रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर। समाकलन परिभाषित करें

ए)

समाधान।

निर्णय का पहला और सबसे महत्वपूर्ण क्षण एक चित्र का निर्माण है.

आइए एक चित्र बनाएं:

समीकरण y=0 x-अक्ष सेट करता है;

- x=-2 और एक्स=1 - सीधा, अक्ष के समानांतर ओयू;

- y = x 2 +2 - एक परवलय जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, जिसका शीर्ष बिंदु (0;2) पर होता है।

टिप्पणी।एक परवलय का निर्माण करने के लिए, निर्देशांक अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को खोजना पर्याप्त है, अर्थात। डाल एक्स=0 अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए कहां और संगत द्विघात समीकरण को हल करके, अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए ओह .

परवलय का शीर्ष सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

आप रेखाएँ खींच सकते हैं और बिंदु दर बिंदु बना सकते हैं।

अंतराल पर [-2;1] फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=x 2 +2 स्थित अक्ष के ऊपर बैल , इसीलिए:

उत्तर: एस = 9 वर्ग इकाई

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, "आंख से" हम ड्राइंग में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 टाइप किया जाएगा, यह सच प्रतीत होता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यदि हमारे पास, मान लीजिए, उत्तर है: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो, जाहिर है, कहीं न कहीं गलती हुई है - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से प्रश्न में दिए गए आंकड़े में फिट नहीं होती हैं, अधिकतम एक दर्जन। यदि उत्तर नकारात्मक निकला, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया।

यदि वक्ररेखीय समलम्बाकार स्थित हो तो क्या करें धुरी के नीचे ओह?

बी)रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें y=-e x , एक्स=1 और समन्वय अक्ष.

समाधान।

आइए एक चित्र बनाएं.

यदि एक वक्ररेखीय समलंब है पूरी तरह से धुरी के नीचे ओह , तो इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

उत्तर: एस=(ई-1) वर्ग इकाई" 1.72 वर्ग इकाई

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित न करें:

1) यदि आपसे बिना किसी ज्यामितीय अर्थ के केवल एक निश्चित समाकलन को हल करने के लिए कहा जाए, तो यह नकारात्मक हो सकता है।

2) यदि आपसे एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो क्षेत्रफल हमेशा सकारात्मक होता है! यही कारण है कि जिस सूत्र पर अभी विचार किया गया है उसमें माइनस दिखाई देता है।

व्यवहार में, अक्सर आकृति ऊपरी और निचले दोनों आधे तलों में स्थित होती है।

साथ)रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए y = 2x-x 2, y = -x।

समाधान।

सबसे पहले आपको एक ड्राइंग बनाने की आवश्यकता है। आम तौर पर, क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए और प्रत्यक्ष इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहला तरीका विश्लेषणात्मक है.

हम समीकरण हल करते हैं:

तो एकीकरण की निचली सीमा ए=0 , एकीकरण की ऊपरी सीमा बी=3 .

हम दी गई पंक्तियाँ बनाते हैं: 1. परवलय - बिंदु पर शीर्ष (1;1); अक्ष चौराहा ओह -अंक(0;0) और (0;2). 2. सीधी रेखा - दूसरे और चौथे निर्देशांक कोणों का समद्विभाजक। और अब ध्यान दें! यदि अंतराल पर [ ए;बी] कुछ निरंतर कार्य एफ(एक्स)किसी सतत फलन से बड़ा या उसके बराबर जी(एक्स), तो संबंधित आकृति का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: .

और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आंकड़ा कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, लेकिन यह महत्वपूर्ण है कि कौन सा चार्ट अधिक है (दूसरे चार्ट के सापेक्ष), और कौन सा नीचे है। विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए इसे घटाना आवश्यक है

बिंदु दर बिंदु रेखाएँ बनाना संभव है, जबकि एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं द्वारा" ज्ञात की जाती हैं। फिर भी, सीमाएं खोजने की विश्लेषणात्मक विधि का उपयोग अभी भी कभी-कभी करना पड़ता है, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या थ्रेडेड निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे भिन्नात्मक या तर्कहीन हो सकते हैं)।

वांछित आकृति ऊपर से एक परवलय और नीचे से एक सीधी रेखा द्वारा सीमित है।

खंड पर , संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर: एस = 4.5 वर्ग इकाई

इस लेख में, आप सीखेंगे कि अभिन्न गणना का उपयोग करके रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। पहली बार, हम हाई स्कूल में ऐसी समस्या के सूत्रीकरण का सामना करते हैं, जब कुछ इंटीग्रल का अध्ययन अभी पूरा हुआ है और अभ्यास में प्राप्त ज्ञान की ज्यामितीय व्याख्या शुरू करने का समय है।

तो, इंटीग्रल्स का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या को सफलतापूर्वक हल करने के लिए क्या आवश्यक है:

चित्र सही ढंग से बनाने की क्षमता;
प्रसिद्ध न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके एक निश्चित अभिन्न को हल करने की क्षमता;
अधिक लाभदायक समाधान "देखने" की क्षमता - अर्थात। यह समझने के लिए कि इस या उस मामले में एकीकरण करना कैसे अधिक सुविधाजनक होगा? x-अक्ष (OX) या y-अक्ष (OY) के अनुदिश?
खैर, सही गणना के बिना कहां?) इसमें यह समझना शामिल है कि अन्य प्रकार के अभिन्नों को कैसे हल किया जाए और संख्यात्मक गणनाओं को सही किया जाए।

रेखाओं से घिरी किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम एक चित्र बनाते हैं। इसे बड़े पैमाने पर एक पिंजरे में कागज के टुकड़े पर करने की सलाह दी जाती है। हम प्रत्येक ग्राफ़ के ऊपर एक पेंसिल से इस फ़ंक्शन के नाम पर हस्ताक्षर करते हैं। ग्राफ़ पर हस्ताक्षर केवल आगे की गणना की सुविधा के लिए किया जाता है। वांछित आंकड़े का ग्राफ प्राप्त करने के बाद, ज्यादातर मामलों में यह तुरंत स्पष्ट हो जाएगा कि कौन सी एकीकरण सीमा का उपयोग किया जाएगा। इस प्रकार, हम समस्या को ग्राफिक रूप से हल करते हैं। हालाँकि, ऐसा होता है कि सीमाओं के मान भिन्नात्मक या अपरिमेय होते हैं। इसलिए, आप अतिरिक्त गणनाएँ कर सकते हैं, चरण दो पर जाएँ।

2. यदि एकीकरण सीमाएं स्पष्ट रूप से निर्धारित नहीं की गई हैं, तो हम एक दूसरे के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु ढूंढते हैं, और देखते हैं कि क्या हमारा ग्राफिकल समाधान विश्लेषणात्मक समाधान से मेल खाता है।

3. इसके बाद, आपको ड्राइंग का विश्लेषण करने की आवश्यकता है। फ़ंक्शंस के ग्राफ़ कैसे स्थित हैं, इसके आधार पर, आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोण हैं। समाकलनों का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के विभिन्न उदाहरणों पर विचार करें।

3.1. समस्या का सबसे क्लासिक और सरल संस्करण तब होता है जब आपको एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता होती है। एक वक्ररेखीय समलम्बाकार क्या है? यह x-अक्ष से घिरी एक सपाट आकृति है (y=0), सीधा एक्स = ए, एक्स = बीऔर से अंतराल पर निरंतर कोई वक्र एपहले बी. साथ ही, यह आंकड़ा गैर-नकारात्मक है और x-अक्ष से कम नहीं स्थित है। इस मामले में, वक्ररेखीय ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र संख्यात्मक रूप से न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके गणना की गई निश्चित अभिन्न अंग के बराबर है:

उदाहरण 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

कौन सी रेखाएँ आकृति को परिभाषित करती हैं? हमारे पास एक परवलय है y = x2 - 3x + 3, जो अक्ष के ऊपर स्थित है ओह, यह गैर-नकारात्मक है, क्योंकि इस परवलय के सभी बिंदु सकारात्मक हैं। आगे, सीधी रेखाएँ दी गई हैं एक्स = 1और एक्स = 3जो अक्ष के समानांतर चलती है कहां, बाएँ और दाएँ चित्र की सीमा रेखाएँ हैं। कुंआ आप = 0, वह x-अक्ष है, जो नीचे से चित्र को सीमित करता है। परिणामी आकृति छायांकित है, जैसा कि बाईं ओर की आकृति में देखा गया है। इस मामले में, आप तुरंत समस्या का समाधान शुरू कर सकते हैं। हमारे सामने एक वक्ररेखीय समलम्बाकार का एक सरल उदाहरण है, जिसे हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके हल करते हैं।

3.2. पिछले पैराग्राफ 3.1 में, उस मामले का विश्लेषण किया गया था जब वक्रीय ट्रेपेज़ॉइड एक्स-अक्ष के ऊपर स्थित है। अब उस मामले पर विचार करें जब समस्या की स्थितियाँ समान हों, सिवाय इसके कि फ़ंक्शन x-अक्ष के अंतर्गत है। मानक न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र में एक ऋण जोड़ा जाता है। ऐसी समस्या का समाधान कैसे करें, हम आगे विचार करेंगे।

उदाहरण 2 . रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

इस उदाहरण में, हमारे पास एक परवलय है y=x2+6x+2, जो धुरी के नीचे से उत्पन्न होता है ओह, सीधा x=-4, x=-1, y=0. यहाँ आप = 0ऊपर से वांछित आंकड़े को सीमित करता है। प्रत्यक्ष एक्स = -4और एक्स = -1ये वे सीमाएँ हैं जिनके भीतर निश्चित अभिन्न की गणना की जाएगी। किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या को हल करने का सिद्धांत लगभग पूरी तरह से उदाहरण संख्या 1 से मेल खाता है। अंतर केवल इतना है कि दिया गया फ़ंक्शन सकारात्मक नहीं है, और अंतराल पर भी निरंतर है [-4; -1] . सकारात्मक नहीं का क्या मतलब है? जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, दिए गए x के भीतर मौजूद आंकड़े में विशेष रूप से "नकारात्मक" निर्देशांक हैं, जो कि समस्या को हल करते समय हमें देखने और याद रखने की आवश्यकता है। हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके आकृति के क्षेत्र की तलाश कर रहे हैं, केवल शुरुआत में एक ऋण चिह्न के साथ।

लेख पूरा नहीं हुआ है.

अब हम समाकलन कलन के अनुप्रयोगों पर विचार करते हैं। इस पाठ में, हम एक विशिष्ट और सबसे सामान्य कार्य का विश्लेषण करेंगे। एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना. अंततः, वे सभी जो उच्च गणित में अर्थ खोजते हैं - क्या वे इसे पा सकते हैं। आपको कभी नहीं जानते। वास्तविक जीवन में, आपको प्राथमिक कार्यों के साथ एक ग्रीष्मकालीन कॉटेज का अनुमान लगाना होगा और एक निश्चित अभिन्न अंग का उपयोग करके इसका क्षेत्र ढूंढना होगा।

सामग्री में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) कम से कम मध्यवर्ती स्तर पर अनिश्चितकालीन अभिन्न को समझें। इस प्रकार, नौसिखियों को पहले पाठ पढ़ना चाहिए नहीं.

2) न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने और निश्चित अभिन्न की गणना करने में सक्षम हो। आप पृष्ठ पर कुछ अभिन्न अंग के साथ मधुर मैत्रीपूर्ण संबंध स्थापित कर सकते हैं समाकलन परिभाषित करें। समाधान के उदाहरण. कार्य "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करें" में हमेशा एक ड्राइंग का निर्माण शामिल होता हैइसलिए, आपका ज्ञान और ड्राइंग कौशल भी एक जरूरी मुद्दा होगा। कम से कम, व्यक्ति को एक सीधी रेखा, एक परवलय और एक अतिपरवलय बनाने में सक्षम होना चाहिए।

आइए एक वक्ररेखीय समलम्बाकार से शुरुआत करें। एक वक्ररेखीय समलंब किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरी एक सपाट आकृति है य = एफ(एक्स), एक्सिस बैलऔर पंक्तियाँ एक्स = ए; एक्स = बी.

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक निश्चित अभिन्न अंग के बराबर होता है

किसी भी निश्चित अभिन्न अंग (जो अस्तित्व में है) का एक बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ होता है। सबक पर समाकलन परिभाषित करें। समाधान के उदाहरणहमने कहा कि एक निश्चित अभिन्न एक संख्या है। और अब एक और उपयोगी तथ्य बताने का समय आ गया है। ज्यामिति की दृष्टि से निश्चित समाकलन क्षेत्रफल है. वह है, निश्चित समाकलन (यदि यह अस्तित्व में है) ज्यामितीय रूप से किसी आकृति के क्षेत्रफल से मेल खाता है. निश्चित अभिन्न पर विचार करें

इंटीग्रैंड

समतल पर एक वक्र को परिभाषित करता है (यदि वांछित हो तो इसे खींचा जा सकता है), और निश्चित अभिन्न अंग संख्यात्मक रूप से संबंधित वक्ररेखीय ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर होता है।

उदाहरण 1

, , , .

यह एक विशिष्ट कार्य विवरण है. निर्णय का सबसे महत्वपूर्ण बिंदु एक ड्राइंग का निर्माण है. इसके अलावा, ड्राइंग का निर्माण किया जाना चाहिए सही.

खाका बनाते समय, मैं निम्नलिखित क्रम की अनुशंसा करता हूं: सर्वप्रथमसभी पंक्तियों (यदि कोई हो) और केवल का निर्माण करना बेहतर है तब- परवलय, अतिपरवलय, अन्य कार्यों के ग्राफ़। बिंदु-दर-बिंदु निर्माण तकनीक संदर्भ सामग्री में पाई जा सकती है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. वहां आपको वह सामग्री भी मिल सकती है जो हमारे पाठ के संबंध में बहुत उपयोगी है - कैसे जल्दी से एक परवलय का निर्माण करें।

इस समस्या में, समाधान इस तरह दिख सकता है.

आइए एक चित्र बनाएं (ध्यान दें कि समीकरण य= 0 अक्ष निर्दिष्ट करता है बैल):

हम घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड को नहीं पकड़ेंगे, यह स्पष्ट है कि हम यहां किस क्षेत्र के बारे में बात कर रहे हैं। समाधान इस प्रकार जारी है:

खंड पर [-2; 1] फ़ंक्शन ग्राफ़ य = एक्स 2 + 2 स्थित है अक्ष के ऊपरबैल, इसीलिए:

उत्तर: .

जिसे निश्चित समाकलन की गणना करने तथा न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने में कठिनाई होती है

व्याख्यान का संदर्भ लें समाकलन परिभाषित करें। समाधान के उदाहरण. कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, "आंख से" हम ड्राइंग में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 टाइप किया जाएगा, यह सच प्रतीत होता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यदि हमारे पास, मान लीजिए, उत्तर है: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो, जाहिर है, कहीं न कहीं गलती हुई है - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से प्रश्न में दिए गए आंकड़े में फिट नहीं होती हैं, अधिकतम एक दर्जन। यदि उत्तर नकारात्मक निकला, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया।

उदाहरण 2

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें xy = 4, एक्स = 2, एक्स= 4 और अक्ष बैल.

यह स्वयं करने का उदाहरण है. पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

यदि वक्ररेखीय समलम्बाकार स्थित हो तो क्या करें धुरी के नीचेबैल?

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें य = पूर्व, एक्स= 1 और निर्देशांक अक्ष.

समाधान: आइए एक चित्र बनाएं:

यदि एक वक्ररेखीय समलंब है पूरी तरह से धुरी के नीचे बैल , तो इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

इस मामले में:

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए:

व्यवहार में, अक्सर यह आंकड़ा ऊपरी और निचले दोनों आधे-तलों में स्थित होता है, और इसलिए, सबसे सरल स्कूली समस्याओं से, हम अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए य = 2एक्स – एक्स 2 , य = -एक्स.

समाधान: सबसे पहले आपको एक चित्र बनाना होगा। क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए य = 2एक्स – एक्स 2 और सीधा य = -एक्स. इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहला तरीका विश्लेषणात्मक है. हम समीकरण हल करते हैं:

तो एकीकरण की निचली सीमा ए= 0, एकीकरण की ऊपरी सीमा बी= 3. बिंदु दर बिंदु रेखाएँ बनाना अक्सर अधिक लाभदायक और तेज़ होता है, जबकि एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं द्वारा" ज्ञात की जाती हैं। फिर भी, सीमाएं खोजने की विश्लेषणात्मक विधि का उपयोग अभी भी कभी-कभी करना पड़ता है, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या थ्रेडेड निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे भिन्नात्मक या तर्कहीन हो सकते हैं)। हम अपने कार्य पर लौटते हैं: पहले एक सीधी रेखा बनाना और उसके बाद ही एक परवलय बनाना अधिक तर्कसंगत है। आइए एक चित्र बनाएं:

हम दोहराते हैं कि बिंदुवार निर्माण में, एकीकरण की सीमाएं अक्सर "स्वचालित रूप से" पाई जाती हैं।

और अब कार्य सूत्र:

यदि खंड पर [ ए; बी] कुछ निरंतर कार्य एफ(एक्स) से बड़ा या बराबरकुछ सतत कार्य जी(एक्स), तो संबंधित आकृति का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

यहाँ अब यह सोचना आवश्यक नहीं है कि आकृति कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, बल्कि यह मायने रखता है कि कौन सा चार्ट ऊपर है(दूसरे ग्राफ़ के सापेक्ष), और कौन सा नीचे है.

विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए 2 से एक्स – एक्स 2 घटाया जाना चाहिए - एक्स.

समाधान का समापन इस प्रकार हो सकता है:

वांछित आंकड़ा एक परवलय द्वारा सीमित है य = 2एक्स – एक्स 2 शीर्ष और सीधे य = -एक्सनीचे की ओर से।

खंड 2 पर एक्स – एक्स 2 ≥ -एक्स. संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर: .

वास्तव में, निचले आधे तल में एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के लिए स्कूल सूत्र (उदाहरण संख्या 3 देखें) सूत्र का एक विशेष मामला है

अक्ष के बाद से बैलसमीकरण द्वारा दिया गया है य= 0, और फ़ंक्शन का ग्राफ़ जी(एक्स) अक्ष के नीचे स्थित है बैल, वह

और अब स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ उदाहरण

उदाहरण 5

उदाहरण 6

रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करने की समस्याओं को हल करने के दौरान, कभी-कभी एक अजीब घटना घटती है। चित्र सही बनाया गया था, गणनाएँ सही थीं, लेकिन, असावधानी के कारण,... ग़लत आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात हुआ।

उदाहरण 7

आइए पहले चित्र बनाएं:

वह आकृति जिसका क्षेत्रफल हमें ज्ञात करना है वह नीले रंग से छायांकित है।(स्थिति को ध्यान से देखें - यह आंकड़ा कितना सीमित है!) लेकिन व्यवहार में, असावधानी के कारण, वे अक्सर निर्णय लेते हैं कि उन्हें हरे रंग में छायांकित आकृति का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता है!

यह उदाहरण इस दृष्टि से भी उपयोगी है कि इसमें आकृति के क्षेत्रफल की गणना दो निश्चित समाकलनों का उपयोग करके की जाती है। वास्तव में:

1) खंड पर [-1; 1] धुरी के ऊपर बैलग्राफ सीधा है य = एक्स+1;

2) अक्ष के ऊपर वाले खंड पर बैलहाइपरबोला का ग्राफ स्थित है य = (2/एक्स).

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्षेत्रों को जोड़ा जा सकता है (और जोड़ा जाना चाहिए), इसलिए:

उत्तर:

उदाहरण 8

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

आइए समीकरणों को "स्कूल" रूप में प्रस्तुत करें

और रेखाचित्र बनाएं:

चित्र से यह देखा जा सकता है कि हमारी ऊपरी सीमा "अच्छी" है: बी = 1.

लेकिन निचली सीमा क्या है? यह स्पष्ट है कि यह पूर्णांक नहीं है, लेकिन क्या?

शायद, ए=(-1/3)? लेकिन इस बात की क्या गारंटी है कि चित्र पूर्ण सटीकता के साथ बनाया गया है, यह अच्छी तरह से हो सकता है ए=(-1/4). यदि हमें ग्राफ बिल्कुल भी सही नहीं मिला तो क्या होगा?

ऐसे मामलों में, किसी को अतिरिक्त समय खर्च करना पड़ता है और विश्लेषणात्मक रूप से एकीकरण की सीमाओं को परिष्कृत करना पड़ता है।

ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें

ऐसा करने के लिए, हम समीकरण हल करते हैं:

इस तरह, ए=(-1/3).

आगे का समाधान तुच्छ है. मुख्य बात यह है कि प्रतिस्थापन और संकेतों में भ्रमित न हों। यहां गणनाएं सबसे आसान नहीं हैं. खंड पर

, ,

संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

पाठ के अंत में, हम दो अधिक कठिन कार्यों पर विचार करेंगे।

उदाहरण 9

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

समाधान: इस आकृति को चित्र में बनाइए।

बिंदु-दर-बिंदु रेखाचित्र बनाने के लिए, आपको साइनसॉइड की उपस्थिति जानने की आवश्यकता है। सामान्य तौर पर, सभी प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़, साथ ही साइन के कुछ मानों को जानना उपयोगी होता है। उन्हें मूल्यों की तालिका में पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय कार्य. कुछ मामलों में (उदाहरण के लिए, इस मामले में), इसे एक योजनाबद्ध ड्राइंग बनाने की अनुमति दी जाती है, जिस पर ग्राफ़ और एकीकरण सीमाएं सैद्धांतिक रूप से सही ढंग से प्रदर्शित होनी चाहिए।

यहां एकीकरण सीमाओं के साथ कोई समस्या नहीं है, वे सीधे शर्त से अनुसरण करते हैं:

- "x" शून्य से "pi" में बदल जाता है। हम आगे निर्णय लेते हैं:

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ य= पाप 3 एक्सअक्ष के ऊपर स्थित है बैल, इसीलिए:

(1) आप पाठ में देख सकते हैं कि कैसे साइन और कोसाइन विषम घातों में एकीकृत होते हैं त्रिकोणमितीय फलनों का समाकलन. हम एक साइन को चुटकी बजाते हैं।

(2) हम फॉर्म में मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हैं

(3) आइए वेरिएबल को बदलें टी= क्योंकि एक्स, फिर: अक्ष के ऊपर स्थित है , इसलिए:

टिप्पणी:ध्यान दें कि घन में स्पर्शरेखा का अभिन्न अंग कैसे लिया जाता है, यहां मूल त्रिकोणमितीय पहचान का परिणाम उपयोग किया जाता है

कार्य 1(घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना पर)।

कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली xOy में, एक आकृति दी गई है (चित्र देखें), जो x अक्ष, सीधी रेखाओं x \u003d a, x \u003d b (एक वक्ररेखीय समलम्बाकार) से घिरी हुई है। \ के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है वक्ररेखीय समलम्ब चतुर्भुज।
समाधान।ज्यामिति हमें बहुभुजों और एक वृत्त के कुछ भागों (सेक्टर, खंड) के क्षेत्रफल की गणना करने की विधि देती है। ज्यामितीय विचारों का उपयोग करते हुए, हम निम्नानुसार तर्क देते हुए, आवश्यक क्षेत्र का केवल अनुमानित मूल्य ही पा सकेंगे।

आइए खंड को विभाजित करें [ए; बी] (एक वक्ररेखीय समलम्बाकार का आधार) एन बराबर भागों में; यह विभाजन बिंदुओं x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 की सहायता से संभव है। आइए इन बिंदुओं से होकर y-अक्ष के समानांतर रेखाएँ खींचें। फिर दिए गए वक्रीय समलम्ब को n भागों में, n संकीर्ण स्तंभों में विभाजित किया जाएगा। संपूर्ण समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल स्तंभों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

के-वें कॉलम पर अलग से विचार करें, यानी। वक्ररेखीय समलम्बाकार, जिसका आधार एक खंड है। आइए इसे समान आधार और f(x k) के बराबर ऊंचाई वाले एक आयत से बदलें (आंकड़ा देखें)। आयत का क्षेत्रफल $f(x_k) \cdot \Delta x_k $ है, जहां $\Delta x_k $ खंड की लंबाई है; संकलित उत्पाद को kth कॉलम के क्षेत्रफल का अनुमानित मान मानना स्वाभाविक है।

यदि अब हम अन्य सभी स्तंभों के साथ भी ऐसा ही करते हैं, तो हम निम्नलिखित परिणाम पर पहुंचते हैं: किसी दिए गए वक्रीय समलंब का क्षेत्रफल S, n आयतों से बनी एक चरणबद्ध आकृति के क्षेत्रफल S n के लगभग बराबर है (आंकड़ा देखें):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
यहां, अंकन की एकरूपता के लिए, हम मानते हैं कि a \u003d x 0, b \u003d x n; $\Delta x_0 $ - खंड की लंबाई, $\Delta x_1 $ - खंड की लंबाई, आदि; जबकि, जैसा कि हम ऊपर सहमत हुए थे, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

तो, $S \लगभग S_n $, और यह अनुमानित समानता जितनी अधिक सटीक होगी, n उतना ही बड़ा होगा।
परिभाषा के अनुसार, यह माना जाता है कि घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का वांछित क्षेत्र अनुक्रम की सीमा (एस एन) के बराबर है:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

कार्य 2(एक बिंदु को हिलाने के बारे में)
एक भौतिक बिंदु एक सीधी रेखा में चलता है। समय पर गति की निर्भरता सूत्र v = v(t) द्वारा व्यक्त की जाती है। समय अंतराल पर एक बिंदु का विस्थापन ज्ञात करें [a; बी]।
समाधान।यदि गति एक समान होती, तो समस्या बहुत सरलता से हल हो जाती: s = vt, यानी। s = v(बी-ए). असमान गति के लिए उन्हीं विचारों का उपयोग करना होगा जिन पर पिछली समस्या का समाधान आधारित था।
1) समय अंतराल को विभाजित करें [ए; b] n बराबर भागों में।
2) एक समय अंतराल पर विचार करें और मान लें कि इस समय अंतराल के दौरान गति स्थिर थी, जैसे कि समय t k पर। तो, हम मानते हैं कि v = v(t k).
3) समय अंतराल पर बिंदु विस्थापन का अनुमानित मान ज्ञात करें, यह अनुमानित मान s k द्वारा दर्शाया जाएगा
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) विस्थापन का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए:
$s \लगभग S_n $ कहां
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) आवश्यक विस्थापन अनुक्रम की सीमा के बराबर है (एस एन):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

आइए संक्षेप करें. विभिन्न समस्याओं का समाधान एक ही गणितीय मॉडल में सिमट गया। विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों की कई समस्याएं समाधान की प्रक्रिया में एक ही मॉडल की ओर ले जाती हैं। अत: इस गणितीय मॉडल का विशेष रूप से अध्ययन किया जाना चाहिए।

एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा

आइए हम उस मॉडल का गणितीय विवरण दें जो फ़ंक्शन y = f(x) के लिए तीन मानी गई समस्याओं में बनाया गया था, जो खंड पर निरंतर (लेकिन जरूरी नहीं कि गैर-नकारात्मक हो, जैसा कि मानी गई समस्याओं में माना गया था) [ ए; बी]:
1) खंड को विभाजित करें [ए; बी] एन बराबर भागों में;
2) योग $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ की गणना करें

गणितीय विश्लेषण के दौरान, यह साबित हुआ कि यह सीमा निरंतर (या टुकड़े-टुकड़े निरंतर) फ़ंक्शन के मामले में मौजूद है। उसे बुलाया गया है खंड पर फ़ंक्शन y = f(x) का एक निश्चित अभिन्न अंग [a; बी]और इन्हें इस प्रकार दर्शाया गया है:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
संख्या ए और बी को एकीकरण की सीमाएं (क्रमशः निचली और ऊपरी) कहा जाता है।

आइए ऊपर चर्चा किए गए कार्यों पर वापस आएं। समस्या 1 में दी गई क्षेत्रफल की परिभाषा को अब इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
यहाँ S ऊपर चित्र में दिखाए गए वक्ररेखीय समलंब का क्षेत्रफल है। यह क्या है निश्चित अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ.

समस्या 2 में दिए गए t = a से t = b तक के समय अंतराल में v = v(t) गति के साथ एक सीधी रेखा में चलते हुए एक बिंदु के विस्थापन s की परिभाषा को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

न्यूटन - लीबनिज सूत्र

आरंभ करने के लिए, आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: एक निश्चित अभिन्न और एक प्रतिअवकलन के बीच क्या संबंध है?

इसका उत्तर समस्या 2 में पाया जा सकता है। एक ओर, t = a से t = b तक के समय अंतराल में v = v(t) गति के साथ एक सीधी रेखा के साथ चलते एक बिंदु का विस्थापन s और द्वारा गणना की जाती है सूत्र
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

दूसरी ओर, गतिमान बिंदु का निर्देशांक गति के लिए प्रतिअवकलन है - आइए इसे s(t) से निरूपित करें; इसलिए विस्थापन s को सूत्र s = s(b) - s(a) द्वारा व्यक्त किया जाता है। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
जहाँ s(t) v(t) का प्रतिअवकलन है।

गणितीय विश्लेषण के दौरान निम्नलिखित प्रमेय सिद्ध हुआ।
प्रमेय. यदि फ़ंक्शन y = f(x) खंड पर निरंतर है [a; बी], फिर सूत्र
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
जहां F(x) f(x) का प्रतिअवकलन है।

उपरोक्त सूत्र को सामान्यतः कहा जाता है न्यूटन-लीबनिज सूत्रअंग्रेजी भौतिक विज्ञानी आइजैक न्यूटन (1643-1727) और जर्मन दार्शनिक गॉटफ्रीड लीबनिज (1646-1716) के सम्मान में, जिन्होंने इसे एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से और लगभग एक साथ प्राप्त किया।

व्यवहार में, F(b) - F(a) लिखने के बजाय, वे नोटेशन $\left. F(x)\right|_a^b $ का उपयोग करते हैं (इसे कभी-कभी कहा जाता है दोहरा प्रतिस्थापन) और, तदनुसार, न्यूटन-लीबनिज सूत्र को इस रूप में फिर से लिखें:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

एक निश्चित समाकलन की गणना करते समय, पहले प्रतिअवकलन ज्ञात करें, और फिर दोहरा प्रतिस्थापन करें।

न्यूटन-लीबनिज सूत्र के आधार पर, कोई एक निश्चित अभिन्न के दो गुण प्राप्त कर सकता है।

संपत्ति 1.कार्यों के योग का समाकलन समाकलन के योग के बराबर होता है:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

संपत्ति 2.अचर गुणनखंड को पूर्णांक चिन्ह से निकाला जा सकता है:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके समतल आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना करना

इंटीग्रल का उपयोग करके, आप न केवल वक्ररेखीय ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं, बल्कि अधिक जटिल प्रकार के समतल आकृतियों की भी गणना कर सकते हैं, जैसे कि चित्र में दिखाया गया है। आकृति P सीधी रेखाओं x = a, x = b और सतत फलनों y = f(x), y = g(x) के ग्राफ़ और खंड [a; b] असमानता $g(x) \leq f(x) $ कायम है। ऐसी आकृति के क्षेत्रफल S की गणना करने के लिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ेंगे:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

तो, आकृति का क्षेत्र S सीधी रेखाओं x = a, x = b और फ़ंक्शन y = f(x), y = g(x) के ग्राफ़ से घिरा है, जो खंड पर निरंतर है और इस प्रकार किसी भी x के लिए खंड [ए; b] असमानता $g(x) \leq f(x) $ संतुष्ट है, सूत्र द्वारा गणना की जाती है
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

कुछ फलनों के अनिश्चित समाकलन (प्रतिअवकलन) की तालिका

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +सी \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

चित्र सही ढंग से बनाने की क्षमता;
प्रसिद्ध न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके एक निश्चित अभिन्न को हल करने की क्षमता;
अधिक लाभदायक समाधान "देखने" की क्षमता - अर्थात। यह समझने के लिए कि इस या उस मामले में एकीकरण करना कैसे अधिक सुविधाजनक होगा? x-अक्ष (OX) या y-अक्ष (OY) के अनुदिश?
खैर, सही गणना के बिना कहां?) इसमें यह समझना शामिल है कि अन्य प्रकार के अभिन्नों को कैसे हल किया जाए और संख्यात्मक गणनाओं को सही किया जाए।