos una matriz de forma cuadrática. Sus elementos diagonales son iguales a los coeficientes de las variables al cuadrado, y los elementos restantes son iguales a las mitades de los coeficientes correspondientes de la forma cuadrática. Es por eso

Deje que la columna-matriz de variables X se obtenga mediante una transformación lineal no degenerada de la columna-matriz Y, es decir X = CY, donde C es una matriz no singular de enésimo orden. Entonces la forma cuadrática f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Así, con una transformación lineal no degenerada C, la matriz de forma cuadrática toma la forma: A * =C T AC.

Por ejemplo, encontremos la forma cuadrática f(y 1, y 2), obtenida de la forma cuadrática f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 mediante transformación lineal.

La forma cuadrática se llama canónico(Tiene vista canónica), si todos sus coeficientessa ij = 0 para i≠j, es decir f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Su matriz es diagonal.

Teorema(prueba no proporcionada aquí). Cualquier forma cuadrática se puede reducir a una forma canónica mediante una transformación lineal no degenerada.

Por ejemplo, llevemos a forma canónica la forma cuadrática f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Para ello, primero selecciona un cuadrado completo con la variable x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Ahora seleccionamos un cuadrado completo con la variable x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Entonces la transformación lineal no degenerada y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 y y 3 = x 3 lleva esta forma cuadrática a la forma canónicaf(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Tenga en cuenta que la forma canónica de una forma cuadrática se determina de manera ambigua (la misma forma cuadrática se puede reducir a forma canónica de diferentes maneras 1). Sin embargo, las formas canónicas obtenidas mediante diversos métodos tienen una serie de propiedades comunes. En particular, el número de términos con coeficientes positivos (negativos) de forma cuadrática no depende del método para reducir la forma a esta forma (por ejemplo, en el ejemplo considerado siempre habrá dos coeficientes negativos y uno positivo). Esta propiedad se llama ley de inercia de formas cuadráticas.

Verifiquemos esto llevando la misma forma cuadrática a la forma canónica de una manera diferente. Comencemos la transformación con la variable x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , donde y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 y y 3 = x 1 . Aquí hay un coeficiente positivo de 2 para y 3 y dos coeficientes negativos (-3) para y 1 e y 2 (y usando otro método, obtuvimos un coeficiente positivo de 2 para y 1 y dos negativos - (-5) para y 2 y (-1/20) para y 3).

También cabe señalar que el rango de una matriz de forma cuadrática, llamada rango de forma cuadrática, es igual al número de coeficientes distintos de cero de la forma canónica y no cambia bajo transformaciones lineales.

La forma cuadrática f(X) se llama afirmativamente(negativo)cierto, si para todos los valores de las variables que no son simultáneamente cero, es positivo, es decir f(X) > 0 (negativo, es decir f(X)< 0).

Por ejemplo, la forma cuadrática f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 es definida positiva, porque es una suma de cuadrados, y la forma cuadrática f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 es definida negativa, porque representa se puede representar en la forma f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

En la mayoría de situaciones prácticas, es algo más difícil establecer el signo definido de una forma cuadrática, por lo que para ello utilizamos uno de los siguientes teoremas (los formularemos sin demostración).

Teorema. Una forma cuadrática es positiva (negativa) definida si y solo si todos los valores propios de su matriz son positivos (negativos).

Teorema (criterio de Sylvester). Una forma cuadrática es positiva definida si y sólo si todos los menores principales de la matriz de esta forma son positivos.

Principal (esquina) menor Las matrices de k-ésimo orden de orden An-ésimo se denominan determinante de la matriz, compuesta por las primeras k filas y columnas de la matriz A ().

Tenga en cuenta que para formas cuadráticas definidas negativas los signos de los menores principales se alternan y el menor de primer orden debe ser negativo.

Por ejemplo, examinemos la forma cuadrática f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 para determinar la precisión del signo.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Por tanto, la forma cuadrática es definida positiva.

Método 2. Menor principal de primer orden de la matriz A  1 =a 11 = 2 > 0. Menor principal de segundo orden  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Por tanto, según el criterio de Sylvester, la matriz cuadrática la forma es definida positiva.

Examinamos otra forma cuadrática para determinar la precisión de los signos, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Método 1. Construyamos una matriz de forma cuadrática A = . La ecuación característica tendrá la forma = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Por tanto, la forma cuadrática es definida negativa.

Método 2. Principal menor de primer orden de la matriz A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Por tanto, según el criterio de Sylvester, la forma cuadrática es definida negativa (los signos de las menores mayores se alternan, empezando por el menos).

Y como otro ejemplo, examinamos la forma cuadrática determinada por el signo f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Método 1. Construyamos una matriz de forma cuadrática A = . La ecuación característica tendrá la forma = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Uno de estos números es negativo y el otro es positivo. Los signos de los valores propios son diferentes. En consecuencia, la forma cuadrática no puede ser ni negativa ni positivamente definida, es decir esta forma cuadrática no tiene signo definido (puede tomar valores de cualquier signo).

Método 2. Menor principal de primer orden de la matriz A  1 =a 11 = 2 > 0. Menor principal de segundo orden 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1El método considerado para reducir una forma cuadrática a una forma canónica es conveniente de utilizar cuando se encuentran coeficientes distintos de cero en los cuadrados de las variables. Si no están allí, aún es posible realizar la conversión, pero hay que utilizar algunas otras técnicas. Por ejemplo, sea f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, donde y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 1 – x 2.

Al resolver diversos problemas aplicados, a menudo es necesario estudiar formas cuadráticas.

Definición. Una forma cuadrática L(, x 2, ..., x n) de n variables es una suma, cada término de la cual es el cuadrado de una de las variables o el producto de dos variables diferentes tomadas con un cierto coeficiente:

L( ,x 2 ,...,x n) =

Suponemos que los coeficientes de la forma cuadrática son números reales y

La matriz A = () (i, j = 1, 2, ..., n), compuesta por estos coeficientes, se denomina matriz de forma cuadrática.

En notación matricial, la forma cuadrática tiene la forma: L = X"AX, donde X = (x 1, x 2,..., x n)" - columna-matriz de variables.

Ejemplo 8.1

Escribe la forma cuadrática L( , x 2 , x 3) = en forma matricial.

Encontremos una matriz de forma cuadrática. Sus elementos diagonales son iguales a los coeficientes de las variables al cuadrado, es decir 4, 1, -3 y otros elementos - a las mitades de los coeficientes correspondientes de la forma cuadrática. Es por eso

L=( , x 2 , x 3 ) .

Con una transformación lineal no degenerada X = CY, la matriz de forma cuadrática toma la forma: A * = C "AC. (*)

Ejemplo 8.2

Dada la forma cuadrática L(x x, x 2) =2x 1 2 +4x 1 x 2 -3. Encuentre la forma cuadrática L(y 1,y 2) obtenida de la transformación lineal dada = 2 y 1 - 3y 2 , x 2 = y 1 + y 2.

La matriz de una forma cuadrática dada es A= y la matriz de transformación lineal es

C = . Por lo tanto, según (*) matriz de la forma cuadrática requerida

Y la forma cuadrática parece

L(y 1, y 2) = .

Cabe señalar que con algunas transformaciones lineales bien elegidas, la forma cuadrática se puede simplificar significativamente.

Definición. La forma cuadrática L(,x 2,...,x n) = se llama canónica (o tiene forma canónica) si todos sus coeficientes = 0 para i¹j:

l= , y su matriz es diagonal.

El siguiente teorema es verdadero.

Teorema. Cualquier forma cuadrática se puede reducir a una forma canónica mediante una transformación lineal de variables no degenerada.

Ejemplo 8.3

Reducir la forma cuadrática a forma canónica.

L( , x 2 , x 3 ) =

Primero, seleccionamos el cuadrado completo de la variable cuyo coeficiente del cuadrado es distinto de cero:

Ahora seleccionamos el cuadrado perfecto para la variable cuyo coeficiente es distinto de cero:

Entonces, una transformación lineal no degenerada

reduce esta forma cuadrática a forma canónica:

La forma canónica de una forma cuadrática no está definida de manera única, ya que la misma forma cuadrática se puede reducir a la forma canónica de muchas maneras. Sin embargo, las formas canónicas obtenidas mediante diversos métodos tienen una serie de propiedades comunes. Formulemos una de estas propiedades como un teorema.

Teorema (ley de inercia de formas cuadráticas). El número de términos con coeficientes positivos (negativos) de la forma cuadrática no depende del método para reducir la forma a esta forma.

Cabe señalar que el rango de una matriz de forma cuadrática es igual al número de coeficientes distintos de cero de la forma canónica y no cambia bajo transformaciones lineales.

Definición. La forma cuadrática L(, x 2, ..., x n) se llama definida positiva (negativa) si, para todos los valores de las variables, al menos uno de los cuales es distinto de cero,

L( , x 2 , ..., x n) > 0 (L( , x 2 , ..., x n)< 0).

Entonces, Por ejemplo, forma cuadrática es definida positiva y la forma es definida negativa.

Teorema. Para que la forma cuadrática L = X"AX sea positiva (negativa) definida, es necesario y suficiente que todos los valores propios de la matriz A sean positivos (negativos).