इंटरपोलेशन पहले से ज्ञात कई मानों से किसी फ़ंक्शन के मध्यवर्ती चर खोजने की एक विधि है। पहली बार, "इंटरपोलेशन" शब्द जॉन वालिस द्वारा वैज्ञानिक निबंध "द अरिथमेटिक ऑफ द इनफिनिटी" में पेश किया गया था।
रेखिक आंतरिक
प्रक्षेप का सबसे सरल मामला "रैखिक" है, अर्थात दो दिए गए बिंदुओं से मान ज्ञात करना। इस गणना प्रक्रिया को एक रैखिक फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है, जिससे गणना अधिक दृश्यमान हो जाती है। किसी फ़ंक्शन को समन्वय प्रणाली में लागू करना सन्निकटन कहलाता है। ऐसा करने के लिए, ज्ञात बिंदुओं के माध्यम से समन्वय अक्ष पर एक सीधी रेखा खींचना आवश्यक है। यह तर्कसंगत है कि वांछित मान, पहले दो बिंदुओं के बीच स्थित, एब्सिस्सा एक्स को जानकर ग्राफिक रूप से पाया जा सकता है। यदि वांछित मान का एक्स समन्वय ज्ञात मानों (एक्स 1, एक्स 2) के बाहर है ), तो गणना प्रक्रिया को एक्सट्रपलेशन कहा जाता है।
कैलकुलेटर आपको अन्य दो कार्यों के एक्स और वाई निर्देशांक, साथ ही इसके भुज को जानकर, वांछित मान के वाई-ऑर्डिनेट का मूल्य निर्धारित करने की अनुमति देता है। गणना करने के लिए, आपको दिए गए दो बिंदुओं X 1, Y 1 और यह।
रैखिक प्रक्षेप सूत्र
गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:
गणना उदाहरण
दिया गया है: दो बिंदुओं A(3;1.5) और B(6;5) के निर्देशांक।
खोजें: भुज 4.5 के साथ बिंदु C की कोटि।
उसके बाद, हम निर्दिष्ट सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
वाई = 5 + (1.5 - 5) / (3 - 6) (4.5 - 6) = 5 + (-3.5) / (-3) (-1.5) = 3.25।
हममें से कई लोगों का विभिन्न विज्ञानों में समझ से बाहर होने वाले शब्दों से सामना हुआ है। लेकिन ऐसे बहुत कम लोग होते हैं जो समझ से परे शब्दों से डरते नहीं हैं, बल्कि इसके विपरीत, उन्हें प्रोत्साहित करते हैं और अध्ययन किए जा रहे विषय की गहराई में जाने के लिए मजबूर करते हैं। आज हम इंटरपोलेशन जैसी चीज़ के बारे में बात करेंगे। यह ज्ञात बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ़ बनाने की एक विधि है, जो फ़ंक्शन के बारे में न्यूनतम जानकारी के साथ वक्र के विशिष्ट खंडों पर इसके व्यवहार की भविष्यवाणी करने की अनुमति देती है।
परिभाषा के सार पर आगे बढ़ने और इसके बारे में अधिक विस्तार से बताने से पहले, आइए इतिहास में थोड़ा उतरें।
कहानी
अंतर्वेशन को प्राचीन काल से जाना जाता है। हालाँकि, इस घटना के विकास का श्रेय अतीत के कई सबसे प्रमुख गणितज्ञों को जाता है: न्यूटन, लीबनिज और ग्रेगरी। वे ही थे जिन्होंने उस समय उपलब्ध अधिक उन्नत गणितीय विधियों का उपयोग करके इस अवधारणा को विकसित किया था। इससे पहले, बेशक, इंटरपोलेशन का उपयोग गणनाओं में किया जाता था, लेकिन उन्होंने इसे पूरी तरह से गलत तरीकों से किया, जिससे एक मॉडल बनाने के लिए बड़ी मात्रा में डेटा की आवश्यकता होती है जो कमोबेश वास्तविकता के करीब है।
आज, हम यह भी चुन सकते हैं कि प्रक्षेप विधियों में से कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है। हर चीज़ को एक कंप्यूटर भाषा में अनुवादित किया जाता है जो ज्ञात बिंदुओं द्वारा सीमित एक निश्चित क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के व्यवहार की बड़ी सटीकता के साथ भविष्यवाणी कर सकता है।
प्रक्षेप एक संकीर्ण अवधारणा है, इसलिए इसका इतिहास तथ्यों से इतना समृद्ध नहीं है। अगले भाग में, हम समझेंगे कि वास्तव में प्रक्षेप क्या है और यह इसके विपरीत - एक्सट्रपलेशन से कैसे भिन्न है।
प्रक्षेप क्या है?
जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, यह उन विधियों का सामान्य नाम है जो आपको बिंदुओं के आधार पर ग्राफ बनाने की अनुमति देती हैं। स्कूल में, यह मुख्य रूप से एक तालिका संकलित करके, ग्राफ़ पर बिंदुओं की पहचान करके और मोटे तौर पर उन्हें जोड़ने वाली रेखाएँ बनाकर किया जाता है। अंतिम कार्रवाई अध्ययन के तहत फ़ंक्शन की दूसरों के साथ समानता के विचार के आधार पर की जाती है, जिस प्रकार के ग्राफ़ के प्रकार हम जानते हैं।
हालाँकि, बिंदु-दर-बिंदु कथानक बनाने के कार्य को पूरा करने के अन्य, अधिक जटिल और सटीक तरीके हैं। तो, इंटरपोलेशन वास्तव में एक विशिष्ट क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के व्यवहार की "भविष्यवाणी" है, जो ज्ञात बिंदुओं द्वारा सीमित है।
इसी क्षेत्र से जुड़ी एक समान अवधारणा है - एक्सट्रपलेशन। यह किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की भविष्यवाणी भी है, लेकिन ग्राफ़ के ज्ञात बिंदुओं से परे। इस पद्धति के साथ, एक ज्ञात अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के व्यवहार के आधार पर एक भविष्यवाणी की जाती है, और फिर इस फ़ंक्शन को एक अज्ञात अंतराल पर भी लागू किया जाता है। यह विधि व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए बहुत सुविधाजनक है और इसका सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, अर्थव्यवस्था में बाजार में उतार-चढ़ाव की भविष्यवाणी करने और देश में जनसांख्यिकीय स्थिति की भविष्यवाणी करने के लिए।
लेकिन हम मूल विषय से भटक गये हैं. अगले भाग में, हम समझेंगे कि इंटरपोलेशन क्या है और इस ऑपरेशन को करने के लिए किन सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है।
प्रक्षेप के प्रकार
सबसे सरल रूप निकटतम पड़ोसी प्रक्षेप है। इस विधि से, हमें आयतों से युक्त एक बहुत ही अनुमानित प्लॉट मिलता है। यदि आपने कम से कम एक बार ग्राफ पर अभिन्न के ज्यामितीय अर्थ की व्याख्या देखी है, तो आप समझ जाएंगे कि हम किस प्रकार के ग्राफिकल रूप के बारे में बात कर रहे हैं।
इसके अलावा, प्रक्षेप के अन्य तरीके भी हैं। सबसे प्रसिद्ध और लोकप्रिय बहुपदों से जुड़े हैं। वे अधिक सटीक हैं और मूल्यों के अल्प सेट के साथ किसी फ़ंक्शन के व्यवहार की भविष्यवाणी करने की अनुमति देते हैं। पहली प्रक्षेप विधि जिस पर हम गौर करेंगे वह रैखिक बहुपद प्रक्षेप है। यह इस श्रेणी की सबसे आसान विधि है, और निश्चित रूप से आप में से प्रत्येक ने स्कूल में इसका उपयोग किया होगा। इसका सार ज्ञात बिंदुओं के बीच सीधी रेखाओं के निर्माण में निहित है। जैसा कि आप जानते हैं, एक सीधी रेखा समतल के दो बिंदुओं से होकर गुजरती है, जिसका समीकरण इन बिंदुओं के निर्देशांक के आधार पर पाया जा सकता है। इन सीधी रेखाओं को बनाने के बाद, हमें एक टूटा हुआ ग्राफ़ मिलता है, जो कम से कम, कार्यों के अनुमानित मूल्यों को दर्शाता है और सामान्य शब्दों में वास्तविकता से मेल खाता है। इस प्रकार रैखिक प्रक्षेप कार्य करता है।
प्रक्षेप के जटिल प्रकार
प्रक्षेप का एक अधिक दिलचस्प, लेकिन साथ ही अधिक जटिल तरीका भी है। इसका आविष्कार फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ लुईस लैग्रेंज ने किया था। इसीलिए इस विधि द्वारा प्रक्षेप की गणना का नाम उन्हीं के नाम पर रखा गया है: लैग्रेंज विधि द्वारा प्रक्षेप। यहां चाल यह है: यदि पिछले पैराग्राफ में वर्णित विधि गणना के लिए केवल एक रैखिक फ़ंक्शन का उपयोग करती है, तो लैग्रेंज विस्तार में उच्च डिग्री के बहुपद का उपयोग भी शामिल होता है। लेकिन विभिन्न कार्यों के लिए स्वयं प्रक्षेप सूत्र खोजना इतना आसान नहीं है। और जितने अधिक बिंदु ज्ञात होंगे, प्रक्षेप सूत्र उतना ही अधिक सटीक होगा। लेकिन कई अन्य तरीके भी हैं.
गणना की एक अधिक उत्तम एवं वास्तविकता के करीब पद्धति भी है। इसमें प्रयुक्त प्रक्षेप सूत्र बहुपदों का एक संग्रह है, जिनमें से प्रत्येक का अनुप्रयोग फ़ंक्शन के अनुभाग पर निर्भर करता है। इस विधि को स्प्लाइन फ़ंक्शन कहा जाता है। इसके अलावा, दो चरों के कार्यों के प्रक्षेप जैसे कार्य करने के भी तरीके हैं। यहाँ केवल दो ही विधियाँ हैं। इनमें बिलिनियर या डबल इंटरपोलेशन शामिल हैं। यह विधि आपको त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदुओं द्वारा आसानी से ग्राफ़ बनाने की अनुमति देती है। अन्य तरीके प्रभावित नहीं होंगे. सामान्य तौर पर, ग्राफ़ बनाने की इन सभी विधियों के लिए इंटरपोलेशन एक सार्वभौमिक नाम है, लेकिन इस क्रिया को करने के तरीकों की विविधता उन्हें इस क्रिया के अधीन फ़ंक्शन के प्रकार के आधार पर समूहों में विभाजित करने के लिए मजबूर करती है। अर्थात्, प्रक्षेप, जिसका एक उदाहरण हमने ऊपर माना है, प्रत्यक्ष तरीकों को संदर्भित करता है। व्युत्क्रम प्रक्षेप भी है, जो इस मायने में भिन्न है कि यह आपको प्रत्यक्ष नहीं, बल्कि व्युत्क्रम फलन (अर्थात, y से x) की गणना करने की अनुमति देता है। हम बाद वाले विकल्पों पर विचार नहीं करेंगे, क्योंकि यह काफी कठिन है और इसके लिए अच्छे गणितीय ज्ञान आधार की आवश्यकता होती है।
आइए शायद सबसे महत्वपूर्ण अनुभागों में से एक पर आगे बढ़ें। इससे हमें यह सीखने को मिलता है कि जिन तरीकों के बारे में हम चर्चा कर रहे हैं, उन्हें जीवन में कैसे और कहां लागू किया जाता है।
आवेदन
गणित, जैसा कि आप जानते हैं, विज्ञान की रानी है। इसलिए, भले ही शुरुआत में आपको कुछ ऑपरेशनों में बात समझ में न आए, इसका मतलब यह नहीं है कि वे बेकार हैं। उदाहरण के लिए, ऐसा लगता है कि इंटरपोलेशन एक बेकार चीज़ है, जिसकी मदद से केवल ग्राफ़ बनाया जा सकता है, जिसकी ज़रूरत अब बहुत कम लोगों को है। हालाँकि, इंजीनियरिंग, भौतिकी और कई अन्य विज्ञानों (उदाहरण के लिए, जीव विज्ञान) में किसी भी गणना में, मूल्यों का एक निश्चित सेट रखते हुए, घटना की एक पूरी तस्वीर प्रस्तुत करना बेहद महत्वपूर्ण है। ग्राफ़ पर बिखरे हुए मान हमेशा किसी विशेष क्षेत्र में फ़ंक्शन के व्यवहार, उसके डेरिवेटिव के मान और अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं का स्पष्ट विचार नहीं देते हैं। और यह हमारे जीवन के कई क्षेत्रों के लिए बहुत महत्वपूर्ण है।
और यह जीवन में किस प्रकार उपयोगी होगा?
ऐसे प्रश्न का उत्तर देना बहुत कठिन हो सकता है। लेकिन उत्तर सरल है: बिलकुल नहीं। यह ज्ञान आपके किसी काम का नहीं है. लेकिन यदि आप इस सामग्री को और उन तरीकों को समझते हैं जिनके द्वारा ये क्रियाएं की जाती हैं, तो आप अपने तर्क को प्रशिक्षित करेंगे, जो जीवन में बहुत उपयोगी होगा। मुख्य बात स्वयं ज्ञान नहीं है, बल्कि वह कौशल है जो एक व्यक्ति अध्ययन की प्रक्रिया में हासिल करता है। आख़िरकार, यह अकारण नहीं है कि एक कहावत है: "एक सदी के लिए जियो - एक सदी के लिए सीखो।"
संबंधित अवधारणाएँ
इससे जुड़ी अन्य अवधारणाओं की विविधता को देखकर आप स्वयं समझ सकते हैं कि गणित का यह क्षेत्र कितना महत्वपूर्ण था (और अब भी है)। हम पहले ही एक्सट्रपलेशन के बारे में बात कर चुके हैं, लेकिन एक अनुमान भी है। शायद आपने यह शब्द पहले भी सुना हो. किसी भी स्थिति में, हमने इस लेख में इसका क्या अर्थ है इसका भी विश्लेषण किया है। सन्निकटन, प्रक्षेप की तरह, फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाने से संबंधित अवधारणाएँ हैं। लेकिन पहले और दूसरे के बीच अंतर यह है कि यह समान ज्ञात ग्राफ़ के आधार पर एक ग्राफ़ का अनुमानित निर्माण है। ये दोनों अवधारणाएँ एक-दूसरे से बहुत मिलती-जुलती हैं, और उनमें से प्रत्येक का अध्ययन करना उतना ही दिलचस्प है।
निष्कर्ष
गणित उतना कठिन विज्ञान नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। वह काफ़ी दिलचस्प है. और इस लेख में हमने आपको यह साबित करने की कोशिश की है। हमने प्लॉटिंग ग्राफ़ से जुड़ी अवधारणाओं को देखा, सीखा कि डबल इंटरपोलेशन क्या है, और उदाहरणों के साथ इसका विश्लेषण किया गया है जहां इसका उपयोग किया जाता है।
स्थानीय प्रक्षेप का सबसे सरल और सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला रूप है रेखिक आंतरिक. यह इस तथ्य में निहित है कि दिए गए बिंदु ( एक्स मैं , य मैं) पर ( मैं = 0. 1, ..., एन) सीधी रेखा खंडों और फ़ंक्शन से जुड़े हुए हैं एफ(एक्स) दिए गए बिंदुओं पर शीर्षों वाली एक पॉलीलाइन द्वारा संपर्क किया जाता है।
टूटी हुई रेखा के प्रत्येक खंड के समीकरण आम तौर पर भिन्न होते हैं। चूँकि n अंतराल हैं ( एक्स मैं - 1, एक्स मैं), तो उनमें से प्रत्येक के लिए दो बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग प्रक्षेप बहुपद के समीकरण के रूप में किया जाता है। विशेष रूप से, i-वें अंतराल के लिए, कोई बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण लिख सकता है ( एक्स मैं -1, य मैं -1 ) और ( एक्स मैं , य मैं), जैसा
|
y=a i x+b i , x i-1 xx i |
ए मैं = 
इसलिए, रैखिक प्रक्षेप का उपयोग करते समय, आपको पहले उस अंतराल को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है जिसमें तर्क x का मान गिरता है, और फिर इसे सूत्र (*) में प्रतिस्थापित करें और इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अनुमानित मान ज्ञात करें
चित्र 3-3 रैखिक अंतर्वेशन निर्भरता ग्राफ़।
किसी व्यावसायिक समस्या का समाधान
प्रायोगिक डेटा का रखरखाव
उत्पत्ति:=0 डेटा सरणी की शुरुआत - शून्य से गिनती
मैं:=1..6 सरणी में तत्वों की संख्या
प्रायोगिक डेटा को दो वैक्टरों में व्यवस्थित किया गया 
आइए अंतर्निहित MathCad फ़ंक्शंस के साथ इंटरपोलेशन करें
रेखिक आंतरिक
Lf(x i):=linterp(x,y,x)
क्यूबिक स्पाइन इंटरपोलेशन
सीएस:= सीस्पलाइन(एक्स,वाई)
हम प्रायोगिक आंकड़ों के अनुसार एक घन तख़्ता बनाते हैं
Lf(x i):=linterp(x,y,x i)
बी-स्पलाइन द्वारा इंटरपोलेशन
प्रक्षेप का क्रम निर्धारित करें. वेक्टर u में वेक्टर की तुलना में (n-1) कम तत्व होने चाहिए एक्स, जहां पहला तत्व पहले तत्व से कम या उसके बराबर होना चाहिए एक्स, और अंतिम तत्व x के अंतिम तत्व से बड़ा या उसके बराबर है।
बीएस:=बीएसलाइन(एक्स,वाई,यू,एन)
हम प्रायोगिक डेटा के अनुसार बी-स्पलाइन बनाते हैं
बीएसएफ(एक्स आई):=(बीएस, एक्स,वाई,एक्स आई)
हम एक समन्वय तल पर सभी सन्निकटन कार्यों का एक ग्राफ बनाते हैं।
चित्र 4.1-एक समन्वय तल पर सभी सन्निकटन कार्यों का ग्राफ़।
निष्कर्ष
कम्प्यूटेशनल गणित में, कार्यों का प्रक्षेप एक आवश्यक भूमिका निभाता है, अर्थात। किसी अन्य के दिए गए फ़ंक्शन का निर्माण (आमतौर पर सरल), जिसके मान एक निश्चित संख्या में बिंदुओं पर दिए गए फ़ंक्शन के मानों से मेल खाते हैं। इसके अलावा, प्रक्षेप का व्यावहारिक और सैद्धांतिक दोनों महत्व है। व्यवहार में, किसी सतत फ़ंक्शन को उसके सारणीबद्ध मानों से पुनर्स्थापित करने की समस्या अक्सर उत्पन्न होती है, उदाहरण के लिए, किसी प्रयोग के दौरान प्राप्त किए गए मान। कई कार्यों की गणना करने के लिए, उन्हें बहुपदों या भिन्नात्मक तर्कसंगत कार्यों द्वारा अनुमानित करना कुशल साबित होता है। अंतर और अभिन्न समीकरणों को हल करने के तरीके प्राप्त करने के लिए, संख्यात्मक एकीकरण के लिए चतुर्भुज सूत्रों के निर्माण और अध्ययन में इंटरपोलेशन के सिद्धांत का उपयोग किया जाता है। बहुपद प्रक्षेप का मुख्य नुकसान यह है कि यह सबसे सुविधाजनक और आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले ग्रिडों में से एक पर अस्थिर है - समदूरस्थ नोड्स वाला ग्रिड। यदि समस्या अनुमति देती है, तो चेबीशेव नोड्स के साथ ग्रिड चुनकर इस समस्या को हल किया जा सकता है। यदि, हालांकि, हम स्वतंत्र रूप से इंटरपोलेशन नोड्स का चयन नहीं कर सकते हैं, या हमें बस एक एल्गोरिदम की आवश्यकता है जो नोड्स की पसंद पर बहुत अधिक मांग नहीं कर रहा है, तो तर्कसंगत इंटरपोलेशन बहुपद इंटरपोलेशन का एक उपयुक्त विकल्प हो सकता है।
स्पलाइन इंटरपोलेशन के फायदों में कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम की उच्च प्रसंस्करण गति शामिल है, क्योंकि स्पलाइन एक टुकड़ा-वार बहुपद फ़ंक्शन है और इंटरपोलेशन के दौरान, उस टुकड़े से संबंधित माप बिंदुओं की एक छोटी संख्या के लिए डेटा को एक साथ संसाधित किया जाता है जिस पर वर्तमान में विचार किया जा रहा है। प्रक्षेपित सतह विभिन्न पैमानों की स्थानिक परिवर्तनशीलता का वर्णन करती है और साथ ही चिकनी होती है। बाद की परिस्थिति विश्लेषणात्मक प्रक्रियाओं का उपयोग करके सतह की ज्यामिति और टोपोलॉजी का सीधे विश्लेषण करना संभव बनाती है
- - [या.एन. लुगिंस्की, एम.एस. फ़ेज़ी ज़िलिंस्काया, यू.एस. कबीरोव। इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग और पावर इंडस्ट्री का अंग्रेजी रूसी शब्दकोश, मॉस्को, 1999] इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग विषय, बुनियादी अवधारणाएं एन रैखिक इंटरपोलेशन ...
रेखिक आंतरिक- टाईसिने इंटरपोलियासिजा स्टेटसस टी स्रिटिस फ़िज़िका एटिटिकमेनिस: एंगल। रैखिक प्रक्षेप वोक। रैखिक प्रक्षेप, एफ रस। रैखिक प्रक्षेप, एफप्रैंक। इंटरपोलेशन लाइनेयर, एफ ... फ़िज़िकोस टर्मिनस ज़ोडनास
रेखिक आंतरिक- फ़ंक्शन f (x) को बदलने के आधार पर फ़ंक्शन f (x) के मान की लगभग गणना करने की एक विधि। एक रैखिक फ़ंक्शन के साथ, पैरामीटर a और b को इस तरह से चुना जाता है कि मान L (x) ) दिए गए बिंदुओं x 1 और x 2 पर मान f (x) के साथ मेल खाते हैं: ये स्थितियाँ… … गणितीय विश्वकोश
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प्रक्षेप- फ़ंक्शन के बारे में, देखें: इंटरपोलेंट। इंटरपोलेशन, कम्प्यूटेशनल गणित में इंटरपोलेशन ज्ञात मूल्यों के मौजूदा असतत सेट से किसी मात्रा के मध्यवर्ती मूल्यों को खोजने का एक तरीका है। उनमें से बहुत से लोग वैज्ञानिक और ... ...विकिपीडिया से जूझ रहे हैं
प्रक्षेप (गणित)
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तालिका देखो- (अंग्रेजी लुकअप टेबल) एक डेटा संरचना है, आमतौर पर एक सरणी या एक सहयोगी सरणी, जिसका उपयोग सरल खोज ऑपरेशन के साथ गणना को बदलने के लिए किया जाता है। मेमोरी से डेटा प्राप्त करने के बाद से गति में वृद्धि महत्वपूर्ण हो सकती है... विकिपीडिया
जिस पर अन्य प्राप्त मान उच्च सटीकता के साथ पड़ सकते हैं। ऐसे कार्य को सन्निकटन कहते हैं। इंटरपोलेशन एक प्रकार का सन्निकटन है जिसमें निर्मित फ़ंक्शन का वक्र बिल्कुल उपलब्ध डेटा बिंदुओं से होकर गुजरता है।
इंटरपोलेशन के करीब एक समस्या भी है, जिसमें कुछ जटिल फ़ंक्शन को दूसरे, सरल फ़ंक्शन द्वारा अनुमानित करना शामिल है। यदि कोई निश्चित फ़ंक्शन उत्पादक गणनाओं के लिए बहुत जटिल है, तो आप कई बिंदुओं पर इसके मूल्य की गणना करने का प्रयास कर सकते हैं, और उनसे एक सरल फ़ंक्शन बना सकते हैं, यानी इंटरपोलेट कर सकते हैं। बेशक, एक सरलीकृत फ़ंक्शन का उपयोग करने से आपको वही सटीक परिणाम प्राप्त करने की अनुमति नहीं मिलती है जो मूल फ़ंक्शन देगा। लेकिन समस्याओं के कुछ वर्गों में, गणना की सरलता और गति में लाभ परिणामों में होने वाली त्रुटि से अधिक हो सकता है।
हमें एक बिल्कुल अलग तरह के गणितीय इंटरपोलेशन का भी उल्लेख करना चाहिए, जिसे "ऑपरेटर इंटरपोलेशन" के रूप में जाना जाता है। ऑपरेटर इंटरपोलेशन पर शास्त्रीय कार्यों में रीज़-थोरिन प्रमेय और मार्सिंक्यूविक्ज़ प्रमेय शामिल हैं, जो कई अन्य कार्यों का आधार हैं।
परिभाषाएं
किसी क्षेत्र से गैर-संपाती बिंदुओं () की एक प्रणाली पर विचार करें। मान लीजिए कि फ़ंक्शन के मान केवल इन बिंदुओं पर ज्ञात हैं:
इंटरपोलेशन की समस्या कार्यों के किसी दिए गए वर्ग से ऐसे फ़ंक्शन को ढूंढना है
उदाहरण
1. मान लीजिए कि हमारे पास एक तालिका फ़ंक्शन है, जैसा कि नीचे वर्णित है, जो कई मानों के लिए संबंधित मान निर्धारित करता है:
| 0 | 0 |
| 1 | 0,8415 |
| 2 | 0,9093 |
| 3 | 0,1411 |
| 4 | −0,7568 |
| 5 | −0,9589 |
| 6 | −0,2794 |
इंटरपोलेशन हमें यह पता लगाने में मदद करता है कि ऐसे फ़ंक्शन का निर्दिष्ट बिंदु के अलावा किसी अन्य बिंदु पर क्या मूल्य हो सकता है (उदाहरण के लिए, कब)। एक्स = 2,5).
आज तक, प्रक्षेप के कई अलग-अलग तरीके हैं। सबसे उपयुक्त एल्गोरिदम का चुनाव प्रश्नों के उत्तर पर निर्भर करता है: चुनी गई विधि कितनी सटीक है, इसका उपयोग करने की लागत क्या है, इंटरपोलेशन फ़ंक्शन कितना सुचारू है, इसके लिए कितने डेटा बिंदुओं की आवश्यकता है, आदि।
2. एक मध्यवर्ती मान ज्ञात करें (रैखिक प्रक्षेप द्वारा)।
| 6000 | 15.5 |
| 6378 | ? |
| 8000 | 19.2 |
अंतर्वेशन विधियाँ
निकटतम पड़ोसी प्रक्षेप
सबसे सरल प्रक्षेप विधि निकटतम पड़ोसी प्रक्षेप है।
बहुपदों द्वारा अंतर्वेशन
व्यवहार में, बहुपदों द्वारा प्रक्षेप का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। यह मुख्य रूप से इस तथ्य के कारण है कि बहुपदों की गणना करना आसान है, विश्लेषणात्मक रूप से उनके व्युत्पन्न ढूंढना आसान है, और बहुपदों का सेट निरंतर कार्यों (वीयरस्ट्रैस के प्रमेय) के स्थान में सघन है।
- आईएमएन-1 और आईएमएन-2
- लैग्रेंज बहुपद (इंटरपोलेशन बहुपद)
- ऐटकेन की योजना
रिवर्स इंटरपोलेशन (x दिए गए y की गणना)
- न्यूटन के सूत्र द्वारा व्युत्क्रम प्रक्षेप
मल्टी-वेरिएबल फ़ंक्शन इंटरपोलेशन
अन्य प्रक्षेप विधियाँ
विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010 .
समानार्थी शब्द:देखें अन्य शब्दकोशों में "इंटरपोलेशन" क्या है:
1) किसी गणितीय अभिव्यक्ति के दिए गए मानों की श्रृंखला से, उसके मध्यवर्ती मान निर्धारित करने का एक तरीका; इसलिए, उदाहरण के लिए, 1 °, 2 °, 3 °, 4 °, आदि के तोप चैनल के अक्ष के ऊंचाई कोण पर तोप के गोले की सीमा के अनुसार, इसका उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है ... ... रूसी भाषा के विदेशी शब्दों का शब्दकोश
सम्मिलन, प्रक्षेप, समावेशन, रूसी पर्यायवाची शब्दों की खोज शब्दकोश। प्रक्षेप देखें रूसी भाषा के पर्यायवाची शब्दों का शब्दकोश सम्मिलित करें। व्यावहारिक मार्गदर्शक. एम.: रूसी भाषा. जेड ई अलेक्जेंड्रोवा। 2… पर्यायवाची शब्दकोष
प्रक्षेप- दो ज्ञात बिंदुओं के बीच मध्यवर्ती मूल्यों की गणना। उदाहरण के लिए: रैखिक रैखिक प्रक्षेप घातीय घातीय प्रक्षेप एक रंगीन छवि को आउटपुट करने की प्रक्रिया जब पिक्सेल दो रंगों के बीच के क्षेत्र से संबंधित होते हैं ... ... तकनीकी अनुवादक की पुस्तिका
- (इंटरपोलेशन) ज्ञात मूल्यों की श्रृंखला के दो बिंदुओं के बीच अज्ञात मूल्य के मूल्य का अनुमान। उदाहरण के लिए, 10 वर्षों के अंतराल पर होने वाली जनगणना के दौरान प्राप्त देश की जनसंख्या के संकेतकों को जानकर, आप... व्यावसायिक शर्तों की शब्दावली
लैटिन से वास्तव में "नकली"। यह शास्त्रियों या पाठकों द्वारा पांडुलिपियों में किए गए गलत सुधारों या बाद में सम्मिलन को दिया गया नाम है। विशेषकर अक्सर इस शब्द का प्रयोग प्राचीन लेखकों की पांडुलिपियों की आलोचना में किया जाता है। इन पांडुलिपियों में... साहित्यिक विश्वकोश
किसी नियमितता (फ़ंक्शन) के मध्यवर्ती मानों को उसके ज्ञात मानों की संख्या से ज्ञात करना। अंग्रेजी में: इंटरपोलेशन यह भी देखें: डेटा ट्रांसफॉर्मेशन फिनम फाइनेंशियल डिक्शनरी... वित्तीय शब्दावली
प्रक्षेप- और ठीक है। प्रक्षेप एफ. अव्य. प्रक्षेप परिवर्तन; परिवर्तन, विरूपण. 1. बाद के मूल का एक सम्मिलन जिसमें एल। वह पाठ जो मूल से संबंधित नहीं है. एएलएस 1. प्राचीन पांडुलिपियों में शास्त्रियों द्वारा कई प्रक्षेप किए गए हैं। उश. 1934. 2 ... रूसी भाषा के गैलिसिज्म का ऐतिहासिक शब्दकोश
प्रक्षेप- (इंटरपोलेशन), एम्पायरिच का पूरा होना। किसी भी मात्रा के मानों की एक श्रृंखला उसके लुप्त मध्यवर्ती मानों द्वारा। इंटरपोलेशन तीन तरीकों से किया जा सकता है: गणितीय, ग्राफिक। और तार्किक. वे सामान्य परिकल्पना पर आधारित हैं कि... बिग मेडिकल इनसाइक्लोपीडिया
- (लैटिन इंटरपोलेशन परिवर्तन, परिवर्तन से), किसी मात्रा के कुछ ज्ञात मूल्यों के अनुसार उसके मध्यवर्ती मूल्यों की खोज। उदाहरण के लिए, बिंदु x0 और xn, x0 के बीच स्थित बिंदु x पर फ़ंक्शन y = f(x) का मान ज्ञात करना ... आधुनिक विश्वकोश
- (अक्षांश से। इंटरपोलेशन परिवर्तन परिवर्तन), गणित और सांख्यिकी में, किसी मात्रा के उसके कुछ ज्ञात मूल्यों के अनुसार मध्यवर्ती मूल्यों की खोज। उदाहरण के लिए, बिंदु xo x1 ... xn के बीच स्थित बिंदु x पर फ़ंक्शन f (x) का मान ज्ञात करना, ... ... के अनुसार बड़ा विश्वकोश शब्दकोश